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Clave: 107-2-M-1-2014

Universidad de San Carlos de Guatemala

Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática

Clave de Examen: 107-2-M-1-2014

Curso: Matemática Intermedia 1 Semestre:

Primero

Código del Curso:

107

Tipo de Examen:

Segundo Parcial

Fecha de Examen:

18/03/2014

Nombre de la persona que resolvió el examen:

Gabriel Estuardo Solórzano

Nombre de la persona que revisó el examen:

Ing. Arturo Samayoa

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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA MATEMATICA INTERMEDIA 1 FACULTAD DE INGENIERÍA JORNADA MATUTINA ESCUELA DE CIENCIAS SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TEMARIO A 18/03/2014

TEMA No.1 (15 puntos): Resolver las siguientes integrales:

a.

b.

TEMA No.2 (10 puntos): Encuentre un valor aproximado de la integral, utilizando el método del trapecio, utilizando n = 5, con 3 decimales.

TEMA No.3 (10 puntos): Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas:

a. Graficar indicando su dirección en el

Intervalo 44

t

b. Plantee una integral para calcular i. La longitud arco en el intervalo establecido.

ii. El área superficial del sólido que se genera al hacer girar la curva con respecto al eje “x”.

TEMA No.4 (10 puntos): Plantee una integral para calcular la fuerza que soporta una de las caras de una lata de aluminio, que se encuentra recostada de forma horizontal. La lata colocada horizontalmente tiene mercurio hasta un 50 % de altura. Tome la densidad del mercurio como 13,600 Kg/m

3. La cara de

la lata de aluminio tiene forma circular de diámetro 6 centímetros.

TEMA No.5 (10 puntos): Plantee las integrales necesarias para calcular el centro de masa de la placa delimitada por:

TEMA No.6 (15 puntos): Dada la siguiente función

Plantee una integral para: a. La longitud de arco utilizando dx. b. El área superficial girando alrededor del eje “x” y

usando diferencial dy.

TEMA No.7 (10 puntos): Dado el siguiente punto en coordenadas cartesianas:

a. Plotear en el plano cartesiano. b. Encuentre las coordenadas polares del punto

bajo las condiciones siguientes y plotee. 1) 2) 3)

TEMA No.8 (20 puntos): Dadas las siguientes ecuaciones polares

a. Graficar en el mismo plano polar. b. Encontrar todos los puntos de intersección. c. Plantee una integral para calcular

i. El área fuera de r2 y dentro de r1. ii. La longitud de arco de r1 que está fuera de r2.

3

1+

1-

2t

Clave Examen de Segundo Parcial, Primer Semestre 2014

Tema No. 1 (15 puntos)

Resolver las siguientes integrales:

a.

La integral se debe resolver mediante el método de sustitución Diversa en el cual los términos de seno

y coseno en el denominador se sustituyen por

Se procede a sustituir los valores en la ecuación original

4

a

1

Se procede a realizar una sustitución para realizar la integral

5

6

Tema No. 2 (10 puntos)

Encuentre un valor aproximado de la integral, utilizando el método del trapecio, utilizando n=5,

con 3 decimales.

a) Por medio de la utilización del método del trapecio se sabe Tp =

i Xi F(Xi) K K*f(xi)

0 0 1 1 1

1 1/5 1.041 2 2.082

2 2/5 1.174 2 2.348

3 3/5 1.433 2 2.866

4 4/5 1.896 2 3.792

5 1 2.718 1 2.718

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Tema No. 3 (10 puntos)

Dada las siguientes ecuaciones paramétricas:

a. Graficar indicando su dirección en el Intervalo 44

t

Se procede a realizar una tabla para determinar las coordenadas que permitan plotear la curva

paramétrica.

b.1 Plantear una integral para calcular la longitud de arco en el intervalo establecido.

1. Se utiliza la ecuación para calcular la longitud de arco para ecuaciones paramétricas

t x y

-1 2

-0.57 1.33

-0.27 1.071

0 0 1

0.27 1.071

0.57 1.33

1 2

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

y

x

8

2. Se derivan las ecuaciones paramétricas.

3. Se procede a sustituir en la ecuación de longitud de arco.

b.2 Plantear una integral para calcular el área superficial del sólido que se genera al hacer

girar la curva con respecto al eje “X”

Donde:

Se procede a sustituir los valores de las variables anteriores en la ecuación del área superficial

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Tema No. 4 (10 puntos)

Plantee una integral para calcular la fuerza que soporta una de las caras de una lata de aluminio, que

se encuentra recostada de forma horizontal. La lata colocada horizontalmente tiene mercurio hasta

un 50 % de altura. Tome la densidad del mercurio como 13,600 Kg/m3. La cara de la lata de aluminio

tiene forma circular de diámetro 6 centímetros.

a) Ecuación de presión y fuerza hidrostática:

Donde:

F= La fuerza hidrostática [N]

= La densidad del fluido [kg/m3]

= La aceleración de la gravedad [m/s2]

= Función respecto a la figura

= Función basada en la influencia del fluido problema

= Límites de integración en base a la influencia del fluido problema.

b) Se procede a determinar L(y), función respecto a la figura

Figura No. 1 Figura No. 2

El problema indica que se debe calcular la fuerza que soporta una de las caras de la lata de

aluminio se procede a realizar la representación gráfica de acuerdo a la figura No. 2. Se observa

que la figura obtenida es un círculo, por lo tanto para la determinación de la función L (y) se debe

utilizar la ecuación del círculo.

x

y

10

Como el círculo se encuentra trasladado en el eje “y” se procede a reescribir la ecuación del

círculo que se ve representada en la figura No. 2

Al observar la ecuación para la determinación de la fuerza hidrostática se observa que la ecuación

para L(y) debe estar en función de la variable “y”, por lo tanto se despeja de la ecuación anterior la

variable “x”.

c) Se procede a determinar H(y), función respecto a la influencia del fluido

d) Se procede a sustituir los valores en la ecuación de la fuerza hidrostática

La ecuación se debe multiplicar por un factor 2, ya que se aplica simetría para la solución del

problema, obteniendo:

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Tema No. 5 (10 puntos)

Plantee las integrales necesarias para calcular el centro de masa de la placa delimitada por:

Se procede a determinar el área de la

región sombreada que se muestra en la

figura.

x

y

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Tema No. 6 (15 puntos)

Dada la siguiente función

a) Plantee una integral para determinar la longitud de arco utilizando dx.

a) Plantee una integral para determinar el área superficial girando alrededor del eje “x” y

usando el diferencial dy.

Donde:

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Para obtener los límites de integración se evalúan los puntos en la función

Para x1 = -2 se sustituye en la ecuación y se obtiene x1 = 7.39

Para x2 = 0 se sustituye en la ecuación y se obtiene x2 = 1

Se procede a sustituir los valores en la ecuación para la determinación del área superficial

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Tema No. 7 (10 puntos)

Dado el siguiente punto en coordenadas cartesianas:

a. Plotear en el plano cartesiano.

A = (-3,6)

b. Encuentre las coordenadas polares del punto bajo las condiciones siguientes y

plotee.

1)

2)

3)

x

y

y

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1)

2)

3)

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Tema No. 8 (20 puntos)

Dadas las siguientes ecuaciones polares

Graficar en el mismo plano polar.

Corresponde a un círculo

Corresponde a un cardiode que no toca el polo

Encontrar todos los puntos de intersección.

Se procede a igualar ambas curvas para determinar el primer punto de intersección

2 1 1 2 3 4 5

3

2

1

1

2

3

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Plantee una integral para calcular el área fuera de r2 y dentro de r1.

Se plante la integral para calcular el área de la

región sombreada que se muestra en la figura.

Plantee una integral para calcular la longitud de arco de r1 que está fuera de r2