UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOŠKA FAKULTETA

MATEJ MENCIN

SLUČAJNI GRAFIDIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOŠKA FAKULTETA

Univerzitetni študijski program 1. stopnje: Dvopredmetni učitelj

MATEJ MENCIN

Mentor: doc. dr. PRIMOŽ ŠPARL

SLUČAJNI GRAFIDIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2017

Zahvala

Težko je napisati zahvalo, ki bi imela to moč, da bi jo lahko občutili vsi, katerim semhvaležen, da so mi dali svoj trenutek in s tem nevede vplivali name. Pošiljam vam objemin prijetno zahvalo! Ta majhna pika · danes stoji tu zaradi vas. Iskreno bi se rad zahvaliltudi mentorju doc. dr. Primožu Šparlu za priložnost, vse popravke in strokovno pomoč pripisanju diplomskega dela. Uli, ki mi je spremenila življenje, in ne nazadnje tudi moji družiniza vso podporo in toplino doma. Hvala.

Povzetek

V diplomskem delu obravnavamo slučajne grafe. Pri tem predstavimo dva najbolj splošnamodela slučajnih grafov, ki jih v diplomskem delu imenujemo enakomerni model slučajnegagrafa in binomski model slučajnega grafa.

V enakomernem modelu slučajnega grafa se slučajnost izraža pri odločitvi, katerih m povezavbomo izbrali iz množice vseh možnih povezav, ki jih ima lahko graf na n vozlǐsčih. Podrugi strani se pri binomskem modelu slučajnega grafa slučajnost izraža tako, da za vsakomožno povezavo v grafu izvedemo Bernoullijev eksperiment z verjetnostjo p, kjer nam izideksperimenta določi, ali bomo to povezavo v graf vzeli ali ne. Za oba modela izračunamoin prikažemo rezultate za matematična upanja za različne lastnosti v grafih, kot so: številok-ciklov v grafu, število izoliranih vozlǐsč, število polnih podgrafov dane velikosti itd. Znamenom dobiti bolǰso predstavo o slučajnih grafih, si pogledamo številne konkretne zgledein rezultate računalnǐskih simulacij, iz katerih lahko razberemo �statistične verjetnosti�, dase v slučajnem grafu pojavijo določene lastnosti.

MSC 2010 klasifikacija: 05C80

Ključne besede: verjetnost, kombinatorika, teorija grafov, slučajni grafi.

Abstract

In this Bachelor degree thesis, we study random graphs. We focus on two of the mostcommon models of random graphs, which we call the uniform model of random graphs andthe binomial model of random graphs.

In the uniform model randomness is expressed via the decision of which m edges will bechosen from the set of all possible edges, that a graph on n nodes can have. On the otherhand, in the binomial model randomness is expressed in such a way, that we perform aBernoulli experiment with probability p for each possible edge, where the experiment’s outputdetermines whether or not the edge will be present in the graph. We calculate mathematicalexpectations for different properties in graphs for both models such as: the number of k-cyclesin the graph, the number of isolated nodes, the number of complete subgraphs of given orders,etc. In order to get a better understanding of random graphs we present concrete examplesand results of various computer simulations, enabling us to find “statistical probabilities”for certain properties to occur in a random graph.

MSC 2010 classification: 05C80

Key words: probability theory, combinatorics, graph theory, random graphs.

Kazalo

1 Uvod 1

2 Osnovni pojmi 52.1 Preštevanja in kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Teorija grafov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Verjetnost in diskretne slučajne spremenljivke . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Slučajni grafi 153.1 Erdős-Rényijev slučajni graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Matematično upanje v G(n,m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Slučajni graf Bernoullijevega eksperimenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Matematično upanje v G(n, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Sklepna beseda 31

Literatura 33

Poglavje 1

Uvod

Leta 1959, več kot 220 let po tem, ko je Eüler razrešil problem Königsbergških mostovin postavil temeljni kamen teorije grafov, sta madžarska matematika Paul Erdős in AlfredRényi zapisala svoje prve stavke zanimive teorije, ki danes nosi ime teorija slučajnih grafov 1

(več o njunem prvem članku lahko preberete v [7]). Od leta 1959 do leta 1968 sta s sku-pnim sodelovanjem izdala osem znanstvenih člankov, v katerih sta zapisala teorijo, ki na enistrani združuje verjetnost in na drugi strani kombinatoriko z vidika grafov. S tem sta namomogočila preučevanje grafov v nekoliko drugačni luči. �Statični grafi� s fiksnimi elementi(število vozlǐsč in povezav) in lastnostmi so se tako prelevili v dinamične objekte, katerihupodobitve so slučajne, njihove lastnosti pa se lahko �s časom� spreminjajo.

Da bi si nekoliko lažje predstavljali, kaj predstavlja pojem slučajnega grafa, si za začetekpoglejmo spodnji primer. Zamislimo si graf, v katerem so vozlǐsča grafa izbrana slovenskamesta, dve vozlǐsči pa sta povezani, če med pripadajočima mestoma obstaja neposrednaželeznǐska povezava (torej proga, ki na tem delu ne gre skozi nobeno izmed ostalih mest).Tako na primer Ljubljana in Koper nista povezana, saj je Koper v našem primeru neposre-dno povezan zgolj in samo s Pivko (pripadajoči graf je prikazan na levem delu slike 1.1). Čebi sedaj odstranili vse železnǐske proge (in s tem povezave v grafu), nato pa bi isto številopovezav naključno razporedili med vsemi mesti, bi tako dobili slučajen �graf slovenskihželeznic� in po možnosti tudi drugi tir, ki ima v naši upodobitvi (desni del slike 1.1) kardirektno povezavo med Koprom in Ljubljano.

Slika 1.1: Slučajni graf slovenskih železnic.

1Zasluge pri teoriji bi lahko pripisali tudi Anatolu Rapoportu, ki je prvi obranaval slučajne grafe, vendarne tako obsežno, kot sta to storila Paul Erdős in Alfred Rényi.

1

V kolikor bi zgornje �prerazporejanje povezav� ponovili večkrat, bi nas tako lahko zani-malo: ”Kolikšna je verjetnost, da bo imel slučajen graf slovenskih železnic direktno povezavomed Koprom in Ljubljano?� ali pa recimo: �Koliko postajalǐsč je v povprečju med Lju-bljano in Koprom (ne glede na zemljepisno lego posameznega mesta) pri poljubni realizacijislučajnega grafa?�.

Ena izmed nalog teorije slučajnih grafov je, da ǐsče odgovore na podobna vprašanja, le dase tu vprašanja zastavijo v jeziku teorije grafov in se glasijo na primer takole:

i. Koliko povezav mora imeti slučajen graf, da bomo z visoko verjetnostjo izbrali graf, kibo povezan?

ii. Kolikšna mora biti verjetnost povezave, da bo imel slučajen graf natanko k komponent?

iii. Kolikšna mora biti verjetnost povezave, da graf nima več izoliranih vozlǐsč?

Ob tem velja omeniti tudi to, da poznamo različne modele slučajnih grafov2 (ne samoomenjeni model slučajnih grafov, ki sta ga razvila Erdős in Rényi in ga bomo podrobnoobravnavali v našem diplomskem delu), ki pa so našli svoje mesto na (vsaj) dveh različnihpodročjih3. Tako ti modeli posegajo v kombinatoriko, po drugi strani pa se ukvarjajo s takoimenovano analizo in preučevanjem grafov oziroma omrežij.

Z vidika kombinatoričnega preučevanja nas pri slučajnih grafih zanima predvsem, ali pridanih začetnih omejitvah (na primer številu vozlǐsč in povezav) obstaja graf z določeno la-stnostjo, čeprav morda ne vemo, kako tak primer grafa izgleda in ga ne znamo konstruirati.Pri tem pa lahko za vsako trditev o obstoju postavimo odprt problem, ki sprašuje po algo-ritmu, ki bi tak graf lahko skonstruiral.

Z vidika analize omrežij so lahko slučajni grafi uporabljeni kot pomoč pri obravnavi kom-pleksnih omrežij (nevroni, socialne interakcije med ljudmi, širjenje pandemij ...). Za doberprimer lahko vzamemo družabno omrežje Facebook in njegov model, v katerem so vozlǐsčaomrežja uporabniki Facebooka, povezave med uporabniki pa so definirane kot prijateljstva.Torej je krog prijateljstva posameznega uporabnika (vozlǐsča) množica vseh tistih vozlǐsč,s katerimi je to vozlǐsče povezano, čemur v teoriji grafov pravimo soseščina vozlǐsča. Kotzanimivost omenimo, da je povprečno število prijateljstev za vozlǐsče podobno povprečni sto-pnji vozlǐsča v modelu slučajnih grafov. Mogoča uporabnost Erdős-Rényi modela slučajnegagrafa se tako kaže predvsem pri analizi kompleksnih omrežij. V kolikor namreč nekaj ustrezamodelu Erdős-Rényi, mora biti pripadajoči graf dobro strukturiran in predvsem slučajen[11]. Ker se v našem diplomskem delu ne osredotočamo na analitični vidik in kompleksnaomrežja, zainteresiranemu bralcu le priporočimo vira [2] in [3].

Za konec uvodnega poglavja bralcu na kratko predstavimo, kaj lahko pričakuje na nasle-dnjih straneh. V diplomskem delu se bomo v prvi vrsti posvetili elementarni predstavitvislučajnih grafov. Naš najpomembneǰsi cilj je bralca opremiti z osnovnim znanjem, da bolahko po prebranem samostojno nadaljeval s študijem slučajnih grafov in tako spoznal šedruge zanimive lastnosti, ki smo jih sami izpustili. Na začetku diplomskega dela se tako

2To so npr. model majhnega sveta (angl. Small world network), model Watts-Strogatza, Barabási-Albertov model, eksponentni model slučajnega grafa ...

3Kot zanimivost naj povemo, da sta slednje omenila tudi Erdős in Rényi, ko sta v svojem uvodnem člankuzapisala: �da bi lahko bili slučajni grafi zanimivi tudi iz ne matematičnega vidika�, s čimer se sam kot avtortega diplomskega dela strinjam, saj so slučajni grafi dobro didaktično orodje za učenje/premǐsljevanje olastnostih grafov.

2

seznanimo z osnovnimi pojmi kombinatorike, verjetnosti in teorije grafov, ki jih kasneje po-trebujemo pri vpeljavi pojma slučajnega grafa. Nato spoznamo osnovne lastnosti slučajnihgrafov in izračunamo matematična upanja določenih lastnosti v grafih. Pri sami obravnavisi na nekaterih mestih pomagamo tudi z računalnǐsko simulacijo, ki smo jo izvajali v pro-gramskem jeziku Python s knjižnico Networkx [12], nato pa dobljene rezultate tudi grafičnoprikažemo.

3

4

Poglavje 2

Osnovni pojmi

�Začni na začetku,� je resno dejal kralj,�in nadaljuj, vse dokler ne prideš do konca.

Šele tedaj se ustavi.�

Lewis Caroll, Alica v čudežni deželi.

V tem poglavju bomo vpeljali vse pojme, ki jih bomo pozneje potrebovali pri vpeljavislučajnega grafa in določanju matematičnih upanj za različne lastnosti v grafih. Že samnaslov diplomskega dela nam razodeva, da sta glavna stebra slučajnih grafov verjetnostin kombinatorika. Zato je na naslednjih nekaj straneh izbor vseh tistih definicij, trditevin izrekov, ki so nujni in potrebni za ustrezno razumevanje slučajnih grafov. Razdelek izkombinatorike in teorije grafov je povzet po [14], [16] in [17]. Razdelek iz verjetnosti inslučajnih spremenljivk pa po [5], [13] in [15].

2.1 Preštevanja in kombinatorika

Preštevanja in bolj splošno kombinatorika je del diskretne matematike, ki se med drugimukvarja z vprašanji o izborih in porazdelitvah, običajno na neki končni množici. Posameznik,ki se ukvarja z vprašanji preštevanja, lahko objekte, ki jih želi prešteti, združi v množico inji nato določi njeno kardinalnost oziroma moč. Pri določanju moči množice običajno izhajaiz dveh osnovnih izrekov, ki jima pravimo pravilo vsote in pravilo produkta.

Izrek 2.1 (Pravilo vsote). Naj bodo A1, A2, ..., An poljubne neprazne končne množice. Česo te množice paroma disjunktne, je moč unije teh množic enaka vsoti njihovih moči, torejvelja:

|n⋃

i=1

Ai| = |A1|+ |A2|+ · · ·+ |An| =n∑

i=1

|Ai|.

Izrek 2.2 (Pravilo produkta). Naj bodo A1, A2, ..., An poljubne neprazne končne množice.Tedaj je moč kartezičnega produkta danih množic enaka produktu njihovih moči, to je:

|n∏

i=1

Ai| = |A1 × A2 × · · · × An| = |A1| · |A2| · · · |An| =n∏

i=1

|Ai|.

5

Že v uvodu razdelka smo omenili, da nas pri preštevanju velikokrat zanimajo izbori. Ne-koliko poenostavljeno lahko rečemo, da želimo izvedeti, na koliko načinov lahko iz podaneganabora reči izberemo nekaj teh reči. Da bi lažje razumeli, kaj s tem mislimo, si oglejmospodnji primer:

Pri žrebanju neke igre na srečo je v bobnu za žreb na voljo 42 kroglic, ki so oštevilčene sštevili od 1 do 42. Pri žrebu iz bobna izvlečemo 6 kroglic, nas pa pri tem zanima, na kolikorazličnih načinov lahko to storimo.

V zgornjem primeru bi �pikolovski� posameznik pripomnil, da mu manjkata dve ključniinformaciji, ki definirata način izbiranja. Ena izmed pomembnih informacij izbora je od-govor na vprašanje: �Ali kroglice ob vsakem izboru vračamo nazaj v boben ali ne?�; drugapomembna informacija o izboru pa je odgovor na vprašanje: �Ali nam je vrstni red izbi-ranja pomemben ali ne?�. Ti dve podrobnosti seveda vplivata na število različnih izborov.Pri izborih zato govorimo, da so ti lahko urejeni, to so tisti izbori, kjer nam je vrstni redpomemben in jim pravimo tudi variacije. Lahko pa imamo tudi izbore, ki so neurejeni, to sotisti izbori, kjer nam vrstni red ni pomemben in jim pravimo tudi kombinacije. Definirajmosedaj vse štiri vrste izborov v definiciji, ki sledi.

Definicija 2.3. Naj bo A končna množica z n elementi. Kadar želimo iz množice A k-kratizbrati po en element, imamo naslednje načine izborov:

(i.) Variacije brez ponavljanja so načini izbiranja, kjer izbranih elementov ne vračamoin nam je vrstni red pomemben. Število vseh takih izborov označimo z V kn .

(ii.) Variacije s ponavljanjem so načini izbiranja, kjer izbrane elemente vračamo in namje vrstni red pomemben. Število takih izborov označimo s (p)V kn .

(iii.) Kombinacije brez ponavljanja so načini izbiranja, kjer izbranih elementov nevračamo in nam vrstni red ni pomemben. Število vseh takih izborov označimo z Kkn.

(iv.) Kombinacije s ponavljanjem so načini izbiranja, kjer izbrane elemente vračamo innam vrstni red ni pomemben. Število vseh iskanih izborov označimo s (p)Kkn.

Definicija 2.4. Naj bo A končna množica z n elementi. Kadar nas zanimajo urejeni izborielementov iz A brez ponavljanja in izbiramo n-krat, govorimo o permutacijah. Permutacijaje torej bijektivna preslikava množice nase.

Bralec naj se spomni, da za naravno številom definiramom! = m·(m−1)·(m−2) · · · 3·2·1.

Lema 2.5. Naj bo n naravno število in naj bo k ≤ n število izbiranj. Tedaj je

(i.) Število variacij brez ponavljanja enako:

V kn =n!

(n− k)!.

(ii.) Število variacij s ponavljanjem enako:

(p)V kn = nk.

6

(iii.) Število kombinacij brez ponavljanja enako:

Kkn =n!

(n− k)! · k!=

(n

k

).

(iv.) Število kombinacij s ponavljanjem enako:

(p)Kkn =

(n+ k − 1

k

).

2.2 Teorija grafov

V diskretno matematiko poleg kombinatorike uvrščamo tudi relativno mlado vejo matema-tike, ki ji pravimo teorija grafov. V preprosti razlagi so grafi objekti, sestavljeni iz vozlǐsč,ki so med seboj (lahko) povezana s povezavami.

Definicija 2.6. Enostaven (neusmerjen) graf Γ = (V (Γ), E(Γ)) je urejeni par nepraznemnožice vozlǐsč (točk) V (Γ) in množice E(Γ), ki sestoji iz (ne nujno vseh) dvoelementnihpodmnožic množice V (Γ). Elementom {u, v} ∈ E(Γ) pravimo povezave in jih ponavadizapǐsemo kar z uv, rečemo pa tudi, da sta vozlǐsči u in v v grafu povezani oziroma sosednji(kar označimo z u ∼ v) ter da sta krajǐsči povezave uv.Kardinanosti množice V (Γ) pravimo red grafa Γ.

Trditev 2.7. Naj bo Γ enostaven neusmerjen graf reda n. Tedaj ima Γ največ(n2

)povezav.

Dokaz. Vsaka povezava v grafu je natanko določena s pripadajočima vozlǐsčema (krajǐsči).Pri tem nas torej zanima, na koliko različnih načinov lahko iz množice V izberemo parvozlǐsč, ki bosta tvorili povezavo. Torej gre za kombinacije brez ponavljanja, kjer je k = 2in je zato vseh možnih izborov enako

(n2

), kot smo trdili.

Definicija 2.8. Stopnja vozlǐsča u v grafu Γ, ki jo označimo z degΓ(u) (oziroma deg(u), čeje graf Γ razviden iz konteksta), je število vseh povezav v grafu Γ, ki imajo eno izmed krajǐsčv u. Vozlǐsčem, ki so stopnje 0, pravimo izolirana vozlǐsča. Minimalno stopnjo v grafu Γoznačimo z δΓ, maksimalno stopnjo v grafu Γ pa z ∆Γ. Kadar so vsa vozlǐsča iste stopnje,torej ko je δΓ = ∆Γ = k za nek k, pravimo, da je Γ k-regularen graf.

Lema 2.9. (Lema o rokovanju) Naj bo Γ končen graf. Tedaj je vsota stopenj vseh njegovihvozlǐsč enaka dvakratniku števila njegovih povezav, to je∑

v∈V (Γ)

deg(v) = 2|E(Γ)|.

Dokaz. Vsaka povezava v grafu ima dve krajǐsči. Po definiciji je stopnja vozlǐsča u enakaštevilu vseh povezav, pri katerih je u eno izmed krajǐsč. Ko torej seštevamo stopnje vsehvozlǐsč, štejemo vse povezave po dvakrat, po enkrat v vsakemu izmed obeh krajǐsč.

Definicija 2.10. Zaporedje vozlǐsč (v0, v1, ..., vn) grafa Γ je sprehod, če za vse 0 ≤ i < nvelja vi ∼ vi+1. Doľzina tega sprehoda je n, torej je enaka številu vseh povezav, ki jih pri temprehodimo. Sprehod je enostaven, če so vse povezave v sprehodu paroma različne. Kadar soparoma različna tudi vsa vozlǐsča sprehoda, pravimo, da gre za pot. Če je začetno vozlǐsčeenako končnemu vozlǐsču (v0 = vn), pravimo, da gre za obhod. Cikel je obhod, kjer sta enakasamo začetno in končno vozlǐsče, preostala vozlǐsča pa so si paroma različna. Ciklu dolžinek pravimo k-cikel.

7

Definicija 2.11. Razdalja med parom vozlǐsč u in v v grafu Γ, ki jo označimo z d(u, v),je dolžina najkraǰse poti med vozlǐsčema u in v v grafu Γ, če le-ta obstaja. Kadar medvozlǐsčema u in v ni poti, je razdalja med njima enaka∞. Največja razdalja oziroma premer(oznaka diam(Γ)) je v grafu Γ definirana kot:

diam(Γ) = max {d(u, v) | u, v ∈ V (Γ)} .

Definicija 2.12. Naj bo Γ = (V,E) enostaven neusmerjen graf. Komponenta povezanostiv grafu Γ je vsaka maksimalna podmnožica množice vozlǐsč, v kateri med poljubnima vo-zlǐsčema obstaja pot. V primeru, ko ima graf Γ le eno komponento povezanosti, pravimo,da je povezan.

Definicija 2.13. Naj bo Γ = (V,E) enostaven neusmerjen graf. Tedaj je njegov komplementΓ graf z množico vozlǐsč V (Γ) in množico vseh tistih povezav, ki niso vsebovane v grafu Γ.(V Γ sta torej različni vozlǐsči povezani natanko tedaj, ko nista povezani v Γ).

Definicija 2.14. Naj bo n naravno število. Polni graf Kn je graf reda n, v katerem je medvsakim parom vozlǐsč povezava. Komplement polnega grafa je prazen graf.

Definicija 2.15. Povezan graf, ki ne premore nobenega cikla, je drevo. Če izpustimo pogojo povezanosti, torej imamo lahko več komponent, kjer je vsaka komponenta drevo, pravimo,da gre za gozd. Vozlǐsčem stopnje 1 v drevesu ali gozdu pravimo listi.

Trditev 2.16. Naj bo n naravno število. Število različnih izborov k-cikla v polnem grafu Knje enako:

Ckn =

(n

k

)(k − 1)!

2.

Dokaz. Iz množice vozlǐsč je potrebno izbrati k vozlǐsč, ki bodo tvorila k-cikel. Pri temimamo na voljo

(nk

)različnih načinov izbora.

Sedaj je potrebno prešteti število vseh različnih k-ciklov, katerih množica vozlǐsč je iz-brana k-elementna množica. Zanimajo nas torej vsi mogoči vrstni redi izbranih vozlǐsč.Pri tem je potrebno biti pozoren, da so si cikli (v0, v1, ..., vk, v0), (v1, v2, ..., vk, v0, v1), ...,(vk, v0, v1, ..., vk−1, vk), pa tudi (v0, vk, vk−1, ..., v1, v0), vsi enaki. Da bi se izognili večkratnemuštetju istih ciklov, bomo eno izmed vozlǐsč fiksirali in se vprašali o različnih vrstnih redih napreostalih k − 1 vozlǐsčih. A ker nam pri ciklu ni pomembna niti njegova smer, je potrebnoštevilo vseh mogočih permutacij deliti z dve. Torej je število različnih ciklov na k izbranihvozlǐsčih enako

(k − 1)!2

.

Po pravilu produkta je število vseh različnih k-ciklov v polnem grafu Kn enako:

Ckn =

(n

k

)(k − 1)!

2.

Definicija 2.17. Naj bosta Γ1 = (V1, E1) in Γ2 = (V2, E2) grafa. Preslikava ϕ : V1 → V2 jeizomorfizem grafov, če je bijektivna in za poljuben par vozlǐsč u1, v1 ∈ V1 velja

u1 ∼Γ1 v1 ⇐⇒ ϕ(u1) ∼Γ2 ϕ(v1).

Grafa Γ1 in Γ2 sta izomorfna (kar običajno označimo z Γ1 ∼= Γ2), če med njima obstaja kakizomorfizem.

8

Opomba. Izomorfizmi povzročijo to, da si različne (označene) grafe predstavljamo kot istigraf. Neoznačen graf je tako torej ravno ekvivalenčni razred relacije izomorfnosti na danimnožici grafov, kar nam prikazuje tudi slika 2.1. V nadaljevanju bomo grafom, ki so medse-bojno izomorfni, rekli, da spadajo v isti razred izomorfnosti.

Slika 2.1: Izomorfizmi označenih grafov in njihov razred izomorfnosti.

Definicija 2.18. Naj bosta Γ1 = (V1, E1) in Γ2 = (V2, E2) grafa. Tedaj je Γ1 podgraf grafaΓ2, če je V1 ⊆ V2 in E1 ⊆ E2. Kadar je V1 = V2, je Γ1 vpet podgraf grafa Γ2.

Definicija 2.19. Naj bo Γ = (V,E) graf. Množica S ⊆ V je neodvisna množica vozlǐsč vΓ, kadar za vsak par vozlǐsč u, v ∈ S velja, da v grafu Γ ni soseden. Kardinalnost največjeneodvisne množice v Γ označimo z α(Γ) in ji pravimo neodvisno število grafa Γ.

2.3 Verjetnost in diskretne slučajne spremenljivke

Verjetnost je pomembna matematična teorija, precej bolj laično pa bi lahko rekli, da je toveda, ki se ukvarja z napovedovanjem dogodkov na podlagi znanih informacij o opazovanemsistemu. V primeru diplomskega dela bo naš opazovani �sistem� množica grafov, v njempa bomo določali verjetnost, da ima naključno izbrani graf določeno lastnost. Posvetimo sesedaj matematični definiciji verjetnosti.

Definicija 2.20. Naj bo S neprazna množica, ki označuje množico vseh mogočih izidovopazovanega eksperimenta oz. �poskusa�. Množici S tedaj pravimo prostor izidov, pod-množicam A ⊆ S pa dogodki. Elementaren dogodek je vsak dogodek A, za katerega je|A| = 1.

Omeniti velja, da običajno v teoriji verjetnosti za dogodke ne prǐstevamo kar vse pod-množice množice S (še posebej v primerih, ko je množica S neskončna), vendar bomo midiplomskem delu stvari nekoliko poenostavili in torej za dogodke šteli kar vse podmnožiceprostora izidov. Množica vseh možnih dogodkov bo torej za nas vedno kar celotna potenčnamnožica P(S).

9

Definicija 2.21. Naj bo S prostor izidov. Verjetnostna funkcija P : P(S)→ R je funkcija,ki vsakemu dogodku A ⊆ S priredi realno število P(A) in to tako, da veljajo naslednjiaksiomi:

(i.) Aksiom 1: Za vsak A ⊆ S je 0 ≤ P(A) ≤ 1, to je, verjetnost poljubnega dogodka jemed vključno 0 in 1.

(ii.) Aksiom 2: P(S) = 1, to je, verjetnost celotnega prostora izidov je 1.

(iii.) Aksiom 3: Za poljubno števno družino paroma disjunktnih dogodkov A1, A2, ... velja

P(∞⋃i=1

Ai) =∞∑i=1

P(Ai).

V tem primeru paru (S,P) rečemo verjetnostni prostor.

Pogosto se zgodi, da imajo vsi elementarni dogodki isto verjetnost. Tedaj v primeru, daje |S| = n, sledi iz aksiomov 2 in 3, da imajo vsi elementarni dogodki verjetnost 1

n, verjetnost

dogodka A ⊆ S pa je enaka P(A) = |A|n

.

Definicija 2.22. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor. Pravimo, da sta dogodka A,B ⊆ Sneodvisna, če velja P(A ∩B) = P(A)P(B).

Omenimo sedaj še nekaj preprostih, a zelo pomembnih lastnosti verjetnosti, katerih do-kaze izpuščamo.

Lema 2.23. Za poljubna dogodka A,B ⊆ S velja:

(i.) Da je verjetnost komplementa dogodka A enaka P(Ac) = 1− P(A).

(ii.) Da kadar je A ⊆ B, velja tudi P(A) ≤ P(B).

(iii.) Da je verjetnost unije dogodkov A in B enaka P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(AB), kjerje AB definiran kot presek AB = A ∩B.

Pri obravnavi slučajnih dogodkov nas pogosto zanima verjetnost nekega dogodka A podpogojem, da se je zgodil še dogodek B. Govorimo o pogojni verjetnosti. V takih primerih senam prostor izidov S skrči na dogodek B. Torej nas zanima verjetnost dogodka A v prostoruizidov B. Zapǐsimo formalno v obliki definicije.

Definicija 2.24. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in naj bosta A,B ⊂ S takšna dogodka,da je P(B) > 0. Tedaj pogojno verjetnost dogodka A pri pogoju B definiramo kot

P(A|B) = P(AB)P(B)

.

Opomba. Izraz P(A|B) torej beremo kot: �Verjetnost dogodka A pod pogojem, da se jedogodil dogodek B�. Pravzaprav velja omeniti tudi naslednjo obliko zgornje enakosti:

P(AB) = P(B)P(A|B).

To dejstvo lahko posplošimo na poljubno število dogodkov. Dobimo naslednjo trditev.

10

Trditev 2.25. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in naj bodo A1, A2, ..., An taki dogodki, davelja P(A1A2...An−1) > 0. Tedaj velja

P(A1A2...An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) · · ·P(An|A1A2 · · ·An−1).

Pri računanju verjetnosti nas včasih ne zanima zgolj eksplicitni izid nekega poskusa.Namesto da bi nas zanimala verjetnost, da bo na igralni kocki padlo 5 pik, bi nas na primerlahko zanimala verjetnost, da bo vsota padlih pik na dveh kockah enaka 7. V takšnih primerihnas torej zanima verjetnost, da ima neka funkcija, ki je odvisna od izidov enega ali več (nenujno enakih) poskusov, neko vrednost. Takrat govorimo o slučajnih spremenljivkah, ki jihbomo na kratko omenili v nadaljevanju.

Definicija 2.26. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor. Funkciji X : S → IR, ki vsakemu ele-mentu s iz S priredi realno število X(s), pravimo slučajna spremenljivka. Vsem mogočim vre-dnostim, ki jih lahko slučajna spremenljivka X zavzame, pravimo zaloga vrednosti slučajnespremenljivke X in jo označimo z ZX .

Dogovor. Dogovorimo se, da bomo z �X = k� označili dogodek, da X zavzame vrednost k,torej množico

{s ∈ S|X(s) = k}.

Definicija 2.27. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X : S → IR slučajna spremenljivka.Če je ZX končna ali kvečjemu števno neskončna množica, je X diskretna slučajna spremen-ljivka.

Trditev 2.28. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor, kjer je S števna množica, naj bo X diskre-tna slučajna spremenljivka na (S,P) in naj bo k vrednost, ki jo X lahko zavzame. Verjetnostdogodka �X = k� je tedaj enaka

P(X = k) =∑

s∈S:X(s)=k

P(s).

Definicija 2.29. Naj bo X slučajna spremenljivka, katere edini možni vrednosti sta 0 in 1.Taki slučajni spremenljivki pravimo Bernoullijeva slučajna spremenljivka.

Definicija 2.30. Binomska slučajna spremenljivka X s parametroma n in p, kjer je n na-ravno število in je 0 ≤ p ≤ 1, je slučajna spremenljivka z ZX = {0, 1, ..., n}, za vsakm ∈ {0, 1, 2, ..., n} pa velja

P(X = m) =(n

m

)pm(1− p)n−m.

Pomembna vrednost, povezana s slučajno spremenljivko X, je njeno matematično upanjeoziroma pričakovana vrednost. Gre za neke vrste uteženo povprečje vseh vrednosti slučajnespremenljivke glede na pripadajoče verjetnosti posameznih vrednosti znotraj verjetnostnegaprostora.

Definicija 2.31. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X diskretna slučajna spremenljivkana (S,P). Matematično upanje slučajne spremenljivke X, ki ga označimo z E(X), je tedaj

E(X) =∑x∈ZX

xP(X = x).

11

Opomba. V primeru, da je prostor izidov S števen, lahko matematično upanje pǐsemo tudikot E(X) =

∑s∈S

X(s)P(s).

Ena lepših in pomembneǰsih lastnosti matematičnega upanja je njegova aditivnost. Go-vorimo o aditivnosti v smislu, da je pričakovana vrednost vsote slučajnih spremenljivk enakavsoti pričakovanih vrednosti teh slučajnih spremenljivk. Vsota dveh slučajnih spremenljivk,kjer seštevamo �po točkah�, je spet slučajna spremenljivka. Zato res lahko govorimo oupanju vsote slučajnih spremenljivk.

Trditev 2.32 (Aditivnost matematičnega upanja). Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in najbo Xi diskretna slučajna spremenljivka na (S,P) za vse 1 ≤ i ≤ n. Tedaj je

E(n∑

i=1

Xi) =n∑

i=1

E(Xi).

Dokaz. Trditev bomo dokazali za primer dveh slučajnih spremenljivk. Ta rezultat lahkopotem z indukcijo na n posplošimo na končno mnogo slučajnih spremenljivk Xi (podrobnostiprepuščamo bralcu). Naj bo X = X1 + X2 . Če upoštevamo definicijo 2.31, lahko E(X)zapǐsemo tudi kot:

E(X1 +X2) = E(X) =∑x∈ZX

xP(X = x) =∑

x1∈ZX1 ,x2∈ZX2

(x1 + x2)P(X1 = x1, X2 = x2)

=∑

x1∈ZX1

∑x2∈ZX2

(x1 + x2)P(X1 = x1, X2 = x2)

=∑

x1∈ZX1

x1∑

x2∈ZX2

P(X1 = x1, X2 = x2) +∑

x2∈ZX2

x2∑

x1∈ZX1

P(X1 = x1, X2 = x2)

=∑

x1∈ZX1

x1P(X1 = x1) +∑

x2∈ZX2

x2P(X2 = x2) = E(X1) + E(X2).

V prvem koraku smo zapisali matematično upanje za dve slučajni spremenljivki in natorazbili vsoto na dva dela. Ker pri vsoti

∑x2∈ZX2

P(X1 = x1, X2 = x2) slučajna spremenljivkaX2 zavzame vso svojo zalogo vrednosti, je zgornja vsota kar enaka P(X1 = x1). Povsemenak razmislek obvelja tudi za vsoto

∑x1∈ZX1

P(X1 = x1, X2 = x2). Zadnja enakost sledi izdefinicije matematičnega upanja.

V zvezi s trditvijo 2.32 velja pripomniti, da aditivnost povprečja ne velja samo za ne-odvisne slučajne spremenljivke, ampak tudi za slučajne spremenljivke, ki so medsebojnoodvisne. Zapǐsimo še lastnost homogenosti povprečja, ki jo prikazuje spodnja lema, prikateri izpuščamo dokaz.

Lema 2.33. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X diskretna slučajna spremenljivka na(S,P). Tedaj za poljuben c ∈ R velja

E(cX) = cE(X).

Neposredno iz definicije sledi naslednja trditev, ki podaja matematično upanje Bernoul-lijeve slučajne spremenljivke.

Trditev 2.34. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X Bernoullijeva slučajna spremenljivkana (S,P) s parametrom p, kjer je 0 ≤ p ≤ 1. Tedaj je matematično upanje slučajne spre-menljivke X enako

E(X) = p.

12

Trditev 2.35. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X binomska slučajna spremenljivka na(S,P) s parametroma n in p, kjer je n naravno število in 0 ≤ p ≤ 1. Tedaj je matematičnoupanje slučajne spremenljivke X enako

E(X) = np.

Dokaz. Binomska slučajna spremenljivka X meri število ugodnih izidov pri n ponovitah Ber-noullijevega poskusa meta kovanca, torej je X = X1 +X2 + · · ·+Xn, kjer je Xi Bernoullijevaslučajna spremenljivka s parametrom p in je za vsak 1 ≤ i ≤ n njeno matematično upanjeenako E(Xi) = p. Po aditivnosti matematičnega upanja sledi

E(X) = E(X1 +X2 + · · ·+Xn) = E(X1) + E(X2) + · · ·+ E(Xn) =n∑

i=1

E(Xi) = np.

Definicija 2.36. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X diskretna slučajna spremenljivkana (S,P). Varianca (oznaka Var(X)) in standardni odklon (oznaka σ(X)) slučajne spremen-ljivke X sta definirana kot

Var(X) = E[(X − E(X))2]

σ(X) =√

Var(X).

Opomba. Varianca nam meri razpršenost in oddaljenost vrednosti X od pričakovane vredno-sti E(X). Varianco lahko po linearnosti povprečja zapǐsemo tudi kot

Var(X) = E[(X − E(X))2] = E(X2 − 2E(X)X + E(X)2)= E(X2)− 2E(X)E(X) + E(X)2

= E(X2)− E(X)2.

Preden podamo naslednjo trditev, ki pove, da je v dovolj lepih primerih aditivna tudivarianca, se dogovorimo, da sta slučajni spremenljivki X in Y neodvisni, če sta za poljubnax, y ∈ R dogodka �X ≤ x� in �Y ≤ y� neodvisna.

Trditev 2.37 (Bienaymejeva formula). Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X =n∑i

Xi

diskretna slučajna spremenljivka na (S,P), kjer so Xi neodvisne slučajne spremenljivke zavse 1 ≤ i ≤ n. Tedaj velja:

Var(n∑

i=1

Xi) =n∑

i=1

Var(Xi).

Dokaz. Trditev bomo ponovno dokazali na primeru dveh neodvisnih slučajnih spremenljivkX1 in X2. Ta dokaz pa bi lahko z indukcijo posplošili na končno mnogo neodvisnih diskretnihslučajnih spremenljivk. Naj bo X = X1 +X2. Iz definicije variance sledi, da je

Var(X) = Var(X1 +X2) = E((X1 +X2))2 − (E(X1 +X2))2

= E((X21 + 2X1X2 +X22 )− (E(X1) + E(X2))2

= E(X21 ) + E(2X1X2) + E(X22 )− (E(X1))2 − 2E(X1)E(X2)− (E(X2))2

= E(X21 )− (E(X1))2 + E(X22 )− (E(X2))2 = Var(X1) + Var(X2).

Pri čemer smo upoštevali, da za neodvisni slučajni spremenljivki X in Y velja E(XY ) =E(X)E(Y ), v kar se bo bralec prepričal sam.

13

Izračunajmo sedaj varianco za Bernoullijevo in binomsko slučajno spremenljivko.

Trditev 2.38. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X Bernoullijeva slučajna spremenljivkana (S,P) s parametrom p, kjer je 0 ≤ p ≤ 1. Tedaj je varianca slučajne spremenljivke Xenaka

Var(X) = p(1− p).

Trditev 2.39. Naj bo (S,P) verjetnostni prostor in X =n∑

i=1

Xi binomska slučajna spre-

menljivka na (S,P), sestavljena iz n neodvisnih Bernoullijevih slučajnih spremenljivk Xi sparametrom p, kjer je 0 ≤ p ≤ 1. Tedaj je varianca slučajne spremenljivke X enaka

Var(X) = np(1− p).

Dokaz. Naj bo X = X1 + X2 + · · · + Xn sestavljena iz neodvisnih Bernoullijevih slučajnihspremenljivk Xi, kjer je za 1 ≤ i ≤ n varianca Xi enaka Var(Xi) = p(1−p). Ob upoštevanjutrditve 2.37 sledi, da je

Var(X1 +X2 + · · ·+Xn) = Var(X1) + Var(X2) + · · ·+ Var(Xn) =n∑

i=1

Var(Xi) = np(1− p).

14

Poglavje 3

Slučajni grafi

V tem poglavju se bomo seznanili z glavno tematiko diplomskega dela. Spoznali bomo dvanajbolj splošna modela slučajnih grafov. To sta tako imenovani enakomerni model slučajnegagrafa, pri katerem je število vozlǐsč n in število povezav m v grafu vnaprej določeno. V temprimeru se slučajnost odraža v odločitvi, katerih m povezav izberemo, enakomernost pa vtem, da so vse izbire enako verjetne. Pri drugem modelu gre za binomski model slučajnihgrafov, kjer za vsako povezavo v grafu izvedemo Bernoullijev eksperiment z verjetnostjo p,ki odloči, ali graf to povezavo ima ali ne.

Definicija 3.1. Model slučajnih grafov G je verjetnostni prostor, pri čemer so elementiprostora izidov grafi, verjetnost posameznega izida pa je podana glede na izbrani model.

Dogovor. Na tem mestu je potrebno opozoriti na samo terminologijo v zvezi z izrazomslučajni graf. Slučajni graf lahko razumemo kot model slučajnih grafov, ki je torej množicaG vseh obravnavanih grafov (z neko skupno lastnostjo), skupaj s pripadajočo verjetnostnofunkcijo. Lahko pa bi tudi pomislili na naključno izbrani graf Γ iz prostora izidov G. Zatose dogovorimo, da bomo v nadaljevanju pod izrazom �model slučajnih grafov� mislili naceloten verjetnostni prostor G, medtem ko se bomo z izrazom �slučajni graf� sklicevali napoljubni element/graf modela G.

3.1 Erdős-Rényijev slučajni graf

V tem razdelku bomo vpeljali Erdős-Rényijeve slučajne grafe. To je model, v katerem soelementi grafi na predpisanem številu (n) vozlǐsč in s predpisanim številom (m) povezav. Dabi si nekoliko lažje predstavljali, kako dobimo tak graf, si zamislimo, da imamo na začetkuprazen graf, ki ima n vozlǐsč, potem pa želimo iz množice vseh možnih povezav izbrati mpovezav. Zanimajo nas torej vse mogoče kombinacije.

Definicija 3.2. Naj bo n naravno število in 0 ≤ m ≤(n2

)= N . Tedaj je model slučajnega

grafa G(n,m) verjetnostni prostor vseh (označenih) grafov na množici vozlǐsč V = {1, 2, ..., n}z natanko m povezavami, pri čemer so vsi grafi enako verjetni.

Trditev 3.3. Naj bo n naravno število in 0 ≤ m ≤(n2

)= N . Tedaj ima vsak slučajni graf

Γ verjetnostnega prostora G(n,m) verjetnost izbora

P(Γ) =(N

m

)−1.

15

Slika 3.1: Prostor izidov Erdős-Rényijevih slučajnih grafov za n = 4 in m = 2.

Dokaz. V trditvi 2.7 smo pokazali, da ima lahko enostaven označen graf z n vozlǐsči največ(n2

)= N povezav. Ker nas v modelu slučajnega grafa G(n,m) zanimajo zgolj grafi z m

povezavami, nas zanima število različnih (neurejenih) izborov m povezav iz množice vsehmožnih povezav, torej iz množice velikosti N . Po lemi 2.5 je možnih izborov

(Nm

). Ker imajo

vsi grafi enako verjetnost izbora, sledi, da je verjetnost, da bomo pri naključnem izboruizbrali dani graf iz modela G(n,m), enaka

P(Γ) =(N

m

)−1.

Terminologija. Slučajni graf, ki je bil izbran v modelu G(n,m), bomo v nadaljevanju označevaliz Γ(n,m) oziroma tudi kar z Γ, če bo ostalo razvidno iz konteksta, in mu pravili enakomernislučajni graf.

Zgled. Poglejmo si primer modela slučajnega grafa G(6, 3). Vsi grafi tega modela imajon = 6 vozlǐsč in m = 3 povezave. V temu modelu je torej 455 =

(153

)različnih označenih

grafov. Ni se težko prepričati, da med vsemi obstaja le pet različnih izomorfnostnih razredov.Predstavniki so prikazani na sliki 3.2.

Slika 3.2: Vsi paroma neizomorfni grafi v Erdős-Rényijevem modelu slučajnih grafov za n = 6 inm = 3.

Preštejmo, koliko grafov vsebuje vsak izmed razredov izomorfnosti:

16

(i.) Tip Γ1 vsebuje 20 =(

63

)grafov. Potrebno je prešteti vse mogoče izbore vozlǐsč 3-cikla.

(ii.) Tip Γ2 vsebuje 180 = 2(

64

)(42

)grafov. Izberemo si 4 vozlǐsča, ki tvorijo pot. Nato v

četverici vozlǐsč izberemo dve vozlǐsči, ki sta stopnje dve, nato pa še katero je povezanos katerim izmed vozlǐsč stopnje 1.

(iii.) Tip Γ3 vsebuje 60 =(

63

)(31

)grafov. Izberemo si tri vozlǐsča stopnje 1, nato pa izmed

preostalih vozlǐsč izberemo tistega, ki ima stopnjo 3.

(iv.) Tip Γ4 vsebuje 180 =(

63

)(31

)(32

)grafov. Izberemo trojico vozlǐsč, ki bodo skupaj tvorila

pot doľzine dve. Nato izbrani trojici izberemo srednje vozlǐsče. Iz preostalih treh vozlǐsčizberemo dve, ki bosta tvorili preostalo povezavo.

(v.) Tip Γ5 vsebuje 15 =(

51

)(31

)grafov. Najprej izberemo soseda vozlǐsču 1 (pri tem imamo

5 možnosti), nato izberemo še soseda tistega od preostalih vozlǐsč, ki ima najmanǰsovrednost (2, če ni sosed od 1, sicer 3).

Opomba. V zgornjih razredih izomorfnosti lahko opazimo, da imajo grafi različno število izo-liranih vozlǐsč. Opazimo, da je zaloga vrednosti slučajne spremenljivke, ki za model G(6, 3)meri število izoliranih vozlǐsč, enaka ZX = {0, 1, 2, 3}. Oglejmo si, kakšno je matematičnoupanje za število izoliranih vozlǐsč v modelu G(6, 3).

Zgled. Naj bo X diskretna slučajna spremenljivka, ki meri število izoliranih vozlǐsč v grafihmodela G(6, 3). Kot smo že videli, je ZX = {0, 1, 2, 3}. Matematično upanje za številoizoliranih vozlǐsč naključno izbranega grafa je torej enako

E(X) =3∑

k=0

kP(X = k) = 0 · 15455

+ 1 · 180455

+ 2 · 240455

+ 3 · 20455

= 1, 582417...

3.2 Matematično upanje v G(n,m)V tem razdelku bomo za različne podgrafe izračunali matematična upanja za njihovo številov modelu G(n,m). Za začetek si poglejmo kraǰsi zgled.Zgled. Izračunajmo matematično upanje za število kopij K3 v modelu G(4, 4). Najprej opa-zimo, da je v modelu G(4, 4) natanko 15 =

(64

)različnih označenih grafov. Pri tem nas

zanimajo tisti grafi Γ, ki imajo vsebovano kopijo K3. Da bi štetje kopij K3 v danem grafu Γzapisali v matematičnem jeziku, bomo definirali indikatorsko funkcijo IΓ, katere definicijskoobmočje bo množica vseh trojic vozlǐsč in ki bo imela vrednost 1, kadar bo izbrana trojicavozlǐsč u, v, w ∈ V = V (Γ) s povezavami, ki so v Γ, tvorila K3, in bo imela vrednost 0, kadarta trojica vozlǐsč ne bo tvorila K3.

Sedaj lahko opǐsemo, kako bomo prešteli vse K3 v izbranem grafu. Enostavno bomo za vsakgraf Γ iz G(4, 4), za vsako njegovo trojico vozlǐsč z indikatorsko funkcijo IΓ preverili, ali tatvori tricikel, torej bo vsota vseh teh vrednosti ravno število vseh triciklov v posameznemgrafu. Naj bo X slučajna spremenljivka za �število kopij K3� v danem grafu. Kot rečeno,je torej

X(Γ) =∑

u,v,w∈V

IΓ(u, v, w).

17

Ker imajo vsi grafi enako verjetnost izbora 115

, je torej matematično upanje za številokopij K3 v modelu G(4, 4) enako

E(X) =1

15

∑Γ∈G(4,4)

∑u,v,w∈V

IΓ(u, v, w).

Brez težav se lahko prepričamo, da ima model G(4, 4) dva razreda izomorfnosti, kjer prvirazred ne vsebuje K3, medtem ko ima drugi vsebovan en podgraf K3 (slika 3.3).

Slika 3.3: Oba razreda izomorfnosti v Erdős-Rényijevem modelu slučajnih grafov G(4, 4).

Vseh grafov drugega razreda je 12 =(

43

)(31

)(sprva si izberemo tri vozlǐsča, ki bodo

tvorila tricikel, nato pa v izbrani trojici vozlǐsč izberemo vozlǐsče, ki ga povežemo z edinimpreostalim vozlǐsčem), preostali trije grafi pa so potem v prvem razredu. Torej je pričakovanoštevilo kopij K3 v modelu G(4, 4) enako

E(X) =1

15(3 · 0 + 12 · 1) = 4

5.

Posplošimo zgornji zgled in prikažimo splošen rezultat za pričakovano število kopij K3 vpoljubno izbranem modelu slučajnih grafov G(n,m).

Trditev 3.4. Naj bo n naravno število in 0 ≤ m ≤(n2

)= N . V modelu G(n,m) je mate-

matično upanje za število kopij polnega grafa K3 kot podgrafa enako

(n

3

)(m3

)(N

3

) .Dokaz. Naj bo V = {1, ..., n} množica vozlǐsč grafov iz modela G(n,m) in naj bo X slučajnaspremenljivka za število kopij K3 v grafih iz G(n,m). Naj bo Γ ∈ G(n,m). Kot v zgornjemzgledu naj bo indikatorska funkcijo IΓ definirana tako, da izbrani trojici vozlǐsč u, v, w iz Γpriredi vrednost 1, če trojica v Γ tvori K3, sicer ji priredi vrednost 0. Matematično upanjeza število triciklov v modelu G(n,m) je tedaj po trditvi 3.3 enako

E(X) =(N

m

)−1 ∑Γ∈G(n,m)

∑u,v,w∈V

IΓ(u, v, w).

Zamenjajmo vrstni red zgornjih vsot. S tem bomo za vsako trojico vozlǐsč u, v, w preštevali,v koliko različnih grafih Γ ta trojica tvori K3. Dobimo

E(X) =(N

m

)−1 ∑u,v,w∈V

∑Γ∈G(n,m)

IΓ(u, v, w).

18

Pri prvi vsoti nas torej zanimajo vsi izbori treh različnih vozlǐsč, zato imamo na voljo(n3

)možnosti. Nato pri izbrani trojici vozlǐsč preštejemo število vseh grafov Γ v G(n,m), kivsebujejo izbrane tri povezave. Ker imajo vsi grafi iz G(n,m) po m povezav, si moramotorej izbrati še preostalih m− 3 povezav, za kar imamo na voljo

(N−3m−3

)različnih kombinacij.

Ob upoštevanju pravila produkta je tako pričakovano število kopij K3 enako

E(X) =(n

3

)(N − 3m− 3

)(N

m

)

=

(n

3

)Nm

(N − 1)(m− 1)

(N − 2)(m− 2)

(N − 3m− 3

)N

m

(N − 1)(m− 1)

(N − 2)(m− 2)

(N

m

)

=

(n

3

)m(m− 1)(m− 2)N(N − 1)(N − 2)

=

(n

3

)(m3

)(N

3

) .

Ilustrirajmo rezultat zgornje trditve in izračunajmo matematično upanje za število trici-klov v modelu G(4,m) pri različnem številu povezav m.Zgled. Kot kaže tabela 3.1, se z vsako dodano povezavo v grafu poveča matematičo upanje,da bo graf imel vsebovan K3 (seveda pa je za m < 3 le-to enako 0).

Tabela 3.1: Matematično upanje za število K3 pri različnem številu povezav.

m |G(4,m)| E(X) Opis in izračun.

0 1 0

(4

3

)(0

3

)(6

3

)−1= 0

1 6 0

(4

3

)(1

3

)(6

3

)−1= 0

2 15 0

(4

3

)(2

3

)(6

3

)−1= 0

3 201

5

(4

3

)(3

3

)(6

3

)−1=

1

5

4 154

5

(4

3

)(4

3

)(6

3

)−1=

4

5

5 6 2

(4

3

)(5

3

)(6

3

)−1= 2

6 1 4

(4

3

)(6

3

)(6

3

)−1= 4

Opomba. Morda nekoliko zanimiveǰsa posledica zgornje trditve je ta, da je pri m ≥ n + 1matematično upanje za število kopij K3 v modelu G(n,m) zagotovo večje od 1. Rezultat

19

sledi iz preprostega razmisleka. Graf, ki je na 4 vozlǐsčih in ima vsaj 5 povezav, bo zagotovoimel tricikel. Z nekaj matematične telovadbe (ki je podana v (3.1)) pa lahko dokažemo, da jelimita limn→∞ E(X) pri m = n+ 1 enaka 43 . A je potrebno bralca tudi opozoriti. Zagotovilo,da je matematično upanje E(X) ≥ 1, nam ne zagotavlja, da bo imel poljubno izbrani graf, kiga bomo naključno izbrali, zagotovo vsebovan vsaj en K3. Da se lahko o tem prepričamo, sipoglejmo spodnji graf, ki prikazuje rezultate za naključno računalnǐsko zgenerirane grafe prin vozlǐsčih in m = n+ 1 povezavah, kjer nas zanima, ali ima naključno izbrani graf vsaj enK3. Prikazan je delež grafov, ki imajo vsaj en K3, torej graf ponazarja verjetnost P(X ≥ 1).Na tem mestu bi želel omeniti tudi, da izračun verjetnosti, da bo imel graf neko lastnost,ni povsem trivialna naloga, kar se lahko bralec prepriča tudi sam in se poiskusi v računanjuverjetnosti P(X ≥ 1) za zgornji primer.

limn→∞

(n

3

)(n+ 13

)((n

2

)3

) = 83!

limn→∞

(n+ 1)n2(n− 1)2(n− 2)n(n− 1)(n(n− 1)− 2)(n(n− 1)− 4)

=4

3limn→∞

n2 − nn2 − n− 4

=4

3.

(3.1)

Graf nam prikazuje rezultate za �statistično� verjetnost P(X ≥ 1), kjer je X slučajnaspremenljivka za število kopij K3 v modelu G(n, n+ 1). Število vseh ponovitev pri simulacijije bilo za vsak n enako 100.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Število vozlǐsč [n]

P(X≥

1)

V zgornjih rezultatih lahko opazimo, da je delež grafov v modelu G(n, n+1), ki premorejo3-cikel, nekoliko manj kot 3

4. Odgovor na vprašanje o tem, kako se nam verjetnost P(X ≥ 1)

spreminja v odvisnosti od števila povezav v grafu, pa pustimo zaenkrat odprto.

Kot zanimivost omenimo še Turánov izrek 1, ki med drugim pravi, da bo imel graf reda n

1Dokaz izreka lahko bralec najde v [1] ali [6].

20

zagotovo vsebovan vsaj en tricikel, ko bo imel vsaj m = bn24c+ 1 povezav. Turánov izrek je

sicer tudi bolj splošen v smislu, da za vsak s ≥ 3 pove, koliko povezav mora imeti graf redan, da bo zagotovo vseboval poln podgraf velikost s+ 1. Potrebuje jih vsaj b(1− 1

s) · n2

2+ 1c.

V zvezi s tem je zanimiva tudi naslednja trditev.

Trditev 3.5. Naj bo n naravno število, naj bo 0 ≤ m ≤(n2

)= N in naj bo s ≥ 3. Tedaj je

matematično upanje za število kopij polnega grafa Ks v modelu G(n,m) enako

(n

s

)(m(s2

))(N(s2

)) .Dokaz. Naj bo V = {1, 2, ..., n} in Γ ∈ G(n,m). Naj bo Ps množica vseh različnih kombinacijizbora s vozlǐsč iz množice vozlǐsč V . Tokrat naj bo IΓ indikatorska funkcija z domeno Ps,ki ima vrednost 1, ko množica A ∈ Ps s povezavami iz Γ tvori polni graf, sicer ima vrednost0.

Matematično upanje za slučajno spremenljivko X, ki meri število kopij polnega grafa Ksv modelu G(n,m), je torej enako:

E(X) =(N

m

)−1 ∑A∈Ps

∑Γ∈G(n,m)

IΓ(A).

Pri prvi vsoti je število vseh različnih izborov s vozlǐsč iz množice V enako(ns

). Pri drugi

vsoti nas zanima število grafov v modelu G(n,m), za katere je A induciran poln podgraf.Torej nas zanima število vseh mogočih grafov, ki jih lahko konstruiramo s povezavami, ki sonam še preostale, kar je enako (

N −(s2

)m−

(s2

)).Matematično upanje za število kopij Ks v modelu G(n,m) je torej enako

E(X) =(N

m

)−1(n

s

)(N −

(s2

)m−

(s2

))

=

(n

s

)(m(s2

))(N(s2

)) ,v kar se prepričamo s podobnim računom kot v dokazu trditve 3.4.

V zaključni fazi tega razdelka bomo izračunali še matematično upanje za število kopijk-ciklov v slučajnih grafih modela G(n,m). Glavno sporočilo tega poglavja sicer niso konkre-tne trditve, ki jih dokazujemo, temveč zavedanje, da bi lahko načeloma za poljuben podgraf,ki si ga zamislimo, izračunali matematično upanje za število takšnih podgrafov v modeluG(n,m). Zanimivost te ideje se kaže v tem, da bi nas lahko npr. pri kemiji pri opazovanjuneke molekulske strukture zanimalo, kolikšno je matematično upanje, da je v njeni sestaviinducirana določena podstruktura (podgraf), pod pogojem, da imamo podano število �pove-zav�. Seveda je potrebno tu tudi pripomniti, da modela slučajnih grafov nikakor ne smemokar enačiti s kompleksnim omrežjem molekul, vsaj z vidika slučajnosti, kajti težko bi biloverjeti, da svet na mikroravni kroji čisti slučaj.

21

Trditev 3.6. Naj bo n naravno število, naj bo 0 ≤ m ≤(n2

)= N in naj bo k ≥ 3. Tedaj je

matematično upanje za število k-ciklov v modelu G(n,m) enako

(k − 1)!2

(n

k

)(mk

)(N

k

) .Dokaz. Po trditvi 2.16 je število k-ciklov v polnem grafu reda n enako

Ckn =

(n

k

)(k − 1)!

2.

Ker imamo pri izbranem ciklu potem še m−k povezav, ki jih lahko izbiramo iz množice N−kmogočih povezav, je po podobnem premisleku, kot v dokazih trditev 3.4 in 3.5, pričakovanoštevilo k-ciklov enako

E(X) =(k − 1)!

2

(n

k

)(N − km− k

)(N

m

)

=(k − 1)!

2

(n

k

)(mk

)(N

k

) .

22

3.3 Slučajni graf Bernoullijevega eksperimenta

V tem razdelku se bomo posvetili nekoliko drugačnemu modelu slučajnih grafov. Kot smoomenili že v uvodu v poglavje, se tu za vsako možno povezavo v grafu posebej odločamo, alinaj jo v graf vzamemo ali ne, število povezav grafa pa vnaprej ni fiksno določeno.

Definicija 3.7. Naj bo n naravno število in 0 ≤ p ≤ 1. Model slučajnih grafov G(n, p) jeverjetnostni prostor vseh označenih grafov na množici vozlǐsč V = {1, 2, ..., n}, kjer za vsakomožno povezavo v grafu neodvisno izvedemo Bernoullijev eksperiment z verjetnostjo p.

Slika 3.4: Prostor izidov v modelu slučajnih grafov G(4, p).

Terminologija. Slučajni graf, ki je bil izbran v modelu G(n, p), bomo v nadaljevanju označevaliz Γ(n,p) in mu pravili binomski slučajni graf.

Povsem jasno je, da bomo (razen seveda, če je p = 0 ali p = 1) za različne realizacijeslučajnega grafa s parametroma n in p praviloma dobili nekoliko drugačne grafe. Takose bodo pri različnih realizacijah zamenjale stopnje vozlǐsč, načini, kako so vozlǐsča medseboj povezana, ob tem pa tudi samo število povezav m. Glede na to, da je v modeluErdős-Rényijevih slučajnih grafov število povezav že vnaprej določeno s parametrom m, bibilo dobro vedeti, kako je s številom povezav v binomskem modelu slučajnega grafa. Da biizračunali matematično upanje za število povezav, si najprej poglejmo, kolikšna je verjetnost,da bomo v modelu G(n, p) izbrali graf z m povezavami.

Trditev 3.8. Naj bo n naravano število, naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in naj bo 0 ≤ m ≤(n2

), X pa naj

bo slučajna spremenljivka, ki v modelu G(n, p) meri število povezav. Tedaj je

P(X = m) =((n

2

)m

)pm(1− p)(

n2)−m.

Dokaz. Ker se za vsako možno povezavo neodvisno z verjetnostjo p odločimo, ali jo bomov graf vzeli ali ne, gre v resnici za binomsko porazdelitev s številom ponovitev

(n2

). Zadeva

sedaj sledi iz definicije 2.30.

23

Od tu tudi takoj sledi naša naslednja trditev, ki nam določi matematično upanje zaštevilo povezav v modelu G(n, p).

Trditev 3.9. Naj bo n naravano število, naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in X slučajna spremenljivka zaštevilo povezav grafov v modelu G(n, p). Tedaj velja

E(X) =(n

2

)p.

Dokaz. Kot smo trdili že v dokazu trditve 3.8, gre za binomsko porazdelitev s številomponovitev

(n2

). Zadeva sledi iz trditve 2.35, v kateri smo izračunali matematično upanje za

binomsko slučajno spremenljivko.

Da si bomo v �praksi� predstavljali, kaj pomeni posamezni �žreb� binomskega slučajnegagrafa Γ(n,p), si poglejmo nekaj slikovnih primerov in naredimo še kraǰsi zgled. Prva slika pri-kazuje štiri naključne realizacije binomskega modela slučajnega grafa pri n = 22 in p1 =

122

,p2 =

16, p3 =

12

in p4 =58.

Slika 3.5: Slučajni grafi v modelih G(22, p) pri p1 = 122 , p2 =16 , p3 =

12 in p4 =

58 .

Pri zgornjih grafih (n = 22) lahko opazimo, da pri prvem grafu, kjer je verjetnost povezaveenaka 1

22= 1

n, graf ni povezan in tudi nima vsebovanega nobenega cikla, kar pomeni, da je

graf gozd. Kar bi se bilo na primer smiselno vprašati v zgornjem primeru je: �Ali lastnost,da graf ni povezan, velja skoraj vedno, ko ima graf verjetnost povezave p = 1

nin gre število

vozlǐsč v grafu preko vseh meja?� in �Kolikšna mora biti verjetnost povezave p, da bo imelpoljubno izbrani graf z visoko verjetnostjo cikel?�. Seveda sta ti vprašanji precej ohlapni, sajnismo natančno določili, kaj za nas pomeni �skoraj vedno� in kaj �z visoko verjetnostjo�.

24

Zgled. Izračunajmo verjetnost, da bomo v modelu G(6, p) izbrali graf s petimi povezavami.Vseh različnih grafov z m = 5 povezavami je

((62)5

), torej je verjetnost, da bo imel izbrani

graf 5 povezav, enaka ((62

)5

)p5(1− p)(

62)−5 = 3003p5(1− p)10.

V primeru, ko je p = 12, ta verjetnost znaša 0, 09164..., torej je verjetnost, da bo imel graf reda

6, pri katerem se za vsak par vozlǐsč povsem naključno odločimo, ali to povezavo vzamemoali ne, natanko 5 povezav, dobrih 9 odstotkov.

Poglejmo si še drugo sliko, ki prikazuje dve realizaciji za grafe, ki imajo n = 100 in jeverjetnost povezave enaka p = ln 100

100.

Slika 3.6: Slučajna grafa modela G(100, ln 100100 ).

Oglejmo si še, kako je z razpršenostjo števila povezav pripadnikov modela G(n, p) okrogpričakovane vrednosti.

Trditev 3.10. Naj bo n naravno število, naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in X slučajna spremenljivka zaštevilo povezav v grafih modela G(n, p). Tedaj velja

Var(X) =

(n

2

)p(1− p).

Dokaz. Ker gre za binomsko porazdelitev s številom ponovitev(n2

)in se za vsako povezavo

neodvisno z verjetnostjo p odločimo, ali jo bomo v graf vzeli ali ne, je rezultat posledicatrditve 2.39.

V zvezi z varianco je zanimiva tudi standardna deviacija σ(X), pri kateri je zanimivo najtinjen maksimalni odklon od matematičnega upanja, po katerem lahko poseže. Spomnimo se,da nam σ(X) meri razpršenost vrednosti X okrog E(X). In tudi to, da kadar je σ(X) ≈ 0,ima slučajna spremenljivka X svoje vrednosti razpršene blizu matematičnega upanja E(X).Trditev, ki sledi, nam govori o maksimalni možni standardni deviaciji, kjer je X slučajnaspremenljivka za število povezav v grafu.

Trditev 3.11. Naj bo n naravno število, naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in X slučajna spremenljivka zaštevilo povezav v grafih modela G(n, p). Tedaj velja

σ(X) =

√(n

2

)p(1− p) ≤ n

2 ·√

2.

25

Dokaz. Ker je 0 ≤ p ≤ 1 je produkt p · (1 − p) navzgor omejen z 14

(maksimalen je, ko jep = (1− p) = 1

2). Od tu sledi

σ(X) =

√(n

2

)p · (1− p) ≤

√n · (n− 1)

2· 1

4≤√n2

8=

n

2 ·√

2.

Opomba. Po zgornji trditvi se nam torej v najslabšem primeru standardna deviacija povečujes koeficientom 1

2√

2, kar pomeni, da se povečuje relativno počasi glede na število mogočih

povezav, ki jih z vsakim novim vozlǐsčem pridobimo.

3.4 Matematično upanje v G(n, p)V tem razdelku se bomo, podobno kot v razdelku 3.2, spraševali o matematičnih upanjih zarazlične lastnosti grafov (npr. kolikšno je pričakovano število določenih vpetih podgrafov), leda nas bo tokrat zanimalo, kolikšna so le-ta v binomskem modelu slučajnega grafa G(n, p).

Trditev 3.12. Naj bo n naravno število in 0 ≤ p ≤ 1. V modelu G(n, p) je matematičnoupanje za število kopij polnega grafa K3 kot podgrafa enako:

E(X) =(n

3

)p3.

Dokaz. Naj bo V = {1, 2, ..., n}. Število načinov izbora treh vozlǐsč je enako(n3

). Verjetnost,

da ta tri vozlǐsča tvorijo K3, je enaka p3. Tokrat naj bo Iu,v,w indikatorska funkcija, ki pri

dani trojici vozlǐsč iz množice V grafu Γ dodeli vrednost 1, ko vozlǐsča u, v in w v grafuΓ tvorijo K3, sicer pa mu priredi vrednost 0. Vsak Iu,v,w je tedaj Bernoullijeva slučajnaspremenljivka s parametrom p3. Slučajno spremenljivko X, ki meri število kopij K3, lahkozapǐsemo kot vsoto X =

∑u,v,w Iu,v,w. Matematično upanje za število kopij K3 v grafih

modela G(n, p) je tedaj po aditivnosti matematičnega upanja enako

E(X) = E

( ∑u,v,w∈V

Iu,v,w

)=

∑u,v,w∈V

E(Iu,v,w).

Pri tem velja opozoriti, da spremenljivke Iu,v,w med seboj niso neodvisne. Vendar pa jeaditivnost matematičnega upanja veljavna tudi za odvisne spremenljivke. Torej je

E(X) =(n

3

)p3.

Pred nadaljevanjem uporabimo zgornjo trditev v naslednjem zgledu. Pri tem privzemimo,da je p = 1

2.

Zgled. Matematično upanje za število kopij K3 v binomskem modelu G(4, 12) je enako

E(X) =(

4

3

)·(

1

2

)3=

1

2,

kar pomeni, da je matematično upanje za število kopij K3 enako12, s čimer že lahko potrdimo,

da nima kar vsak slučajen graf, ki ga izberemo, nujno vsebovanega podgrafa K3.

26

Trditev 3.12 lahko posplošimo na poljubno velike polne podgrafe, kar prikazuje naslednjatrditev.

Trditev 3.13. Naj bo n naravno število, naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in naj bo X slučajna spremenljivkaza število kopij Ks v modelu G(n, p). Tedaj je

E(X) =(n

s

)p(

s2).

Dokaz. Dokaz je povsem podoben tistemu iz 3.12, le da tu namesto med tremi vozlǐsčiizbiramo med s vozlǐsči, ki bodo tvorila polni graf Ks. Načinov vseh različnih izborov svozlǐsč iz množice vozlǐsč V = {1, ..., n} je

(ns

), pri tem pa je verjetnost, da izbrana vozlǐsča

tvorijo Ks, enaka p(s2). Torej je matematično upanje za X enako:

E(X) =(n

s

)p(

s2).

Oglejmo si sedaj, kako je z izoliranimi vozlǐsči v modelu G(n, p).

Trditev 3.14. Naj bo n naravno število, naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in naj bo X slučajna spremenljivkaza število izoliranih vozlǐsč za grafe modela G(n, p). Tedaj je matematično upanje za X enako:

E(X) = n · (1− p)n−1.

Dokaz. Verjetnost, da med poljubnima izbranima vozlǐsčema u in v ni povezave, je enaka1 − p. Torej je verjetnost, da vozlǐsče u ni povezano z nobenim izmed vozlǐsč grafa, enaka(1 − p)n−1. Ker nas zanima, koliko je vseh izoliranih vozlǐsč v poljubno izbranem grafumodela G(n, p), lahko zaradi aditivnosti matematičnega upanja X zopet zapǐsemo kot vsoton slučajnih spremenljivk, po eno za vsako vozlǐsče in dobimo

E(X) = n · (1− p)n−1.

Opomba. Kadar v grafu ni izoliranih vozlǐsč, bi nas lahko potem zanimalo tudi: �Ali jegraf tedaj povezan?� Da bomo lažje odgovorili na zgornje vprašanje, bomo računalnǐskosimulirali grafe, a tokrat v modelih G(n, p) za n = 50 in različne vrednosti p. V spodnjemgrafu nam zelena funkcija prikazuje delež grafov, ki imajo izolirana vozlǐsča, modra funk-cija nam prikazuje verjetnost, delež grafov, ki nimajo izoliranih vozlǐsč, rdeča funkcija panam prikazuje delež povezanih grafov. Dve pomembni zanimivosti, ki jih lahko opazimo vspodnjem grafu sta, da se lastnosti, �da je graf povezan� in �da graf nima več izoliranihvozlǐsč� v slučajnem grafu skoraj popolnoma prekrivata, kar pomeni, da bi lahko postavilidomnevo, da ko v slučajnem grafu ni več izoliranih vozlǐsč, je le-ta tudi povezan. Drugazanimiva lastnost slučajnega grafa, ki jo lahko opazimo, pa je ta, da verjetnost povezanostine narašča linearno, vendar le-ta nekoliko sunkovito poskoči, in vprašanje, ki bi si ga lahkoob tem postavili je: �Ali to velja tudi pri katerih drugih lastnostih pri slučajnih grafih?�.

Graf prikazuje statistično verjetnost P, da naključni graf ima/nima izolirana vozlǐsča oz.da je graf povezan. Število vseh ponovitev je bilo pri simulaciji za vsak p (s povečevanji za0, 01) po 1000.

27

0 5 · 10−2 0.1 0.15 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Verjetnost povezave p

P

Da dodatno ilustriramo prikazano metodo izračuna matematičnega upanja raznih diskre-tnih slučajnih spremenljivk v modelu G(n, p), si oglejmo še nekaj primerov.

Trditev 3.15. Naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in n ∈ N. V modelu G(n, p) je matematično upanje zaštevilo parov vozlǐsč, pri katerih je razdalja med vozlǐsčema večja od 2, enako

E(X) =(n

2

)· (1− p)(1− p2)n−2.

Dokaz. V spomin si prikličimo definicijo 2.11, kjer smo razdaljo definirali kot dolžino naj-kraǰse poti med danim parom vozlǐsč. Torej je v našem primeru razdalja med vozlǐsčemau in v manǰsa ali enaka 2 ravno tedaj, kadar sta vozlǐsči med seboj direktno povezani, alipa obstaja med njima neko tretje vozlǐsče w, ki je povezano z obema vozlǐsčema u in v. Aker nas v našem primeru zanima matematično upanje za število parov vozlǐsč, pri katerih jerazdalja večja od dve, nobena izmed zgornjih dveh zahtev ne sme biti izpolnjena.

Naj bo V množica vozlǐsč grafa, naj bosta u, v ∈ V in naj bo A dogodek, �da med izbranimavozlǐsčema u in v ne obstaja povezava� ter B dogodek, �da za izbrani par vozlǐsč u in v neobstaja vozlǐsče w ∈ V \ {u, v}, ki bi bilo sosednje tako iz u kot z v�. Kot smo se prepričaliže v preǰsnjih trditvah, je verjetnost dogodka A enaka 1− p. Pri dogodku B pa je potrebnobiti nekoliko previdneǰsi. Za začetek se osredotočimo zgolj na eno izmed vozlǐsč w iz množiceV \ {u, v} in zanj izračunajmo verjetnost, da je skupni sosed vozlǐsč u in v, saj je komple-ment tega dogodka ravno dogodek, ki nas zanima. Očitno je verjetnost, da je w skupni sosedvozlǐsč u in v enaka p2, torej je verjetnost komplementa tega dogodka 1− p2. Ker smo s temizračunali verjetnost zgolj za eno izmed vozlǐsč w ∈ V \{u, v}, je v nadaljevanju to potrebnoizračunati še za preostala vozlǐsča te množice in preveriti medsebojno odvisnost povezav. Nise težko prepričati, da je vsak par povezav, ki z izbranim vozlǐsčem w iz V \ {u, v} tvori potod u preko w do v, popolnoma unikaten. Torej so vsi ti pari povezav medsebojno neodvisni,kar pomeni, da je verjetnost dogodka B zaradi |V \ {u, v}| = n− 2 enaka (1− p2)n−2.

Za konec dokaza pa še premislimo, ali sta tudi dogodka A in B neodvisna. Tudi tu se izkaže,

28

da je obstoj povezave med vozlǐsči u in v popolnoma neodvisen od obstoja povezav v grafu,za katere �se zanimamo� pri dogodku B. To pomeni, da sta dogodka A in B prav takoneodvisna in je verjetnost, da je pri izbranem paru u in v razdalja med vozlǐsčema večja od2, enaka (1−p)(1−p2)n−2. Ker nas v naši trditvi zanima matematično upanje za število vsehparov vozlǐsč grafa, pri katerih je razdalja večja od 2, je matematično upanje ob upoštevanjuaditivnosti povprečja kar enako

E(X) =(n

2

)(1− p)(1− p2)n−2.

Trditev 3.16. Naj bo n naravno število, naj bo 3 ≤ k ≤ n, naj bo 0 ≤ p ≤ 1 in naj bo Xslučajna spremenljivka za število k-ciklov v grafih modela G(n, p). Tedaj velja

E(X) =(n

k

)(k − 1)!

2pk.

Dokaz. Naj bo V = {1, 2, ..., n}. Iz trditve 2.16 se spomnimo, da je število različnih k-ciklov,ki jih lahko dobimo na n vozlǐsčih, enako:

Ckn =

(n

k

)(k − 1)!

2.

Ker za vsak k-cikel potrebujemo k povezav, je verjetnost, da so vse povezave izbranega k-cikla hkrati vsebovane v grafu, enaka pk. Torej je pričakovano število k-ciklov v grafu karenako:

E(X) =(n

k

)(k − 1)!

2pk.

Trditev 3.17. Naj bo n naravno število, naj bo 1 ≤ i ≤ n in naj bo 0 ≤ p ≤ 1. V modeluG(n, p) je matematično upanje za število neodvisnih množic velikosti i enako

E(X) =(n

i

)(1− p)(

i2).

Dokaz. Izberemo i vozlǐsč, ki naj tvorijo neodvisno množico. Ker med nobenim paromvozlǐsč iz neodvisne množice ne sme biti povezave (torej ne smemo izbrati nobene izmed

(i2

)povezav med temi vozlǐsči), je verjetnost, da je izbrana množica vozlǐsč neodvisna, enaka

(1− p)(i2).

Trditev 3.18. Naj bo n naravno število in naj bo 0 ≤ p ≤ 1. V modelu G(n, p) je mate-matično upanje za število vpetih dreves v grafu enako:

E(X) = nn−2pn−1.

Dokaz. Pri našem dokazu bomo izpustili dokaz Cayleyeve formule2, ki nam poda formulo zaštevilo vseh vpetih dreves v grafu. Le-ta pravi, da je število (označenih) vpetih dreves na n

2Kot zanimivost naj povem, da obstajajo različni dokazi Cayleyeve formule. Med njimi je zagotovo edenlepših dokazov dokaz Pitmana, ki uporabi tehniko dvojnega štetja. Več o dokazih Cayleyeve formule si lahkopreberete v [1].

29

vozlǐsčih nn−2. Kar še potrebujemo, je dejstvo, da je število povezav, ki jih ima drevo redan, (nujno) enako n − 1. Gre za dobro znano dejstvo, dokaz pa lahko bralec najde v skorajvsaki knjigi o teoriji grafov, pa tudi v [17]. Od tu sledi, da je verjetnost, da ima naš grafdoločeno vpeto drevo, enaka pn−1. Torej je matematično upanje za število vpetih dreves vgrafu kar enako

E(X) = nn−2pn−1.

Za konec še računalnǐsko preverimo, kolikšna je statistična verjetnost, da bomo izbraligraf, ki je drevo, pri čemer bomo v modelu G(n, p) izbrali verjetnost povezave p tako, da bopričakovano število povezav enako m = n − 1 (torej po trditvi 3.9 je p = 2

n), saj se zdi, da

imamo takrat največjo verjetnost, da bo graf drevo, v kolikor ne bo imel cikla.

Na spodnjem grafu je prikazan delež grafov, ki so drevo, gozd ali pa imajo vsebovan cikel.Število vseh ponovitev je bilo za vsak n enako 1000.

1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Število vozlǐsč [n].

P

Opomba. Kot lahko vidimo v zgornjih rezultatih, je delež dreves (zelena funkcija) medslučajnimi grafi v modelu G(n, p) precej blizu 0, že če je število vozlǐsč v grafu vsaj 10.Iz tega lahko sklepamo, da se slučajni grafi, ki imajo verjetnost povezave enako p = 2

n,

�evolucijsko�3 razvijajo drugače oziroma jih slučaj kroji tako, da imajo slučajni grafi prim = n− 1 vsebovan cikel. Slednje nam prikazuje tudi rdeča funkcija, ki prikazuje rezultatestatistične verjetnosti, da ima graf vsebovan cikel. Modra funkcija nam prikazuje �stati-stično� verjetnost, da je slučajni graf tudi gozd. Za konec diplomskega dela pa nekoliko�suhoparno� zapǐsimo še domnevo, ki jo lahko opazimo v zgornjih rezultatih. In sicer, daimajo slučajni grafi pri verjetnosti p = 2

nz visoko verjetnostjo vsebovan vsaj en cikel, ko

gre število vozlǐsč proti neskončnosti. S tem pa zaključujemo in bralca vabimo, da poskušadomnevo tudi raziskati in dokazati.

3Kar mislimo pri besedi �evolucijsko�, je tudi nekoliko Darwinistične narave. Saj bi nas zanimal celotnirazvojni proces grafa, ki je na začetku brez povezav in bi mu postopoma dodajali povezave do slučajnegagrafa, ki ga trenutno opazujemo. Torej nas zanima, iz katerih mogočih grafov se je naš graf morda lahkorazvil.

30

Poglavje 4

Sklepna beseda

Ko se ob zaključku diplomskega dela obrnem nazaj, na napisano delo, se sam kot bodočipedagog vprašam: �Ali je bilo delo, ki ste ga prebrali zanimivo?�, �Ali so vam bile nalogein razlage, ki ste jih srečali v diplomskem delu, razumljive?� in predvsem �Ali so vam mojiodgovori postavili nova vprašanja?�. Prav to je tisto, kar si sam najbolj želim. Da se zavsakim novim odgovorom, ki ga je bralec dobil, le-ta manifestira v produkt novih vprašanj.To je tisto, kar je na koncu tudi najbolj pomembno. Da si upamo in si pustimo svobodovprašanj, svobodno matematiko, saj, kakor je dejal že sam Cantor: �Bistvo matematike jev njeni svobodi�.

Ob koncu je tudi zgornja misel Cantorja tisto, kar bi rad delil z vami in kar ni bilo popolnomarazvidno v diplomskem delu. Tekom diplomskega dela sem si poleg omenjenih vprašanj natemo slučajnih grafov postavil še veliko drugih in pri tem so nekatera vodila v popolnomaslepe ulice. Spet druga so bila v svoji zasnovi precej preprosta, a se je na koncu izkazalo,da gre za vprašanja, ki sem jih moral pustiti odprta. Ustrezne odgovore si želim najti vprihodnosti.

Še enkrat naj poudarim, da smo v diplomskem delu spoznali zgolj osnovne koncepte slučajnihgrafov in pri tem položili temeljne gradnike za nadaljne delo. Pri tem smo definirali dvaosnovna modela slučajnih grafov, ki sta sama po sebi zanimiva. In morda je prvo vprašanje,ki bi si ga lahko v postavili v nadaljevanju: �Ali sta si ta dva modela med seboj v kakšnikorelaciji?� Drugo vprašanje, na katerega nismo odgovorili, pa je povezano z matematičnimiupanji, varianco in napovedovanjem. Nekoliko ohlapno smo ugotovili, da nam matematičnoupanje ne omogoči tega, da bi lahko z visoko verjetnostjo napovedali, da ima slučajni grafdoločeno lastnost. Zato bo potrebno v nadaljevanju pri tem najti drugačen pristop, da biprav to lahko napovedali. In ideja, iz katere bi lahko izhajali, je ta, da se vprašamo, kolikšnamora biti verjetnost povezave (oziroma število podanih povezav m, če gre za model G(n,m)),da graf te lastnosti nima (oziroma jo ima). In tretje vprašanje, ki bi si ga lahko postaviliv prihodnosti, je: �Kakšne tranzicije imajo določene lastnosti pri slučajnih grafih?�, kajtikot smo opazili na primeru s strani 28, se velika verjetnost, da ima graf določeno lastnost,pojavi kar iznenada. Vprašanje, ki je povezano s tem, pa je, za katere lastnosti v grafih totudi velja?

Naj zaključim s kratko mislijo: Teorija slučajnih grafov je zanimiva teorija, ki je vrednanadaljnje pozornosti in obravnave.

31

32

Literatura

[1] Aigner Martin, Ziegler Günter M. Proofs from the book. Springer, Berlin, 2010.

[2] Barabási Albert-László. Linked. Plume - Penguin Group, Cambridge, 2003.

[3] Barabási Albert-László. Network science. Cambridge University Press, Cambridge, 2016.

[4] Blum Avrim. Spletni vir: Chapter 4: Random graphs (dostop do 1. maj 2017): ht-tps://www.cs.cmu.edu/ avrim/598/, 2015.

[5] Dekking, F.M., Kraaikamp, C., Lopuhaä, H.P., Meester, L.E. A Modern Introduction toProbability and Statistics. Springer, London, 2005.

[6] Diestel R. Graph theory. Springer, London, 2006.

[7] Erdős P., Rényi A. Spletni vir: On random graphs I. (dostop do 1. maj 2017):http://snap.stanford.edu/class/cs224w-readings/erdos59random.pdf, 1959.

[8] Frieze Alan, Karonski Michal. Introduction to random graphs. Cambridge UniversityPress, Cambridge, 2016.

[9] Gross Jonathan L., Yellen Jay. Graph Theory and Its Applications, Second Edition. Cha-pman and Hall/CRC, Boca Raton, 2005.

[10] Juvan Martin, Potočnik Primož. Teorija grafov in kombinatorika: primeri in rešenenaloge, 2. natis. DMFA - založnǐstvo, Ljubljana, 2007.

[11] Jeremy Kun. Spletni vir: The Erdős-Rényi Random Graph (dostop do 1. maj 2017):https://jeremykun.com/2013/08/22/the-erdos-renyi-random-graph/, 2013.

[12] Hagberg Aric A., Schult Daniel A., Swart Pieter. Exploring network structure, dynamics,and function using NetworkX. Pasadena, CA USA, Pasadena, 2008.

[13] Mitzenmacher Michael, Upfal Eli. Probability and Computing - Randomized Algorithmsand Probabilistic Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 2005.

[14] Potočnik Primož. Zapiski predavanj iz Diskretne Matematike I. Samozaložba, Ljubljana,2011.

[15] Šparl Primož. Verjetnostni račun in statistika: Zapiski predavanj. Univerza v Ljubljani,Ljubljana, 2014.

[16] Šparl Primož. Diskretna matematika: Zapiski predavanj. Univerza v Ljubljani, Lju-bljana, 2015.

[17] Šparl Primož. Teorija grafov: Zapiski predavanj. Univerza v Ljubljani, Ljubljana, 2016.

33

Izjava o avtorstvu diplomskega dela

Podpisani Matej Mencin z vpisno številko 01010495, izjavljam, da sem avtor diplomskegadela z naslovom

Slučajni grafi.

S svojim podpisom zagotavljam, da sem diplomsko delo naredil samostojno pod mentorstvomdoc. dr. Primoža Šparla.

Ljubljana, avgust 2017

Podpis avtorja:

UvodOsnovni pojmiPreštevanja in kombinatorikaTeorija grafovVerjetnost in diskretne slucajne spremenljivke

Slucajni grafiErdos-Rényijev slucajni grafMatematicno upanje v slucajnem modeluSlucajni graf Bernoullijevega eksperimentaMatematicno upanje v binomskem slucajnem modelu

Sklepna besedaLiteratura