1 - Uvod u fiziku

Kemijsko – tehnološki fakultet Sveučilišta u Splitu

Stručni studij kemijske tehnologije i materijala

Stručni studij prehrambene tehnologije

Ivica SoriIvica Sorićć

Predavanja iz FizikePredavanja iz Fizike

1 - Uvod u fiziku

LiteraturaLiteratura

1.1. P. KuliP. Kuliššiićć: Mehanika i toplina, : Mehanika i toplina, ŠŠkolska knjiga, Zagreb, 1955.kolska knjiga, Zagreb, 1955.2.2. N. Cindro: Fizika I, N. Cindro: Fizika I, ŠŠkolska knjiga, Zagreb, 1991.kolska knjiga, Zagreb, 1991.3.3. N. Cindro: Fizika iI, N. Cindro: Fizika iI, ŠŠkolska knjiga, Zagreb, 1985.kolska knjiga, Zagreb, 1985.4.4. I. SoriI. Sorićć: Predavanja iz fizike (u .pdf formatu): Predavanja iz fizike (u .pdf formatu)5.5. I. SoriI. Sorićć: Vje: Vježžbe iz fizike (u .pdf formatu)be iz fizike (u .pdf formatu)

Materijali iz toMaterijali iz toččke ke 44 i i 55 mogu se namogu se naćći na adresi:i na adresi:

http://www.fesb.hr/~suri/ktf/http://www.fesb.hr/~suri/ktf/

kontakt: kontakt: suri@fesb.hrsuri@fesb.hr

1 - Uvod u fiziku

Prvo predavanjePrvo predavanje

Uvod u fizikuUvod u fiziku Meñunarodni sustav jedinicaMeñunarodni sustav jedinica

Vektori i skalariVektori i skalari Derivacija i integralDerivacija i integral

1 - Uvod u fiziku

O fiziciO fizici

Fizika je znanost Fizika je znanost ččiji je cilj naiji je cilj naćći zakonitosti po kojima se odvijaju i zakonitosti po kojima se odvijaju pojave u prirodi.pojave u prirodi.

Eksperiment je postupak kojim se promatra prirodna pojava ili seEksperiment je postupak kojim se promatra prirodna pojava ili seizaziva radi opaizaziva radi opažžanja, istraanja, istražživanja i otkrivanja zakonitosti.ivanja i otkrivanja zakonitosti.

Fizikalna teorija se prihvaFizikalna teorija se prihvaćća kao uspjea kao uspješšna ako su teorijske predikcije na ako su teorijske predikcije u skladu s eksperimentalnim podatcima.u skladu s eksperimentalnim podatcima.

Podrobnije prirodoznanstveno razumijevanje prirode ukazuje da svPodrobnije prirodoznanstveno razumijevanje prirode ukazuje da sve e pojave u prirodi slijede relativno mali broj napojave u prirodi slijede relativno mali broj naččela. ela.

Fizika je istraFizika je istražžujuujućći temeljne zakone prirode i definirajui temeljne zakone prirode i definirajućći osnovna i osnovna nanaččela, znanstvene metode i pojmove posluela, znanstvene metode i pojmove poslužžila za izgradnju svih ila za izgradnju svih drugih prirodnih i tehnidrugih prirodnih i tehniččkih znanostikih znanosti

Svaki zakon fizike izraSvaki zakon fizike izražžava odnos izmeñu fizikalnih veliava odnos izmeñu fizikalnih veliččina u obliku ina u obliku matematimatematiččke jednadke jednadžžbebe

1 - Uvod u fiziku

Podjela fizikaPodjela fizika

KlasiKlasiččna fizika na fizika fizika je evoluirala do sadafizika je evoluirala do sadaššnjeg statusa kroz 2500 godina, njeg statusa kroz 2500 godina,

jednostavne teorije i pojmovi su zamjenjivani novijim jednostavne teorije i pojmovi su zamjenjivani novijim teorijama s sve veteorijama s sve veććom sposobnoom sposobnoššćću predviñanjau predviñanja

KlasiKlasiččna fizika temelji se na Newtonovoj mehanici i na fizika temelji se na Newtonovoj mehanici i Maxwellovu elektromagnetizmu.Maxwellovu elektromagnetizmu.

Moderna fizika Moderna fizika 1900 1900 –– Planck kvantnom hipotezom zapoPlanck kvantnom hipotezom započčeo razvoj eo razvoj

kvantne teorije, doprikvantne teorije, doprinosima Einsteina, Bohra, nosima Einsteina, Bohra, Heisenberga, SchrHeisenberga, Schröödingera, de Broglia, Diraca, Paulia, 30dingera, de Broglia, Diraca, Paulia, 30--tih godina 20 stoljetih godina 20 stoljećća zaokrua zaokružžena kvantna teorija.ena kvantna teorija.

1905 Einsteinova specijalna teorija relativnosti i op1905 Einsteinova specijalna teorija relativnosti i općća a teorija relativnosti 1915. teorija relativnosti 1915.

1 - Uvod u fiziku

NajvaNajvažžnijiniji konceptikoncepti klasiklasiččnene fizikefizike

Svemir podijeljen u dvije kategorije: Svemir podijeljen u dvije kategorije: ččestice i valoveestice i valove ČČestice:estice:

(ne samo to(ne samo toččkaste kaste ččestice, veestice, većć i planete, ljudi, etc.)i planete, ljudi, etc.)

svojstva: masa, kolisvojstva: masa, količčina gibanja, mjesto u prostoru ina gibanja, mjesto u prostoru …… zadovoljavaju Newtonove jednadzadovoljavaju Newtonove jednadžžbebe odgovori na pitanja:odgovori na pitanja:

Kako izgledaju putanje Kako izgledaju putanje ččestica?estica? Kako se Kako se ččestice ponaestice ponaššaju nakon sudara?aju nakon sudara?

Valovi:Valovi: svojstva: valna duljina, amplituda, fazna brzina svojstva: valna duljina, amplituda, fazna brzina …… zadovoljavaju valnu jednadzadovoljavaju valnu jednadžžbubu odgovori na pitanja:odgovori na pitanja:

Kako se val Kako se val šširi u sredstvu?iri u sredstvu? Kako se valovi ponaKako se valovi ponaššaju pri nailasku na prepreku?aju pri nailasku na prepreku?

Osnovna meñudjelovanjaOsnovna meñudjelovanja: : gravitacijsko i elektromagnetskogravitacijsko i elektromagnetsko Sistemi sastavljeni od velikog broja Sistemi sastavljeni od velikog broja ččestica estica ⇒⇒ termodinamikatermodinamika

1 - Uvod u fiziku

Moderna fizikaModerna fizika

Moderna fizika se grubo moModerna fizika se grubo možže podijeliti na tri podrue podijeliti na tri područčja:ja: Nuklearna i atomska fizikaNuklearna i atomska fizika ––izuizuččava strukturu atoma i jezgre. ava strukturu atoma i jezgre.

PraktiPraktiččna primjena, laseri, fisijski i fuzijski reaktorina primjena, laseri, fisijski i fuzijski reaktori Fizika Fizika ččvrstog stanjavrstog stanja -- izuizuččava kako ponaava kako ponaššanje materije na anje materije na

atomskoj razini utjeatomskoj razini utječče na makroskopska svojstva materijala. e na makroskopska svojstva materijala. PraktiPraktiččne primjene su tehnologija poluvodine primjene su tehnologija poluvodičča, supravodljivost, a, supravodljivost, nanotehnologijananotehnologija

Fizika elementarnih Fizika elementarnih ččesticaestica –– izuizuččava najfundamentalniju ava najfundamentalniju strukturu materije strukturu materije –– ččestice i sile. Trenutno direktne primjene estice i sile. Trenutno direktne primjene nema ali su eksperimenti u fizici elementarnih nema ali su eksperimenti u fizici elementarnih ččestica pokretaestica pokretačči i novih tehnologija koje se novih tehnologija koje se šširoko primjenjuju (medicinska iroko primjenjuju (medicinska dijagnostika, softverska rjedijagnostika, softverska rješšenja (web, grid), ... enja (web, grid), ... Standardni Standardni model model –– teorija o najfundamentalnijoj grañi materije je jedno od teorija o najfundamentalnijoj grañi materije je jedno od, , ako ne i najveako ne i najvećće intelektualno postignue intelektualno postignućće ljudskog roda za sada.e ljudskog roda za sada.

1 - Uvod u fiziku

FizikaFizika danasdanas

IstraIstražživanje svemiraivanje svemira Astrofizika, astroAstrofizika, astroččestiestiččna fizika, astronomijana fizika, astronomija Najnovije spoznaje (fizika supernova): svemir se Najnovije spoznaje (fizika supernova): svemir se šširi sve briri sve bržže !e !

Fizika visokih energijaFizika visokih energija Ispituje fenomene sve bliIspituje fenomene sve bližže trenutku stvaranja svemira!e trenutku stvaranja svemira! IstraIstražživanje crne materije, odgovorne za evoluciju svemiraivanje crne materije, odgovorne za evoluciju svemira Standardni Model Standardni Model ččestica i interakcija meñu njimaestica i interakcija meñu njima::

Najpotpunija i najpreciznija teorija u povijesti Najpotpunija i najpreciznija teorija u povijesti ččovjeovječčanstva! anstva! (ali i dalje samo aproksimacija!!!)(ali i dalje samo aproksimacija!!!)

Trenutno najvaTrenutno najvažžnije pitanje: Odakle nije pitanje: Odakle ččesticama masa?esticama masa? NanotehnologijaNanotehnologija

Fizika na skali manjoj od 0,0000001 m (100 nm)Fizika na skali manjoj od 0,0000001 m (100 nm) Kvantna fizikaKvantna fizika

Kvantno raKvantno raččunanjeunanje Trenutni prijenos osobina jednog atoma na drugi (eng. entaglemenTrenutni prijenos osobina jednog atoma na drugi (eng. entaglement)t)

1 - Uvod u fiziku

DimenzijeDimenzije i i mjerenjemjerenje fizikalnihfizikalnih veliveliččinaina

VaVažžnost mjerenjanost mjerenja Wiliam Thomson, lord Kelvin (1824Wiliam Thomson, lord Kelvin (1824--1907)1907)

“…“… Kada ono o Kada ono o ččemu govorite moemu govorite možžete izmjeriti i izraziti brojevima, tada ete izmjeriti i izraziti brojevima, tada znate neznate neššto o tome; kada to ne moto o tome; kada to ne možžete izmjeriti, tada je vaete izmjeriti, tada je vašše znanje e znanje oskudno i nedovoljno oskudno i nedovoljno …”…”

Fizikalna veliFizikalna veliččinaina:: je mjerljivo svojstvo tijela, stanja ili je mjerljivo svojstvo tijela, stanja ili fizikalnog procesa o kojem ovisi fizikalna pojavafizikalnog procesa o kojem ovisi fizikalna pojava

Mjerenje fizikalnih veliMjerenje fizikalnih veliččina = uina = usporeñivanje s danim sporeñivanje s danim istovrsnim veliistovrsnim veliččinama, inama, jedinicama jedinicama

Reduciranje broja fizikalnih veliReduciranje broja fizikalnih veliččina za opis fizikalnih zakona ina za opis fizikalnih zakona ⇒⇒ osnovne fizikalne veliosnovne fizikalne veliččineine (nezavisne jedna o drugoj)(nezavisne jedna o drugoj)

Izbor osnovnih fizikalnih veliIzbor osnovnih fizikalnih veliččina stvar dogovoraina stvar dogovora Izvedene fizikalne veliIzvedene fizikalne veliččineine su izrasu izražžene preko osnovnih ene preko osnovnih

fizikalnih velifizikalnih veliččinaina

1 - Uvod u fiziku

Osnovne fizikalne veliOsnovne fizikalne veliččine i mjerne jediniceine i mjerne jedinice

Meñunarodni sustav mjernih jedinica SIMeñunarodni sustav mjernih jedinica SI(Syst(Systééme International) me International) --tzv. metritzv. metriččki sustav.ki sustav.

PrihvaPrihvaććen na 14. zasjedanju Generalne konferencije za utege i en na 14. zasjedanju Generalne konferencije za utege i mjere, 1971. godine.mjere, 1971. godine.

1 - Uvod u fiziku

Definicije osnovnih jedinica SI sustavaDefinicije osnovnih jedinica SI sustava

•• MetarMetar jeje duljinaduljina putaputa kojikoji u u vakuumuvakuumu svjetlostsvjetlost prijeñeprijeñe zaza vrijemevrijeme 1/299 792 1/299 792 458458 sekundisekundi..

•• Kilogram Kilogram jeje masamasa meñunarodnemeñunarodne pramjerepramjere ((prototipaprototipa) ) kojakoja se se ččuvauva u u MeñunarodnomMeñunarodnom ureduuredu zaza utegeutege i i mjeremjere u u SevresuSevresu krajkraj ParizaPariza..

•• SekundaSekunda jeje trajanjetrajanje 9 192 631 770 9 192 631 770 periodaperioda zrazraččenjaenja kkojeoje nastajenastaje pripriprijelazuprijelazu elektronaelektrona izmeñuizmeñu dvijudviju hiperfinihhiperfinih razinarazina osnovnogosnovnog stanjastanja atomaatoma133133CsCs..

•• StalnaStalna elektrielektriččnana strujastruja imaima vrijednostvrijednost jedanjedan amperamper akoako, , prolazeprolazeććii u u svakomsvakomodod dvadva paralelnaparalelna, , ravnaravna, , beskonabeskonaččnono dugaduga vodivodiččaa, , zanemarivozanemarivo malenogmalenogpresjekapresjeka,, razmaknutarazmaknuta jedanjedan mmeetar u tar u vakuumuvakuumu, , uzrokujeuzrokuje izmeñuizmeñu njihnjih silusilu221010--77 njutnanjutna popo jednumjednum metrumetru dudužžineine vodivodiččaa..

•• Kelvin Kelvin jeje termodinamitermodinamiččkaka temperaturatemperatura kojakoja jeje jednakajednaka 273,16273,16--tomtom dijeludijelutermodinamitermodinamiččkeke temperature temperature trojnetrojne totoččkeke vodevode..

•• Kandela je jakost svjetlosti u danom pravcu izvora koji emitira Kandela je jakost svjetlosti u danom pravcu izvora koji emitira monokromatsko zramonokromatsko zraččenje frekvencije 5,4enje frekvencije 5,410101414 herca i herca i ččija je energetska ija je energetska jakost u tom pravcu 1/683 vata po steradijanu.jakost u tom pravcu 1/683 vata po steradijanu.

•• Mol je koliMol je količčina tvari koja sadrina tvari koja sadržži toliko jednakih i toliko jednakih ččestica (molekula, atoma, estica (molekula, atoma, iona, elektrona i sl.) koliko ima atoma u 0,012 kg izotopa ugljiiona, elektrona i sl.) koliko ima atoma u 0,012 kg izotopa ugljika ka 1212

66C.C.

1 - Uvod u fiziku

NekeNeke dopunskedopunske jedinicejedinice

oo PloPloššnini kutkut -- radijanradijan ((znakznak: : radrad iliili 1)1)•• Jedan radijan je ravninski kut, s vrhom u srediJedan radijan je ravninski kut, s vrhom u središštu krutu kružžnice, nice, ččiji krakovi na njoj omeñuju luk duljine jednake iji krakovi na njoj omeñuju luk duljine jednake

polumjeru krupolumjeru kružžnicenice

oo ProstorniProstorni kutkut -- steradijansteradijan ((znakznak: : srsr))•• Steradijan je jednak prostornom kutu stoSteradijan je jednak prostornom kutu stoššca, s vrhom u sredica, s vrhom u središštu kugle, koji na povrtu kugle, koji na površšini te kugle omeñuje ini te kugle omeñuje

povrpovrššinu jednaku kvadratu polumjerainu jednaku kvadratu polumjera

r

lrad =)(φr

φ( ) oradrad 18014,3)( =≈π

Sr2

)(r

Ssr =φ

1 - Uvod u fiziku

GrGrččki alfabetki alfabet

IzgovorIzgovor VelikoVeliko MaloMalo

alalfafa ΑΑ ααbetabeta ΒΒ ββgamagama ΓΓ γγdeltadelta ∆∆ δδepsilonepsilon ΕΕ εεzetazeta ΖΖ ζζetaeta ΗΗ ηηtthhetaeta ΘΘ θθjotajota ΙΙ ιιkapakapa ΚΚ κκlambdalambda ΛΛ λλmmii ΜΜ µµ

IzgovorIzgovor VelikoVeliko MaloMalo

nini ΝΝ ννksksii ΞΞ ξξomiomikkronron ΟΟ οοpipi ΠΠ ππrrhhoo ΡΡ ρρsigmasigma ΣΣ σσtautau ΤΤ ττiipsilonpsilon ΥΥ υυffii ΦΦ ϕϕhihi ΧΧ χχpsipsi ΨΨ ψψomegaomega ΩΩ ωω

1 - Uvod u fiziku

Prefiksi jedinica SI sustavaPrefiksi jedinica SI sustava

faktorfaktor prefiksprefiks simbolsimbol

10102424 jotajota YY

10102121 zetazeta ZZ

10101818 eksaeksa EE

10101515 petapeta PP

10101212 teratera TT

101099 gigagiga GG

101066 megamega MM

101033 kilokilo kk

101022 hektohekto hh

101011 dekadeka dada

faktorfaktor prefiksprefiks simbolsimbol

1010--11 decideci dd

1010--22 centicenti cc

1010--33 milimili mm

1010--66 mikromikro mm

1010--99 nanonano nn

1010--1212 pikopiko pp

1010--1515 femtofemto ff

1010--1818 atoato aa

1010--2121 zeptozepto zz

1010--2424 joktojokto jj

1 - Uvod u fiziku

Dimenzionalna analizaDimenzionalna analiza

oo Dimenzija definira pojmovni sadrDimenzija definira pojmovni sadržžaj fizikalne veliaj fizikalne veliččine.ine.oo Simboli: L Simboli: L -- dudužžina, M ina, M –– masa, T masa, T –– vrijeme.vrijeme.oo Uglatim zagradama Uglatim zagradama [][] oznaoznaččava se dimenzija fizikalne veliava se dimenzija fizikalne veliččine, ine,

Svaka se fizikalna veliSvaka se fizikalna veliččina izraina izražžava u obliku: ava u obliku: A = A = AA [[AA]], , AA -- brojbrojččana vrijednostana vrijednost, , [[AA]]--dimenzija (mjerna jedinica)dimenzija (mjerna jedinica)

oo U svim ispravnim fizikalnim jednadU svim ispravnim fizikalnim jednadžžbama dimenzije lijeve i desne bama dimenzije lijeve i desne strane jednadstrane jednadžžbe moraju biti iste, kao i dimenzije sumanada. be moraju biti iste, kao i dimenzije sumanada. Jedince na jednoj strani jednadJedince na jednoj strani jednadžžbe moraju se podudarati s be moraju se podudarati s jedinicama na drugoj strani jednadjedinicama na drugoj strani jednadžžbebe..

oo Primjer: relacPrimjer: relacija za prijeñeni put kod jednolikog ubrzanog gibanja ija za prijeñeni put kod jednolikog ubrzanog gibanja x=(1/2)atx=(1/2)at2 2 je dimenzionalno ispravna L=(L/Tje dimenzionalno ispravna L=(L/T22)T)T22

oo Dimenzionalna analiza omoguDimenzionalna analiza omoguććuje da se na jednostavan nauje da se na jednostavan naččin in provjeri isparvnost fizikalne jednadprovjeri isparvnost fizikalne jednadžžbe.be.

1 - Uvod u fiziku

MjerenjeMjerenje

Eksperiment je postupak kojim se izaziva neka prirodna pojava raEksperiment je postupak kojim se izaziva neka prirodna pojava radi di opaopažžanja, istraanja, istražživanja i otkrivanja.ivanja i otkrivanja.

Brojanjem savrBrojanjem savrššeno precizno moeno precizno možžemo utvrditi npr. broj studenta u emo utvrditi npr. broj studenta u uuččionici ali ne moionici ali ne možžemo savremo savrššeno precizno izmjeriti njihovu visinu ili eno precizno izmjeriti njihovu visinu ili tetežžinu.inu.

U svakom mjerenju neizbjeU svakom mjerenju neizbježžno su prisutne pogreno su prisutne pogrešške, pa mjerenjem ke, pa mjerenjem momožžemo samo naemo samo naćći najbolju procjenu prave vrijednosti koja nam je i najbolju procjenu prave vrijednosti koja nam je uvijek nepoznata:uvijek nepoznata: grube pogregrube pogrešškeke se mogu izbjese mogu izbjećći a uzrokovane su nepai a uzrokovane su nepažžnjom njom

mjeritelja.mjeritelja. sistematske pogresistematske pogrešškeke se u nase u naččelu mogu izbjeelu mogu izbjećći odabirom i odabirom

odgovarajuodgovarajuććeg mjernog ureñaja ieg mjernog ureñaja i/ili metode mjerenja./ili metode mjerenja. slusluččajne pogreajne pogrešškeke ne mogu se izbjene mogu se izbjećći, nastaju uslijed utjecaja okoline i, nastaju uslijed utjecaja okoline

na promatranu pojavu koje nismo u stanju u potpunosti sagledati na promatranu pojavu koje nismo u stanju u potpunosti sagledati ni ni predvidjeti njihov utjecaj na pojavu koja se mjeri ili su rezultpredvidjeti njihov utjecaj na pojavu koja se mjeri ili su rezultat same at same nasuminasumiččne prirode opane prirode opažžane pojave.ane pojave.

1 - Uvod u fiziku

Fizikalne veliFizikalne veliččine se razlikuju po broju podataka koji je potreban za ine se razlikuju po broju podataka koji je potreban za njihovo jednoznanjihovo jednoznaččno odreñenjeno odreñenje..

Temperatura, masa, energija Temperatura, masa, energija –– jedan podatak (SKALAR)jedan podatak (SKALAR) Pomak, brzina, sila Pomak, brzina, sila -- tri podatkatri podatka ((VEKTORVEKTOR))

Vektori i skalariVektori i skalari

hvatište

vrh

duljina

x

y

z

aaz

ay

axiv

kr

jr

kajaiaa zyx

rrrr++=

1 - Uvod u fiziku

Kako raKako raččunamo s vektorima (vektorska unamo s vektorima (vektorska

analiza)analiza)

oo RaRaččunanje s vektorima u naunanje s vektorima u naččelu se svodi na operacije meñu elu se svodi na operacije meñu komponentama vektora.komponentama vektora.

oo KojeKoje su sve operacije meñu vektorima su sve operacije meñu vektorima::1.1. Zbrajanje (oduzimanje) vektorZbrajanje (oduzimanje) vektor2.2. Produkt vektora i skalaraProdukt vektora i skalara3.3. Skalarni produkt Skalarni produkt 4.4. Vektorski produktVektorski produkt

ax,, ay, az

1 - Uvod u fiziku

JediniJediniččni vektorni vektor

JediniJediniččni vektor ili ort je vektor iznosa 1. znaka je obini vektor ili ort je vektor iznosa 1. znaka je običčno . Svaki se vektor mono . Svaki se vektor možže napisati kao e napisati kao produkt jediniprodukt jediniččnog vektora i iznosa vektora: nog vektora i iznosa vektora:

0ar

aaa 0 ⋅⋅⋅⋅====rr

MnoMnožženje vektora sa skalaromenje vektora sa skalarom

(((( )))) λλλλλλλλλλλλ aaaa 0

rrr========

1 - Uvod u fiziku

Zbrajanje vektoraZbrajanje vektora

Pravilo paralelogramaPravilo paralelograma HvatiHvatiššte jednog vektora dovede se na vrh drugog te jednog vektora dovede se na vrh drugog

vektora te vektor koji se protevektora te vektor koji se protežže od hvatie od hvatiššta ta jednog do vrha drugog vektora daje vektorski jednog do vrha drugog vektora daje vektorski zbroj ta dva vektora.zbroj ta dva vektora.

ab

c

Oduzimanje vektora: svede se na zbrajanje uz promjenu smjera vektora koji se oduzima

1 - Uvod u fiziku

Zbrajanje vektoraZbrajanje vektora

Ako imamo viAko imamo višše od dva vektora, moe od dva vektora, možžemo ih emo ih nadovezivati jedan na drugog, te ponadovezivati jedan na drugog, te poččetak prvog etak prvog spojiti s krajem posljednjeg i tako dobiti zbrojspojiti s krajem posljednjeg i tako dobiti zbroj

ab

c

da+b+c+d

1 - Uvod u fiziku

Oduzimanje vektoraOduzimanje vektora

Oduzimanje vektora radi se na isti naOduzimanje vektora radi se na isti naččin kao i zbrajanje in kao i zbrajanje samo sto se pri tome promjeni smjer vektora koji se samo sto se pri tome promjeni smjer vektora koji se

oduzimaoduzima

a

b-b

c=a-b

-b

1 - Uvod u fiziku

Vektor poloVektor položžaja (radijusvektor)aja (radijusvektor)

U fizikalnim razmatranjima U fizikalnim razmatranjima ččesto se pojavljuje vektor poloesto se pojavljuje vektor položžaja (radijvektor) koji aja (radijvektor) koji opisuje poloopisuje položžaj toaj toččke u prostoru.ke u prostoru.

rr

x

y

z

ir j

r

kr

a

c

b

rr

kajaiar zyx

rrrr++++++++====

gdje su gdje su aa, , bb i i cc iznosi projekcija iznosi projekcija vektora na koordinatne osi x, y i z, vektora na koordinatne osi x, y i z, a jedinia jediniččni vektori u smjeru ni vektori u smjeru tih osiju.tih osiju.

Iznos radijvektora (udaljenost toIznos radijvektora (udaljenost toččke ke od ishodiod ishodiššta) rata) raččuna se kao:una se kao:

kij,irrr

2

z

2

y

2

x aaarr ++++++++========r

1 - Uvod u fiziku

Vektor poloVektor položžaja (radijusvektor)aja (radijusvektor)

JediniJediniččni vektor u smijeru vektora definira se kao:ni vektor u smijeru vektora definira se kao:

ir

x

y

z

jr

kr

a

c

b

rr

α

β

γ

0rr

0rr

rr

1coscoscos

kcosjcosicosr

kr

rj

r

ri

r

r

r

rr

222

0

zyx0

====++++++++

++++++++====

++++++++========

γγγγββββαααα

γγγγββββααααrrrr

rrrr

r

1 - Uvod u fiziku

Skalarni produktSkalarni produkt

Definicija: Definicija:

0kj

0ki

0ji

====⋅⋅⋅⋅

====⋅⋅⋅⋅

====⋅⋅⋅⋅

rr

rr

rr

222zyx aaaaaaa ++=⋅==

rrr

bia vektora izmedju kutjecosabbarrrr

αααααααα ⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅

o90 okomiti, bia0ba ====⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅ ααααrrr

1kk

1jj

1ii

====⋅⋅⋅⋅

====⋅⋅⋅⋅

====⋅⋅⋅⋅

rr

rr

rr

ααααa

b

zzyyxx babababa ++++++++====⋅⋅⋅⋅rr

aa okomito na bokomito na b ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

Iznos skalarnog produkta:Iznos skalarnog produkta:

duljina vektora:duljina vektora:Kut izmeñu dvaju vektoraKut izmeñu dvaju vektora::

2

y

2

y

2

x

2

y

2

y

2

x

zzyyxx

bbbaaa

bababa

ab

bacos

++++++++++++++++

++++++++====

⋅⋅⋅⋅====

rr

αααα

1 - Uvod u fiziku

Vektorski produktVektorski produkt

Definicija: Definicija: )b,a(sinabccbacrrrrrr

∠∠∠∠========××××==== 0baba ====××××⇒⇒⇒⇒rrrr

kajaiaa zyx

rrrr++++++++====

kbjbibb zyx

rrrr++++++++====

0kk

0jj

0ii

====××××

====××××

====××××

rr

rr

rr

ijk,jik

ikj,kij

jki,kji

rrrrr

rrrrrr

rrrrrr

−−−−====××××====××××

====××××−−−−====××××

−−−−====××××====××××

(((( ))))bacbca

caba)cb(a

abba

rrrr

rrrrrr

rrrr

××××====××××

××××++++××××====++++××××

××××−−−−====××××

Smjer vektora nalazimo po pravilu desne ruke: Prste dlana stavimo duž prvog vektora u vektorskom produktu i zakrenemo ih prema drugom vektoru ,tada palac pokazuje smjer vektora .Ili, palac postavimo duž prvog vektora (a), kažiprst duždrugog vektora (b) te tada srednji prst koji se drži okomito na palac i kažiprst pokazuje smjer vektora .

ar

br

cr

cr

cr

1 - Uvod u fiziku

RaRaččunanje vektorskog produktaunanje vektorskog produkta

r

Površina paralelograma

Zakretni moment sile

(((( )))) (((( )))) (((( ))))kbabajbabaibaba

bb

aak

bb

aaj

bb

aai

bbb

aaa

kji

xyyxxzzxyzzy

yx

yx

zx

zx

zy

zy

zyx

zyx

rrr

rrr

rrr

−−−−++++−−−−−−−−−−−−====

====++++−−−−====

( ) ( ) ( )kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzy

rrrrr−+−+−=×

FM

ααααsinabP,baP ====××××====rrrr

FrMrrr

××××====

α

Pr

ar

br

1 - Uvod u fiziku

MjeMješšoviti produktoviti produkt

a

bc

Vektorski produkt uvijek mora dati

vektor koji je usmjeren unutar volumena.

Jedinični vektori su linearno nezavisni: Nema načina da

suma jediničnih vektora bude nula: osim

kad je

( )bacVrrr

×⋅=

(((( )))) (((( )))) (((( ))))acbcbabacrrrrrrr

××××⋅⋅⋅⋅====××××⋅⋅⋅⋅====××××⋅⋅⋅⋅

Volumen paralelepipeda

0kcjcic 321 ≠≠≠≠++++++++rrr

0ccc 321 ============

1 - Uvod u fiziku

DerivacijaDerivacija

Derivacija neke funkcije je naglost promjene vrijednosti Derivacija neke funkcije je naglost promjene vrijednosti funkcije pri maloj promjeni jedne od varijabli funkcije. funkcije pri maloj promjeni jedne od varijabli funkcije. Ako se u vremenu poloAko se u vremenu položžaj ne mijenja brzina je nula, a aj ne mijenja brzina je nula, a

ako se mijenja brzina je razliako se mijenja brzina je različčita od nule i to veita od nule i to većća a ššto to je veje većća promjena poloa promjena položžaja. Sliaja. Sliččno ako je brzina u no ako je brzina u svakom trenutku ista onda je naglost promijene svakom trenutku ista onda je naglost promijene brzine u vremenu jednaka nuli brzine u vremenu jednaka nuli tjtj. akceleracija je . akceleracija je nula.nula.

Na primjer, naglost promjene brzine automobila u Na primjer, naglost promjene brzine automobila u vremenu je akceleracija, a naglost promjene polovremenu je akceleracija, a naglost promjene položžaja aja u vremenu je brzina.u vremenu je brzina.

1 - Uvod u fiziku

Definicija derivacijeDefinicija derivacije

Derivacija je matematiDerivacija je matematiččka velika veliččina koja govori o naglosti ina koja govori o naglosti promijene vrijednosti funkcije pri infinitezimalno maloj promjenpromijene vrijednosti funkcije pri infinitezimalno maloj promjeni i varijable o kojoj ta funkcija ovisi. varijable o kojoj ta funkcija ovisi. NprNpr. f(x) je funkcija od x; . f(x) je funkcija od x; derivacije f(x) iskazuje koliko se funkcija promijeni pri malojderivacije f(x) iskazuje koliko se funkcija promijeni pri malojpromijeni varijable xpromijeni varijable x

I. I. NewtonNewton uveo pojam derivacije te dao matematiuveo pojam derivacije te dao matematiččku definiciju ku definiciju temeljem koje se derivacija motemeljem koje se derivacija možže izrae izraččunati. unati.

x

xfxxf

dx

df

x ∆

−∆+=

→∆

)()(lim

0f(x)

x

Manja promjena vrijednosti funkcije za istu promjenu varijable x

Veća promjena vrijednosti funkcije za istu promjenu varijable x

dx

dftg =α

Derivacija funkcije u nekoj točki je nagib tangente u toj točki

1 - Uvod u fiziku

Derivacija vektorske funkcijeDerivacija vektorske funkcije

Derivacija vektora je derivacija svake pojedine njegove Derivacija vektora je derivacija svake pojedine njegove komponentekomponente

Kad se Kad se ččestica giba njen poloestica giba njen položžaj se mijenja u vremenu, aj se mijenja u vremenu,

u trenutku u trenutku tt11 je a trenutku je a trenutku tt22 je je

Promjena poloPromjena položžaja od trenutka aja od trenutka tt1 1 do do tt22 je:je:

Trenutna brzina je:Trenutna brzina je: dt

rd

t

rtv

t

rrr

=∆∆

=→∆ 0

lim)(

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxrv

rrr&rr

++==

)( 1trr

)( 2trr

)()( 12 trtrrrr

−=∆

1 - Uvod u fiziku

IntegracijaIntegracija

Integral neke funkcije je povrIntegral neke funkcije je površšina ispod krivulje koja ina ispod krivulje koja predstavlja ovisnost te funkcije o varijabli x po kojoj predstavlja ovisnost te funkcije o varijabli x po kojoj se integrira u podruse integrira u područčju od xju od x1 1 do do xx22

xf(x)

∫=2

1

)(

x

x

dxxfISuma ovakvih malih pravokutnika čija je površina f(x)dx je integral funkcije.

x1 x2

kapravokutnivisina )(

kapravokutniširina

−

−

xf

dx

1 - Uvod u fiziku

Pitanja za provjeru znanjaPitanja za provjeru znanja

1.1. NabrojiteNabrojite osnovne jedinice SI sustava. osnovne jedinice SI sustava.

2.2. ŠŠtoto je je dimenzionalnadimenzionalna analiza?analiza?

3.3. ŠŠtoto su vektori a su vektori a ššto skalari, kako se zbrajaju to skalari, kako se zbrajaju (oduzimaju) vektori, kako se ra(oduzimaju) vektori, kako se raččuna skalarni produkt una skalarni produkt dva vektora a kako vektorski produkt dva dva vektora a kako vektorski produkt dva vektora?vektora?