VEROVATNOA SLUAJNOG DOGAAJA

SLUAJNI DOGAAJI-ALGEBRA DOGAAJA

Pojam verovatnoe vezujemo sa realizacijama nekog eksperimenta. Ove realizacije nazivamo elementarnim dogaajima ili kratko dogaajima.

Da bi se eksperiment mogao obraditi statistikim metodama, on mora da bude:

teoretski ponovljiv proizvoljan broj puta, da su svi njedovi ishodi unapred definisani i ishod pojedinanih eksperimenta nije nam unapred

poznat.

Primer: Bacanje novia moemo ponavljati proizvoljno mnogo puta , mogui ishodi eksperimenta su grb i pismo. Situacije da novi padne na bok, ili da se izgubi se ne belee.

Za dogaaj kaemo da je sluajan, kada rezultat nekog eksperimenta ne moe da se pouzdano predvidi.

Primer: Pol deteta ili pojava grba pri bacanju novia su sluajni dogaaji.

Neki dogaaji dogaaju se prilikom svake realizacije eksperimenta i njih zovemo sigurnim dogaajima. Dogaaji koji se ne mogu pojaviti pri realizaciji eksperimenta zovu se nemogui dogaaji.

Primer: Dogaaj da kada bacamo kocku za igru i padne bilo koji broj od jedan do est je siguran dogaaj, a da padne broj 7, je nemogu dogaaj.

Definicija: Svaki mogui ishod eksperimenta nazivamo

elementarnim dogaajem. Skup svih elementarnih dogaaja, odnosno skup

svih ishoda eksperimenta je siguran dogaaj Svaki podskup skupa naziva se dogaajem.

Dogaaje obeleavamo velikim slovima A,B,C.........

Nemogu dogaaj obeleavamo kao prazan skup

Primer: U eksperimentu bacanja jednog novia ishodi su G i P ( grb ili pismo ). Dakle

Primer: U eksperimentu bacanja kocke ishodi su 1,2,3,4,5,6. Dakle

{ },G P =

{ }1,2,3,4,5,6 =

Izmeu dogaaja i skupova postoji analogija koja omoguava da se relacije izmeu dogaaja izraze pomou realcija odgovarajuih skupova.

Ako su A i B dogaaji, tada: dodaaj A ili B oznaavamo sa dodaaj A i B oznaavamo sa dodaaj A, ali ne B oznaavamo sa suprotan dogaaj dogaaju A obeleavamo sa

gde se komplement posmatra u odnosu na Ako dodaaj A povlai ( implicira ) dogaaj B,

tada kaemo da je

A BA B

\A B

A B

A

Neki sluajni dogaaji mogu da se iskljuuju, odnosno ne mogu se realizvati istovremeno. Takvi dogaaji se zovu disjunktni dogaaji.

Primer: Dogaaji da se na gornjoj strani kocke pojavi broj pet, odnosno paran broj su disjunktni dogaaji.

Primer: Dogaaja koji se sastoji da se na kocki pojavi broj vei od tri ili drugog koji se sastoji u pojavi parnog broja je dogaaj koji se sastoji u pojavi brojeva 2,4,5 ili 6.

Primer: Dogaaj koji se sastoji u pojavi parnog broja na gornjoj strani kocke i dogaaja da se pojavi broj vei od tri je .

{ } { } { }2,3,5,6 2,4,6 2,4,5,6=

{ } { } { }2,4,6 4,5,6 4,6=

ZADACI1. Odrediti suprotne dogaaje dogaajima:

pojava dva grba pri bacanju 2 dinara, pojava bele kuglice prilikom izvlaenja jedne

kuglice iz kutije u kojij se nalaze 2 bele, 3 crne i 4 crvene kuglice,

tri pogotka u tri gaanja, makar jedan pogodak u pet gaanja, ne vie od dva pogotka u pet gaanja.

Reenje: - pojava bar jednog pisma, - pojava crne ili crvene, - bar jedan promaaj, - svih pet promaaja, - vie od dva pogotka.

2. U prodavnici se nalaze sijalice iz dve fabrike. Dogaaj da jesluajno izabrana sijalica iz prve fabrike obeleimo sa A, a da je dobrog kvalteta sa B. ta znae sledei dogaaji: ?

Reenje:- je dogaaj da je sijalica iz druge fabrike,

- je dogaaj da je sijalica iz prve ili druge fabrike,- dogaaj je nemogu,

- da je iz prve fabrike i da je dobra,

- ili da je iz prve fabrike ili da je dobra,

- da je iz prve fabrike i da nije dobra,

- da je iz druge fabrike i da je dobra.

, , , , , ,A A A AA AB A B AB AB+ +A

A A+AA

AB

A B+AB

AB

3. Meta se gaa sa tri metka. Neka je dogaaj

pogotka mete iz i-tog gaanja. Predstaviti sledee dogaaje:A-sva tri pogotka,B-sva tri promaaja, C-makar jedan pogodak,D-ne manje od dva pogotka,E-ne vie od jednog pogotka.

Reenje:

1 2 3A A A A= 1 2 3B A A A= 1 2 3C A A A= + +

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3D A A A A A A A A A A A A= + + +

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3E A A A A A A A A A A A A= + + +

, 1, 2,3iA i =

4. Navesti skup svih dogaaja za sledee eksperimente

A bacanje jednog dinara, B bacanje dva dinara,C bacanje kocke i dinara, D bacanje dve kocke,E - bacanje tri kocke.

Reenje:

D: Eksperiment bacanja dve kocke ima elementarnih dogaaja

11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66,

D:Eksperiment bacanja tri kocke ima elementarnih dogaaja.

{ }: ,A G P = { }: , , ,B GG PP GP PG ={ }: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6C G G G G G G P P P P P P =

36 216=

AKSIOME TEORIJE VEROVATNOE

Definicija:Neka je dat skup . Funkcija P naziva se verovatnoom na ovom skupu , ako vai:

Ako se dogaaji A i B meusobno iskljuuju ,

Uopteno moemo rei da je ako se dogaaj A razlae na n dogaaja koji se meusobno iskljuuju.

( ) 1P =( )0 1,P A A

( ) ( ) ( )P A B P A P B= +( ) ( )

1

n

ii

P A P A=

=

Teorema: Verovatnoa dogaaja koji je suprotan dogaaju A iznosi

Teorema: Ako je , onda je

Na osnovu definicije ne daje se nain izraunavanja verovatnoe.

A

( ) ( )1P A P A= A B ( ) ( )P A P B

Klasina defnicija verovatnoe Klasinu definiciju verovatnoe dao je markiz P. Laplas (

1749-1827 ), francuski matematiar i astronom.

Definicija: Neka skup sadri n elementarnih dogaaja koji disjunktni i jednako mogui. Ako skup A sadri m elementarnih dogaaja,onda je verovatnoa jednaka

gde je m broj svih povoljnih ishoda dogaaja A, n je broj svih moguih ishoda dogaaja A.

( ) mP An

=

Primer: Kolika je verovatnoa da prilikom bacanja novia padne grb.

( ) 12

P A =

Napomena: Klasina definicija verovatnoe ima nedostatke.

Prvo, u njenoj definiciji koriste se jednako verovatni dogaaji. Ako neznamo ta je verovatnoa, neznamo ni ta su jednako verovatni dogaaji. Znai, verovatnoa definisana verovatnoom.

Drugo, klasina definicija zahteva da skup elementarnih dogaaja bude konaan, to u praksi nije uvek sluaj. Tree, potrebno je znati skup svih i skup povoljnih dogaaja A to u praksi takoe nije uvek mogue.

Meutim, ova definicija i pored svojih nedostataka dovela je do drugih, preciznijih, definicija verovatnoe.

ZADACI:

U eksperimentima iji su ishodi jednako verovatni, potrebno je ih prebrojati , pa se u ovim zadacima koristimo kombinatorikom.

1.Ako se kocka za igru baci jednom, kolika je verovatnoa pojave a) parnog broja, b) pojave broja taaka koji je manji od 5.

Reenje:a) Neka je A dogaaj da padne paran broj. U tom sluaju je

b) Dogaaj da se pojavi broj taaka koji je manji od 5 je suprotan dogaaju da je broj taaka vei ili jednak 5.

2 4 6A A A A= + +( ) ( ) ( ) ( )2 4 6 1 1 1 16 6 6 2P A P A P A P A= + + = + + =

( ) ( ) ( )( )5 6 1 1 21 1 6 6 3P B P A P A = + = + =

2. Iz kutije koja sadri n razliitih kuglica izvlaimo k puta po jednu kuglicu sa vraanjem posle svakog izvlaenja. Na koliko naina to moemo uiniti?

Reenje:Na osnovu pravila proizvoda broj naina je a to su i varijacije sa ponavljanjem k-te klase od n elemenata

k

k

n n n n =

n kkV n=

3. Iz kutije koja sadri n razliitih kuglica izvlaimo k puta po jednu kuglicu bez vraanja. Na koliko naina to moemo uiniti?

Reenje:To su i varijacije bez ponavljanja k-te klase od n elemenata

( ) ( )1 1nkV n n n k= +

4. Problem roendana. Koja je verovatnoa da da u drutvu od n osoba postoje bar dve koje su roene istog dana u godini.

Reenje:Problem treba reiti kao suprotan dogaaj, dogaaju da svi imaju razliit datum roenja

( ) ( ) ( )365 364 365 11 1365n

nP A P A

+= =

Primeri za vebu1. Bacamo 3 novia jedan za drugim. Nai verovatnou

da emo dobiti 2 pisma i jedan grb.2. Imamo 7 pertli razliitih boja, od kojih je jedna crvena ,

a jedna zelena. Nai verovatnou da e crvena i zelena pertla biti jedna pored druge, ako se pertle reaju na sluajan nain a) na prav konac, b) u krug.

3. U pakovanju od n proizvoda ima m neispravnih. Nai verovatnou da se u uzorku od r sluajno izabranih proizvoda nae k neispravnih.

4. est kuglica rasporeeno je nasumice u 12 kutija. Nai verovatnou da je tano 10 kutija prazno.