T_S5_Razones Trigonometricas de Un Angulo en Posicion Normal

8/18/2019 T_S5_Razones Trigonometricas de Un Angulo en Posicion Normal

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137SAN MARCOS REGULAR 2009 - III TRIGONOMETRÍA5

TEMA

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE

UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

TRIGONOMETRÍA - TEMA 5

I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Á n g u l otrigonométricogenerado en unplano cartesianocon vértice en elorígen decoordenadas ycuyo lado inicialcoincide con eleje positivo delas abscisas. El lado final puede ubicarse en cualquier partedel plano cartesiano, tal como se muestra en la figura.

II. ÁNGULO CUADRANTAL Ángulos en posición normal en que su lado final coincidecon cualquiera de los semiejes.

Nota: Los ángulos cuadrantales básicos o elementalesson:

180º

y

xL.F L.I

III. RAZONES TRIGONOMÉTRICASElementos:x: abscisa 2 2r x y

r 0

y: ordenadar: radio vector

r

xL.I

yP (x,y)y r

Sen Cscr yx r

Cos Secr xy x

Tan Cotx y

Es importante tener presente lo siguiente:

a 0 – a 0a 0 – a 0

La posición del lado final en el plano cartesiano

indica si el ángulo en posición normal, pertenece o

no a un determinado cuadrante.

Este capítulo tiene importancia porque su campo de estudioes el sistema de coordenadas rectangulares (sistemabidimensional). Estudiaremos los signos de razonestrigonométricas en cada cuadrante, así como la definiciónde ángulo cuadrantal y el valor de sus razones.

Asimismo, tiene importancia para el examen de admisión,pues es un tema de apoyo para identidades de ángulos

compuestos y múltiples, así como para la resolución deecuaciones trigonométricas.Objetivos de aprendizaje:

– Identificar los signos de las razones trigonométricas en

el sistema bidimensional. – Conocer la teoría de ángulos cuadrantales y su aplicación. – Reconocer ángulos coterminales y reconocer sus

propiedades.


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RAZ. TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

138TRIGONOMETRÍA SAN MARCOS REGULAR 2009 - III5

TEMA

IV. S I G N O S D E L A S R A Z O N E S

TRIGONOMÉTRICAS

Los signos de las razones trigonométricas de un ángulo

en posición normal que no es cuadrantal se indican

según el gráfico:

V. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS CUADRANTALES

0º 90º 180º 270º 360ºSen

Cos

Tan

Cot

Sec

Csc

0

0

1

1

1

1

1

1

–1

–1

–1

–10

0

0

0

0

0

0

0

ND

ND ND

ND

ND

ND

ND

ND ND

ND

De manera general, se puede establecer la medida de

un ángulo cuadrantal de la forma n(90°) o

n2

,

donde n .

Un ángulo cuadrantal no pertenece a ningún

cuadrante.

VI. ÁNGULOS COTERMINALESDos ángulos se denominan coterminales si tienen comoelementos comunes el lado inicial y el lado f inal.

y

x

Propiedades de ángulos coterminales

Propiedad número 1

De la figura: ( ) ( ) ( )R.T. R.T. R.T.α = θ = β

( ) ( )R.T. R.T.α = θ

( ) ( )R.T. 3 vueltas R.T.+ θ = θ

( ) ( )R.T. R.T.θ = θ

En general:( ) ( )

( ) ( )

R.T. 360 K R.T.K

R.T. 2k R.T.

° + θ = θ∀ ∈

π + θ = θ

Propiedad número 2Si dos ángulos son coterminales, la diferencia de susmedidas es un número entero de vueltas.

En general: – 360 K

K – 2K

α θ = °∀ ∈

α θ = π

Valor absoluto: Teorema:

a a; a 0

a – a; a 0

2a a

Es importante tener en cuenta lo siguiente:

Todo número par multiplicado por πrad representaaun número entero de vueltas.

Si, en el sistema sexagesimal la medida de un ánguloes mayor que una vuelta, se divide entre 360°


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RAZ. TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMA L


TEMA

Problema 1

Si se cumple Tan Sec 0θ θ < , indica

el cuadrante de θ .

Resolución:

Ordenando convenientemente losfactores:

( ) ( )Tan Sec 0θ θ <

(+) (–) ............... (I)

(–) (+) ............... (II)

Es importante tener en cuenta que el

resultado de una raíz cuadrada siempre

es positivo o cero; entonces (I) no se

cumple:

( ) ( )Tan Secθ θ

(–) (+) ................... (II)

Se sabe:

a Re a 0∈ → ≥

Para el problema planteado:

Sec 0 Sec 0θ > → θ > ICIVC

De ( ) ( )yα β

Respuesta : IVθ∈

Problema 2

Si Tan 4Sen30 Cos180

II.C.

θ + ° = °

Calcula: K 3Sen – Cos= θ θ

Resolución:

Reemplazando valores notables

1Tan 4 –1

2

θ + =

Tan 2 –1→ θ + =

–3Tan

1θ =

Ubicando en un sistema decoordenadas rectangulares:

Reemplazando:

3 –1K 3 –

10 10

=

10 10K

10 10

⇒ =

Respuesta : K = 10

Problema 3

Si el lado final de un ángulo en posición

normal ( )θ pasa por la intersección de

las rectas:

L1: x + y – 1 = 0 y

L2: 2x – y – 8 = 0,

Calcular: . K 6Tan – 52 Sen= θ θ

Resolución:

Cálculo del punto de intersección.

( )x y 12x – y 8

3x 9

+ = +

= =

x 3=

Cálculo de y:

x y 1 3 y 1 y – 2+ = → + = → =

El punto de intersección es P (3, –2)

entonces graficamos el problema.

Incóng.:

–2 –2K 6 – 4 13

3 13

=

K – 4 4 K 0= + → =

Respuesta : 0


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TEMA

A) 13

B) – 13C) 2 13

D) –2 13

E) 3 13

9. De acuerdo con la figura: C: (9; –6)

Calcula: Sec –SenMCsc –Cos

A) –1/2

B) –2/3

C) –3/4

D) –4/5

E) –5/6

10. En un triángulo ABC se cumple:

CosA CosB CosC aa b c bc

.

Calcula:

K = CscA + 3Cos2A + Tan2 A/2

A) 2

B) –2

C) 1

D) –1

E) 0

11. De acuerdo con la figura, calcula:

A Csc –Cot

NIVEL I

1. De acuerdo con la figura, calcula:K Tan 10 Sec

A) 5

B) 6C) 7D) 8E) 9

2. Calcula:

3Sen90º Tan 50º x Tan 40º–x A

Cos0º – Cos60º

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 8

3. Si se sabe:

Tan Sen90º–2Cos180º

|Cos | Cos 0 ,calcula:

21K Sen37º Sec Sec 45º Tan6

A) 5B) 4C) 3D) 2E) 1

4. Si 22Sen (20º x) Sec 70º –x Cos180º 0

calcula: K = 2Sen9x + Sec(x – 10º)

0º


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RAZ. TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMA L


TEMA

1. De acuerdo con la figura, completa:

Sen = ___________

Tan = ___________

Sec = ___________

2. Indica el cuadrante:

I. Sen 0 Tan 0 _____________

II. Tan 0 Sec 0 __________

III. Cos 0 Csc 0 __________

3 . Completa:

I. 2Sen30º Cos180º ___________

II. Cos0º + 2Sen90º = ___________

III. Tan45º + Csc270º = __________

4. Completar:

I. IIC |Tan | Tan = _________

II. IIIC |Cos | Cos = _________

III. IVC |Sec | Sec = _________

5. Escribe verdadero si es (V) o falso (F) según corresponda

I. Tan81 Sec 04

( )

II. Sec20 Sen 02

( )

III. Cos81 Cos70 0 ( )

6. A partir de los datos, completa. Ten presente además,

que es positivo y menor de una vuelta:

I. Csc 2; IIC ___________

II. Sec 2; IVC ___________

III. Cot 1; IIIC ___________

A) –1

B) –2

C) –3

D) –4

E) –5

12. De acuerdo con la figura, calcular

la altura relativa a BC. –1K Tan –2Tan Csc25

3

A) 3

B) – 3

C) 2 3

D) –2 3

E) –3 3

NIVEL III

13. Si el área del triángulo OAB es 5m2,calcula:

2 225Tan Tan –10Tan TanM

4

A) 1/4 B) 2 C) 3/4

D) 4 E) 5

14. Si se sabe que:

Sen 1 1 1 1;Cot Sen180º

4 15 35 63 99

,

Calcular: M 14 17 Tan 32Csc .

A) 16 B) 28 C) 34D) 52 E) 98

15. Se sabe:

y 0 x ;2 4 4

además:

1 Tan x Cot x

1 Tan x Cot x

Calcula: Tan x – Cos – .

A)5 1

–2

B) 5 12

C)1– 5

2

D) 2 52

E)5 –12


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TEMA

7. Completa:

I. Tan 2; IIIC, Sec = _________

II. Sec –3; IIC, Tan = __________

III. 1

Sen ; IIC,Cot2

= ___________

8. Si ( ) es positivo y menor de una vuelta:

I. Sen 0 _________

II. _______ Cos 0 _______

III. Tan 0 ______

9. De acuerdo con la figura, completa:

I.

Tan _______

II.

Sec _______

III.

Csc _______

10. Completa:

I. Cot121 _________ 4

II. Sec61 __________ 3

III. Csc812

________


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