Raspodjele OPTIPLAPOK 2012 - unizg.hr · • Hipergeometrijska (složene kombinacije) • Binomna (Bernoulli-jev događaj) • Poisson-ova (zakon rijetkih događaja, potok događaja)

H. CajnerOptimiranje i planiranje pokusa 2012

Raspodjele podataka

• Raspodjele podataka za diskretna obilježja• Raspodjele podataka za kontinuirana obilježja• Teorijske raspodjele podataka



Raspodjele (diskretna obilježja)

• Hipergeometrijska (složene kombinacije)

• Binomna (Bernoulli-jev događaj)

• Poisson-ova (zakon rijetkih događaja, potok događaja)


Hipergeometrijska raspodjela• proizlazi iz dvoslojnog skupa - složene kombinacije – skup od N

elemenata sadrži podskup elemenata sa svojstvom A i podskup elemenata sa svojstvom Ā

n

x el A (n-x) el Ā

UZORAK

N

M (A) N-M (Ā)

SKUP


nN

n-x

MNx

M

P(x)

• funkcija vjerojatnosti hipergeometrijske raspodjele:

parametri: M, N i n

- n – veličina uzorka

NMMNxn

Mx

1 Nn, M, N ..., N

21

• očekivana vrijednost: NMnxE

);(

• varijanca: 1

1 ];)[( 222

nnN

NM

NMnxE


543210

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

543210

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

N=10; M=5

X

Pro

bab

ility

N=10; M=3

N=50; M=5 N=50; M=3

Hypergeometric; n=5

• utjecaj parametara na oblik hipergeometrijske raspodjele:


Binomna raspodjela

• Bernoulli-jev događaj – samo dva ishoda- vjerojatnost događaja se ne mijenja i iznosi p- vjerojatnost q=1-p- nezavisni pokušaji (slučajno uzorkovanje)- broj pokušaja (veličina uzorka), n

p

A Ā

(1-p)=q

UZORAK n - elemenata

• broj N (elementi skupa) teži u beskonačnost – podvrsta hipergeometrijske


• funkcija vjerojatnosti binomne raspodjele B (n, p):

,...n,xqpxn

P(x) xnx 10,)(

za parametri: n, p

• očekivana vrijednost (aritmetička sredina): pnxE )(

• varijanca: qpn 2

• koeficijent asimetrije:

• koeficijent zaobljenosti:

qpn

q-pM

3 33

qpnqpM

613

44 4

- distribucija će biti uvijek asimetrična ako nijep=q=0,5


• utjecaj parametara n i p na oblik binomne raspodjele:

76543210

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

bab

ility

Binomial; n=10; p=0,2

1086420

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

XP

rob

abili

ty


11109876543

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

bab

ility


543210

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

bab

ility


76543210

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

bab

ility


121086420

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

XP

rob

abili

ty

Distribution PlotBinomial; n=20; p=0,2


• ‘Galtonova’ daska – binomni eksperiment– kuglicu spuštamo na čavliće koji su složeni u pravilnu trokutastu rešetku– padom na čavlić kuglica može skrenuti na lijevo ili desno (berouli-jev događaj)– daska je pravilna te su ishodi jednako vjerojatni p=0.5– n – broj redova čavlića

Link


– primjer ‘Galtonove’ daske sa n=4 reda čavlića:

- slučajna varijabla poprima vrijednost:0 - za jedan ishod1 - za 4 ishoda2 – za 6 ishoda3 – za 4 ishoda4 – za 1 ishod

- općenito:


• primjer 1. binomne raspodjele:Primjer: Svaki izuzeti uzorak vode ima vjerojatnost da je kontaminiran otpadnom

tvari u iznosu od 10% . Pretpostavimo da se uzroci uzimaju nezavisno s obzirom na prisustvo otpadnih tvari. Potrebno je pronaći:

a) Vjerojatnost da će u 18 izuzetih uzoraka biti točno 2 uzorka kontaminirana?

284,0)2(

9,01,02

18)2(

181,0

162

xP

xP

np

vjerojatnost da će biti točno 2 kontaminirana uzorka

b) Vjerojatnost da će od 18 uzoraka biti barem 4 kontaminirana?

0,1 ; 18( 4) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3)( 4) 1 [ ( 4)] 0,098

p nP x P x P x P x P xP x P x


- grafički prikaz (binomna raspodjela):

76543210

76543210

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

bab

ility

20 6

0,284


a)

76543210

76543210

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

XP

rob

abili

ty

40

0,0982


b)


• primjer 2. primjene binomne raspodjele:Primjer: Rad jednog automata kontrolira se uzorcima od 15 proizvoda. U svakom uzorku se ustanovljuje broj defektnih proizvoda. Budući da je uzeto 200 uzoraka, dobiveni rezultati su dani kroz tablicu. Potrebno je pronaći adekvatnu raspodjelu po kojoj se ponašaju podaci te vjerojatnost pojave ne više od 2 defektna u uzorku. x 0 1 2 3 4 5 6

fi 77 81 31 7 2 1 1

6543210

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

xi

Freq

uen

cy

Histogram of xi

- radi se o Binomnoj raspodjeli (n konačan):

061,0;15;915,0 nxpnx

9876543210

9876543210

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

bab

ility

2

0,941

4


941,0)2();2(

)1()0()2(

939.0061,015

)( )15(

xPxP

xPxPxPx

xP xx


xn P(x)x px q(n-x) P(x)

0 1 1 0,389031 0,389031 0,389031

1 15 0,061 0,414303 0,379087 0,768118

2 105 0,003721 0,441217 0,172386 0,940504

3 455 0,000227 0,46988 0,048528 0,989032

4 1365 1,38E-05 0,500405 0,009457 0,998489

5 3003 8,45E-07 0,532913 0,001352 0,999841

6 5005 5,15E-08 0,567532 0,000146 0,999987

7 6435 3,14E-09 0,6044 1,22E-05 0,999999

8 6435 1,92E-10 0,643664 7,94E-07 1

9 5005 1,17E-11 0,685478 4,01E-08 1

10 3003 7,13E-13 0,730009 1,56E-09 1

11 1365 4,35E-14 0,777432 4,62E-11 1

12 455 2,65E-15 0,827936 1E-12 1

13 105 1,62E-16 0,881721 1,5E-14 1

14 15 9,88E-18 0,939 1,39E-16 1

15 1 6,02E-19 1 6,02E-19 1

- tablica vjerojatnostiza primjer 2.


Poisson-ova raspodjela• proizlazi iz binomne r. uz određene uvjete:

• opisuje rijetke događaje (oni koji se javljaju s malom vjerojatnošću)• potok događaja – vjerojatnost promatranog događaja u vremenskom

periodu (valovi, naleti...) – odabir vremenskog perioda je bitan

vremena) (tijekom .

0

konstpnnp

• funkcija vjerojatnosti Poisson-ove raspodjele P(x):

,...n,xzaex

mP(x) mx

10,!

parametar: m=E(x)

(u literaturi se spominje i λ = parametar m)


xmpnxE )(

mxmx )(;)(2 • varijanca:

• očekivana vrijednost:

• koeficijent asimetrije:m

M 133 3

• koeficijent zaobljenosti:m

M 1344 4

• rekurzivna formula za Poisson-ovu raspodjelu:

mx

ex

mP(x) !

mx

exm)P(x

)!1(

11

xmxPP(x) )1(


• utjecaj parametra m na Poisson-ovu raspodjelu :

43210

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

bab

ility

Poisson; Mean=0,5

121086420

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Prob

abili

ty

Poisson; Mean=4

876543210

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

bab

ility

Poisson; Mean=2

- nakon pokazuje se mod – da su dvije susjedne vrijednosti istih vjerojatnosti

- kada gubi se asimetričnost i Poisson-ova raspodjela teži simetričnoj

m

1m


• primjer 1. primjene Poisson-ove raspodjele:Primjer: U slučaju tanke bakrene žice, pretpostavlja se da broj pukotina slijedi

zakon Poisson-ove raspodjele sa očekivanjem od 2.3 mikropukotine po milimetru. Potrebno je odrediti:

a) vjerojatnost da se dogodi baš 2 mikropukotine po jednom milimetru žice.- varijabla x – broj mikropukotina po mm žice

32)( ,xmxE

3,2

!3,2 ex

P(x)x

265,0!23,22 3,2

2

e)P(x

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

bab

ility

2

0,265

0 8

Distribution PlotPoisson; Mean=2,3


b) Vjerojatnost da se pojavi barem jedna mikropukotina u 2 mm žice.- varijabla x – broj mikropukotina na 2mm žice

64322)( ,,xE

6,4

!6,4 ex

P(x)x

9899,0)0(11 xP)P(x

0101,0!06,40 6,4

0

e)P(x

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

XP

rob

abili

ty10

0,9899

Distribution PlotPoisson; Mean=4,6


• primjer 2. primjene Poisson-ove raspodjele:Primjer: Tijekom drugog svjetskog rata London je gađan projektilima V1. Britance je zanimalo kako iz podataka o padanju projektila zaključiti da li je riječ o gađanju nasumce ili se cilja neka točka u Londonu.

- London je podijeljen na 576 sektora- U vremenskom periodu promatranja palo je 537 projektila

x >=43210

250

200

150

100

50

0

Val

ue

ExpectedObserved

Chart of Observed and Expected Values Poisson mean for x = 0,928819

Poisson Contributionx Observed Probability Expected Chi-Sq0 229 0,395020 226,74 0,0094791 211 0,366902 211,39 0,0005332 93 0,170393 98,54 0,2698463 35 0,052755 30,62 0,7003804 7 0,014931 7,14 0,0418605 (6,7..) 1 1,57

TEST:N N* DF Chi-Sq P-Value

576 0 3 1,02210 0,796

- podaci se ponašaju po Poisson-ovoj razdiobi!- zaključak - V1 nije imao navođenje


Raspodjele (kontinuirana obilježja)

• Normalna • Jedinična normalna• Lognormalna• Weibullova


Normalna raspodjela • prvi definirao Abraham de Moivre • upotrijebio Gauss (Gauss-ova raspodjela)• najčešće korištena raspodjela – čak 33% procesa u prirodi slijedi zakon

normalne raspodjele• funkcija gustoće vjerojatnosti f(x) – zbog kontinuiranog obilježja • nastanak normalne r. - binomni poučak (razvijanje binoma u red , A. de

Moivre)

2

21

0

21)(

50

)()(

)(...)()()(

x

xnxn

x

xxnn

n

exfP(x)

n,qp

qpxn

xPbaxn

ba

babababa

i uvjet uz

binomna r.

funkcija gustoće vjerojatnosti normalne r.


• funkcija gustoće vjerojatnosti normalne raspodjele f(x):

xexfx

- za 2

21

21)(

• očekivana vrijednost: E(x)= μ

parametri: μ i σ2(x)

• varijanca: σ2(x)

• koeficijent asimetrije: α3= 0 - simetrična razdioba

• koeficijent zaobljenosti: α4= 3 (α’4= 0) – normalno zaobljena

• svojstva funkcije gustoće vjerojatnosti f(x):

1.

2.

3.

xxf svaki za 0)(

1)( dxxf

2

121 )()(

x

xxxxPdxxf


• veza funkcije gustoće vjerojatnosti f(x) i funkcija distribucije F(x)normalne raspodjele:

2

1

)()(x

xdxxfxF


• vjerojatnosti ispod normalne raspodjele N{μ, σ2}:

• utjecaj parametara μ i σ2 na oblik normalne raspodjele:


Jedinična normalna raspodjela N{0,1}• standardizirana normalna raspodjela sa parametrima μ=0 i σ2=1• sve druge normalne raspodjele svodimo (z-transformacija) na jediničnu

normalnu raspodjelu• bilo koja vrijednost u x domeni se može prikazati kao μ ± k·σ

x

z• transformacija:


• funkcija gustoće vjerojatnosti jedinične normalne raspodjele f(z):

1;0;21)( 2

221

z

ezf

• upotrebom jedinične normalne razdiobe standardiziramo odstupanja preko parametra z:

1. |z|=1 → P(z)=0,68272. |z|=1,96 → P(z)=0,95003. |z|=2,0 → P(z)=0,95454. |z|=3 → P(z)=0,9973

• područje ±3σ koje se koristi u konstrukcijama naziva se tolerancija• danas procesi u području ±3σ više nisu dovoljno dobri pa se prelazi

na sustav od ±6σ• područje od ±6σ ima vjerojatnost pojave od 99,9999998 %


• ostale vjerojatnosti kod normalne razdiobe:


• primjer 1. primjene normalne raspodjele:Primjer: Pretpostavimo da se izmjerena jakost struje u vodiču pokorava zakonu normalne raspodjele sa očekivanjem μ=10 mA i varijancom σ2=4 mA2. Kolika je vjerojatnost da će jakost struje premašiti 13 mA?

17,515,012,510,07,55,0

17,515,012,510,07,55,0

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Den

sity

1310

Normal; Mean=10; StDev=2

06681,0)5,1(1)5,1()13(

5,12

)1013()(

zPzPxP

zxz

3210-1-2-3

3210-1-2-3

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

z

Den

sity

1,5

0,0668

0

Normal; Mean=0; StDev=1


Lognormalna raspodjela

• slučaj kada je logaritam varijable x ( ln(x) ) normalno distribuiran

anadistribuirnormalno- yx )ln(• vjerojatnosti pojave varijable x se dobivaju transformacijom varijable y

sa naznakom da je ),0( x

• ako y ima normalnu distribuciju sa očekivanjem α i varijancom β2 tada možemo napisati x=ey što je lognormalna varijabla sa funkcijom gustoće vjerojatnosti:

ostalo za

, za

0

002

1)(

22

2)(ln

βxexxf

x

• raspodjela koja dobro opisuje slučajeve: duljina trajanja proizvodnje, plaće zaposlenika...

parametri: α i β2


• utjecaj parametara na oblik lognormalne raspodjele:


• primjer primjene lognormalne raspodjele:Primjer: Životni vijek poluvodičkog lasera je lognormalno distribuiran sa očekivanjem od =10 h i standardnom devijacijom =1,5 h. Kolika je vjerojatnost da životni vijek premaši 10 000 sati?

701,0)52,0(1)10000(

52,05,1

102103,9;2103,9

);ln(;;10000);10000(1)10000(

zFxP

zx

yxeyyxPxP

x

0,000008

0,000007

0,000006

0,000005

0,000004

0,000003

0,000002

0,000001

0,000000

XD

ensi

ty10000

0,701

0

Lognormal; Loc=10; Scale=1,5; Thresh=0


Weibull-ova raspodjela • definira vjekove trajanja tehničkih sustava – krivulja kade• parametri ove raspodjele daju veliku fleksibilnost prilikom opisivanja

različitih slučajeva kada broj otkaza raste sa vremenom (trošenje ležaja), ostaje konstantan ili pada s vremenom (neki poluvodiči)

• funkcija gustoće vjerojatnosti Weibull-ove raspodjele:

ostalo za , za )

00,00()(

)(1 βxexxfx

parametri: α, β


• utjecaj parametara na oblik Weibull-ove raspodjele:


• krivulja kade (krivulja mortaliteta):

I. period – ‘dječje bolesti’ – 1. raspodjela e-t

II. period – ‘normalne eksploatacije’, slučajni kvarovi – 2. raspodjela uniformnaIII. period – zbog ‘trošenja dijelova’, vremenski kvarovi – 3. raspodjela normalna


Teorijske raspodjele

• Studentova ‘t’ raspodjela • raspodjela• F - raspodjela


Studentova t-raspodjela• definirao ju W. S. Gosset kao razdiobu varijable t• proizašla iz raspodjele aritmetičkih sredina• kada n raste približava se

normalnoj razdiobi k=30

12

2

11 2( ) (1 ) ; ( 1)!

2

nn

tf t n nn nn


• tablica Studentove ras.-za određenu vrijednost površine (vjerojatnosti) i stupnja slobode daje vrijednosti parametra t

Primjer: Za =0,01 u uzorku veličine 10 elemenata (k=10-1=9 stupnjeva slobode) t=2,821

• treba s oprezom primjenjivati tablice zbog različitog korištenja termina – površina samo jednog ‘repa’ ili oba?!


(hi-kvadrat) raspodjela• varijance se ne pokoravaju normalnoj raspodjeli• poseban slučaj razdiobe definira raspodjelu varijable 2

• varijabla 2 sa samo jednim parametrom k=n-1 → stupanj slobode2

1

0

2

n

i

ixx

kE )( 2 - očekivana vrijednost


• tablica 2 ras.- za određenu vrijednost površine (vjerojatnosti) i stupnja slobode daje vrijednosti parametra 2

• kod čitanja vrijednosti 2P

treba imati na umu da se to odnosi na ‘unutrašnju’ površinu.

Primjer: Pronaći vrijednosti i za vjerojatnost pogreške 5% i k=9. = =2,70= =19,02


F - raspodjela• definirao G. Snedecor , R. Fisher • to je raspodjela varijable F koja je definirana kao omjer

procijenjenih varijanci• raspodjela ima samo dva parametra:

– stupanj slobode brojnika kbrojnika

– stupanj slobode nazivnika knazivnika

2

2

2

1

ssF

-parametri: kbrojnika=n1-1; knazivnika=n2-1

- preduvjet: (s1>s2)


• Tablica F-raspodjele daje vrijednosti varijable F za vjerojatnost (površinu desnog repa), stupanj slobode brojnika i nazivnika.

Primjer: Pronaći vrijednost varijable F za =0.25, kb=9 i kn=11.

F=1,53

vrijednosti parametra F


Papir vjerojatnosti• još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka)

kontinuiranog obilježja• utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih

raspodjela i koliko koji elementi odstupaju • za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnosti:

– papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)– papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjele– papir vjerojatnosti lognormalne raspodjele– ...

• uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)


• konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele

20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x%

Normal Papir vjerojatnosti

20151050

100

80

60

40

20

0

x

%

Normal Funkcija distribucije

~84%

• Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točke:– 1. točka : (x=, y=50%)– 2. točka : (x=y=84%)


• primjena papira vjerojatnostiPrimjer: Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli.

- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli.

- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2

0xx i

Documents

Raspodjele OPTIPLAPOK 2012 - unizg.hr · • Hipergeometrijska (složene kombinacije) • Binomna (Bernoulli-jev događaj) • Poisson-ova (zakon rijetkih događaja, potok događaja)