Clave-107-1-M-2-00-2012.docx

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Curso: Matemática Intermedia 1

Tipo de examen: Primer Parcial

Elaborado por Edgar Salguero

Fecha 27/08/2012

Semestre: Segundo

Horario de Examen: 9:00 – 10:50 Jornada: Matutina

Reviso: Inga. Vera Marroquín

Nombre de la clave: Clave-107-1-M-2-00-2012.docx

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TEMARIO DIGITALIZADO Tema No.1 (8 puntos): En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y fresa. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 quetzales y el precio de cada helado es de 4 quetzales el de vainilla, 5 quetzales el de chocolate y 6 quetzales el de fresa. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que el número de helados de vainilla menos en número de los de chocolate es igual a tres veces los de fresa. a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada sabor se compran a la

semana. b) Resuelve, mediante el método de Gauss. Concluya si tiene solución o es inconsistente el sistema.

Tema No.2 (15 puntos): Encontrar la solución del sistema usando 𝑋 = 𝐴−1𝑏. Determine la inversa de dos formas:

i. Usando cofactores. ii. Por el método de Gauss-Jordan (por

operaciones elementales o de equivalencia)

𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 𝑦 = 5

Tema No.3 (10 puntos): Determinar el valor de m para que el sistema de ecuaciones:

2𝑥 + 𝑚𝑦 = 1 𝑚𝑥 + 2𝑦 = 1

Tenga: a) Solución única. b) Infinitas soluciones. c) No tenga solución.

Tema No.4 (10 puntos): Hallar el determinante de la siguiente matriz, utilizando propiedades y cofactores.

𝐴 =

−2 4 2 10 2 1 −22 1 −2 41 −2 4 2

Tema No.5 (7 puntos): Encuentre la solución del sistema utilizando el método de Gauss. Expresar la solución en forma matricial o vectorial.

3 4

2 8

X Y Z W

X Y Z W

Tema No.6 (50 puntos): Resolver las siguientes integrales planteadas.

a. 6𝑥4+2𝑥3+7𝑥2+2𝑥+3

𝑥3(𝑥2+1)2 𝑑𝑥 Si se sabe que los valores de A, B, C, D, E, F & G son 1, 2, 3, -1, -2, 2 & 0

respectivamente, luego de realizar fracciones parciales. (14 puntos)

𝑏. 𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑐. 𝑥−1 3

𝑥2−2𝑥𝑑𝑥

d. 𝑑𝑥

2+2𝑠𝑒𝑛 𝑥+cos 𝑥 e.

𝑑𝑥

𝑥3

− 𝑥4

𝑥

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SOLUCIÓN

Tema No.1 (8 puntos): En una residencia de estudiantes se compran

semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y fresa. El

presupuesto destinado para esta compra es de 540 quetzales y el precio de cada

helado es de 4 quetzales el de vainilla, 5 quetzales el de chocolate y 6 quetzales el

de fresa. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que el número de

helados de vainilla menos en número de los de chocolate es igual a tres veces los

de fresa.

a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de

cada sabor se compran a la semana.

X= Numero de Helados de vainilla

y= Numero de Helados de chocolate

z= Numero de Helados de fresa

Planteando el sistema de ecuaciones:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 110

4𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 540

𝑥 − 𝑦 = 3𝑧

b) Resuelve, mediante el método de Gauss. Concluya si tiene solución o es

inconsistente el sistema.

1 1 14 5 61 −1 −3

110540

0

𝑓2 − 4𝑓1𝑓3 − 𝑓1

= 1 1 10 1 20 −2 −4

110100

−110

𝑓3 + 2𝑓2

= 1 1 10 1 20 0 0

11010090

El sistema es inconsistente

Tema No.2 (15 puntos): Encontrar la solución del sistema usando 𝑋 = 𝐴−1𝑏.

Determine la inversa de dos formas:

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𝑥 + 𝑦 = 3

2𝑥 − 𝑦 = 5

i. Usando cofactores.

1 12 −1

35

Sea A= 1 12 −1

𝑐11 = −1 2 −1 = −1

𝑐12 = −1 3 2 = −2

𝑐21 = −1 3 1 = −1

𝑐22 = −1 4 1 = 1

𝑐 = −1 −2−1 1

𝑐𝑇 = −1 −1−2 1

= 𝐴𝑑𝑗 𝐴

𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐴 = 1 12 −1

= [1 ∗ −1 ] − [1 ∗ 2] = −3

𝐶𝑂𝑀𝑂 𝐴−1 =1

𝐷𝑒𝑡 𝐶𝑇 =

Multiplicamos y encontramos la matriz inversa

𝐴−1 =1

𝐷𝑒𝑡 𝐶𝑇 =

1

−3∗

−1 −1−2 1

= 1/3 1/32/3 −1/3

ii. Por el método de Gauss-Jordan (por operaciones elementales o de

equivalencia)

1 12 −1

1 00 1

𝑓2 − 2𝑓1 = 1 10 −3

1 0

−2 1 𝑓2 ∗ −

1

3=

1 10 1

1 0

2/3 −1/3

1 10 1

1 0

2/3 −1/3 𝑓1 − 𝑓2 =

1 00 1

1/3 1/32/3 −1/3

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𝐴−1 = 1/3 1/32/3 −1/3

Encontrando la solución del sistema

Como 𝑋 = 𝐴−1𝑏

Entonces

𝑋 = 1/3 1/32/3 −1/3

35

𝑋 =1

3 3 +

1

3 5 = 1 +

5

3=

8

3

𝑌 =2

3 3 + −

1

3 5 = 1 −

5

3=

1

3

Tema No.3 (10 puntos): Determinar el valor de m para que el sistema de

ecuaciones:

2𝑥 + 𝑚𝑦 = 1

𝑚𝑥 + 2𝑦 = 1

𝐴 = 2 𝑚𝑚 2

11

𝐴 = 0 → 𝐴𝑋 = 𝐵 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑜 𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛

Entonces igualamos el determinante a 0

2 𝑚𝑚 2

= 4 − 𝑚2 = 0 𝑚 = ±2

Probando con m= 2

2 22 2

11 𝑓1 ∗

1

2=

1 12 2

1/2

1 𝑓2 − 2𝑓1 =

1 10 0

1/2

0

𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 2

Probando con m=-2

2 −2

−2 2

11 𝑓1 ∗

1

2=

1 −1−2 2

1/2

1 𝑓2 + 2𝑓1 =

1 −10 0

1/2

2

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𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = −2

RESPUESTAS

a) Solución única. 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 ± 2 𝑚 ≠ ±2

b) 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 2

c) 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = −2

Tema No.4 (10 puntos): Hallar el determinante de la siguiente matriz, utilizando

propiedades y cofactores.

𝐴 =

−2 4 2 10 2 1 −22 1 −2 41 −2 4 2

Utilizando propiedades

−2 4 2 10 2 1 −22 1 −2 41 −2 4 2

𝑓3 − 2𝑓4 =

−2 4 2 10 2 1 −20 5 −10 01 −2 4 2

𝑓1 + 2𝑓4

=

0 0 10 50 2 1 −20 5 −10 01 −2 4 2

Utilizando cofactores

𝐷𝑒𝑡 = 10 −1 1+3 2 −25 0

+ 5 −1 1+4 2 15 −10

= 10 0 − −10 − 5 −20 − 5 = 225

Tema No.5 (7 puntos): Encuentre la solución del sistema utilizando el método de

Gauss. Expresar la solución en forma matricial o vectorial.

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3 4

2 8

X Y Z W

X Y Z W

1 31 2

1 −1

−1 −1

48 𝑓2 − 𝑓1 =

1 30 −1

1 −1

−2 0

44 𝑓2 ∗ −1

= 1 30 1

1 −12 0

4

−4

𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 𝑤 = 4

𝑦 = 2𝑧 − 4

𝑥 = 4 − 3 2𝑧 − 4 − 𝑧 + 𝑤

𝑥 = 16 − 7𝑧 + 𝑤

𝑥𝑦𝑧𝑤

=

16−400

+ 𝑧

−7210

+ 𝑤

1001

Tema No.6 (50 puntos): Resolver las siguientes integrales planteadas.

a. 6𝑥4+2𝑥3+7𝑥2+2𝑥+3

𝑥3(𝑥2+1)2 𝑑𝑥 Si se sabe que los valores de A, B, C, D, E, F &

G son 1, 2, 3, -1, -2, 2 & 0 respectivamente, luego de realizar fracciones

parciales. (14 puntos)

6𝑥4 + 2𝑥3 + 7𝑥2 + 2𝑥 + 3

𝑥3(𝑥2 + 1)2=

𝐴

𝑥+

𝐵

𝑥2+

𝐶

𝑥3+

𝐷𝑥 + 𝐸

𝑥2 + 1+

𝐹𝑥 + 𝐺

(𝑥2 + 1)2

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6𝑥4 + 2𝑥3 + 7𝑥2 + 2𝑥 + 3

𝑥3(𝑥2 + 1)2𝑑𝑥

= 1

𝑥+

2

𝑥2+

3

𝑥3+

−𝑥 − 2

𝑥2 + 1+

2𝑥 + 0

(𝑥2 + 1)2

𝑑𝑥

= 1

𝑥𝑑𝑥 +

2

𝑥2𝑑𝑥 +

3

𝑥3𝑑𝑥 +

−𝑥 − 2

𝑥2 + 1𝑑𝑥 +

2𝑥 + 0

(𝑥2 + 1)2

𝑑𝑥

= 1

𝑥𝑑𝑥 +

2

𝑥2𝑑𝑥 +

3

𝑥3𝑑𝑥 −

𝑥

𝑥2 + 1𝑑𝑥 −

2

𝑥2 + 1 𝑑𝑥

+ 2𝑥

(𝑥2 + 1)2

𝑑𝑥

Resolviendo cada integral

1

𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥

2

𝑥2𝑑𝑥 = −

2

𝑥

3

𝑥3𝑑𝑥 = −

3

2𝑥2

𝑥

𝑥2 + 1𝑑𝑥 = 𝑢 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 =

1

2ln(𝑥2 + 1)

2

𝑥2 + 1𝑑𝑥 = 2 tan−1 𝑥

2𝑥

(𝑥2 + 1)2 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 = −

1

𝑥2 + 1

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6𝑥4 + 2𝑥3 + 7𝑥2 + 2𝑥 + 3

𝑥3(𝑥2 + 1)2𝑑𝑥

= 𝑙𝑛𝑥 −2

𝑥−

3

2𝑥2−

1

2ln 𝑥2 + 1 − 2 tan−1 𝑥 −

1

𝑥2 + 1+ 𝑐

𝑏. 𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

Utilizando la técnica de integración por partes

𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 = 𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

Utilizando la técnica de integración por partes para la integral 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥

2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − −2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 − −2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑥2 − 2)+c

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𝑐. 𝑥−1 3

𝑥2−2𝑥𝑑𝑥

𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)

𝑥 − 1 3

𝑥 − 1 2 − 1 𝑑𝑥

Sustituyendo

𝑧 = 𝑥 − 1

𝑑𝑧 = 𝑑𝑥

𝑧 3

𝑧 2 − 1 𝑑𝑥

Utilizando la técnica de integración por partes

𝑢 = 𝑧2 𝑑𝑣 =𝑧

𝑧 2 − 1

𝑑𝑢 = 2𝑧𝑑𝑧 𝑣 = 𝑧 2 − 1

𝑧2 𝑧2 − 1 − 2𝑧 𝑧2 − 1𝑑𝑧

𝑧2 𝑧2 − 1 −2

3(𝑧2 − 1)

3

2

(𝑥 − 1)2 (𝑥 − 1)2 − 1 −2

3((𝑥 − 1)2 − 1)

3

2 + 𝑐

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d. 𝑑𝑥

2+2𝑠𝑒𝑛 𝑥+cos 𝑥

𝑢 = tan 𝑥

2

𝑠𝑒𝑛𝑥 =2𝑢

𝑢2 + 1

𝑐𝑜𝑠𝑥 =1 − 𝑢2

𝑢2 + 1

𝑑𝑥 =2

𝑢2 + 1𝑑𝑢

Sustituyendo

2

𝑢2+1𝑑𝑢

2+2 2𝑢

𝑢2+1 +

1−𝑢2

𝑢2+1

=

2

𝑢2+1𝑑𝑢

2𝑢2+2+4𝑢+1−𝑢2

𝑢2+1

=

2

𝑢2+1𝑑𝑢

𝑢2+4𝑢+3

𝑢2+1

=

2𝑢2+4𝑢+3=2𝑢+3(𝑢+1)

Resolviendo por fracciones parciales

2 𝑑𝑢

𝑢 + 3 (𝑢 + 1)=

𝐴

(𝑢 + 3)+

𝐵

(𝑢 + 1)

1 = 𝐴 𝑢 + 1 + 𝐵 𝑢 + 3

𝐴 = −𝐵

𝐴 = 1 − 3𝐵

𝐴 = −1

2 𝐵 =

1

2

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2 𝑑𝑢

𝑢 + 3 (𝑢 + 1)=

−1

2

(𝑢 + 3)+

1

2

(𝑢 + 1)

2 −

1

2

(𝑢 + 3)+ 2

1

2

(𝑢 + 1)

− ln 𝑢 + 3 + ln 𝑢 + 1

Regresando 𝑢 = tan 𝑥

2

− ln tan 𝑥

2 + 3 + ln tan

𝑥

2 + 1

e. 𝑑𝑥

𝑥3

− 𝑥4 𝑥

= 𝑑𝑥

𝑥56−𝑥

34

Sustituyendo

𝑥 = 𝑧12

𝑑𝑥 = 12𝑧11 𝑑𝑧

12𝑧11 𝑑𝑧

𝑧10 − 𝑧9=

12𝑧11 𝑑𝑧

𝑧9(𝑧 − 1)=

12𝑧2 𝑑𝑧

(𝑧 − 1)

= 12𝑧 + 12 +12

𝑧 − 1

=6𝑧2 + 12𝑧 + 12ln(𝑧 − 1)

= 6𝑥1

6 + 12𝑥1

12 + 12ln(𝑥1

12 − 1)