Embed Size (px)
Citation preview
Упорядник: Васюренко О.М., спеціаліст вищої категорії, вчитель математики загальноосвітньої школи І-ІІІ ст. с. Борочиче
Рецензент: Ничипорук Т.І., головний спеціаліст відділу освіти
Методичні рекомендації розроблені для вчителів математики та студентів математичних факультетів. У посібнику наведено порівняльну характеристику майстер-класу та відкритого уроку, наведено методичні рекомендації, як ефективно підготувати та провести майстер-клас. Наведено зразок майстер-класу, проведеного на конкурсі «Учитель року - 2016» та добірка задач, які можна використати для проведення своїх майстер-класів.
0
ЗмістВступ………………………………………………………………………….…...2І. Методичні рекомендації по організації та проведенню майстер-класу…….3ІІ. Вимоги до організації та проведення майстер-класу……………………..…4
1. Алгоритм технології майстер-класу…………………………….......42. Сенс майстер-класу……………………………………………….….53.Можлива модель проведення майстер-класу……………………….64. Критерії якості підготовки й проведення майстер-класу……….…65.Позиція Майстра……………………………………………………...7
ІІІ. Рекомендації з підготовки майстер-класу…………………………………..7ІV. Рекомендації по проведенню майстер-класу……………………………….8V. Основні елементи, методичні прийоми технології проведення майстер-класу……………………………………………………………………………….9VІ. Алгоритм майстер-класу…………………………………………………...10VII. Майстер-клас учителя математикиВасюренко Ольги Мирославівниз теми «Порівняльна характеристика розв’язування задач про трикутник та тетраедр»…………………………………………………………………………15
Додаток. Задачі домайстер-класу…..………………………………………..31Використана література……………………………………………………….41
1
ВступОднією з ефективних форм представлення педагогічного досвіду є
майстер-клас.У словосполученні майстер-клас перша частина «майстер» означає
високе мистецтво в якій-небудь області, друга частина «клас» - показник високого якісного рівня.
Майстер-клас-це особлива форма навчального заняття, яка заснована на практичних діях показу і демонстрації творчого вирішення педагогічної проблеми.
Презентація напрацювань педагогічного досвіду у формі майстер-класу пред'являє особливі вимоги до педагога, перед ним стоїть ряд проблем:
1. Які межі краще уявити?2. Яким способом це краще зробити?3. У якому відношенні співвіднести практичну і теоретичну
частину?У сучасній літературі можна прочитати, що педагог володіє:
майстерністю організатора, майстерністю переконання, майстерністю передачі знань, майстерністюволодіння технікою навчання, майстерністю дослідника.
При підготовці майстер-класу слід звернути увагу на те, що технологія його проведення відрізняється від технології проведення відкритого уроку. Відомий ученийМ.М.Поташник вважає, що відкритий урок може бути одночасно і майстер-класом, а може їм і не бути. Проведемо порівняльний аналіз майстер-класу і відкритого уроку за такими параметрами: визначення, мета проведення, зміст, форми проведення, режим роботи.
Майстер-класформа передачі знань, умінь, досвіду, майстерності у навчанні, вихованні та розвитку шляхом прямого й коментованого показу прийомів роботи.
Відкритий урок - це форма сприяння підвищення професійної майстерності вчителя шляхом показу прийомів роботи.
Мета майстер-класу:підвищення професійного рівня, розвиток компетентності, формування індивідуального стилю, формування умов для самовдосконалення вчителя.
Мета відкритого уроку:показ методів, форм, їх оптимального поєднання при комплексній реалізації розвиваючих, навчальних і виховних цілей уроку.
Зміст майстер-класу:передача досвіду, педмайстерності, педтехнологій шляхом прямого і коментованого показу прийомів діяльності.
Зміст відкритого уроку:показ триєдиної мети, поетапність, технологічність уроку, форми, способи самоаналізу, оціночні листи уроку.
Форми майстер-класу: лекція, Форми проведення відкритого
2
практичне заняття, інтегроване заняття, показ програми діяльності елективного курсу, факультативу, мультимедійна презентація, «круглий» стіл, показ окремих форм або методів роботи.
уроку:відкрите заняття (урок).
Режим роботи: майстер-клас – цесистемна робота, багаторазові зустрічі з певною групою слухачів (як учнів, так і дорослих).
Режим роботи: відкритий урок це несистемна робота, разовий показ відкритого заняття (уроку) з будь-якою групою слухачів (учнів або вихованців).
Принцип роботи: «Я знаю, як це робити. Я навчу вас».
Принцип роботи: «Я повинен забезпечити активненавчання кожного учня».
Висновок:відкритий урок проводиться у формі майстер-класу, якщо педагог показує його для підвищення кваліфікації запрошених колег (знайомить з елементами нової педтехнології, альтернативної програмиу новому навчальному змісті).
Сьогодні уявлення педагогічного досвіду у формі майстер-клас набуває все більшого поширення, хоча вона одна з найбільш складних, але в той же час продуктивних. Позитивним результатом майстер класу можна вважати результат, що виражається в оволодінні учасниками новими творчими способами вирішення педагогічної проблеми, у формуванні мотивації до самонавчання і саморозвитку.
І. Методичні рекомендації по організації та проведенню майстер-класу
Означення:майстер-клас це інтерактивна форма навчання і обміну досвідом, що об'єднує формат тренінгу та конференції.
Майстер-клас сучасна форма проведення навчального тренінгу-семінару для відпрацювання практичних навичок за різними методиками і технологіями з метою підвищення професійного рівня і обміну передовим досвідом учасників, розширення кругозору та залучення до новітніх галузей знань.
Майстер-клас відрізняється від семінару тим, що, під час майстер-класу провідний фахівець розповідає і, що ще більш важливо, показує, як застосовувати на практиці нову технологію або метод. Очевидно, таким чином, що майстер-класи не показують, а проводять. Майстер-клас проводить експерт у певній дисципліні для тих, хто хоче поліпшити свої практичні досягнення в цьому предметі.
Тематика майстер-класів включає в себе: огляд актуальних проблем і технологій, різні аспекти і прийоми використання технологій,
3
авторські методи застосування технологій на практиці та ін.Завдання майстер-класу:
передача вчителем-майстром свого досвіду шляхом прямого і коментованого показу послідовності дій, методів, прийомів і форм педагогічної діяльності;
спільне відпрацювання методичних підходів учителя-майстра і прийомів вирішення поставленого в програмі майстер-класу проблеми;
рефлексія власної професійної майстерності учасниками майстер-класу;
надання допомоги учасникам майстер-класу у визначенні завдань саморозвитку і формуванні індивідуальної програми самоосвіти та самовдосконалення.
У ході майстер-класу учасники: вивчають розробки по темі майстер-класу; беруть участь в обговоренні отриманих результатів; задають питання, отримують консультації; пропонують для обговорення власні проблеми, питання, розробки; висловлюють свої пропозиції щодо вирішення обговорюваних
проблем.Слід звернути увагу при підготовці майстер-класу на те, що в
технології проведення майстер-класу головне не повідомити, а засвоїти інформацію, а передати способи діяльності, прийомів, методів, методики або технології. Передати продуктивні способи роботи одна з найважливіших завдань для Майстра.
ІІ. Вимоги до організації та проведення майстер-класу.Майстер-клас це оригінальний спосіб організації діяльності
педагогів у складі малої групи (7-15 учасників). Майстер-клас як локальна технологія трансляції педагогічного досвіду повинен демонструвати конкретний методичний прийом або метод, методику викладання, технологію навчання і виховання. Він повинен складатися із завдань, які спрямовують діяльність учасників для вирішення поставленої педагогічної проблеми.
ІІ.1. Алгоритм технології майстер-класу.1. Презентація педагогічного досвіду вчителем-майстром:
пояснюються основні ідеї технології; описуються досягнення в роботі; доводиться результативність діяльності учнів, що свідчить про
ефективність технології; визначаються проблеми і перспективи в роботі вчителя-майстра.
2. Подання системи навчальних занять:
4
описується система навчальних занять у режимі презентаційних технологій;
визначаються основні прийоми роботи, які майстер буде демонструвати слухачам.
3. Проведення іммітаційної гри: учитель-майстер проводить навчальне заняття зі слухачами,
демонструючи прийоми ефективної роботи з учнями; слухачі одночасно грають дві ролі: учнів і експертів, присутніх на
відкритому занятті.
4. Моделювання: учителі-учні виконують самостійну роботу з конструювання власної
моделі навчального заняття в режимі технології вчителя-майстра; майстер виконує роль консультанта, організовує самостійну роботу
слухачів і керує нею; майстер спільно зі слухачами проводить обговорення авторських
моделей навчального заняття
5. Рефлексія: проводиться дискусія за результатами спільної діяльності майстра і
слухачів.
ІІ.2. Сенс майстер-класу.Майстрі своєї справи, відомі діячі, фахівці діляться зі слухачами
будь-якою унікальною методикою, яка застосовувалася і успішно впроваджувалася особисто ними.
Методика проведення майстер-класів не має якихось строгих і єдиних норм. Здебільшого вона ґрунтується як на інтуїції провідного спеціаліста, так і на сприйнятливості слухача.
Принцип майстер-класу: «Я знаю, як це робити. Я навчу вас».
Майстер-клас це двосторонній процес, і відносини «викладач слухач» є абсолютно необхідними. Безперервний контакт, практично індивідуальний підхід до кожного слухача ось те, що відрізняє майстер-класи від усіх інших форм і методів навчання.
Форма роботи вчителя-майстера залежить від напрацьованого вчителем стилю своєї професійної діяльності.
5
ІІ.3. Можлива модель проведення майстер-класу.
Етапи роботи майстер-класу Зміст етапу Діяльність учасників
Підготовчо-організаційний: Постановка цілей і завдань (дидактичної спільної мети, триєдиної мети: освітньої, розвиваючої і виховної).
Привітання, вступне слово майстра, незвичайний початок заняття.
Вливаються в діалог, проявляють активну позицію, тим самим допомагаючи майстру в організації заняття.
Основна частина.Зміст майстер-класу, його основної частини: план дій, що включає поетапну реалізацію теми.
Методичні рекомендації педагога для відтворення теми майстер-класу. Показ прийомів, використовуваних у процесі майстер-класу, показ своїх "родзинок" (прийомів) з коментарями.
Виконують завдання відповідно до визначеної мети, індивідуального відтворення задуманого.
Афішування уявлення виконаних робіт.Заключне слово.Аналіз ситуації за критеріями:
оволодіння загальноінтелектуальними способами діяльності;
розвиток здатності до рефлексії;
розвиток комунікативної культури.
Організовує обмін думками присутніх, дає оцінку того, що відбувається.
Рефлексія активізація самооцінки і самоаналізу з приводу діяльності на майстер-класі.
ІІ.4. Критерії якості підготовки й проведення майстер - класуДля визначення ефективності підготовки та проведення майстер-
класу можна використовувати такі критерії:˗ презентативність– виразністьінноваційної ідеї, рівень її
подання, культура презентації ідеї, популярність ідеї в педагогіці, методиці та практиці освіти;
˗ ексклюзивність – яскравовиражена індивідуальність (масштаб і рівень реалізації ідей). Вибір, повнота і оригінальність рішення інноваційних ідей;
˗ прогресивність– актуальністьі науковість змісту й прийомів навчання, наявність нових ідей, що виходять за рамки стандарту і
6
відповідних тенденцій сучасної освіти та методики навчання предмета, здатність не тільки до методичного, але й до наукового узагальнення досвіду;
˗ вмотивованість – наявністьприйомів і умов мотивації, включення кожного в активну творчу діяльність зі створення нового продукту діяльності на занятті;
˗ оптимальність – достатністьвикористовуваних засобів на занятті, їх поєднання, зв'язок з метою і результатом (проміжним і кінцевим);
˗ ефективність– результативність, отримана для кожного учасника майстер-класу. Який ефект розвитку? Що це дає конкретно учасникам? Уміння адекватно проаналізувати результати своєї діяльності;
˗ технологічність- чіткий алгоритм заняття (фази, етапи, процедури);
˗ артистичність– піднесенийстиль, педагогічна харизма, здатність до імпровізації, ступінь впливу на аудиторію, ступінь готовності до поширення і популяризації свого досвіду;
˗ загальна культура – ерудиція, нестандартність мислення, стиль спілкування, культура інтерпретації свого досвіду.
ІІ.5. Позиція МайстраУчитель - Майстер проводить урок зі слухачами, демонструючи
прийоми ефективної роботи з учнями.Проводячи майстер-клас, Майстер ніколи не прагне просто
передати знання. Він намагається задіяти учасників у процес, зробити їх активними, розбудити в них те, що приховано навіть для них самих, зрозуміти і усунути те, що йому заважає в саморозвитку. Всі завдання Майстра і його дії спрямовані на те, щоб підключити уяву учасників, створити таку атмосферу, щоб вони проявили себе як творці. Це м'яке, демократичне, непомітне керівництво діяльністю.
Майстер створює атмосферу відкритості, доброзичливості, співтворчості в спілкуванні.
Майстер виключає офіційне оцінювання роботи учасників майстер-класу, але через соціалізацію, афішування робіт дає можливість для самооцінки педагога, його самокорекції.
У взаємовідносинах з колегами Майстер повинен застосовувати певний стиль, виявляючи свої особистісні якості: комунікативність, загальнокультурний розвиток, інтелігентність, погляди, переконання, світогляд, характер, волю, темперамент та ін. Авторські технології, які подаються в рамках майстер-класу, не володіють властивістю фотографічної відтворюваності, проте кожна з них несе ідейний заряд, має безліч відтворюваних деталей, прийомів, елементів учительської майстерності.
Особливо слід звернути увагу на: мову і голос (тон, сила, виразність, дикція, інтонація, техніка мови); міміку, жест, управління емоціями, читання емоційного стану на
обличчі;
7
пантоміма (постава, вміння стояти, сидіти, спостерігати за поведінку учасників);
вміння зосередитися на предметі розмови, володіння мнемотехнікою, аутогенним тренуванням, відсутність скутості;
мистецтво спілкування: психологічна вибірковість, здатність до педагогічної уваги, емпатія;
педагогічну імпровізацію: вміння працювати за планом «в голові», залучати особистий досвід, керувати незапланованими ситуаціями;
психологічну пильність, вміння обчислювати «геніїв» і підтримувати «відстаючих»;
комунікативну культуру, вміння вести діалог, дискусію; почуття часу.
ІІІ. Рекомендації з підготовки майстер-класу1. Виберіть провідну педагогічну ідею, яку ви хочете
продемонструвати на майстер-класі і зв'яжіть її з темою.2. Визначте цілі і завдання в зв'язку з темою, яку ви хочете досягти
на майстер-класі.3. Придумайте проблему, питання, парадокс, що вводять у вашу
тему заняття, яка представляє інтерес для «учнів».4. Підберіть технічні засоби (мінімально) і різні форми роботи до
даних ціляй і завдань.5. Придумайте несподівані предмети або відкриття в звичайному
дивного, які розкривають провідну педагогічну ідею.6. Включіть фантазію, придумайте цікавий задум майстер-класу.7. Складіть докладний план заняття.8. Ретельно перевірте техніку і роботу мікрофонів перед початком
майстер-класу.9. Розставте стільці, столи і дошку так, як вам потрібно.10. Коли все готово - дайте команду організаторам, що можна
починати.
ІV. Рекомендації по проведенню майстер-класу1. Намагайтеся говорити не голосно й не тихо, але виразно і з
різними інтонаціями (не є однорідними).2. Не можна весь майстер-клас читати лекцію3. Не перетворюйте майстер-клас тільки в гру. Одна форма роботи
на майстер-класі є неприйнятною.4. Проявляйте специфіку предмета (іноді до кінця уроку глядачам і
журі не зрозумілий предмет викладання).5. Це урок не для професіоналів даного напрямку. Завдання
з’ясувати складне, розглянути проблеми, які хвилюють всіх.6. Використовуйте нові інформаційні технології, тільки якщо вони
органічно входять в ідею вашого уроку.
8
7. Здоров’язбереження має стати не надуманим, а органічним елементом уроку.
8. Намагайтеся показувати не тільки себе, але й учнів.9. Не бійтеся ставити важкі запитання.10. Проведіть в кінці короткий аналіз заняття «з учнями».
V. Основні елементи, методичні прийоми технології проведення майстер-класу.
Основними елементами технології проведення майстер-класу, методичними прийомами є індукція, самоконструювання, соціоконструювання, соціалізація, афішування, розрив, творче конструювання знання, рефлексія.
Індукція. Системотворчим елементом майстер-класу є проблемна ситуація початковоюмотивацією є творча діяльність кожного. Це може бути завдання навколо слова, предмета, малюнка, спогади - найчастіше несподіване для учасників, у чомусь загадкове і обов'язково особистісне.
Проблемна ситуація характеризує визначене психологічне–питання про стан суб'єкта (учасника), що виникає в процесі виконання такого завдання, яке вимагає відкриття (засвоєння) нових знань про предмет, способі або умовах виконання дій. Питання має займати, хвилювати розум дослідника, бути в колі його інтересів; потрібно уявити це невідоме, показати необхідність роботи з ним; визначити коло засобів, об'єктів, які дозволять почати роботу і через період незнання прийти до відкриття; приєднати до наявних знань нові й поставити інші проблеми для дослідження. Така проблемна ситуація в технології майстер-класів називається індуктором (індукцією).
Складаючи індуктор, треба співвіднести його з почуттями, думками, емоціями, які він може викликати в учасників.
Індуктор повинен налаштовувати особистість на саморозвиток. Якщо у педагога взагалі немає потреби в розвитку, то одного індуктора недостатньо, потрібно провести серію мотиваційних прийомів майстер-класу по формуванню даної потреби. Існують й інші, не менш значимі потреби: бути особистістю, потреба в самоствердженні, спілкуванні, самовираженні, емоційному насиченні, свободі, емоційному контакті. Майстер у процесі майстер-класу повинен прагнути реалізувати всі ці потреби, але пріоритет віддається розвитку потреби саморозвитку.
Якщо подібного інтересу немає, Майстру необхідно направити дії на створення мотиву, на позначення мети і на те, щоб учасники самі відкрили, що ця мета для них досяжна. Усвідомлення можливості вирішення проблеми необхідний засіб для стимулювання інтересу.
Самоконструювання це індивідуальне створення гіпотези, розв’язку, малюнка, проекту.
Соціоконструювання. Найважливіший елемент технології майстер-класу - групова робота (малі групи можуть визначатися Майстром,
9
утворюватися стихійно, з ініціативи учасників). Цей майстер може проектувати склад груп, регулюючи рівновагу методичної майстерності і психологічних якостей учасників (тип мислення, емоційність, лідерство та ін.). Майстер розбиває завдання на ряд завдань. Групам належить придумати спосіб їх вирішення. Причому учасники вільні у виборі методу, темпу роботи, шляхи пошуку. Кожному надана незалежність у виборі шляху пошуку рішення, дано право на помилку і на внесення коректив. Побудова, створення результату групою і є соціоконструюванням.
Соціалізація. Будь-яка діяльність у групі представляє зіставлення, перевірку, оцінку, корекцію оточуючими його індивідуальних якостей, іншими словами, соціальну пробу, соціалізацію. Коли група виступає зі звітом про виконання завдання, важливо, щоб у звіті були задіяні всі. Це дозволяє використовувати унікальні здібності всіх учасників майстер-класу, дає їм можливість самореалізуватися, що дозволяє врахувати й включити в роботу різні способи пізнання кожного педагога.
Афішування представлення результатів діяльності учасників майстер-класу і Майстра (текстів, малюнків, схем, проектів, рішень і ін.) і ознайомлення з ними.
Розрив. Найближче відображають зміст цього поняття слова «еврика», «інсайт», «розуміння». Розуміння різне: себе, інших, прийому, методу, технології. Розрив це внутрішнє усвідомлення учасником майстер-класу неповноти або невідповідності старого знання новому, внутрішній емоційний конфлікт, втягують до поглиблення в проблему, до пошуку відповіді, до перевірки нового знання з інформаційним джерелом. Це те, що в інших формах трансляції педагогічного досвіду підноситься вчителю, а тут він запитує сам, шукає самостійно, іноді за допомогою Майстра, колеги, учасника майстер-класу. Такий же процес можна спостерігати в лабораторіях учених, дослідників, коли тривалий пошук приводить їх не тільки до накопичення інформації по досліджуваному питанню, а й до іншого розуміння, а часом і до розриву зі старою теорією, старим обґрунтуванням.
Рефлексія останній і обов'язковий етап - відображення почуттів, відчуттів, що виникли в учасників під час майстер-класу. Це багатющий матеріал для рефлексії самого Майстра, для вдосконалення ним конструкції майстер-класу, для подальшої роботи.
VІ. Алгоритм майстер-класуПри розробці технології проведення майстер-класу використано
концепцію особистісно-орієнтованої освіти, у якій розвиток особистісного рівня індивіда розглядається як спеціальна функція навчання і, відповідно, мета виховання полягає в тому, щоб створити умови для повноцінного прояву і розвитку особистісних функцій суб'єкта освітнього процесу.
Умови в концепції особистісно-орієнтованої освіти розглядаються як сукупність заходів у навчально-виховному процесі, що сприяють досягненню більш високих результатів.
10
Умови результативної роботи учнів майстер-класу: мотивація усвідомленої діяльності всіх учасників, які беруть участь в
роботі майстер-класу; підвищення рівня теоретичної та методичної підготовки учасників; готовність учнів і Майстра до розвитку власної перетворюючої
діяльності на науковій основі; рефлексія діяльності учнів і Майстра в процесі власної практики.
Учитель-Майстер представляє власну систему роботи, яка передбачає комплекс методичних прийомів, педагогічних дій, які притаманні саме цьому педагогу; дії взаємопов'язані між собою, оригінальні і забезпечують ефективне вирішення навчально-виховних завдань. Ознаками системи роботи вчителя є цілісність, оптимальність у визначенні місця і часу застосування кожного методичного прийому; різнобічність впливу на учнів з одночасною зосередженістю на розвитку провідних якостей особистості; оригінальність методики.
Незважаючи на загальні ознаки системи роботи педагогів-Майстрів, кожен майстер-клас володіє своїми відмінними рисами.
Пояснюється цей феномен тим, що у кожного Майстра, що відкриває майстер-клас, склався свій власний стиль творчої педагогічної діяльності.
Індивідуальний стиль педагогічної діяльності як сукупність індивідуально-особистісних характеристик учителя проявляється при відборі змісту, форм, методів організації педагогічної діяльності, у процесі рефлексії й оцінки власних досягнень і невдач.
Позитивний результат навчання в роботі майстер-класу, як ми вважаємо, полягає в тому, що активний учитель використовує механізм навчання, за допомогою якого він аналізує свій педагогічний досвід і знаходить способи оновлення свого професійного потенціалу. Пасивний учитель, виконуючи певний алгоритм дій, включається в активну пізнавальну діяльність.
Активізація пізнавальної діяльності всіх учасників роботи майстер-класу забезпечується тим, що ця форма навчання є засобом створення трьох типів умов:
˗ забезпечується формування мотивації та пізнавальної потреби в конкретній діяльності;
˗ стимулюється пізнавальний інтерес і відпрацьовуються вміння з планування, самоорганізації і самоконтролю педагогічної діяльності;
˗ здійснюється індивідуальний підхід по відношенню до кожного учасника майстер-класу, відслідковуються позитивні результати навчально-пізнавальної діяльності кожного вчителя.
При дотриманні перерахованих умов і їх динамічній взаємодії досягається активізація пізнавальної діяльності.
Реалізація перерахованих умов передбачає діагностику особистісних якостей учителя. Мета діагностики: виявлення рівня готовності
11
вчителя до професійної діяльності в сучасній школі, що розвивається. Визначення рівня готовності відбувається в процесі порівняння виявлених якостей з тими, які прийняті вчителями як еталон. Аналіз дає можливість визначити ступінь відхилення своїх особистісних якостей від еталонного уявлення. Оцінка своїх труднощів і недоліків дозволяє вчителю відкоригувати свої дії, визначити шляхи професійного саморозвитку.
Отже, при навчанні на заняттях майстер-класу реалізується дослідницький підхід, який передбачає виконання системи завдань дослідницького характеру в процесі навчального пізнання, використання методів відповідної науки.
Майстер-клас як форма організації активної самостійної роботи слухачів передбачає в процесі роботи професійного об'єднання використання емпіричних методів дослідження: спостереження, вивчення документів і результатів діяльності Майстра і школярів, тестування, розробку дидактичних матеріалів для дослідницько-експериментальної роботи у своїй педагогічній діяльності.
Особливе значення в роботі майстер-класу набуває спостереження як найбільш інформативний метод дослідження.
Науковість педагогічного спостереження забезпечується дотриманням таких основних вимог:
спостереження проводиться за заздалегідь продуманим планом з чітко поставленою метою;
у плані деталізуються всі питання, з яких необхідно отримати конкретні відповіді в процесі аналізу результатів спостереження;
кількість досліджуваних ознак повинно бути мінімальним, і вони повинні бути точно визначені в плані;
спостерігач зобов'язаний ретельно передбачити можливості появи помилок спостережень і по можливості попередити їх.
Процес педагогічного спостереження здійснюються поетапно.Етапи:
˗ вибір об'єкта і визначення мети;˗ складання плану;˗ підготовка документів (бланків протоколів, інструкцій і т.д.);˗ збір даних спостереження (записи, протоколи, таблиці);˗ обробка та оформлення результатів спостереження;˗ аналіз результатів;˗ висновки спостереження.
Як відомо, педагогічна технологія є структурою, яка включає наступні взаємопов'язані блоки:
мета наукової ідеї; послідовні дії вчителя і учня; критерії оцінки; якісно новий результат.
12
Розглянемо кожен з блоків на прикладі технології підготовки та проведення майстер-класу.
Мета: створити умови для професійного самовдосконалення вчителя, при якому
˗ набувається досвід підготовки до проектування адаптивного освітнього середовища учня;
˗ формується індивідуальний стиль творчої педагогічної діяльності в процесі дослідницько-експериментальної роботи.
Основні наукові ідеї: діяльнісний, особистісно-орієнтований, дослідницький, рефлексивний підходи.
Послідовність дій: покроковий алгоритм вивчення авторської системи роботи вчителя-Мастера.
Критерії оцінки: новий рівень індивідуального стилю творчої педагогічної діяльності (імітаційний, конструктивний, творчий).
Якісно новий результат:уміння моделювати діяльність у режимі технології, у якій ефективно працює майстер.
Покроковий алгоритм технології майстер-класу.
1-й крок. Презентація досвіду майстра.1.1. Коротка характеристика учнів експериментального класу,
обґрунтування результатів діагностики, прогноз розвитку учнів.1.2. Коротке обґрунтування основних ідей технології, яка ефективна
в роботі з експериментальним класом.1.3. Опис досягнень у досвіді роботи Майстра, який зафіксований у
міському інформаційному центрі.1.4. Доказ результативності діяльності учнів, які свідчать про
ефективність використання педагогічної технології.1.5. Визначення проблем і перспектив у роботі вчителя.
2-й крок. Подання системи уроків.2.1. Опис системи уроків у режимі ефективної педагогічної
технології.2.2. Визначення основних прийомів роботи, які Майстер
демонструватиме слухачам.
3-й крок. Імітаційна гра.3.1. Учитель-Майстер проводить урок зі слухачами, демонструючи
прийоми ефективної роботи з учнями.3.2. Слухачі одночасно грають дві ролі: учнів експериментального
класу і експертів, присутніх на відкритому уроці.
13
4-й крок. Моделювання.4.1. Самостійна робота слухачів з розробки власної моделі уроку в
режимі технології уроку майстра (Майстер виконує роль консультанта, організовує самостійну діяльність слухачів і управляє нею).
4.2. Обговорення авторських моделей уроку.
5-й крок. Рефлексія.5.1. Дискусія за результатами спільної діяльності Майстра і
слухачів.Досягнення цілей в роботі майстер-класу визначається відповідно
до поставленої мети. Результатом спільної діяльності є модель уроку, яку розробив «учитель-учень» під керівництвом вчителя-Мастера з метою застосування цієї моделі в практиці власної діяльності.
Таким чином, учитель-Майстер розкриває учням авторську систему навчально-виховної роботи зі свого предмета. Майстер-клас відображає вміння Майстра проектувати успішну діяльність школярів, створює умови для зростання педагогічної майстерності на основі рефлексії власного педагогічного досвіду.
Проведення «майстер-класу» - це показник зрілості вчителя, демонстрація високого рівня професійної майстерності.
14
1 2
B
АL C
N
3
4
Рис.1
D
Майстер-клас учителя математикиВасюренко Ольги Мирославівни
з теми «Порівняльна характеристика розв’язування задач про трикутник та тетраедр»
І. Підготовчо-організаційний етап.Метою мого майстер-класу є «Розвиток творчої особистості
школяра через дослідницький підхід у навчанні математики»Бажаю Вам усім хорошого настрою, нехай плідною буде наша
робота. Пригадаємо відому вам теорему.Теорема про бісектрису кута трикутника. Довести, що
бісектриса трикутника ділить протилежну сторону пропорційно прилеглим сторонам.
Доведення.
Нехай АВС даний трикутник (рис. 1). BL – бісектриса ∠B. Виконаємо добудову – побудуємо пряму NC, паралельно бісектрисі BL. Утворилися рівні кути ∠1=∠2 (бо BL – бісектриса), ∠2=∠3 (внутрішні різносторонні при паралельних прямих BL і NC і січній BC), ∠1=∠ 4 (зовнішні односторонні при паралельних прямих BL і NC і січній AN), тому ∠4=∠3, і ∆ BCN – рівнобедрений (BN=BC).
За узагальненою теоремою Фалеса маємо AL:LC=AB:BN або AL:LC=AB:BС, що й потрібно було довести.
Цей факт ви доводили у курсі геометрії 8 класу. Його можна узагальнити на просторовий випадок.
Довести, що бісекторна площина двогранного кута тетраедра ділить протилежне ребро пропорційно площам граней, що утворюють кут.
Доведення.
15
Нехай ADE – бісекторна площина двогранного кута при ребрі AD тетраедра DABC (рис. 2).
Розглянемо тетраедри EABD i EACD, у яких основи – відповідно грані ABD i ACD. Ці тетраедри мають рівні між собою висоти, оскільки точка Е рівновіддалена від площин АВD i ACD.
Таким чином,
V EABD
V EACD=
13
SABD ∙ h
13
SADE ∙ h=
S ABD
SADC
Візьмемо за спільну основу розглядуваних тетраедрів грань ADE. Зрозуміло, що їх висоти відносяться як довжини відрізків BE і CE.
BECE
=h1
h2, тоді
V EABD
V EACD=
13
SADE ∙ h1
13
SADE ∙ h2
=h1
h2= BE
CE , звідси
SABD
S ADC= BE
CE.
Ці задачі ви можете використати при написанні ЗНО. Таких задач можна розглянути багато, наприклад:
16
Порівняємо задачі про трикутник та тетраедр№ п/п
Трикутник Тетраедр
1.
Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону пропорційно прилеглим сторонам.
AL:LC=AB:BС
Бісекторна площина двогранного кута тетраедра ділить протилежне ребро пропорційно площами граней, що утворюють кут.
SABD
S ADC= BE
CE
2.
1). ada+ bdb + cdc= 2S;
2). da
ha +
db
hb +
dc
hc = 1.
1) S1da+ S2 db + S3dc+ S4dd= 3V, де V - об'єм тетраедра DABC;
2) da
ha +
db
hb +
dc
hc +
dd
hd = 1, де ha, hb , hc , hd , -
відповідно висоти тетраедра.
3.
Якщо в трикутниках ABC i A1 B1C1 Об’єми двох тетраедрів зі спільним 17
рівні кути А і A1, то S ABC
S A1 B1 C1
= AC ∙ BAA1C 1∙ B1 A1
.
тригранним кутом відносяться як добутки ребер, які утворюють цей кут.
V DABC
V D 1 A 1 B1 C1
= abca1b1c1
4.
Якщо через кожну вершину трикутника ABC провести прямі, паралельні його сторонам, то дістанемо трикутник A1 B1C1 . Довести, що їх площі відносяться, як 1 : 4.
Через кожне ребро тетраедра проведена площина, паралельна протилежному ребру. Довести, що об'єм тетраедра відноситься до об'єму утвореного паралелепіпеда, як 1 : 3.
5.
S= c2 sin α sin β2sin γ V=2
3S1 S2 sinφ
a, де
S1,S2 – площі двох довільних граней; a – довжина їх спільного ребра; φ – кут між цими гранями.
6.
Медіана трикутника ділить його площу пополам.
Площина, яка проведена через ребро тетраедра і середину протилежного ребра, ділить його на два тетраедри з рівними об'ємами.
18
7.
Трикутники утворені вершинами трикутника і точкою перетину медіан мають рівні площі
Тетраедри утворені вершинами тетраедра і точкою перетину площин, що проходять через ребро і середину протилежного ребра мають рівні об’єми.
Їх розглянуто та доведено у додатку.
ІІ. Основна частинаУ нас перед школою клумба у вигляді трикутника. Всередині
клумби росте трояндовий кущ. Нам треба вирішити, як посадити квіти, розбивши клумбу прямими паралельними до сторін клумби, щоб сума площ утворених трикутників була більшою ніж третина площі загальної клумби.
Таких задач із різним змістом є багато у повсякденному житті, як планіметричного, так і просторового характеру, тобто для трикутника та такі ж для тетраедра. Тому ми повинні вміти їх розв’язувати.
19
Головоломка Головоломка
Архітектурні забудівлі
X S2S1
C
D
N
E
А
B
L
S3
Цю задачу ми можемо сформулювати геометричною мовою так:Задача 1. Через деяку точку, взяту всередині трикутника АВС,
проведено три прямі, відповідно паралельні сторонам трикутника. Ці прямі поділяють трикутник на шість частин, три з яких – трикутники з площами S1, S2, S3. Площа трикутника АВС дорівнює S. Довести, що
S1+S2+S3≥ 13
S.
20
A
D
B
C
D1
C1
A1
A3
D3
D2 B
2
A4
C4
B4
C2
O
B3
Рис. 4
Ставимо перед учнями проблему: Що отримаємо, коли у тетраедрі через точку всередині нього провести площини паралельно його граням.
Учні висовують свої припущення.Спільними міркуваннями приходимо до висновку, що в результаті
отримаємо чотири тетраедри (рис. 4), які подібні між собою і подібні даному.
Я пропоную вам розв’язати їх.Щоб розв’язати ці задачі, будемо використовувати набуті знання у
молодших класах, а також вивчені на попередніх уроках. У курсі геометрії 8 класу ви вивчали поняття подібності
трикутників; властивості подібності; знаєте, як знайти відношення площ подібних трикутників.
У курсі стереометрії в 11 класі ви вивчали многогранники, а саме тетраедр. Ви вже знаєте, що площина, проведена паралельно до грані тетраедра, відтинає від нього подібний тетраедр; властивості подібних тетраедрів; про відношення об’ємів подібних многогранників.
Пригадаємо із курсу алгебри нерівність Коші.
21
X S2S1
KFC
D
N
E
А
B
L
S3
Рис. 5
У курсі 10 класу ви вивчали паралельне проектування. Для розв’язування деяких я пропоную використати знання
паралельного проектування із опорного конспекта.
Розв’яжемо допоміжну задачуЗадача 1. Через деяку точку, взято всередині трикутника АВС,
проведено три прямі, відповідно паралельні сторонам трикутника. Ці прямі поділяють трикутник на шість частин, три з яких – трикутники з площами S1, S2, S3. Площа трикутника АВС дорівнює S. Довести, що
√S=√S1+√S2+√S3 .
Доведення.Нехай Х – точка перетину прямих, паралельних сторонам
трикутника (рис. 5). Оскільки трикутники АВС, LXD, NEX, XKFподібні, то √S1
√S = XD
BC ; √S2
√S = XE
BC ;√S3
√S = FK
BC .Додамо ці рівності:
√S1
√S+ √S2
√S+ √S3
√S= XD+XE+FK
BC=ВС
BC=1 ,
звідси √S1+√S2+√S3
√S=1;
√S=√S1+√S2+√S3.
Використай факти (опорний конспект)Нехай у просторі дано дві площини γ1 і γ2 і деяка пряма l, не
паралельна жодній із цих площин (рис. 6). Нехай точка A1 належить площині γ1 . Якщо через неї проведемо пряму, паралельну прямій l, до перетину з площиною γ2 у точці A2, то точка A2 називається проекцією точки A1 на площину γ2. Очевидно, що кожна точка площини γ1 має свою проекцію на γ2 і
22
C
A
B
A1
Рис. 7
M N
P
навпаки, кожна точка площини γ2 є проекцією деякої точки пдощини γ1. Таким чином, ми маємо справу з деяким взаємнооднозначним відображенням площини γ1 на площину γ2. Це відображення називається паралельним проектуванням площини γ1 на площину γ2 в напрямку l.
Нагадаємо основні властивості паралельного проектування.1. Будь-яка пряма лінія при паралельному проектуванні
переходить у пряму лінію.2. При паралельному проектуванні паралельні прямі переходять у
паралельні прямі.3. При паралельному проектуванні зберігається відношення
відрізків, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих.4. При паралельному проектуванні зберігається відношення площ
будь-яких фігур.5. Основна теорема про паралельне проектування. Довільний
трикутник можна за допомогою паралельного проектування перетворити в трикутник, подібний даному трикутнику MNP.
Доведення.Нехай трикутник ABC належить площині γ1 (рис. 7). За площину γ2
візьмемо довільну (що не збігається з γ1) площину, якій належить сторона BC, і побудуємо в ній трикутник B A1C, подібний даному трикутнику MPN .
23
X S2S1
KFC
D
N
E
А
B
L
S3
Рис. 8
Якщо тепер напрям проектування вибрати паралельним прямій A A1, то проекцією трикутника ABC на площину γ2 буде трикутник A1 BC. Теорему доведено.
Прошу Вас об’єднатися у три групи за бажанням, перша група буде працювати над поставленою задачею, решта – над аналогічними, але з іншим змістом. Перед вами лежать необхідні для роботи рисунки, опорні схеми, картки червоного та зеленого кольорів, використовуйте їх.
Коли у Вас є запитання, підніміть червону картку, коли виконали – зелену.
Групи працюють, висуваючи свої ідеї, розв’язки, користуються підказками, опорними конспектами, консультацією вчителя.
Група – 1(працює над поставленою задачею)Задача 2. Через деяку точку, взяту всередині трикутника АВС,
проведено три прямі, відповідно паралельні сторонам трикутника. Ці прямі поділяють трикутник на шість частин, три з яких – трикутники з площами S1, S2, S3. Площа трикутника АВС дорівнює S. Довести, що
S1+S2+S3≥ 13
S.
Доведення.Нехай АВС – даний трикутник, Х – точка всередині трикутника,
через яку проведено прямі FN, DE, KL паралельно сторонам трикутника (рис. 8).
Із задачі 1 маємо:√S1+√S2+√S3=√S.
Підносимо обидві частини до квадрата і отримаємоS1+S2+S3+2√S1 S2+2√S2 S3+2√S1 S3=S.
Використаємо нерівність Коші: S1+S2 ≥2√S1 S2;
24
X yх
KFC
D
N
E
А
B
L
a Рис. 9
S2+S3 ≥2√S2 S3;S1+S3 ≥2√S1 S3;
S=S1+S2+S3+2√S1 S2+2√S2 S3+2√S1 S3 ≤ S1+S2+S3+( S1+S2)+ (S2+S3 )+( S1+S3 )=3(S1+S2+S3).
Отже, 3 ( S1+S2+S3 ) ≥ S, звідки S1+S2+S3 ≥ S3
Група – 2Задача3.Через деяку точку Х, взяту всередині трикутника АВС,
проведено три прямі, відповідно паралельні сторонам трикутника. Ці прямі поділяють трикутник на шість частин. Нехай площі цих трикутників S1 ( х) , S2 ( х ) , S3(х). Знайти точку мінімуму функції
f ( x )=S1( х)+S2(х)+S3(х ).Розв’язання.
Трикутники з площами S1 , S2 , S3(рис.9) гомотетичні трикутнику з
площею S, тому S1 :S=k 12 , S2: S=k2
2 , S3: S=k32 , де k1=
xa
, k 2=ya
, k3=a−x− y
a, k1+k 2+k3=1
Очевидно, що f ( x )=S1+S2+S3=S k12+S k2
2+S k32=S(k1
2+k22+k 3
2)
Використовуючи нерівність між середнім квадратичним і середнім арифметичним, маємо:
√ k12+k2
2+k32
3≥
k1+k2+k 3
3= 1
3
або k12+k2
2+k 32
3≥ 1
9 ,
звідки k12+k2
2+k32 ≥ 1
3 , тому f ( x ) ≥ S ∙ 13= S
3
25
a-x-y
X
KFC
D
N
E
А
B
L
Рис. 10
х уX’
K’F’C’
D’
N’
E’
А’
B’
L’
z
a
Мінімум функції f (x), досягається, коли k1=k2=k3=13 .
Отже, Х – точка перетину медіан.
Група – 3Задача 4. Через довільну точку Х, яка лежить всередині деякого
трикутника АВС, проведені прямі, паралельні сторонам цього трикутника. Відрізки, які відтинаються на цих прямих сторонами трикутника, позначені відповідно через FN, DE, LK. Довести, що
FNAC
+ LKAB
+ DEBC
=2
Доведення.Нехай АВС – даний трикутник, Х – точка всередині трикутника,
через яку проведено прямі FN, DE, KL паралельно сторонам трикутника (рис. 10).
Спроектуємо даний трикутник ABC у рівносторонній трикутник A' B' C' (рис 10). Тоді точка X → X ', відрізкиFN → F ' N ', LK → L' K ', DE→ D' E ', прицьому трикутники X ' D' L' , E' X ' N ' , K ' F ' X ' рівносторонні. Нехай D' X '=x , X ' E'= y , F ' K '=z , A' B'=B' C'=A' C'=a.
ТодіF ' N '
A' C' +L' K '
A ' B' +D' E'
B' C' =x+ y
a+ x+z
a+ x+ y
a=2x+2 y+2 z
a=
2(x+ y+z )a
=2aa
=2
ІІІ. Афішування уявлення виконаних робіт.Групи презентують свої ідеї, розв’язки, результати.Пропоную узагальнити їх результати на задачі про тетраедр
26
X yх
KFC
D
N
E
А
B
L
aРис. 11
a-x-y
Розглядаємо 2-й спосіб розв’язування задачі 3.Задача 3. Через деяку точку Х, взяту всередині трикутника АВС,
проведено три прямі, відповідно паралельні сторонам трикутника. Ці прямі поділяють трикутник на шість частин. Нехай площі цих трикутників S1 ( х) , S2 ( х ) , S3(х). Знайти точку мінімуму функції
f ( x )=S1( х)+S2(х)+S3(х ).Доведення.2-й спосіб
27
Розв’язана задача Учні висловлюють свої гіпотези:√S=√S1+√S2+√S3
3√V= 3√V 1+3√V 2+
3√V 3+3√V 4
Г-1 S1+S2+S3≥ 13
S V 1+V 2+V 3+V 4 ≥ 14
V
Г-2 f min ( x )=S1(х )+S2(х )+S3(х).З’ясувати місцезнаходження точки Х(Х– точкаперетину медіан трикутника)
f min ( x )=V 1(х)+V 2(х)+V 3( х)+V 4(х )
.З’ясувати місцезнаходження точки Х(Х– точкаперетину площин, що проходять через вершину тетраедра та середину протилежного ребра тетраедра)
Г-3 FNAC
+ LKAB
+ DEBC
=2
Нехай DX = x, XE = y, BC = a (рис. 11), тоді CF = x, BK = y, FK = BC – (CF + BK) = a – (x + y) = a – x – y
Використовуючи формулу (4) виведену у задачі 4:
S=a2sin β sin γ2 sin α
S∆ LXD=x2 sin∠B sin∠C
2 sin∠A=S1(x );
S∆ NEX=y2sin∠B sin∠C
2sin∠A=S2(x );
S∆ XKF=(a−x− y)2 sin∠B sin∠C
2sin∠ A=S3(x ).
Таким чином, f ( x )=S1 ( x )+S2+S3 ( x )= sin∠B sin∠C
2 sin∠A (x2+ y2+(a−x− y )2 )
Значення sin∠B sin∠C2sin∠ A
=const , тому треба знайти найменше значення
виразу ( x2+ y2+(a−x− y ¿¿¿2 ). Використовуючи нерівність Коші (між середнім квадратичнім і
середнім арифметичним), маємо:
√ a12+a2
2+a32
3≥
a1+a2+a3
3
√ x2+ y2+(a−x− y )2
3≥ x+ y+a−x− y
9=a
3.
Піднесемо обидві частини нерівності до квадратуx2+ y2+(a−x− y)2
3≥ a2
9,
звідки
x2+ y2+(a−x− y)2 ≥ a3
3.
Рівність досягається, коли x= y=a−x− y=a3
При цьому зрозуміло, що Х – точка перетину медіан трикутника АВС. Тому, точкою мінімуму функції f ( x )−¿є точка перетину медіани трикутника АВС.
Пропоную розглянути стереометричну задачу до задачі 1:Задача 5. Через точку О, яка міститься всередині тетраедра DABC,
проведено площини, відповідно паралельні граням тетраедра. При цьому утворилося чотири тетраедри, у кожному з яких лежать на відповідній грані тетраедра DABC. Позначимо об’єм тетраедра DABC – V, а об’єми утворених тетраедрів V1, V2, V3 V4, Довести, що
3√V= 3√V 1+3√V 2+
3√V 3+3√V 4 .
28
A
D
B
C
D1
C1
A1
A3
D3
D2
B2
A4
C4
B4
C2
O
B3
Рис. 11
Доведення.Площини, які проходять через точку О (рис. 11), утворюють
перерізи, паралельні площинам САВ, DAB, CDB i CAD. Маємо подібні тетраедри DABC, OA1C1D1, OB2C2D2, OA3B3D3, OA4B4D4.
Нехай h, h1, h2, h3, h4 – відповідні їх висоти, тому 3√V 13√V
=h1
h;
3√V 23√V
=h2
h ;
3√V 33√V
=h3
h;
3√V 43√V
=h4
h.
Додаючи ці рівності: 3√V 13√V
+3√V 23√V
+3√V 33√V
+3√V 43√V
=h1
h+
h2
h+
h3
h+
h4
h.
Використовуючи задачу 1' ' маємо: 3√V 1+
3√V 2+3√V 3+
3√V 43√V
= 1
Отже, 3√V 1+3√V 2+
3√V 3+3√V 4 = 3√V .
29
C
a
B
c
A b
X
Рис.1
Аналізуємо ситуацію за критеріями (учні висловлюють свої враження від майстер-класу):
оволодіння знаннями, отриманими на майстер-класі; розвиток здатності до рефлексії; розвиток комунікативної культури.
Додаток. Задачі для майстер-класу
Задача 1. Довести, що коли з точки Х, взятої всередині трикутника ABC, провести перпендикуляри da,db, dcна сторони BC, AC, AB, відповідно, то
1). ada+ bdb + cdc= 2S;
2). da
ha +
db
hb +
dc
hc = 1.
Розв'язання.
1) Розглянемо трикутник АВС (рис. 1), Х – точка всередині цього трикутника, dа, db, dc - відстані від цієї точки до сторін трикутника.
30
db
X
D
В
С
А
Рис.2
Сполучимо вершини трикутника з точкою Х. Утворилися трикутники АХВ,
ВХС, АХС. S1 , S2 , S3 – їх площі, причому S1+S2+S3=S або 12 ada + 1
2bdb + 12cdc = S.
Маємо 12 (ada+ bdb+ cdc) = S, звідки ada+ bdb+ cdc= 2S.
2). Так як S=S1+S2+S3, то
1= SS=
S1+S2+S3
S=
S1
S+
S2
S+
S3
S=
12
a da
12
a ha
+
12
bdb
12
bhb
+
12
cdc
12
c hc
=¿
¿da
ha+
db
hb+
dc
hc
Задача 1". Довести, що коли з точки Х, взятої всередині тетраедра DABC, опустити перпендикуляри da,db, dc, dd, на грані, площі яких відповідно дорівнюють S1 , S2 , S3 , S4 , то:
1) S1da+ S2 db + S3dc+ S4dd= 3V, де V - об'єм тетраедра DABC;
2) da
ha +
db
hb +
dc
hc +
dd
hd = 1, де ha, hb , hc , hd , - відповідно висоти тетраєдра.
Розв'язання.
1) Нехай DABC – даний тетраедр (рис. 2), Х – точка всередині нього, da,db, dc, dd- відстані від точки Х до граней тетраедра, ha, hb , hc , hd , - відповідно його висоти. Сполучивши точку Х з вершинами тетраедра отримаємо чотири
31
Рис. 3A
B
C
B1
C1А1
трикутні піраміди, V1 , V2 , V3 - їх об’єми з основами ADC, ADB, ABC, DBC. S1 , S2 , S3 , S4 - їх площі,
1)
V=V 1+V 2+V 3+V 4=13
S1 da+13
S2 db+13
S3 dc++13
S4 dd=13 ( S1 da+S2 db+S3 dc+S4 dd )
.
Звідки 3V=S1 da+S2 db+S3 dc+S4 dd.
2) 1=VV
=V 1+V 2+V 3+V 4
V=
V 1
V+
V 2
V+
V 3
V+
V 4
V=¿
¿
13
S1da
V+
13
S2db
V+
13
S3dc
V+
13
S4 dd
V=¿
¿
13
S1da
13
S1 ha
+
13
S2db
13
S2 hb
+
13
S3dc
13
S3 hc
+
13
S4 dd
13
S4 hd
=¿
¿da
ha+
db
hb+
dc
hc+
dd
hd, або
da
ha+
db
hb+
dc
hc+
dd
hd=1.
Задача 2. Довести, що коли в трикутниках ABC i A1 B1C1 рівні кути
А і A1, то S ABC
S A1 B1 C1
= AC ∙BAA1C 1 ∙ B1 A1
.
Доведення:
32
A1
А
C1
B1
H1
D
Е
СH
A1
E1
В
Рис. 4
Виходячи з площ трикутників ABC i A1 B1C1 (рис. 3) маємо:
S ABC
S A1 B1 C1
=
12
AC ∙ ABsin∠ A
12
A1C1 ∙ A1 B1 sin∠A= AC ∙ AB
A1C1 ∙ A1 B1 , що й потрібно було довести.
Задача 2' '. Довести, що об’єми двох тетраедрів зі спільним тригранним кутом відносяться як добутки ребер, які утворюють цей кут.
Доведення.∠D – спільний тригранний кут для тетраедрів DABC і D A1 B1 C1(рис 4), AD=a, DB=b, DC=c,тоді
V DABC
V D A 1 B1 C1
=
13
S ADB ∙ CH
13
SA 1 D B1∙ C1 H1
=
12
absin∠ADB ∙ СH
12
a1b1sin∠ A1 D B1 ∙C1 H 1
= ab ∙ CHa1 b1 ∙ C1 H1
.
З подібності ∆ DEC i ∆ D E1 C1 маємо СН
С1 Н 1 =
DCDC1
= CC1
.
Отже, V DABC
V D 1 A 1 B1 C1
= abca1b1c1
.
Задача 3. Довести, що площа S трикутника ABC обчислюється за
формулоюS=12
ab sin C .
33
А
b
BСD
Рис. 5
D
Розв'язання.
З ∆ ABC (рис. 5): S=12
ab.
З ∆ ADC (∠ ADC=90 °): h=bsin∠C. Тоді
S=12
ab sin C.
Виведемо допоміжну формулу
S= c2 sin α sin β2sin γ
.
S=12
ab sin γ (1)
S=12
bcsin α (2)
S=12
acsin β (3)
З формул (1) і (2) отримаємо a sin γ=с sin α , звідки a= c sin αsin γ
.
Підставимо цей результат у формулу (3)
S=12
ac sin β=12
c sin αsin γ
∙ c sin β= c2 sin α sin β2sin γ
(4)
Задача 3". Довести, що об'єм V тетраедра DABC обчислюється за
формулоюV=23
S1 S2 sinφa , де S1,S2 – площі двох довільних граней; a – довжина
їх спільного ребра; φ – кут між цими гранями.
Розв'язання.
34
А В
СРис. 7
Позначимо S1, і S2 – площі граней АВС і DBC тетраедра DABC (рис. 6). ВС – їх спільне ребро, К і Е – проекції точки D на грань АВС і ребро ВС відповідно. Позначимо кут ∠DEK=φ, а ВС=а,S1=SABC , S2=SDBC
V=13
S ABC ∙DК=13
S1 ∙ DК
З ∆ DBC SDBC=S2=12
BC ∙ DE , звідки DE=2S2
BC=
2 S2
a .
З ∆ D D1 E (⦟D D1 E=90 °) : DK=DEsin φ=2S2
asin φ
Отже, V= 1S
S1 ∙2 S2
asin φ=2
3S1 S2 sin φ
a .
Задача 4. Якщо через кожну вершину трикутника ABC провести прямі, паралельні його сторонам, то дістанемо трикутник A1 B1C1 . Довести, що їх площі відносяться, як 1 : 4.
Задача 4". Через кожне ребро тетраедра проведена площина, паралельна протилежному ребру. Довести, що об'єм тетраедра відноситься до об'єму утвореного паралелепіпеда, як 1 : 3.
Доведення. 35
Рис. 6
ВA
D C
Рис. 8
А
BС D
Рис. 9
H
Нехай A1 B1C1 D - даний тетраедр (рис. 8). Зрозуміло, що об'єм кожного з тетраедрів ABD A1 , BDC C1 , A1 B1C1 B і A1 D1C1 D дорівнює одній шостій об'єму побудованого паралелепіпеда.
Позначимо об'єм паралелепіпеда V n і тетраедра A1 В C1 D - V т . Тоді
V n
V т=
V n
V n−46
V n
=3.
Задача 5. Довести, що медіана трикутника ділить його площу пополам.
Доведення.Нехай АВС – даний трикутник (рис.9), АН – його висота, AD –
медіана цього трикутника.
SADC=12
CD∙ h, SAB D=12
DB∙ h.
Оскільки AH – медіана, то відрізки CD=DB, а тому і площі цих трикутників рівні
36
D
А В
CE
Рис. 10
h
А
ВС
Х
Рис. 11
Задача 5". Довести, що площина, яка проведена через ребро тетраедра і середину протилежного ребра, ділить його на два тетраедри з рівними об'ємами.
Доведення. Справді, в утворених тетраедрах основи ACE і ABE рівновеликі і висота h спільна (рис. 10).
Задача 6. Знайти в середині трикутника АВС таку точку Х, щоб площі трикутників ХВС, ХАС, ХАВ були рівні між собою.
Розв’язання.
I спосібНехай АВС – даний трикутник (рис. 11), Х – точка всередині даного
трикутника, Х1, Х2 - точки перетину прямих АХ, ВХ зі сторонами трикутника АВС, А Н1 , Х Т 1 – висоти трикутників АВ Х1 , і Х Т 1 Х1.
SABC=S
SAХB=SAХC=SBХC=S3
SBХC
S AВC=
12
BC ∙ Х Т1
12
BC ∙ А Н 1
=Х Т1
А Н 1.
37
В
А
С
Х2
Х
Х3
Н1
Н2
D
А В
CE
Рис. 13
Х
З іншої сторони SBХC
S AВC= 1
3 , звідкиХ Т 1
А Н 1=1
3 .
З подібності трикутників АВ Х1 , і Х Т 1 Х1. Х T 1
A H 1=
Х Х1
A Х1=1
3, звідки AХ
Х Х1=2
1
Аналогічно BХХ Х2
=2 ,
Отже, A Х1 і B Х2−медіани трикутника.
II - спосібПозначимо точку перетину прямих АХ, ВХ, СХ зі сторонами
трикутника Х1, Х2, Х3. Трикутники АХВ і АХС (рис. 12 ) мають рівні площі і спільну сторону АХ. Опустимо на пряму АХ висоти ВН1 і СН2. Чотирикутник ВН1СН2 – паралелограм, оскільки B H 1=C H2і ВН1 || СН2 . У паралелограмі ВН1СН2 ВХ1 = СХ1. Отже, АХ1 – медіана трикутника АВС. Аналогічно доводимо, що ВХ2 і СХ3 – теж медіани, тобто Х – центроїд трикутника АВС.
Задача 6' '. Знайти всередині тетраедра DABC таку точку Х, щоб об’єми тетраедрів ХАВС, XDBC,XBDA,XACD були рівні між собою.
38
Х1
Рис. 12
D
А В
CРис. 14
Х
K
Нехай DABC – даний тетраедр (рис. 13), Х – точка всередині тетраедра. Довести цю задачу можна аналогічно задачі про трикутник, але цей факт випливає із подібності трикутників D D1 K i X X1 K(рис. 14), де D1 і Х1 – основи перпендикулярів проведених з точок D і X на площину АВС, К – точка перетину прямої DX з площиною основи.
39
Використана література
1. Кушнір І.А. Методи розв’язування задач з геометрії: Кн. Для вчителя / І.А. Кушнір. – К.: Абрис, 1994. – 464 с.: іл. – Бібліогр: с. 460-461.
2. Кушнір І.А. Побудова трикутника. Енциклопедія розв’язування задач: Навч. посібник / І.А. Кушнір. – К.: Либідь, 1994. – 80 с.
3. Кушнір І.А. Трикутна піраміда у задачах: Навч. посібник / І.А. Кушнір. – К.: Либідь, 1994. – 112 с. – С. 55–70.
4. Кушнір І.А. Трикутник і тетраедр у задачах: Для ст. шк. віку. / І.А. Кушнір. – К.: Рад. шк, 1991. – 208 с.
5. Кушнір І.А. Трикутник у задачах: Навч. посібник / І.А. Кушнір. – К.: Либідь, 1994. – 104 с.
6. Кушнір И.А. Шедеврышкольной математики. Ч.2 / И.А. Кушнір. – К.: Аспарта, 1995. – 509 с.
7. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии . Ч. ІІ. / В.В. Прасолов – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989– 288 с. – (б-ка мат. кружка).
8. Прасолов В.П. Задачи по стереометрии / В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 288 с. – (б-ка мат. кружка).
9. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии [Електронний ресурс] / В. В. Прасолов. – М.: МЦНМО, 2006. – Режим доступу: http://www.mccme.ru / – Назва з екрану. – Дата звернення: 17.11.2015.
40
10.Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Стереометрия / [Електронний ресурс] / Шарыгин И. Ф. – М ., Наука, 1984. – Режим доступу: http://ilib.mccme.ru/ – Назва з екрану. – Дата звернення: 17.11.2015.
11.Методическиерекомендации по организации и проведениюмастер-класса (подготовлены методистом РИМК Марюфич Т.В.) / [Електронний ресурс] / https://docviewer.yandex.ru/ – Назва з екрану. – Дата звернення: 06.12.2015.
12.Мастер-класс учителя математикиГалактионовойВалентиныСергеевныпо теме: «Особенностиорганизацииобученияв рамках компетентностно-ориентированноймоделиобразовательногопроцесса» / [Електронний ресурс] /https://docviewer.yandex.ru/ – Назва з екрану. – Дата звернення: 06.12.2015.
13.Бегматова Ю.В., учитель математики МОУ СОШ No2/ [Електронний ресурс] / https://docviewer.yandex.ru/– Назва з екрану. – Дата звернення: 06.12.2015.
14.Представлениепедагогическогоопыта через мастер-класс/ [Електронний ресурс] / https://docviewer.yandex.ru/ – Назва з екрану. – Дата звернення: 06.12.2015
41
42
43
44 1 2 4342 3 4 4140 5 6 3938 7 8 3736 9 10 3534 11 12 3332 13 14 3130 15 16 2928 17 18 2726 19 20 2524 21 22 23
44,1,42,3,40,5,38,7,36,9,34,11,32,13,30,15,28,17,26,19,24,212,43,4,41,6,39,8,37,10,35,12,33,14,31,16,29,18,27,20,25,22,23
44
