universidad de san carlosFacultad de IngenierıaEscuela de CienciasDepartamento de Matematica

clave-103-4-V-2-00-2013

CLAVE DE EXAMEN

—Matematica Basica 2—codigo de curso: 103

Datos de la clave

Elaborada por:Glenda Liliana Gomez

Revisada por:Lic. Gustavo Santos

Datos del examen

EXAMEN FINALSegundo semestre, 2013

Jornada vespertina

6 de febrero de 2014

TEMARIO DEL EXAMEN

TEMA 1

Para

f(x) =

{x+ 1 x 5 13x− 1 x > 1

Determine si la funcion f(x) es continua en 1 y si es derivable en 1.

TEMA 2

a) Usando leyes o propiedades de los lımites, calcular:

lımx→1

x2 − 1

|x− 1|

b) Obtenerdy

dxde:

[sen(xy)]3 = Ln(ex2 − x)

c) Evalue: ∫x3

3√x2 + 4

dx

TEMA 3

Dos ciudades A y B van a tener su abastecimiento de agua de una misma estacion de bombeo que seubicara en la ribera de un rıo recto que se encuentra a 15Km de la ciudad A y a 10Km de la ciudad B.Si los puntos del rıo mas cercanos a A y B se hallan separados por 20Km, A y B estan del mismo ladodel rıo, ¿Donde debe instalarse la estacion de bombeo para que se necesite la menor cantidad de tuberıa?

TEMA 4

Calcular el volumen del solido cuya base es la region delimitada por las curvas y = x3 y y =√x, con

secciones transversales que son semicırculos perpendiculares al eje y.

TEMA 5

Un tanque lleno de agua tiene 3m de longitud y su seccion transversal tiene forma de semicırculo condiametro 2m en la parte superior. Plantee la integral de trabajo que se requiere para bombear toda elagua descargandola 1m arriba de la parte superior del tanque (densidad del agua 1000 kg

m3 ).

SOLUCIONES

TEMA 1

Continuidad

Haremos una grafica para saber como se comporta la funcion.

-2 -1 1 2 3

2

4

6

8

Podemos observar que la grafica es continua ahora debemos proceder a comprobarlo analıticamente.

Silım

x→1+f(x) = lım

x→1−f(x) = lım

x→1f(x) = f(1)

entonces decimos que f(x) es continua.

Vamos a calcular los lımites laterales:

lımx→1+

3x− 1 = 2

lımx→1−

x+ 1 = 2

Como los lımites laterales existen y son iguales decimos que el lımite existe y es:

lımx→1

f(x) = 2

Como ultimo paso para saber si es continua es valuar f(x) en 1.

f(1) = 2

Como f(1) = 2 y esto es igual a lımite decimos que f(x) es continua en 1.

Derivabilidad

Para saber si f(x) es derivable en 1 vamos a usar la definicion de derivada:

f ′(x) = lımx→0−

f(x+ h)− f(x)

h

Para que exista la deriva en 1 es necesario que la derivada por la izquierda y por la derecha sean la misma.

f ′(x) = lımx→0−

(x+ h+ 1)− (x+ 1)

h= lım

x→0

h

h= 1

f ′(x) = lımx→0+

(3(x+ h) + 1)− (3x+ 1)

h= lım

x→0

3h

h= 3

Como la derivada por la izquierda y la derecha son distintas f(x) no es derivable en 1. Esto lo podemosobservar en la grafica porque existe un pico en 1.

TEMA 2

Solucion

a) Como en el lımite existe un valor absoluto tenemos:

f(x) =

x2 − 1

x− 1, si x ≥ 1

x2 − 1

−x+ 1, si x < 1

Ahora vamos a calcular los lımites laterales

lımx→1+

x2 − 1

x− 1= lım

x→1+

(x− 1)(x+ 1)

x− 1= lım

x→1+(x+ 1) = 2

lımx→1−

x2 − 1

1− x= lım

x→1−

(x− 1)(x+ 1)

−(x− 1)= lım

x→1−(−x− 1) = −2

dado que:lım

x→1+f(x) 6= lım

x→1−f(x)

decimos que:

lımx→1

x2 − 1

|x− 1|no existe

b) Procedemos a derivar implıcitamente:

3 [sen(xy)]2 (cos(xy))

(y + x

dy

dx

)=

1

ex2 − x

((2x)ex

2 − 1)

ahora vamos a despejar:

(y + x

dy

dx

)=

((2x)ex

2 − 1)

3(ex2 − x) [sen(xy)]2 (cos(xy))

dy

dx=

((2x)ex

2 − 1)

3x(ex2 − x) [sen(xy)]2 (cos(xy))− y

x

c) La integral se resuelve mediante el metodo de sustitucion:

u = x2 + 4 =⇒ u− 4 = x2

du = 2x =⇒ 1

2du = xdx

1

2

∫u− 4

3√udu =

1

2

∫ [u

23 − 4u−

13

]du

Integrando obtenemos:

3

10u

53 − 3u

23 + c1 =

3

10u

23 (u− 10) + c1

Regresando a x:

3

10(x2 + 4)

23 (x2 + 4− 10) + c =

3

10(x2 + 4)

23 (x2 +−6) + c

Por lo que: ∫x3

3√x2 + 4

dx =3

10(x2 + 4)

23 (x2 +−6) + c

TEMA 3

Solucion

Vamos a hacer un esquema de lo que nos fue descrito en el problema:

El punto O es el que puede variar segun su localizacion y lo que queremos es encontrar el punto O quehaga la menor cantidad de tuberıa.

Para esto vamos a calcular la distancia de OA que la denotaremos t1. Es facil darnos cuenta que vienedado por un triangulo rectangulo. Calculamos la hipotenusa:

t1 =√

152 + x2

Lo mismo hacemos con la distancia OB que denotaremos t2:

t2 =√

102 + (20− x2)

La cantidad de tuberıa total resulta de la suma de t1 y t2, entonces obtenemos:

t(x) =√

152 + x2 +√

102 + (20− x2)

Ahora procedemos a derivar respecto x:

t′(x) =1

2

2x√152 + x2

+1

2

(20− x)(−1)√102 + (20− x2)

simplificando tenemos:

t′(x) =x√

152 + x2+

(x− 20)√102 + (20− x2)

Ahora hacemos t′(x) = 0 para encontrar los puntos crıticos:

0 =x√

152 + x2+

(x− 20)√102 + (20− x2)

x√

100 + (20− x)2 + (x− 20)√

225 + x2√100 + (20− x2)

√225 + x2

= 0

Vamos a resolver la ecuacion, el denominador lo pasaremos del otro lado de la ecuacion.

x√

100 + (20− x)2 + (x− 20)√

225 + x2 = 0

Dejamos una raız de cada lado de la ecuacion:

−x√

100 + (20− x)2 = (x− 20)√

225 + x2

Elevamos al cuadrado a ambos lados de la ecuacion:

x2(100 + (20− x)2) = (x− 20)2(225 + x2)

Expandemos los binomios:

x2(100 + 400− 40x+ x2) = (x2 − 40x+ 400)(225 + x2)

Hacemos algebra:

500x2 − 40x3 + x4 = 225x2 − 9000x+ 90000 + x4 − 40x3 + 400x2

Reuniendo los terminos semajantes:

125x2 − 9000x+ 90000 = 0

Resolviendo la ecuacion cuadratica obtenemos:

x = 12, x = 60

Nos damos cuanta que 60 es una solucion extrana porque al sustituir en la ecuacion no se cumple laigualdad, por lo que no es solucion a nuestro problema.

Para establecer si es mınimo usamos el criterio de primera derivada. (Tambien se puede usar el criteriode segunda derivada)

Para saber si 12 es el mınimo global debemos obtener el dominio y nos damos cuenta que el dominio det(x), t′(x) es todos lo numeros reales.

Ahora valuamos en la primera derivada un punto antes de 12 y uno despues de 12. Si hay cambio de signode menos a mas es un mınimo.

Vamos a calcular t′(0) y t′(13):

t′(0) = − 2√5∼= −0,894427

t′(13) =−7√149

+13√394∼= 0,0814682

Nos damos cuenta que si existe el cambio de signo de − a + entonces es mınimo.

Respuesta: La estacion de bombeo debe colocarse a 19,2094Km del pueblo A y del puebloB a 12,8062Km.(Nota: esto se saca sustituyendo 12 en t1 y t2).

TEMA 4

Solucion

Para ayudarnos a visualizar haremos una grafica:

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

El area de la secciones semicırculares vienen dadas por:

A =πr2

2

Donde el radio es:

r =(y2 − y

13 )2

8

El diferencial de volumen queda:

dv = π(y2 − y

13 )2

8dy

Falta encontrar los lımites de integracion, esto se hace mediante a los puntos de interseccion. Para encon-trar los puntos de interseccion:

y2 = y13 =⇒ y2 − y

13 = 0

Hay que resolver la ecuacion anterior:

y13 (y

53 − 1) = 0

La solucion de los puntos de interseccion son:

y = 0, y = 1

Ahora conocemos nuestros lımites de integracion y la integral que describe el volumen queda:

V =

∫ 1

0π

(y2 − y13 )2

8dy =

π

8

∫ 1

0(y4 − 2y

73 + y

23 )dy

Integrando tenemos:

V =π

8

[(1

5y5 − 3

5y

103 +

3

5y

53

)]10

Evaluando los lımites de integracion tenemos:

V =π

8

(1

5− 3

5+

3

5− 0

)El volumen queda como:

V =π

40∼= 80,0785398 unidades cubicas

TEMA 5

Solucion

Ver la figura que se muestra:

El diferencial de trabajo viene dado por dW = (ρgs)dv, donde ρ es la densidad, g es la gravedad, s ladistancia que recorre el diferencial de agua y dv es el diferencial de volumen.

La gravedad en el sitema internacional es de 9,8ms3

y la densidad es ρ = 1000 kgm3 .

s = 2− h, h es la altura de cada diferencial desde la base del tanque.Tambien tenemos que saber que serelaciona con que se quiere bombear 1 metro hacia arriba y como el diametro del semicırculo es 2, el radioes 1, entonces cada diferencial se mueve 1− h. Por lo que s = 1 + 1− h.

dv = 2(3)√

1− (1− h)2dh, recordemos que el diferencial de volumen viene por el espejo de agua. El espejode agua en este caso es un rectangulo. El lado largo es 3. El lado mas pequeno es la mitad del semicırculo(esto se puede obtener por Pitagoras o la ecuacion del cırculo)

√1− (1− h)2 y por simetrıa se multiplica

por 2. Y el dh es el grosor de cada diferencial.

Para los lımites de integracion debemos saber que en este tipo de problemas varia donde ponemos el nivelde referencia. En este caso se lo pondremos en la parte de abajo del taque. Tambien debemos tener claroque solo podemos integrar donde existe agua. Entonces nuestros lımites son de 0 a 1. (0 es por el origende nuestro nivel de referencia y 1 por el diametro del semicırculo y porque el tanque esta lleno).

W = (9,8)(1000)

∫ 1

02(3)(2− h)

√1− (1− h)2dh = 9800

∫ 1

06(2− h)

√2h− h2dh

Nota: Esta integral se resuelve por metodos de integracion que se daran a conocer en el curso posterior.