Urti NormaliMeccanica dei Fluidi: Modulo di Fluidodinamica

AA 2013-2014

A cura di: Alessandro Di Marco, PhD

Effetto del Ma sul flusso compressibile nei condotti

Flusso Stazionario compressibile quasi unidimensionale (QU)

Condotto a sezione debolmente variabile

Valutiamo condizioni di flusso in funzione dell’area A. Dalla CdM:

constAu

Differenzio: d

dxu A 0

u

dA

dxA

du

dxu A

d

dx 0

Divido per uA:1 1 1

0A

dA

dx u

du

dx

d

dx

Ricordo che CQM: u u P

u

d u

d x

d P

d x

u

d u

d xc

d

d x 0

2

StFr,Re ,

x x x

d

dx2 3 1 1

0 0

,u2=u3=0

Effetto del Ma sul flusso compressibile nei condotti

Quindi:

Da cui:

011111111

2

0

2

2

0

c

u

dx

du

udx

dA

Adx

du

c

u

dx

du

udx

dA

Adx

d

dx

du

udx

dA

A

111 2 Ma

dx

du

udx

dA

A

Ugello Convergente-Divergente (De Laval)

• Consente di accelerare i gas oltre Mach 1;

• È una delle configurazioni più usate in alcune applicazioni aerospaziali (propulsione);

• Inventata da Gustaf de Laval nel 1888 per essere utilizzata nelle turbine a vapore;

• Utilizzata nei razzi da Robert Goddard;

• La temperatura e la pressione statica diminuiscono all’aumentare del Mach dei gas di scarico;

• Maggiore è il Mach in uscita maggiore sarà la spinta.

Ugello Convergente-Divergente (De Laval)

Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso in un ugello di De Laval

Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso in un ugello di De Laval

a) Pressione esterna (pe) poco inferiore a p0

Il flusso accelera nel convergente

Non raggiunge M=1 nella sezione di gola

Essendo quindi Subsonico si ricomprime nel divergente.

b) Diminuisco Pressione esterna (pe)

Il flusso accelera ma non abbiamo ancora condizioni soniche in gola.

Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso in un ugello di De Laval

c) Diminuisco pressione esterna (pe)

Si raggiunge una condizione per la quale si ha M=1 in gola.

Il flusso è ancora subsonico nel divergente.

Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso in un ugello di De Laval

j) Condizioni di progetto (pe= pj)

Il flusso si espande isentropicamente fino alla pressione pj.

Il flusso è supersonico nel divergente.

Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso in un ugello di De Laval

d-f) Condizione (pf≤pe< pc)

Abbassando la pe da pc la pressione in gola non varia più.

La portata non aumenta ulteriormente (choking).

In queste condizioni non esiste alcuna soluzione isentropica. Si verificherebbe una discontinuità!

Si ha la comparsa di un Onda D’Urto: dopo l’espansione supersonica si ha una brusca ricompressione. Poi subsonico.

Al diminuire della pe l’onda si sposta verso l’uscita. In f l’urto si verifica nella sezione di uscita.

Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso in un ugello di De Laval

g-h) Condizione (pj<pe< pf)

Il flusso è supersonico in tutto il divergente ma la pressione di uscita è inferiore a quella esterna.

La compressione si verifica all’esterno con un sistema di Urti Obliqui. Ugello sovraespanso.

Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso in un ugello di De Laval

k) Condizione (pe< pj)

L’espansione prosegue all’esterno del divergente. Ugello Sottoespanso.

Modello matematico per onda d’urto

Modello Matematico

Processi dissipativi quindi non si può far uso delle isentropiche. Notevoli variazioni di entropia.

Urto di spessore infinitesimo dell’ordine del cammino medio.

Ipotesi di Unidimensionalità.

2211 uu 1 1

2

1 2 2

2

2u P u P

Equazioni di partenza

Equazione di CdM Equazione di CQM

Modello Unidimensionale (U)

Si trascurano le variazioni di area, quindi:

D

D tu

0

D u

D tP

u 0

d u

d x

0 u t cos

d u

d x

d P

d x

2

0 d

d xu P

2 0 costu P2

Si trascurano:

x x x

d

dx2 3 1 1

0 0

,u2=u3=0

2211 uu 1 1

2

1 2 2

2

2u P u P

Da cui:

Onda d’urto normale

Dalla QM sostituendo l’equazione di stato:

Riarrangio con g:

Ottengo il rapporto delle pressioni monte e valle dell’urto:

PP

RTu P

P

RTu1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

Pu

RTP

u

RT1

1

2

1

2

2

2

2

1 1

g

g

g

g

P

P

M

M

1

2

2

2

1

2

1

1

g

g

Onda d’urto normale

Dalla CdM e dall’equ di stato:

Cioè:

Combinando le precedenti equazioni si ottengono:

P

P

RT

RT

u T

u T

RT

RT

T

T

M

M

1

2

1 1

2 2

2 1

1 2

2

12

1

12

1

2

2

1

g

g

P

P

T

T

M

M

1

2

1

2

12

2

1

1

1

2

2

1

2

12

1 2

2

1

g

g

M

MH M M

M

M,

T

TH M M

1

2

1 2 ,

M

M

M2

2

1

2

1

2

2

1

2

11

g

g

g

2

1

2

1

2

1

1

2

M1γ2

1γ

1M1γ

2γM

2

1γ1

.T

T

P

P

M2

1

1

22 1

1

g g

g

g

g

2

1

1

2

1

2

1

2 1

M

M

Onda d’urto normale

Dalle relazioni precedenti eliminando M1 si ottengono le relazioni di Rankine-Hugoniot:

T

T

P

P

P

P

P

P

fP

P

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

11

1

1

1

g

g

g

g

g

g

g

g

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

11

1

1

P

P

P

P

fP

P

P

Pf

2

1

2

1

2

1

3

2

1

1

11

1

1

g

g

g

g

Variazione dell’entropia nell’urto

Nell’urto c’è una degradazione di energia meccanica in energia termica che darà luogo ad un aumento di entropia.

La temperatura totale si conserva: T T Tt t t1 2 Che implica: C C Ct t t1 2

Variazione dell’entropia nell’urto

Ricordando che:

Si può ottenere un’equazione:

1g

Rcv

v

dvR

T

dTc

d

p

dpcdS vv

g

Integro tra due stati 1 e 2:

1

2

1

1

2

1

2

1

212 lnlnln1ln

g

g

T

Tc

v

vc

T

TcSS vvv

ggg

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1

212 lnlnln

p

pc

T

Tc

T

TcSS vvv

S S

Cf M

MM

v

2 1

1

1

2 1

22

1

1

1

2

1

1

1

gg

g

g

g

g

g

gln ln

Variazione dell’entropia nell’urto

L’andamento dell’equazione:

S S

Cf M

MM

v

2 1

1

1

2 1

22

1

1

1

2

1

1

1

gg

g

g

g

g

g

gln ln

M1<1 non è fisicamente realizzabile

Intorno a M1=1 urti deboli

Aumentando M1 cresce l’intensità dell’urto