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Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Matemáticas

Facultad de Ingeniería Matemática Intermedia 1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-107-1-M-1-00-2018

CURSO: Matemática Intermedia 1

SEMESTRE: Primer Semestre 2018

CÓDIGO DEL CURSO: 107

TIPO DE EXAMEN: Primer Parcial

FECHA DE EXAMEN: Febrero de 2018

RESOLVIÓ EL EXAMEN: B’alam Luis Gregorio Lol

Alvarez

DIGITALIZÓ EL EXAMEN: B’alam Luis Gregorio Lol

Alvarez

REVISÓ EL EXAMEN: Ing. Arturo Samayoa

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA

FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1

ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL

TEMARIO “A”

Tema No. 1 ( 10 Puntos)

Utilizando el método de eliminación de Gauss, encuentre la solución del siguiente problema:

El alimento H tiene 16 calorías por libra y 9 unidades de vitaminas por libra, el alimento G tiene 48 calorías por

libra y 25 unidades de vitaminas por libra, y el alimento P tiene 80 calorías por libra y 41 unidades de vitaminas

por libra. Se desea preparar una mezcla de 20 libras de los alimentos H, G y P que contenga un total de 960

calorías y 500 unidades de vitaminas. Encuentre las libras de H, G y P que cumplen con estos requerimientos si

es posible o muestre que la información es insuficiente o incorrecta ya que es inconsistente. Razone su respuesta.

Tema No. 2 (11 Puntos)

a) Determine todos los valores de x , para que la matriz NO TENGA INVERSA.

2 3

0 1 4

0 0 2

x

x

x( 4pts)

b) Encuentre el determinante utilizando cofactores ( indicando todos los pasos seguidos):

1 4 1 3

2 0 0 1

2 2 2 3

2 4 6 5 ( 7 pts.)


Dado: 8

2 4

x y

x y

a) Encuentre la matriz inversa de la matriz de coeficientes de dos formas por:

i) 1A I I A ii) Por la Adjunta de (por cofactores). ( 5 pts. c/u)

b) Encuentre la solución del sistema utilizando la matriz inversa encontrada. ( 3 pts.)

Tema No. 4 (12Puntos)

Cada una de las siguientes matrices, son matrices aumentadas. Encuentre la solución del sistema que representan

si tiene solución única o infinitas (exprese en forma matricial), nombre las incógnitas como lo desee.

𝑎) (1 −1 0 −1 ⋮ 10 0 1 0 ⋮ 3

) 𝑏) (1 2 ⋮ 30 1 ⋮ 10 0 ⋮ 0

) 𝑐) (1 0 ⋮ 40 1 ⋮ 20 0 ⋮ −1

)


Determine los valores de K tal que el sistema de YX & tenga: i) Sol. única ii) Ninguna iii) Infinitas

soluciones. Razone su respuesta. 1 8 0

( 1) 0

K X Y

X K Y

Tema No. 6 (45 Puntos) Calcule: (9 pts c/u)

i) 2

3245 xx

dx ii) 1sen xdx

iii)

4sec

tan

xdx

x iv)

2

2

( 4)

( 1)( 3)

x dx

x x

v)

3

2 4

x dx

x




SOLUCIÓN

Tema No. 1 ( 10 Puntos)

Utilizando el método de eliminación de Gauss, encuentre la solución del siguiente problema:

El alimento H tiene 16 calorías por libra y 9 unidades de vitaminas por libra, el alimento G tiene 48 calorías por

libra y 25 unidades de vitaminas por libra, y el alimento P tiene 80 calorías por libra y 41 unidades de vitaminas

por libra. Se desea preparar una mezcla de 20 libras de los alimentos H, G y P que contenga un total de 960

calorías y 500 unidades de vitaminas. Encuentre las libras de H, G y P que cumplen con estos requerimientos si

es posible o muestre que la información es insuficiente o incorrecta ya que es inconsistente. Razone su respuesta

No. Explicación Operatoria

1 Para plantear la primera ecuación del

sistema se utiliza la información sobre la

cantidad total de libras que se quieren

obtener dadas tres cantidades distintas

𝑥 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐻

𝑦 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐺

𝑧 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑃

𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 20 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 20

2 Para la segunda ecuación se analiza la

cantidad de calorías por libra que aportará

cada alimento a la mezcla total, para esto

se multiplica la cantidad que se toma de

cada alimento y por su aporte de calorías

por libra, esto debe ser igual al numero total

de calorías que se requiere en la mezcla de

alimentos

16𝑥 + 48𝑦 + 80𝑧 = 960

3 Para la tercera ecuación se analiza la

cantidad de vitaminas por libra que aportará

cada alimento a la mezcla total, para esto

se multiplica la cantidad que se toma de

cada alimento y por su aporte de vitaminas

por libra, esto debe ser igual al numero total

de vitaminas que se requiere en la mezcla

de alimentos

9𝑥 + 25𝑦 + 41𝑧 = 500

4 El sistema queda de las siguiente forma {16

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 20𝑥 + 48𝑦 + 80𝑧 = 9609𝑥 + 25𝑦 + 41𝑧 = 500

5 El primer paso para aplicar el método de

reducción Gaussiana es escribir la matriz

aumentada del sistema

⌊1 1 1 20

16 48 80 9609 25 41 500

⌋




6 Se comienza reduciendo el segundo y

tercer elemento de la primera columna a

cero, para hacerlo de forma correcta

siempre se utilizará una operación entre la

fila que queremos afectar y la fila en la

que esta el elemento pivote de esa

columna.

En este caso la fila donde esta el pivote es

a fila uno.

*Elemento pivote: Elemento que se

encuentra en a diagonal principal de una

matriz

𝐹2 = 16𝐹1 − 𝐹2

𝐹3 = 9𝐹1 − 𝐹3

𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:

⌊1 1 1 200 −32 −64 −6400 −16 −32 −320

⌋

7

Se procede a reducir el elemento 3 de la

columna 2, utilizando operaciones entre la

fila que se quiere simplificar y la fila que

contiene el elemento pivote que en este

caso es la fila 2

Debe notarse que una fila completa se

elimina por lo tanto se tendrán infinitas

soluciones para este sistema

𝐹3 = 𝐹2 − 2𝐹3


⌊1 1 1 200 −32 −64 −6400 0 0 0

⌋

8 El método de eliminación Gaussina

requiere llevar la matriz aumentada a una

forma escalonada para luego usar

sustituciones y encontrar los valores de las

variables que cumplen con el sistema.

Dado que en este sistema se elimina

completamente una fila ya no es posible

terminar de resolver por este método, se

procede entonces a utilizar el método de

Gauss-Jordan, que consiste en llevar el

sistema una matriz escalonada reducida,

esto permitirá determinar las infinitas

soluciones del sistema

𝐹1 = 32𝐹1 + 𝐹2


⌊32 0 −32 00 −32 −64 −6400 0 0 0

⌋

9 Se procede a reducir los elementos pivotes

para que sean iguales a 1

𝐹1 = 𝐹1/32

𝐹2 = −𝐹2/32


⌊1 0 −1 00 1 2 200 0 0 0

⌋





a) Determine todos los valores de x , para que la matriz NO TENGA INVERSA.

2 3

0 1 4

0 0 2

x

x

x( 4pts)

b) Encuentre el determinante utilizando cofactores ( indicando todos los pasos seguidos):

1 4 1 3

2 0 0 1

2 2 2 3

2 4 6 5 ( 7 pts.)


1 Para el inciso “a” se debe recordar que si

el determinante de una matriz es igual a

cero entonces la matriz no será invertible

es decir que no tiene inversa

𝑆𝑖 det(𝐴) = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎

2 Para hallar el determinante de una matriz

triangular superior se deben multiplicar los

elementos de la diagonal principal

𝐴 = (𝑥 2 30 𝑥 − 1 40 0 𝑥 + 2

)

𝐷𝑒𝑡(𝐴) = (𝑥)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

3 Para que la matriz no tenga inversa se

iguala el determinante a cero y se resuelve

para “x”

𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 0

(𝑥)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0

𝑥 = 0

𝑥 = 1

𝑥 = −2

4 Para determinar el determinante de la

matriz A se usará el método de cofactores

y la fila 2, ya que es la que tiene el mayor

numero de elementos cero

𝐴 = [

1 4 1 32 0 0 12

−224

2−6

35

]

10

Dado que las cantidades “y” y “x” solo

dependen de la cantidad “z” y no entre sí, el

sistema puede tener Infinitas soluciones

Siendo la ecuaciones para las infinitas

solución la siguientes:

𝑥 = 𝑧

𝑦 = 20 − 2𝑧

𝐿𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛




𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 2

𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 𝐶21𝑎21 + 𝐶22𝑎22 + 𝐶23𝑎23 + C24a24

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:

𝑎21 = 2

𝑎22 = 0

𝑎23 = 0

𝑎24 = 1

𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 𝐶21𝑎21 + 𝐶24𝑎24

5 Para obtener los cofactores se necesita

obtener el determinante de la matriz menor

que se obtiene al anular la fila y columna

del cofactor que se esta trabajando

Para estos determinantes también se

usará el método de cofactores, utilizando la

fila 1 en cada uno de ellos

𝑐21 = (−1)2+1 |4 1 32 2 34 −6 5

| =

|4 1 32 2 34 −6 5

| =

(4)(−1)1+1 |2 3

−6 5| + (1)(−1)1+2 |

2 34 5

| +

(3)(−1)1+3 |2 24 −6

|

= 4(10 + 18) − 1(10 − 12) + 3(−12 − 8) = 54

𝑐21 = (−1)2+1 ∗ 54 = −54

𝑐24 = (−1)2+4 |1 4 12 2 2

−2 4 −6|

|1 4 12 2 2

−2 4 −6| =

(1)(−1)1+1 |2 24 −6

| + (4)(−1)1+2 |2 2

−2 −6|

+ (1)(−1)1+3 |2 2

−2 4|

= (−12 − 8) − 4(−12 + 4) + (8 + 4) = 24

𝑐24 = (−1)2+4 ∗ 24 = 24

6 Regresando al planteamiento original

𝐷𝑒𝑡(𝐴) = (2)(−54) + (1)(24)

𝐷𝑒𝑡(𝐴) = −84





Dado: 8

2 4

x y

x y

a) Encuentre la matriz inversa de la matriz de coeficientes de dos formas por:

i) 1A I I A ii) Por la Adjunta de (por cofactores). ( 5 pts. c/u)

b) Encuentre la solución del sistema utilizando la matriz inversa encontrada. ( 3 pts.)

No Explicación Operatoria

1 Primero se obtiene la matriz de

coeficientes del sistema 𝐴 = [

1 11 2

]

2 Ahora se adjunta la matriz identidad y se

empieza a aplicar operaciones entre filas

para convertir la matriz A en la matriz

identidad

(1 11 2

|1 00 1

)

𝐹2 = 𝐹2 − 𝐹1

(1 10 1

|1 0

−1 1)

𝐹1 = 𝐹1 − 𝐹2

(1 00 1

|2 −1

−1 1)

3 Al llevar la matriz A a una forma

escalonada reducida en el lado derecho se

obtiene la matriz Inversa de A

𝐴−1 = [2 −1

−1 1]

4 Se usará el método de cofactores para

hallar la matriz inversa

𝐴−1 = 1

𝐷𝑒𝑡(𝐴)𝐶𝑇

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:

𝐶𝑇 , 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑎𝑑𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎

5 Se escribe el sistema en forma de producto

matricial

Se calcula el determinante

[1 11 2

] [𝑥𝑦] = [

8−4

]

Donde:

𝐴 = [1 11 2

]

𝐷𝑒𝑡(𝐴) = (1 ∗ 2) − (1 ∗ 1) = 1

6 Se calculan los cofactores, anulando a fila

y la columna del elemento que se está

trabajando

𝑐11 = (−1)1+1(2) = 2

𝑐12 = (−1)1+2(1) = −1

𝑐21 = (−1)2+1(1) = −1

𝑐22 = (−1)2+2(1) = 1




7 La matriz de cofactores que se obtiene es:

𝐶 = [2 −1

−1 1]

8 Se determina la matriz Inversa de la

siguiente forma

*Para este particular caso la matriz de

cofactores y su traspuesta son iguales

𝐴−1 = 1

𝐷𝑒𝑡(𝐴)𝐶𝑇

𝐴−1 = 1

1[

2 −1

−1 1]

𝑇

𝐴−1 = [2 −1

−1 1]

9 Se determina la solución del sistema de

ecuaciones de la siguiente forma 𝑋 = 𝐴−1. 𝐵

𝑋 = [2 −1

−1 1] . [

8−4

]

𝑋 = [(2)(8) + (−1)(−4)(−1)(8) + (1)(−4)

]

𝑋 = [20

−12]

10 La solución del sistema es 𝑥 = 20, 𝑦 = −12

Tema No. 4 (12Puntos)

Cada una de las siguientes matrices, son matrices aumentadas. Encuentre la solución del sistema que representan

si tiene solución única o infinitas (exprese en forma matricial), nombre las incógnitas como lo desee.

𝑎) (1 −1 0 −1 ⋮ 10 0 1 0 ⋮ 3

) 𝑏) (1 2 ⋮ 30 1 ⋮ 10 0 ⋮ 0

) 𝑐) (1 0 ⋮ 40 1 ⋮ 20 0 ⋮ −1

)


1 El sistema representado en la inciso “a”

ya se encuentra en forma de matriz

escalonada reducida.

*Matriz Escalonada reducida: matriz en forma

escalonada en la cual los elementos arriba y

debajo de los pivotes son cero

Se escribe la matriz aumentada como

un sistema de ecuaciones, para

determinar de forma directa el valor de

una de las variables

(1 −1 0 −1 ⋮ 10 0 1 0 ⋮ 3

)

𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎:

𝑥 − 𝑦 + (0)𝑧 − 𝑤 = 1

𝑧 = 3

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 "𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤" 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

2 Dado que se observa que el sistema

tiene más variables que ecuaciones, se

concluye que tiene infinitas soluciones




Se procede a escribir las soluciones en

forma matricial

Para escribir en forma vectorial se

asigna los siguientes parámetros a las

variables

𝑦 = 𝑠

𝑤 = 𝑡

3 Para escribir el sistema en forma

vectorial se despeja la variable “x” de

las ecuaciones, en realidad se puede

despejar cualquiera de las variables

pero se recomienda hacer un despeje

de tal forma que una variable incluya al

mayor numero posible de las otras

variables

𝑥 = 𝑦 + 𝑤 + 1

𝑧 = 3

𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:

𝑦 = 𝑠

𝑤 = 𝑡

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

𝑥 = 𝑠 + 𝑡 + 1

𝑧 = +3

4 Ahora se escriben todas las variables

en términos de los parámetros “s” y “t”,

para ordenarlos en 3 vectores

columnas, uno por cada parámetro y

otro para los valores constantes

Se debe observar que el contenido de

cada vector es el coeficiente del

parámetro presente en la variable

trabajada, si la variable esta despejada

en términos de un solo parámetro, en

todos los demás vectores tiene un

coeficiente cero asignado

𝑋 = [

𝑥𝑦𝑧𝑤

] = [

1100

] 𝑠 + [

1001

] 𝑡 + [

1030

]

5 Para el sistema representado en el

inciso “b” se debe notar que ya se

encuentra en forma de matriz

escalonada, por lo tanto se procede

resolver con el método de eliminación

Gaussiana

Se usarán las variables “x,y” para

escribir las ecuaciones de este

sistema”

(1 2 ⋮ 30 1 ⋮ 10 0 ⋮ 0

)

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:

𝑥 + 2𝑦 = 3

𝑦 = 1

0 = 0

6 Se despeja “x” de la primera ecuación

y se sustituye el valor de “y” encontrado

𝑥 = 3 − 2𝑦

𝑥 = 3 − 2(1) = 1

7 Las soluciones de este sistema son: 𝑥 = 1, 𝑦 = 1




8 Para el sistema representado en el

inciso “c” se debe notar que ya se

encuentra en forma de matriz

escalonada reducida

Se usarán las variables “x,y” para

escribir las ecuaciones de este sistema

En la ultima fila se observa una

contradicción

(1 0 ⋮ 40 1 ⋮ 20 0 ⋮ −1

)

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:

𝑥 + (0)𝑦 = 4

(0)𝑥 + 𝑦 = 2

0 = −1

9 Dado que en la ultima ecuación se

obtiene una expresión falsa se

concluye que el sistema no tiene

soluciones

𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎

0 ≠ −1

𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠


Determine los valores de K tal que el sistema de YX & tenga: i) Sol. única ii) Ninguna iii) Infinitas

soluciones. Razone su respuesta. 1 8 0

( 1) 0

K X Y

X K Y


1 Para que el sistema no tenga soluciones

o infinitas soluciones el determinante de

la matriz de coeficiente debe ser cero

𝐴 = [𝑘 − 1 8

1 𝑘 + 1]

𝐷𝑒𝑡(𝐴) = (𝑘 − 1)(𝑘 + 1) − 8 = 0

2 Se resuelve la ecuación y se obtienen

los valores de “k” para que el sistema no

tenga soluciones o infinitas soluciones

𝑘2 − 1 − 8 = 0

𝑘2 = 9

𝑘 = 3 𝑘 = −3

3 Dado que el sistema es homogéneo siempre tendrá solución trivial, por lo tanto NO hay valores

de 𝑘 que provoquen ninguna solución, a continuación se verifica esto:

4 Ahora se prueba los valores de “k”

encontrados

Se observa que la segunda ecuación es

un múltiplo de la primera

Por lo tanto el sistema tiene infinitas

soluciones

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 3

4𝑥 + 8𝑦 = 0

𝑥 + 2𝑦 = 0

𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐹1 = 4𝐹2

𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠




5 Se resuelve por Gauss-Jordan

(4 8 01 2 0

)

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐹2 = 4𝐹2 − 𝐹1

(4 8 00 0 0

)

4𝑥 + 8𝑦 = 0

𝑥 = −2𝑦

6 Se prueba el siguiente valor de “k” 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑘 = −3

−2𝑥 + 8𝑦 = 0

𝑥 − 4𝑦 = 0

𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐹1 = −2𝐹2

𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

7 Se resuelve por Gauss-Jordan

(−2 8 01 −4 0

)

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐹2 = 2𝐹2 + 𝐹1

(−2 8 00 0 0

)

−2𝑥 + 8𝑦 = 0

𝑥 = 4𝑦

8 Ahora que se verificó que tipo de

soluciones provocan los valores de “k”

que hacen cero el determinante se

concluye que:

𝑖) 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 ≠ ±3

𝑖𝑖)𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑘, (𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑜)

𝑖𝑖) 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = ±3

Tema No. 6 (45 Puntos) Calcule: (9 pts c/u)

i) 2

3245 xx

dx ii) 1sen xdx

iii)

4sec

tan

xdx

x iv)

2

2

( 4)

( 1)( 3)

x dx

x x

v)

3

2 4

x dx

x


1 i) Primero se completa el cuadrado del

polinomio del denominador

5 − 4𝑥 − 𝑥2

−(𝑥2 + 4𝑥) + 5

−(𝑥2 + 4𝑥 + 4) + 5 + 4

9 − (𝑥 + 2)2




2 i)Se resolverá por sustitución

trigonométrica utilizando las siguientes

sustituciones

∫1

(9 − (𝑥 + 2)2)32

𝑑𝑥

∫1

(√9 − (𝑥 + 2)2)3 𝑑𝑥

𝑆𝑒𝑛(𝜃) =𝑥 + 2

3

𝑥 = 3𝑆𝑒𝑛(𝜃) − 2

𝑑𝑥 = 3𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑑𝜃

𝐶𝑜𝑠(𝜃) = √9 − (𝑥 + 2)2

3

𝑇𝑎𝑛(𝜃) = 𝑥 + 2

√9 − (𝑥 + 2)2

3 Se sutituye en la integral original y se

simplifica

∫1

(√9 − (𝑥 + 2)2)3 𝑑𝑥 = ∫

3𝐶𝑜𝑠(𝜃)

(3𝐶𝑜𝑠(𝜃))3 𝑑𝜃

∫1

9𝐶𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃 =

1

9∫ 𝑆𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃

4 Se resuelve la integral de secante al

cuadrado de forma directa como la

tangente del ángulo

1

9∫ 𝑆𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃 =

1

9 𝑇𝑎𝑛(𝜃)

5 Se utiliza una de las sustituciones

iniciales para volver a la variable “x”

1

9 𝑇𝑎𝑛(𝜃) =

1

9

𝑥 + 2

√9 − (𝑥 + 2)2




6 Simplificando…

∫1

(9 − (𝑥 + 2)2)32

𝑑𝑥 =𝑥 + 2

9√5 − 4𝑥 − 𝑥2+ 𝐶

7 ii) Se inicia haciendo la sustitución que

se muestra a continuación para resolver

por integración por partes

∫ 𝑆𝑒𝑛−1(𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

𝑢 = 𝑠𝑒𝑛−1(𝑥) 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

𝑑𝑢 =1

√1 − 𝑥2𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥

𝑥 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 − ∫𝑥

√1 − 𝑥2𝑑𝑥

8 Ahora se resuelve la integral que quedo

haciendo la siguiente sustitución 𝑚 = 1 − 𝑥2

𝑑𝑚 = −2𝑥 𝑑𝑥

∫𝑥

√1 − 𝑥2𝑑𝑥 =

−1

2∫

𝑑𝑚

√𝑚

−1

2∫

𝑑𝑚

√𝑚= −𝑚

1

2 = −√1 − 𝑥2 + 𝐶

9 Ahora se unen las dos partes de la

integración por partes ∫ 𝑆𝑒𝑛−1(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 + √1 − 𝑥2 + 𝐶

10 iii) Primer se separa la función secante

a la cuarta potencia ∫

sec4 𝑥

√tan 𝑥𝑑𝑥 = ∫

sec2 𝑥 sec2 𝑥

√tan 𝑥𝑑𝑥

11

Se usa una identidad trigonométrica

para escribir el integrando en forma

más conveniente

1 + tan2 𝑥 = sec2 𝑥

∫sec2 𝑥 sec2 𝑥

√tan 𝑥𝑑𝑥 = ∫

(1 + tan2 𝑥) sec2 𝑥

√tan 𝑥𝑑𝑢

12 Se realiza una sustitución para la

función tangente

𝑢 = tan 𝑥

𝑑𝑢 = sec2 𝑥 𝑑𝑥

∫1 + 𝑢2

√𝑢𝑑𝑢




13 Se simplifica y luego se integra respecto

a la variable “u” ∫ 𝑢−

12 + 𝑢

32 𝑑𝑢

2 𝑢1/2 +2

5𝑢5/2

14 Se vuelve a sustituir para encontrar para

dejar todo en términos de la variable “x” 𝑢 = tan 𝑥

2 (tan 𝑥)1/2 +2

5(tan 𝑥)5/2 + 𝐶

15 iv) Dado que en esta integral el

denominador esta completamente

factorizado se procede a expresar el

integrando con fracciones parciales

∫𝑥2 + 4

(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)2𝑑𝑥

𝑥2 + 4

(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)2=

𝐴

𝑥 − 1+

𝐵

𝑥 + 3+

𝐶

(𝑥 + 3)2

16 Se multiplica el planteamiento de

fracciones parciales por el denominador

del integrando

𝑥2 + 4 = 𝐴(𝑥 + 3)2 + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) + 𝐶(𝑥 − 1)

17 Para encontrar los valores de las

constantes se asignan valores a la

variable “x” que hagan cero alguno de

los factores en el lado derecho

𝑆𝑖 𝑥 = −3

(−3)2 + 4 = 𝐴(0)2 + 𝐵(0) + 𝐶(−3 − 1)

13 = −4𝐶

𝐶 =− 13

4

18 Para encontrar el valor de la constante

“A” se le asigna el valor de 1 a la variable

“x”

𝑆𝑖 𝑥 = 1

12 + 4 = 𝐴(1 + 3)2 + 𝐵(0) + 𝐶(0)

5 = 16𝐴

𝐴 =5

16

19 Ya que se conocen los valores de todas

las variables excepto una, se le asigna

cualquier valor a “x” que no elimine la

constante B y se sustituyen los valores

de A y C que ya se conocen

𝑆𝑖 𝑥 = 0

4 =5

16(3)2 + 𝐵(−1)(3) −

13

4(−1)

−33

16= −3𝐵

𝐵 =11

16




20 Se sustituye el integrando por las

fracciones parciales que se encontraron

𝑥2 + 4

(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)2=

5/16

𝑥 − 1+

11/16

𝑥 + 3+

−13/4

(𝑥 + 3)2

∫ (

516

𝑥 − 1+

1116

𝑥 + 3+

−134

(𝑥 + 3)2) 𝑑𝑥

21 Se separa en 3 integrales distindas y se

resuelva cada una

5

16∫

𝑑𝑥

𝑥 − 1+

11

16∫

𝑑𝑥

𝑥 + 3−

13

4∫

𝑑𝑥

(𝑥 + 3)2

𝑢 = 𝑥 − 1 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑣 = 𝑥 + 3 → 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

5

16∫

𝑑𝑢

𝑢+

11

16∫

𝑑𝑣

𝑣−

13

4∫

𝑑𝑣

𝑣2

5

16𝐿𝑛|𝑢| +

11

16𝐿𝑛|𝑣| +

13

4𝑣

22 Se vuelve a la variable “x” 𝑆𝑖 𝑢 = 𝑥 − 1 𝑦 𝑣 = 𝑥 + 3 5

16𝐿𝑛|𝑥 − 1| +

11

16𝐿𝑛|𝑥 + 3| +

13

4(𝑥 + 3)+ 𝐶

23 v) Dado que el grado del polinomio en el

numerador es mayor que el grado del

polinomio del denominador se realiza

división larga para encontrar una

expresión simplificada

∫𝑥3

𝑥2 + 4𝑑𝑥

𝑥3

𝑥2 + 4= 𝑥 −

4𝑥

𝑥2 + 4

24 Se reescribe el integrado, se separa en

dos integrales y se resuelve cada una

∫𝑥3

𝑥2 + 4𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 −

4𝑥

𝑥2 + 4 𝑑𝑥

∫ 𝑥 𝑑𝑥 =𝑥2

2

∫ −4𝑥

𝑥2 + 4𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥2 + 4 → 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥

−4

2∫

1

𝑢𝑑𝑢 = −2 𝐿𝑛 |𝑢| = − 2𝐿𝑛|𝑥2 + 4|

25 El resultado es: ∫

𝑥3

𝑥2 + 4𝑑𝑥 =

𝑥2

2− 2 𝐿𝑛|𝑥2 + 4| + 𝐶

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