Uvod u čvrstoću konstrukcija programski zadatci

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

Programski zadaci iz kolegija

Uvod u čvrstoću konstrukcija

Prof. dr. sc. Jurica Sorić

Doc. dr. sc. Igor Karšaj

Dr. sc. Ivica Skozrit

Tomislav Breški

0035191278

Zagreb, 2014/2015.

Fakultet strojarstva i brodogradnje Uvod u čvrstoću konstrukcija

Sadržaj:

1. Zadatak 1-81.................................................................................................1

2. Zadatak 2-38.................................................................................................5

2.1 Osnovne jednadžbe.................................................................................5

2.2 Odnos Fourierovih koeficijenata...........................................................6

2.3 Progib.......................................................................................................7

2.3.1 Rubni uvjeti........................................................................................8

2.3.2 Fourierov koeficijent za opterećenje................................................8

2.4 Izračun progiba pomoću tablica iz Inženjerskog priručnika...........10

3. Zadatak 3-59...............................................................................................11

3.1 Unutarnje sile i momenti......................................................................12

3.2 Cilindrična ljuska.................................................................................13

3.2.1 Provjera uvjeta duge i tanke ljuske................................................13

3.2.2 Radijalni pomak i kut zakreta točke A...........................................13

3.3 Konusna ljuska......................................................................................14

3.3.1 Provjera uvjeta strme i duge ljuske................................................14

3.3.2 Radijalni pomak i zakret točke B...................................................16

3.4 Raspodjela radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila ........................................................19

3.4.1 Općeniti izrazi za raspodjelu izračunatih veličina.........................19

3.4.2 Raspodjela radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila na cilindričnoj ljusci............................19

3.4.3 Raspodjela radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila na konusnoj ljusci...................................................22

3.5 Prikaz deformiranog stanja konstrukcije...........................................25

Tomislav Breški I


Popis slika:

Slika 1. Zatvoreni tankostjeni presjek s pripadajućom analognom membranom...........................................................................................1

Slika 2. Raspodjela tokova posmičnih sila po presjeku...................................3Slika 3. Raspodjela posmičnih naprezanja po presjeku, τi / MPa..................4Slika 4. Opterećenje pravokutne ploče..............................................................5Slika 5. Aksonometrijski prikaz deformiranja pravokutne ploče za zadano

opterećenje.............................................................................................9Slika 6. Prikaz opterećenja posude i mjesto proračuna sila i naprezanja. . .11Slika 7. Pretpostavljeni smjerovi djelovanja sila i momenata u

točki spoja............................................................................................12Slika 8. Prikaz geometrije konusne ljuske u općem slučaju..........................16Slika 9. Raspodjela radijalnog pomaka po izvodnici cilindrične ljuske.......20Slika 10. Raspodjela kuta zakreta po izvodnici cilindrične ljuske................20Slika 11. Raspodjela momenta savijanja po izvodnici cilindrične ljuske.....21Slika 12. Raspodjela normalne sile po izvodnici cilindrične ljuske..............21Slika 13. Raspodjela radijalnog pomaka po izvodnici konusne ljuske.........22Slika 14. Raspodjela kuta zakreta po izvodnici konusne ljuske....................23Slika 15. Raspodjela momenta savijanja po izvodnici konusne ljuske.........23Slika 16. Raspodjela radijalne sile po izvodnici konusne ljuske...................24Slika 17. Radijalni pomak središnje linije tankostjene konstrukcije...........26

Tomislav Breški II


Popis tablica:

Tablica 1. Sile. momenti i pomaci za slobodno oslonjene pravokutne pločeopterećene konstantnim površinskim opterećenjem....................10

Tablica 2. Vrijednost radijalnog pomaka cilindrične i konusne ljuske........25

Tomislav Breški III


Popis oznaka:

ZADATAK 1: ZADATAK 3:E - modul elastičnosti a,b - dimenzije prstenaMt - moment torzije E - modul elastičnostit - debljina stjenke h - debljina stjenkeν - Poissonov koeficijent R,l - dimenzije posudeA - površina p - unutarnji tlakp - tlak ν - Poissonov koeficijenth1,h2 - visina fiktivnih membrana ϑ - meridijalni kutN - uzdužna sila wc - radijalni pomak cilindraIt - torzijski moment tromosti ur

p - radijalni pomak prstenaV0 - volumen ispod fiktivne membrane ur

k - radijalni pomak konusaG - modul smicanja αc - kut zakreta cilindraϑ - kut zakreta αp - kut zakreta prstenaq - tok posmičnih sila αk - kut zakreta konusaτ - tangencijalno naprezanje α11,α12,α21,α22 - uplivni koeficijenti

β - geometrijsko-materijalna značajka ZADATAK 2: M - moment na stjenkua,b - dimenzije ploče Nϑ - meridijalna silah - debljina ploče Nφ - cirkularna silaq0 - maksimalan tlak Q - poprečna sila na stjenkuν - Poissonov koeficijent Xi - unutarnje poopćene sileE - modul elastičnosti Qr

m - membranska radijalna silaq - opterećenje D - fleksijska krutostw - progib s - meridijalna koordinataD - fleksijska krutost r - radijalna koordinataqjk - Furierov koeficijent za opterećenjewjk - Furierov koeficijent za progib

Tomislav Breški IV


1. Zadatak 1-81Za štap zatvorenog tankostjenog presjeka prema slici potrebno je odrediti relativni kut uvijanja ϑ, tokove posmičnih sila po presjeku štapa qi, posmična naprezanja po presjeku štapa τi i maksimalno posmično naprezanje τmax primjenom membransko-torzijske analogije. Prikazati raspodjelu tokova posmičnih sila i posmična naprezanja po presjeku štapa.

Zadano: E = 180 GPa, Mt = 30 Nm, t = 3 mm i ν = 0,3

Slika 1. Zatvoreni tankostjeni presjek s pripadajućom analognom membranom

Suma svih sila u smjeru osi x, ΣFx = 0 za prvu pločicu:

(1.1)

Suma svih sila u smjeru osi x, ΣFx = 0 za drugu pločicu:

(1.2)

Tomislav Breški 1


Površina pločica A1 i A2 :

(1.3)

(1.4)

Kod membransko-torzijske analogije vrijedi:

(1.5)

Iz (1.1) slijedi:

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Iz (1.2) slijedi:

(1.9)

(1.10)

(1.11)

Jednadžbe (1.8) i (1.11) predstavljaju sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice

(1.12)

Ako uvrstimo (1.12) u (1.8) dobivamo:

(1.13)

(1.14)

Iz (1.14) slijedi:

(1.15)

Vraćanjem dobivene vrijednosti u (1.12) dobivamo:

(1.16)

Iz dobivenih vrijednosti možemo zaključiti da je početna pretpostavka apsolutnih vrijednosti

visina pločica točna.

Tomislav Breški 2


Moment tromosti presjeka It :

(1.17)

(1.18)

Modul smicanja G :

(1.19)

Relativni kut uvijanja ϑ :

(1.20)

Tokovi posmičnih sila qi :

(1.21)

(1.22)

(1.23)

Slika 2. Raspodjela tokova posmičnih sila po presjeku

Tomislav Breški 3


Slika 3. Raspodjela posmičnih naprezanja po presjeku, τi / MPa

Maksimalno posmično naprezanje τmax:

(1.24)

Tomislav Breški 4


2. Zadatak 2-38Pravokutna ploča zadana i opterećena prema slici slobodno je oslonjena duž rubova. Potrebno je odrediti izraz za progib elastične plohe ploče primjenom Navierove metode i vrijednost progiba u točki A. Vrijednost progiba u točki A također odrediti primjenom tablica iz Inženjerskog priručnika, te usporediti dobivene vrijednosti.

Zadano: a = 300 mm, b = 300 mm, E = 200 GPa, h = 5 mm, q0 = 0,1 MPa, ν = 0,3,

A(x = 0,5a i y = 0,5b)

Na dimenzije i deformacije ploče postavljamo sljedeća ograničenja:

Ploče su tanke

Progibi su mali

gdje je lmin najmanja dimenzija ploče u njenoj ravnini, a h je debljina ploče.

2.1 Osnovne jednadžbe

Diferencijalna jednadžba savijanja ploče glasi:

(2.1)

Tomislav Breški 5

Slika 4. Opterećenje pravokutne ploče


Prema Navieru opterećenje qz se zajedno sa promatranim pomakom w prikazuje kao suma

dvostrukih trigonometrijskih redova sinusa jer zadovoljavaju rubne uvjete na slobodno

oslonjenim rubovima.

Za pravokutnu ploču prema Slika 4. opterećenje se prikazuje u obliku:

(2.2)

gdje je Fourierov koeficijent za opterećenje koje se odnosi na član (j, k).

Za pravokutnu ploču prema Slika 4. opterećenje se prikazuje u obliku:

(2.3)

gdje je Fourierov koeficijent za opterećenje koje se odnosi na član (j, k).

2.2 Odnos Fourierovih koeficijenata

Lijeva strana izraza (2.1) može se napisati:

(2.4)

Nadalje, iz izraza (2.4) je vidljivo da je potrebno izračunati navedene četvrte parcijalne

derivacije. te mješovitu parcijalnu derivaciju dva puta po x, i dva puta po y.

Ako izraz (2.3) deriviramo četiri puta po x dobiva se:

(2.5)

Ako izraz (2.3) deriviramo četiri puta po y dobiva se:

(2.6)

Ako izraz (2.3) deriviramo dva puta po x i dva puta po y dobiva se:

(2.7)

Tomislav Breški 6


Uvrštavanjem izraza (2.5), (2.6), (2.7) u (2.4) i naknadnim sređivanjem dobiva se:

(2.8)

Uvrštavanjem izraza (2.8) i (2.2) u (2.1) dobiva se:

(2.9)

Iz čega slijedi da za odgovarajući (j , k) vrijedi:

(2.10)

Fourierov koeficijent za opterećenje dan je izrazom:

(2.11)

Iz izraza (2.10) dobiva se izraz za Fourierov koeficijent pomaka:

(2.12)

2.3 Progib

Uvrštavanjem izraza (2.12) u (2.3) dobiva se konačan izraz za progib:

(2.13)

Tomislav Breški 7


2.3.1 Rubni uvjeti

Za slobodno oslonjenu ploču duž rubova progib i moment savijanja moraju biti jednaki nuli:

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Kako je progib duž ruba jednak nuli, tada su i parcijalne derivacije progiba po rubu

jednake nuli.

(2.17)

(2.18)

Iz izraza (2.17) i (2.18) slijedi:

(2.19)

2.3.2 Fourierov koeficijent za opterećenje

Iz Slike 4. vidljivo je da se vanjsko opterećenje mijenja linearno duž osi x :

(2.20)

Integriranjem izraza (2.11) s uvrštenim izrazom (2.20) dobiva se konačan izraz za Fourierov

koeficijent opterećenja:

(2.21)

(2.22)

Iz izraza (2.22) je vidljivo da će poprimiti vrijednost nula za sve parne vrijednosti j i k.

Tomislav Breški 8


Uzimajući u obzir prethodnu činjenicu, te uvrštavanjem izraza (2.22) u (2.13) dobiva se:

(2.23)

Fleksijska krutost ploče D :

(2.24)

Aproksimacijom dobivenih suma iz izraza (2.23) na prvih 5 članova dobivamo vrijednost

progiba točke A:

(2.25)

Slika 5. Aksonometrijski prikaz deformiranja pravokutne ploče za zadano opterećenje

2.4 Izračun progiba pomoću tablica iz Inženjerskog priručnika

Tomislav Breški 9


Tablica 1. Sile. momenti i pomaci za slobodno oslonjene pravokutne ploče opterećene konstantnim površinskim opterećenjem

Iz tablice 1. očitava se:

(2.26)

Iz izraza (2.26) uz pretpostavku da je slijedi:

(2.27)

Uspoređivanjem dobivenih analitičkih rezultata (2.25) i rezultata dobivenih pomoću tablica iz

Inženjerskog priručnika (2.27), može se vidjeti da se iznosi progiba razlikuju za 8,86% što

nije prihvatljiva aproksimacija iznosa progiba na sredini ploče, no također treba uzeti u obzir

da su ti isti progibi vrlo male veličine, te da za okvirni proračun razlika od 10-ak % na stranu

sigurnosti je vrlo prihvatljiva.

Tomislav Breški 10


3. Zadatak 3-59Za posudu zadanu i opterećenu prema slici na mjestu definiranom kružnicom izračunati sve

unutarnje sile i momente savijanja na spojevima različitih dijelova posude. Odrediti izraze za

raspodjelu i prikazati dijagrame raspodjele radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta

savijanja i normalnih sila od mjesta definiranog kružnicom po konturi različitih dijelova

posude. Na mjestu definiranom kružnicom prikazati deformirani oblik posude i dobivene

vrijednosti pomaka

Zadano: a = 200 mm, b = 150 mm, E = 200 Gpa, h = 4 mm, l = 2,5 m

p = 0,05 Mpa, R = 1,25 m i ν = 0,3

Slika 6. Prikaz opterećenja posude i mjesto proračuna sila i naprezanja

Tomislav Breški 11


3.1 Unutarnje sile i momenti

Slika 7. Pretpostavljeni smjerovi djelovanja sila i momenata u točki spoja

Naprezanje koje se javlja u ljuskama zbroj je membranskog i naprezanja uslijed lokalnog

savijanja na spoju dviju ljusaka. Na slici 6. prikazani su pretpostavljeni smjerovi djelovanja

sila koji izazivaju prethodno spomenuta naprezanja. Navedeni indeksi na slikama k i c,

označavaju redom sile na konusu i cilindru, te m predstavlja membransku komponentu sile.

Uvjeti kompatibilnosti:

(3.1)

(3.2)

Na mjestu spoja cilindrične i konusne ljuske vrijede sljedeće relacije:

(3.3)

(3.4)

Tomislav Breški 12


3.2 Cilindrična ljuska

3.2.1 Provjera uvjeta duge i tanke ljuske

Da rubni uvjeti proračunske točke nebi utjecali na rubne uvjete sljedeće cilindrična ljuska mora zadovoljavati:

(3.5)

Da bi se ljuska mogla smatrati tankom mora vrijediti:

(3.6)

3.2.2 Radijalni pomak i kut zakreta točke A

Uvjet ravnoteže za cilindričnu ljusku u smjeru koordinatne osi x :

(3.7)

Iz jednadžbe (3.7) slijedi iznos meridijalne sile :

(3.8)

Fleksijska krutost cilindrične ljuske :

(3.9)

Geometrijsko-materijalna značajka :

(3.10)

Uplivni koeficijent :

(3.11)


(3.12)

Tomislav Breški 13



(3.13)

Izrazi za pomak i zakret cilindrične ljuske:

(3.14)

(3.15)

Izraz za membranski radijalni pomak cilindra :

(3.16)

Izraz za određivanje cirkularne sile :

(3.17)

Uvrštavanjem (3.17) u (3.16) dobiva se membranski pomak cilindra u točki A:

(3.18)

Deriviranjem izraza (3.18) dobiva se iznos membranskog kuta zakreta cilindra:

(3.19)

Uvrštavanjem izraza (3.11), (3.12), (3.13) u izraze (3.14) i (3.15) dobivaju se konačni izrazi za radijalni pomak i kut zakreta točke A, za x = 0:

(3.20)

(3.21)

3.3 Konusna ljuska

3.3.1 Provjera uvjeta strme i duge ljuskeUvjet strme ljuske:

(3.22)

(3.23)

Tomislav Breški 14


(3.24)

(3.25)

Ako se usporede dobivene vrijednosti (3.25) i (3.23) može se vidjeti da ljuska zadovoljava

uvjet strme ljuske.

Geometrijsko-materijalna značajka konusne ljuske :

(3.26)

Uvjet duge ljuske:

(3.27)

Granice integracije su:

(3.28)

(3.29)

Cirkularni glavni polumjer zakrivljenosti dobiva se iz:

(3.30)

Uvrštavanjem (3.28), (3.29), (3.30) u (3.27) slijedi:

(3.30)

Tomislav Breški 15


3.3.2 Radijalni pomak i zakret točke B

Slika 8. Prikaz geometrije konusne ljuske u općem slučaju

Iz Slike 7. slijedi:

(3.31)

(3.32)

(3.33)

Uvjet ravnoteže u smjeru osi x na proizvoljnom presjeku ljuske:

(3.34)

Iz (3.34) slijedi izraz za računanje meridijanske sile :

(3.35)

Iz slike 6. slijede vrijednosti x koordinate za točku B i C:

(3.36)

(3.37)

Uvrštavanjem (3.36) u (3.35) dobiva se vrijednost meridijalne sile u točki B:

(3.38)

Tomislav Breški 16


Jednadžba ravnoteže konusne ljuske:

(3.39)

Kod konusnih ljusaka meridijanski polumjer teži u beskonačnost iz čega slijedi:

(3.40)

Iznos cirkularne sile u točki B:

(3.41)

Iznos radijalne komponente meridijalne sile na konusu u točki B:

(3.41)

Općenito partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe kod savijanja konusnih ljusaka za

radijalni pomak odgovara membranskom radijalnom pomaku :

(3.41)

Općenito partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe kod savijanja konusnih ljusaka za

zakret odgovara membranskom zakretu :

(3.42)

Uvrštavanjem (3.35) i (3.40) u (3.42) dobiva se:

(3.43)

Uvrštavanjem poznatih veličina u (3.41) i (3.43) dobivaju se partikularna rješenja radijalnog

pomaka i zakreta točke B:

(3.44)

(3.45)

Tomislav Breški 17


Fleksijska krutost konusne ljuske :

(3.46)

Geometrijsko-materijalna značajka konusne ljuske :

(3.47)


(3.48)


(3.49)


(3.50)

Izrazi za pomak i zakret konusne ljuske:

(3.51)

(3.52)

Uvrštavanjem poznatih veličina dobiva se konačan izraz za pomak i zakret točke B:

(3.53)

(3.54)

Iz uvjeta kompatibilnosti progiba i zakreta dobiva se sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice X1 i X2,:

(3.55)

(3.56)

Tomislav Breški 18


Rješavanjem sustava dobivaju se iznosi poprečne sile i momenta savijanja:

(3.57)

(3.58)

3.4 Raspodjela radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila

3.4.1 Općeniti izrazi za raspodjelu izračunatih veličina

Prema [3.] vrijede slijedeći izrazi potrebni za izračunavanje raspodjele progiba i opterećenja:

(3.59)

(3.60)

(3.61)

(3.62)

(3.63)

3.4.2 Raspodjela radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila na cilindričnoj ljusci

Za cilindričnu ljusku vrijedi:

(3.64)

Uvođenjem (3.60), (3.61), (3.62) i (3.63) u (3.14) i (3.15) dobivaju se izrazi za raspodjelu

radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila:

(3.65)

(3.66)

(3.67)

(3.68)

Tomislav Breški 19

Slika 9. Raspodjela radijalnog pomaka po izvodnici cilindrične ljuske

Slika 10. Raspodjela kuta zakreta po izvodnici cilindrične ljuske


urc, mm

x, mm

αc, rad

x, mm

Tomislav Breški 20


Tomislav Breški 21


x, mm

x, mm

Tomislav Breški 22

Slika 11. Raspodjela momenta savijanja po izvodnici cilindrične ljuske

Slika 12. Raspodjela normalne sile po izvodnici cilindrične ljuske

Slika 13. Raspodjela radijalnog pomaka po izvodnici konusne ljuske


3.4.3 Raspodjela radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila na konusnoj ljusci

Za konusnu ljusku vrijedi:

(3.69)

Uvođenjem (3.60), (3.61), (3.62) i (3.63) u (3.51) i (3.52) dobivaju se izrazi za raspodjelu

radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila:

(3.70)

(3.71)

(3.72)

(3.73)

uk, mm

x, mm

Tomislav Breški 23

Slika 14. Raspodjela kuta zakreta po izvodnici konusne ljuske

Slika 15. Raspodjela momenta savijanja po izvodnici konusne ljuske

Slika 15. Raspodjela momenta savijanja po izvodnici konusne ljuske


x, mm

x, mm

Tomislav Breški 24

Slika 16. Raspodjela radijalne sile po izvodnici konusne ljuske


x, mm

Tomislav Breški 25


3.5 Prikaz deformiranog stanja konstrukcijeUvrštavanjem različitih vrijednosti varijabli x u (3.65) i (3.70) dobivaju se vrijednosti

radijalnog pomaka središnje linije tankostjene konstrukcije, a prikazani su u tablici ispod.

Vrijednost varijable x prikazuje pomak u smjeru osi, čiji smjer se vidi na slici 7.

Tablica 2. Vrijednost radijalnog pomaka cilindrične i konusne ljuske

x, mm uc, mm uk, mm x, mm uc, mm uk, mm

0 -0,40721 -0,40721 250 0,08917 0,16911

10 -0,39507 -0,39996 260 0,08742 0,17001

20 -0,36029 -0,35584 270 0,08596 0,1714

30 -0,31168 -0,29 280 0,08479 0,1732

40 -0,25614 -0,21425 290 0,08387 0,17531

50 -0,19884 -0,13724 300 0,08319 0,17767

60 -0,14347 -0,06487 310 0,0827 0,1802

70 -0,0925 -0,00077 320 0,08238 0,18285

80 -0,04739 0,05323 330 0,08219 0,18555

90 -0,00885 0,09663 340 0,08211 0,18829

100 0,02301 0,12987 350 0,0821 0,19104

110 0,04846 0,15397 360 0,08214 0,19377

120 0,06806 0,17028 370 0,08222 0,19648

130 0,08251 0,18025 380 0,08232 0,19917

140 0,09258 0,18535 390 0,08242 0,20182

150 0,09905 0,18688 400 0,08253 0,20444

160 0,10267 0,18599 410 0,08263 0,20705

170 0,1041 0,18365 420 0,08272 0,20963

180 0,10394 0,18059 430 0,0828 0,2122

190 0,10267 0,17739 440 0,08287 0,21476

200 0,1007 0,17445 450 0,08292 0,21732

210 0,09836 0,17201 460 0,08296 0,21988

220 0,09589 0,17023 470 0,08299 0,22244

230 0,09346 0,16917 480 0,08303 0,22502

240 0,09119 0,16881 490 0,08304 0,2276

Tomislav Breški 26


Slika 17. Radijalni pomak središnje linije tankostjene konstrukcije

Tomislav Breški 27


Literatura:[1.] Linearna analiza konstrukcija, Ivo Alfirević, FSB, Zagreb

[2.] Inženjerski priručnik 1, ''7.12. Ljuske i ploče'', prof. dr. sc. Jurica Sorić, Školska knjiga, Zagreb

[3.] Predavanja iz kolegija „Uvod u čvrstoću konstrukcija“, prof.dr. sc. Jurica Sorić

[4.] Vježbe iz kolegija „Uvod u čvrstoću konstrukcija“, dr. sc. Ivica Skozrit

Tomislav Breški 28

Documents

Uvod u čvrstoću konstrukcija programski zadatci