Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos … São condições essenciais para a linearidade: f⋅x= ⋅fx fx1x2=fx1 fx2 2.1.1 Curto circuito O curto circuito acontece sempre

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Circuitos Elétricos I – EEL420

Módulo 2

Thévenin Norton Helmholtz

Mayer Ohm Galvani

http://pt.wikipedia.org/wiki/Luigi_Galvani

http://pt.wikipedia.org/wiki/Georg_Simon_Ohm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Edward_Lawry_Norton

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hermann_von_Helmholtz

http://pt.wikipedia.org/wiki/Edward_Lawry_Norton

http://pt.wikipedia.org/wiki/Thevenin

Conteúdo

2 – Elementos básicos de circuito e suas associações..........................................................................1

2.1 – Resistores lineares e invariantes.............................................................................................1

2.1.1 – Curto circuito..................................................................................................................2

2.1.2 – Circuito aberto.................................................................................................................2

2.2 – Resistor linear e variante.........................................................................................................2

2.3 – Resistores não lineares e invariantes.......................................................................................3

2.3.1 – Diodo...............................................................................................................................3

2.3.2 – Diodo túnel......................................................................................................................4

2.4 – Associação de resistores.........................................................................................................5

2.4.1 – Associação série..............................................................................................................5

2.4.2 – Associação paralela.........................................................................................................7

2.5 – Fonte de tensão independente.................................................................................................9

2.5.1 – Associação de fontes de tensão.....................................................................................11

2.6 – Fonte de corrente independente............................................................................................11

2.6.1 – Associações de fontes de corrente.................................................................................13

2.7 – Modelo de Thévenin e Norton..............................................................................................14

2.8 – Associação de fontes e resistores..........................................................................................15

2.8.1 – Divisor de tensão...........................................................................................................15

2.8.2 – Divisor de corrente........................................................................................................15

2.9 – Fontes controladas................................................................................................................16

2.10 – Exercícios............................................................................................................................17

2.11 – Solução................................................................................................................................22

2 Elementos básicos de circuito e suas associações

Resistor, diodo, transistor, válvula, capacitor, indutor e transformador, entre outros

componentes reais de um circuito, podem ser representados por modelos básicos ou

associação destes modelos, cada qual apresentando apenas 1 propriedade física (resistência,

capacitância, indutância…).

2.1 Resistores lineares e invariantes

Os resistores são os elementos de circuito mais comuns e concentram a característica

de resistência elétrica, ou seja, de oposição a passagem da corrente elétrica. Existem diversos

símbolos para o resistor: na Europa se utiliza um retângulo (como os elementos apresentados

no módulo anterior), nos Estados Unidos e no Brasil o símbolo mais comum é apresentado na

próxima figura.

O resistor é caracterizado pelas seguintes relações:

v t =R⋅i t , onde R é resistência (Ohm – W).

i t =G⋅v t , onde G é condutância (Siemens – S)

R=G−1

Normalmente R e G são lineares (como mostrado no gráfico v × i da próxima figura) e

invariantes com o tempo, mas isto não é uma exigência.

Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 1

https://archive.org/stream/FundamentalsOfElectricCircuits4thEdition/Fundamentals%20of%20Electric%20Circuits%20(Alexander%20and%20Sadiku),%204th%20Edition#page/n45/mode/2up

OBS.: São condições essenciais para a linearidade:

f ⋅x =⋅f x

f x1x2= f x1 f x2

2.1.1 Curto circuito

O curto circuito acontece sempre que entre dois pontos de um circuito R=0 . Por esta

razão a diferença de tensão entre os terminais de um curto circuito é zero, independente da

corrente que circula por este elemento. Idealmente o curto circuito é representado por um fio.

Num gráfico v × i o curto circuito se caracteriza por ser uma reta paralela ao eixo da corrente e

que passa pela origem.

2.1.2 Circuito aberto

Um circuito aberto é caracterizado por apresentar R=∞ . Por esta razão não há

circulação de corrente por um circuito aberto, independente da tensão aplicada a seus

terminais. Idealmente o curto circuito é representado por dois nós não conectados. Num

gráfico v × i o curto circuito se caracteriza por ser uma reta paralela ao eixo da tensão e que

passa pela origem.

2.2 Resistor linear e variante

Um resistor linear e variante é aquele que apresenta uma relação linear entre tensão e

corrente porém com dependência temporal para o valor do resistor.



v t =Rt ⋅i t

Exemplo: Calcular v(t) quando R=RARB⋅cos 2⋅⋅f 1⋅t e i t =A⋅cos 2⋅⋅ f 2⋅t .

v (t)=X⋅cos (2⋅π⋅ f 2⋅t)+Y⋅cos [2⋅π⋅( f 1+ f 2)⋅t ]+Z⋅cos [2⋅π⋅( f 1− f 2)⋅t ]

Observe que para cada instante de tempo a resistência é um valor constante, logo a

resistência é linear, porém este valor varia com o tempo.

2.3 Resistores não lineares e invariantes

Resistores não lineares e invariantes são aqueles que apresentam uma relação não

linear entre tensão e corrente, porém são invariantes com o tempo (não são funções do tempo).

2.3.1 Diodo

O diodo é um resistor variável cujo símbolo e curva v × i são apresentados nas

próximas figuras. Observe que a curva v × i não é simétrica o que significa que este elemento

apresenta polaridade, ou seja, dependendo de como ele for ligado ao circuito este terá um

comportamento diferente.

Tradicionalmente o diodo é modelado pela equação

i t =I S⋅eq⋅v t K⋅T −1

onde K⋅T

q≈26mV para a temperatura ambiente.



Observando com atenção a curva v × i do diodo observamos que ela se parece muito

com a curva de uma chave ideal comutada por corrente. Uma chave ideal pode ser modelada

por um curto circuito ou por circuito aberto dependendo de estar fechada ou aberta

respectivamente. Um modelo mais realístico pode representar a resistência de contato elétrico

(R1) quando a chave está fechada e uma resistência de isolação (R2) quando a chave esta

aberta. A figura seguinte mostra este modelo.

É muito comum, na prática, simplificar os cálculos de circuitos que utilizam diodos

substituindo seu comportamento real (descrito pela exponencial acima) por uma chave

controlada (um curto circuito ou circuito aberto) associada a fontes e resistores. Desta forma

um componente não linear, o diodo, é representado por uma associação de elementos lineares

e invariantes com o tempo, o que torna mais simples a análise e o projeto de circuitos com

este componente.

2.3.2 Diodo túnel

O diodo túnel, cujo símbolo é apresentado na figura a seguir, é um diodo construído

por processos especiais que levam a uma curva v × i bastante interessante e que pode ser

visualizado no gráfico abaixo.



Observa-se, no gráfico, que a resistência do diodo túnel é não linear e controlada por

tensão (o gráfico de i em função de v é uma função não inversível). Observa-se também, que

R é negativo para uma faixa de valores (o que será útil em osciladores e filtros). Elementos

com resistência positiva dissipam energia ao passo que resistências negativas podem fornecer

energia. Resistências negativas, como a do diodo túnel e de outros elementos de circuito, só

existem em uma determinada faixa de operação e dependem de energia externa para serem

obtidas. Não existe nenhum elemento real de circuito que tenha comportamento de resistência

negativa em toda sua faixa de operação.

Tanto o diodo comum quanto o diodo túnel apresentam curvas não simétricas com

relação a origem o que significa que estes elementos têm polaridade.

2.4 Associação de resistores

2.4.1 Associação série

A associação série de resistores é aquela onde um terminal de um resistor se conecta a

um terminal do próximo formando uma sequência de resistores. Esta associação, ilustrada na



figura abaixo pelos resistores R1 e R2 , tem um comportamento elétrico semelhante ao de

uma resistência equivalente REQ entre os nós A e C da associação.

O valor da resistência equivalente pode ser calculada da seguinte maneira:

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff no circuito da esquerda temos que

v=v R1v R2

v=I⋅R1I⋅R2

v= I⋅R1R2 .

No circuito da direita temos

v=I⋅REQ .

Por comparação entre os dois circuitos temos que

REQ=R1R2

Genericamente REQ=∑ Rn (a resistência equivalente é maior que todas as

resistências individuais da associação).

Cabe ressaltar que a resistência equivalente da associação é equivalente apenas do

ponto de vista da tensão e da corrente nós A e C (figura anterior) pois a potência dissipada

pelos resistores será diferente da potência dissipada pelo equivalente assim como a tensão

sobre cada resistor será diferente da tensão sobre o resistor equivalente.

A figura anterior também apresenta um símbolo até agora não utilizado: Um triângulo

ligado ao nó C. Este símbolo marca o nó como se fosse um nome e costuma ser utilizado para

representar uma referência de tensão (também chamado de terra, massa, chassi, retorno…).



Quando ele está presente no circuito as medidas de diferença de tensão são dadas com relação

a este ponto. Abaixo vemos curvas de tensão em função da corrente para a associação série

apresentada anteriormente.

A tensão V a equivale a diferença de tensão V A−V C , a tensão V b equivale a

diferença de tensão V B−V C , por outro lado a tensão V A , B ou V AB equivale a diferença

de tensão V A−V B . Estas representações de diferenças de potencial são comuns em circuitos

e sempre que se deseja expressar uma diferença de tensão entre um nó qualquer do circuito e a

referência basta indicar o nome deste nó. Quando a diferença de potencial se refere a uma

medida que não inclua o nó de referência então se indicam os dois nós para os quais a

diferença de tensão está sendo fornecida ou solicitada.

2.4.2 Associação paralela

A associação paralela de resistores é aquela onde um dos terminais de cada resistor se

conecta a um determinado nó e os demais terminais se conectam a um outro nó. Esta

associação, ilustrada na figura abaixo pelos resistores R1 e R2 , tem um comportamento

elétrico semelhante ao de uma resistência equivalente REQ entre os nós A e C da associação.



O valor da condutância equivalente pode ser calculado da seguinte maneira:

Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff no circuito da esquerda

iTOTAL=iR1iR2

iTOTAL=v⋅G1v⋅G2

iTOTAL=v⋅G1G2 .

No circuito da direita

iTOTAL=v⋅GEQ .

Assim, por comparação entre os dois circuitos

GEQ=G1G2

Genericamente GEQ=∑ Gn (a condutância equivalente é maior que todas as

condutâncias individuais da associação, ou seja, a resistência equivalente é menor que todas as

resistências da associação). Novamente aqui, assim como em todas as associações realizadas

nesta disciplina, o conceito de equivalente está diretamente relacionado com o comportamento

da tensão e da corrente entre dois nós, ou seja, para que dois circuitos sejam equivalentes a

equação de tensão em função de corrente para quaisquer dois nós deve ser igual em ambos os

circuitos.

A figura abaixo mostra o gráfico das condutâncias formadas por R1 , R2 e REQ



2.5 Fonte de tensão independente

As fontes de tensão são elementos capazes de absorver ou fornecer energia a circuitos

mantendo constante a diferença de potencial entre seus terminais, independentemente da

corrente que circule pela fonte. Existem diversos símbolos para a fonte, mas o mais comum

está representado na figura abaixo.

Observe na figura seguinte que a curva v × i da fonte de tensão é uma reta paralela ao

eixo da corrente, como se fosse um curto circuito (a resistência de uma fonte de tensão ideal é

zero) porém esta curva não passa pela origem, ou seja, não tem um comportamento linear.

Correntes positivas estão associadas ao sentido de referência mostrado na figura acima

(observe os sentidos de referência adotados no módulo 1) e nesta região a fonte absorve

energia (p>0) ou seja, está sendo carregada. Quando a corrente é negativa (sentido contrário

ao de referência) a fonte fornece energia (p<0).



Fontes de tensão reais apresentam uma diminuição da tensão em seus terminais que é

proporcional a corrente fornecida para a carga. A figura abaixo apresenta um modelo para

fonte de tensão real formado por uma fonte de tensão ideal vo em série com uma resistência

RS. Esta fonte está sendo utilizada para alimentar uma carga RL.

Equacionando o circuito da fonte de tensão e resistor RS como um elemento de circuito

(adotando os sentidos de referência propostos no módulo 1) e aplicando a lei das tensões de

Kirchhoff temos que

v i=Rs⋅ivo ou i v=v

Rs–

voRs

O comportamento v × i da fonte de tensão real é semelhante ao mostrado na figura a

seguir. Neste exemplo, vo=10V e RS=10 . Observe que com estes valores a curva de

tensão nos terminais da fonte está longe de ser considerada constante, mas a medida que Rs

for diminuído a curva torna-se mais parecida com a da fonte ideal.



2.5.1 Associação de fontes de tensão

Fontes de tensão podem ser associadas em série e em paralelo (figura abaixo). Se

forem conectadas em série a fonte de tensão equivalente será dada pela soma algébrica das

tensões de cada fonte. Por outro lado, se as fontes forem conectadas em paralelo todas devem

ter o mesmo valor e a mesma polaridade. Isto deve ocorrer para que o somatório das tensões

em cada caminho fechado seja nulo, obedecendo a LTK.

2.6 Fonte de corrente independente

As fontes de corrente são elementos capazes de absorver ou fornecer energia a

circuitos mantendo constante a corrente que atravessa seus terminais, independentemente da

diferença de tensão entre eles. Existem diversos símbolos para a fonte de corrente, mas o mais

comum está representado na figura seguinte.



Observe na figura abaixo que a curva v × i da fonte de corrente é uma reta paralela ao

eixo da tensão, como se fosse um circuito aberto (a resistência de uma fonte de corrente ideal

é infinita) porém esta curva não passa pela origem, ou seja, não tem um comportamento

linear. Tensões positivas estão associadas ao sentido de referência mostrado na figura acima e

nesta região a fonte absorve energia (p>0) ou seja, está sendo carregada. Quando a tensão é

negativa (sentido contrário ao de referência) a fonte fornece energia (p<0).

Fontes de corrente reais apresentam uma diminuição da corrente de saída a medida que

a tensão nos terminais da fonte aumenta. A figura abaixo apresenta um modelo de uma fonte

de corrente real, representada por uma fonte de corrente ideal io e uma resistência RS. Esta

fonte está sendo utilizada para alimentar a carga RL.



Podemos equacionar o circuito formado pela fonte de corrente e pelo resistor RS

adotando os sentidos de referência e a lei das correntes Kirchhoff.

v i=Rs⋅iRs⋅io ou i v=vRs

−io

O comportamento v x i da fonte de corrente real é semelhante ao mostrado na figura

abaixo. Neste exemplo, io=1A e RS=10 . Observe que a curva da corrente em função da

tensão não é constante, mas a medida que RS aumenta a curva real se aproxima da ideal.

Observe que os exemplos dados para as fontes de corrente e de tensão reais

apresentam resistência RS muito distantes do que seria razoável para modelar o

comportamento destas fontes. Por esta razão as curvas v × i apresentadas nos dois exemplos

são idênticas. Isto significa que estes circuitos podem ser considerados equivalentes.

2.6.1 Associações de fontes de corrente

Fontes de corrente podem ser associadas em série ou em paralelo (figura seguinte). Se

forem ligadas em série todas as fontes devem ter a mesma intensidade e o mesmo sentido para

que seja respeitada a LCK. Se ligadas em paralelo podem ter qualquer valor e sentido e, neste

caso, a fonte equivalente corresponde a uma fonte cuja intensidade e sentido é dada pela soma

algébrica das correntes das fontes individuais.



2.7 Modelo de Thévenin e Norton

Como foi mostrado, a curva v × i de um circuito formado pela associação série de uma

fonte de tensão com ou resistor pode ser igual à curva v × i de um circuito formado pela

associação de uma fonte de corrente em paralelo com um resistor. Se isto acontece os

circuitos são considerados equivalentes. Estes equivalentes recebem nomes especiais

(Thévenin e Norton respectivamente) e podem ser vistos na figura abaixo.

Para substituir um equivalente Thévenin por um Norton e vice-versa basta comparar as

equações de cada equivalente. Comparando as equações de tensão dos dois circuitos temos

v i=Rs⋅iRs⋅io , v i =Rs⋅ivo

observa-se que as equações ficam iguais se vo=Rs⋅io . Neste caso as duas equações

representam uma reta com inclinação Rs e intersepto vo .

Comparando-se as equações de corrente

i v=v

Rs−io , i v=

vRs

–voRs

observa-se que as equações ficam iguais se io=vo⋅Rs−1 . Neste caso as duas equações

representam retas com inclinação Rs−1 e intercepto −io .



2.8 Associação de fontes e resistores

2.8.1 Divisor de tensão

Um problema muito comum em circuitos é o cálculo da tensão sobre um resistor numa

ligação série de fonte de tensão e resistores, conforme indicado na figura a seguir.

A tensão v pode ser obtida da seguinte maneira:

iTOT=vs

R1R2R3

v=i TOT⋅R2

v=vs

R1R2R3

⋅R2

Genericamente v i=vs

∑ Rn

⋅Ri

2.8.2 Divisor de corrente

Outro problema muito comum é o cálculo de uma determinada corrente num circuito

paralelo entre uma fonte de corrente e resistores, como ilustrado na figura abaixo.

A corrente i1 pode ser obtida da seguinte maneira

vTOT=is

G1G 2G 3

i1=vTOT⋅G1



i1=is

G1G 2G 3

⋅G1

Genericamente ii=is

∑G n

⋅Gi

2.9 Fontes controladas

Uma fonte controlada é um elemento de circuito com 2 braços onde o primeiro é

formado por um curto circuito ou circuito aberto e o segundo por uma fonte de tensão ou

corrente. A forma de onda na fonte do segundo braço é uma função na tensão de circuito

aberto ou da corrente de curto circuito do primeiro braço, ou seja, a fonte do segundo braço é

controlada pela tensão ou corrente no primeiro braço. Assim, existem quatro combinações

possíveis de fontes controladas que estão representadas na figura abaixo.

Fonte de corrente controlada por corrente: i2=α⋅i 1

Fonte de corrente controlada por tensão: i2=gm⋅v1

Fonte de tensão controlada por tensão: v2= μ⋅v1

Fonte de tensão controlada por corrente: v2=rm⋅i1

Estas fontes são muito comuns em eletrônica e representam o funcionamento de

circuitos ou elementos como transistores, amplificadores operacionais e válvulas. Os símbolos

utilizados diferem um pouco na literatura e nos simuladores. Via de regra o símbolo da fonte

continua o mesmo utilizado para fontes independentes ou assume um formato de losango. A

dependência com a corrente ou a tensão do primeiro braço é explicitada pela equação que

governa o funcionamento da fonte.



Diferente das fontes independentes, fontes controladas representadas por , gm, e rm

constantes são fontes lineares e invariantes com o tempo mas também podem existir fontes

controladas não lineares e variantes.

As fontes independentes costumam representar absorção ou fornecimento de energia

em decorrência da ação do mundo externo e são componentes não lineares por natureza. As

fontes controladas representam comportamento de elementos eletrônicos (resistores, por

exemplo) acoplados e podem ser elementos lineares. Nos exemplos mostrados acima, com

coeficientes constantes, a impedância de uma fonte de corrente controlada não é infinita e a

impedância de uma fonte de tensão controlada não é zero. De resto as fontes controladas

podem ser consideradas fontes de tensão ou corrente e assim são consideradas na análise de

circuitos.

2.10 Exercícios

1) Observando a curva v × i de um elemento é possível determinar se ele apresenta

polaridade?

2) Para um elemento cuja relação v × i é determinada por: v=50⋅i0,5⋅i 3 . a) Qual o

valor da resistência deste elemento? b) Para correntes de 10 mA, 1 A e 10 A qual o erro em

aproximar R por 100 ? c) Para correntes de 10 mA, 1 A e 10 A qual o erro em aproximar R

pela sua resposta do item a? d) A corrente que circula por este elemento sempre apresenta as

mesmas frequências da tensão sobre ele?

3) Calcule a resistência equivalente para os circuitos da figura abaixo



4) Apresente as curvas v × i para as figuras abaixo (considerar o diodo como uma

chave ideal controlada por corrente). Com base nestes resultados determinar como seria

possível modelar a curva do diodo real apresentada na secção sobre resistores não lineares e

invariantes. No LTSpice insira a diretiva spice: .model D d(N=0.001) para obter um diodo

próximo do ideal.

5) Projetar um circuito resistivo de um acesso com resistores lineares, diodos ideais e

fontes independentes que tenha a característica v × i mostrada abaixo.



6) Para os circuitos da figura abaixo calcule as tensões e as correntes sobre os

elementos. Considere R1=1 , R1=2 e R1=3 . Determine quem absorve e quem fornece

energia.

7) Determine a tensão, a corrente e a potência sobre cada elemento do circuito abaixo.



8) Para a figura abaixo calcule as tensões V 1 e V 2 .

9) Determine o modelo equivalente para os dois circuitos abaixo.

10) Abaixo são apresentadas duas redes resistivas: uma rede chamada T ou Y e outra

rede chamada ou . Dependendo dos valores dos resistores estas redes podem ser

equivalentes do ponto de vista dos terminais A, B e C. a) Determine os valores de RA, RB e

RC para que a rede Y seja equivalente a uma dada rede . b) Determine os valores de R1, R2

e R3 para que a rede seja equivalente a uma dada rede Y.



11) Utilizando apenas associação de resistores e transformação de modelos Thévenin-

Norton determine o valor da tensão v.

12) Para a figura abaixo calcule a tensão sobre a carga (resistor RL )

13) Para o circuito abaixo, calcular vL (tensão sobre o resistor RL ).



14) Para o circuito abaixo calcular a impedância vista pela fonte de corrente

15) Para os circuitos abaixo calcular o valor de vo considerando que o ganho A do

amplificador operacional não é infinito. Determine o limite de vo quando o ganho A tende a

infinito. Refaça as contas considerando que a fonte controlada da saída é uma fonte de tensão

independente de valor vo e que a diferença de tensão entre as duas entradas do operacional é

nula. Compare os resultados e explique o que aconteceu.

2.11 Solução

1) Observando a curva v × i de um elemento é possível determinar se ele apresenta

polaridade?

Sim. Simetria ímpar indica elemento sem polaridade.

2) Para um elemento cuja relação v × i é determinada por: v=50⋅i0,5⋅i 3 . a) Qual o

valor da resistência deste elemento? b) Para correntes de 10 mA, 1 A e 10 A qual o erro em

aproximar R por 100 ? c) Para correntes de 10 mA, 1 A e 10 A qual o erro em aproximar R

pela sua resposta do item a? d) A corrente que circula por este elemento sempre apresenta as

mesmas frequências da tensão sobre ele?



a) Genericamente a resistência deste elemento pode ser modelada como

dvdi

=R=50+1,5⋅i 2

b) Erro de aproximadamente 100% na tensão para corrente de 10mA

v 10mA =50⋅i0,5⋅i3=0,5000005 V , v=R100 Ω⋅i=1V

Erro de aproximadamente 98% na tensão para corrente de 1A

v 1A =50⋅i0,5⋅i 3=50,5V , v=R100 Ω⋅i=100V

Erro de 0% na tensão para corrente de 10A

v 10A =50⋅i0,5⋅i 3=1000V , v=R100 Ω⋅i=1000V

c) Erro de aproximadamente 0% na tensão para corrente de 10mA

R(10mA)=50+1,5⋅i2=50,00001Ω , v=R⋅i=0,500001V


R(1A )=50+1,5⋅i 2=51,5Ω , v=R⋅i=51,5V


R(10A )=50+1,5⋅i 2=200Ω , v=R⋅i=2000V

**Isto faz sentido? Como explicar estes números? Usando a expressão da resistência o

erro não deveria estar próximo de 0%? Como escolher o melhor valor de resistência para

linearizar este resistor?

d) Não. Por exemplo, se i=sen (ω⋅t) , então i3=sen3(ω⋅t) . Isto significa que a tensão

terá componentes de frequência diferentes da corrente ( i3=−0,25⋅sen (3ω⋅t)+0,75⋅sen(ω⋅t) ).

3) Calcule a resistência equivalente para os circuitos a seguir



Circuito da esquerda: Req=R1R2⋅R3

R2R3

Circuito da direita: Req=R1R4⋅R2R3

R4R2R3

4) Apresente as curvas v × i para as figuras abaixo (considerar o diodo como uma

chave ideal controlada por corrente). Com base nestes resultados determinar como seria

possível modelar a curva do diodo real apresentada na secção sobre resistores não lineares e

invariantes. No LTSpice insira a diretiva spice: .model D d(N=0.001) para obter um diodo

próximo do ideal.

5) Projetar um circuito resistivo de um acesso com resistores lineares, diodos ideais e

fontes independentes que tenha a característica v × i mostrada a seguir.



Solução: Um circuito possível é apresentado abaixo. No simulador do tipo Spice

modifique o parâmetro N do diodo para obter um comportamento mais próximo do ideal.

Quanto menor o N mas próximo do ideal e mais problemas computacionais. No LTSpice

insira a diretiva spice: .model D d(N=0.001)

6) Para os circuitos das figuras a seguir calcule as tensões e as correntes sobre os

elementos. Considere R1=1 , R1=2 e R1=3 . Determine quem absorve e quem fornece

energia.



Circuito a esquerda

R1=1 , v R1=v1 , iR1=2 A , iV1=−1 A , pV1=−2W , pR1=4 W , p I1=−2W

R1=2 , v R1=v1 , iR1=1 A , iV1=0 A , pV1=0W , pR1=2 W , p I1=−2 W

R1=3 , v R1=v1 , iR1=2 /3 A , iV1=1/3 A , pV1=2 /3W , pR1=4 /3 W , p I1=−2W

Circuito a direita

R1=1 , v R1=1V , iR1=i I1 , iV1=i I1 , pV1=2W , pR1=1W , p I1=−3W

R1=2 , v R1=2 V , iR1=i I1 , iV1=i I1 , pV1=2W , pR1=2 W , p I1=−4W

R1=3 , v R1=3 V , iR1=i I1 , iV1=i I1 , pV1=2W , pR1=3W , p I1=−5W

Circuito isolado, v R2=3V , pR2=3W

R1=1 , iR1=2 A , iV1=−1 A , pV1=−2 W , pR1=4 W , p I1=−5W

R1=2 , iR1=1 A , iV1=0 A , pV1=0W , pR1=2 W , p I1=−5W

R1=3 , iR1=2 /3 A , iV1=1/3 A , pV1=2 /3W , pR1=4 /3W , p I1=−5W

7) Determine a tensão, a corrente e a potência sobre cada elemento do circuito a seguir.



Os resultados estão apresentados na tabela abaixo. As células pintadas correspondem

as fontes que fornecem energia.

IR1=3A, VR1=6V, PR1=18W IR6=4A, VR6=16V, PR6=64W IR5=2A, VR5=10V, PR5=20W

VI1=V7+VR1=26V, PI1=78W IV10= 4A, PV10= 200W VI2=VV8+VR5=25V, P=50W

IR7=V9 / R7 = 4A, VR7= 40V,

PR7= 160W

VI3=VV10+VR6–VV9=26V,

P=104W

VR4=15V, IR4=2A, PR4=30W

VR2=20V, IR2=5A, PR2=100W VR3=VV9–VR2–VR4=5V,

IR3=2A, PR3= 10W

IV7=IR1+IR3–IR2=0A, PV7=0W

IV8=IR3+IR5–IR4=2A, PV8=30W IV9=IR4+IV8+II3+IR7-II2 =10A,

PV9=400W

8) Para a figura abaixo calcule as tensões V 1 e V 2 .

v2=25V , v1=−1V



9) Determine o modelo equivalente para os dois circuitos abaixo.

Circuito da esquerda igual a uma fonte de tensão de valor V1. Circuito da direita igual

a uma fonte de corrente de valor I1.

10) Abaixo são apresentadas duas redes resistivas: uma rede chamada T ou Y e outra

rede chamada ou . Dependendo dos valores dos resistores estas redes podem ser

equivalentes do ponto de vista dos terminais A, B e C. a) Determine os valores de RA, RB e

RC para que a rede Y seja equivalente a uma dada rede . b) Determine os valores de R1, R2

e R3 para que a rede seja equivalente a uma dada rede Y.

a) RAC=RARC , RAB=RARB , RBC=RBRC

RAC=R1 // R2R3=R1⋅R2R3R1R2R3

=R1⋅R2R1⋅R3

R1R2R3

RAB=R2 // R1R3=R2⋅R1R3R1R2R3

=R1⋅R2R2⋅R3R1R2R3

RBC=R3 // R1R2=R3⋅R1R2

R1R2R3=

R1⋅R3R2⋅R3R1R2R3

RARC=R1⋅R2R1⋅R3

R1R2R3 (1)

RARB=R1⋅R2R2⋅R3R1R2R3

(2)

RBRC =R1⋅R3R2⋅R3

R1R2R3 (3)



12– 3=2⋅RA , 23– 1=2⋅RB , 13−2=2⋅RC

RA=R1⋅R2

R1R2R3, RB=

R2⋅R3R1R2R3

, RC=R1⋅R3

R1R2R3

b) considerando que RT=R1R2R3

então RA=R1⋅R2

RT, RB=

R2⋅R3RT

, RC=R1⋅R3

RT

RA⋅RB=R1⋅R22

⋅R3RT 2 , RA⋅RC=

R12⋅R2⋅R3

RT 2 , RB⋅RC =R1⋅R2⋅R33

RT 2

RA⋅RBRA⋅RCRB⋅RC=R1⋅R22

⋅R3R12⋅R2⋅R3R1⋅R2⋅R32

RT 2

1RA

⋅RA⋅RBRA⋅RC RB⋅RC=1

RA⋅

R1⋅R22⋅R3R12

⋅R2⋅R3R1⋅R2⋅R32

RT 2

1RA

⋅RA⋅RBRA⋅RC RB⋅RC=RT

R1⋅R2⋅

R1⋅R22⋅R3R12

⋅R2⋅R3R1⋅R2⋅R32

RT 2

RA⋅RBRA⋅RCRB⋅RCRA

=R2⋅R3R1⋅R3R32

RT

RA⋅RBRA⋅RCRB⋅RCRA

=R3⋅R2R1R3

R1R2R3

R3=RA⋅RBRA⋅RCRB⋅RC

RA,


RC


RB

11) Utilizando apenas associação de resistores e transformação de modelos Thévenin-

Norton determine o valor da tensão v.



R4 e R6 não influenciam a tensão v e podem ser desconsiderados

V 12=V 1V 2=10−4=6V

O modelo Thevènin formado por V 12 e R1 pode ser transformado em um Norton

I 12=V 12 /R1=6/2=3 A e R1=2 .

Req= 1R1

1

R3R5

1R2

−1

=1,14 , e I eq=I 12I 1=310=13 A .

Assim, v= I eq⋅Req=14,85V

12) Para a figura abaixo calcule a tensão sobre a carga (resistor RL )

v RL=RL⋅gm⋅v1 e v1=v s⋅R1

R1R2

v RL=RL⋅gm⋅v s⋅R1

R1R2

com polaridade positiva para baixo.

13) Para o circuito abaixo, calcular vL (tensão sobre o resistor RL ).



Solução:

2 1

2 2L L L

L L

v vv R R

R R R R

m ×= × = ×

+ +

v1=v S

RSR1

⋅R1

v L=μ⋅v S⋅R1⋅RL

RLR2⋅RSR1

14) Para o circuito abaixo calcular a impedância vista pela fonte de corrente

Solução:

RE=V L

I S

=1−a⋅I 1⋅RL

I S

=1−a⋅RL

Observe que dependendo do valor de a a impedância equivalente conectada em

paralelo com a fonte de corrente varia. Se a=1 a impedância é nula e o circuito se comporta

como um curto circuito. Se 0a1 a impedância será uma parcela da impedância da carga.

Se a1 a impedância é negativa.

15) Para os circuitos abaixo calcular o valor de vo considerando que o ganho A do

amplificador operacional não é infinito. Determine o limite de vo quando o ganho A tende a

infinito. Refaça as contas considerando que a fonte controlada da saída é uma fonte de tensão

independente de valor vo e que a diferença de tensão entre as duas entradas do operacional é

nula. Compare os resultados e explique o que aconteceu.



Solução para o primeiro circuito.

Redesenhando o circuito para facilitar o equacionamento

i1=v i−vo

R1R2

v _=i1⋅R2vo=v i−vo

R1R2

⋅R2vo

v _=v i⋅R2vo⋅R1

R1R2

vo=A⋅v+−v_

como v+=0 , vo=−A⋅v_

v _=−vo

A=

v i⋅R2+vo⋅R1

R1+R2

vo=−R2

R1R1R2

A

⋅v i

limA→∞

vo=−R2

R1

⋅v i

Observe que se A tende a infinito e a saída vo é finita então a diferença de tensão entre

as duas entradas do amplificador operacional obrigatoriamente deve ser nula. Considerando



antecipadamente as duas entradas do operacional com o mesmo potencial podemos resolver o

problema da seguinte forma:

v+=v_=0 logo

i1=v i

R1

=−vo

R2

, então

vo=−R2

R1

⋅v i .

Para o segundo circuito

v+=vi

v-=R1

R1+R2

⋅vo

v+−v-=vo

A

v i−R1

R1+R2

⋅vo=vo

A

vo

v i

=( R1+R2)⋅A

R1+R2+R1⋅A

vo=R1+R2

R1+R1+R2

A

⋅v i

limA→∞

vo=(1+R2R1)⋅v iResolvendo da forma simplificada:

v R1=v i

i R1=i R2=v0−v i

R2

=v i

R1

vo=(1+R2

R1)⋅vi



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Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos … São condições essenciais para a linearidade: f⋅x= ⋅fx fx1x2=fx1 fx2 2.1.1 Curto circuito O curto circuito acontece sempre