Pertemuan 3 turunan dan aturan rantai

TURUNAN PARSIAL DAN ATURAN RANTAI FUNGSI MULTI VARIABEL

Lia Yuliana, S.Si., MT.

Turunan Fungsi dua Variabel

Turunan Parsial.Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka :

(i). x berubah-ubah sedangkan y tertentu.(ii). y berubah-ubah sedangkan x tertentu.


Definisi i) Turunan parsial terhadap variabel x

Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap x sbb :

x

yxfyxxfyxf

x

zx

x

),(),(lim),(

0


ii) Turunan parsial terhadap variabel y Jika y berubah-ubah dan x tertentu

maka z merupakan fungsi y, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap y sbb :

y

yxfyyxfyxf

y

zy

y

),(),(lim),(

0

Menentukan nilai turunan menggunakan limit

Contoh:a. Tentukan turunan parsial fungsi f

terhadap x jika f(x,y) = x2 + 2y Jawab : f(x,y) = x2 + 2y maka

)xx2(lim0x

x2

x

)y,x()y,xx(lim)y,x(

0xx

fff

x

)y2x()y2)xx((lim

22

0x

Menentukan nilai turunan menggunakan limit

b. Tentukan turunan parsial fungsi f terhadap y jika f(x,y) = x2 + 2y

y

)y,x()yy,x(lim)y,x(

0Δyy

fff

y

)y2x())yy(2x(lim

22

0Δy

22lim0Δy

Contoh: Jika z = ln (x2 + y2) tunjukkan bahwa

Jawab : untuk menjawab ini perlu ditentukan terlebih dahulu

Selanjutnya tentukan nilai

y

zdan

x

z

2y

zy

x

zx

y

zy

x

zx

z = ln (x2 + y2) , turunan parsial terhadap x dan y

dan

maka :

y

zy

x

zx

22

22

yx

x2

x

)yxln(

x

z

22

22

yx

y2

y

)yxln(

y

z

222

2222

yx

yy

yx

xx

Turunan Parsial Tingkat Dua

Jika fungsi z = f(x,y) mempunyai turunan parsial di setiap titik (x,y) pada suatu daerah maka

dan merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga mempunyai turunan parsial yang disebut turunan parsial tingkat dua.

),( yxfx

zx

)y,x(y

zyf

Turunan Parsial Tingkat Dua

Turunan parsial tingkat dua dinyatakan sbb:

2

2

2

2

2

2

)(

)(

)(

)(

y

f

y

f

yfff

y

yx

f

y

f

xfff

x

xy

f

x

f

yfff

y

x

f

x

f

xfff

x

yyyyy

yxxyy

xyyxx

xxxxx

Menentukan nilai turunan parsial tingkat dua

Contoh: Tentukan turunan parsial tingkat dua untuk

f(x,y) = x2y – 3xy + 2 x2y2

Jawab : Turunan parsial tingkat satu dari fungsi:

fx(x,y) = 2xy – 3y +4 x y2 fy (x,y) = x2 – 3x + 4 x2y

Jadi turunan parsial tingkat dua fxx (x,y) = 2y + 4y2 fyy (x,y) = 4x2 fyx (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3 fxy (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3

Turunan Parsial Tingkat Tiga

Turunan parsial ketiga dan yang lebih tinggi dinyatakan dalam bentuk yang sama.

yyxxyyyxy

xxyyxxxyx

xyxxy

xxxxx

fff

fff

xyx

f

xy

f

xff

x

x

f

x

f

xff

x

32

3

3

2

2

Turunan Parsial Fungsi Tiga Variabel

Untuk fungsi tiga variabel f(x,y,z), terdapat tiga turunan parsial fx(x,y,z), fy(x,y,z), dan fz(x,y,z)

• Turunan parsial fx diperoleh dengan menganggap variabel y dan z konstan dan menurunkan pada variabel x.

• Turunan parsial fy diperoleh dengan menganggap variabel x dan z konstan dan menurunkan pada variabel y.

• Turunan parsial fz diperoleh dengan menganggap variabel x dan y konstan dan menurunkan pada variabel z.

Turunan Parsial Fungsi n Variabel

• Secara umum, jika f(v1,v2,…,vn) adalah fungsi n variabel, maka terdapat n turunan parsial dari f, dimana ada n-1 variabel tetap dan menurunkan pada variabel yang bersangkutan.

• Jika w=f(v1,v2,…,vn), maka turunan parsialnya dinyatakan dengan

dimana diperoleh dengan menganggap semua variabel kecuali vi tetap dan menurunkan pada variabel vi .

nv

w

v

w

v

w

,,,21

iv

w

Contoh:

- Jika f(x,y,z) = x3y2z4 + 2xy + z, tentukan fx , fy , fz , dan fz (-1, 1, 2)

- Jika

tentukan

sincos),,( 2f

fff dan,,

Aturan Rantai Fungsi dua Variabel

Jika x=x(t) dan y=y(t) fungsi yang diferensiable di t, dan jika z=f(x,y) diferensiabel di titik (x(t), y(t)), maka z=f(x(t),y(t)) diferensiable di t, dan

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

Contoh:Misal , dimana x=cos , y=sin . Gunakan aturan rantai untuk menentukan saat Contoh:Andaikan dimana

. Gunakan aturan rantai untuk menentukan saat

yxyz

d

dz2

tgrrw 2 ssr ,

ds

dw

4

1s


Andaikan z=F(x,y), dan y adalah fungsi diferensiable terhadap x, rumus aturan rantainya memenuhi

dx

dy

y

F

x

F

dx

dy

y

F

dx

dx

x

F

dx

dz


Tinjau fungsi dua variabel z=f(x,y), dimana x dan y adalah fungsi dari u dan v, yakni . Dengan mensubstitusikan fungsi x dan y diperoleh hubungan z=f(x(u,v),y(u,v)), sehingga z menjadi fungsi dua variabel u dan v. Dengan demikian kita dapat mencari turunan parsial pertama dan .

),();,( vuyyvuxx

u

z

v

z


TeoremaJika mempunyai turunan parsial pertama di titik (u,v) dan jika z=f(x,y) diferensiable di titik (x(u,v),y(u,v)), maka z=f(x(u,v),y(u,v)) mempunyai turunan parsial pertama di (u,v), yang memenuhi

),();,( vuyyvuxx

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

u

y

y

z

u

x

x

z

u

z

,

Contoh: dimana , dengan

menggunakan aturan rantai tentukan dan .

ContohTentukan kecepatan perubahan luas persegi panjang yang panjangnya 15 inch berubah dengan kecepatan 3 inch/dt dan lebarnya 6 inch berubah dengan kecepatan 2 inch/dt.

xyez v

uyvux ,2

u

z

v

z

Aturan Rantai Fungsi Tiga Variabel

TheoremaJika x=x(t), y=y(t), dan z=z(t) fungsi yang differensiable di t, dan w=f(x,y,z) differensiable di titik (x(t), y(t), z(t)), maka w=f(x(t),y(t),z(t)) differensiable di t, dan

dt

dz

z

w

dt

dy

y

w

dt

dx

x

w

dt

dw

Contoh:

Misal w=ln (3x2-2y+4z3) dimana , ,

dan

Tentukan

21

tx 32

ty 2tz

dt

dw

Aturan Rantai Fungsi n Variabel

Definisi di atas dapat diperluas untuk fungsi n variabel. Jika v1, v2, … , vn adalah fungsi-fungsi satu variabel t, maka w= f(v1, v2, … , vn) adalah suatu fungsi t, dan rumus aturan rantai untuk adalah:

dt

dw

dt

dv

v

w

dt

dv

v

w

dt

dv

v

w

dt

dw n

n

...2

2

1

1

Contoh:Misal . Tentukan turunanparsial pertama terhadap variabel-

variabelnya. Contoh:Misal w=xy+yz, y=sin x, z=ex. Tentukan

24

23

22

21

4321 ),,,(vv

vvvvvvf

dx

dw

Education

Pertemuan 3 turunan dan aturan rantai