Uvod u modernu fiziku

- kvantna fizika

- atomska i molekularna fizika

- nuklearna fizika

- fizika elementarnih čestica i kozmologija

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- fizika čvrstog stanja

- astronomija i astrofizika

- biofizika, ekonofizika

- nanotehnologija

- ...

Dodatna literatura

1. I. Supek, M. Furić, Počela fizike, Školska knjiga Zagreb, 1994.

2. I. Supek, Teorijska fizika, 2. dio, Školska knjiga Zagreb, 19??.

3. E. H. Wichmann, Kvantna fizika, udžbenik fizike sveučilišta u Berkeleyu

4. I. Supek, Povijest fizike, Školska knjiga Zagreb, 1990.

5. I. Picek, Elementarne čestice, Školska knjiga Zagreb, 1997.

6. R. Eisberg, R. Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids,

Nuclei, and Particles, second edition, John Wiley & Sons, Inc. 1985.

Početkom 20. stoljeća nekoliko je pojava zadavalo fizičarima ogromne muke.

Spomenut ćemo neke od njih:

1. zračenje crnog tijela (elektromagnetsko zračenje koje emitira zagrijano

tijelo)

2. fotoelektrični efekt (emisija elektrona iz osvijetljenog metala)

3. linijski spektar atoma plina (oštre spektralne linije u emisijskom spektru

atoma plina pri električnom izboju)

4. toplinski kapacitet krutina na niskim temperaturama (klasično Cv=konst.;

experimenti: pri T 0, Cv 0 ?)

Pokušaj objašnjavanja ponašanja materije na atomskom nivou, koristeći

zakone klasične fizike, bio je postojano neuspješan.

Između 1900.-1930. nastala je moderna verzija mehanike nazvana kvantna

mehanika ili valna mehanika koja je bila vrlo uspješna u objašnjenju

ponašanja atoma, molekula i jezgri.

Najranije ideje kvantne teorije uveo je Planck, a za većinu nadogradnje

matematičkog aparata, interpretacija i poboljšanja zaslužni su brojni fizičari:

Einstein, Bohr, Schrödinger, de Broglie, Heisenberg, Pauli, Born, Dirac, ...

14. prosinca 1900. rođena je kvantna mehanika: Max Planck na susretu

Njemačkog fizikalnog društva iznio je svoj rad “O teoriji zakona distribucije

energije normalnog spektra”

Uvod

5. Solvayeva međunarodna konferencija o elektronim i fotonima

u Brusselu, 1927. (Ernest Solvay, Belgijski industrijalac)

17 od 29 sudionika dobitnici su Nobelove nagrade

Kvantna fizika predstavlja poopćenje klasične fizike koje uključuje klasične

zakone kao specijalne slučajeve:

RELATIVNOST KVANTNA FIZIKA

-proširuje područje primjene

klasičnih zakona fizike na područje:

-velikih brzina -malih dimenzija

-univerzalna konstanta

- c (brzina svjetlosti) - h (Planckova konstanta)

Savršeno crno tijelo

Savršeno crno tijelo. a = 1, za sve valne duljine i sve temperature.

eIS

Savršeno crno tijelo. Ne postoji u prirodi. Prikazuje se kao

izotermna šupljina s malim otvorom:

Šupljina potpuno apsorbira upadno zračenje koje

uđe u šupljinu: Zraka upadnog zračenja se

brojnim refleksijama potpuno apsorbira.

Reflektirane zrake su sve tanje i tanje, do potpune

apsorpcije.

Prisjećanje: Toplinska ravnoteža. Svako

tijelo i apsorbira i emitira toplinu. Definiramo

intenzitet emitiranog zračenja:

Ako je riječ o kontinuiranom spektru:0 0

dII I d d

d

Savršeno crno tijelo 2

Ako je riječ o kontinuiranom spektru:

Emisiona moć crnog tijela ili

spektralna gustoća zračenja:

R = f(, T) Vrlo česta oznaka (Obično se crta za tijelo poznate T).

0 0

dII I d d

d

,ct

dIf T

d

3,

Wf T

m

Faktor emisije = Def = Omjer emitiranog

zračenja i ukupnog zračenja:

e

Kirchhoffov zakon

Kirchhoff – Proučavao odnose faktora apsorpcije i emisije za crno

tijelo. Zaključak: U ravnoteži je emitirani tok jednak

apsorbiranom.

Za sivo tijelo (< 1):

ct ct

a e

a

Ako je spektar sastavljen od više valnih duljina:

e up a up a

, ,T T a

,1

,

T

T

a Kirchhoffov zakon

Omjer faktora emisije i faktora apsorpcije jednak je jedinici za bilo

koje tijelo.

Kirchhoffov zakon 2

Teorija valova. Veza valne duljine i frekvencije: c

"minus" Frekvencija pada kada raste valna duljina.

2

c cd d d

2, ,

cf T f T

R = f(, T) Umjesto pomoću valne duljine. Pomoću frekvencije

, ,f T d f T d

Spektar zračenja crnog tijela

Izotermnu šupljinu ugrijemo na neku T. Kontinuiran spektar

Ogibna rešetka. Mjerimo intenzitet dijelova spektra širine d za

raličite :

Zaključak: Spektar bitno ovisi o temperaturi. Viša T Ukupna

izračena energija veća (površina ispod krivulje).

Zaključak: Svaki spektar ima maksimum na određenoj m. Viša

T Maksimum se pomiče prema manjim .

Stefan, Boltzmann i Wien Uočili gornja svojstva. Zakoni.

Stefan - Boltzmannov zakon

Jožef Stefan – Iz eksperimentalnih spektara zračenja uočio

zakonitost: Ukupni intenzitet zračenja (energija koju zrači 1m2

površine tijela u sekundi) razmjeran je s četvrtom potencijom

apsolutne temperature crnog tijela.

L. Boltzmann (neovisno o Stefanu) teorijskim razmatranjima

(zakonima termodinamike) došao do istog rezultata:

4

0

,I f T d T

8

2 45,67 10 Stefan-Boltzmannova konstanta

W

m K

4 Stefan-Boltzmannov zakonI T

Ukupna snaga P zračenja crnoga tijela površine S:4P S T

Za realna tijela (siva), koristimo faktor emisije. 4I T

Stefan - Boltzmannov zakon 2

Primjer: Koliku snagu emitira 1 cm2 površine crnoga tijela pri

temperaturi 1000 K, odnosno 2000 K?

1

2

2 4 2

8

2 4

1000

2000

1 10

5,67 10

T K

T K

S cm m

W

m K

4P S T

2 puta veća temperatura. 16 puta veća snaga!

4 4 8 4

1 1 10 5,67 10 1000 5,67P S T W

4 4 8 4

2 2 10 5,67 10 2000 90,7P S T W

Wienov zakon pomicanja

W. Wien (1864. – 1928.) – Iz spektara zračenja. Uočio zakonitost:

32,898 10mT b Km

Valna duljina koja odgovara maksimumu izračene energije m

obrnuto je razmjerna apsolutnoj temperaturi.

Temperatura određuje gdje će biti maksimum spektra:

npr. T = 1000 K Maksimum u infracrvenom području.

T = 6000 K Maksimum u području vidljive svjetlosti.

Wienov zakon pomicanja 2

Primjer:

Odredite temperaturu površine Sunca i snagu koju zrači 1 m2

njegove površine pod pretpostavkom da Sunce zrači kao crno tijelo.

Maksimum Sunčeva zračenja je za m = 480 nm.3

8

2 4

2,898 10

480

5,67 10

m

b Km

nm

W

m K

4I T

32,898 10mT b Km

32,898 10

m

T K

3

9

2,898 10

480 10K

6040T K

8 4 7

2 25,67 10 6040 7,5 10

W WI

m m

SVAKE SEKUNDE, SVAKI KVADRATNI METAR SUNČEVE

POVRŠINE IZRAČI 7,5 . 107 W ENERGIJE!!!

Ultraljubičasta katastrofa

Kraj 19. st. Izmjeren spektar zračenja crnog tijela. Pokušava

se (metode statističke fizike, valna teorija svjetlosti) objasniti oblik

krivulje spektra za pojedine temperature.

4

2,

cf T kT

Atomi – Shvaćeni kao harmonički oscilatori koji kada se pobude.

Emitiraju kontinuirani spektar.

Jeans i Rayleigh (engleski fizičari) – "Zračenje unutar izotermne

šupljine se sastoji od stojnih valova." Našli ukupan broj valova

unutar frekventnog područja + Našli srednju energiju jednog vala

(kT). Dobili zakonitost za spektralnu gustoću zračenja:

Usporedba s eksperimentom?

Rayleigh & Jeans

1. klasična teorija EM-zračenja vodi na to da zračenje

unutar šupljine (kocke) mora postojati u obliku

stojnih valova s čvorovima na rubovima kocke

2. koristeći geometriju kocke izbrojani su stojni valovi

unutar unutar nje u intervalu frekvencija: , +d

3. izračunata je srednja kinetička energija tih valova

koristeći klasičnu kinetičku teoriju (E=kT)

4. izračunata je gustoća energije u intervalu

frekvencija , +d za spektar crnog tijela

temperature T = (srednja en. stojnog vala * broj

stojnih valova) / (volumen šupljine) =

= Rayleigh Jeansova formula zračenja crnog tijela

Ultraljubičasta katastrofa 2

Formula je dobra za velike valne duljine (male frekvencije).

Potpuno neslaganje za male valne duljine, tj. u ultraljubičastom

području.

Rayleigh–Jeansova funkcija nema maksimum. (Eksperimentalna ima.)

Rayleigh–Jeansova funkcija U ultraljubičastom području bi

zračenje crnog tijela imalo beskonačno veliki intenzitet. Tzv.

ULTRALJUBIČASTA KATASTROFA.

4

2,

cf T kT

Poređenje s eksperimentom?

Početak kvantne fizike

Mnogi fizičari su godinama

pokušavali naći pogrešku u izvodu!

Nisu je našli!

Rayleigh–Jeansova funkcija se ne

slaže s eksperimentalnim spektrima!

Da li to znači da fizikalna teorija nije točna? Ali mnoge druge pojave

se jako dobro opisuju s tom istom teorijom!

Rješenje: Klasična fizika svojim zakonima ne može objasniti sve

pojave u prirodi, pogotovo u mikrosvijetu atoma i molekula. Za

objašnjenje zakona zračenja crnog tijela trebaju neke nove ideje.

Max Planck, 14. prosinca 1900. Uveo pojam kvantiziranosti

energije. = Rođendan kvantne fizike.

Planckov zakon zračenja

Klasična fizika (prije Plancka). Atome i molekule u čvrstom tijelu

aproksimira harmoničkim oscilatorima koji titraju. Atomi mogu

kontinuirano mijenjati svoju energiju. Metode statističke fizike

daju srednju energiju koju ima atom (molekula) na temperaturi T:

Esr =kT.

Energija zračenja će biti proporcionalna srednjoj energiji molekule.

Krivi rezultat, tj. ne slaže s s eksperimentom.

M. Planck 1900.Smiona hipoteza o kvantiziranosti energije atoma.

Drugim riječima: Atom ne može primiti ili emitirati bilo kako malu

količinu energije, nego samo određenu količinu (KVANT) energije ili

višekratnike toga kvanta.

M. Planck Atom zrači EM zračenje u obliku kvanata energije čija

je energija proporcionalna frekvenciji zračenja: E = h.

h 6,626 .10-34 Js Planckova konstanta

Planckovo rješenje problema:

Da bi pomirio eksperiment i teoriju, Planck je pretpostavio da zakon ekviparticije energije

možda nije dobar.

1. za niske frekvencije klasični opis je dobar

2. za visoke frekvencije postoji odstupanje od zakona zračenja koje bi se moglo poništiti

ako bi zbog nekog razloga vrijedilo

Dakle, srednja energija mora ovisiti o frekvenciji (a ne biti konstantna E=kT).

Kako izgleda ta ovisnost?

Boltzmannova distribucija

OK

???

Planckov doprinos:

Ako bi energija bila diskretna, a ne kontinuirana, moglo bi se naštimati da za visoke

frekvencije bude ispunjeno:

Pretpostavio je da energija može poprimiti samo određene diskretne vrijednosti (nije više

neprekidna funkcija):

- klasični slučaj

a)(za niske frekvencije)

b)

c)

(za visoke frekvencije)

OK

(za niske frekvencije) (za visoke frekvencije)

Planckova formula – energija

harmonijskog oscilatora (stojnih valova) je

proporcionalna frekvenciji titranja

h = Planckova konstanta; konstanta

proporcionalnosti E i

Planckov zakon zračenja 2

Klasična fizika Energija

je neprekinuta varijabla i

klasični harmonički oscilator

može imati bilo koju

vrijednost energije, od nule

do maksimalne.

Kvantni harmonički

oscilator (atomi, molekule)

Mogu imati samo

određene diskretne

vrijednosti energije; 0, h,

2h, 3h, ...

Max Planck (1858.-1947.)

- energija ovakvog sustava je

kvantizirana

- dozvoljena stanja energije nazivaju

se kvantna stanja

- cijeli broj n naziva se kvantni broj

Planckov zakon zračenja 3

hvn

kTnP Ae

Kolika je srednja vrijednost energije Planckova oscilatora?

Za razliku od klasičnih oscilatora, svako stanje

kvantnog oscilatora ima svoju vjerojatnost.

Neka stanja su vjerojatnija od drugih:

n = 1 1 0

hv

kTN N e

n = 2 2

2 0

hv

kTN N e

n = n 0

hvn

kTnN N e

Srednja energija = Ukupna

energija/ukupan broj oscilatora

ukupno

ukupno

EE

N

0

n

ukupno i i

i

E E N

0

n

ukupno i

i

N N

n = 0 0

0 0

hv

kTN Ae A N

Planckov zakon zračenja 4

0

hvn

kTnN N e

Uvodimo skraćenicu:hv

kTx e

0

n

ukupno i i

i

E E N

2

0 1 ...hv hv hv

nkT kT kT

ukupnoN N e e e

ukupno

ukupno

EE

N

0

n

ukupno i

i

N N

2

0 1 ... n

ukupnoN N x x x

0 0 1 1 2 2

0

...n

ukupno i i n n

i

E E N E N E N E N E N

2

0 0 2 ...hv hv hv

nkT kT kT

ukupnoE N h e h e nh e

2

0 0 2 ... n

ukupnoE N h x x nx ukupno

ukupno

EE

N

2

0

2

0

0 2 ...

1 ...

n

n

N h x x nxE

N x x x

2

2

1 2 3 ...

1 ...

x xE h x

x x

Planckov zakon zračenja 5

Uočimo: U nazivniku je geometrijski red.

2

2

1 ...

1 ...

dx x

dxE h xx x

1

ln 'dz

zz dx

2ln 1 ...d

E h x x xdx

2

2

1 2 3 ...

1 ...

x xE h x

x x

Uočimo: DERIVACIJA NAZIVNIKA JE BROJNIK!!!

Za logaritamsku funkciju vrijedi:

Prisjećanje:

Suma geometrijskog reda: 2 1

lim 1 ..1

nn

S x xx

1ln

1

dE h x

dx x

Planckov zakon zračenja 6

1 1 1ln ' '

11 1

1

x x

x

Računamo derivaciju od ln:

1

h xE

x

1ln

1

dE h x

dx x

1

(1 ) 1 'x x

2

(1 ) 1 'x x x

1 1ln '

1 1x x

1

111

xE h h

x

x

hv

kTx e

Vraćamo x:

1hv

kT

hE

e

Srednja energija

kvantnog oscilatora

Slučaj klasične fizike, h 0 :

1 ...hv

kThv

ekT

1 ... 1

hE kT

hv

kT

Slaganje!!!

Planckov zakon zračenja 7

Spektralna gustoća zračenja crnog tijela?

U klasičnoj fizici je kT bila srednja energija oscilatora. Umjesto

nje, treba uvrstiti srednju energiju oscilatora za Planckov oscil.

4

2,

1hv

kT

c hf T

e

Koristimo relaciju: = c/

1hv

kT

hE

e

4

2,

cf T kT

Sjetimo se Rayleigh–Jeansova funkcije:

2

5

2,

1hv

kT

h cf T

e

Planckova formula za spektralnu

gustoću zračenja crnog tijela.

Eksperiment?

JAKO DOBRO SLAGANJE S PLANCKOVOM FORMULOM!

Opravdanje za kvantiziranost energije? Nema je. To je svojstvo

prirode, fundamentalna činjenica u prirodi!

Planckov zakon zračenja 8

Veza formula za spektralnu gustoća zračenja crnog tijela (klasična

fizika i Planckova formula?

Bila dobra samo za visoke temperature! h <<kT

4

2,

cf T kT

2

5

2,

1hv

kT

h cf T

e

Zaključak:

Na visokim temperaturama, Planckova formula prelazi u Rayleigh–

Jeansova funkciju. Nije bilo pogreške u klasičnoj fizici, ako

promatramo visoke temperature!

1 ...hv

kThv

ekT

2 2

5 5 4

2 2 2,

1 ... 1

h c hc cf T kT kT

hv hv

kT

Planckov zakon i Stefan-Boltzmannov zakon

Iz Planckove formule izračunajmo ukupan intenzitet zračenja za sve

valne duljine:

2

5

2,

1hv

kT

h cf T

e

Koristimo zamjenu:

0

,I f T d

2

5

0

2

1hv

kT

hc dI

e

hx

kT

h cx

kT

4 4 3

3 2

0

2

1x

k T xI dx

h c e

Tablični integral:

3 4

01 15x

xdx

e

4 4 4 44

3 2 3 2

2 2

15

k T kI T

h c h c

8 2 4 45,67 10I Wm K T 4T Stefan-Boltzmannov zakon

Planckov zakon i Wienov zakon pomicanja

Wienov zakon povezuje valnu duljinu u spektru na kojoj imamo

maksimum zračenja.

,0

df T

d

Krećemo od Planckova zakona, tražimo extrem:

32,898 10mT b Km

2

5

, 2

1hv

kT

df T d h c

d de

Zamjena:

2

5

, 2

1hc

kT

df T d h c

d de

4 5

2

2

10

5 1,

1

hc hc

kT kT

hc

kT

hce e

kTdf T

de

5 1 0hc hc

kT kThc

e ekT

5

1

hc

kT

hc

kT

hc e

kTe

hcx

kT 5

1

x

x

xe

e

Planckov zakon i Wienov zakon pomicanja

32,898 10mT b Km

Wienov zakon pomicanja

4,9652m

hcx

kT

51

x

x

xe

e

Transedentna jednadžba čiji je korijen x = 4,9652:

34 8

23

6,6256 10 3 10

4,9652 4,9652 1,3805 10m

hcT Km

k

32,898 10mT Km

51

5 1

x

x

x

x

xe

e

ex

e

x 5(ex-1)/ex

1 3,1606

2 4,3233

3 4,7511

4 4,9084

5 4,9663

4,9 4,9628

4,96 4,9649

4,965 4,9651

4,9651 4,9651

rješavanje jednadžbe:

Neke primjene zakona zračenja crnog tijela

Prozirna tijela (kvarc, kalcit, saharoza, prozirna stakla, prozirne

plastične mase, …). Prozirni su za vidljivu Sunčevu svjetlost.

Efekt staklenika:

Npr., prozorsko staklo debljine 2 mm. Za valne duljine 400 –

2500 nm. Apsorpcija skoro jednaka nuli, tj. staklo potpuno

propušta te valne duljine.

Npr., prozorsko staklo debljine 2 mm. Za valne duljine veće od

5000 nm. Apsorpcija skoro jednaka jedinici, tj. staklo je

neprozirno za te valne duljine.

Efekt staklenika: Sunce emitira vidljivu svjetlost. Ona prolazi

kroz staklo, grije biljke i tlo. Biljke i tlo isijavaju termičko

zračenje (uglavnom infracrveno). Za te valne duljine staklo je

neprozirno. Infracrveno zračenje se zadržava u stakleniku i

povisuje temperaturu u njemu.

Neke primjene zakona zračenja crnog tijela 2

Crna tijela za vidljivu Sunčevu svjetlost: čađa, ugljena prašina, …

Tijela crne boje:

Crna tijela Gotovo potpuno apsorbira vidljivu Sunčevu svjetlost.

Crna tijela Infracrveno zračenje?

Za infracrveno zračenje čađa

ima koeficijent apsorpcije manji

od 1 Čađa je u infracrvenom

području propusna.

Neke primjene zakona zračenja crnog tijela 3

Bijela tijela za vidljivu Sunčevu svjetlost: bijeli papir, snijeg,…

Tijela bijele boje:

Bijela tijela Difuzno reflektiraju vidljivu Sunčevu svjetlost.

Bijela tijela Infracrveno zračenje?

Za infracrveno zračenje snijeg ima

koeficijent apsorpcije 1! "Snijeg je u

infracrvenom području crn kao čađa."

Zašto se snijeg brže topi u gradovima nego u prirodi?

"Čisti" snijeg Slabo se zagrijava (skoro sve reflektira).

"Prljav" snijeg (npr. čađa) Čađa apsorbira Sunčevo zračenje

(zagrijava se). Čađa emitira toplinsko zračenje (infracrveno).

Snijeg upija infracrvene zrake. Zagrijavanje. Topljenje.

Najtamniji materijal na Zemlji:

prof. P. M. Ajayan et al., Nano Letters 2008,

Vol. 8, No. 2, 446-451

sci-hub.io

gen.lib.rus.ec

= web adresa za članke (doi)

vertically aligned carbon nanotubes

Surrey NanoSystems' (UK) Vantablack

materijal može apsorbirati 99.96 % upadne

svjetlosti. (2014)

low-temperature carbon

nanotube growth process

Princip rada: većina svjetlosti pada u

prostor između ugljičnih vlakana

(vertikalno postavljenih) i reflektirajući se

od njih prodire u materijal gdje se

apsorbira u obliku topline. Površina vrha

ugljičnih vlakana je mala pa je i refleksija

od površine mala.

Primjene: solarni kolektori, apsorpcija suvišnog svjetla (optički instrumenti), senzori,

umjetnost, dizajn, spektroskopija, kinematografija (bolji kontrast), kalibracija optičkih

instrumenata, svemirska tehnologija…

https://www.youtube.com/watch?v=GEmuEWjHr5c

http://veritasium.com/

Fotoni - čestična svojstva zračenja

Promatrat ćemo procese međudjelovanja zračenja i tvari.

raspršenje ili

apsorpcija zračenja

nastajanje

zračenja

- zračenje je čestične prirode pri međudjelovanju s materijom, a valne prirode

pri širenju

Fotoelektrični efekt i čestična teorija svjetlosti

Povijesni pregled:

- krajem 19. st. (1886/87) Hertz je svojim eksperimentima

potvrdio postojanje EM-valova i njihovo širenje u skladu s

Maxwellovom teorijom

- otkrio i pojavu da kada svjetlost upada na metalnu

površinu uzrokuje emisiju elektrona s te površine; ova

pojava nazvana je fotoelektrični efekt, a emitirani elektroni

fotoelektroni

- J. J. Thompson i P. Lenard 1899.: pri fotoefektu se

izbacuju negativno nabijene čestice - elektroni

- Albert Einstein 1905. objašnjava fotoefekt primjenom

Planckove hipoteze o kvantima energije; kvantizira

elektromagnetsko polje, uvodi čestice svjetlosti kasnije

nazvane fotoni

- preko pojave fotoefekta dokazao da svjetlost uz valna

posjeduje i čestična svojstva (dualna priroda svjetlosti)

Aparatura za mjerenje fotoefekta. I-V karakteristika fotoefekta.

Svjetlost upada na metalnu ploču A iz koje

izbacuje elektrone (fotoelektroni) koje

prikuplja metalna ploča B s naponom V

između A-B ploča. Osjetljivi ampermetar

(galvanometar) G mjeri fotoelektričnu struju

(I-V karakteristika).

v

Za visoki napon V, struja I dostiže maksimum

(saturaciju) jer su svi fotoelektroni s ploče A

prikupljeni na B. Veći intenzitet svjetla (a) daje

veću struju nego manji (b). Smanjivanje V na

V=0, struja ne pada na nulu fotoelektroni

imaju dovoljnu Ek da stignu na B. Negativan

napon V smanjuje struju jer B odbija

fotoelektrone. Napon -Vo (Vs, stopping)

zaustavlja sve fotoelektrone i I=0, bez obzira

na intenzitet svjetla. Ti fotoelektroni imaju

najveću Ek-max=eVo. Ek-max ne ovisi o

intenzitetu svjetla.

Slika 1.

Slika 2.

Milikanov pokus s fotoefektom (1914.;

Nobel 1923. za potvrdu Einsteinove

teorije);

- Vo ne ovisi o za < 0

0 je frekvencija praga nakon koje se

počinje odvijati fotoefekt; za < 0

nema fotoefekta bez obzira na

intenzitet svjetlosti

- za > 0, fotoefekt se odvija i Vo je

proporcionalan s

Ovisnost potencijala zaustavljanja Vo

(ili Ek-max) o frekvenciji

Slika 3.

Slika 4.

Primjer fotoefekta za Zn i K.

-različiti materijali imaju različite granične

frekvencije i izlazni rad

Problemi s klasičnim opisom fotoefekta:

1. Valna teorija zahtijeva da vektoru el. polja E svjetlosnog vala raste amplituda s

povećanjem intenziteta svjetlosti. Budući je sila na elektron eE, to znači da Ek

fotoelektrona mora također porasti. Međutim, slika 2. pokazuje da Ek=eVo ne ovisi o

intenzitetu svjetlosti.

2. Prema valnoj teoriji, fotoefekt se mora dogoditi za svjetlost bilo koje frekvencije, uz

uvjet da je intenzitet svjetla dovoljan za izbacivanje fotoelektrona. Slika 3 pokazuje

da za svaki materijal postoji karakteristična frekvencija praga ispod koje se fotoefekt

ne događa, bez obzira na intenzitet svjetla.

3. Maksimalna kinetička energija fotoelektrona raste s porastom frekvencije svjetlosti.

Valna teorija ne predviđa nikakvu ovisnost između frekvencije svjetlosti i energije

fotoelektrona.

4. Prema klasičnoj teoriji, svjetlosna energija je jednoliko raspodijeljena preko valne

fronte. Ako je svjetlost dovoljno slabog intenziteta, mora postojati mjerljivo vrijeme

koje je potrebno da elektron skupi dovoljno energije i tek potom napusti metal. No,

nikada nije izmjereno kašnjenje u vremenu izbacivanja elektrona i početka

osvjetljavanja metala. Elektroni se emitiraju s površine metala gotovo trenutno

(manje od 10-9 s).

Objašnjenje fotoelektričnog efekta dao je Einstein (1905.) za što je 1921. dobio

Nobelovu nagradu.

Einstein je proširio Planckov koncept kvantizacije energije elektromagnetskih

valova. Pretpostavio je da se svjetlost sastoji od malih paketa energije (fotona)

čiji je iznos jednak E=h, gdje je h Planckova konstanta, a frekvencija svjetla,

koja je jednaka frekvenciji Planckovog oscilatora. U Einsteinovom modelu

foton je lokaliziran tako da svu svoju energiju može dati jednom elektronu u

metalu. Maksimalna energija oslobođenih fotoelektrona je Ek,max=h-W0, gdje

je W0 izlazni rad metala i karakteristika je materijala.

Ovisnost potencijala zaustavljanja Vo

(ili Ek-max) o frekvenciji

-može se izračunati h (e je bilo poznato)

Millikan

h određena iz dvije potpuno različita pojave i teorije (Planck i Einstein)

Sada se mogu objasniti rezultati eksperimenata koji su nerazumljivi sa

stajališta klasične fizike:

• fotoelektroni nastaju apsorpcijom jednog fotona, tako da energija fotona mora

biti veća od izlaznog rada, inače nema izbačenih fotoelektrona; to objašnjava

kritičnu frekvenciju

• Ek,max ovisi o frekvenciji svjetla i izlaznom radu; intenzitet svjetla nije bitan

• Ek,max linearno raste s porastom frekvencije

• elektroni se emitiraju gotovo trenutno, bez obzira na intenzitet, jer je energija

svjetlosti koncentrirana u pakete (a ne raspršena u valovima);

http://phet.colorado.edu/en/simulation/photoelectric

Rendgenske zrake (X-zrake)

1895. na Sveučulištu u Wurzburgu, Wilhelm Conrad Röntgen (1845.-1923.)

proučavao je električne izboje u plinovima pod niskim tlakom kada je primijetio

svjetlucanje fluorescentnog ekrana, čak i na udaljenosti od nekoliko metara od

izbojne cijevi i uz prekrivanje ekrana kartonom. Zaključio je da je uzrok ove

pojave zračenje nepoznatog podrijetla koje je nazvao x-zrake. Kasnija

istraživanja pokazala su da se x-zrake kreću brzinom bliskom c i da ne skreću

ni u električnom ni u magnetskom polju (dakle, ne sastoje se od snopa

nabijenih čestica).

1912. Max von Laue (1879.-1960.) predložio je da ako su x-zrake

elektromagnetski valovi kratkih valnih duljina, trebalo bi biti moguće napraviti

njihovu difrakciju na rešetki kristala. To je uskoro i potvrđeno i time je difrakcija

rendgenskih zraka postala nova nezamjenjiva tehnika za određivanje strukture

materijala.

Tipična valna duljina x-zraka je oko 0,1 nm, što odgovara redu veličine

atomskih međurazmaka. X-zrake s lakoćom prolaze kroz većinu materijala.

Shema Rendgenskog uređaja.

Spektar zračenja Rendgenskog

uređaja na meti od Mo.

X-zrake nastaju naglim usporavanjem

brzih (visokoenergetskih) elektrona; na

primjer kada snop elektrona ubrzan

naponom nekoliko kV pogodi metalnu

metu.

Slika desno predstavlja spektar zračenja

Rendgentskih zraka. Spektar se sastoji od

dvije komponente: jedna je kontinuirano

zračenje koje ovisi o naponu ubrzanja

elektrona (takozvano zakočno zračenje od

njem. bremsstrahlung koje nastaje

raspršenjem elektrona na atomima mete) i

od niza intenzivnih linija koje ovise o

svojstvima mete (napon ubrzavanja mora

biti veći od određene vrijednosti (napona

praga) da bi se pojavile ove linije.

min

Zakočno zračenje (bremsstrahlung).

Nastanak zakočnog zračenja: prolaskom

elektrona pokraj pozitivno nabijene jezgre

atoma u materijalu mete, dolazi do otklona

elektrona (raspršenja) od prvobitne putanje,

tj. dolazi do ubrzanja elektrona. Prema

klasičnoj fizici, svaki ubrzani naboj zrači

elektromagnetske valove; prema kvantnoj

teoriji to zračenje mora biti u obliku fotona

koji nose energiju; dakle, elektron gubi dio

svoje energije pri raspršenju i pri tome zrači

foton; elektron može izgubiti svu svoju

energiju (zaustaviti se) pri jednom raspršenju

i tada je sva njegova energija (eDV)

pretvorena u energiju fotona (hfmax):

Odavde možemo izračunati najkraću valnu duljinu emitiranog fotona:

Budući da se ne zaustave svi elektroni nakon jednog raspršenja, već nakon niza

uzastopnih raspršenja, zračenje ima karakteristike kontinuiranog spektra valnih duljina.

Difrakcija Rendgenskih zraka na kristalu

Shema difrakcije rendgenskih

zraka na kristalu.

-difrakcija je obrađena na kolegiju Osnove fizike 3

-vrlo važna tehnika za određivanje strukture materijalaBraggov zakon

Kubična kristalna struktura

NaCl: plave sfere su ioni Cl-,

a crvene Na+. a=0,563 nm.

Comptonov efekt

Arthur H. Compton (1892-1962), američki fizičar

-pokus iz 1923.; usmjerio x-zrake valne duljine 0 prema grafitu; pronašao je da

raspršene x-zrake imaju veću valnu duljinu (manju energiju) nego upadne;

smanjenje energije ovisilo je o kutu raspršenja; ova pojava nazvana je

Comptonovim efektom; još jedna potvrda fotonske (čestične) prirode svjetlosti

-objašnjenje: Compton je pretpostavio da se foton ponaša kao čestica i da se

sudara s ostalim česticama poput biljarskih kugli – dakle, foton ima mjerljivu

energiju i impuls koji moraju biti očuvani pri sudarima; ako se upadni foton

sudari s elektronom koji miruje, fotom mu preda dio svoje energije i impulsa;

posljedica toga je smanjenje energije i frekvencije raspršenog fotona, dok se

valna duljina poveća; taj pomak u valnoj duljini iznosi:

-q je kut između upadnog i raspršenog fotona

-veličina h/mec naziva se Comptonova valna duljina i iznosi 0,00243 nm; zbog

toga je Comptonov efekt teško uočiti kod vidljive svjetlosti; efekt ovisi samo o

kutu otklona fotona, ali ne i o valnoj duljini; efekt je uočen za različite mete

Pitanja:

1. foton x-zraka raspršen je na elektronu. Frekvencija raspršenog fotona u odnosu na

upadni je a) veća

b) manja

c) ista

2. Foton energije E0 rasprši se na elektronu. Raspršeni foton energije E giba se

suprotno od smjera upadnog fotona (raspršenje unazad). Rezultantna kinetička

energija elektrona jednaka je

a) E0

b) E

c) E0-E

d) E-E0

3. Comptonov efekt opisuje promjenu valne duljine fotona dok se raspršuju pod

različitim kutovima. Ako neki materijal obasjamo vidljivom svjetlošću i promatramo

reflektiranu svjetlost pod različitim kutovima, hoćemo li uočiti promjenu u boji materijala

zbog Comptonovog efekta?

0,00243 nm 180°

~0,005 nm

premala promjena

za detekciju okom

Stvaranje i poništavanje para elektron-pozitron

Poništavanje (anihilacija) para elektron-pozitron

Poništavanje (anihilacija) para elektron-pozitron odvija se na način da spomenute

čestice dođu blizu jedna drugoj (pretpostavimo da miruju) i pri tome se ponište: materija

prelazi u energiju. Nastaju dva fotona istih energija, ali suprotnih količina gibanja

(Z.O.P.). (moguće je i stvaranje 3 fotona, ali taj proces je malo vjerojatan)

De Broglievi valovi materije

Prisjećanje:

Newton (kasnije i Einstein) Korpuskularna teorija svjetlosti.

Difrakcija i interferencija Svjetlost je valne prirode.

Dualizam, val – korpuskula? Samo za svjetlost?

De Broglie Iskreno vjerovao u jedinstvo prirode (vjerovali skoro

svi veliki znanstvenici prije njega). Zašto bi svjetlost bila nešto

posebno, različito od svega drugoga u prirodi?

Louis de Broglie (1924.) Pošao od stajališta da se atomi i svjetlost

daju opisati istim zakonima!

Kako atomima pripisati valne osobine?

De Broglie Kako Bohrova stacionarna stanja protumačiti zornim

slikama? Ima li u prirodi nešto slično stacionarnim stanjima u

svijetu atoma?

Odgovor? Pronađen kod valnih gibanja.

De Broglievi valovi materije 2

Odgovor? Pronađen kod valnih gibanja.

Kad žica titra. Čujemo osnovni ton, onaj koji potječe od titranja

žice kao cjeline.

Postoje i druge vibracije koje se nazivaju višim harmonicima. Žica

ima čvorove, tj. točke u kojima ostaje nepomična tijekom titranja.

Koliko god složena bila vibracija, ona uvijek zadovoljava

uvjet da se duljina žice može podijeliti samo na cijeli

broj polovica valnih duljina, tj između oba kraja žice se

mora nalaziti cijeli broj valnih brijegova i dolova.

Valna duljina titranja žice je diskontinuirana!!!

De Broglie. "Napravimo od naših žica prstenove i

zamislimo da su to orbite elektrona u atomu!"

De Broglie. U mislima zamijenimo gibanje elektrona

po tim orbitama valom “koji odgovara elektronu”!

De Broglievi valovi materije 3

De Broglie. Zamislimo da će gibanje elektrona biti stabilno onda i

samo onda ako u orbitu stane cijeli broj n “elektronskih valova” .

De Broglie. Kada se na kružnici ne bi nalazio cijeli broj valnih

duljina, tada bi u jednoj njezinoj točki morao titraj vala imati dva

različita stanja faze, a to je nemoguće.

Matematički (U opseg kruga treba staviti n valnih duljina):

Uporedimo li ovu formulu s prvim Bohrovim postulatom:

"valna duljina elektrona"

2 r n

2 mvr nh h

mv

Valna duljina elektrona obrnuto je proporcinalna količini gibanja

elektrona, a konstanta proporcionalnosti je Planckova konstanta h.

De Broglie Gibanje elektrona (i drugih čestica), je valna pojava

koja se podvrgava istim zakonima kao i valovi svjetlosti.

Principijelna je razlika prema svjetlosti u tome što se de Broglievi

valovi mogu kretati različitim brzinama.

De Broglievi valovi materije 4

10,0725

v

Clinton J. Davisson i Lester H. Germer (1927.) Eksperimentalna

potvrda de Broglieve hipoteze da materija ima i valna svojstva.

Pokus: Ogib elektrona. Proizveli katodne zrake – snopove

elektrona- velike brzine čije su valne duljine bile u području

rendgenskog zračenja. Njima bombardirali kristale nikla.

Ako je de Broglieva hipoteza ispravna, moramo i kod refleksije

elektrona na kristalu opaziti iste ogibne slike kao i kod refleksije

rendgenskog zračenja.

Interferentna slika elektrona.

Davisson i Germer Mjerenjem ustanovili

da između brzine elektrona katodnog

zračenja i pridružene im valne duljine koja

izaziva ogib postoji odnos:

Egzaktno se slaže s de Broglievom relacijom!

Luis de Broglie (1892 – 1987)

- francuski fizičar

- dobitnik Nobelove nagrade za fiziku 1929. za otkriće

valne prirode materije, odnosno dualnosti val-čestica

- budući da fotoni (svjetlost) pokazuju valna i čestična

svojstva (disertacija iz 1924.) za pretpostaviti je da

svi oblici materije imaju oba svojstva (val i čestica)

Za fotone: Za sve materijalne čestice:

, f = valna

svojstva

E, mv = čestična

svojstva

De Broglievi valovi materije 5

34

3

2

6,626 10

10

10 /

h Js

m kg

v m s

Primjer: Izračunajte de Broglievu valnu duljinu kuglice mase 1g

koja se giba brzinom od 1 cm/s?

Primjer: Izračunajte de Broglievu valnu duljinu čovjeka mase 70 kg

koja trči brzinom od 7 m/s?

h

mv

34

3 2

6,626 10

10 10

296,63 10 m

346,626 10

70

7 /

h Js

m kg

v m s

h

mv

346,626 10

70 7

361,35 10 m

Na 1 m puta stane 1036 valnih duljina!!!

Pitanja:

1. Nerelativistički elektron i proton gibaju se i imaju istu de Broglievu valnu duljinu. Što

im je još isto a) brzina

b) Ek

c) količina gibanja (impuls)

d) frekvencija

2. Vidjeli smo da elektronu možemo pridružiti dvije valne duljine: Comptonovu i de

Broglievu. Koja je prava fizikalna valna duljina elektrona?

a) Comptonova

b) de Broglieva

c) obje

d) nijedna

3. Kolika je valna duljina elektrona brzine 107 m/s i bejzbol loptice (0.145 kg, 45 m/s)?

4. Kolika je valna duljina relativističkog elektrona 0.999c?

Čak i pri relativističkim brzinama, valna duljina elektrona je znatno manja od

makroskopskih objekata.

Elektronski mikroskop

-uređaj koji počiva na valnoj prirodi elektrona

-sličan je optičkom mikroskopu, ali za rad koristi elektrone ubrzane do velikih energija –

što ima za posljedicu smanjenje njihove valne duljine, a time se povećava razlučivanje

mikroskopa

izvor e-

katoda

anoda

elektromag.

leće

vakuum

snop

elektrona

uzorak

komora

za uzorak

foto-komora

ekran

okular

Katoda i anoda služe za ubrzavanje e-, a potom se oni fokusiraju pomoću

elektromagnetskih leća. Snop e- potom dolazi na uzorak

Primjer:

Odredi energiju i valnu duljinu elektrona ubrzanog naponom od 100 kV.

Valna priroda čestica uočena je za elektrone, ali i za neutrone, te atome vodika i helija,

pa čak i za neke molekule. Difrakcija elektrona i neutrona koristi se pri utvrđivanju

strukture materijala.

Elektronski mikroskop:

Elektroni se ubrzavaju naponom od 100 kV. Valna duljina tako ubrzanog elektrona je

reda veličine piknometra (pm). To je 100 000 puta manje od valne duljine vidljive

svjetlosti. Rezolucija elektronskog mikroskopa je oko 50 pm, a povećanje može biti čak

do 10 milijuna puta.

Optički (svjetlosni) mikroskop

Optički mikroskop za povećanje koristi sustav leća i vidljivu svjetlost (valne duljine 400-

780 nm). Stoga je rezolucija takvog mikroskopa određena polovicom najkraće valne

duljine vidljivog spektra, dakle oko 200 nm. Optičkim mikroskopom može se postići

uvećanje predmeta do najviše oko 1000 puta.

Alveole u plućima. Crvena krvna zrnca

Krvni ugrušak.Slomljena vlas kose.

Mrav. Glava crva (Protophormia sp.). Grinja.

Brašnena grinja. Mačja buha.

Premda se el. mikroskopom mogu razlučiti čak i pojedinačni atomi, koristan je i za

gledanje većih objekata jer omogućava promatranje njihovih detalja.

Ponavljanje

1. Što je toplije, crvena ili narančasta kuhinjska ploča?

2. Koja žarulja emitira fotone najveće/najmanje energije: crvena, žuta ili plava?

3. Za koji rad je Einstein dobio Nobelovu nagradu:

- za objašnjenje zračenja crnog tijela

- za specijalnu teoriju relativnosti E=mc2

- za opću teoriju relativnosti: gravitacija savija svjetlost

- za fotoelektrični efekt

- za Brownovo gibanje

4. Što se događa s brojem emitiranih elektrona ako se poveća intenzitet svjetla?

5. Što se događa s maksimalnom kinetičkom energijom emitiranih elektrona ako se

poveća intenzitet svjetla?

6. Što se događa s brojem emitiranih elektrona ako se poveća frekvencija svjetla?

7. Što se događa s maksimalnom kinetičkom energijom emitiranih elektrona ako se

poveća frekvencija svjetla?

metal

light e–

hf

W0

KE

e–

K.E. = hf – W0E = h f

8. Crveni i zeleni laser imaju snagu 2.5 mW. Koji od njih emitira više fotona u sekundi?

a) crveni

b) zeleni

c) jednako Intenzitet = snaga/površina (W/m2)

Snaga = Energija/vrijeme (J/s)

Eksperiment s dvije pukotine (engl. Two slit experiment)

https://www.youtube.com/watch?v=A9tKncAdlHQ

• centralni misterij kvantne mehanike

-promatramo prolaz monokromatske svjetlosti kroz 2 pukotine: valno širenje, ogibna slika

na zastoru (svijetle i tamne pruge, Huygens (17.st.) i Fresnel (19.st.))

Profesor Jim Al-Khalili:

Zamislimo da isti eksperiment izvodimo s česticama (ne s valovima). Kakav će biti

rezultat?

Svaka čestica prolazi kroz samo jednu pukotinu i rezultantna raspodjela čestica ne

pokazuje interferenciju.

Izvodimo isti eksperiment s metcima. Pokrijemo jednu pukotinu. Kakav će biti rezultat?

Pucamo metke kroz dvije pukotine. Kakav će biti rezultat?

Meci prolaze ili kroz jednu, ili kroz drugu pukotinu. Nema interferencije.

Sada iz cijevi ispaljujemo atome/elektrone. Obje pukotine su otvorene. Kakav će biti

rezultat?

Interferencijska slika! Kako je to moguće kad nemamo valove (svjetlost) nego čestice?

Možda je to posljedica međudjelovanja atoma/elektrona na putu do zastora zbog

njihovog velikog broja?

Zato ćemo smanjiti broj atoma/elektrona koje šaljemo istovremeno i slati ih jedan po

jedan. Kakva će sada biti slika na zastoru?

Nakon nekoliko čestica, dobivamo ovakvu sliku. Nema naznaka interferencije.

Nakon nekog vremena (većeg broja pristiglih čestica), dobivamo veliko raspršenje

čestica na zastoru.

Nakon dovoljno dugo vremena, dobivamo ponovo interferencijsku sliku na zastoru,

premda smo čestice ispucavali jednu po jednu. Dakle, međudjelovanje čestica na putanji

možemo izbaciti kao mogući uzrok interferentne slike. No, zašto ona ipak nastaje?

Čini se da svaki atom doprinosi malim dijelom ukupnom valnom ponašanju –

interferencijskoj slici. Ali atomi/elektroni su lokalizirane čestice vidljive pod mikroskopom

(atomi) i svaka od njih ostavi po jedan svijetli trag na zastoru koji je također lokaliziran.

Ipak, atomi/elektroni kao da su svjesni toga da postoje 2 pukotine kroz koje mogu proći

jer na zastoru tvore interferencijsku sliku.

Kako to atom čini: da li se cijepa na dva dijela ili postaje oblak?

Tome možemo doskočiti i postaviti detektor na gornju pukotinu koji će dati signal kada

atom/elektron to učini. Ako nema signala, a vidimo signal na zastoru, atom/elektron je

prošao kroz donju pukotinu. Kakav će biti signal na zastoru?

50% vremena atomi/elektroni idu kroz gornju pukotinu i vidimo signal detektora. Rezultat

opažanja atoma/elektrona utječe nekako na rezultat eksperimenta i daje sliku bez

interferencije.

Sada ćemo ostaviti detektor da promatra atome/elektrone, ali ćemo ga isključiti (tako da

atomi/elektroni to ne znaju). Kakav će sada biti rezultat?

Ako ovo možete objasniti na logičan način, čeka vas Nobelova nagrada!

http://www.feynmanlectures.caltech.edu/

http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_37.html

Kvantno ponašanje

Kvantna mehanika opisuje ponašanje materije na atomskom nivou.

Na toj skali materija se ponaša potpuno drugačije od onoga na što smo navikli u

svakodnevnom životu (makroskopska skala).

Svjetlost je prvo smatrana rojem čestica (Newton), ali je kasnije pokazano da je zapravo

val (Huygens). No, poslije je pokazano da se ponekad ponaša kao čestica (Einstein).

Elektron je otkriven kao čestica (Thompson), ali je poslije pokazano da se ponaša i kao

val. Dakle, elektroni i svjetlost ponašaju se na isti način, a slično tome i ostale čestice u

atomskom svijetu (protoni, neutroni, …). Ono što vrijedi za elektrone, vrijedi i za ostale

spomenute čestice.

Eksperiment s mecima

Vjerojatnost detektiranja metka na udaljenosti x od središta mete:

otvoren

prolaz 1

otvoren

prolaz 2otvoren

prolaz 1 i 2

• nema interferencije

Eksperiment s valovima na vodi

Interferencija: intenzitet I12≠I1 + I2 = +

Eksperiment s elektronima

Interferencija!Pretpostavka: elektron prolazi samo kroz jednu pukotinu. Tada

ne možemo objasniti interferenciju (c), već dobijemo (b).

Zaključak: pretpostavka ne vrijedi.

Matematika je ista kao i kod exp. s valovima.

Dakle, elektroni se katkad ponašaju kao čestice, a katkad kao

valovi!

Eksperiment s elektronima – promatramo elektrone

Izvor svjetla detektira kroz koju pukotinu prolaze elektroni. Nema interferencije!

Dakle, promatramo li elektrone, dobijemo drugačiji rezultat nego ako ih ne promatramo.

Tj. promatranje eksperimenta utječe na njegov ishod!

Ako ih promatramo, elektroni biraju kroz koju pukotinu će proći. Ako ih ne promatramo,

prolaze kroz obje pukotine (valovi)! I to je zaista istina!

Schrödingerova mačka

Poison

Zamislimo mačku zatvorenu u kutiju (s otrovnom tvari). Ako ne pogledamo u kutiju, ne

znamo je li živa ili mrtva. Mačka je, zapravo, istovremeno i živa i mrtva.

Kvantni sustav nalazi se s određenom vjerojatnošću u svakom mogućem stanju. Tek kad

ga promatramo/mjerimo, sustav odabire jedno stanje u kojem se može opaziti.

Principi kvantne mehanike

Princip (načelo) neodređenosti

Mjerenje u fizici. Više puta mjerimo. Javlja se pogreška.

Rezultat mjerenja: f = f ±Df Precizan uređaj? Moguća vrlo

mala pogreška!

U svijetu atoma. Nešto potpuno novo!

x p hD D

Postoji granica točnosti do koje se može poznavati stanje nekog

fizikalnog sistema!

Povećana točnost mjerenja jedne fizikalne veličine vodi

nepoznavanju neke druge fizikalne veličine za taj sistem!

To svojstvo izražavaju tzv. relacije neodređenosti.

Za količinu gibanja p i za položaj x čestice vrijedi:

Što točnije poznajemo položaj čestice, sve manje znamo o

njezinoj brzini, i obrnuto.

U svijetu atoma mjerenje utječe na stanje sistema!

Primjer:Kroz pukotinu propuštamo snop elektrona

i promatramo gdje elektroni udaraju na zastor.

2 sin 2 2x x

h hp p

b b

D

Točnost s kojom poznajemo položaj čestice koja

je prošla kroz pukotinu jest: Dx = b

Snop elektrona je val. Ogib na zastoru.

Elektron je najvjerojatnije pao unutar glavnog maksimuma.

Valna optika sin q = /b.

Količina gibanja u smjeru okomito na upadni snop: px = p sinq

Ukupna neodređenost količine gibanja u smjeru okomito na

upadni snop: Dpx= 2px (otklon el. može biti gore ili dolje)

De Broglie p = h/

2xx p h hD D

Zaključak: Uža pukotina. Točniji položaj. Ali zbog uže pukotine

imamo jači ogib. Šira centralna pruga, tj. veća neodređenost

količine gibanja.

Eksperimenti: Relacije neodređenosti: x

y

z

x p h

y p h

z p h

E t h

D D

D D

D D

D D

Relacije neodređenosti su posljedica de Broglieve valne teorije

(čestica valni paket).

Werner Heisenberg (1901.-1976.), njemački fizičar

-1927. utemeljio princip neodređenosti:

Ako je mjerenje položaja čestice napravljeno s preciznošću Dx, a istovremeno

mjerenje količine gibanja (linearnog impulsa) napravljeno s preciznošću Dpx, tada

umnožak dviju neodređenosti ne može nikada biti manji od h

Drugim riječima, fizikalno je nemoguće istovremeno mjeriti i točan položaj i točnu

količinu gibanja čestice. Ako je Dx jako malo, tada je Dpx jako veliko, i obratno.

xx p hD D

Slično vrijedi i za energiju određenog kvantnog stanja i vremena boravka čestice na tom

energijskom nivou:

Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 20.

stoljeća (Einstein: “Bog se ne kocka.”) jer se protivilo determinističkim principima

dotadašnje fizike. Time je započela je era probabilističkog pristupa (uvođenje

vjerojatnosti) kvantnoj fizici i postavila se bitna granica preciznosti eksperimenta.

Relacije neodređenosti i apsolutna nula

Apsolutna nula = “temperatura na kojoj prestaje gibanje svih čestica”

Princip neodređenosti: ako gibanje prestaje, tada je poznata količina gibanja čestica

(p=mv=0). Stoga je umnožak Dx·Dpx=0, a to ne može biti prema relacijama

neodređenosti. Stoga, čestice ne miruju niti na “apsolutnoj nuli”.

Primjeri:

1. Neka je brzina elektrona 5·103 m/s izmjerena s točnošću (neodređenošću) od

0,003%. Nađi minimalnu neodređenost u položaju elektrona.

kol. gibanja:

neodređenost p:

neodređenost x:

2. Elektron se u atomu može nalaziti u pobuđenom stanju u vremenu od 10-8 s. Koliki je

minimum neodređenosti u energiji?

Schrödingerova kvantna mehanika

Schrödinger Polazi od de Broglieve ideje. Valovi titranja žice

su prikazani valnom jednadžbom.

Rješenja gornje jednadžbe?

2

2 2

10

uu

c t

D

Schrödinger Slična jednadžba vrijedi i za "valove" u svijeta

atoma. Pretpostavka da se oni šire brzinom svjetlosti (EM valovi):

Schrödinger Pretpostavlja rješenje u obliku: ( , , )i te x y z

Gdje su operatori:

2 2 2

2 2 2

gradijent

Laplasijan

i j kx x z

x y z

D

D

Schrödingerova kvantna mehanika 2

2

2

1( , , ) ( , , ) 0i t i te x y z e x y z

c

D

Stacionarni slučaj Schrödingerove jednadžbe. Kada je:

2

2 2

10

uu

c t

D

( , , )i te x y z

2

2

1( , , ) ( , , ) 0i te x y z x y z

c

D

0i te 2

2( , , ) ( , , ) 0x y z x y z

c

D

Svako rješenje gornje jednadžbe zovemo materijalni val, a funkciju

zovemo valna funkcija.

Zahtjevi za valnu funkciju: jednoznačna, neprkidna, derivabilna, …

Schrödingerova kvantna mehanika 3

( , , )i te x y z

?c

p2 = ? Iz energije: Ukupna energija čestice = Ek + Ep

2

2( , , ) ( , , ) 0x y z x y z

c

D

2

c c

2

2

hc

mv

2 p

c h

2

p p

hc

= reducirana Planckova konstanta2

h

2 2

2 2

p

c

2

( , , )2

k p

mvE E E U x y z

2

( , , )2

pE U x y z

m

2 2 ( , , )p m E U x y z

2

2( , , ) ( , , ) ( , , ) 0

mx y z E U x y z x y z D

Najjednostavniji oblik

Schrödingerove

jednadžbe

Schrödingerova kvantna mehanika 4

Složeno? Teško za pamtiti?

2

2( , , ) ( , , ) ( , , ) 0

mx y z E U x y z x y z D

Nema problema. Postoji i "ljepši" oblik.

Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Paul Dirac, Max Born, …

Razvili tzv. KVANTNU MEHANIKU. (kolegij na 3. godini)

Ideja: Pronaći vezu između fiz. veličina u klasičnoj fizici i fizikalnih

veličina u kvantnoj mehanici! (Nešto slično kod jednolikog gibanja

po kružnici: put kut; brzina kutna brzina, ..)

Koristimo nekoliko osnovnih načela kvantne mehanike:

1. Svakoj mjerivoj fizikalnoj veličini, koja ovisi o položaju i količini

gibanja čestice, pripada neki operator.

Operator? "Izraz koji djeluje na neku funkciju."

Schrödingerova kvantna mehanika 5

2

2( , , ) ( , , ) ( , , ) 0

mx y z E U x y z x y z D

Operator? "Izraz koji djeluje na neku funkciju."

Može sadržavati prvu ili drugu derivaciju, može značiti samo obično

množenje, ….

Primjeri operatora za jednodimenzionalno gibanje:

Fiz. veličina Operator

položaj x x

kol. gibanja p

kinetička

enegija

ukupna

energija

2

2

p

m

2

( , , )2

pU x y z

m

ix

2 2

22m x

2 2

2( , , )

2U x y z

m x

Schrödingerova kvantna mehanika 6

2

2( , , ) ( , , ) ( , , ) 0

mx y z E U x y z x y z D

Primjeri operatora za trodimenzionalno gibanje:

Fiz. veličina Operator

položaj

kol. gibanja

moment kol.

gibanja

kinetička

enegija

ukupna

energija

2

2

p

m

2

( , , )2

pU x y z

m

L i r

22

2m

22 ( , , )

2U x y z

m

r r

L r p

p i

Schrödingerova kvantna mehanika 7

*

*

1 2 2 1A dV A dV

2

2( , , ) ( , , ) ( , , ) 0

mx y z E U x y z x y z D

2. načelo kvantne mehanike:

Operatori fizikalnih veličina (A) su tzv. hermitski operatori: Za

svako rješenje Sch. jednadžbe mora vrijediti:

Za hermitske operatore vrijedi: Vlastite vrijednosti hermitskih

operatora realni su brojevi.

3. načelo kvantne mehanike:

Stanje nekog fizikalnog sistema može biti opisano valnom funkcijom

n n

n

C svojstvene funkcije

svojstvene vrijednosti

Schrödingerova kvantna mehanika 8

Za nas. Koristimo samo prvo načelo:

Koristimo supstitucije:

Polazimo od izraza za ukupnu energiju: E = K + U

x

y

z

p ix

p iy

p iz

22 2

2

22 2

2

22 2

2

x

y

z

px

py

pz

2

( , , )2

pE U x y z

m

2

( , , )2

pU x y z E

m

2 2 2 2

2 2 2( , , )

2U x y z E

x y z m

2

( , , )2

U x y z Em

D

2

( , , )2

H U x y zm

D

HAMILTONIJAN

Schrödingerova kvantna mehanika 9

Drugi oblik Schrödingerove jednadžbeH E

2

( , , )2

U x y z Em

D

2

( , , )2

H U x y zm

D

Traženje funkcija koje zadovoljavaju Schrödingerovu jednadžbu.

Traženje vlastitih funkcija operatora H (1, 2, …, n)

Svaka od vlastitih funkcija operatora H ima vlastite vrijednosti

(diskretne) tako da vrijedi:

n n nA a

Schrödingerova kvantna mehanika 10

Primjer: Naći svojstvene vrijednosti operatora A = -d/dx za

funkcije 1 eikx i 1 = eax.

1 1 1A a 1

ikx ikxde ike ik

dx

1a ik

2 2 2A a 1

x xde e

dx

a aa a 2a a

Atom vodika u kvantnoj mehanici

Za vodik je poznat izraz potencijalne energije:

Teško za riješiti u kartezijevom sustavu. Koristi se sferni sustav:

2

0

1( , , )

4

ZeU x y z

r

2 2

0

1

2 4

ZeE

m r

D

sin cos

sin sin

cos

x r

y r

z r

Laplasijan se tada može prikazati kao:

22

2 2 2 2 2

1 1 1sin

sin sinr

r r r r r

Atom vodika u kvantnoj mehanici 2

2 2

0

1

2 4

ZeE

m r

D

Sferni koordinatni sustav omogućava da se rješenje Sch. jednadžbe

prikaže kao umnožak radijalne i kutne komponente:

, , ,, , ( ) ( , )m

n l m n l lr R r Y

radijalna funkcija

kuglina (sferna)

funkcija

Par kuglinih funkcija:

0

0

1

4Y

0

1

3cos

4Y

1

1

3sin

8

...

iY e

Prva radijalna funkcija:

0

3/ 2

10

0

( ) 2

Zr

naZR r e

a

Atom vodika u kvantnoj mehanici 3

2 2

0

1

2 4

ZeE

m r

D

Traženjem svojstvenih vrijednosti energije, dobije se spektar:

42

1 12 2 2

0

gdje je: 13,68

Z en

m eZE E E eV

n h

Isti rezultat kao u Bohrovom modelu atoma!

U ovisnosti o glavnom kvantnom broju n. Imamo orbitalne

kvantne brojeve l = 0, 1, 2, …, n-1.

To znači da su energijska stanja degenerirana, tj. ako je n jednak.

Energije svih stanja su identične, iako imaju različite valne funkcije

(različiti l).

Atom vodika u kvantnoj mehanici 442

1 12 2 2

0

gdje je: 13,68

Z en

m eZE E E eV

n h

Glavni i orbitalni kvantni

brojevi u vodikovu

spektru:

Uvođenje spina. Dodatak u valnoj funkciji:

, , , ,, , ( ) ( , )m

n l m s n l l sr R r Y

n, l, m, s – kvantni brojevi, isto značenje kao u Bohrovom modelu.

Fizikalno značenje valne funkcije

Ima li valna funkcija fizikalno značenje?

Ima kvadrat valne funkcije! To je vjerojatnost nalaženja čestice u

nekom prostoru.

2( ) ( )P x x

Vjerojatnost da nađemo česticu unutar intervala a, b jednaka je:

2

( )

b

a

P a x b x dx

Budući da čestica mora biti negdje. P mora biti normirana, tj.

2( ) 1x dx

Fizikalno značenje valne funkcije 2

Primjer valne funkcije i njene gustoće vjerojatnosti:

= pojava u kvantnoj mehanici: ako čestica naiđe na potencijalnu barijeru koju

ne može prijeći, ukoliko je barijera dovoljno uska, čestica može „napraviti tunel”

i proći kroz barijeru (iako ne može preko nje); tuneliranje je posljedica valno-

čestične prirode materije

Kvantnomehaničko tuneliranje

klasična fizika:

penjanje uz brdo

kvantna fizika:

„tuneliranje”

- primjena: nuklearna fuzija, tunelirajuća dioda, tuneliranje supravodljivih elektrona kroz

potencijalnu barijeru, STM (skenirajući tunelirajući mikroskop)…

Eč

EB

Eč < EB

Pretražni (skenirajući) tunelirajući mikroskop

- engl. STM, Scanning Tunneling Microscope

- konstruiran 1981. G. Binning & H. Rohrer (ETH, Zurich); Nobelova nagrada 1986.

- rezolucija: lateralna 0,1 nm, dubinska 0,01 nm

- služi za površinsko snimanje uzorka (određivanje položaja atoma) i manipulaciju

atomima

- za rad je potreban jako visoki vakuum, ali postoje inačice koje rade u tekućini,

plinovima i u velikom rasponu temperatura (mK – 500 K)

Površina zlata (100).

Ugljikova nanocijevčica.

Princip rada:

- piezoelektrična cijev, koja završava vrlo oštrim vrhom (jednim atomom), prelazi preko

površine uzorka na jako maloj udaljenosti; između uzorka i vrha (probe) postoji određeni

napon koji omogućava tuneliranje elektrona s površine uzorka na vrh; na mjestu gdje se

nalaze atomi, struje tuneliranja se poveća, a između atoma slabi; tako se pretraživanjem

(skeniranjem) površine mogu odrediti mjesta s ovećanom strujom, odnosno položaji

pojedinih atoma; rezultati se obrađuju pomoću računala i na zaslonu se dobije slika

površine

IBM logo načinjen od Xe

atoma na površini Ni (1989.)

Kvantni koral: 48 at. Fe na Cu.