POBOLJŠAN IZBOR REDOSLEDA EKSTRAKCIJE PARAMTERA U SIMBOLIČKOJ

ANALIZI KOLA ZASNOVANOJ NA TOPOLOŠKOM DIJAGRAMU ODLUKE

Srđan Đorđević, Predrag Petković, Elektronski fakultet u Nišu

Sadržaj – Ovaj rad prikazuje poboljšanje metoda koji su isti autori predložili uvođenjem topološkog dijagrama odluke kao metoda za simboličku analizu kola. Poboljšanje se odnosi na optimalnom izboru redosleda ekstrakcije parametara kola sa stanovišta generisanja funkcije kola u kompaktnom, faktorizovanom obliku. Imajući u vidu da su rezultati simboličke analize namenjeni za višestruko izračunavanje vrednosti funkcije kola, veoma je značajno da se broj računskih operacija redukuje na što manju meru. Urađeni primeri potvrđuju očekivana poboljšanja. 1. UVOD

Simbolička analiza ima veoma bitnu ulogu u projektovanju analognih integrisanih kola. Najveća prepreka široj primeni simboličke analize je eksponencijalni porast broja sabiraka u analitičkom izrazu funkcije kola sa porastom broja elemenata kola. S druge strane, savremena kola karakteriše sve veća složenost. Ova činjenica ima za posledicu da analiza složenih kola u simboličkom obliku zahteva dugo vreme analize i zauzeće memorijskih resursa računara.

Jedan od načina za prevazilaženje rapidnog porasta broja sabiraka u analitičkom izrazu funkcije kola jeste generisanje izraza u faktorizovanom obliku. Metodi za simboličku analizu elektronskim kola koji se zasnivaju na generisanju izraza u faktorizovanom obliku imaju za cilj dobijanje analitičkih izraza funkcije kola u što kompaktnijem obliku. Merilo efikasnosti postupka je broji aritmetičkih operacija sadržan u analitičkom izrazu funkcije kola.

Postoje brojni postupci za simboličku analizu elektronskih kola. Svi oni mogu da se klasifikuju u dve osnovne kategorije: (i) postupci zasnovani na razvoju matrice sistema jednačina koji opisuje ponašanje kola [1 - 4] i (ii) postupci zasnovani na analizi topologije kola [5], [ 6] .

Pored toga, postupci za generisanje funkcije kola mogu da se razvrstaju prema obliku dobijenog rezultata i to na postupke koji daju rezultat: (i) u kanoničnom obliku (suma proizvoda parametara kola) i (ii) u faktorizovanom obliku.

Iz kategorije metoda baziranih na generisanju matrice sistema koji daju rezultat u faktorizovanom obliku dominira metod koji se zasniva na dijagramu odluke za određivanje determinante, Determinant Decision Diagram (DDD) [3], [4].

Komplementarni metod zasnovan na analizi topologije kola nedavno su predložili autori ovog rada inspirisani DDD postupkom. Taj metod zasnovan je na primeni topološkog dijagrama odluke, Topology Decision Diagram [3], [4] koji će u daljem tekstu biti označen sa TDD. TDD predstavlja grafičku interpretaciju faktorizovanog izraza za funkciju kola.

U ovom radu predlaže se unapređenje metoda publikovanog u [7] kojim se dobija funkcija kola u kompaktnijem obliku. Istovremeno, očekuje se i kraće vreme

analize kola. Modifikacija se sastoji u izboru optimalnog redosleda ekstrakcije parametara kola prilikom formiranja TDD.

U narednom odeljku opisuje se postupak promene topologije kola u slučaju da pojedine vrednosti parametara kola dobijaju ektremne vrednosti (vrednost parametra =0 i vrednost parametra →∞).

Treći odeljak daje kratak opis generisanja topološkog dijagrama odluke.

Izbor optimalnog redosleda ekstrakcije parametara kola sa stanovišta dobijanja funkcije kola u kompaktnijem obliku opisan je u četvrtom odeljku.

Peti deo ovog rada daje pregled ostvarenih rezultata primenom opisanog postupka.

2. REDUKCIJA KOLA

Linearno, vremenski nepromenjivo kolo sa koncentrisanim parametrima karakteriše fukcija kola prikazana izrazom (1):

( )

( )∑ ∏

∑ ∏

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

==

k l

nk,l

i j

ni,j

l

j

sp

sp

)s(D)s(N)s(H

(1)

gde je ni stepen kompleksne učestanosti koji može imati dve vrednosti ni ∈ {0, 1}, dok su pij i pkl parametri kola.

Ukoliko se proizvoljnom parametru kola pk zada nulta odnosno beskonačna vrednost, njima odgovaraju analitički izrazi funkcije kola dati izrazima (2) i (3):

pk

pk

k

k

ppk D)(p)(p

k 0

0

00

N0D0N

HlimH ===

==→

(2)

k

k

dpdDp

dpdNp

DDNlimH

⋅

⋅==

∞→∞→

==∞

∞

∞→∞

k

k

p

p

k

k

ppkk

k

k

N)(p)(pH

(3)

Imajući u vidu prethodne izraze, faktorizacija funkcije

kola u odnosu na posmatrani parametar pk može se izraziti na

sledeći način:

kk

kk

pkp

pkp

∞

∞

⋅+

⋅+=

DpDNpN

H0

0 . (4)

Brojilac i imenilac funkcije H određuju se nezavisno. Imenilac se određuje analizom kola u kome nezavisni generatori imaju vrednost nula, odnosno naponski generatori su zamenjeni kratkim spojem dok se struni generatori zamenjuju otvorenom vezom. Postupak predviđa formiranje dva nezavisna dijagrama za brojilac odnosno imenilac funkcije kola.

Zbornik radova 50. Konferencije za ETRAN, Beograd, 6-8. juna 2006, tom I Proc. 50th ETRAN Conference, Belgrade, June 6-8, 2006, Vol. I

38

Izrazi za brojilac i imenilac funkcije kola nisu poznati unapred, ali se mogu odrediti analizom topologije kola dobijene kada je pk=0 odnosno pk→∞. Dodeljivanje nulte vrednosti parametru, predstavlja njegovu eliminaciju, dok dodeljivanje beskonačne vrednosti odgovara ekstrakciji parametra iz funkcije kola.

Razmotrimo slučaj u kome su svi elementi sa dva pristupa (RLC) definisani preko odgovarajuće admitanse. Promena u topologiji kola koja nastaje kada je pk=0 (pk ∈[Gk=1/Rk, Γk=1/Lk, Ck]) odgovara eliminaciji elemeta pk iz opisa kola jer je tada admitansa Yk=0, što predstavlja prekid u kolu. Promena u topologiji kola koja odgovara izdvajanju parametra kola nastaje kada pk→∞. U tom slučaju admitansa se zamenjuje kratkim spojem. Sa aspekta topologije kola eliminacija parametra ima za posledicu redukciju grana, dok ekstrakcija parametra rezultuje redukcijom broja čvorova u kolu.

Kada se razmatraju kontrolisani generatori, tada definisanje redukovane topologije zahteva uvođenje dva nova dvopola, nulator između kontrolišućeg para čvorova, odnosno noratora između kontrolisanog para čvorova. Norator i nulator su singularni rezistivni elementi sa jednim pristupom. Norator je dvopol kome nisu definisani ni struja ni napon, dok je nulator dvopol za koji su i struja i napon jednaki nuli. Na slici 1, nulator je vezan između kontrolišućih čvorova 1-1’, dok je norator vezan između kontrolisanih čvorova 2-2’. Shodno tome, ekstrakcija parametra nekog od kontrolisanih generatora obavlja se u toku narednih koraka analize kada se formira paralelna veza između nulatora i noratora.

Nakon svake ekstrakcije parametra dobija se kolo koje je opisano sa jednom promenjivom manje, odnosno čiji je admitansni red umanjen za jedan, jer je smanjen broji činilaca u svakom od sabiraka u analitičkom izrazu funkcije kola.

1

1'

2

2' Slika 1. Predstavljanje kontrolisanog generatora čiji je parametar

pk→∞

Prilikom rekurzivnog postupka analize topologije formira se stablo koje odgovara topološkom dijagramu odluke, TDD.

U analizi kola javljaju se tri tipa elemenata kola sa dva pristupa: admitansa, norator i nulator. Rezultat paralelne veze između ovih elementa kola data je u Tabeli I. Paralelna veza između dva noratora ili između dva nulatora daje kolo koje ne može da se analizira, a to praktično znači da sistem jednačina koji opisuje dato kolo nema regularno rešenje.

TABELA I Paralelna

veza

Nema resenja

Nema rešenja

Paralelna veza nulatora i noratora rezultuje sa kratkim spojem, stim što analitički izraz funkcije kola menja znak ukoliko se smer struje noratora ne poklapa sa usmerenjem napona nulatora.

3. TOPOLOŠKI DIJAGRAM ODLUKE

Topološki dijagram odluke TDD predstavlja grafičku interpretaciju analitičkog izraza imenioca ili brojioca funkcije kola. Svakom od čvorova u dijagramu pridružen je određeni opis kola. Termin čvor u dijagramu, odnosi se na čvor grafa i treba ga razlikovati od čvora u kolu. Istovremeno svakom od ovih opisa kola odgovara analitički izraz koji je definisan samim stablom. Da bi se smanjila mogućnost zamene pojmova, u daljem tekstu čvorove koji se odnose na graf označićemo sa ČG, dok ćemo čvorove kola označavati sa ČK.

Dijagram se generiše rekurzivnim postupkom redukcije kola koja se sastoji od operacije ekstrakcije i eliminacije određenog parametra kola. Početni opisa kola čija je funkcija H(s) predstavlja početni čvor grafa TDD, tako da je na slici 2 taj ČG označen slovom H. Razmatranjem jednog parametra pk, generišu se dva nova kola kojima odgovaraju funkcije H(pk→∞) i H(pk=0), odnosno, odgovarajući čvorovi grafa TDD. U navedenim funkcijama sadržane su komponente N∞k,i D∞k, odnosno N0k, i D0k iz izraza (4). Ovaj korak generisanja dijagrama predstavlja redukciju topologije kola (H), s obzirom da se u novoformiranim kolima (H(pk→∞) i H(pk=0)) taj element više ne javlja.

H

pk

1

H(p )k→∝

H(p 0)k→

Slika 2. Redukcija topologije kola

Kolo koje je dobijeno eliminacijom parametara (pk=0) ima isti admitansni red (isti broj čvorova kola) odnosno, odhgovarajući čvor grafa nalazi se na istom nivou dijagrama. Kolo koje je dobijeno ekstrakcijom (pk→∞) parametra ima admitansni red za jedan manji u odnosu na početno kolo, odnosno broj činilaca u svakom od sabiraka umanjen je za jedan.

Granama dijagrama dodeljuju se simboli parametara kola (za kapacitivnost i induktivnost doprinos odgovarajućeg elementa, sC odnosno 1/sL). Parametri ovih kola mogu da predstavljaju i sumu parametara elemenata u kolu koje nije redukovano, s obzirom da se paralelna veza admitansi tretira kao jedan element, a odgovarajući parametar jednak je sumi parametara pre spajanja. Od značaja je da se tokom analize kola obavi što više spajanja elemenata jer to dovodi do kompaktnijeg izraza funkcije kola.

Prikaz celog dijagrama u opštem slučaju dat je na slici 3

gde su: (i)jH funkcije kola na nivou i, (i)

jp parametri

elementa kola na istom nivou, i=1,...,n, j=1,...,mi gde je n broj čvorova celog kola, mi broj ČD na nivou i. Dijagram se završava terminalnim čvorom koji predstavlja kolo svedeno na jedan čvor. Terminalnom čvoru dodeljuje se vrednost 1.

U slučaju da ekstrakcija i/ili eliminacija dovede do paralelne veze dva ili više nulatora, a isto važi i za noratore, to znači da se došlo do terminalnog čvora u TDD grafu, čija je vrednost 0, jer ne postoji ni jedan sabirak u funkciji kola koji bi odgovarao takvoj topologiji.

Generisanje simboličkog izraza funkcije kola iz TDD dijagrama obavlja se polazeći od dna stabla ka vrhu, pri čemu

39

se, za svaki od čvorova stabla, generiše odgovarajući analitički izraz na sledeći način:

(i)j

k

j

)(ij

(i)l l

l

l

lpHH

1

1∑=

−= (5)

gde su (i)jl

p parametri kola )(H il , kl broj parametara po

kojima se obavlja redukcija kola i=1,...,n. l=1,...,mi.

H1(n-1)

H

H1(2) Hm

(2)

n-1

n

Hm(n-1)

2 3

p1 npm(n)(n)

n

p1(3) pm

(3)

p1(2)

3

pm(2)

2

p1(n-1) pm

(n-1)n-1

Slika 3. Konstrukcija TDD-a

4. OPTIMALAN REDOSLED REDUKCIJE ELEMENATA KOLA

Skup parametara čije ekstrahovanje iz funkcije kola ne daje ostatak, odgovara skupu grana koje su incidentne sa jednim ili većim brojem čvorova kola. Za dobijanje najkompaktnijeg faktorizovanog izraza funkcije kola potrebno je odrediti najmanji skup grana incidentnih sa jednim čvorom kola [8].

Radi jednostavnijeg opisa postupka, razmotrimo slučaj u kome su sve grane incidentne sa čvorom T, admitanse, kao što je prikazano na slici 4.a.

Razmotrimo primer u kome redukcija topologije, odnosno konstrukvija TDD počinje od čvora T iz potkola N1 sa slike 4. Redukcijom parametara iz grana koje su incidentne odabranom čvoru kola (ČK), dobija se u topološkom dijagramu odluke skup k novih ČG na nižem nivou. U opštem slučaju, sva potkola koja se pojavljuju na nižem hijerarhijskom nivou imaće sličnu topologiju, prikazanu na slici 4 b.

Kola koja odgovaraju novim ČG u dijagramu imaće isti broj ČK, a razlikovaće se samo u granama koje povezuju ČK susedne eliminisanom čvoru kola. Broj novih grana ili onih koje su promenile sadržaj, u svakom od novodobijenih kola, iznosi maksimalno k-1 ukoliko je k broj ekstrahovanih parametara.

Početni čvor T, zajedno sa incidentnim granama i granama između susednih ČK, tretira se kao posebno potkolo, N1 u kome je jedini interni ČK upravo čvor T, dok svi susedni čvorovi ovom čvoru, predstavljaju granične čvorove za potkolo N1. Granični čvorovi označeni su na slikama 4.a i 4.b sa T1,...,Tk gde je k broj incidentnih grana internog čvora.

Da bi se u punoj meri iskoristila sličnost koja postoji u opisu novodobijenih kola, nakon redukcije čvora T, predlaže se postupak po kojem se nastavlja sa ekstrakcijom onih grana koje se nalaze u delu kola koji nema zajedničke elemente. Praktično, to znači da treba nastaviti analizu po parametrima koji se nalaze u podmreži N1, a ne sa parametrima iz podmreže N2, na čiju topologiju ne utiče redukcija

parametara iz podmreže N1. Postupak eliminacije grana nastavlja se sve dok se ne eliminišu sve grane koje povezuju ČK susedne eliminisanom čvoru.

T1T2

Tk-1Tk

N2

N1

T

Y1

Y2

Yk-1

Yk

T1T2

Tk-1Tk

N2

N1

a) b) Slika 4. a) Potkolo u okolini čvora T b) Topologija kola dobijenih nakon eliminacije incidentnih grana internog čvora T

Grane koje povezuju granične čvorove, a koje su po prirodi noratori ili nulatori, ne uzimaju se u razmatranje prilikom ekstrakcije parametara, odnosno ovi elmenti ostaju do završetka analize potkola N1 i njihovi incidentni čvorovi se međusobno ne mogu povezati. Ukoliko u kolu postoje kontrolisani generatori koji povezuju granične čvorove, svaki od njih će, nakon ekstrakcije parametra, dodati norator između odogovarajućeg para graničnih čvorova.

Nakon završenog postupka analize jednog potkola dobijaju se redukovane topologije na nižem hijerarhijskom nivou u TDD. U njima nema grana admitansi između graničnih čvorova, dok će određeni ili svi ČK ovih grana, na kraju analize biti svedeni na jedan čvor. Sva ova kola su zajednička za početni skup čvorova TDD i u toku dalje konstrukcije stabla, analiziraju se uzajamno nezavisno, odnosno polazi se od čvora sa minimalnim brojem incidentnih grana.

Analiza potkola N1 daje isti broj novih kola nezavisno od broja grana koje povezuju granične čvorove Ti. U dva granična slučaja između ovih čvorova nema ni jedne grane kola, odnosno svaki par graničnih čvorova povezan je granom. Bolji rezultat sa stanovišta kompaktnosti izraza za funkciju kola dobija se ukoliko analizirano potkolo sadrži više grana za isti broj graničnih čvorova, obzirom da se u tom slučaju, značajnije smanjuje broj grana kola nakon završene analize.

Jedno od ograničenja predloženog redosleda ekstrakcije parametara jeste da interni čvor nije kontrolišući čvor nekog od kontrolisanih generatora. Ukoliko ovaj uslov nije ispunjen, nakon ekstrakcije parametara grana internog čvora, pored promena u topologiji analiziranog potkola, menja se i opis odgovarajućeg kontrolišućeg generatora koji je izvan njega. Nastale promene u opisu novodobijenih kola bi se morale uzeti u obzir prilikom dalje analize kola.

Polazeći od činjenice da je kriterijum za izbor čvora kola koji se eliminiše minimalan broj incidentnih grana, ne bi trebalo očekivati da broj novih kola koja se generišu tokom analize potkola u okolini čvora, N1, bude suviše veliki.

5. PRIMER

Postupak je ilustrovan na kolu neinvertujućeg pojačavača prikazanog na slici 5. Model operacionog pojačavača je dat na slici 5.b.

40

outin Ga Gb

Gc

Gd

a)

C1

R1gm1V1

R0

Ri1

Ri2

Rii

12

3

4

V2V1

++ 2

3

4

m2V2g

b)

Slika 5. a) Kolo neinvertujućeg pojačavača b) model operacionog pojačavača

TDD koji odgovara imeniocu u izrazu za naponsko pojačanje prikazan je na slici 6. Grane TDD izražene su u funkciji od elemenata kola na sledeći način:

Y1=1/Rii; Y2=Ga+Gb+1/Ri1; Y3=Gc+1/Ri2; Y4=Gd; Y5= sC1+1/R1; Y6= 1/R0.

Slika 6.a. prikazuje TDD generisan osnovnim algoritmom [7, 8, 9]. Očigledno je da generisanje algebarskog izraza zahteva 11 operacija množenja (ukupan broj ČG) i 10 sabiranja (broj sabiraka koji proističe iz paralelnih grana u osnovnom kolu (4) + broj granjanja (4) + broj sabiraka koji proističe iz paralelnih grana (2)). Na slici 6.b. prikazan je TDD dobijen modifikovanim algoritmom opsianim u prethodnom odeljku ovog rada. Analitički izraz dobijen na osonovu prikazanog grafa sadrži 9 množenja i 10 sabiranja. Iako se radi o relativno malom kolu, broj množenja smanjen je za oko 20%. Kod složenijih kola pozitivni efekti modifikovanog algoritma znatno su više izraženi.

Y1 Y2

Y +Y2 3 Y4 Y3 Y4

Y5Y5 Y5

Y6Y +Y4 6

Y +Y4 6

D

gm1

gm2

Y5

Y6

Y1 Y2

Y +Y2 3 Y3 gm1 Y4

Y5

Y +Y4 6 Y6

Y4Y5

gm2

1

1 P1

P2

D

a) b)

Slika 6. Topološki dijagrami odluke imenioca funkcije kola a) bez i b) sa poboljšanim izborom redosleda ekstrakcije grana kola

6. ZAKLJUČAK

Primenjeni redosled redukcije parametara kola polazi od činjenice da je do promene topologije kola došlo u neposrednoj okolini grana koja su eliminisane u prethodnom koraku redukcije kola. Sasvim prirodno se nameće kao najbolje rešenje da se iskoriste preklapanja koja postoje u opisima novodobijenih kola, odnosno u izrazima funkcija kola, redukcijom parametara onih grana kola čije su vrednosti promenjene u toku prethodnog koraka redukcije.

ZAHVALNOST

Ovaj rad delimično je finansiran sredstvima Ministarsva za nauku i zaštitu životne sredine Republike Srbije u okviru projekta TR6108B.

LITERATURA [1] Marwan M. Hassoun, Pen-Min Lin “A hierarchical network

approach to symbolic analysis of large-scale networks” IEEE Trans.Circuits Syst., vol. 42, pp. 201-211, April 1995.

[2] S.J. Jou, M. F. Perng, C. C. Su and C. K. Wang, "Hierarchical Techniques for symbolic analysis of large electronic circuits" IEEE Inter. Symp. Circuits and Systems, pp.21-24, June 1994.

[3] X.-D.Tan and C.-J.Shi, “Hierarchical symbolic analysis of analog integrated circuits via determinant decision diagrams,” IEEE Trans.Computer-Aided Design, vol. 19, pp. 401-412, Apr. 2000.

[4] C.-J.Richard Shi, and Xiang-Dong Tan, “Compact Representation and Efficient Generation of s-Expanded Symbolic Network Functions for Computer-Aided Analog Circuit Design,” IEEE Trans. Computer-Aided Design, vol. 20, pp. 813-827, Jul. 2001

[5] A. Konczykowska and J. Strzyk, “Computer analysis of large signal flowgraphs by hierarchical decomposition method,” in Proc. European Conf. Circuit Theory Design, ( Warsaw, Poland) , 1980, pp. 408-413.

[6] Marwan M. Hassoun, Kevin S. McCarville “Symbolic analysis of large-scale networks using a hierarchical signal flowgraph approach” J.Analog VLSI Signal Process., vol. 3, pp. 31-42, Jan. 1993.

[7] S. Đorđević and P. M. Petković, ”Generation of Factorized Symbolic Network Function by Circuit Topology Reduction”, Proceedings of MIEL'04, Niš, 2004 pp. 773-776.

[8] Đorđević, S., Petković, P., "A Modified Method For Symbolic Network Function Extraction Based On Circuit Topology Decision Diagram", Proc. of the XLIX Conf. of ETRAN, ETRAN 2005, Vol. I, pp. 103-106, June 2005, Budva, in Serbian.

[9] S. Đorđević and P. M. Petković, “Reordering in Topology Decision Diagram Method for Symbolic Circuit Analysis” Proceedings of MIEL'06, Niš, 2006,Accepted paper.

[10] Đorđević, S., Petković, P, “Generation of Factorized Symbolic Network Function by Circuit Topology Reduction”, Proceedings of MIEL'04, Niš, 2004 pp. 773-776

Abstract – This paper describes improvements made in Topology Decision Diagram (TDD) method for symbolic analysis introduced recently by the same authors. Careful ordering of extracted parameter during TDD construction results with symbolic function in very compact, nested, form. This compactness explores full benefits when circuit function is used for numerous computations within optimization loops or similar applications. Then, even modest reduction in number of arithmetic operations may have considerable impact because

IMPROVED REORDERING METHOD IN TOPOLOGY DECISION DIAGRAM BASED

SYMBOLIC ANALYSIS

Srđan Đorđević, Predrag Petković

41