Upload
others
View
87
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
TURUNAN
Departemen MatematikaFMIPA IPB
Bogor, 2012
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 50
Topik Bahasan
1 Pendahuluan
2 Turunan Fungsi
3 Tafsiran Lain Turunan
4 Kaitan Turunan dan Kekontinuan
5 Rumus-rumus Turunan
6 Turunan Fungsi Trigonometri
7 Aturan Rantai
8 Turunan Implisit
9 Turunan Tingkat Tinggi
10 Laju Terkait
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 2 / 50
Pendahuluan
Mengapa Turunan Penting?
Pemahaman yang baik tentang konsep turunan fungsi akan memudahkanmemahami laju perubahan suatu variabel yang bergantung pada variabellain, misalnya penentuan:
Laju pertumbuhan suatu populasi (manusia, ikan, harimau, bakteri,dsb.)
Biaya marjinal suatu produk.
Kecepatan mobil seorang pembalap pada suatu waktu tertentu.
Laju perubahan kecepatan aliran darah berdasarkan jarak dengandinding pembuluh.
Laju penyebaran informasi, gosip.
Laju peluruhan bahan radioaktif.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 3 / 50
Turunan Fungsi
Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan
Definisi (Turunan Fungsi pada Suatu Titik)
Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f ′ (a) , adalah
f ′ (a) = limh→0
f (a+ h)− f (a)h
(1)
asalkan limit tersebut ada.
Bila limit tersebut ada (bukan ∞ atau −∞), maka fungsi f dikatakanterturunkan (memiliki turunan, differentiable) di a.Perhatikan Gambar (a) berikut.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 4 / 50
Turunan Fungsi
Ilustrasi Geometris Definisi Turunan Pada Titik
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 5 / 50
Turunan Fungsi
Alternatif Formula Turunan
Bila pada definisi (1) diambil x = a+ h, akan diperoleh alternatifformula:
f ′(a) = limx→a
f (x)− f (a)x− a
(2)
(lihat Gambar (b))
∴
f ′ (a) = limh→0
f (a+ h)− f (a)h
= limx→a
f (x)− f (a)x− a
�
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 6 / 50
Turunan Fungsi
Contoh (Definisi Turunan pada Titik)
Gunakan definisi turunan untuk menentukan:
1 f ′ (0) bila f (x) = 2x+ 1.2 f ′ (3) bila f (x) = 3/x.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 7 / 50
Turunan Fungsi
Soal
Gunakan definisi turunan untuk menentukan f ′(1) bagi fungsi-fungsiberikut.
1 f (x) = 1/x2 f (x) = x |x− 1|
3 f (x) =
x2 + 1 ; x ≤ 1
2x ; x > 1
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 8 / 50
Turunan Fungsi
Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung
Garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah garisyang melalui (a, f (a)) yang kemiringan/gradiennya sama denganf ′ (a), yakni turunan f di x = a.Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a))adalah
y− f (a) = f ′ (a) (x− a) (3)
DEMO ANIMASI TURUNAN
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 9 / 50
Turunan Fungsi
Ilustrasi Geometris Persamaan Garis Singgung
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 10 / 50
Turunan Fungsi
Contoh
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f (x) = 3/x yang melaluititik (3, 1) .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 11 / 50
Turunan Fungsi
Turunan Sebagai Fungsi
Ganti titik tetap a dengan variabel x pada definisi turunan (1) dan(2), akan diperoleh fungsi f ′ dengan
f ′ (x) = limh→0
f (x+ h)− f (x)h
= limz→x
f (z)− f (x)z− x
(4)
f ′ pada (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertama fungsif .Daerah asal f ′, Df ′ = {x : f ′ (x) ada} , Df ′ ⊆ Df .Nilai f ′ (a) juga dapat dihitung dari (4) kemudian mengevaluasi f ′ (x)untuk x = a. �
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 12 / 50
Turunan Fungsi
Contoh
Diketahui fungsi f dengan f (x) =√
x. Gunakan definisi turunan untukmenentukan f ′ (x) dan f ′(4). Tentukan Df dan Df ′ .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 13 / 50
Turunan Fungsi
Soal
Gunakan definisi turunan untuk menentukan f ′ (x) , Df , dan Df ′
fungsi-fungsi berikut:
1 f (x) = x2 − 2x2 f (x) = x2/3
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 14 / 50
Turunan Fungsi
Notasi Lain Turunan
Misalkan y = f (x). Beberapa notasi yang menyatakan turunan f :
y′ = f ′ (x) =dydx=
dfdx=
ddx
f (x) = Df (x) = Dxf (x)
Catatan: notasi dy/dx, df /dx, d/dx hanya merupakan simbol, bukanmerupakan operasi pembagian.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 15 / 50
Tafsiran Lain Turunan
Aplikasi TurunanFisika: Kecepatan Sesaat
Nilai f ′ (a) merupakan laju perubahan sesaat dari y = f (x) terhadap xdi x = a.Misalkan s = f (t) menyatakan fungsi posisi suatu objek pada waktu t,
kecepatan sesaat objek pada saat t = a adalah
v = f ′ (a) = lim∆t→0
∆s∆t= lim
∆t→0
f (a+ h)− f (a)∆t
laju objek pada saat t = a adalah |f ′ (a) |, yakni nilai mutlak kecepatansesaat.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 16 / 50
Tafsiran Lain Turunan
Aplikasi TurunanEkonomi, Demografi
Misalkan C = f (x) menyatakan total biaya produksi (Rp) untukmenghasilkan x barang (ton),
f ′ (x) = lim∆x→0∆C∆x bermakna laju total biaya produksi terhadap
banyaknya barang (Rp/ton). f ′ (x) dikenal sebagai biaya marjinal.
Misalkan P = f (t) menyatakan banyaknya populasi pendudukIndonesia pada waktu t (tahun),
f ′ (t) = lim∆t→0∆P∆t bermakna laju perubahan populasi pada waktu t
(orang/tahun).
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 17 / 50
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan)
Jika f memiliki turunan di a, maka f kontinu di a.
Makna HKekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukansyarat cukup.Untuk memeriksa keberadaan f ′ (a), terlebih dahulu periksakekontinuan f di a.Jika f kontinu di a, maka f ′(a) belum tentu ada.
Jika f tak kontinu di a, maka f ′(a) tidak ada. �
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 18 / 50
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Contoh (Kontinu, Tak Terturunkan)
Tunjukkan bahwa f (x) = |x| kontinu di x = 0 tetapi f ′ (0) tidak ada.
Contoh (Kontinu, Terturunkan)
Tentukan f ′ (1), bila
f (x) =
x2 + 1 ; x < 1
2x ; x ≥ 1
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 19 / 50
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Soal (Keterkaitan Turunan dan kekontinuan)
1 Tentukan g′(−1) dan g′ (1) bila
g(x) =
−1− 2x ; x < −1
x2 ; −1 ≤ x ≤ 1
2x ; x > 1
2 Fungsi f didefinisikan sebagai f (x) =
x2 ; x ≤ a
mx+ b ; x > aNyatakan nilai m dan b terhadap a agar f terturunkan di a.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 20 / 50
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Di mana Turunan Tidak Ada?
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 21 / 50
Rumus-rumus Turunan
Rumus-rumus Turunan
Rumus-rumus turunan berikut, dapat diperoleh melalui definisi turunan(4) .
Teorema (Turunan Fungsi)
Misalkan u = f (x), v = g(x), dan c suatu konstanta
1.ddx(c) = 0 4.
ddx(u± v) =
dudx± dv
dx
2∗).ddx(xn) = nxn−1 5.
ddx(uv) =
dudx
v+ udvdx
3.ddx(cu) = c
dudx
6.d
dx
(uv
)=
(dudx
v− udvdx
)/v2
2) n : bil. bulat positif
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 22 / 50
Rumus-rumus Turunan
Contoh
Tunjukkan bahwa:
1ddx(c) = 0.
2ddx(xm) = mxm−1 berlaku untuk bilangan bulat negatif m.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 23 / 50
Rumus-rumus Turunan
Turunan Fungsi Pangkat
Teorema (Turunan Fungsi Pangkat Umum)
Jika n sebarang bilangan real, maka
ddx(xn) = nxn−1 (5)
Dari pembahasan sebelumnya, berlaku
ddx(xn) = nxn−1, n : bilangan bulat (6)
Pada pembahasan turunan implisit akan ditunjukkan bahwa (6)berlaku untuk n : bilangan rasional (pecahan).Pada pembahasan teknik penurunan logaritmik akan ditunjukkanbahwa (6) berlaku untuk n : bilangan real.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 24 / 50
Rumus-rumus Turunan
Soal1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:a. y = 2x3 − x2 + 5b. g(x) =
(x3 − 3x
)/ (3x− 1)
c. u = (x2 − x)(x5 − 2x3)/x4
2 Tunjukkan bahwaddx
x√x2 − 1
=−1√(x2 − 1)3
.
3 Tentukan g′ (x) jika g (x) = x2f (x) .
4 Nyatakan limx→1
x2012 − 1x− 1
sebagai bentuk turunan, dan tentukan
nilainya.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 25 / 50
Rumus-rumus Turunan
Turunan Fungsi Sesepenggal
Teorema berikut memudahkan dalam mencari turunan fungsisesepenggal (piecewise functions), tanpa menggunakan definisiturunan.
Teorema (Turunan Fungsi Sesepenggal)
Andaikan f kontinu di a serta limx→a−
f ′ (x) dan limx→a+
f ′ (x) ada. Fungsi f
terturunkan di a jika dan hanya jika limx→a−
f ′ (x) = limx→a+
f ′ (x) dan
f ′ (a) = limx→a−
f ′ (x) = limx→a+
f ′ (x) (7)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 26 / 50
Rumus-rumus Turunan
Contoh
1 Periksa apakah f terturunkan di x = 1, jika
f (x) =
x2 , x < 1√
x , x ≥ 1Tentukan f ′ (x) .
2 Tentukan konstanta a dan b agar f terturunkan di x = 1.
f (x) =
3x2 , x ≤ 1
ax+ b , x > 1
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 27 / 50
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi TrigonometriLimit Penting
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 28 / 50
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Sinus, Cosinus
ddx
sin x = limh→0
(sin (x+ h)− sin x) /h
= limh→0
(sin x cos h+ cos x sin h− sin x) /h
= limh→0
cos x (sin h) /h− sin x(1− cos h)/h
= cos x[
limh→0
(sin h) /h]− sin x
[limh→0(1− cos h)/h
]= cos x · 1− sin x · 0
= cos x
dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa ddx cos x = − sin x.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 29 / 50
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi Trigonometri
ddx
sin x = cos xddx
cos x = − sin x
ddx
tan x = sec2 xddx
cot x = − csc2 x
ddx
sec x = sec x tan xddx
csc x = − csc x cot x
(8)
Satuan sudut: radian (2π rad = 360o → 1 rad ∼= 57.3o).
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 30 / 50
Turunan Fungsi Trigonometri
SoalDengan menggunakan turunan fungsi sinus dan cosinus, tunjukkankebenaran turunan fungsi trigonometri lainnya pada (8) .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 31 / 50
Aturan Rantai
Aturan Rantai
Misalkan ingin ditentukan dy/dx bagi y = (x2 − 3x)2.
Teknik Oi) kuadratkan (karena bentuknya sederhana):
y = x4 − 6x3 + 9x2
dy/dx = 4x3 − 18x2 + 18x
ii) pemisalan variabel baru:misalkan y = u2, u = x2 − 3x→ dy/du = 2u, du/dx = 2x− 3
dydx
=dydu
dudx= 2u (2x− 3) =
(2x2 − 6x
)(2x− 3)
= 4x3 − 18x2 + 18x ( = cara i)
Metode ii) dikenal dengan aturan rantai.Misalkan y = (x2 − 3x)2012, dy/dx = · · ·? Teknik i) amat rumit,teknik aturan rantai amat efisien. �
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 32 / 50
Aturan Rantai
Teorema (Aturan Rantai)
Misalkan f (u) terturunkan di u = g (x) dan g (x) terturunkan di x, makafungsi komposit (f ◦ g) (x) terturunkan di x dan
(f ◦ g)′ (x) = f ′ (g (x)) g′ (x) (9)
Dengan notasi Leibniz, jika y = f (u) dan u = g (x) , maka
dydx=
dydu
dudx
(10)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 33 / 50
Aturan Rantai
Ilustrasi Aturan RantaiKomposisi 2 Fungsi
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 34 / 50
Aturan Rantai
Perluasan Aturan RantaiKomposisi > 2 Fungsi
dst.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 35 / 50
Aturan Rantai
Contoh
Tentukanddx√
4x+ 10
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 36 / 50
Aturan Rantai
Soal1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:a. y =
(x2 + 1
)4 (2x3 − 3x+ 5)
b. y = tan(1− sin2 (2t− 1))2 Tentukan d
dx cos x berdasarkan kesamaan cos x = sin (π/2− x) dansin x = cos (π/2− x).
3 Diketahui
x f (x) g (x) f ′ (x) g′ (x)
0 1 1 5 1/3
1 3 −4 −1/3 −8/3
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut di titik yang diberikan.
a) f (x) g3 (x) , x = 0 c) f (x+ g (x)) , x = 0
b) f(√
x)
, x = 1 d)√
x5 + f (x), x = 1(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 37 / 50
Turunan Implisit
Turunan Implisit
Fungsi eksplisit: y = f (x)
Contoh: y = 2x+ 1, y =√
1− x2
Fungsi implisit: F (x, y) = c (konstanta), dengan asumsi y fungsiterhadap x.
Contoh: y− 2x− 1 = 0, x2 + y2 = 1, sin (xy) + 2x2 = 3
Menurunkan fungsi implisit
turunkan kedua ruas terhadap x,gunakan aturan rantai,tentukan dy/dx.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 38 / 50
Turunan Implisit
Contoh
Tentukan dy/dx = y′ pada lingkaran x2 + y2 = 25, dan tentukanpersamaan garis singgung di titik (4, 3) pada lingkaran.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 39 / 50
Turunan Implisit
Turunan Fungsi Pangkat Rasional
TeoremaMisalkan p, q bilangan bulat,
ddx
xp/q =pq
xp/q−1, q 6= 0 (11)
Soal
Gunakan teknik penurunan implisit untuk menunjukkan (11) .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 40 / 50
Turunan Implisit
Soal
Tentukan dy/dx bagi persamaan-persamaan berikut.
1 3x3 + 4y3 + 8 = 02√
xy+ 4 = y3 cos (x+ y) = x2 + y2
4 Tunjukkan bahwa kurva xy3 + x3y = 4 tidak memiliki garis singgunghorizontal.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 41 / 50
Turunan Tingkat Tinggi
Turunan Tingkat Tinggi
Turunan ke- Notasi f ′ Notasi y′ Notasi Leibniz Notasi D
1 f ′ (x) y′dydx
Dx y
2 f ′′ (x) y′′d2ydx2 D2
xy
3 f ′′′ (x) y′′′d3ydx3 D3
xy
n, n ≥ 4 f (n) (x) y(n)dnydxn Dn
xy
dnydxn =
ddx
(dn−1ydxn−1
)(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 42 / 50
Turunan Tingkat Tinggi
Aplikasi Turunan KeduaPenentuan Percepatan
Jika s = f (t) menyatakan fungsi posisi objek pada waktu t yang bergerakpada garis lurus, maka
v (t) =dsdt= f ′ (t) menyatakan kecepatan objek pada waktu t.
a (t) =dvdt=
d2sdt2 = f ′′ (t) menyatakan percepatan objek pada
waktu t.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 43 / 50
Turunan Tingkat Tinggi
Contoh
Tentukan turunan ke-n bagi y =1x
.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 44 / 50
Turunan Tingkat Tinggi
Soal1 Tentukan turunan ke-n bagi:a. f (x) = xn
b. f (x) = x/ (x+ 1)2 Didefinisikan
f (x) =
x2 ; x ≥ 0
−x2 ; x < 0
Buat sketsa grafik f . Tunjukkan bahwa f ′ (x) = 2 |x| dan simpulkanbahwa f ′′ (0) tidak ada.
3 Tunjukkan bahwa lingkaran x2 + y2 = r2 memiliki turunan keduay′′ = −r2/y3.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 45 / 50
Laju Terkait
Laju Terkait
Bila terdapat suatu kaitan antar variabel serta masing-masing variabelbergantung pada waktu t, maka perubahan laju dalam satu variabeldapat berakibat perubahan laju pada variabel lainnya.Makna tanda laju:
dx/dt > 0 : t membesar (mengecil) ⇒ x membesar (mengecil)dx/dt < 0 : t membesar (mengecil) ⇒ x mengecil (membesar)dx/dt = 0 : x konstan
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 46 / 50
Laju Terkait
Strategi Menyelesaikan Masalah Laju Terkait
1 Pahami permasalahan.
2 Buat diagram, berikan notasi kepada variabel-variabel yangmerupakan fungsi terhadap waktu.
3 Nyatakan informasi dan laju yang diketahui dalam bentuk turunan.
4 Tuliskan persamaan yang mengaitkan variabel yang diketahui.
5 Gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas terhadap t.6 Substitusi informasi yang diketahui dan tentukan laju yang diinginkan.
Kesalahan umum:terlalu dini menyubstitusi informasi numerik yang diketahui!
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 47 / 50
Laju Terkait
ContohSeberapa cepat ketinggian air di dalam silinder tegak berjari-jari 1 m turunjika silinder dipompa dengan laju 3000 liter/menit.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 48 / 50
Laju Terkait
Soal (Laju yang Berkaitan)
1 Sebuah tangga dengan panjang 5 m bersandar pada dinding tegak.Jika puncak tangga bergeser mendekati lantai pada laju 1 m/detik,seberapa cepat alas tangga bergeser pada saat puncak tangga berada4 m dari lantai?
2 Seseorang sedang menguras sebuah penampung air berbentuk kerucutterbalik. Jari-jari kerucut 1 m dengan ketinggian 3 m. Air mengalirdari bagian bawah dengan laju 1/4 m3/menit. Seberapa cepat airmenurun ketika ketinggian air 2 m? Seberapa cepat jari-jaripermukaan air berubah ketika ketinggian air 2 m?
3 Sebuah bola salju mencair pada suatu tingkat yang sebanding dengandengan luas permukaannya.
a Tunjukkan bahwa jari-jarinya memendek secara konstan.b Jika bola salju tersebut mencair menjadi 8
27 dari volume semula dalamwaktu satu jam, berapa lamakah waktu yang diperlukan agar bola saljutersebut habis mencair? Jawab: 3 jam.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 49 / 50
Laju Terkait
Tentang Slide
Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)
Versi: 2012 (sejak 2009)
Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 50 / 50