Univerzitet u Istonom SarajevuFilozofski fakultetStudijski program: matematika i raunarstvoPredmet:Raunarske mreeMree i grafoviKako se mree mogu razvijati u skladu sa razliitim pravilima: ali na kraju bogati postaju bogatiji.Mentor: Prof. Dr Milorad BanjaninStudent: Jovana Jankovi Rije mrea ima mnogo razliitih primjena (aspekata) prouavanja, od podzemne gljivine interkonekcije koja se prouava u biologiji do ljudske interakcije ispitivane od strane drutvenih naunika. Nas glavni interes je u rasponu izmeu fizike strukture raunarskih mrea do logike strukture Interneta, ali sve mree dijele osnovne koncepte i svojstva, i teorija grafova je standardni matematiki alat za njihovo uenje.UVODMrea je graf kod kojeg su granama pridrueni realni brojevi. Postoji mnogo logistikih problema u svakodnevnom ivotu. Na primjer: dostava pote, skupljanje otpada, ienje snijega, posipanje ulica solju zimi, ienje ulica, odravanje puteva, odreivanje ruta kolskih autobusa i mnogi drugi.Logistika je upravljanje protokom roba, informacija i drugih resursa, ukljuujui energiju i ljude, izmeu take izvora (ishodita) i take konzumacije (potronje) s ciljem udovoljavanja zahtjevima potroaa (esto, i izvorno, vojnim organizacijama). Logistika ukljuuje integraciju informacija, transporta, popisivanja, skladitenja, baratanja i pakiranja. Odravanje puteva zimi zahtijeva mnogo sloenog stratekog i operativnog planiranja. Glavni problemi ukljuuju pozicionisanje skladita, oznaivanje sektora, odreivanje ruta servisnih vozila, odreivanje voznog reda.Optimiziju ienja snijega i posipanja ulica solju treba izvesti pazei na dva aspekta: sigurnost i ekonominost.Sigurnosni aspekti zahtijevaju da najosjetljivije take mree (ona mjesta koja se lede prva) budu oiena prva.Ekonominost zahtijeva da ruta ienja bude najjeftinija.Svi ovi problemi mogu biti rijeeni koristimo li algoritme teorije grafova. U matematici i raunarstvu pod teorijom grafova smatra se prouavanje grafova, matematikih struktura koritenih da bi se predstavile relacije koje ukljuuju dva elementa odreene kolekcije.Grafovi se prikazuju crtanjem taaka za svaki vor i povlaenjem luka izmeu dva vora, ako su oni povezani granom. Ako je graf usmjeren, smjer se navodi crtanjem strelice.Svakoj grani moemo pridruiti realan broj, to znai da je graf proiren teinskom funkcijom.U sluaju kada graf predstavlja mreu cesta, teinska funkcija je npr. duina svakog puta. Takav se graf zove teinski graf.

Teorija grafova

Taj problem postavio je i rijeio 1736. i vicarski matematiar Leonhard Euler. Nekoliko godina poslije Euler je izdao lanak Solutio problematis and geometriam situs pertinentis u asopisu Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, u kojem je formulirao i rijeio problem Sedam knigsberkih mostova. Ovaj rad, objavljen 1741., danas se smatra prvim radom u matematikoj disciplini teoriji grafova.

Teorija grafova ima iroke primjene u razliitim disciplinama. U teoriji grafova razmatramo strukture pomou kojih moemo modelovati mnogo problema iz svakidanjeg ivota. Zaetak teorije grafova moemo povezati s jednim problemom iz realnog ivota, koji bi se u dananje vrijeme nazvao logistikim problemom.

Teorija grafova je jedna od grana matematike koja nalazi veliku primjenu na podruju mree raunara , na primjer na podrujima algoritama usmjeravanja, traenja puteva kroz mreu, te opisivanju topologije mree.U narednim slajdovima detaljno e biti objanjeni osnovni pojmovi i definicije vezane za teoriju grafova, najvanii algoritmi koji se javljaju u primjeni , koji e biti i detaljno opisani na primjerima. matematika je struktura koja se koristi za opisivanje relacija izmeu dva objekta iz odreene kolekcije.GrafU ovom kontekstu graf se odnosi na neprazni skup vorova i skup grana koji povezuju par vorova.Skup vrhova obino se oznaava s V(G), a skup grana sa E(G).

U pravom grafu, za koji inicijalno pretpostavljamo da je neusmjeren, linija od take u do take v identifikuje se sa linijom od take v do take u.n-1 m n(n-1)/2 u neusmjerenom grafu (ako je donja granica m=n-1 graf je stablo)1. 2(n-1) m n(n-1) u usmjerenom grafu. 2.Ako je vor vrsto povezan, to jeste ako svaki vor moe dosegnuti bilo koji drugi vor, onda lukova ne moe biti suvie malo. U ovom sluaju mi imamo:

Grane mogu biti usmjerene ili ne, zavisno od primjera. Graf u kojem su sve grane usmjereni zovemo usmjerni graf, u suprotnom, zovemo ga neusmjereni.7 2vorgranaV(G)={1,2,3,4,5,6}E(G)={e1 ,e2 , e3 ,e4 ,e5 ,e6 ,e7 ,e8 }

e1= {1,2} e2= {2,3} e3= {2,4}e4= {1,4} e5= {3,4} e6= {3,5}e7= {1,5} e8= {4,4}1345e1e2e4e5e6e7e86e3GrafGraf G (V,E) se sastoji od skupa vorova (ili vrhova; engl. nodes, vertices) V(G) i skupa grana (bridova; engl. branches, edges) E(G). Skup E(G) je neureeni skup parova e{u,v}. u i v su vorovi iz V(G). u i v su vorovi iz V(G).u i v su krajnje take grane e. u i v su susjedni vorovi. Grana e pridruena je voru u i voru v. U digrafu (skraeno za usmjereni graf), smjer od nekog vora u do nekog vora v i smjer od v do u smatraju se razliitim lukovima, odnosno granama.Ako graf G nije usmjeren, tada su dva vrha pridruena jednoj grani meusobno ravnopravna. U usmjerenom grafu grana moe biti usmjerena od jednog vora prema drugome.Usmjeren graf sa est vrhova i sedam grana

Usmjeren grafNeusmjeren grafGrana koja poinje i zavrava u istom voru zove se petlja. Grana je viestruka ako postoji drugi vor kojemu odgovaraju isti vrhovi (kao poetni i krajnji vrh).uwvViestruka grana izmedju vorova u i v10 Graf se naziva jednostavnim ako je neusmjeren, nema petlji i izmeu bilo koja dva vora nema vie od jedne grane.U jednostavnom grafu svaka se grana moe identifikovati s parom razliitih vorova. Grana povezuje dva vora.Ta dva vora nazivaju se incidentnima toj grani, odnosno grana je incidentna sa ta dva vora.Stepenvoragrafa G je broj grana koje su incidentne sa tim vorom, pri emu se petlje broje dva puta.Ako je skup grana E(G) konaan, tada je ukupna suma stepena svih grana jednaka dvostrukom broju grana. Vrhovi u i v su susjedni ako postoji grana izmeu njih. uwtvSlika pokazuje da su grane vu, vt , vw incidentni voru v. Prema tome, stepen vora v je 3. Neka je G graf sa skupom vrhova V(G) i skupom grana E(G) i neka je G graf sa skupom vrhova V(G) i skupom bridova E(G).!Tada je G podgraf grafa G ako je V(G) podskup od V(G) i E(G) podskup od E(G). Podgraf G je razapinjui podgraf grafa G ako ima isti skup vorova kao i G Graf i podgrafetnja u grafualternirajui niz vorova i grana, koji poinje i zavrava vorom u kojem je svaki vor incidentan grani koji mu prethodi i grani koji mu slijedi u tom nizu, a vor koji prethodi grani i vor koji slijedi tu granu krajnji su vorovi te grane.Niz od i grana v0v1, v1v2, , vi1vi u grafu G etnja je od vora v0 do vora vi duine i u Getnju obino oznaavamo s v0v1v1v2vi1vietnja je zatvorena ako su joj prvi i zadnji vrh jednaki, a otvorena ako su razliiti.Ako u otvorenoj etnji nema ponavljanja vrhova (pa prema tome ni grana), zovemo je put.tzwvutzwv etnja utzw je put izmeu u i w je staza u kojoj su sve grane meusobno razliite.

ETNJAZatvorena staza zove se turaStaza je Eulerova ako se u njoj pojavljuju svi grane u grafu, i to tano jedanput.Udaljenost izmeu vrhova v0 i vi u grafu G je duina najkraeg puta meu njima, tj. broj grana kojima se on koristi.Udaljenost izmeu vrhova v0 i vi oznaavamo s dG(u0,vi)vutzw Udaljenost izmeu vrhova u i v je duina najkraeg puta meu njimaZa graf kaemo da je povezan ako postoji put izmeu bilo koja dva vrha u grafu. U suprotnom, graf zovemo nepovezanim.uwzvtuwzvtPOVEZAN GRAFNEPOVEZAN GRAFvutzw Graf se naziva stablom ako su svaka dva vora u njemu povezana tano jednim putem.Ciklus je zatvorena staza u kojoj su svi unutranji vrhovi meusobno razliiti.Svaki povezani graf bez ciklusa je stablo. Neka je G povezan, neusmjeren graf. Razapinjue stablo u tom grafu je podgraf koji je stablo i razapinje taj graf. vutzwvutzwGrafRazapinjujui podgrafJedan graf moe imati mnogo razapinjuih stabala.U teinskom grafu minimalnim razapinjuim stablom zovemo ono stablo ija je teina (tj. suma teina njegovih vorova) manja ili jednaka teini svakog drugog razapinjueg stabla Problem sedam Kenigzberkih mostovaGrad Knigsberg (Kaliningrad, adminsirativni dio Rusije, ali zemljopisno izmeu Poljske i Litve) lei na obalama rijeke Pregel. Na rijeci se nalaze dva vea otoka koja su meusobno i s obalama povezani s pomou sedam mostova. Euler je postavio sljedei problem:

U ovoj sekciji predstavljamo problem Sedam knigsberkih mostova.

Postoji li etnja preko svih sedam mostova koji povezuju dva otoka na rijeci Pregel s ostatkom grada Knigsberga takva da se svaki most pree tano jedanput?

Kao to je Euler pokazao u lanku, takva etnja ne postoji.

Put koji prolazi kroz svaku spojnicu (granu) samo jednom zove se Eulerova etnja jer je upravo Euler razrijeio pitanje kenigzberkih mostova koje je sadravalo zahtjev da se svaki most predje samo jednom

Na Slici kako je Knigsberg izgledao u to vrijeme, kao to vidimo, etiri dijela grada (sjeverni, juni i dva otoka) bila su meusobno povezana putem sedam mostova. Manji otok s po dva je mosta povezan sa sjevernim i s junim dijelom grada. Vei otok s po jednim je mostom povezan sa sjevernim s junim dijelom grada, a postojao je i jedan most koji je povezivao dva otoka.

Zato

Eulerovaetnja

Dok je prouavao problem, Euler je doao na genijalnu ideju da razliite dijelove grada oznai vorovima, a mostove meu njima granama. Na taj je nain konstruirao graf sa etiri vrha i sedam grana, kao to moemo vidjeti na slici.

Model Kningsberga i mostova predstavljen u teoriji grafova. Na taj je nain modelovao Knigsberg i njegove mostove koristei se teorijom grafova (u to vrijeme pojam jo nije postojao).Detaljno prouavajui taj problem, Euler je doao do zakljuka da rjeenje NE POSTOJI.

Nekoliko vijekova poslije znamo da se zatvorena Eulerova etnja moe nai samo u grafovima u kojima je stepen svakog vrha paran. Prema tome se grafovi u kojima su svi vrhovi parnog stepena nazivaju Eulerovim. Izdvojimo neke od problema koji su rijeeni uz pomo teorije grafova i koji su primjenjivi na modelovanje nekih logistikih problema iz svakodnevnog ivota: primjer je u kojem pokuavamo nai etnju kojom prolazimo kroz svaku granu na grafu samo jednom, i to uiniti na najkrai mogui nain, koristei se usmjerenim ili neusmjerenim grafom. Za bolje razumijevanje moemo zamisliti potara koji hoda ulicama (u naem sluaju po grafu) i koji eli uruiti potu u svaku kuu (vorovi naeg grafa) u najkraem vremenu i tada se vratiti u potu (polaznu taku). Potar pokuava utediti vrijeme, trud i novac izvravajui svoj zadatak tako da upotrijebi najkrai put. . Problem

kineskogpotara Izdvojimo neke od problema koji su rijeeni uz pomo teorije grafova i koji su primjenjivi na modelovanje nekih logistikih problema iz svakodnevnog ivota: na je prvi pogled vrlo slian problemu kineskog potara. Bavi se sluajem u kojem traimo etnju u usmjerenom ili neusmjerenom grafu tako da proemo svaki vrh u grafu barem jednom i vratimo se u poetni vrh na najkrai mogui nain. Moemo zamisliti da su pri tome i zadane udaljenosti meu vrhovima, pa traimo da je i ukupna prijeena udaljenost najmanja.Problem

trgovakogputnikaU potrazi za najkraim putem elimo nai najkrai put (npr. u teinskom grafu) izmeu neka dva vora. STEPENVORAU usmerenom grafu razlikuju se ulazni stepen (broj grana iji kraj je vor v) i izlazni stepen (broj grana za koje je vor v poetak). Stepen d(v) vora v je broj grana susednih voru v (broj grana koje direktno povezuju vor v sa nekim drugim vorom).1243vorstepenulazni stepenizlazni stepen1202232133214211

Kod neusmjerenog grafa stepen d(x) vora x je broj lukova koji idu od njega. Ako je graf vrsto povezan svi vorovi e imati bar jedan stepen i vor stepena 1 ne moe pripadati ni jednom ciklusu jer svaki luk je vezan za dva vora, to znai vrijednost stepena vora u cijelom grafu je

Stepen vora

Kod usmjerenog grafa, moramo razlikovati lukove ulaza i lukove izlaza vora x, iji brojevi su respektivno u-stepenu din(x) i van-stepena dout(x) tog vora. Slika prikazuje usmjeren graf G gdje vor 1 ima din(1) = 1 i dout(1) = 3, dok vor 4 ima din(4) =3 i dout(4) = 0

GTip: Add your own speaker notes here.25

Kod usmjerenih i neusmjerenih grafova rastojanje izmeu dva proizvoljna vora x,y definisana je kao duina Ixy na najkraem putu od x do y, pri emu je duina broj lukova na putu. Takoe e nas zanimati sredina vrijednosti i svih parova vorova, na primjer:

Ako ne postoji put od x do y moramo staviti Ixy = , pa dati odnos ima znaenje samo za vrstvo povezane grafove, usmjerene ili neusmjerene.

26 Graf je usmjeren ako se svakoj grani pridrui smjer tj. grana e{u,v} koja predstavlja put od vora u do vora v ali ne i obrnuto.Grane takvoggrafa oznaavaju se dodatno strijelicama.Ako je svaka grana oznaena nekim brojem w veim od nule (duinom) graf postaje teinski graf.Usmjeren graf13450.80.80.711.53.20.350.05Graf G2Prikaz grafa u programu:Matrica susjedstvaAko vorovi i i j nisu susjedniS[i][j]=0S[i][j]=1Ako su vorovi i i j susjedniUsmjereni graf G ima matricu S susjedstva prema slici13450.80.80.711.53.20.350.05Graf G2 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 S= 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 Matrica susjedstva je kvadratna i moe se potencirati. k-ta potencija te matrice daje broj puteva duine k. 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 S= 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 2 3 2 1 2 2 5 4 3 2 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 2 2 1 1 S2= 0 1 1 1 0 S3 = 1 2 2 1 1 S4 = 2 4 3 2 2 1 2 2 1 1 2 4 3 2 2 3 7 6 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Kako se graf moe generisati i kako on moe rasti?Sluajan rast grafikonaIako ovo jasno zavisi od oblasti primjene za koje je graf uzet kao matematiki model, neka opta pravila uvijek vae.

Ponimo sluajnim rastom, to nas dovodi do srodnih pitanja o tome ta je sluajan graf.Analiza takvih grafikova igra samo sporednu ulogu u raunarskim mreama, ali to nam omoguava da nam se pojasne neka osnovna poetna pitanja.Glavni uesnik u ovoj oblasti na poetku je bio Paul Erds, veliki Maarski matematiar

Posebno je razvio klasinu teoriju sluajnih (neusmjerenih) grafova sa svojim kolegom Alfrd Rnyi 1959/60 na osnovu jednostavnih procesa.

30

Paul Erds (26.mart 1913.- 20.septembar 1996), je jedan od najpoznatijih svjetskih matematiara 20. vijeka . Proslavio se prije svega zahvaljujui obimnim pronalascima u oblastima teorija grafova, kombinatorika, teorija skupova i vjerovatnoa.Paul Erds se rodio u Budimpeti. Ve u mladosti je bio proslavljen kao matematiki genije (sa etiri godine je bio sposoban izraunati iz datuma roenja broj sekundi, koje opisuju neiju starost ), to potvruje i injenica, da je doktorirao matematiku 1934. godine - u 21. godini ivota.Veinu ivota je proveo putujui sa jedne matematike konferencije na drugu. esto je ostajao u kuama svojih saradnika, dui vremenski period, sve dok odreeni problem nije bio rjeen. Random process 1: Poetni sa poetnim skupom vorovaUnositi lukove jedan po jedan povezujui parove vorova sluajno

Ovaj proces generie ono to se zove sluajan graf. Podrazumijeva se da je jedan par vorova izabran nekoliko puta, dok odgovarajui luk je dodat samo jednom. Proces se odnosi na neismjerene grafove ali se moe produiti na usmjerene grafove na jednostavan nain.Ako je graf namijenjen modeliranju mrea u realnom ivotu moe biti rijetko sauvan, na primjer, broj lukova m moe biti ogranien linernom funkcijom po n (broj vorova) .Primjetimo da su lukovi dodani jedan po jedan uzastopnim koracima, pa je takoe i m broj koraka na kojem je praen proces.32 Neka su nam dati n i m, oznaimo vorove i korake tog procesa brojevima od 1 do n, i 1 do mGlavni parametar kojeg treba razmotriti je stepen podjele p(x,d) svakog vora x, to je, vjerovatnoa x ima je stepen d.Mi pretpostavljamo da je stepen vora statistiki podijeljen preko grafova (ili ansambla grafova). Tada moemo prei iz p(x,d) na vjerovatnou stepena podjele P(d) cijelog grafa definisanu kao

P(d) je vjerovatnoa susreta vora sa stepenom d. Ako je , koliko je potrebno da bi bio povezan (iako to moda nee biti dovoljno) vrijednost svakog vora moe obuhvatiti od 0 do n 1 i glavna vrijednost d je data sa:

Ta ista vrijednost je povezana sa m vezom:

Ova razmatranja mogu se odmah produiti u in-stepen i out-stepen vora usmjerenog grafa, tako definiemo P(din) i P(dout) na jednostavan nain.Takoe imamo

Ispitajmo funkciju P(d) detaljnijeP(d)e-d(a)(b) a dP(d)(a) Otrovna podijela za sluajan proces 1. Vrijednost d gdje P(d) maksimalno zavisi od i uveava se za tu vrijednost. P(d) 0 za d . Za Erds i Rnyi postupak grafa sa lukovima koji su izabrani savreno sluajno, standardna kombinatorika dozvoljava da dokae da P(d) prati Otrovnu podjelu:

(b) Eksponencijalna podjela stepena sluajnog procesa 2. Za d kriva tei sa opadanjem eksponenta. Da bismo dobili ideju zato funkcije imaju ovaj oblik, izrazimo faktorijel od d u obliku

Uklanjanjem svih konstanti iz uslovaImamo:

Za male vrijednosti d (za d