Urtiurto: evento isolato nel quale una forza relativamente intensa

agisce per un tempo relativamente brevesu due o più corpi in contatto tra loro[approssimazione impulsiva: trascuro forze esterne]

m1 m2

21Fr

12Fr

Urti su scale diverse

4He++

p+

meteor-crater

1200 m

∆t ≈ 4 ms

αΝ

r risultato di un contatto fisico

r risultato di una interazione tra particelle

Quantità di Moto negli Urti

per ogni tipo di urtola quantità di moto totale si conserva

L esercita su R forza F(t)R esercita su L forza –F(t)

F(t) e –F(t) sono coppia di forze azione e reazione:r intensità varia nel tempor intensità è uguale istante per istante

∫

∫

−=∆

=∆

i

i

i

i

t

tL

t

tR

dttFp

dttFp

))((

)(

t

F

F(t)

- F(t)

0=∆+∆∆−=∆

LR

LR

pppp

costanteppp LR =+=rrr

le forze impulsive sono interne al sistema,quindi NON influenzano la quantità di moto totale

Energia negli Urti

l’energia cinetica NON si conserva sempre negli urti

posso avere conversione in

r energia termicar energia acusticar energia potenziale elastica (deformazione dei corpi)r energia rotazionale

urto elastico: energia cinetica totale non cambia[es. urto fra bocce]

urto anelastico: energia cinetica totale non si conserva[es. urto palla di gomma su pavimento]

urto perfettamente anelastico:massima trasformazioneenergia cinetica totale,i due corpi rimangono uniti[es. urto palla di plastilina su pavimento]

ftotitot KK )()( =

...)()( +++= potthftotitot EEKK

2,1,

)()(

iif

itotftot

mmmKK+=

≠

in tutti i casi la quantità di moto si conserva semprehttp://ww2.unime.it/weblab/ita/wf2/urti/urti_ita.htm

Urti in UNA dimensione

urto perfettamente anelastico[conservo solo quantità di moto]

prima

dopo

le particelle dopo l’urto rimangono unite con velocità vf

fii

fi

vmmvmvmpp

rrr

rr

)( 212211 +=+

=

)( 21

2211

mmvmvmv ii

f ++

=rr

r

esempio: pendolo balistico

dispositivo per determinare velocità dei proiettili

vMm

mV)( +

= conservazione quantità di moto

ghMmVMm )()(21 2 +=+ conservazione

energia meccanica

ghm

Mmv 2+=

cmhkgMgmsmv

3.64.55.9/630

====

trasformo alta velocità proiettile in bassa velocità corpo pesante [di facile misurazione]

urto elastico[conservo quantità di moto ed energia cinetica]

ffii

fi

vmvmvmvmpp

22112211rrrr

rr

+=+

=prima

dopo

(1)

222

211

222

211 2

121

21

21

)()(

ffii

ftotitot

vmvmvmvm

KK

+=+

=

bersaglio mobile)()( 222111 fififi vvmvvmpp −−=−⇒=

rr

)()()()( 22

222

21

211 fififtotitot vvmvvmKK −−=−⇒=

divido le due precedenti equazioni e sostituisco …)()( 2211 fifi vvvv +=+

iif

iif

vmmmmv

mmmv

vmm

mvmmmmv

221

121

21

12

221

21

21

211

2

2

+−

++

=

++

+−

=

))(())(( 1222211111 fifififi vvvvmvvvvm −+−=−+

N.B. note: m1, m2v1i, v2iconservazione p (1)

+velocità relative (2)

velocità relative uguali ed opposte prima e dopo l’urto

(2) )()( 2121 ffii vvvv −−=−

02 ≠iv

bersaglio fisso

ffifi vmvvmpp 22111 )( =−⇒=rr

22211111 ))(()()( ffififtotitot vmvvvvmKK =−+⇒=

divido le due precedenti equazioni e sostituisco …

if

if

vmm

mv

vmmmmv

121

12

121

211

2+

=

+−

=

02 =iv

rmasse uguali [m1=m2]

if

f

vvv

12

1 0=

= scambio di velocità [es. urto fra bocce/palle da biliardo]

r bersaglio massiccio [m2>>m1]

proiettile rimbalza indietro [es. urto palla golf su palla cannone

palla da baseball su mazza]if

if

vmmv

vv

12

12

11

2

=

−=

r proiettile massiccio [m1>>m2]

if

if

vvvv

12

11

2=

=proiettile indisturbato, bersaglio scatta in avanti [es. urto palla cannone su palla golf]

http://ww2.unime.it/weblab/ita/wf2/urti/urti_ita.htm

esempi: urto elastico

if

f

vvv

12

1 0

=

=urto fra palle di biliardo uguali:

pendolo multiplo: palline di uguale massa

rapida successione di urti elastici:

ad ogni urto una palla si ferma epalla successiva si muove con stessa velocità

esercizi urti in una dimensione

Urti in DUE dimensioni

prima dopo

urto non frontale (corpi non allineati nella direzione del moto)

dopo urto i corpi non si muovono sullo stesso asse

⇒

conservazione quantità di moto:

ffii

fi

vmvmvmvmpp

22112211rrrr

rr

+=+

=

per componenti:

fyfyiyiy

fxfxixix

vmvmvmvmvmvmvmvm

22112211

22112211

+=+

+=+⇒

φθ

φθ

sinsin00

coscos0

2211

221111

ff

ffix

vmvmvmvmvm

−=+

+=+

conservazione energia cinetica[per urti elastici solamente!!!]

222

211

222

211 2

121

21

21

ffii vmvmvmvm +=+

esercizi urti in due dimensioni

Centro di Massa

palla lanciata in aria:traiettoria parabolica[tipo moto proiettile]

mazza da baseball lanciata in aria:moto complicato e diverso per le varie partimazza = sistema di punti materialicentro di massa: punto che si muove lungo

traiettoria parabolica[tipo moto proiettile]

centro di massa di un corpo (o sistema di corpi):punto che si muove come se 4 tutta la massa fosse lì concentrata4 e le forze esterne agissero lì

permette di descrivere moto complessivo del sistema meccanico

esempio: sistema di due particelle collegate da sbarra rigida [priva di massa]

M1 < M2

r applico F vicino ad M1

sistema ruota in senso orario

r applico F vicino ad M2

sistema ruota in senso anti-orario

r applico F vicino al CMsistema trasla si muove come se tuttala massa fosse concentratanel CdM

individuo centro di massa con questo esperimento !!

Posizione del centro di massaposizione media della massa del sistema

21

2211

mmxmxmx

defCM ++

=

esempio: x1=0, x2=dse m1 = m2 ⇒ xCM= (x1+x2)/2 metà stradase m2 = 2m1 ⇒ xCM= 2/3 d vicino particella pesante

sistema n particelle in 3 dimensioni

Mxm

mxm

mmmxmxmxmxmx ii

i

ii

n

nndefCM

∑∑∑ ==

+++++++

=...

...

21

332211

Mym

mym

mmmymymymymy ii

i

ii

n

nndefCM

∑∑∑ ==

+++++++

=...

...

21

332211

Mzm

mzm

mmmzmxmzmxmz ii

i

ii

n

nndefCM

∑∑∑ ==

+++++++

=...

...

21

332211

yx

zP(xi,yi,zi) particella di coordinate (xi,yi,zi)

vettore posizione:kzjyixr iiii

rrrr++=

irr

sistema di n particelle

∑

∑ ∑ ∑

=

=

++=++=

n

iiiCM

i i iiiiiii

CMCMCMCM

rmM

r

M

zmymxmkzjyixr

1

1 rr

rrrr

vettore posizione CM

nel linguaggio dei vettori:

corpi rigidi [distribuzioni continue di materia]

∫= dmrM

rCMrr 1 ∫∑

∫∑∫∑

→∆

→∆

→∆

→∆

=

→∆

=

→∆

=

dmzMM

zmz

dmyMM

ymy

dmxMM

xmx

i

i

i

m

ii

defCM

m

ii

defCM

m

ii

defCM

1

1

1

0

0

0

N.B. se oggetto possiede simmetriaCM si trova su centro, asse o piano di simmetria

Moto di un Sistema di Particelle

N.B. sistema isolato:0===∑ dt

pdaMF totCMest

rrr

⇒ costantevMp CMtot ==rr

nnCM rmrmrmrM rrrr+++= ...2211

nnCM vmvmvmvM rrrr+++= ...2211

nnCM amamamaM rrrr+++= ...2211

Il CM è utile nella descrizione del moto del sistema

∑=

=n

iiiCM rm

Mr

1

1 rr

dtrdv i

i

rr=

dtvda i

i

rr=

le forze internesi elidono a due a due[azione e reazione]

∑=+++= estnCM FFFFaMrrrrr ...21

il CM si muove come particella di massa Msu cui agisce la risultante delle forze esterne

dtpdaMF tot

CMest

rrr

==∑

esempi: moto centro di massa

fuoco artificiale

gest FFrr

=

CM segue traiettoria parabolica

[la stessa del razzo inesploso]

ballerina che fluttua in aria:

traiettoria testa-busto orizzontale !!![non parabolica

come nel lancio di un corpo]

CM segue traiettoria parabolica

esercizi centro di massa

Moto di un Sistema di Particelle

Il CdM è utile nella descrizione del moto del sistema

Mvm

dtrdm

Mdtrdv iii

iCM

CM∑∑ ===

rrrr 1 velocità CDM

totiiiCM ppvmvM rrrr=== ∑∑

⇓

quantità di moto totale è pari alla massa totale per la velocità del CdM

[moto particella massa M, velocità vCM]

∑∑ === iii

iCM

CM amMdt

vdmMdt

vda rrr

r 11

∑∑ == iiiCM FamaMrrr

⇓somma forze esterne(quelle interne si elidono a coppie)

dtpdaMF tot

CMest

rrr

==∑

il CdM si muove come particella di massa Msu cui agisce la risultante delle forze esterne

sistema isolato:0∑ =estF

rcostantevcostantep CMtot ==

rr⇒

conservazione quantità di motopropulsione di un razzo[sistema a massa variabile]

durante il moto si conserva la massa del sistema[massa combustibile + massa navetta]

fi pp =

0))(( <+++−= dMcondvvdMMUdMMv

Udvvu −+= )( velocita` relativa prodotti di scarico

dtdvMu

dtdM

dvMudM

=−

=−

ove R=-dM/dt rapidita`consumo conbustibile

MaRu = spinta del razzo (I0 equazione del razzo)

∫∫ −=

−=

f

i

f

i

M

M

v

v MdMudv

MdMudv

f

iif M

Muvv ln=− (II0 equazione del razzo)

devo diminuire la massa finale per avere aumento di velocita`