TURUNAN FUNGSI RANTAI DAN IMPLISIT 1. Aturan Rantai Aturan Rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu peubah sekarang sudah dikenal oleh semua pembaca. Jika y = f(x(t)), dengan f dan x keduanya fungsi yang dapat dideferensialkan, makady dy dx = dt dx dt

Sasaran kita adalah untuk memperoleh generalisasi untuk fungsi-fungsi beberapa peubah. VERSI PERTAMA Jika z = f(x,y), dengan x dan y adalah fungsi t, maka masuk akal menanyakan dz/dt, dan seharusnya ada sebuah rumus untuknya. Teorema A (Aturan Rantai) Andaikan x = x(t) dan y = y(t) dapat dideferensialkan di t dan andaikan z = f(x,y) dapat dideferensialkan di (x(t),y(t)). Maka z = f(x(t)) dapat diferensialkan di t dandz z dx z dy = + dt x dt y dt

Bukti

Kita tirukan bukti satu peubah dari Apendiks A.1, Teorema B. Untuk

penyederhanaan cara penulisan, andaikan p = (x,y), p = (x, y), dan z = f (p + p) f (p). Maka, karena f dapat dideferensialkan, z = f (p + p) f (p) = f (p) p + p (p) = fx(p)x + fy(p)y + p (p)

dengan (p) 0 jika p 0 Bila kita membagi kedua ruas dengan t, kita peroleh

(1) Sekarangp = t

p z y = fx ( p) + + ( p) t t t

( x ) 2 + ( y ) 2 x y = + t t t

2

2

dan yang belakangan mendekati dx dy + dt dt 2 2

Jika t0. Juga, pada waktu t0, x dan y keduanya mendekati 0 (ingat bahwa x(t) dan y(t) kontinu, dapat dideferensialkan). Ini mengakibatkan bahwa p0. Sebagai konsekuensinya, pada waktu kita biarkan t0 pada (1), kita perolehdz dx dy = fx ( p) + fy ( p) dt dt dt

Sebuah hasil yang setara dengan pernyataan yang diminta.

KEMANTAPAN DAN GENERALITAS Apakah analogi umum aturan rantai untuk satu peubah memenuhi? (Lihat Teorema A dari Pasal 3.5) Tentu saja, dan di sini anda dapat membuktikannya dengan pernyataan aturan rantai elegan tertentu. Misalkan R menyatakan ruang n Euclidis dan g adalah fungsi dari R ke R, misalkan pula f adalah fungsi dari R ke R. Jika g dapat dideferensialkan di t dan f dapat dideferensialkan di g(t), maka fungsi komposisi f g akan dapat dideferensialkan di g(t) dan karenanya, (f g)(t) = f (g(t)) g(t) Semua perangkat yang diperlukan untuk membuktikannya tersedia; gunakanlah persamaan tadi bila kelak anda ingin membuktikannya.

CONTOH 1 Misalkan z = x3y dengan x = 2t dan y = t2. Tentukan dz/dt. Penyelesaiandz z dx z dy = + dt x dt y dt

= (3x2y)(2) + (x3)(2t) = 6(2t)2(t2) + 2(2t)3(t) = 40t4 Tentu saja anda dapat menggunakan Contoh 1 tanpa menerapkan aturan rantai. Dengan mensubstitusi langsung, z = x3y = (2t)3t2 = 8t5 Dengan demikian dz/dt = 40t4. Akan tetapi, metode substitusi langsung sering tidak tersedia dan tidak sesuai buktinya dapat anda lihat dari contoh berikut. CONTOH 2 Misalkan bahwa sebuah tabung lingkaran pejal dipanasi, radiusnya bertambah pada laju 0,2 cm per jam dan tingginya bertambah pada laju 0,5 cm per jam. Tentukan laju pertambahan luas permukaan terhadap waktu pada saat radius sama dengan 10 cm dan tinggi sama dengan 100 cm. Penyelesaian Rumus total luas permukaan sebuah tabung (Gambar 1) adalah S = 2 rh + 2 r2

h

Gambar 1 Jadi,

dS S dr S dh = + dt r dt h dt

= (2 h + 4 r) (0,2) + (2 r) (0,5) Pada r = 10 dan h = 100,dS = ( 2 .1 0 + 4 .1 )(0 ) + (2 .1 )(0 ) 0 0 ,2 0 ,5 dt

= 58 sentimeter persegi per jam Hasil dalam Teorema A siap untuk diperluas ke suatu fungsi tiga peubah seperti yang sekarang kita ajukan. CONTOH 3 Andaikan w = x2y + y + xz, dengan x = cos , y = sin , dan z =

2. Tentukan dw/dt dan hitung nilainya di = / 3 .Penyelesaiandw w dx w dy w dz = + + . d x d y d z dt

= (2xy + z) (- sin ) + (x2 + 1) (cos ) + (x) (20) = -2 cos sin2 2

sin + cos3 + cos + 2 cos

Pada = / 3 ,dw 1 3 2 3 1 1 2 1 = 2. . . + +1 + . d 2 4 9 2 4 3 2 21 3 = + 8 1 8 3

VERSI KEDUA Selanjutnya andaikan bahwa z = f(x,y) dengan x = x(s,t) dan y = y(s,t). Maka masuk akal untuk menanyakan z/s dan z/t.

TEOREMA B

(Aturan Rantai) Misalkan x = x(s,t) dan y = y(s,t) mempunyai turunan pertama di (s,t) dan misalkan z = f(x,y) dapat dideferensialkan di (x(s,t),y(s,t)). Maka z = f(x(s,t),y(s,t)) mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh (i) = + s x s y t z z x z z x z y

(ii) = + t x t y t

z y

Bukti Jika s dipertahankan tetap, maka x(s,t) dan y(s,t) menjadi fungsi-fungsi t saja, yang berarti bahwa Teorema A berlaku. Pada waktu kita menggunakan ini dengan menggantikan d untuk menunjukkan bahwa s tetap, kita peroleh rumus pada (ii) untuk z/t. Rumus untuk z/s diperoleh dengan cara serupa dengan cara mempertahankan t tetap. CONTOH 4 Jika z = 3x2 y2 dengan x = 2s + 7t dan y = 5st, tentukan z/t dan nyatakan dalam bentuk s dan t. Penyelesaian z z x z y = + t x t y t

= (6x)(7) + (-2y)(5s) = 42(2s +7t) 10st(5s) = 84s +294t 50s2t Berikut ini adalah hasil yang berpadanan untuk tiga peubah lanjutan yang diilustrasikan dalam sebuah contoh. CONTOH 5 Jika w = x2 + y2 + z2 +xy, dengan x =st, y = s t dan z = s + 2t, tentukan w/t. Penyelesaian w w x w y w z = + + t x t y t z t

= (2x + y)(s) + (2y + x)(-1) + (2z)(2) = (2st + s t)(s) + (2s 2t + st)(-1) + (2s +4t)(2)

= 2s2t + s2 2st +2s +10t

2. FUNGSI IMPLISIT Misalkan bahwa F(x,y) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai fungsi x, misalnya y = g(x), tetapi sukar atau tidak mungkin untuk ditentukan. Kita masih tetap dapat mencari dy/dx. Satu metode untuk melakukan ini, yakni penurunan implisit. Berikut ini suatu metode yang lain. Mari kita turunkan kedua ruas F(x,y) = 0 terhadap x dengan menggunakan Aturan rantai kita peroleh dx F dy F + dx x dx y

Dengan menyelesaikan dy/dx, dihasilkan rumusdy F / x = dx F / dy

CONTOH 6 Tentukan dy/dx jika x3 + x2y 10y4 = 0. Penyelesaian Andaikan F(x,y) = x3 +x2y 10y4. Makady F / x 3 x 2 + 2 xy = = 2 dx F / y x 40 y 3

Jika z suatu fungsi implisit dari x dan y yang didefinisikan oleh persamaan F(x,y,z) = 0, maka penurunan kedua ruas terhadap x dengan mempertahankan y tetap menghasilkan F x F y F z + + =0 x x y x z x

Jika kita selesaikan untuk z/x dan dengan mencatat bahwa y/x = 0,kita peroleh kedua. z / F x z / F y = , = x / F z y / F z

rumus

pertama

di

bawah.

Perhitungan

yang

serupa

dengan

mempertahankan x tetap dan menurunkan terhadap y dan menghasilkan rumus

CONTOH 7 Jika F(x,y,z) = x3ey+z y sin (x z) = 0 mendefinisikan z secara implisit sebagai suatu fungsi x dan y, tentukan z/x. Penyelesaianz F / x 3x 2 e y +z - y cos(x - y) = = 3 y +z x F / z x e + y cos( x y )