VIII / 1

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL:

Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos

1.- Ángulo que forman dúas rectas

O ángulo de dúas rectas que se cortan se define como o menor dos ángulos que forman no plano

que determinan.

O ángulo de dúas rectas que se cruzan, é o ángulo formado por dúas rectas secantes paralelas ás

dadas.

Se u e v son vectores direccionais das rectas r e s,

dependendo do sentido dos vectores de dirección das rectas,

podemos considerar os ángulos ou .

Para asegurarnos que non tomamos o ángulo

obtuso, basta esixir que o coseno sexa non negativo, é dicir

tomalo en valor absoluto:

|v|.|u|

|vu| = vu

),(coscos

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

332211

vvvuuu

vuvuvucosarc

20cosarc

,,|v|.|u|

|vu|

Expresión vectorial Expresión analítica

Dúas rectas son perpendiculares cando 0 vu 0332211 vuvuvu

Dúas rectas son paralelas cando uv 3

3

2

2

1

1

v

u

v

u

v

u

2.- Ángulo que forman dous planos

Dous planos secantes forman no espazo catro ángulos diedros iguais dous a dous. Defínese o

ángulo de dous planos secantes, como o menor dos ángulos diedros que determinan.

Segundo o sentido dos

vectores normais aos planos,

coincidirán ou non os ángulos

formados polos planos ',

e os formados polos vectores

n

e 'n

)(coscos)(cos 'n,nαπ'π,

)(coscos)(cos 'n,nαπ'π,

VIII / 2 Matemáticas II XEOMETRÍA

polo tanto:

')(coscos

nn

'nn = 'n,nα

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

CBACBA

CCBBAAαcos

20

'

'cos

π,α,

nn

nn = arcα

Expresión vectorial Expresión analítica

Dous planos son perpendiculares cando 00 212121 CCBBAA' nn

Dous planos son paralelos cando 'nn

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A

3.- Ángulo que forman unha recta e un plano

O ángulo dunha recta e un plano defínese como o ángulo que forma a recta coa proxección desta

sobre o plano.

Sexa r’ a proxección da recta r sobre o plano , e sexan u o vector de dirección de r e n o vector

característico ou normal do plano .

)(cos2

cos n,u-απ

αsen

)(cos)(cos

2cos n,un,u-α

παsen

e polo tanto,

nu

nu = n,uαsen

)(cos

2222

3

2

2

2

1

321

CBAuuu

CuBuAuαsen

20

π,α,

nu

nusen arcα

Expresión vectorial Expresión analítica

Unha recta e un plano son perpendiculares cando nu

C

u

B

u

A

u 321

Unha recta e un plano son paralelos cando 0 nu

0321

CuBuAu

ÁNGULOS, PERPENDICULARIDADE DE RECTAS E PLANOS VIII / 3

EXERCICIOS

1. Considerado o plano : 02 zax

i) Discutir, segundo os valores do parámetro a, a súa posición relativa respecto a OXY

ii) Calcular o valor ou valores de a para que a recta normal (perpendicular) a pasando pola

orixe forme co plano OXY un ángulo igual a 3/ .

2. Discutir, segundo os valores de m a posición relativa do plano: 2x+my-4z+2m=0 e a recta

definida por

1

2

1

z = t+

t y =

x = t+

. Calcular, se é posible, os valores de m para que o plano e a recta for-

men un ángulo de 6/ .

3. Quérese atar unha corda que pasa por unha argola, situada no punto A(2, 1, 1), a dous postes r

e s de ecuacións: zyx

s;

t+z =

y = t

x = t+

r

2

2

12

1

1

de modo que a lonxitude da corda emprega-

da sexa a menor posible.

a) Achar os puntos B sobre r e C sobre s aos que debe atarse a corda

b) ¿Que ángulo forman as rectas AB e AC?

4. a) Achar a ecuación da recta que pasando polo punto (1, 2, 3) forme ángulos iguais cos eixes

coordenados.

b) Achar a ecuación do plano que pase polo punto (2, 4, 2) e conteña á recta do apartado a).

5. Dadas as rectas zy+x

r

1

1

3

2 e

452

12

z=yx

y+z= xs

i) Estuda a súa posición relativa

ii) Determina a ecuación implícita do plano que as contén

iii) Calcula o ángulo que forman as rectas.

6. Considérese a recta r de R3 de vector director (1, 1, 0) que pasa pola orixe. Escribir as

ecuacións paramétricas de tódalas rectas que pasan pola orixe, están contidas en x - y = 0 e

forman, ademais, un ángulo de 60º con r.

7. Sexan A(-3,4,0), B(3,6,3) e C(-1,2,1) os tres vértices dun triángulo:

a) Calcula a ecuación do plano que contén ao triángulo.

b) Calcula o coseno de cada un dos tres ángulos do triángulo.

c) Calcula a área do triángulo.

8. Dada a recta r de ecuación 12

12

z=

y=x e o plano de ecuación 0632 zyx :

a) calcular o ángulo que forman a recta r e o plano .

b) determinar a ecuación continua da recta s, proxección ortogonal de r sobre o plano .

9. Dado o plano 042 = x + π e a recta 03 y,zxr

a) Determinar a súa posición no espazo

b) Calcular, se existe, o punto P intersección de e r.

c) Achar o ángulo que forman e r.

d) Dado o punto Q(2, 0, -1) de r, achar o seu simétrico respecto do plano e a ecuación da

recta simétrica a r respecto de .

10. Considera a recta r do espazo dada polas ecuacións:

0

0)1(

zx

zyxa onde a é un

parámetro e a recta r', que ten (1, 2 , -1) como vector director e pasa por (b, -2, c). Determi-

na os valores de a,b e c tales que r e r' se corten na orixe formando un ángulo de 45º.

VIII / 4 Matemáticas II XEOMETRÍA

11. Acha a ecuación do plano que contén á recta r e é paralelo á recta s; sendo

y = z = xs;zx

z yr

2010

83

42

Determina o punto de corte do plano anterior con cada unha das rectas bisectrices dos ángulos

formados por dous dos eixes coordenados.

12. Considéranse as rectas

02

02

012

01

zy

z x: s;

zy

x:r e o plano , que pasa polos

puntos A(1, 0, 2), B(2, 1, 2) e C(1, 0, 1).

I) Dar a ecuación xeral ou implícita de

II) Unha das dúas rectas corta a . Determinala e achar o punto de corte con

Calcular o seno do ángulo que forman dita recta e o plano

III) Comprobar que a outra recta é paralela a . Calcular a ecuación xeral do plano que a contén

e é paralelo a .

13. Nunha zona cha, de nevadas frecuentes, preténdese construír unha

casa cunha planta segundo o esquema adxunto.

Para o tellado, optase por facelo a unha soa auga (¡formando un pla-

no!), e as alturas con respecto ao chan escollidas son: 2 metros en A e

B, e 10 metros en C.

a) Determinar a altura do tellado en D.

b) Determinar que ángulo forma a perpendicular ao tellado coa per-

pendicular ao chan.

14. Nun cubo, calcula o ángulo que forma a recta BC coa recta que une B co punto

medio do lado AD

15. Dadas as rectas

12

12

xz

xy:r e 2

2

3

2

3

z

yx:s , encontra unha recta

bisectriz de r e s (unha recta bisectriz de outras dúas pasa polo punto de intersección de estas, está

no mesmo plano que elas e forma o mesmo ángulo con ambas).

16. Supoñer que o plano coordenado z=0 é un espello (reflectinte en ambas caras). Desde A(3,2,4) parte

un raio de luz, que reflectíndose no espello, ilumina o punto B(0,-1,2)

a) ¿En que punto do espello debe incidir o citado raio?

b) Achar a ecuación xeral do plano que contén aos raios incidente e reflectido.

17. A base dunha pirámide é un cadrado ABCD de 2 metros de lado, e o seu vértice, V, está situado a

unha altura de 3 metros sobre o centro da base. Calcular o ángulo que forman os planos ABV e

BCV.

B01. a) Definición e cálculo do ángulo que forman dúas rectas. Condición de perpendicularidade.

b) Determínese o ángulo que forman a recta r e o plano de ecuacións:

zyx

:rzyx:

133

216226

B08. Estudar a posición relativa das rectas r e s, e calcular o ángulo que forman.

λx

λy

λxzyx

r: s:34

23

3

432

1

B10. Considérese, no plano, o triángulo de vértices A(2,0), B(0,1) e C(-3,-2). Calcular os ángulos e a área

deste triángulo

ÁNGULOS, PERPENDICULARIDADE DE RECTAS E PLANOS VIII / 5

B16. A. Ángulo que forman dúas rectas.

B. Determine o ángulo que forman a recta r, que pasa polo punto (1,-1,0) e tal que o seu vector di-

rector é v

=(-2,0,1) e a recta s de ecuación:24

6

4

7 zyx

B20. Determine o vector (ou vectores) unitarios v=(a,b,c) (con a>0, b>0, c>0), que forman un ángulo de

6/ radiáns co vector u=(1,1,1) e un ángulo de 4/ radiáns con w=(2,0,2)

B21. A. Deduza as ecuacións vectorial, paramétricas e implícita (ou xeral) dun plano determinado

por un punto e dous vectores directores.

B. Dados os puntos P=(3,4,1) e Q=(7,2,7), determine a ecuación xeral do plano que é perpendicular

ao segmento PQ e que pasa polo punto medio dese segmento

B24. A. Ángulo que forman unha recta e un plano

B. Determine o ángulo que forman o plano 0432 zyx: e a recta

1223

02

zy

yx:r

B28. A. Ángulo que forman dúas rectas. Condición de perpendicularidade

B. Determine o ángulo que forman a recta que pasa polos puntos A=(1,0,-1) e B=(0,1,-2) e a recta

de ecuación 1

2

2

1

zyx

B33. A. ¿Que condición deben cumprir os coeficientes das ecuacións xerais de dous planos para que

estes sexan perpendiculares?

B. Ache o ángulo que forman os planos 02 zyx: e 112 zyx: