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Universidad de San Carlos de Guatemala

Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática

Matemática para Computación 1

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-960-1-M-1-00-2018sB

CURSO: Matemática para Computación 1

SEMESTRE: Primer

CÓDIGO DEL CURSO: 960

TIPO DE EXAMEN: Primer Parcial

FECHA DE EXAMEN: Abril 2018

REVISION DEL EXAMEN: Lic. Carlos A. Morales S.

SOLUCION DEL EXAMEN: Luis Ramírez

COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz





UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS MATEMATICA DE COMPUTO 1 1er. Examen parcial Lic. Carlos A. Morales S. abril/2018 Aux. Luis Ramírez

TEMARIO “LGSR”

TEMA 1 (24/100) a) Construya la tabla de verdad de la proposición compuesta:

(¬p nor ¬q) ⇔ (r nand s)

b) Expresar el conectivo ⇒ solamente en términos del conectivo nor TEMA 2 (25/100)

a) Utilice el método de inducción matemática para demostrar:

𝟐(𝟒) + 𝟒(𝟔) + 𝟔(𝟖) + ⋯ + 𝟐𝒏(𝟐𝒏 + 𝟐) =𝟒

𝟑𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)

b) Demostrar por contradicción: √𝟑 es irracional TEMA 3 (18/100) Utilice reglas de inferencia y equivalencias lógicas para demostrar que el siguiente argumento es correcto:

𝐩 ⇒ 𝐪 𝐪 ⇒ 𝐬

𝐫 ⇒ 𝐬 ____𝐩_____ ∴ (𝐬 ∧ 𝐪) ∨ 𝐰

TEMA 4 (15/100) Negar las siguientes proposiciones:

4.1 ∀ 𝐱 ∈ 𝐑, ∃ 𝐧 ∈ 𝐍, √𝐧 > 𝐱 4.2 x es par si y sólo si x no es divisible por 3

4.3 (𝐩 ⇒ ¬𝐪) ∧ r TEMA 5 (18/100) Utilice tablas de verdad para demostrar que:

(𝐩 ∧ (𝐪 ∨ 𝐫)) ⇔ ((𝐩 ∧ 𝐪) ∨ (𝐩 ∧ 𝐫))





SOLUCIÓN DEL EXAMEN

Tema 1: 24 puntos a) Construya la tabla de verdad de la proposición compuesta: (¬p nor ¬q) ⇔ (r nand s)

p q r s ¬p ¬q (¬p or ¬q) (¬p nor ¬q) (r and s) (r nand s) (¬p nor ¬q) ⇔ (r nand s)

0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0

0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0

0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1

0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0

0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0

0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1

1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0

1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1

1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1

1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1

1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1

1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0

b) Exprese el conectivo ⇒ solamente en términos del conectivo nor

Proposición Propiedad

𝒑 ⟶ 𝒒 Premisa ¬𝒑 ∨ 𝒒 Implicación

¬(𝒑 ∨ 𝒑) ∨ 𝒒 Ley de Idempotencia (𝒑 ↓ 𝒑) ∨ 𝒒

¬¬[(𝒑 ↓ 𝒑) ∨ 𝒒] Doble Negación ¬[(𝒑 ↓ 𝒑) ↓ 𝒒]

¬[((𝒑 ↓ 𝒑) ↓ 𝒒) ∨ ((𝒑 ↓ 𝒑) ↓ 𝒒)] Ley de Idempotencia

((𝒑 ↓ 𝒑) ↓ 𝒒) ↓ ((𝒑 ↓ 𝒑) ↓ 𝒒)





Tema 2: 25 puntos

a) Utilice el método de inducción matemática para demostrar:

𝟐(𝟒) + 𝟒(𝟔) + 𝟔(𝟖) + ⋯ + 𝟐𝒏(𝟐𝒏 + 𝟐) =𝟒

𝟑𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)

Base: Para 𝑛 = 1

𝟐(1)(2(1) + 2) =4

3(1)(1 + 1)(1 + 2) = 8 = 8

Hipótesis de Inducción

Para 𝑛 = 𝑘

2(4) + 4(6) + 6(8) + ⋯ + 2𝑘(2𝑘 + 2) =4

3𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

∑ 2𝑖(2𝑖 + 2) =4

3𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

𝑘

𝑖=1

Tesis: Para 𝑘 + 1

[∑ 2𝑖(2𝑖 + 2)

𝑘

𝑖=1

] + 2(𝑘 + 1)(2𝑘 + 2) =4

3(𝑘 + 1)((𝑘 + 1) + 1)((𝑘 + 1) + 2)

4

3𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) + 2(𝑘 + 1)(2(𝑘 + 1) + 2) =

4

3(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)

Expresión Procedimiento 𝟒

𝟑𝒌(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐) + 𝟐(𝒌 + 𝟏)(𝟐(𝒌 + 𝟏) + 𝟐)

Factorizar 2 de la expresión (2(𝑘 + 1) + 2)

𝟒

𝟑𝒌(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐) + 𝟐(𝒌 + 𝟏)(𝟐((𝒌 + 𝟏) + 𝟏))

Operar la expresión (2((𝑘 + 1) + 1))

𝟒

𝟑𝒌(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐) + 𝟐(𝒌 + 𝟏)(𝟐(𝒌 + 𝟐))

Operar la expresión 2(𝑘 + 1)(2(𝑘 + 2))

𝟒

𝟑𝒌(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐) + 𝟒(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐)

Factorizar 4(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) a la expresión

𝟒(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐) [𝟏

𝟑𝒌 + 𝟏] Operar

1

3𝑘 + 1

𝟒(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐) [𝒌 + 𝟑

𝟑]

Reescribir la expresión

𝟒

𝟑(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐)(𝒌 + 𝟑)

Conclusión: La expresión cumple para todo número entero mayor a 1





b) Demostrar por contradicción √3 es irracional

Fundamento Lógico

¬ 𝒑 ⟹ 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒄𝒊ó𝒏

∴ 𝒑 Inicio

p : √3 es irracional

¬p : √3 es racional Hipótesis Auxiliar Definición de un racional

∃ 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑎, 𝑏 ≠ 0/ 𝑟 =𝑎

𝑏∧ 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑏) = 1

Por definición

√3 =𝑎

𝑏 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 ≠ 0 ∧ 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑏) = 1

√3 =𝑎

𝑏

√3𝑏 = 𝑎

3𝑏2 = 𝑎2 𝑎2 es divisible por 3 implica que 𝑎 es divisible por 3; sea 𝑎 = 3𝑘

3𝑏2 = (3𝑘)2 Sustituir 𝑎 por 3𝑘

3𝑏2 = 9𝑘2 De Igual manera para b

𝑏2 = 3𝑘2

Contradicción

3 es divisor de a y b y 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑏) = 1 contradicción por lo tanto √3 es irracional





Tema 3: 18 puntos

p ⟹ q q ⟹ r r⟹s

p___ ∴( s ∧ q) ∨ w

Pasos Razón 1 p → q Premisa 2 q → r Premisa 3 p → r Silogismo hipotético

Pasos: (1) y (2) [(p → q) ∧ (q → r)] ⇒ (p → r)

4 r → s Premisa 5 p → s Silogismo hipotético

Pasos: (3) y (4) [(p → r) ∧ (r → s)] ⇒ (p → s)

6 p premisa 7 s Método de Separación

Pasos: (5) y (6) [( p → s) ∧ p] ⇒ s

8 q Método de Separación Pasos: (1) y (6) [(p → q) ∧ p] ⇒ q

9 s ∧ q Conjunción Pasos: (7) y (8)

10 (s ∧ q) ∨ w Adición Pasos: (9), w





Tema 4: 15 puntos Negar las siguientes expresiones

4.1 ∀ x ∈ R, ∃ n ∈ N, √n > x

∃ x ∈ R, ∀ n ∈ N, √n ≤ x 4.2 x es par si y sólo si x no es divisible por 3 Utilizando el conectivo o exclusivo: ó

x es par ó x no es divisible por 3 Utilizando los conectivos y, o p: x es par q: x no es divisible por 3

𝑝 ⟷ 𝑞 Proposición (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝) Doble Implicación

¬[(𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝)] Negación

¬(𝑝 → 𝑞) ∨ ¬(𝑞 → 𝑝) Ley de DeMorgan

¬(¬𝑝 ∨ 𝑞) ∨ ¬(¬𝑞 ∨ 𝑝) Implicación (𝑝 ∨ ¬𝑞) ∨ (𝑞 ∧ ¬𝑝) Ley de DeMorgan

x es par y x es divisible por 3 o x no es divisible por 3 y x no es par

4.3 (p ⇒ ¬q) ∧ r

(𝑝 ⇢ ¬𝑞) ∧ 𝑟 Proposición

¬[(𝑝 ⇢ ¬𝑞) ∧ 𝑟] Negación ¬[(¬𝑝 ∨ ¬𝑞) ∧ 𝑟] Implicación

¬(¬𝑝 ∨ ¬𝑞) ∨ ¬𝑟 Ley de DeMorgan (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ¬𝑟 Ley de DeMorgan

(𝒑 ∧ 𝒒) ∨ ¬𝒓





Tema 5: 18 puntos Utilice tablas de verdad para demostrar que:

(p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))

p q r 𝐪 ∨ 𝐫 𝐩 ∧ (𝐪 ∨ 𝐫) 𝐩 ∧ 𝐪 𝐩 ∧ 𝐫 (𝐩 ∧ 𝐪) ∨ (𝐩 ∧ 𝐫)

(𝐩 ∧ (𝐪 ∨ 𝐫))

⇔ ((𝐩 ∧ 𝐪) ∨ (𝐩 ∧ 𝐫))

0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0 0 0 1

0 1 1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 1 1 1 0 1 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

Tautología

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