Trostruki integrali i primjene

Mr. sc. Tatjana Stanivuk Pomorski fakultet u Splitu

Trostruki integral funkcije triju varijabli u = f (x,y,z) preko volumena V označava se:

Definira se analogno dvostrukom integralu: tijelo V razdijeli se male djeliće, tzv. “elementarna tijela”, a onda se računa suma:

VV

dVzyxfILIdVzyxf ),,(),,(

n

iiiii dVzyxf

1

),,(

M(x,y )i i i,zi

V

dVi

Pojam trostrukog integrala

n

iiiii

ndV

V

dVzyxfdVzyxfi 1

0),,(lim),,(

Trostrukim integralom naziva se limes sume svih elementarnih tijela ako se svako od njih steže u točku te je zato broj takvih tijela beskonačan:

Uvijet je, naravno, da limes postoji i da ne ovisi o načinu na koji se dijeli V niti o izboru točaka unutar tih tijela, Mi.

Pojam trostrukog integrala

Ako je funkcija f(x,y,z) neprekidna u ograničenom području

a 1, 2, 1, 2 neprekidne funkcije, tada je:

Volumen se može, analogno, projicirati na druge koordinatne ravnine.

1 2 1 2, , , ( ) ( ), ( , ) ( , ) ,V x y z a x b x y x x y z x y

2

1

( , )

( , )

( , , ) ( , , )xy

x y

V V x y

f x y z dxdydz dxdy f x y z dz

Neposredno integriranje trostrukog integrala

Izračunajte integral ako je 3 2

V

x y zdxdydz0 1

... 0 .

0

x

V y x

z xy

x

y

z

1x

y

1

1

y=x

Vxy

Primjer 1

13 2 3 2 3 2

0 0 0 0xy

xy xyx

V V

I x y zdxdydz x y dxdy zdz x dx y dy zdz

1 23 2

0 0 2

x zx dx y

0

|xy

dy 1 12 2 5 5

3 2

00 0 02 2 5|

x xx y x yx dx y dy dx

1 1 15 10 115

00 0

1 1.

10 10 10 11 110|x x x

x dx dx

Primjer 1, nastavak

U prethodnom primjeru korišten je Decartesov koordinatni sustav, koji je najpoznatiji iz prijašnjeg obrazovanja. Postoje četiri standardna koordinatna sustava kod trostrukog integrala:

• Decartesov koordinatni sustav • Opći koordinatni sustav

• Cilindrični sustav

• Sferni sustav

Koordinatni sustavi kod rješavanja trostrukog integrala

Kod ovog koordinatnog sustava umjesto starih koordinata x,y,z uvodimo nove u,v,w koje su sa starim povezane neprekidnim i diferencijabilnim funkcijama:

pomoću kojih se ograničeno područje V bijektivno preslikava u V’.

( , , )u u x y z

( , , )v v x y z

( , , )w w x y z

Opći koordinatni sustav

Tada vrijedi:

ako je na V’.

Pri tomu je V volumen definiran u starim koordinatama, V’ volumen definiran u novim koordinatama, a J Jakobijan transformacije koordinata.

0u v w

u v w

u v w

x x x

J y y y

z z z

'

( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , ) | | ,V V

f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J dudvdw

Opći koordinatni sustav

Cilindrične koordinate , , z povezane su s Decartesovim koordinatama:

Pri tomu , , z mogu biti u slijedećim granicama:

Jakobijan ove transformacije koordinata je J = .

cosx siny

z z

0,2

0,

,z

Cilindrični koordinatni sustav

Izračunajte ako je uz2 2

V

z x y dxdydz 2 2... 2 ,V x y x

0, 0, .y z z a

2 2

0

.xy

a

V

I x y dxdy zdz

Projekcija na xy ravninu je krug 2 2...( 1) 1.xyV x y

Primjer 2

Uvode se cilindrične koordinate u obliku supstitucije:

Jednadžba kružnice u cilindričnim koordi-

natama je za a podintegralna funkcija je sada .

Dakle:

2 2( 1) 1x y

cosx siny

z z.J

2cos 0, ,2

2 22cos 2cos 22 2

00 0 0 0 0 2|

a azI d d z dz d d

Primjer 2, nastavak

2 22cos 2cos2 2 32

00 0 0

( )2 2 3

|a ad d d

2 223 2 2

0 0

4(8cos ) (1 sin )cos

6 3

ad a d

23

2 2

0

4 sin 8(sin ) .

3 3 9|a a

Primjer 2, nastavak

Sferne koordinate , , su povezane s Decatesovim:

Pri tomu , , mogu biti u slijedećim granicama:

Jakobijan ove transformacije koordinata je

sin cosx sin siny cosz

0,2

0,

0,

2 sin .J

Sferni koordinatni sustav

Izračunajte

Čim je kugla (elipsoid) područje integracije, prirodno je koristiti se sfernim koordinatama:

Kako se integrira po cijeloj kugli, jasno je da su granice slijedeće:

2 2 2 3 2 2 21 ( ) , ... 1.V

x y z dxdydz V x y z

sin cosx 2sin sin , sin .y J

cosz

0,2 , 0, , 0, 0,1 .kugle

Primjer 3

T

x

y

z

J

1

Primjer 3, nastavak

2 1 2 13 2 3 3

0 0 0 0 0 0

1sin 1 sin 1 (1 )

3I d d d d d d

2

1 33 32

0 0

1 (1 ) 2 82 ( cos ) 2 1 ( 1) (2 1) (2 2 1).

3 9 9| |

Primjer 3, nastavak

Veličina Opća formula U Decartesovim koordinatama

U cilindričnim koordinatama

U sfernim koordinatama

Volumen tijela V

dVV V

dzdydx V

ddzd V

ddrdr sin2

Moment inercije tijela V

z dVI 2 dzdydxyx 22 ddzd3 V

ddrdr sin4

Masa tijela gustoće V

dVm V

dzdydx V

ddzd V

ddrdr sin2

V

c xdVV

x1

V

V

dzdydx

xdzdydx

V

c ydVV

y1

V

V

dzdydx

ydzdydx

Koordinate težišta homogenog tijela

V

c zdVV

z1

V

V

dzdydx

zdzdydx

Primjene trostrukog integrala

Izračunajte volumen tijela ako je V={(x, y, z) R3 | z x2 + y2 – 2x – 4y + 1, 2x + z 8, x 0, z 0}.

Volumen zračunavamo kao razliku

između dva volumena, tj. V = VV – VM

To je projekcija većeg tijelanastalog presjekom ravninez = 8 – 2x i paraboloida.

2 28 2 2 4 1x x y x y 2 28 ( 2) 3x y

2 2( 2) 11.x y

Primjer 4

To je projekcija manjeg tijela VM nastalog presjekom ravnine z = 0 i paraboloida.

2 24 ( 1) ( 2)z x y 2 2( 1) ( 2) 4.x y

2

2 22

11 2 11 8 2

0 2 4 12 11

x x

V

x y x yx

V dx dy dz

2

2 22

2 4 ( 1)3 0

0 2 4 12 4 ( 1)

x

M

x y x yx

V dx dy dz

Primjer 4, nastavak

Računanje volumena u ovim koordinatama bilo bi dosta komplicirano, stoga mijenjamo koordinatni sustav i uzimamo cilindrični. Taj cilindrični sustav će biti različit pri računanju volumena VV od onog za VM, a u skladu s projekcijama tijela VV i VM na xy ravninu.

Jednadžbe ploha:

VV cos

2 sin

x

y

z z

.J

2 2 2 4 1z x y x y 2 2 2cos (2 sin ) 2 cos 4(2 sin ) 1z

Primjer 4, nastavak

Jednadžbe krivulja:

Kutovi:

Uvrštavamo granice integriranja:

2 2 2 2cos 4 4 sin sin 2 cos 8 4 sin 1z 2 2 cos 3.parz

8 2 8 2 cos .ravz x z

2 2 2 2 2 2( 2) 11 cos sin 11 11.krx y

, .2 2

2

2 8 2 cos11

2 0 2 cos 3

121... .

4VV d d dz

Primjer 4, nastavak

MV1 cos

2 sin

x

y

z z

.J

Jednadžbe ploha:2 2 22 4 1 ... 4parz x y x y z

Jednadžbe krivulja:

,1

0cosprx

2kr

0 2 3 3 (0,2 3), (0, 2 3).x y A B Točke:

Primjer 4, nastavak

Kutovi:

Mogu se tražiti ovako:

Za točku A je x = 0 i = 2 (jer leži na kružnici, pa zadovoljava njezinu jednadžbu = 2).

Stoga je: 1 20 1 2 cos cos .

2 3A

2

3B

ili4

,3

ovisno da li računa od B prema A ili od A prema B.

2 2

2 3 4 3 1 cos2 0 0

2 3 0 2 3 0

16... 3 3.

3MV d d dz d d dz

121 16 299

3 3 3 3.4 3 12V MV V V

Primjer 4, nastavak