UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOSKA FAKULTETA

MATEJ MENCIN

SLUCAJNI GRAFIDIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOSKA FAKULTETA

Univerzitetni studijski program 1. stopnje: Dvopredmetni ucitelj

MATEJ MENCIN

Mentor: doc. dr. PRIMOZ SPARL

SLUCAJNI GRAFIDIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2017

Zahvala

Tezko je napisati zahvalo, ki bi imela to moc, da bi jo lahko obcutili vsi, katerim semhvalezen, da so mi dali svoj trenutek in s tem nevede vplivali name. Posiljam vam objemin prijetno zahvalo! Ta majhna pika · danes stoji tu zaradi vas. Iskreno bi se rad zahvaliltudi mentorju doc. dr. Primozu Sparlu za priloznost, vse popravke in strokovno pomoc pripisanju diplomskega dela. Uli, ki mi je spremenila zivljenje, in ne nazadnje tudi moji druziniza vso podporo in toplino doma. Hvala.

Povzetek

V diplomskem delu obravnavamo slucajne grafe. Pri tem predstavimo dva najbolj splosnamodela slucajnih grafov, ki jih v diplomskem delu imenujemo enakomerni model slucajnegagrafa in binomski model slucajnega grafa.

V enakomernem modelu slucajnega grafa se slucajnost izraza pri odlocitvi, katerih m povezavbomo izbrali iz mnozice vseh moznih povezav, ki jih ima lahko graf na n vozliscih. Podrugi strani se pri binomskem modelu slucajnega grafa slucajnost izraza tako, da za vsakomozno povezavo v grafu izvedemo Bernoullijev eksperiment z verjetnostjo p, kjer nam izideksperimenta doloci, ali bomo to povezavo v graf vzeli ali ne. Za oba modela izracunamoin prikazemo rezultate za matematicna upanja za razlicne lastnosti v grafih, kot so: stevilok-ciklov v grafu, stevilo izoliranih vozlisc, stevilo polnih podgrafov dane velikosti itd. Znamenom dobiti boljso predstavo o slucajnih grafih, si pogledamo stevilne konkretne zgledein rezultate racunalniskih simulacij, iz katerih lahko razberemo �statisticne verjetnosti�, dase v slucajnem grafu pojavijo dolocene lastnosti.

MSC 2010 klasifikacija: 05C80

Kljucne besede: verjetnost, kombinatorika, teorija grafov, slucajni grafi.

Abstract

In this Bachelor degree thesis, we study random graphs. We focus on two of the mostcommon models of random graphs, which we call the uniform model of random graphs andthe binomial model of random graphs.

In the uniform model randomness is expressed via the decision of which m edges will bechosen from the set of all possible edges, that a graph on n nodes can have. On the otherhand, in the binomial model randomness is expressed in such a way, that we perform aBernoulli experiment with probability p for each possible edge, where the experiment’s outputdetermines whether or not the edge will be present in the graph. We calculate mathematicalexpectations for different properties in graphs for both models such as: the number of k-cyclesin the graph, the number of isolated nodes, the number of complete subgraphs of given orders,etc. In order to get a better understanding of random graphs we present concrete examplesand results of various computer simulations, enabling us to find “statistical probabilities”for certain properties to occur in a random graph.

MSC 2010 classification: 05C80

Key words: probability theory, combinatorics, graph theory, random graphs.

Kazalo

1 Uvod 1

2 Osnovni pojmi 52.1 Prestevanja in kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Teorija grafov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Verjetnost in diskretne slucajne spremenljivke . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Slucajni grafi 153.1 Erdos-Renyijev slucajni graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Matematicno upanje v G(n,m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Slucajni graf Bernoullijevega eksperimenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Matematicno upanje v G(n, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Sklepna beseda 31

Literatura 33

Poglavje 1

Uvod

Leta 1959, vec kot 220 let po tem, ko je Euler razresil problem Konigsbergskih mostovin postavil temeljni kamen teorije grafov, sta madzarska matematika Paul Erdos in AlfredRenyi zapisala svoje prve stavke zanimive teorije, ki danes nosi ime teorija slucajnih grafov 1

(vec o njunem prvem clanku lahko preberete v [7]). Od leta 1959 do leta 1968 sta s sku-pnim sodelovanjem izdala osem znanstvenih clankov, v katerih sta zapisala teorijo, ki na enistrani zdruzuje verjetnost in na drugi strani kombinatoriko z vidika grafov. S tem sta namomogocila preucevanje grafov v nekoliko drugacni luci. �Staticni grafi� s fiksnimi elementi(stevilo vozlisc in povezav) in lastnostmi so se tako prelevili v dinamicne objekte, katerihupodobitve so slucajne, njihove lastnosti pa se lahko �s casom� spreminjajo.

Da bi si nekoliko lazje predstavljali, kaj predstavlja pojem slucajnega grafa, si za zacetekpoglejmo spodnji primer. Zamislimo si graf, v katerem so vozlisca grafa izbrana slovenskamesta, dve vozlisci pa sta povezani, ce med pripadajocima mestoma obstaja neposrednazelezniska povezava (torej proga, ki na tem delu ne gre skozi nobeno izmed ostalih mest).Tako na primer Ljubljana in Koper nista povezana, saj je Koper v nasem primeru neposre-dno povezan zgolj in samo s Pivko (pripadajoci graf je prikazan na levem delu slike 1.1). Cebi sedaj odstranili vse zelezniske proge (in s tem povezave v grafu), nato pa bi isto stevilopovezav nakljucno razporedili med vsemi mesti, bi tako dobili slucajen �graf slovenskihzeleznic� in po moznosti tudi drugi tir, ki ima v nasi upodobitvi (desni del slike 1.1) kardirektno povezavo med Koprom in Ljubljano.

Slika 1.1: Slucajni graf slovenskih zeleznic.

1Zasluge pri teoriji bi lahko pripisali tudi Anatolu Rapoportu, ki je prvi obranaval slucajne grafe, vendarne tako obsezno, kot sta to storila Paul Erdos in Alfred Renyi.

1

V kolikor bi zgornje �prerazporejanje povezav� ponovili veckrat, bi nas tako lahko zani-malo: ”Koliksna je verjetnost, da bo imel slucajen graf slovenskih zeleznic direktno povezavomed Koprom in Ljubljano?� ali pa recimo: �Koliko postajalisc je v povprecju med Lju-bljano in Koprom (ne glede na zemljepisno lego posameznega mesta) pri poljubni realizacijislucajnega grafa?�.

Ena izmed nalog teorije slucajnih grafov je, da isce odgovore na podobna vprasanja, le dase tu vprasanja zastavijo v jeziku teorije grafov in se glasijo na primer takole:

i. Koliko povezav mora imeti slucajen graf, da bomo z visoko verjetnostjo izbrali graf, kibo povezan?

ii. Koliksna mora biti verjetnost povezave, da bo imel slucajen graf natanko k komponent?

iii. Koliksna mora biti verjetnost povezave, da graf nima vec izoliranih vozlisc?

Ob tem velja omeniti tudi to, da poznamo razlicne modele slucajnih grafov2 (ne samoomenjeni model slucajnih grafov, ki sta ga razvila Erdos in Renyi in ga bomo podrobnoobravnavali v nasem diplomskem delu), ki pa so nasli svoje mesto na (vsaj) dveh razlicnihpodrocjih3. Tako ti modeli posegajo v kombinatoriko, po drugi strani pa se ukvarjajo s takoimenovano analizo in preucevanjem grafov oziroma omrezij.

Z vidika kombinatoricnega preucevanja nas pri slucajnih grafih zanima predvsem, ali pridanih zacetnih omejitvah (na primer stevilu vozlisc in povezav) obstaja graf z doloceno la-stnostjo, ceprav morda ne vemo, kako tak primer grafa izgleda in ga ne znamo konstruirati.Pri tem pa lahko za vsako trditev o obstoju postavimo odprt problem, ki sprasuje po algo-ritmu, ki bi tak graf lahko skonstruiral.

Z vidika analize omrezij so lahko slucajni grafi uporabljeni kot pomoc pri obravnavi kom-pleksnih omrezij (nevroni, socialne interakcije med ljudmi, sirjenje pandemij ...). Za doberprimer lahko vzamemo druzabno omrezje Facebook in njegov model, v katerem so vozliscaomrezja uporabniki Facebooka, povezave med uporabniki pa so definirane kot prijateljstva.Torej je krog prijateljstva posameznega uporabnika (vozlisca) mnozica vseh tistih vozlisc,s katerimi je to vozlisce povezano, cemur v teoriji grafov pravimo sosescina vozlisca. Kotzanimivost omenimo, da je povprecno stevilo prijateljstev za vozlisce podobno povprecni sto-pnji vozlisca v modelu slucajnih grafov. Mogoca uporabnost Erdos-Renyi modela slucajnegagrafa se tako kaze predvsem pri analizi kompleksnih omrezij. V kolikor namrec nekaj ustrezamodelu Erdos-Renyi, mora biti pripadajoci graf dobro strukturiran in predvsem slucajen[11]. Ker se v nasem diplomskem delu ne osredotocamo na analiticni vidik in kompleksnaomrezja, zainteresiranemu bralcu le priporocimo vira [2] in [3].

Za konec uvodnega poglavja bralcu na kratko predstavimo, kaj lahko pricakuje na nasle-dnjih straneh. V diplomskem delu se bomo v prvi vrsti posvetili elementarni predstavitvislucajnih grafov. Nas najpomembnejsi cilj je bralca opremiti z osnovnim znanjem, da bolahko po prebranem samostojno nadaljeval s studijem slucajnih grafov in tako spoznal sedruge zanimive lastnosti, ki smo jih sami izpustili. Na zacetku diplomskega dela se tako

2To so npr. model majhnega sveta (angl. Small world network), model Watts-Strogatza, Barabasi-Albertov model, eksponentni model slucajnega grafa ...

3Kot zanimivost naj povemo, da sta slednje omenila tudi Erdos in Renyi, ko sta v svojem uvodnem clankuzapisala: �da bi lahko bili slucajni grafi zanimivi tudi iz ne matematicnega vidika�, s cimer se sam kot avtortega diplomskega dela strinjam, saj so slucajni grafi dobro didakticno orodje za ucenje/premisljevanje olastnostih grafov.

2

seznanimo z osnovnimi pojmi kombinatorike, verjetnosti in teorije grafov, ki jih kasneje po-trebujemo pri vpeljavi pojma slucajnega grafa. Nato spoznamo osnovne lastnosti slucajnihgrafov in izracunamo matematicna upanja dolocenih lastnosti v grafih. Pri sami obravnavisi na nekaterih mestih pomagamo tudi z racunalnisko simulacijo, ki smo jo izvajali v pro-gramskem jeziku Python s knjiznico Networkx [12], nato pa dobljene rezultate tudi graficnoprikazemo.

3

4

Poglavje 2

Osnovni pojmi

�Zacni na zacetku,� je resno dejal kralj,�in nadaljuj, vse dokler ne prides do konca.

Sele tedaj se ustavi.�

Lewis Caroll, Alica v cudezni dezeli.

V tem poglavju bomo vpeljali vse pojme, ki jih bomo pozneje potrebovali pri vpeljavislucajnega grafa in dolocanju matematicnih upanj za razlicne lastnosti v grafih. Ze samnaslov diplomskega dela nam razodeva, da sta glavna stebra slucajnih grafov verjetnostin kombinatorika. Zato je na naslednjih nekaj straneh izbor vseh tistih definicij, trditevin izrekov, ki so nujni in potrebni za ustrezno razumevanje slucajnih grafov. Razdelek izkombinatorike in teorije grafov je povzet po [14], [16] in [17]. Razdelek iz verjetnosti inslucajnih spremenljivk pa po [5], [13] in [15].

2.1 Prestevanja in kombinatorika

Prestevanja in bolj splosno kombinatorika je del diskretne matematike, ki se med drugimukvarja z vprasanji o izborih in porazdelitvah, obicajno na neki koncni mnozici. Posameznik,ki se ukvarja z vprasanji prestevanja, lahko objekte, ki jih zeli presteti, zdruzi v mnozico inji nato doloci njeno kardinalnost oziroma moc. Pri dolocanju moci mnozice obicajno izhajaiz dveh osnovnih izrekov, ki jima pravimo pravilo vsote in pravilo produkta.

Izrek 2.1 (Pravilo vsote). Naj bodo A1, A2, ..., An poljubne neprazne koncne mnozice. Ceso te mnozice paroma disjunktne, je moc unije teh mnozic enaka vsoti njihovih moci, torejvelja:

|n⋃

i=1

Ai| = |A1|+ |A2|+ · · ·+ |An| =n∑

i=1

|Ai|.

Izrek 2.2 (Pravilo produkta). Naj bodo A1, A2, ..., An poljubne neprazne koncne mnozice.Tedaj je moc kartezicnega produkta danih mnozic enaka produktu njihovih moci, to je:

|n∏

i=1

Ai| = |A1 × A2 × · · · × An| = |A1| · |A2| · · · |An| =n∏

i=1

|Ai|.

5

Ze v uvodu razdelka smo omenili, da nas pri prestevanju velikokrat zanimajo izbori. Ne-koliko poenostavljeno lahko recemo, da zelimo izvedeti, na koliko nacinov lahko iz podaneganabora reci izberemo nekaj teh reci. Da bi lazje razumeli, kaj s tem mislimo, si oglejmospodnji primer:

Pri zrebanju neke igre na sreco je v bobnu za zreb na voljo 42 kroglic, ki so ostevilcene sstevili od 1 do 42. Pri zrebu iz bobna izvlecemo 6 kroglic, nas pa pri tem zanima, na kolikorazlicnih nacinov lahko to storimo.

V zgornjem primeru bi �pikolovski� posameznik pripomnil, da mu manjkata dve kljucniinformaciji, ki definirata nacin izbiranja. Ena izmed pomembnih informacij izbora je od-govor na vprasanje: �Ali kroglice ob vsakem izboru vracamo nazaj v boben ali ne?�; drugapomembna informacija o izboru pa je odgovor na vprasanje: �Ali nam je vrstni red izbi-ranja pomemben ali ne?�. Ti dve podrobnosti seveda vplivata na stevilo razlicnih izborov.Pri izborih zato govorimo, da so ti lahko urejeni, to so tisti izbori, kjer nam je vrstni redpomemben in jim pravimo tudi variacije. Lahko pa imamo tudi izbore, ki so neurejeni, to sotisti izbori, kjer nam vrstni red ni pomemben in jim pravimo tudi kombinacije. Definirajmosedaj vse stiri vrste izborov v definiciji, ki sledi.

Definicija 2.3. Naj bo A koncna mnozica z n elementi. Kadar zelimo iz mnozice A k-kratizbrati po en element, imamo naslednje nacine izborov:

(i.) Variacije brez ponavljanja so nacini izbiranja, kjer izbranih elementov ne vracamoin nam je vrstni red pomemben. Stevilo vseh takih izborov oznacimo z V k

n .

(ii.) Variacije s ponavljanjem so nacini izbiranja, kjer izbrane elemente vracamo in namje vrstni red pomemben. Stevilo takih izborov oznacimo s (p)V k

n .

(iii.) Kombinacije brez ponavljanja so nacini izbiranja, kjer izbranih elementov nevracamo in nam vrstni red ni pomemben. Stevilo vseh takih izborov oznacimo z Kk

n.

(iv.) Kombinacije s ponavljanjem so nacini izbiranja, kjer izbrane elemente vracamo innam vrstni red ni pomemben. Stevilo vseh iskanih izborov oznacimo s (p)Kk

n.

Definicija 2.4. Naj bo A koncna mnozica z n elementi. Kadar nas zanimajo urejeni izborielementov iz A brez ponavljanja in izbiramo n-krat, govorimo o permutacijah. Permutacijaje torej bijektivna preslikava mnozice nase.

Bralec naj se spomni, da za naravno stevilom definiramom! = m·(m−1)·(m−2) · · · 3·2·1.

Lema 2.5. Naj bo n naravno stevilo in naj bo k ≤ n stevilo izbiranj. Tedaj je

(i.) Stevilo variacij brez ponavljanja enako:

V kn =

n!

(n− k)!.

(ii.) Stevilo variacij s ponavljanjem enako:

(p)V kn = nk.

6

(iii.) Stevilo kombinacij brez ponavljanja enako:

Kkn =

n!

(n− k)! · k!=

(n

k

).

(iv.) Stevilo kombinacij s ponavljanjem enako:

(p)Kkn =

(n+ k − 1

k

).

2.2 Teorija grafov

V diskretno matematiko poleg kombinatorike uvrscamo tudi relativno mlado vejo matema-tike, ki ji pravimo teorija grafov. V preprosti razlagi so grafi objekti, sestavljeni iz vozlisc,ki so med seboj (lahko) povezana s povezavami.

Definicija 2.6. Enostaven (neusmerjen) graf Γ = (V (Γ), E(Γ)) je urejeni par nepraznemnozice vozlisc (tock) V (Γ) in mnozice E(Γ), ki sestoji iz (ne nujno vseh) dvoelementnihpodmnozic mnozice V (Γ). Elementom {u, v} ∈ E(Γ) pravimo povezave in jih ponavadizapisemo kar z uv, recemo pa tudi, da sta vozlisci u in v v grafu povezani oziroma sosednji(kar oznacimo z u ∼ v) ter da sta krajisci povezave uv.Kardinanosti mnozice V (Γ) pravimo red grafa Γ.

Trditev 2.7. Naj bo Γ enostaven neusmerjen graf reda n. Tedaj ima Γ najvec(n2

)povezav.

Dokaz. Vsaka povezava v grafu je natanko dolocena s pripadajocima vozliscema (krajisci).Pri tem nas torej zanima, na koliko razlicnih nacinov lahko iz mnozice V izberemo parvozlisc, ki bosta tvorili povezavo. Torej gre za kombinacije brez ponavljanja, kjer je k = 2in je zato vseh moznih izborov enako

(n2

), kot smo trdili.

Definicija 2.8. Stopnja vozlisca u v grafu Γ, ki jo oznacimo z degΓ(u) (oziroma deg(u), ceje graf Γ razviden iz konteksta), je stevilo vseh povezav v grafu Γ, ki imajo eno izmed krajiscv u. Vozliscem, ki so stopnje 0, pravimo izolirana vozlisca. Minimalno stopnjo v grafu Γoznacimo z δΓ, maksimalno stopnjo v grafu Γ pa z ∆Γ. Kadar so vsa vozlisca iste stopnje,torej ko je δΓ = ∆Γ = k za nek k, pravimo, da je Γ k-regularen graf.

Lema 2.9. (Lema o rokovanju) Naj bo Γ koncen graf. Tedaj je vsota stopenj vseh njegovihvozlisc enaka dvakratniku stevila njegovih povezav, to je∑

v∈V (Γ)

deg(v) = 2|E(Γ)|.

Dokaz. Vsaka povezava v grafu ima dve krajisci. Po definiciji je stopnja vozlisca u enakastevilu vseh povezav, pri katerih je u eno izmed krajisc. Ko torej sestevamo stopnje vsehvozlisc, stejemo vse povezave po dvakrat, po enkrat v vsakemu izmed obeh krajisc.

Definicija 2.10. Zaporedje vozlisc (v0, v1, ..., vn) grafa Γ je sprehod, ce za vse 0 ≤ i < nvelja vi ∼ vi+1. Dolzina tega sprehoda je n, torej je enaka stevilu vseh povezav, ki jih pri temprehodimo. Sprehod je enostaven, ce so vse povezave v sprehodu paroma razlicne. Kadar soparoma razlicna tudi vsa vozlisca sprehoda, pravimo, da gre za pot. Ce je zacetno vozlisceenako koncnemu vozliscu (v0 = vn), pravimo, da gre za obhod. Cikel je obhod, kjer sta enakasamo zacetno in koncno vozlisce, preostala vozlisca pa so si paroma razlicna. Ciklu dolzinek pravimo k-cikel.

7

Definicija 2.11. Razdalja med parom vozlisc u in v v grafu Γ, ki jo oznacimo z d(u, v),je dolzina najkrajse poti med vozliscema u in v v grafu Γ, ce le-ta obstaja. Kadar medvozliscema u in v ni poti, je razdalja med njima enaka∞. Najvecja razdalja oziroma premer(oznaka diam(Γ)) je v grafu Γ definirana kot:

diam(Γ) = max {d(u, v) | u, v ∈ V (Γ)} .

Definicija 2.12. Naj bo Γ = (V,E) enostaven neusmerjen graf. Komponenta povezanostiv grafu Γ je vsaka maksimalna podmnozica mnozice vozlisc, v kateri med poljubnima vo-zliscema obstaja pot. V primeru, ko ima graf Γ le eno komponento povezanosti, pravimo,da je povezan.

Definicija 2.13. Naj bo Γ = (V,E) enostaven neusmerjen graf. Tedaj je njegov komplementΓ graf z mnozico vozlisc V (Γ) in mnozico vseh tistih povezav, ki niso vsebovane v grafu Γ.(V Γ sta torej razlicni vozlisci povezani natanko tedaj, ko nista povezani v Γ).

Definicija 2.14. Naj bo n naravno stevilo. Polni graf Kn je graf reda n, v katerem je medvsakim parom vozlisc povezava. Komplement polnega grafa je prazen graf.

Definicija 2.15. Povezan graf, ki ne premore nobenega cikla, je drevo. Ce izpustimo pogojo povezanosti, torej imamo lahko vec komponent, kjer je vsaka komponenta drevo, pravimo,da gre za gozd. Vozliscem stopnje 1 v drevesu ali gozdu pravimo listi.

Trditev 2.16. Naj bo n naravno stevilo. Stevilo razlicnih izborov k-cikla v polnem grafu Kn

je enako:

Ckn =

(n

k

)(k − 1)!

2.

Dokaz. Iz mnozice vozlisc je potrebno izbrati k vozlisc, ki bodo tvorila k-cikel. Pri temimamo na voljo

(nk

)razlicnih nacinov izbora.

Sedaj je potrebno presteti stevilo vseh razlicnih k-ciklov, katerih mnozica vozlisc je iz-brana k-elementna mnozica. Zanimajo nas torej vsi mogoci vrstni redi izbranih vozlisc.Pri tem je potrebno biti pozoren, da so si cikli (v0, v1, ..., vk, v0), (v1, v2, ..., vk, v0, v1), ...,(vk, v0, v1, ..., vk−1, vk), pa tudi (v0, vk, vk−1, ..., v1, v0), vsi enaki. Da bi se izognili veckratnemustetju istih ciklov, bomo eno izmed vozlisc fiksirali in se vprasali o razlicnih vrstnih redih napreostalih k − 1 vozliscih. A ker nam pri ciklu ni pomembna niti njegova smer, je potrebnostevilo vseh mogocih permutacij deliti z dve. Torej je stevilo razlicnih ciklov na k izbranihvozliscih enako

(k − 1)!

2.

Po pravilu produkta je stevilo vseh razlicnih k-ciklov v polnem grafu Kn enako:

Ckn =

(n

k

)(k − 1)!

2.

Definicija 2.17. Naj bosta Γ1 = (V1, E1) in Γ2 = (V2, E2) grafa. Preslikava ϕ : V1 → V2 jeizomorfizem grafov, ce je bijektivna in za poljuben par vozlisc u1, v1 ∈ V1 velja

u1 ∼Γ1 v1 ⇐⇒ ϕ(u1) ∼Γ2 ϕ(v1).

Grafa Γ1 in Γ2 sta izomorfna (kar obicajno oznacimo z Γ1∼= Γ2), ce med njima obstaja kak

izomorfizem.

8

Opomba. Izomorfizmi povzrocijo to, da si razlicne (oznacene) grafe predstavljamo kot istigraf. Neoznacen graf je tako torej ravno ekvivalencni razred relacije izomorfnosti na danimnozici grafov, kar nam prikazuje tudi slika 2.1. V nadaljevanju bomo grafom, ki so medse-bojno izomorfni, rekli, da spadajo v isti razred izomorfnosti.

Slika 2.1: Izomorfizmi oznacenih grafov in njihov razred izomorfnosti.

Definicija 2.18. Naj bosta Γ1 = (V1, E1) in Γ2 = (V2, E2) grafa. Tedaj je Γ1 podgraf grafaΓ2, ce je V1 ⊆ V2 in E1 ⊆ E2. Kadar je V1 = V2, je Γ1 vpet podgraf grafa Γ2.

Definicija 2.19. Naj bo Γ = (V,E) graf. Mnozica S ⊆ V je neodvisna mnozica vozlisc vΓ, kadar za vsak par vozlisc u, v ∈ S velja, da v grafu Γ ni soseden. Kardinalnost najvecjeneodvisne mnozice v Γ oznacimo z α(Γ) in ji pravimo neodvisno stevilo grafa Γ.

2.3 Verjetnost in diskretne slucajne spremenljivke

Verjetnost je pomembna matematicna teorija, precej bolj laicno pa bi lahko rekli, da je toveda, ki se ukvarja z napovedovanjem dogodkov na podlagi znanih informacij o opazovanemsistemu. V primeru diplomskega dela bo nas opazovani �sistem� mnozica grafov, v njempa bomo dolocali verjetnost, da ima nakljucno izbrani graf doloceno lastnost. Posvetimo sesedaj matematicni definiciji verjetnosti.

Definicija 2.20. Naj bo S neprazna mnozica, ki oznacuje mnozico vseh mogocih izidovopazovanega eksperimenta oz. �poskusa�. Mnozici S tedaj pravimo prostor izidov, pod-mnozicam A ⊆ S pa dogodki. Elementaren dogodek je vsak dogodek A, za katerega je|A| = 1.

Omeniti velja, da obicajno v teoriji verjetnosti za dogodke ne pristevamo kar vse pod-mnozice mnozice S (se posebej v primerih, ko je mnozica S neskoncna), vendar bomo midiplomskem delu stvari nekoliko poenostavili in torej za dogodke steli kar vse podmnoziceprostora izidov. Mnozica vseh moznih dogodkov bo torej za nas vedno kar celotna potencnamnozica P(S).

9

Definicija 2.21. Naj bo S prostor izidov. Verjetnostna funkcija P : P(S)→ R je funkcija,ki vsakemu dogodku A ⊆ S priredi realno stevilo P(A) in to tako, da veljajo naslednjiaksiomi:

(i.) Aksiom 1: Za vsak A ⊆ S je 0 ≤ P(A) ≤ 1, to je, verjetnost poljubnega dogodka jemed vkljucno 0 in 1.

(ii.) Aksiom 2: P(S) = 1, to je, verjetnost celotnega prostora izidov je 1.

(iii.) Aksiom 3: Za poljubno stevno druzino paroma disjunktnih dogodkov A1, A2, ... velja

P(∞⋃i=1

Ai) =∞∑i=1

P(Ai).

V tem primeru paru (S,P) recemo verjetnostni prostor.

Pogosto se zgodi, da imajo vsi elementarni dogodki isto verjetnost. Tedaj v primeru, daje |S| = n, sledi iz aksiomov 2 in 3, da imajo vsi elementarni dogodki verjetnost 1

n, verjetnost

dogodka A ⊆ S pa je enaka P(A) = |A|n

.

Definicija 2.22. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor. Pravimo, da sta dogodka A,B ⊆ Sneodvisna, ce velja P(A ∩B) = P(A)P(B).

Omenimo sedaj se nekaj preprostih, a zelo pomembnih lastnosti verjetnosti, katerih do-kaze izpuscamo.

Lema 2.23. Za poljubna dogodka A,B ⊆ S velja:

(i.) Da je verjetnost komplementa dogodka A enaka P(Ac) = 1− P(A).

(ii.) Da kadar je A ⊆ B, velja tudi P(A) ≤ P(B).

(iii.) Da je verjetnost unije dogodkov A in B enaka P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(AB), kjerje AB definiran kot presek AB = A ∩B.

Pri obravnavi slucajnih dogodkov nas pogosto zanima verjetnost nekega dogodka A podpogojem, da se je zgodil se dogodek B. Govorimo o pogojni verjetnosti. V takih primerih senam prostor izidov S skrci na dogodek B. Torej nas zanima verjetnost dogodka A v prostoruizidov B. Zapisimo formalno v obliki definicije.

Definicija 2.24. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in naj bosta A,B ⊂ S taksna dogodka,da je P(B) > 0. Tedaj pogojno verjetnost dogodka A pri pogoju B definiramo kot

P(A|B) =P(AB)

P(B).

Opomba. Izraz P(A|B) torej beremo kot: �Verjetnost dogodka A pod pogojem, da se jedogodil dogodek B�. Pravzaprav velja omeniti tudi naslednjo obliko zgornje enakosti:

P(AB) = P(B)P(A|B).

To dejstvo lahko posplosimo na poljubno stevilo dogodkov. Dobimo naslednjo trditev.

10

Trditev 2.25. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in naj bodo A1, A2, ..., An taki dogodki, davelja P(A1A2...An−1) > 0. Tedaj velja

P(A1A2...An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) · · ·P(An|A1A2 · · ·An−1).

Pri racunanju verjetnosti nas vcasih ne zanima zgolj eksplicitni izid nekega poskusa.Namesto da bi nas zanimala verjetnost, da bo na igralni kocki padlo 5 pik, bi nas na primerlahko zanimala verjetnost, da bo vsota padlih pik na dveh kockah enaka 7. V taksnih primerihnas torej zanima verjetnost, da ima neka funkcija, ki je odvisna od izidov enega ali vec (nenujno enakih) poskusov, neko vrednost. Takrat govorimo o slucajnih spremenljivkah, ki jihbomo na kratko omenili v nadaljevanju.

Definicija 2.26. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor. Funkciji X : S → IR, ki vsakemu ele-mentu s iz S priredi realno stevilo X(s), pravimo slucajna spremenljivka. Vsem mogocim vre-dnostim, ki jih lahko slucajna spremenljivka X zavzame, pravimo zaloga vrednosti slucajnespremenljivke X in jo oznacimo z ZX .

Dogovor. Dogovorimo se, da bomo z �X = k� oznacili dogodek, da X zavzame vrednost k,torej mnozico

{s ∈ S|X(s) = k}.

Definicija 2.27. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X : S → IR slucajna spremenljivka.Ce je ZX koncna ali kvecjemu stevno neskoncna mnozica, je X diskretna slucajna spremen-ljivka.

Trditev 2.28. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor, kjer je S stevna mnozica, naj bo X diskre-tna slucajna spremenljivka na (S,P) in naj bo k vrednost, ki jo X lahko zavzame. Verjetnostdogodka �X = k� je tedaj enaka

P(X = k) =∑

s∈S:X(s)=k

P(s).

Definicija 2.29. Naj bo X slucajna spremenljivka, katere edini mozni vrednosti sta 0 in 1.Taki slucajni spremenljivki pravimo Bernoullijeva slucajna spremenljivka.

Definicija 2.30. Binomska slucajna spremenljivka X s parametroma n in p, kjer je n na-ravno stevilo in je 0 ≤ p ≤ 1, je slucajna spremenljivka z ZX = {0, 1, ..., n}, za vsakm ∈ {0, 1, 2, ..., n} pa velja

P(X = m) =

(n

m

)pm(1− p)n−m.

Pomembna vrednost, povezana s slucajno spremenljivko X, je njeno matematicno upanjeoziroma pricakovana vrednost. Gre za neke vrste utezeno povprecje vseh vrednosti slucajnespremenljivke glede na pripadajoce verjetnosti posameznih vrednosti znotraj verjetnostnegaprostora.

Definicija 2.31. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X diskretna slucajna spremenljivkana (S,P). Matematicno upanje slucajne spremenljivke X, ki ga oznacimo z E(X), je tedaj

E(X) =∑x∈ZX

xP(X = x).

11

Opomba. V primeru, da je prostor izidov S steven, lahko matematicno upanje pisemo tudikot E(X) =

∑s∈S

X(s)P(s).

Ena lepsih in pomembnejsih lastnosti matematicnega upanja je njegova aditivnost. Go-vorimo o aditivnosti v smislu, da je pricakovana vrednost vsote slucajnih spremenljivk enakavsoti pricakovanih vrednosti teh slucajnih spremenljivk. Vsota dveh slucajnih spremenljivk,kjer sestevamo �po tockah�, je spet slucajna spremenljivka. Zato res lahko govorimo oupanju vsote slucajnih spremenljivk.

Trditev 2.32 (Aditivnost matematicnega upanja). Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in najbo Xi diskretna slucajna spremenljivka na (S,P) za vse 1 ≤ i ≤ n. Tedaj je

E(n∑

i=1

Xi) =n∑

i=1

E(Xi).

Dokaz. Trditev bomo dokazali za primer dveh slucajnih spremenljivk. Ta rezultat lahkopotem z indukcijo na n posplosimo na koncno mnogo slucajnih spremenljivk Xi (podrobnostiprepuscamo bralcu). Naj bo X = X1 + X2 . Ce upostevamo definicijo 2.31, lahko E(X)zapisemo tudi kot:

E(X1 +X2) = E(X) =∑x∈ZX

xP(X = x) =∑

x1∈ZX1,x2∈ZX2

(x1 + x2)P(X1 = x1, X2 = x2)

=∑

x1∈ZX1

∑x2∈ZX2

(x1 + x2)P(X1 = x1, X2 = x2)

=∑

x1∈ZX1

x1

∑x2∈ZX2

P(X1 = x1, X2 = x2) +∑

x2∈ZX2

x2

∑x1∈ZX1

P(X1 = x1, X2 = x2)

=∑

x1∈ZX1

x1P(X1 = x1) +∑

x2∈ZX2

x2P(X2 = x2) = E(X1) + E(X2).

V prvem koraku smo zapisali matematicno upanje za dve slucajni spremenljivki in natorazbili vsoto na dva dela. Ker pri vsoti

∑x2∈ZX2

P(X1 = x1, X2 = x2) slucajna spremenljivka

X2 zavzame vso svojo zalogo vrednosti, je zgornja vsota kar enaka P(X1 = x1). Povsemenak razmislek obvelja tudi za vsoto

∑x1∈ZX1

P(X1 = x1, X2 = x2). Zadnja enakost sledi iz

definicije matematicnega upanja.

V zvezi s trditvijo 2.32 velja pripomniti, da aditivnost povprecja ne velja samo za ne-odvisne slucajne spremenljivke, ampak tudi za slucajne spremenljivke, ki so medsebojnoodvisne. Zapisimo se lastnost homogenosti povprecja, ki jo prikazuje spodnja lema, prikateri izpuscamo dokaz.

Lema 2.33. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X diskretna slucajna spremenljivka na(S,P). Tedaj za poljuben c ∈ R velja

E(cX) = cE(X).

Neposredno iz definicije sledi naslednja trditev, ki podaja matematicno upanje Bernoul-lijeve slucajne spremenljivke.

Trditev 2.34. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X Bernoullijeva slucajna spremenljivkana (S,P) s parametrom p, kjer je 0 ≤ p ≤ 1. Tedaj je matematicno upanje slucajne spre-menljivke X enako

E(X) = p.

12

Trditev 2.35. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X binomska slucajna spremenljivka na(S,P) s parametroma n in p, kjer je n naravno stevilo in 0 ≤ p ≤ 1. Tedaj je matematicnoupanje slucajne spremenljivke X enako

E(X) = np.

Dokaz. Binomska slucajna spremenljivka X meri stevilo ugodnih izidov pri n ponovitah Ber-noullijevega poskusa meta kovanca, torej je X = X1 +X2 + · · ·+Xn, kjer je Xi Bernoullijevaslucajna spremenljivka s parametrom p in je za vsak 1 ≤ i ≤ n njeno matematicno upanjeenako E(Xi) = p. Po aditivnosti matematicnega upanja sledi

E(X) = E(X1 +X2 + · · ·+Xn) = E(X1) + E(X2) + · · ·+ E(Xn) =n∑

i=1

E(Xi) = np.

Definicija 2.36. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X diskretna slucajna spremenljivkana (S,P). Varianca (oznaka Var(X)) in standardni odklon (oznaka σ(X)) slucajne spremen-ljivke X sta definirana kot

Var(X) = E[(X − E(X))2]

σ(X) =√

Var(X).

Opomba. Varianca nam meri razprsenost in oddaljenost vrednosti X od pricakovane vredno-sti E(X). Varianco lahko po linearnosti povprecja zapisemo tudi kot

Var(X) = E[(X − E(X))2] = E(X2 − 2E(X)X + E(X)2)

= E(X2)− 2E(X)E(X) + E(X)2

= E(X2)− E(X)2.

Preden podamo naslednjo trditev, ki pove, da je v dovolj lepih primerih aditivna tudivarianca, se dogovorimo, da sta slucajni spremenljivki X in Y neodvisni, ce sta za poljubnax, y ∈ R dogodka �X ≤ x� in �Y ≤ y� neodvisna.

Trditev 2.37 (Bienaymejeva formula). Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X =n∑i

Xi

diskretna slucajna spremenljivka na (S,P), kjer so Xi neodvisne slucajne spremenljivke zavse 1 ≤ i ≤ n. Tedaj velja:

Var(n∑

i=1

Xi) =n∑

i=1

Var(Xi).

Dokaz. Trditev bomo ponovno dokazali na primeru dveh neodvisnih slucajnih spremenljivkX1 in X2. Ta dokaz pa bi lahko z indukcijo posplosili na koncno mnogo neodvisnih diskretnihslucajnih spremenljivk. Naj bo X = X1 +X2. Iz definicije variance sledi, da je

Var(X) = Var(X1 +X2) = E((X1 +X2))2 − (E(X1 +X2))2

= E((X21 + 2X1X2 +X2

2 )− (E(X1) + E(X2))2

= E(X21 ) + E(2X1X2) + E(X2

2 )− (E(X1))2 − 2E(X1)E(X2)− (E(X2))2

= E(X21 )− (E(X1))2 + E(X2

2 )− (E(X2))2 = Var(X1) + Var(X2).

Pri cemer smo upostevali, da za neodvisni slucajni spremenljivki X in Y velja E(XY ) =E(X)E(Y ), v kar se bo bralec preprical sam.

13

Izracunajmo sedaj varianco za Bernoullijevo in binomsko slucajno spremenljivko.

Trditev 2.38. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X Bernoullijeva slucajna spremenljivkana (S,P) s parametrom p, kjer je 0 ≤ p ≤ 1. Tedaj je varianca slucajne spremenljivke Xenaka

Var(X) = p(1− p).

Trditev 2.39. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X =n∑

i=1

Xi binomska slucajna spre-

menljivka na (S,P), sestavljena iz n neodvisnih Bernoullijevih slucajnih spremenljivk Xi sparametrom p, kjer je 0 ≤ p ≤ 1. Tedaj je varianca slucajne spremenljivke X enaka

Var(X) = np(1− p).

Dokaz. Naj bo X = X1 + X2 + · · · + Xn sestavljena iz neodvisnih Bernoullijevih slucajnihspremenljivk Xi, kjer je za 1 ≤ i ≤ n varianca Xi enaka Var(Xi) = p(1−p). Ob upostevanjutrditve 2.37 sledi, da je

Var(X1 +X2 + · · ·+Xn) = Var(X1) + Var(X2) + · · ·+ Var(Xn) =n∑

i=1

Var(Xi) = np(1− p).

14

Poglavje 3

Slucajni grafi

V tem poglavju se bomo seznanili z glavno tematiko diplomskega dela. Spoznali bomo dvanajbolj splosna modela slucajnih grafov. To sta tako imenovani enakomerni model slucajnegagrafa, pri katerem je stevilo vozlisc n in stevilo povezav m v grafu vnaprej doloceno. V temprimeru se slucajnost odraza v odlocitvi, katerih m povezav izberemo, enakomernost pa vtem, da so vse izbire enako verjetne. Pri drugem modelu gre za binomski model slucajnihgrafov, kjer za vsako povezavo v grafu izvedemo Bernoullijev eksperiment z verjetnostjo p,ki odloci, ali graf to povezavo ima ali ne.

Definicija 3.1. Model slucajnih grafov G je verjetnostni prostor, pri cemer so elementiprostora izidov grafi, verjetnost posameznega izida pa je podana glede na izbrani model.

Dogovor. Na tem mestu je potrebno opozoriti na samo terminologijo v zvezi z izrazomslucajni graf. Slucajni graf lahko razumemo kot model slucajnih grafov, ki je torej mnozicaG vseh obravnavanih grafov (z neko skupno lastnostjo), skupaj s pripadajoco verjetnostnofunkcijo. Lahko pa bi tudi pomislili na nakljucno izbrani graf Γ iz prostora izidov G. Zatose dogovorimo, da bomo v nadaljevanju pod izrazom �model slucajnih grafov� mislili naceloten verjetnostni prostor G, medtem ko se bomo z izrazom �slucajni graf� sklicevali napoljubni element/graf modela G.

3.1 Erdos-Renyijev slucajni graf

V tem razdelku bomo vpeljali Erdos-Renyijeve slucajne grafe. To je model, v katerem soelementi grafi na predpisanem stevilu (n) vozlisc in s predpisanim stevilom (m) povezav. Dabi si nekoliko lazje predstavljali, kako dobimo tak graf, si zamislimo, da imamo na zacetkuprazen graf, ki ima n vozlisc, potem pa zelimo iz mnozice vseh moznih povezav izbrati mpovezav. Zanimajo nas torej vse mogoce kombinacije.

Definicija 3.2. Naj bo n naravno stevilo in 0 ≤ m ≤(n2

)= N . Tedaj je model slucajnega

grafa G(n,m) verjetnostni prostor vseh (oznacenih) grafov na mnozici vozlisc V = {1, 2, ..., n}z natanko m povezavami, pri cemer so vsi grafi enako verjetni.

Trditev 3.3. Naj bo n naravno stevilo in 0 ≤ m ≤(n2

)= N . Tedaj ima vsak slucajni graf

Γ verjetnostnega prostora G(n,m) verjetnost izbora

P(Γ) =

(N

m

)−1

.

15

Slika 3.1: Prostor izidov Erdos-Renyijevih slucajnih grafov za n = 4 in m = 2.

Dokaz. V trditvi 2.7 smo pokazali, da ima lahko enostaven oznacen graf z n vozlisci najvec(n2

)= N povezav. Ker nas v modelu slucajnega grafa G(n,m) zanimajo zgolj grafi z m

povezavami, nas zanima stevilo razlicnih (neurejenih) izborov m povezav iz mnozice vsehmoznih povezav, torej iz mnozice velikosti N . Po lemi 2.5 je moznih izborov

(Nm

). Ker imajo

vsi grafi enako verjetnost izbora, sledi, da je verjetnost, da bomo pri nakljucnem izboruizbrali dani graf iz modela G(n,m), enaka

P(Γ) =

(N

m

)−1

.

Terminologija. Slucajni graf, ki je bil izbran v modelu G(n,m), bomo v nadaljevanju oznacevaliz Γ(n,m) oziroma tudi kar z Γ, ce bo ostalo razvidno iz konteksta, in mu pravili enakomernislucajni graf.

Zgled. Poglejmo si primer modela slucajnega grafa G(6, 3). Vsi grafi tega modela imajon = 6 vozlisc in m = 3 povezave. V temu modelu je torej 455 =

(153

)razlicnih oznacenih

grafov. Ni se tezko prepricati, da med vsemi obstaja le pet razlicnih izomorfnostnih razredov.Predstavniki so prikazani na sliki 3.2.

Slika 3.2: Vsi paroma neizomorfni grafi v Erdos-Renyijevem modelu slucajnih grafov za n = 6 inm = 3.

Prestejmo, koliko grafov vsebuje vsak izmed razredov izomorfnosti:

16

(i.) Tip Γ1 vsebuje 20 =(

63

)grafov. Potrebno je presteti vse mogoce izbore vozlisc 3-cikla.

(ii.) Tip Γ2 vsebuje 180 = 2(

64

)(42

)grafov. Izberemo si 4 vozlisca, ki tvorijo pot. Nato v

cetverici vozlisc izberemo dve vozlisci, ki sta stopnje dve, nato pa se katero je povezanos katerim izmed vozlisc stopnje 1.

(iii.) Tip Γ3 vsebuje 60 =(

63

)(31

)grafov. Izberemo si tri vozlisca stopnje 1, nato pa izmed

preostalih vozlisc izberemo tistega, ki ima stopnjo 3.

(iv.) Tip Γ4 vsebuje 180 =(

63

)(31

)(32

)grafov. Izberemo trojico vozlisc, ki bodo skupaj tvorila

pot dolzine dve. Nato izbrani trojici izberemo srednje vozlisce. Iz preostalih treh vozliscizberemo dve, ki bosta tvorili preostalo povezavo.

(v.) Tip Γ5 vsebuje 15 =(

51

)(31

)grafov. Najprej izberemo soseda vozliscu 1 (pri tem imamo

5 moznosti), nato izberemo se soseda tistega od preostalih vozlisc, ki ima najmanjsovrednost (2, ce ni sosed od 1, sicer 3).

Opomba. V zgornjih razredih izomorfnosti lahko opazimo, da imajo grafi razlicno stevilo izo-liranih vozlisc. Opazimo, da je zaloga vrednosti slucajne spremenljivke, ki za model G(6, 3)meri stevilo izoliranih vozlisc, enaka ZX = {0, 1, 2, 3}. Oglejmo si, kaksno je matematicnoupanje za stevilo izoliranih vozlisc v modelu G(6, 3).

Zgled. Naj bo X diskretna slucajna spremenljivka, ki meri stevilo izoliranih vozlisc v grafihmodela G(6, 3). Kot smo ze videli, je ZX = {0, 1, 2, 3}. Matematicno upanje za steviloizoliranih vozlisc nakljucno izbranega grafa je torej enako

E(X) =3∑

k=0

kP(X = k) = 0 · 15

455+ 1 · 180

455+ 2 · 240

455+ 3 · 20

455= 1, 582417...

3.2 Matematicno upanje v G(n,m)

V tem razdelku bomo za razlicne podgrafe izracunali matematicna upanja za njihovo stevilov modelu G(n,m). Za zacetek si poglejmo krajsi zgled.

Zgled. Izracunajmo matematicno upanje za stevilo kopij K3 v modelu G(4, 4). Najprej opa-zimo, da je v modelu G(4, 4) natanko 15 =

(64

)razlicnih oznacenih grafov. Pri tem nas

zanimajo tisti grafi Γ, ki imajo vsebovano kopijo K3. Da bi stetje kopij K3 v danem grafu Γzapisali v matematicnem jeziku, bomo definirali indikatorsko funkcijo IΓ, katere definicijskoobmocje bo mnozica vseh trojic vozlisc in ki bo imela vrednost 1, kadar bo izbrana trojicavozlisc u, v, w ∈ V = V (Γ) s povezavami, ki so v Γ, tvorila K3, in bo imela vrednost 0, kadarta trojica vozlisc ne bo tvorila K3.

Sedaj lahko opisemo, kako bomo presteli vse K3 v izbranem grafu. Enostavno bomo za vsakgraf Γ iz G(4, 4), za vsako njegovo trojico vozlisc z indikatorsko funkcijo IΓ preverili, ali tatvori tricikel, torej bo vsota vseh teh vrednosti ravno stevilo vseh triciklov v posameznemgrafu. Naj bo X slucajna spremenljivka za �stevilo kopij K3� v danem grafu. Kot receno,je torej

X(Γ) =∑

u,v,w∈V

IΓ(u, v, w).

17

Ker imajo vsi grafi enako verjetnost izbora 115

, je torej matematicno upanje za stevilokopij K3 v modelu G(4, 4) enako

E(X) =1

15

∑Γ∈G(4,4)

∑u,v,w∈V

IΓ(u, v, w).

Brez tezav se lahko prepricamo, da ima model G(4, 4) dva razreda izomorfnosti, kjer prvirazred ne vsebuje K3, medtem ko ima drugi vsebovan en podgraf K3 (slika 3.3).

Slika 3.3: Oba razreda izomorfnosti v Erdos-Renyijevem modelu slucajnih grafov G(4, 4).

Vseh grafov drugega razreda je 12 =(

43

)(31

)(sprva si izberemo tri vozlisca, ki bodo

tvorila tricikel, nato pa v izbrani trojici vozlisc izberemo vozlisce, ki ga povezemo z edinimpreostalim vozliscem), preostali trije grafi pa so potem v prvem razredu. Torej je pricakovanostevilo kopij K3 v modelu G(4, 4) enako

E(X) =1

15(3 · 0 + 12 · 1) =

4

5.

Posplosimo zgornji zgled in prikazimo splosen rezultat za pricakovano stevilo kopij K3 vpoljubno izbranem modelu slucajnih grafov G(n,m).

Trditev 3.4. Naj bo n naravno stevilo in 0 ≤ m ≤(n2

)= N . V modelu G(n,m) je mate-

maticno upanje za stevilo kopij polnega grafa K3 kot podgrafa enako

(n

3

)(m3

)(N

3

) .Dokaz. Naj bo V = {1, ..., n} mnozica vozlisc grafov iz modela G(n,m) in naj bo X slucajnaspremenljivka za stevilo kopij K3 v grafih iz G(n,m). Naj bo Γ ∈ G(n,m). Kot v zgornjemzgledu naj bo indikatorska funkcijo IΓ definirana tako, da izbrani trojici vozlisc u, v, w iz Γpriredi vrednost 1, ce trojica v Γ tvori K3, sicer ji priredi vrednost 0. Matematicno upanjeza stevilo triciklov v modelu G(n,m) je tedaj po trditvi 3.3 enako

E(X) =

(N

m

)−1 ∑Γ∈G(n,m)

∑u,v,w∈V

IΓ(u, v, w).

Zamenjajmo vrstni red zgornjih vsot. S tem bomo za vsako trojico vozlisc u, v, w prestevali,v koliko razlicnih grafih Γ ta trojica tvori K3. Dobimo

E(X) =

(N

m

)−1 ∑u,v,w∈V

∑Γ∈G(n,m)

IΓ(u, v, w).

18

Pri prvi vsoti nas torej zanimajo vsi izbori treh razlicnih vozlisc, zato imamo na voljo(n3

)moznosti. Nato pri izbrani trojici vozlisc prestejemo stevilo vseh grafov Γ v G(n,m), kivsebujejo izbrane tri povezave. Ker imajo vsi grafi iz G(n,m) po m povezav, si moramotorej izbrati se preostalih m− 3 povezav, za kar imamo na voljo

(N−3m−3

)razlicnih kombinacij.

Ob upostevanju pravila produkta je tako pricakovano stevilo kopij K3 enako

E(X) =

(n

3

)(N − 3

m− 3

)(N

m

)

=

(n

3

)Nm

(N − 1)

(m− 1)

(N − 2)

(m− 2)

(N − 3

m− 3

)N

m

(N − 1)

(m− 1)

(N − 2)

(m− 2)

(N

m

)

=

(n

3

)m(m− 1)(m− 2)

N(N − 1)(N − 2)=

(n

3

)(m3

)(N

3

) .

Ilustrirajmo rezultat zgornje trditve in izracunajmo matematicno upanje za stevilo trici-klov v modelu G(4,m) pri razlicnem stevilu povezav m.

Zgled. Kot kaze tabela 3.1, se z vsako dodano povezavo v grafu poveca matematico upanje,da bo graf imel vsebovan K3 (seveda pa je za m < 3 le-to enako 0).

Tabela 3.1: Matematicno upanje za stevilo K3 pri razlicnem stevilu povezav.

m |G(4,m)| E(X) Opis in izracun.

0 1 0

(4

3

)(0

3

)(6

3

)−1

= 0

1 6 0

(4

3

)(1

3

)(6

3

)−1

= 0

2 15 0

(4

3

)(2

3

)(6

3

)−1

= 0

3 201

5

(4

3

)(3

3

)(6

3

)−1

=1

5

4 154

5

(4

3

)(4

3

)(6

3

)−1

=4

5

5 6 2

(4

3

)(5

3

)(6

3

)−1

= 2

6 1 4

(4

3

)(6

3

)(6

3

)−1

= 4

Opomba. Morda nekoliko zanimivejsa posledica zgornje trditve je ta, da je pri m ≥ n + 1matematicno upanje za stevilo kopij K3 v modelu G(n,m) zagotovo vecje od 1. Rezultat

19

sledi iz preprostega razmisleka. Graf, ki je na 4 vozliscih in ima vsaj 5 povezav, bo zagotovoimel tricikel. Z nekaj matematicne telovadbe (ki je podana v (3.1)) pa lahko dokazemo, da jelimita limn→∞ E(X) pri m = n+ 1 enaka 4

3. A je potrebno bralca tudi opozoriti. Zagotovilo,

da je matematicno upanje E(X) ≥ 1, nam ne zagotavlja, da bo imel poljubno izbrani graf, kiga bomo nakljucno izbrali, zagotovo vsebovan vsaj en K3. Da se lahko o tem prepricamo, sipoglejmo spodnji graf, ki prikazuje rezultate za nakljucno racunalnisko zgenerirane grafe prin vozliscih in m = n+ 1 povezavah, kjer nas zanima, ali ima nakljucno izbrani graf vsaj enK3. Prikazan je delez grafov, ki imajo vsaj en K3, torej graf ponazarja verjetnost P(X ≥ 1).Na tem mestu bi zelel omeniti tudi, da izracun verjetnosti, da bo imel graf neko lastnost,ni povsem trivialna naloga, kar se lahko bralec preprica tudi sam in se poiskusi v racunanjuverjetnosti P(X ≥ 1) za zgornji primer.

limn→∞

(n

3

)(n+ 1

3

)((n

2

)3

) =8

3!limn→∞

(n+ 1)n2(n− 1)2(n− 2)

n(n− 1)(n(n− 1)− 2)(n(n− 1)− 4)

=4

3limn→∞

n2 − nn2 − n− 4

=4

3.

(3.1)

Graf nam prikazuje rezultate za �statisticno� verjetnost P(X ≥ 1), kjer je X slucajnaspremenljivka za stevilo kopij K3 v modelu G(n, n+ 1). Stevilo vseh ponovitev pri simulacijije bilo za vsak n enako 100.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Stevilo vozlisc [n]

P(X≥

1)

V zgornjih rezultatih lahko opazimo, da je delez grafov v modelu G(n, n+1), ki premorejo3-cikel, nekoliko manj kot 3

4. Odgovor na vprasanje o tem, kako se nam verjetnost P(X ≥ 1)

spreminja v odvisnosti od stevila povezav v grafu, pa pustimo zaenkrat odprto.

Kot zanimivost omenimo se Turanov izrek 1, ki med drugim pravi, da bo imel graf reda n

1Dokaz izreka lahko bralec najde v [1] ali [6].

20

zagotovo vsebovan vsaj en tricikel, ko bo imel vsaj m = bn2

4c+ 1 povezav. Turanov izrek je

sicer tudi bolj splosen v smislu, da za vsak s ≥ 3 pove, koliko povezav mora imeti graf redan, da bo zagotovo vseboval poln podgraf velikost s+ 1. Potrebuje jih vsaj b(1− 1

s) · n2

2+ 1c.

V zvezi s tem je zanimiva tudi naslednja trditev.

Trditev 3.5. Naj bo n naravno stevilo, naj bo 0 ≤ m ≤(n2

)= N in naj bo s ≥ 3. Tedaj je

matematicno upanje za stevilo kopij polnega grafa Ks v modelu G(n,m) enako

(n

s

)(m(s2

))(N(s2

)) .Dokaz. Naj bo V = {1, 2, ..., n} in Γ ∈ G(n,m). Naj bo Ps mnozica vseh razlicnih kombinacijizbora s vozlisc iz mnozice vozlisc V . Tokrat naj bo IΓ indikatorska funkcija z domeno Ps,ki ima vrednost 1, ko mnozica A ∈ Ps s povezavami iz Γ tvori polni graf, sicer ima vrednost0.

Matematicno upanje za slucajno spremenljivko X, ki meri stevilo kopij polnega grafa Ks

v modelu G(n,m), je torej enako:

E(X) =

(N

m

)−1 ∑A∈Ps

∑Γ∈G(n,m)

IΓ(A).

Pri prvi vsoti je stevilo vseh razlicnih izborov s vozlisc iz mnozice V enako(ns

). Pri drugi

vsoti nas zanima stevilo grafov v modelu G(n,m), za katere je A induciran poln podgraf.Torej nas zanima stevilo vseh mogocih grafov, ki jih lahko konstruiramo s povezavami, ki sonam se preostale, kar je enako (

N −(s2

)m−

(s2

)).Matematicno upanje za stevilo kopij Ks v modelu G(n,m) je torej enako

E(X) =

(N

m

)−1(n

s

)(N −

(s2

)m−

(s2

))

=

(n

s

)(m(s2

))(N(s2

)) ,v kar se prepricamo s podobnim racunom kot v dokazu trditve 3.4.

V zakljucni fazi tega razdelka bomo izracunali se matematicno upanje za stevilo kopijk-ciklov v slucajnih grafih modela G(n,m). Glavno sporocilo tega poglavja sicer niso konkre-tne trditve, ki jih dokazujemo, temvec zavedanje, da bi lahko naceloma za poljuben podgraf,ki si ga zamislimo, izracunali matematicno upanje za stevilo taksnih podgrafov v modeluG(n,m). Zanimivost te ideje se kaze v tem, da bi nas lahko npr. pri kemiji pri opazovanjuneke molekulske strukture zanimalo, koliksno je matematicno upanje, da je v njeni sestaviinducirana dolocena podstruktura (podgraf), pod pogojem, da imamo podano stevilo �pove-zav�. Seveda je potrebno tu tudi pripomniti, da modela slucajnih grafov nikakor ne smemokar enaciti s kompleksnim omrezjem molekul, vsaj z vidika slucajnosti, kajti tezko bi biloverjeti, da svet na mikroravni kroji cisti slucaj.

21

Trditev 3.6. Naj bo n naravno stevilo, naj bo 0 ≤ m ≤(n2

)= N in naj bo k ≥ 3. Tedaj je

matematicno upanje za stevilo k-ciklov v modelu G(n,m) enako

(k − 1)!

2

(n

k

)(mk

)(N

k

) .Dokaz. Po trditvi 2.16 je stevilo k-ciklov v polnem grafu reda n enako

Ckn =

(n

k

)(k − 1)!

2.

Ker imamo pri izbranem ciklu potem se m−k povezav, ki jih lahko izbiramo iz mnozice N−kmogocih povezav, je po podobnem premisleku, kot v dokazih trditev 3.4 in 3.5, pricakovanostevilo k-ciklov enako

E(X) =(k − 1)!

2

(n

k

)(N − km− k

)(N

m

)

=(k − 1)!

2

(n

k

)(mk

)(N

k

) .

22

3.3 Slucajni graf Bernoullijevega eksperimenta

V tem razdelku se bomo posvetili nekoliko drugacnemu modelu slucajnih grafov. Kot smoomenili ze v uvodu v poglavje, se tu za vsako mozno povezavo v grafu posebej odlocamo, alinaj jo v graf vzamemo ali ne, stevilo povezav grafa pa vnaprej ni fiksno doloceno.

Definicija 3.7. Naj bo n naravno stevilo in 0 ≤ p ≤ 1. Model slucajnih grafov G(n, p) jeverjetnostni prostor vseh oznacenih grafov na mnozici vozlisc V = {1, 2, ..., n}, kjer za vsakomozno povezavo v grafu neodvisno izvedemo Bernoullijev eksperiment z verjetnostjo p.

Slika 3.4: Prostor izidov v modelu slucajnih grafov G(4, p).

Terminologija. Slucajni graf, ki je bil izbran v modelu G(n, p), bomo v nadaljevanju oznacevaliz Γ(n,p) in mu pravili binomski slucajni graf.

Povsem jasno je, da bomo (razen seveda, ce je p = 0 ali p = 1) za razlicne realizacijeslucajnega grafa s parametroma n in p praviloma dobili nekoliko drugacne grafe. Takose bodo pri razlicnih realizacijah zamenjale stopnje vozlisc, nacini, kako so vozlisca medseboj povezana, ob tem pa tudi samo stevilo povezav m. Glede na to, da je v modeluErdos-Renyijevih slucajnih grafov stevilo povezav ze vnaprej doloceno s parametrom m, bibilo dobro vedeti, kako je s stevilom povezav v binomskem modelu slucajnega grafa. Da biizracunali matematicno upanje za stevilo povezav, si najprej poglejmo, koliksna je verjetnost,da bomo v modelu G(n, p) izbrali graf z m povezavami.

Trditev 3.8. Naj bo n naravano stevilo, naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in naj bo 0 ≤ m ≤(n2

), X pa naj

bo slucajna spremenljivka, ki v modelu G(n, p) meri stevilo povezav. Tedaj je

P(X = m) =

((n2

)m

)pm(1− p)(

n2)−m.

Dokaz. Ker se za vsako mozno povezavo neodvisno z verjetnostjo p odlocimo, ali jo bomov graf vzeli ali ne, gre v resnici za binomsko porazdelitev s stevilom ponovitev

(n2

). Zadeva

sedaj sledi iz definicije 2.30.

23

Od tu tudi takoj sledi nasa naslednja trditev, ki nam doloci matematicno upanje zastevilo povezav v modelu G(n, p).

Trditev 3.9. Naj bo n naravano stevilo, naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in X slucajna spremenljivka zastevilo povezav grafov v modelu G(n, p). Tedaj velja

E(X) =

(n

2

)p.

Dokaz. Kot smo trdili ze v dokazu trditve 3.8, gre za binomsko porazdelitev s stevilomponovitev

(n2

). Zadeva sledi iz trditve 2.35, v kateri smo izracunali matematicno upanje za

binomsko slucajno spremenljivko.

Da si bomo v �praksi� predstavljali, kaj pomeni posamezni �zreb� binomskega slucajnegagrafa Γ(n,p), si poglejmo nekaj slikovnih primerov in naredimo se krajsi zgled. Prva slika pri-kazuje stiri nakljucne realizacije binomskega modela slucajnega grafa pri n = 22 in p1 = 1

22,

p2 = 16, p3 = 1

2in p4 = 5

8.

Slika 3.5: Slucajni grafi v modelih G(22, p) pri p1 = 122 , p2 = 1

6 , p3 = 12 in p4 = 5

8 .

Pri zgornjih grafih (n = 22) lahko opazimo, da pri prvem grafu, kjer je verjetnost povezaveenaka 1

22= 1

n, graf ni povezan in tudi nima vsebovanega nobenega cikla, kar pomeni, da je

graf gozd. Kar bi se bilo na primer smiselno vprasati v zgornjem primeru je: �Ali lastnost,da graf ni povezan, velja skoraj vedno, ko ima graf verjetnost povezave p = 1

nin gre stevilo

vozlisc v grafu preko vseh meja?� in �Koliksna mora biti verjetnost povezave p, da bo imelpoljubno izbrani graf z visoko verjetnostjo cikel?�. Seveda sta ti vprasanji precej ohlapni, sajnismo natancno dolocili, kaj za nas pomeni �skoraj vedno� in kaj �z visoko verjetnostjo�.

24

Zgled. Izracunajmo verjetnost, da bomo v modelu G(6, p) izbrali graf s petimi povezavami.

Vseh razlicnih grafov z m = 5 povezavami je((6

2)5

), torej je verjetnost, da bo imel izbrani

graf 5 povezav, enaka ((62

)5

)p5(1− p)(

62)−5 = 3003p5(1− p)10.

V primeru, ko je p = 12, ta verjetnost znasa 0, 09164..., torej je verjetnost, da bo imel graf reda

6, pri katerem se za vsak par vozlisc povsem nakljucno odlocimo, ali to povezavo vzamemoali ne, natanko 5 povezav, dobrih 9 odstotkov.

Poglejmo si se drugo sliko, ki prikazuje dve realizaciji za grafe, ki imajo n = 100 in jeverjetnost povezave enaka p = ln 100

100.

Slika 3.6: Slucajna grafa modela G(100, ln 100100 ).

Oglejmo si se, kako je z razprsenostjo stevila povezav pripadnikov modela G(n, p) okrogpricakovane vrednosti.

Trditev 3.10. Naj bo n naravno stevilo, naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in X slucajna spremenljivka zastevilo povezav v grafih modela G(n, p). Tedaj velja

Var(X) =

(n

2

)p(1− p).

Dokaz. Ker gre za binomsko porazdelitev s stevilom ponovitev(n2

)in se za vsako povezavo

neodvisno z verjetnostjo p odlocimo, ali jo bomo v graf vzeli ali ne, je rezultat posledicatrditve 2.39.

V zvezi z varianco je zanimiva tudi standardna deviacija σ(X), pri kateri je zanimivo najtinjen maksimalni odklon od matematicnega upanja, po katerem lahko poseze. Spomnimo se,da nam σ(X) meri razprsenost vrednosti X okrog E(X). In tudi to, da kadar je σ(X) ≈ 0,ima slucajna spremenljivka X svoje vrednosti razprsene blizu matematicnega upanja E(X).Trditev, ki sledi, nam govori o maksimalni mozni standardni deviaciji, kjer je X slucajnaspremenljivka za stevilo povezav v grafu.

Trditev 3.11. Naj bo n naravno stevilo, naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in X slucajna spremenljivka zastevilo povezav v grafih modela G(n, p). Tedaj velja

σ(X) =

√(n

2

)p(1− p) ≤ n

2 ·√

2.

25

Dokaz. Ker je 0 ≤ p ≤ 1 je produkt p · (1 − p) navzgor omejen z 14

(maksimalen je, ko jep = (1− p) = 1

2). Od tu sledi

σ(X) =

√(n

2

)p · (1− p) ≤

√n · (n− 1)

2· 1

4≤√n2

8=

n

2 ·√

2.

Opomba. Po zgornji trditvi se nam torej v najslabsem primeru standardna deviacija povecujes koeficientom 1

2√

2, kar pomeni, da se povecuje relativno pocasi glede na stevilo mogocih

povezav, ki jih z vsakim novim vozliscem pridobimo.

3.4 Matematicno upanje v G(n, p)

V tem razdelku se bomo, podobno kot v razdelku 3.2, sprasevali o matematicnih upanjih zarazlicne lastnosti grafov (npr. koliksno je pricakovano stevilo dolocenih vpetih podgrafov), leda nas bo tokrat zanimalo, koliksna so le-ta v binomskem modelu slucajnega grafa G(n, p).

Trditev 3.12. Naj bo n naravno stevilo in 0 ≤ p ≤ 1. V modelu G(n, p) je matematicnoupanje za stevilo kopij polnega grafa K3 kot podgrafa enako:

E(X) =

(n

3

)p3.

Dokaz. Naj bo V = {1, 2, ..., n}. Stevilo nacinov izbora treh vozlisc je enako(n3

). Verjetnost,

da ta tri vozlisca tvorijo K3, je enaka p3. Tokrat naj bo Iu,v,w indikatorska funkcija, ki pridani trojici vozlisc iz mnozice V grafu Γ dodeli vrednost 1, ko vozlisca u, v in w v grafuΓ tvorijo K3, sicer pa mu priredi vrednost 0. Vsak Iu,v,w je tedaj Bernoullijeva slucajnaspremenljivka s parametrom p3. Slucajno spremenljivko X, ki meri stevilo kopij K3, lahkozapisemo kot vsoto X =

∑u,v,w Iu,v,w. Matematicno upanje za stevilo kopij K3 v grafih

modela G(n, p) je tedaj po aditivnosti matematicnega upanja enako

E(X) = E

( ∑u,v,w∈V

Iu,v,w

)=

∑u,v,w∈V

E(Iu,v,w).

Pri tem velja opozoriti, da spremenljivke Iu,v,w med seboj niso neodvisne. Vendar pa jeaditivnost matematicnega upanja veljavna tudi za odvisne spremenljivke. Torej je

E(X) =

(n

3

)p3.

Pred nadaljevanjem uporabimo zgornjo trditev v naslednjem zgledu. Pri tem privzemimo,da je p = 1

2.

Zgled. Matematicno upanje za stevilo kopij K3 v binomskem modelu G(4, 12) je enako

E(X) =

(4

3

)·(

1

2

)3

=1

2,

kar pomeni, da je matematicno upanje za stevilo kopij K3 enako 12, s cimer ze lahko potrdimo,

da nima kar vsak slucajen graf, ki ga izberemo, nujno vsebovanega podgrafa K3.

26

Trditev 3.12 lahko posplosimo na poljubno velike polne podgrafe, kar prikazuje naslednjatrditev.

Trditev 3.13. Naj bo n naravno stevilo, naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in naj bo X slucajna spremenljivkaza stevilo kopij Ks v modelu G(n, p). Tedaj je

E(X) =

(n

s

)p(

s2).

Dokaz. Dokaz je povsem podoben tistemu iz 3.12, le da tu namesto med tremi vozlisciizbiramo med s vozlisci, ki bodo tvorila polni graf Ks. Nacinov vseh razlicnih izborov svozlisc iz mnozice vozlisc V = {1, ..., n} je

(ns

), pri tem pa je verjetnost, da izbrana vozlisca

tvorijo Ks, enaka p(s2). Torej je matematicno upanje za X enako:

E(X) =

(n

s

)p(

s2).

Oglejmo si sedaj, kako je z izoliranimi vozlisci v modelu G(n, p).

Trditev 3.14. Naj bo n naravno stevilo, naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in naj bo X slucajna spremenljivkaza stevilo izoliranih vozlisc za grafe modela G(n, p). Tedaj je matematicno upanje za X enako:

E(X) = n · (1− p)n−1.

Dokaz. Verjetnost, da med poljubnima izbranima vozliscema u in v ni povezave, je enaka1 − p. Torej je verjetnost, da vozlisce u ni povezano z nobenim izmed vozlisc grafa, enaka(1 − p)n−1. Ker nas zanima, koliko je vseh izoliranih vozlisc v poljubno izbranem grafumodela G(n, p), lahko zaradi aditivnosti matematicnega upanja X zopet zapisemo kot vsoton slucajnih spremenljivk, po eno za vsako vozlisce in dobimo

E(X) = n · (1− p)n−1.

Opomba. Kadar v grafu ni izoliranih vozlisc, bi nas lahko potem zanimalo tudi: �Ali jegraf tedaj povezan?� Da bomo lazje odgovorili na zgornje vprasanje, bomo racunalniskosimulirali grafe, a tokrat v modelih G(n, p) za n = 50 in razlicne vrednosti p. V spodnjemgrafu nam zelena funkcija prikazuje delez grafov, ki imajo izolirana vozlisca, modra funk-cija nam prikazuje verjetnost, delez grafov, ki nimajo izoliranih vozlisc, rdeca funkcija panam prikazuje delez povezanih grafov. Dve pomembni zanimivosti, ki jih lahko opazimo vspodnjem grafu sta, da se lastnosti, �da je graf povezan� in �da graf nima vec izoliranihvozlisc� v slucajnem grafu skoraj popolnoma prekrivata, kar pomeni, da bi lahko postavilidomnevo, da ko v slucajnem grafu ni vec izoliranih vozlisc, je le-ta tudi povezan. Drugazanimiva lastnost slucajnega grafa, ki jo lahko opazimo, pa je ta, da verjetnost povezanostine narasca linearno, vendar le-ta nekoliko sunkovito poskoci, in vprasanje, ki bi si ga lahkoob tem postavili je: �Ali to velja tudi pri katerih drugih lastnostih pri slucajnih grafih?�.

Graf prikazuje statisticno verjetnost P, da nakljucni graf ima/nima izolirana vozlisca oz.da je graf povezan. Stevilo vseh ponovitev je bilo pri simulaciji za vsak p (s povecevanji za0, 01) po 1000.

27

0 5 · 10−2 0.1 0.15 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Verjetnost povezave p

P

Da dodatno ilustriramo prikazano metodo izracuna matematicnega upanja raznih diskre-tnih slucajnih spremenljivk v modelu G(n, p), si oglejmo se nekaj primerov.

Trditev 3.15. Naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in n ∈ N. V modelu G(n, p) je matematicno upanje zastevilo parov vozlisc, pri katerih je razdalja med vozliscema vecja od 2, enako

E(X) =

(n

2

)· (1− p)(1− p2)n−2.

Dokaz. V spomin si priklicimo definicijo 2.11, kjer smo razdaljo definirali kot dolzino naj-krajse poti med danim parom vozlisc. Torej je v nasem primeru razdalja med vozliscemau in v manjsa ali enaka 2 ravno tedaj, kadar sta vozlisci med seboj direktno povezani, alipa obstaja med njima neko tretje vozlisce w, ki je povezano z obema vozliscema u in v. Aker nas v nasem primeru zanima matematicno upanje za stevilo parov vozlisc, pri katerih jerazdalja vecja od dve, nobena izmed zgornjih dveh zahtev ne sme biti izpolnjena.

Naj bo V mnozica vozlisc grafa, naj bosta u, v ∈ V in naj bo A dogodek, �da med izbranimavozliscema u in v ne obstaja povezava� ter B dogodek, �da za izbrani par vozlisc u in v neobstaja vozlisce w ∈ V \ {u, v}, ki bi bilo sosednje tako iz u kot z v�. Kot smo se prepricalize v prejsnjih trditvah, je verjetnost dogodka A enaka 1− p. Pri dogodku B pa je potrebnobiti nekoliko previdnejsi. Za zacetek se osredotocimo zgolj na eno izmed vozlisc w iz mnoziceV \ {u, v} in zanj izracunajmo verjetnost, da je skupni sosed vozlisc u in v, saj je komple-ment tega dogodka ravno dogodek, ki nas zanima. Ocitno je verjetnost, da je w skupni sosedvozlisc u in v enaka p2, torej je verjetnost komplementa tega dogodka 1− p2. Ker smo s temizracunali verjetnost zgolj za eno izmed vozlisc w ∈ V \{u, v}, je v nadaljevanju to potrebnoizracunati se za preostala vozlisca te mnozice in preveriti medsebojno odvisnost povezav. Nise tezko prepricati, da je vsak par povezav, ki z izbranim vozliscem w iz V \ {u, v} tvori potod u preko w do v, popolnoma unikaten. Torej so vsi ti pari povezav medsebojno neodvisni,kar pomeni, da je verjetnost dogodka B zaradi |V \ {u, v}| = n− 2 enaka (1− p2)n−2.

Za konec dokaza pa se premislimo, ali sta tudi dogodka A in B neodvisna. Tudi tu se izkaze,

28

da je obstoj povezave med vozlisci u in v popolnoma neodvisen od obstoja povezav v grafu,za katere �se zanimamo� pri dogodku B. To pomeni, da sta dogodka A in B prav takoneodvisna in je verjetnost, da je pri izbranem paru u in v razdalja med vozliscema vecja od2, enaka (1−p)(1−p2)n−2. Ker nas v nasi trditvi zanima matematicno upanje za stevilo vsehparov vozlisc grafa, pri katerih je razdalja vecja od 2, je matematicno upanje ob upostevanjuaditivnosti povprecja kar enako

E(X) =

(n

2

)(1− p)(1− p2)n−2.

Trditev 3.16. Naj bo n naravno stevilo, naj bo 3 ≤ k ≤ n, naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in naj bo Xslucajna spremenljivka za stevilo k-ciklov v grafih modela G(n, p). Tedaj velja

E(X) =

(n

k

)(k − 1)!

2pk.

Dokaz. Naj bo V = {1, 2, ..., n}. Iz trditve 2.16 se spomnimo, da je stevilo razlicnih k-ciklov,ki jih lahko dobimo na n vozliscih, enako:

Ckn =

(n

k

)(k − 1)!

2.

Ker za vsak k-cikel potrebujemo k povezav, je verjetnost, da so vse povezave izbranega k-cikla hkrati vsebovane v grafu, enaka pk. Torej je pricakovano stevilo k-ciklov v grafu karenako:

E(X) =

(n

k

)(k − 1)!

2pk.

Trditev 3.17. Naj bo n naravno stevilo, naj bo 1 ≤ i ≤ n in naj bo 0 ≤ p ≤ 1. V modeluG(n, p) je matematicno upanje za stevilo neodvisnih mnozic velikosti i enako

E(X) =

(n

i

)(1− p)(

i2).

Dokaz. Izberemo i vozlisc, ki naj tvorijo neodvisno mnozico. Ker med nobenim paromvozlisc iz neodvisne mnozice ne sme biti povezave (torej ne smemo izbrati nobene izmed

(i2

)povezav med temi vozlisci), je verjetnost, da je izbrana mnozica vozlisc neodvisna, enaka

(1− p)(i2).

Trditev 3.18. Naj bo n naravno stevilo in naj bo 0 ≤ p ≤ 1. V modelu G(n, p) je mate-maticno upanje za stevilo vpetih dreves v grafu enako:

E(X) = nn−2pn−1.

Dokaz. Pri nasem dokazu bomo izpustili dokaz Cayleyeve formule2, ki nam poda formulo zastevilo vseh vpetih dreves v grafu. Le-ta pravi, da je stevilo (oznacenih) vpetih dreves na n

2Kot zanimivost naj povem, da obstajajo razlicni dokazi Cayleyeve formule. Med njimi je zagotovo edenlepsih dokazov dokaz Pitmana, ki uporabi tehniko dvojnega stetja. Vec o dokazih Cayleyeve formule si lahkopreberete v [1].

29

vozliscih nn−2. Kar se potrebujemo, je dejstvo, da je stevilo povezav, ki jih ima drevo redan, (nujno) enako n − 1. Gre za dobro znano dejstvo, dokaz pa lahko bralec najde v skorajvsaki knjigi o teoriji grafov, pa tudi v [17]. Od tu sledi, da je verjetnost, da ima nas grafdoloceno vpeto drevo, enaka pn−1. Torej je matematicno upanje za stevilo vpetih dreves vgrafu kar enako

E(X) = nn−2pn−1.

Za konec se racunalnisko preverimo, koliksna je statisticna verjetnost, da bomo izbraligraf, ki je drevo, pri cemer bomo v modelu G(n, p) izbrali verjetnost povezave p tako, da bopricakovano stevilo povezav enako m = n − 1 (torej po trditvi 3.9 je p = 2

n), saj se zdi, da

imamo takrat najvecjo verjetnost, da bo graf drevo, v kolikor ne bo imel cikla.

Na spodnjem grafu je prikazan delez grafov, ki so drevo, gozd ali pa imajo vsebovan cikel.Stevilo vseh ponovitev je bilo za vsak n enako 1000.

1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Stevilo vozlisc [n].

P

Opomba. Kot lahko vidimo v zgornjih rezultatih, je delez dreves (zelena funkcija) medslucajnimi grafi v modelu G(n, p) precej blizu 0, ze ce je stevilo vozlisc v grafu vsaj 10.Iz tega lahko sklepamo, da se slucajni grafi, ki imajo verjetnost povezave enako p = 2

n,

�evolucijsko�3 razvijajo drugace oziroma jih slucaj kroji tako, da imajo slucajni grafi prim = n− 1 vsebovan cikel. Slednje nam prikazuje tudi rdeca funkcija, ki prikazuje rezultatestatisticne verjetnosti, da ima graf vsebovan cikel. Modra funkcija nam prikazuje �stati-sticno� verjetnost, da je slucajni graf tudi gozd. Za konec diplomskega dela pa nekoliko�suhoparno� zapisimo se domnevo, ki jo lahko opazimo v zgornjih rezultatih. In sicer, daimajo slucajni grafi pri verjetnosti p = 2

nz visoko verjetnostjo vsebovan vsaj en cikel, ko

gre stevilo vozlisc proti neskoncnosti. S tem pa zakljucujemo in bralca vabimo, da poskusadomnevo tudi raziskati in dokazati.

3Kar mislimo pri besedi �evolucijsko�, je tudi nekoliko Darwinisticne narave. Saj bi nas zanimal celotnirazvojni proces grafa, ki je na zacetku brez povezav in bi mu postopoma dodajali povezave do slucajnegagrafa, ki ga trenutno opazujemo. Torej nas zanima, iz katerih mogocih grafov se je nas graf morda lahkorazvil.

30

Poglavje 4

Sklepna beseda

Ko se ob zakljucku diplomskega dela obrnem nazaj, na napisano delo, se sam kot bodocipedagog vprasam: �Ali je bilo delo, ki ste ga prebrali zanimivo?�, �Ali so vam bile nalogein razlage, ki ste jih srecali v diplomskem delu, razumljive?� in predvsem �Ali so vam mojiodgovori postavili nova vprasanja?�. Prav to je tisto, kar si sam najbolj zelim. Da se zavsakim novim odgovorom, ki ga je bralec dobil, le-ta manifestira v produkt novih vprasanj.To je tisto, kar je na koncu tudi najbolj pomembno. Da si upamo in si pustimo svobodovprasanj, svobodno matematiko, saj, kakor je dejal ze sam Cantor: �Bistvo matematike jev njeni svobodi�.

Ob koncu je tudi zgornja misel Cantorja tisto, kar bi rad delil z vami in kar ni bilo popolnomarazvidno v diplomskem delu. Tekom diplomskega dela sem si poleg omenjenih vprasanj natemo slucajnih grafov postavil se veliko drugih in pri tem so nekatera vodila v popolnomaslepe ulice. Spet druga so bila v svoji zasnovi precej preprosta, a se je na koncu izkazalo,da gre za vprasanja, ki sem jih moral pustiti odprta. Ustrezne odgovore si zelim najti vprihodnosti.

Se enkrat naj poudarim, da smo v diplomskem delu spoznali zgolj osnovne koncepte slucajnihgrafov in pri tem polozili temeljne gradnike za nadaljne delo. Pri tem smo definirali dvaosnovna modela slucajnih grafov, ki sta sama po sebi zanimiva. In morda je prvo vprasanje,ki bi si ga lahko v postavili v nadaljevanju: �Ali sta si ta dva modela med seboj v kaksnikorelaciji?� Drugo vprasanje, na katerega nismo odgovorili, pa je povezano z matematicnimiupanji, varianco in napovedovanjem. Nekoliko ohlapno smo ugotovili, da nam matematicnoupanje ne omogoci tega, da bi lahko z visoko verjetnostjo napovedali, da ima slucajni grafdoloceno lastnost. Zato bo potrebno v nadaljevanju pri tem najti drugacen pristop, da biprav to lahko napovedali. In ideja, iz katere bi lahko izhajali, je ta, da se vprasamo, koliksnamora biti verjetnost povezave (oziroma stevilo podanih povezav m, ce gre za model G(n,m)),da graf te lastnosti nima (oziroma jo ima). In tretje vprasanje, ki bi si ga lahko postaviliv prihodnosti, je: �Kaksne tranzicije imajo dolocene lastnosti pri slucajnih grafih?�, kajtikot smo opazili na primeru s strani 28, se velika verjetnost, da ima graf doloceno lastnost,pojavi kar iznenada. Vprasanje, ki je povezano s tem, pa je, za katere lastnosti v grafih totudi velja?

Naj zakljucim s kratko mislijo: Teorija slucajnih grafov je zanimiva teorija, ki je vrednanadaljnje pozornosti in obravnave.

31

32

Literatura

[1] Aigner Martin, Ziegler Gunter M. Proofs from the book. Springer, Berlin, 2010.

[2] Barabasi Albert-Laszlo. Linked. Plume - Penguin Group, Cambridge, 2003.

[3] Barabasi Albert-Laszlo. Network science. Cambridge University Press, Cambridge, 2016.

[4] Blum Avrim. Spletni vir: Chapter 4: Random graphs (dostop do 1. maj 2017): ht-tps://www.cs.cmu.edu/ avrim/598/, 2015.

[5] Dekking, F.M., Kraaikamp, C., Lopuhaa, H.P., Meester, L.E. A Modern Introduction toProbability and Statistics. Springer, London, 2005.

[6] Diestel R. Graph theory. Springer, London, 2006.

[7] Erdos P., Renyi A. Spletni vir: On random graphs I. (dostop do 1. maj 2017):http://snap.stanford.edu/class/cs224w-readings/erdos59random.pdf, 1959.

[8] Frieze Alan, Karonski Michal. Introduction to random graphs. Cambridge UniversityPress, Cambridge, 2016.

[9] Gross Jonathan L., Yellen Jay. Graph Theory and Its Applications, Second Edition. Cha-pman and Hall/CRC, Boca Raton, 2005.

[10] Juvan Martin, Potocnik Primoz. Teorija grafov in kombinatorika: primeri in resenenaloge, 2. natis. DMFA - zaloznistvo, Ljubljana, 2007.

[11] Jeremy Kun. Spletni vir: The Erdos-Renyi Random Graph (dostop do 1. maj 2017):https://jeremykun.com/2013/08/22/the-erdos-renyi-random-graph/, 2013.

[12] Hagberg Aric A., Schult Daniel A., Swart Pieter. Exploring network structure, dynamics,and function using NetworkX. Pasadena, CA USA, Pasadena, 2008.

[13] Mitzenmacher Michael, Upfal Eli. Probability and Computing - Randomized Algorithmsand Probabilistic Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 2005.

[14] Potocnik Primoz. Zapiski predavanj iz Diskretne Matematike I. Samozalozba, Ljubljana,2011.

[15] Sparl Primoz. Verjetnostni racun in statistika: Zapiski predavanj. Univerza v Ljubljani,Ljubljana, 2014.

[16] Sparl Primoz. Diskretna matematika: Zapiski predavanj. Univerza v Ljubljani, Lju-bljana, 2015.

[17] Sparl Primoz. Teorija grafov: Zapiski predavanj. Univerza v Ljubljani, Ljubljana, 2016.

33

Izjava o avtorstvu diplomskega dela

Podpisani Matej Mencin z vpisno stevilko 01010495, izjavljam, da sem avtor diplomskegadela z naslovom

Slucajni grafi.

S svojim podpisom zagotavljam, da sem diplomsko delo naredil samostojno pod mentorstvomdoc. dr. Primoza Sparla.

Ljubljana, avgust 2017

Podpis avtorja: