UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-101-2-M-2-00-2018

CURSO: Matemática Básica 1

SEMESTRE: Segundo

CÓDIGO DEL CURSO: 101

TIPO DE EXAMEN: Segundo Examen Parcial

FECHA DE EXAMEN: 19 de septiembre del 2018

RESOLVIÓ EL EXAMEN: Oscar Vinicio Norato Socop

DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Oscar Vinicio Norato Socop

COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

Segundo examen parcial Temario C

Tema 1: (20 puntos)

Un abrevadero de 8 metros de longitud, tiene su sección transversal en forma de

triángulo equilátero de 1 metro de lado. Si se bombea agua a un ritmo de 0.1 metros

cúbicos por minuto, calcule:

a. ¿En cuánto tiempo se llena el abrevadero?

b. ¿A qué altura se obtiene la mitad de su máxima capacidad?

c. ¿Cuál es el área del espejo de agua cuando la altura de su superficie es de 1/2 metro?

Tema 2: (20 puntos)

Encontrar los valores de las constantes a y b que hacen que las rectas:

3 2 5 0abx by y 2 3 4 0abx by

sean perpendiculares y que la primera recta pase por el punto ( 1,1)A .

Tema 3: (20 puntos)

Dada la siguiente función: 2

3 2f x x

a. Utilizando operaciones de transformación, indicando paso por paso, grafique f x

b. Haciendo la respectiva restricción del dominio de f x , calcular 1f x

c. Calcule 1 ( )f f x

d. Grafique 1f x en el mismo plano que f x .

Tema 4: (20 puntos)

Si un carpintero vende los muebles a un precio de Q1000 cada uno, sus ventas mensuales son de 40

muebles. Por cada aumento de Q100 en el precio, deja de vender 2 muebles mensualmente,

a. Escriba una función que modele los ingresos del carpintero en términos del precio de venta x,

b. ¿Con que precio se obtiene el máximo ingreso y a cuánto asciende el ingreso máximo?

Tema 5: (20 puntos)

Dada la siguiente función polinomial: 5 4 3 2     3 8 22 54 5 26P x x x x x x

a. Utilice la regla de signos de Descartes para investigar la naturaleza de las

soluciones de P x .

b. Haga un listado de las posibles raíces racionales de P x .

c. Determine las raíces de P x .

d. Dibuje la gráfica de P x señalando sus raíces e intercepto con el eje vertical

SOLUCIÓN DEL EXAMEN

Tema 1: (20 puntos)

Un abrevadero de 8 metros de longitud, tiene su sección transversal en forma de

triángulo equilátero de 1 metro de lado. Si se bombea agua a un ritmo de 0.1 metros

cúbicos por minuto, calcule:

a. ¿En cuánto tiempo se llena el abrevadero?

No. Explicación Operatoria 1. El primer paso corresponde a

conocer la altura 𝑯 del triángulo, esto se logra aplicando el teorema de Pitágoras.

𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

(1)2 = 𝐻2 + (0.5)2

𝐻 = √1 − 0.25

𝑯 =√𝟑

𝟐

2.

Ya determinada la altura H del triángulo, se procede a encontrar el volumen del Abrevadero.

El agua tiene un caudal

𝑸 =𝑽𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

𝒕𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜= 𝟎. 𝟏

𝑚3

𝑚𝑖𝑛 ,

entonces del concepto de caudal o ritmo de llenado se despeja la variable tiempo

𝑉 =1

2(1) (

√3

2) ∗ [8]

𝑽 = 𝟐√𝟑 ≅ 𝟑. 𝟒𝟔𝟒 𝒎𝟑

𝑽𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

𝒕𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜= 𝟎. 𝟏

𝑚3

𝑚𝑖𝑛

𝑽𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

𝒕𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜= 𝟎. 𝟏

𝑚3

𝑚𝑖𝑛

2√30 𝑚3

𝒕𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜= 𝟎. 𝟏

𝑚3

𝑚𝑖𝑛

𝟐√𝟑

𝟎. 𝟏𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 ≅ 𝟑𝟒. 𝟔𝟒 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 = 𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐

b. ¿A qué altura se obtiene la mitad de su máxima capacidad?

No. Explicación Operatoria

1. Usando la relación de triángulos para encontrar x en función de h se obtiene.

Se debe multiplicar por “2” la expresión con la finalidad de obtener el ancho total del espejo de agua.

Se plantea una expresión que indicará la mitad del volumen del abrevadero.

𝑉𝐴 =1

2(𝑥)(ℎ) ∗ (8) ; y a su vez

se sustituirá el valor de x, para que ese volumen quede en

función de h.

0.5

𝑥=𝐻

ℎ

0.5

𝑥=

√𝟑

𝟐

ℎ

𝟐 ∗𝟏

√𝟑𝒉 = 𝒙

𝑉𝐴 =1

2(2

√3ℎ) (ℎ) ∗ (8)

𝑽𝑨 =𝟖

√𝟑𝒉𝟐

2.

Se iguala la expresión del volumen en función de h con la mitad del volumen total del Abrevadero. Esto con la finalidad de conocer la altura h en el momento que el tanque está a la mitad de su máxima capacidad.

𝑉𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

2= 𝑉𝐴

2√3

2=

8

√3ℎ2

3

8= ℎ2

𝒉 = √𝟑

𝟖≅ 𝟎. 𝟔𝟏 𝒎

c. ¿Cuál es el área del espejo de agua cuando la altura de su superficie es de 1/2 metro?

No. Explicación Operatoria 1. El área del espejo de agua en

cualquier instante está en función de h, y esta expresión del ancho del espejo de agua la tenemos ya definida

como 𝟐 ∗𝟏

√𝟑𝒉 = 𝒙

Por tanto el área del espejo de agua rectangular es 𝑨 = 𝒙 ∗ 𝟖

𝐴 = (2 ∗1

√3ℎ) ∗ 8

𝑨 =𝟏𝟔

√𝟑𝒉

y se sustituye el valor de x respectivamente.

2.

La expresión del área de un espejo de agua en cualquier h quedó ya definida, y es por eso que ahora solo queda sustituir la condición

que se da en el inciso ℎ =1

2 𝑚

𝐴 =16

√3(1

2)

𝑨 =𝟖

√𝟑≅ 𝟒. 𝟔𝟏 𝒎𝟐

Tema 2: (20 puntos)

Encontrar los valores de las constantes a y b que hacen que las rectas:

3 2 5 0abx by y 2 3 4 0abx by

sean perpendiculares y que la primera recta pase por el punto ( 1,1)A .

No. Explicación Operatoria 1.

El primer paso es escribir las dos ecuaciones de las en la forma estándar 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃

A. 3𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏𝑦 − 5 = 0

B. 2𝑎𝑏𝑥 − 3𝑏𝑦 + 4 = 0 Llevando las ecuaciones a la forma

estándar, tenemos:

A. 𝑦 =−3𝑎𝑏

𝑏𝑥 +

5

2𝑏

𝒚 =−𝟑𝒂

𝟐𝒙 +

𝟓

𝟐𝒃 <=

B. 𝑦 =2𝑎𝑏

3𝑏𝑥 +

4

3𝑏

𝒚 =𝟐𝒂

𝟑𝒙 +

𝟒

𝟑𝒃 <=

2. Del concepto de rectas perpendiculares se tiene que las pendientes de las respectivas deben cumplir con la siguiente condición

𝒎𝑨 ∗ 𝒎𝑩 = −𝟏

(−𝟑𝒂

𝟐)(

𝟐𝒂

𝟑) = −𝟏

Se resuelve la ecuación para la variable “a” 𝑎2 = 1 ⇛ 𝒂 = ±𝟏

3. Cumpliendo la condición que la recta A pase por el punto (−𝟏, 𝟏) y ya conociendo el valor de a=+1, se procede a sustituir los datos en la ecuación estándar de la recta A

(1) =−3(1)

2(−1) +

5

2𝑏

Se resuelve para la variable “b” 𝒃 = −𝟓

Las soluciones a los tres incisos son:

a) 𝟑𝟒. 𝟔𝟒 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔

b) 𝟎. 𝟔𝟏 𝒎

c) 𝟒. 𝟔𝟏 𝒎𝟐

4. Sustituyendo el valor de a= -1 y también sustituyendo el punto(−𝟏, 𝟏) en la ecuación del a recta A, se obtiene.

1 =2(−1)

3(−1) +

4

3𝑏

Se resuelve para la variable “b” 𝒃 = 𝟏

5.

Ahora se procede a comprobar sí los diferentes valores de a y b encontrados respectivamente en los pasos 3. Y 4. ,Cumplen con la condición de la coordenada 𝒚 = 𝟏 cuando se sustituya la coordenada 𝒙 = −𝟏

𝑦 = −3𝒂

2𝒙 +

5

2𝒃

La primera condición es con los valores 𝑎 = +1, 𝑏 = −5 𝒚 𝑥 = −1

𝑦 = −3(1)

2(−1) +

5

2(−5)

𝑦 =3

2−1

2

𝒚 = 𝟏 𝒐𝒌 La segunda condición es con los

valores 𝑎 = −1, 𝑏 = 1 𝒚 𝑥 = −1

𝑦 = −3(−1)

2(−1) +

5

2(1)

𝑦 = −3

2+5

2

𝒚 = 𝟏 𝒐𝒌 6.

Ya Comprobado que las dos condiciones de a y b cumplen con la coordenada 𝒚 = 𝟏 dada en el punto del enunciado (−𝟏, 𝟏). Se escribe la ecuación formal de la recta.

Las rectas que cumplen con la condición de pasar por el punto (−1,1) son:

𝑦 = −3

2𝑥 −

1

2 y 𝑦 =

3

2𝑥 +

5

2

Respectivamente las rectas perpendiculares son:

𝑦 =2

3𝑥 −

4

15 y 𝑦 = −

2

3𝑥 +

4

3

Tema 3: (20 puntos)

Dada la siguiente función: 2

3 2f x x

a. Utilizando operaciones de transformación, indicando paso por paso, grafique f x

Los valores que hacen que se cumplan las condiciones son:

𝒂 = 𝟏; 𝒂 = −𝟏 𝒃 = −𝟓 𝒃 = 𝟏

b. Haciendo la respectiva restricción del dominio de f x , calcular 1f x

No. Explicación Operatoria

1. Como es una función de segundo grado se trata de una parábola; el signo negativo indica que la parábola es convexa (abre hacia abajo), la variable que esta elevada al cuadrado es x, entonces el sentido de la parábola es vertical

𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 3)2 + 2

2. La ecuación estándar de una parábola con vértice distinto al origen del plano cartesiano es:

, donde (ℎ, 𝑘) corresponden al punto donde se origina la parábola, siendo en este caso

Vértice (𝟑, 𝟐) (La h sale del paréntesis con signo

cambiado siempre)

3. Del modelo matemático de una parábola con vértice (ℎ, 𝑘) la variable a indica el sentido positivo o negativo de la abertura de la parábola.

𝒂 = −𝟏 quiere decir que la parábola abre hacia abajo

No. Explicación Operatoria

1. Por la naturaleza de la ecuación cuadrática (parábola) se debe restringir el dominio para que sea una función biunívoca, es decir que cumpla con el criterio de la recta horizontal; cruzar la gráfica a lo más en un solo punto. Por tal razón se procede a restringir el dominio desde su vértice hacia la derecha. El rango sigue siendo el mismo.

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: 𝒙 ∈ [𝟑,∞+) 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: 𝒚 ∈ (−∞, 𝟐]

2.

El primer paso es hacer 𝑓(𝑥) = 𝑦 y hacer el despeje de la variable 𝑥 de la función

𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 3)2 + 2

𝑦 = −(𝑥 − 3)2 + 2 𝑦 − 2 = −(𝑥 − 3)2 2 − 𝑦 = (𝑥 − 3)2

√2 − 𝑦 = 𝑥 − 3

√2 − 𝑦 + 3 = 𝑥

c. Calcule 1 ( )f f x

d. Grafique 1f x en el mismo plano que f x .

√𝟐 − 𝒙 + 𝟑 = 𝒇−𝟏(𝒙)

𝒇(𝒙) = −(𝒙 − 𝟑)𝟐 + 𝟐

6 4 2 0 2 4 6

8

6

4

2

2

4

6

3.

Finalmente se hace el intercambio de las variables 𝑥 & 𝑦 y luego se sustituye la variable 𝒚 por 𝒇−𝟏(𝒙)

√2 − 𝑥 + 3 = 𝑦

No. Explicación Operatoria

1.

La composición de funciones es sustituir una función dentro de la variable de la última función, en este caso particular la función inversa 𝒇−𝟏(𝒙) será sustituida en la función 𝒇(𝒙)

𝑓(𝒇−𝟏(𝒙))=

= −(√𝟐 − 𝒙 + 𝟑 − 3)2+ 2

=−(√𝟐 − 𝒙)2+ 2

= −2 + 𝑥 + 2

√𝟐 − 𝒙+ 𝟑 = 𝒇−𝟏(𝒙)

𝑓(𝒇−𝟏(𝒙)) = 𝑥

Tema 4: (20 puntos)

Si un carpintero vende los muebles a un precio de Q1000 cada uno, sus ventas mensuales son de 40

muebles. Por cada aumento de Q100 en el precio, deja de vender 2 muebles mensualmente,

a. Escriba una función que modele los ingresos del carpintero en términos del precio de venta x,

b. ¿Con qué precio se obtiene el máximo ingreso y a cuánto asciende el ingreso máximo?

No. Explicación Operatoria

1. Se hace una relación de las condiciones dadas con base en el decrecimiento.(Número de muebles Vrs. Precio)

𝑚 = −∆𝑦

∆𝑥= −

2

100= −

1

50

2.

Número de muebles en función del “precio x” igualándolo al decrecimiento de la oferta.

𝑁 − 40

𝑥 − 1000= −

1

50

No. Explicación Operatoria

1.

Los ingresos se basan en el número de muebles vendidos por un precio (x) estándar.

𝐼 = 𝑁 ∗ 𝑝

𝐼 = (−1

50𝑥 + 60) ∗ 𝑥

𝑰 = −𝟏

𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟎𝒙

2.

Estableciendo la función cuadrática en su forma estándar (Vértice).

𝐼 = −1

50𝑥2 + 60𝑥

Realizando una completación de cuadrados

𝐼 = −1

50[{𝑥2 − 3000𝑥 + (

3000

2)2

} − (3000

2)2

]

𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜

𝐼(𝑥) = −1

50[𝑥 − 1500]2 + 45000

3. Interpretando la función equivalente al modelo matemático de una función cuadrática estándar, tenemos:

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘

𝐼(𝑥) = −1

50[𝑥 − 1500]2

+ 45000

𝑵 = −𝟏

𝟓𝟎𝒙 + 𝟔𝟎

El ingreso máximo es de Q 45000.00

cuando los muebles se venden a Q 1500.00

Tema 5: (20 puntos)

Dada la siguiente función polinomial: 5 4 3 2     3 8 22 54 5 26P x x x x x x

a. Utilice la regla de signos de Descartes para investigar la naturaleza de las

soluciones de P x .

No. Explicación Operación

1.

El primer paso es hacer el análisis de las posibles raíces o ceros positivos, negativos e imaginarios, por medio de la Regla de descartes. Esto implica analizar la función dada y después valuar –𝒙 para realizar el mismo análisis.

𝑃(𝑥) = 3𝑥5 − 8𝑥4 + 22𝑥3 + 54𝑥2 − 5𝑥 − 26 3 cambios de signos alternados (+ → −)

3 posibles raíces positivas

𝑃(−𝑥) = 3(−𝑥)5 − 8(−𝑥)4 + 22(−𝑥)3

+ 54(−𝑥)2 − 5(−𝑥) − 26

𝑃(−𝑥) = −3𝑥5 − 8𝑥4 − 22𝑥3 + 54𝑥2 + 5𝑥 − 26 2 cambios de signos alternados (+ → −)

2 posibles raíces negativas

2. Analizando las posibles raíces en una tabla, tenemos:

(+) (-) i Total

3 2 0 5 3 0 2 5

1 2 2 5

1 0 4 5

b. Haga un listado de las posibles raíces racionales de P x .

No. Explicación Operación

1.

Se analizan también las posibles raíces racionales, para encontrar el conjunto de posibles soluciones. Se toman en cuenta valores positivos y

negativos +,-

𝑝

𝑞=26

3= ± {

1, 2, 13, 26

1, 3}

𝑆 = ± {26, 13, 2, 1,26

3,13

3,2

3,1

3}

c. Determine las raíces de P x .

No. Explicación Operación

1.

Realizando la división sintética, se obtiene:

3 -8 22 54 -5 -26

-1 -3 11 -33 -21 26 3 -11 33 21 -26

-1 -3 14 -47 26

3 -14 47 -26 23 2 -8 26

3 -12 39

2. Resolviendo finalmente la ecuación cuadrática final 3𝑥2 − 12𝑥 + 39 = 0

Las soluciones de la cuadrática son:

𝑥 = {2 + 3𝑖2 − 3𝑖

⟩ complejas

d. Dibuje la gráfica de P x señalando sus raíces e intercepto con el eje vertical

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0

25

20

15

10

5

0

0

0

Las Raíces del polinomio son:

𝒙 = −𝟏 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝟐

𝒙 =𝟐

𝟑

𝒙 = 𝟐 + 𝟑𝒊

𝒙 = 𝟐 − 𝟑𝒊