Urti urto: evento isolato nel quale una forza relativamente intensa agisce per un tempo relativamente breve su due o più corpi in contatto tra loro [approssimazione impulsiva: trascuro forze esterne]

r  risultato di un contatto fisico r  risultato di una interazione tra particelle

Urti su scale diverse

m1 m2

21F!

12F!

4He++

p+

meteor-crater

1200 m

Δt ≈ 4 ms

α Ν

per ogni tipo di urto la quantità di moto totale si conserva

L esercita su R forza F(t) R esercita su L forza –F(t) F(t) e –F(t) sono coppia di forze azione e reazione: r  intensità varia nel tempo r  intensità è uguale istante per istante

∫

∫

−=Δ

=Δ

i

i

i

i

t

tL

t

tR

dttFp

dttFp

))((

)(

0=Δ+Δ

Δ−=Δ

LR

LR

pppp

costanteppp LR =+=!!!

le forze impulsive sono interne al sistema, quindi NON influenzano la quantità di moto totale

Quantità di Moto negli Urti

t

F

F(t)

- F(t)

Energia negli Urti

l’energia cinetica NON si conserva sempre negli urti posso avere conversione in r  energia termica r  energia acustica r  energia potenziale elastica (deformazione dei corpi) r  energia rotazionale

urto elastico: energia cinetica totale non cambia [es. urto fra bocce] urto anelastico: energia cinetica totale non si conserva [es. urto palla di gomma su pavimento] urto perfettamente anelastico: massima trasformazione energia cinetica totale, i due corpi rimangono uniti [es. urto palla di plastilina su pavimento]

ftotitot KK )()( =

...)()( +++= potthftotitot EEKK

2,1,

)()(

iif

itotftot

mmmKK+=

≠

in tutti i casi la quantità di moto si conserva sempre http://ww2.unime.it/weblab/ita/wf2/urti/urti_ita.htm

Urti in UNA dimensione

urto perfettamente anelastico [conservo solo quantità di moto]

prima

dopo

le particelle dopo l’urto rimangono unite con velocità vf

fii

fi

vmmvmvmpp

!!!

!!

)( 212211 +=+

=

)( 21

2211

mmvmvmv ii

f +

+=

!!!

esempio: pendolo balistico

dispositivo per determinare velocità dei proiettili

vMmmV

)( += conservazione

quantità di moto

conservazione energia meccanica ghMmVMm )()(

21 2 +=+

ghmMmv 2+

=

trasformo alta velocità proiettile in bassa velocità corpo pesante [di facile misurazione]

cmhkgMgmsmv

3.64.55.9/630

=

===

urto elastico [conservo quantità di moto ed energia cinetica]

prima

dopo

ffii

fi

vmvmvmvmpp

22112211!!!!

!!

+=+

=

222

211

222

211 2

121

21

21

)()(

ffii

ftotitot

vmvmvmvm

KK

+=+

=

bersaglio mobile )()( 222111 fififi vvmvvmpp −−=−⇒=

!!

)()()()( 22

222

21

211 fififtotitot vvmvvmKK −−=−⇒=

divido le due precedenti equazioni e sostituisco … )()( 2211 fifi vvvv +=+

iif

iif

vmmmmv

mmmv

vmmmv

mmmmv

221

121

21

12

221

21

21

211

2

2

+

−+

+=

++

+

−=

))(())(( 1222211111 fifififi vvvvmvvvvm −+−=−+

N.B. note: m1, m2 v1i, v2i conservazione p (1) + velocità relative (2)

(1)

velocità relative uguali ed opposte prima e dopo l’urto

(2) )()( 2121 ffii vvvv −−=−

02 ≠iv

urto elastico [conservo quantità di moto ed energia cinetica]

prima

dopo

ffii

fi

vmvmvmvmpp

22112211!!!!

!!

+=+

=

222

211

222

211 2

121

21

21

)()(

ffii

ftotitot

vmvmvmvm

KK

+=+

=

bersaglio mobile )()( 222111 fififi vvmvvmpp −−=−⇒=

!!

)()()()( 22

222

21

211 fififtotitot vvmvvmKK −−=−⇒=

divido le due precedenti equazioni e sostituisco … )()( 2211 fifi vvvv +=+

iif

iif

vmmmmv

mmmv

vmmmv

mmmmv

221

121

21

12

221

21

21

211

2

2

+

−+

+=

++

+

−=

))(())(( 1222211111 fifififi vvvvmvvvvm −+−=−+

N.B. note: m1, m2 v1i, v2i conservazione p (1) + velocità relative (2)

(1)

velocità relative uguali ed opposte prima e dopo l’urto

(2) )()( 2121 ffii vvvv −−=−

02 ≠iv

bersaglio fisso

ffifi vmvvmpp 22111 )( =−⇒=!!

22211111 ))(()()( ffififtotitot vmvvvvmKK =−+⇒=

divido le due precedenti equazioni e sostituisco …

if

if

vmmmv

vmmmmv

121

12

121

211

2+

=

+

−=

r masse uguali [m1=m2]

if

f

vvv

12

1 0

=

= scambio di velocità [es. urto fra bocce/palle da biliardo]

r bersaglio massiccio [m2>>m1]

if

if

vmmv

vv

12

12

11

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−=

proiettile rimbalza indietro [es. urto palla golf su palla cannone palla da baseball su mazza]

r proiettile massiccio [m1>>m2]

if

if

vvvv

12

11

2=

=proiettile indisturbato, bersaglio scatta in avanti [es. urto palla cannone su palla golf]

02 =iv

http://ww2.unime.it/weblab/ita/wf2/urti/urti_ita.htm

esempi: urto elastico

urto fra palle di biliardo uguali: if

f

vvv

12

1 0

=

=

pendolo multiplo: palline di uguale massa

rapida successione di urti elastici: ad ogni urto una palla si ferma e palla successiva si muove con stessa velocità

esercizi urti in una dimensione

Urti in DUE dimensioni

prima dopo

urto non frontale (corpi non allineati nella direzione del moto)

dopo urto i corpi non si muovono sullo stesso asse

⇒

conservazione quantità di moto:

ffii

fi

vmvmvmvmpp

22112211!!!!

!!

+=+

=

fyfyiyiy

fxfxixix

vmvmvmvmvmvmvmvm

22112211

22112211

+=+

+=+

φθ

φθ

sinsin00

coscos0

2211

221111

ff

ffix

vmvmvmvmvm

−=+

+=+

per componenti:

⇒

conservazione energia cinetica [per urti elastici solamente!!!]

222

211

222

211 2

121

21

21

ffii vmvmvmvm +=+

esercizi urti in due dimensioni