Urti Fisica Generale A - core.ac.uk · 12. Urti Fisica Generale A October 21, 2010 Urti • Si ha un urto quando due corpi, che si muovono a velocità diverse

12. Urti

Fisica Generale A

http://campus.cib.unibo.it/2432/

October 21, 2010

Urti

• Si ha un urto quando due corpi, che si muovono a velocità diverse, interagiscono (p.es. vengono a contatto) e, in un intervallo di tempo molto breve (rispetto al contesto), modificano sostanzialmente le proprie velocità.

p p

+

ee

palle da biliardo

cometa

Sole

2Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti

Urti (II)

• Le forze d’urto agiscono per un tempo molto breve. Prima e dopo l’urto le forze d’urto sono assenti: se i corpi non sono soggetti ad altre forze, essi si muovono di moto rettilineo uniforme.

• Nei problemi d’urto non si è interessati alla dinamica dell’interazione, ma soltanto alla relazione tra le quantità dinamiche prima e dopo l’urto.


Forze d’Urto

• Le forze che agiscono durante l’urto tra due corpi non vincolati sono forze interne al sistema formato dai due corpi.

• L’intensità delle forze d’urto è tanto più elevata quanto più piccolo è l’intervallo di tempo in cui le forze agiscono.

• Infatti, se consideriamo la forza media nell’intervallo [t1, t2] in cui le forze d’urto agiscono:

F =1

t2t1

F t( ) dtt1

t2


Forze d’Urto (II)

• Per il teorema dell’impulso avremo:

• A parità di variazione della quantità di moto la forza è tanto maggiore quanto minore è l’intervallo di tempo [t1, t2].

F =1

t2

t1

F t( )dtt1

t2

=Q t

2( ) Q t

1( )

t2

t1

Q t2

( ) Q t1

( )

stesso Q t2( ) Q t

1( )

stesso F dtt1

t2

t1,t

2 diverso

F diversa

Acciaio

più rigido Acciaio

meno rigido

t

F

1t

2t

t

F

Fdt

t1

t2

1t

2t

Fdt

t1

t2

F

F


Forze d’Urto (III)

• Durante l’urto possono agire anche forze esterne non impulsive, come la forza peso. Tuttavia, di solito, esse sono trascurabili rispetto alle forze d’urto. I sistemi possono cioè essere considerati sistemi quasi-isolati.

• Prima e dopo l’urto le forze esterne non impulsive devono essere considerate, ma durante l’urto esse possono essere trascurate.


Forze d’Urto (IV)

• Se sono presenti vincoli, le forze vincolari esterne non possono essere trascurate, in quanto esse, durante l’urto, hanno carattere impulsivo e possono essere molto intense.

• Es.: urto di un pallone contro un muro.

– Sistema pallone: la quantità di moto non si conserva perché la forza d’urto è una forza esterna.

– Sistema pallone+muro: la quantità di moto non si conserva perché la reazione vincolare che tiene il muro fermo a terra è una forza esterna.

– Sistema pallone+muro+globo terrestre: la quantità di moto si conserva in quanto tutte le forze sono interne. Il globo terrestre ha un piccolissimo rinculo.


Forze d’Urto (V)

• In presenza di una forza vincolare esterna si conserva il momento angolare riferito al punto di applicazione della reazione vincolare.

• P. es., nel caso di una sbarra vincolata a ruotare attorno a un punto O, si conserva il momento angolare rispetto a O (perché la forza esterna, ovvero la reazione vincolare, ha momento nullo rispetto a tale punto) mentre non si conserva la quantità di moto, né il momento angolare rispetto ad altri centri di riduzione.

O R

F


Urto Collineare tra Due Punti Materiali

• Essendo assenti forze esterne, si conserva la quantità di moto e il momento angolare. In questo caso le due leggi di conservazione hanno la medesima forma:

• Volendo calcolare v1 e v2 a partire da v01 e v02, questa espressione non basta (2 incognite, 1 equazione). Manca l’informazione sul tipo di interazione.

• Procediamo in maniera empirica: osserviamo che l’urto è tanto più violento quanto più grande è la differenza di velocità .

v

02

m

2 m

1

v

01 x m

1v

1x+ m

2v

2x= m

1v

01x+ m

2v

02x

v01xv02x


Urto Collineare tra Due Punti Materiali (II)

• Dopo l’urto, questa differenza risulta cambiata di segno e uguale o diminuita in valore assoluto.

• Possiamo perciò scrivere la relazione empirica:

Il coefficiente adimensionale e, detto coefficiente di restituzione dipende soltanto dal tipo di interazione (p.es. dai materiali di cui sono costituite le due sfere che vengono a contatto).

v1xv2x

2m

1m01v

02v x

2m2v

1m1v x

v01x

v02x

> 0

v1x

v2x< 0

v01x

v02x

v1x

v2x

v1xv2x= e v

01xv02x( ), 0 e 1


Urto Collineare tra Due Punti Materiali (III)

• Casi limite: – e = 0. Urto perfettamente anelastico. I due corpi, dopo l’urto,

restano uniti (proiettile sparato in un sacco di sabbia, freccia che colpisce un bersaglio, ecc.)

– e = 1. Urto perfettamente elastico. Nel caso macroscopico ci si avvicina a questa situazione utilizzando sferette di vetro o di acciaio.

• In generale vale il caso intermedio 0 < e < 1.

• Fra gli urti macroscopici, l’urto perfettamente elastico è un caso ideale, a cui ci si può avvicinare, ma che non si può raggiungere esattamente.


Urto Collineare tra Due Punti Materiali (IV)

• Fra gli urti microscopici, tutti gli urti che non modificano la natura delle particelle interagenti sono urti perfettamente elastici.

ee p p

+

urto elastico urto anelastico


Urto Collineare tra Due Punti Materiali (V)

• Il sistema di equazioni:

può essere risolto:

m1v

1x+ m

2v

2x= m

1v

01x+ m

2v

02x

v1x

v2x= e v

01xv

02x( )

v1x= v

2xe v

01xv02x

( )m1v2x

em1v01xv02x

( ) + m2v2x= m

1v01x

+ m2v02x

m1+ m

2( )v

2x= m

11+ e( )v

01x+ m

2em

1( )v

02x

v2x=m11+ e( )

m1+ m

2

v01x

+m2em

1

m1+ m

2

v02x


Urto Collineare tra Due Punti Materiali (VI)

• Risolvendo nell’altra incognita:

m1v1x+ m

2v2x= m

1v01x

+ m2v02x

v1xv2x= e v

01xv02x

( )

v2x= v

1x+ e v

01xv02x

( )m1v1x+ m

2v1x+ em

2v01xv02x

( ) = m1v01x

+ m2v02x

m1+ m

2( )v

1x= m

1em

2( )v

01x+ m

21+ e( )v

02x

v1x=

m1

em2

m1+ m

2

v01x

+m

21+ e( )

m1+ m

2

v02x


Urto Collineare tra Due Punti Materiali (VII)

• Nel caso di urti perfettamente anelastici (e = 0) si ha:

Le velocità finali (uguali tra loro) sono la media pesata con la massa delle velocità iniziali.

• Nel caso di urti perfettamente elastici (e = 1) si ha:


v1x= v

2x=

m1

m1+ m

2

v01x

+m

2

m1+ m

2

v02x

e = 0( )

v1x=m1m2

m1+ m

2

v01x

+2m

2

m1+ m

2

v02x

v2x=

2m1

m1+ m

2

v01x

+m2m1

m1+ m

2

v02x

e = 1( )

Urto Collineare tra Due Punti Materiali (VIII)

• Se le due masse sono uguali:

i due punti si scambiano le velocità.

• Si osserva anche al biliardo che, quando una palla colpisce con un urto collineare un’altra palla di eguale massa in quiete, la prima si ferma, mentre la seconda assume la velocità della prima.


v1x= v

02x

v2x= v

01x

e = 1, m1= m

2( )

2 01x x=v v

01xv

020

x=v

10

x=v

Urto Collineare tra Due Punti Materiali (IX)

• Per un urto collineare generico (elastico o anelastico) si ha, per quanto riguarda l’energia:

v1x=

m1

em2

m1+ m

2

v01x

+m

21+ e( )

m1+ m

2

v02x

v2x=

m1

1+ e( )m

1+ m

2

v01x

+m

2em

1

m1+ m

2

v02x

v1x

2=

1

m1+ m

2( )

2m

1em

2( )

2

v01x

2+ m

2

21+ e( )

2

v02x

2+ 2 m

1em

2( )m

21+ e( )v

01xv

02x

v2x

2=

1

m1+ m

2( )

2m

1

21+ e( )

2

v01x

2+ m

2em

1( )

2

v02x

2+ 2m

11+ e( ) m

2em

1( )v

01xv

02x


Urto Collineare tra Due Punti Materiali (X)

m1v1x

2+ m

2v2x

2=

1

m1+ m

2( )

2m1m1em

2( )

2

+ m2m1

21+ e( )

2

v01x

2+

+1

m1+ m

2( )

2m2m2em

1( )

2

+ m1m2

21+ e( )

2

v02x

2+

+1

m1+ m

2( )

22m

1m21+ e( ) m

1em

2+ m

2em

1( )v

01xv02x

=1

m1+ m

2( )

2m1m1

2+ e

2m2

22em

1m2( ) + m2m12 1+ e2 + 2e( ) v01x2 +

+1

m1+ m

2( )

2m2m2

2+ e

2m1

22em

2m1( ) + m1m22 1+ e2 + 2e( ) v02x2 +

+1

m1+ m

2( )

22m

1m21+ e( ) m

1+ m

2( ) 1 e( )v

01xv02x


Urto Collineare tra Due Punti Materiali (XI)

m1v

1x

2+ m

2v

2x

2=

m1

m1+ m

2( )

2m

1

2+ e

2m

2

2( ) + m2m

11+ e

2( ) v01x

2+

+m

2

m1+ m

2( )

2m

2

2+ e

2m

1

2( ) + m1m

21+ e

2( ) v02x

2+

+1

m1+ m

2( )

22m

1m

2m

1+ m

2( ) 1 e

2( )v01xv

02x

=m

1

m1+ m

2( )

2m

1m

1+ m

2( ) + m

2e

2m

2+ m

1( ) v

01x

2+

+m

2

m1+ m

2( )

2m

2m

2+ m

1( ) + m

1e

2m

1+ m

2( ) v

02x

2+

+1

m1+ m

2( )

22m

1m

2m

1+ m

2( ) 1 e

2( )v01xv

02x


Urto Collineare tra Due Punti Materiali (XII)


m1v

1x

2+ m

2v

2x

2=

m1

m1+ m

2

m1+ m

2e

2v

01x

2+

m2

m1+ m

2

m2+ m

1e

2v

02x

2+

+1

m1+ m

2

2m1m

21 e

2( )v01xv

02x

m1v1x

2+ m

2v2x

2m1v01x

2+ m

2v02x

2( ) =m1

m1+ m

2

m2e2m2v01x

2+

+m2

m1+ m

2

m1e2m1v02x

2+

+2m

1m2

m1+ m

2

1 e2( )v01xv02x

=m1m2

m1+ m

2

e21 v

01x

2+m1m2

m1+ m

2

e21 v

02x

2+

+2m

1m2

m1+ m

2

1 e2( )v01xv02x

m1

m1+ m

2

m1

m2

( )v01x

2

m2

m1+ m

2

m1m2

( )v02x

2

Urto Collineare tra Due Punti Materiali (XIII)


m1v

1x

2+ m

2v

2x

2m

1v

01x

2+ m

2v

02x

2( ) =m

1m

2

m1+ m

2

1 e2( ) v

01x

2+ v

02x

22v

01xv

02x( ) =

=m

1m

2

m1+ m

2

1 e2( ) v

01xv

02x( )

2

T = T T0=

1

2

m1m

2

m1+ m

2

1 e2( ) v

01xv

02x( )

2

T = 0

T =1

2

m1m

2

m1+ m

2

v01x

v02x

( )2

• Negli urti perfettamente elastici si conserva l’energia meccanica (che prima e dopo l’urto, in assenza di altre forze, si riduce alla sola energia cinetica).

(urti perfettamente elastici)

(urti perfettamente anelastici)

Urto Collineare tra Due Punti Materiali (XIV)

• Negli urti anelastici l’energia meccanica totale non si conserva ma decresce.

• L’energia meccanica persa negli urti anelastici si è trasformata in energia termica.


Urti Generici

• Nel caso di urti generici, non collineari, la dinamica dell’urto è più complicata e non può essere parametrizzata sulla base di un semplice coefficiente di restituzione.

• Definiremo comunque urto perfettamente elastico un urto nel quale si conserva l’energia meccanica.

• Definiremo urto anelastico un urto nel quale l’energia meccanica non si conserva.

• Definiremo urto perfettamente anelastico un urto nel quale i due corpi procedono uniti dopo l’urto.


Sommario

• Forze vincolari esterne assenti: si conserva la quantità di moto e il momento angolare.

• Forza vincolare esterna presente: si conserva il momento angolare rispetto al punto di applicazione della forza vincolare.

• Urto perfettamente elastico: si conserva l’energia meccanica.

• Urto perfettamente anelastico: i due corpi, dopo l’urto, procedono uniti con la stessa velocità.


http://campus.cib.unibo.it/2432/

Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected]

http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli

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