Türev Kavramı ÜNİTE - Gaziantep Üniversitesimurat/math2/unite09.pdf · 2016-03-17 · ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Çalışma Önerileri • Türev kavramını ve türev alma kurallarını

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• türev kavramını anlayacak,• türev alma kurallarını öğrenecek,• türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak,• çeşitli tipte fonksiyonların türevlerini bulabileceksiniz.

İçindekiler

• Giriş 225• Fonksiyon Türevi 227• Türev Alma Kuralları 236• Teğet Denklemi 240• Yüksek Mertebeden Türevler 241• Değerlendirme Soruları 243

ÜNİTE

9Türev Kavramı

YazarProf.Dr. Vakıf CAFEROV

A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ

Çalışma Önerileri

• Türev kavramını ve türev alma kurallarını iyi öğreniniz• Çözümleri verilmiş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz• Türevin geometrik ve fiziksel anlamına dikkat ediniz• Çok sayıda fonksiyon örneği alıp türevlerini (I. mertebeden, II.

mertebeden, ...) bulunuz• Çeşitli fonksiyon örnekleri alıp teğet denklemlerini yazınız.

A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ

1. GirişÖnce, denklemi y = f(x) olan bir eğrinin üzerindeki herhangi bir (x0, f(x0))noktasındaki teğetinin bulunması problemini ele alalım. Bunun için önce teğetintanımını hatırlayalım.

Eğri üzerinde bir T noktası verilsin. Eğri üzerinde bu noktadan farklı herhangi T1noktası seçip TT1 kirişini çizelim. T1 noktası eğri boyunca T noktasına yaklaştı-ğı zaman bu kiriş T noktası etrafında dönme hareketi yapar. TT1 kirişinin limitkonumuna (eğer varsa) bu eğrinin T noktasındaki teğeti denir. Teğetin x- ekseni ileoluşturduğu α açısının tanjantına ise teğetin eğimi denir. Teğetin eğimini bulmakiçin T1 noktasının apsisinin x0 + h olduğunu varsayalım. O zaman bu noktanınordinatı f(x0 + h) olur. TNT1 dik üçgeninden TN = h, T1 N = f(x0 + h) - f(x0),

olduğundan kirişin eğimi

olur.

T1 in eğri boyunca T ye yaklaşması h nin sıfıra yaklaşmasını gerektirdiğinden h → 0 iken kirişin eğimi teğetin eğimine yaklaşır: Eğer limiti varsa,

olur. Buna göre, teğetin eğimini bulmak için yukarıdaki limiti hesaplamak gerek-mektedir.

T Ü R E V K A V R A M I 225

T1TN = β

tan β = T1 NTN

= f( x0 + h) - f( x0)h

0

●

α β

NT

y = f (x)α β

x0

T 1

.

x0 + h

y

x

T1 NTN

limh → 0

teğetin eğimi = tan α = limh → 0

f( x0 + h) - f( x0)h

Şekil 9.1


Örnek: 1) y = x3 ve 2) y = 1 + x2

eğrilerinin herhangi x0 apsisli noktadaki teğet eğimlerini hesaplayalım.

Çözüm: 1) Eğri üzerinde x0 apsisli nokta, (x0 , x03 ) noktasıdır.f(x0) = x03 , f (x0 + h) = (x0 + h)3 olduğundan

2) f(x0) = 1 + x02 , f(x0 + h) = 1 + (x0 + h)2

olur. Örneğin, (-2, 5) noktasındaki teğet eğimi 2 . (-2) = - 4 dür.

Şimdi ise hareketli bir cismin ani hızının hesaplanması problemini ele alalım. Düz-lemde bir doğru boyunca harekette olan cisim, başlangıçta (t=0 anında) doğru üze-rindeki O noktasında olsun. t anında cismin bulunduğu nokta ile O noktası arasın-daki s(t) uzaklığı t zamanının bir fonksiyonu olup, cismin t zamanı içinde katettiğiyolu gösterir. s = s(t) fonksiyonuna cismin hareket denklemi denir.

Bu hareketin to anındaki ani hızını bulmak için t0 a ∆t artması verelim. ∆t süresinde kate-dilen yol, ∆s = s(t0 + ∆t) - s(t0) olur. Bu durumda oranı ise, [t0, t0 + ∆t] zamanaralığındaki ortalama hız olur. t0 anındaki vani ani hızını bulmak için oranının∆t → 0 iken limitini bulmamız gerekmektedir. Buna göre, ani hız

olur, dolayısıyla ani hızı bulmak için bu limiti hesaplamak gerekmektedir.

Örnek olarak hava direncinin hesaba alınmadığı ortamda serbest düşen cismin anihızını bulalım. t = 0 (sn) anında cisim O başlangıç noktasında ise o zaman t0 sa-niye içinde katedilen yol

formülü ile veriliyor. Burada g ≅ 9,8 m/sn2 dir.

T Ü R E V K A V R A M I226

tan α = limh → 0

(x0 + h)3 - x0 3

h = lim

h → 0 x0

3 + 3x0 2 h + 3x0 h 2 + h 3 - x0

3

h

= lim

h → 0 3x0 2 + 3x0 h + h 2 = 3x0

2 + 0 + 0 = 3x0 2 olur.

tan α = limh → 0

1 + (x0 + h)2 - (1 + x0 2)h

= limh → 0

(2x0 + h) = 2x0

∆s∆t ∆s

∆t

vani = s t0 + ∆t - s t0

∆tlim∆t → 0

s (t0) = g t02

2 (metre)

Buna göre, s t0 + ∆t = g . t0 + ∆t 2

2 ,


Örnek: Hava direncinin hesaba alınmadığı ortamda yeteri kadar yüksekten ser-best düşen cismin, düşmeye başladıktan 10 saniye sonraki ani hızını bulunuz.

Çözüm: vani = gt0 , t0 = 10 sn , g ≅ 9,8 m/sn2 olduğundan aradığımız hız, vani ≅ 9,8.10 m/sn = 98 m/sn olur.

Not: ∆t yi ∆ ile t nin çarpımı olarak düşünmeyiniz, küçük artmaları göster-mek için kullanılan bir gösterimdir.

2. Fonksiyon TüreviYukarıda incelediğimiz her iki örnekte, fonksiyon artması denilen f(x0 + h) - f(x0)ve s(t0 + ∆t) - s(t0) ifadeleri, bağımsız değişken artmaları olan h ve ∆t ye bölü-nüp, bölümün bu artmalar sıfıra yaklaşırken limitleri alındı. Bu limitlerin hesap-lanması bizi türev kavramına getirir.

A ⊂ IR aralığı üzerinde tanımlı, gerçel değişkenli f: A→ IR, y = f(x) fonksiyonu ve-rilsin. x0 ∈ A olmak üzere x0 a ∆x kadar artma verelim. x0 + ∆x sayısının da ∆x inküçük değerleri için yine A aralığı içinde kaldığını varsayalım (burada ∆x > 0

veya ∆x < 0 olabilir). O zaman ∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0) a y = f(x) fonksiyonu-

nun x0 noktasındaki artması, ifadesine ise fonksiyonun

[x0, x0 + ∆x] aralığında ortalama değişme hızı denir, (burada, eğer ∆x < 0

ise [x0 + ∆x, x0] aralığından sözetmeliyiz).

limiti varsa, bu limite y = f(x) fonksiyonunun x0

noktasındaki türevi denir. Bu durumda y = f(x) fonksiyonuna da x0 nok-tasında türevlenebilir fonksiyon denir.

Buna göre türev, fonksiyon artması ∆y nin bağımsız değişken artması olan ∆x eoranının ∆x sıfıra yaklaşırken limitidir.

olduğuna dikkat ediniz.


vani = g . t0 + ∆t 2

2 - g . t0

2

2

∆t = g

2 lim∆t → 0

(t0 + ∆t) 2 - t02

∆t lim

∆t → 0

= g

2 t0

2 + 2t0 . ∆t + ∆t2 - t02

∆t = g

2 2 t0 + ∆tlim∆t → 0

= g t0 ,lim∆t → 0

vani = gt0 olur.

∆y∆x

= f(x0 + ∆x) - f(x0)∆x

Eğer f x0 + ∆x - f x0

∆xlim∆x → 0

f x0 + ∆x - f x0

∆x = f x - f x0

x - x0 lim

x → x0lim∆x → 0


Eğer y = f(x) fonksiyonunun her x ∈ A noktasında türevi varsa, o zaman bu fonksi-yona "A üzerinde (veya A kümesinde) türevlenebilir" veya "A üzerinde türevivardır" denir. Bu durumda A üzerinde yeni bir fonksiyon, türev fonksiyonutanımlanmış olur. Bu fonksiyon her x ∈ A sayısını fonksiyonun x noktasındakitürevi ile eşler.

Türev Fonksiyonu

gibi, x0 noktasındaki türev ise

gibi sembollerle gösterilir. Böylece,

yazılabilir. Türev alma işlemine bazen diferansiyelleme işlemi de denir. f '(x)türevine bazen f(x) fonksiyonunun x değişkenine göre türevi veya sadece f(x)fonksiyonunun türevi denir.

Yukarıdaki örneklerde bulduğumuz sonuçları şöyle ifade edebiliriz:

x0 noktasında türevlenebilir y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin (x0 , f(x0)) nok-tasındaki teğetinin eğimi olan tan αααα değeri f '(x0) türevine eşittir.

Doğru boyunca hareket eden ve denklemi s = s(t) ile verilen cismin hareketindeherhangi t0 anındaki ani hız s'(t0) türevine eşittir.

Giriş kesimindeki 1). ve 2). örneklere göre, y = x3 fonksiyonu için y'(x0) =3x02 ve y = x2 + 1 fonksiyonu için y'(x0) = 2x0 diyebiliriz.

Tanımdan görüldüğü gibi y = f(x) fonksiyonu için x = x0 noktasındaki f '(x0)türevinin sonucu bir sayıdır. Bu sayıyı bulmak için ya

limiti hesaplanır ya da eğer mümkünse, f ' (x) türev fonksiyonu hesaplanıp x yeri-ne x0 yazılır.

Örnek: y = x birim fonksiyonun türevini bulalım.


y' , f' x , dydx

, d f xdx

y' x0 , f' x0 , dydx

x = x0

, d f x0

dx

y' x0 = f' x0 = dydx

x = x0

= d f x0

dx = f x0 + ∆x - f x0

∆xlim∆x → 0

f x0 + ∆x - f x0

∆xlim∆x → 0


Çözüm: f(x) = x, f(x + ∆x) = x + ∆x olduğundan

Örnek: y = 2x2 - 3x + 5 fonksiyonunun türevini bulalım.

Çözüm: f(x) = 2x2 - 3x + 5 , f(x + ∆x) = 2(x + ∆x)2 - 3(x + ∆x) + 5

= 2 ( x2 + 2x . ∆x + ∆x2) - 3x - 3 ∆x + 5 = 2x2 + 4x . ∆x + 2∆x2 - 3x - 3∆x + 5

olduğundan

= 4x + 2 . 0 - 3 = 4x - 3, buna göre (2x2 - 3x + 5)' = 4x - 3 dir.

Örnek: f(x) = x + x3 fonksiyonunun x = -2 noktasındaki f ' (-2) türevini bulalım.

Çözüm:

f(-2) = -2 + (-2)3 = -2 -8 = -10f(-2 + ∆x) = -2 + ∆x + (-2 + ∆x)3 = -2 + ∆x + (-8 + 12 ∆x - 6 ∆x2 + ∆x3)= ∆x3 - 6 ∆x2 + 13 ∆x - 10

olduğundan

bulunur.

Örnek:

Çözüm:

elde edilir.


y' = x + ∆x - x∆x

= 1 = 1 ve dolayısıyle x ' = 1 elde edilir.lim∆x → 0

lim∆x → 0

y' = 2x2 + 4x . ∆x + 2 ∆x2 - 3x - 3 ∆x + 5 - 2x2 + 3x - 5∆x

= 4x + 2 . ∆x - 3lim∆x → 0

lim∆x → 0

f' -2 = f -2 + ∆x - f -2∆x

limitini (eğer varsa) bulmamız gerekiyor.lim∆x → 0

f' (-2) = ∆x3 - 6 ∆x2 + 13 ∆x - 10 + 10∆x

lim∆x → 0

= ∆x2 - 6 ∆x + 13lim∆x → 0

= 0 - 0 + 13 = 13

y = 1x (x ≠ 0) fonksiyonunun türevini bulalım

f(x) = 1x , f(x + ∆x) = 1x + ∆x

olduğundan

y' =

1x + ∆x

- 1x∆x

lim∆x → 0

=

x - x - ∆xx (x + ∆x)

∆xlim∆x → 0

= - 1x (x + ∆x)

lim∆x → 0

= - 1

x (x + 0) = - 1

x2


Fonksiyonların süreklilik kavramını geçen ünitede tanımlamıştık. Süreklilik kav-ramı ile türev kavramı arasında aşağıdaki ilişki vardır:

Eğer y = f(x) fonksiyonunun x = x0 noktasında türevi varsa o zaman bufonksiyon bu noktada süreklidir.

Not: y = f(x) fonksiyonu verilsin. x değiştikçe buna bağlı olarak y de değişir.

Farklı f(x) fonksiyonları için bu değişim farklıdır. İşte f '(x) türevi, y nin xe göre değişme hızını ifade eder. Gerçekten, fonksiyon artmasının bağımsız de-ğişken artmasına oranı olan oranı fonksiyonun [x, x+∆x] veya[x+ ∆x, x] aralığındaki ortalama değişme hızını,limiti ise fonksiyonun x noktasındaki değişme hızını gösterir. Türevin bu anla-mı uygulama açısından çok önemlidir.

Örnek: y = x2 fonksiyonunun x = 3 noktasında değişme hızını bulalım.

Çözüm: y' = f'(x) = 2x olduğundan x = 3 noktasında değişme hızı f'(3) = 2.3 = 6olur.

Örnek:

Çözüm:

Burada hızın negatif olması, fonksiyonun x = -2 noktası civarında azaldığına işareteder.

Şimdi türevi olmayan bir fonksiyon örneği verelim.

Örnek: y = |x| fonksiyonunun x0 = 0 noktasında türevinin olmadığını göste-relim.

Çözüm: x ≥ 0 ise |x| = x , x < 0 ise |x| = -x olduğunu hatırlayalım. Buna göre,

f(x0) = |x0| = |0| = 0, f(x0 + ∆x) = |0 + ∆x| = |∆x|

olur. Sonuncu limit yoktur, çünkü


f(x + ∆x) - f(x)∆x

f' (x) = f(x + ∆x) - f(x)

∆xlim∆x → 0

y = 1x fonksiyonunun x = -2 noktasında değişme hızını bulalım.

y' = f ' (x) = - 1x2

olduğundan f ' (-2) = - 1(-2) 2

= - 14

olur

f( x0 + ∆x) - f( x0)∆x

lim∆x → 0

= |∆x|∆x

lim∆x → 0

|∆x|∆x

lim∆x → 0+ = ∆x

∆xlim

∆x → 0+ = 1

|∆x|∆x

lim∆x → 0- = -∆x

∆xlim

∆x → 0- = -1


olduğundan sağdan limit soldan limite eşit değildir. O zaman bu fonksiyonunx0 = 0 da türevi yoktur.

Şimdi bazı fonksiyonların türevlerini hesaplayalım.

1) y = c sabit fonksiyonunun türevi sıfırdır: y' = (c)' = 0.f(x) = c , f(x + ∆x) = c olduğundan

2) a gerçel sayı olmak üzere, y = xa fonksiyonunun türevi y' = a xa-1 dir.

Bu formülü a nın doğal sayı olması durumda ispatlayacağız. (Genel durumdakarmaşık limitler kullanılır). f(x) = xa , f(x + ∆x) = (x + ∆x)a dır. 2. ünitedekiBinom formülüne göre,

yazabiliriz. Buradan

bulunur.

Örnek : fonksiyonlarının tü-

revlerini bulalım.

Çözüm: 1) y = x5 fonksiyonu için a = 5 dir. Buna göre y' = (x5)' = 5x5-1 = 5x4

dür.

olur.


y' = f(x + ∆x) - f(x)∆x

lim∆x → 0

= c - c∆x

lim∆x → 0

= 0∆x

lim∆x → 0

= 0 = 0lim∆x → 0

dır.

f(x + ∆x) = xa + axa-1 . ∆x + a (a-1)2

xa-2 ∆x2 + ... + ∆xa

f(x + ∆x) - f(x) = xa + axa-1. ∆x + a (a-1)2

xa-2 ∆x2 + ... + ∆xa - xa

= a xa-1 ∆x + a (a-1)

2 xa-2 ∆x2 + ... + ∆xa ,

y' = xa ' = a xa-1 . ∆x + a (a - 1)

2 xa-2 ∆x2 + ... + ∆xa

∆x lim

∆x → 0

= a xa-1 + a (a - 1)

2 xa-2 ∆x + ... + ∆xa-1 = axa-1 + 0 + ... + 0 = axa-1 lim

∆x → 0

1) y = x5 , 2) y = 1x , 3) y = x , 4) y = x35

2) 1x = x-1 yazılabildiğinden bu örnekte a = - 1 dir. Buradan

y' = 1x

' = (-1) . x-1 -1 = (-1) x-2 = -x-2 = - 1x2


elde edilir.

bulunur.

3) a > 0 , a ≠ 1 gerçel sayı olmak üzere, y = f(x) = ax üstel fonksiyonununtürevi y' = ax ln a dır.f(x) = ax , f(x + ∆x) = ax+∆x olduğundan

yazılabilir (limit ∆x değişkenine göre hesaplandığından ax sabittir ve limitinönüne çıkarılabilir).


?

3) x = x12 olduğundan yukarıdaki formülde a = 1

2 olur.

y' = x ' = 12

. x12

-1 = 1

2 x

- 12 = 1

2 x

4) x35 = x35 gibi yazılabildiğinden, bu örnekte a = 3

5 dir.

y' = x35 ' = 35

x35

-1 = 3

5 x

- 25 = 3

5 x25

f(x) = x23 ise f' (8) = ? g(x) = 1

x3 ise g' (8) = ?

h(x) = x x ise h ' (4) = ?

Cevaplarınız 13

, - 148

ve 3 olmalıydı.

y' = ax + ∆x - ax

∆xlim∆x → 0

= ax . a∆x - ax

∆xlim∆x → 0

= ax a∆x - 1∆x

lim∆x → 0

= ax . a∆x - 1

∆xlim∆x → 0

Öte yandan a∆x - 1∆x

lim∆x → 0

limitini bulmak için a∆x - 1 = 1u diyelim. Buradan,

∆x = loga 1 + 1u bulunur. Diğer taraftan ∆x → 0 için u → ∞ olduğundan a∆x - 1

∆xlim∆x → 0

= 1/uloga 1 + 1u

limu → ∞

= 1loga 1 + 1u

ulimu → ∞

= 1loga e

= ln a

bulunur.


Buna göre y' = (ax )' = ax . lna bulunur. Özel olarak, a = e alınırsa lne = 1olduğundan (ex )' = ex olur:

(ax )' = ax ln a , (ex)' = ex .

Örnek: fonksiyonlarının türevlerini bu-lalım.

Çözüm:

Örnek: 1) y = 4x 2) y = ex fonksiyonlarının x = -1 noktasındaki türev-lerini bulalım.

Çözüm: 1) y' = 4x ln 4 olduğundan

2) y' = ex olduğundan

4) a > 0 , a ≠ 1 gerçel sayı olmak üzere y = f(x) = loga x logaritmik

fonksiyonunun türevi

f(x + ∆x) = loga (x + ∆x) olduğundan 5. üniteden logaritmik fonksiyonun özel-liklerini kullanırsak

elde ederiz.

olduğunu ve logaritmik fonksiyonun sürekliliğini

gözönüne alırsak

bulunur. Eğer a = e alınırsa ln e = 1 olduğundan


1) y = 2x 2) y = 13

x , 3) y = 5 x

1) y' = 2x ln 2 , 2) y' = 13

x ln 1

3 = - 1

3x ln 3 ,

3) y' = 5 x ln 5 = 5 x ln 512 = 5 x

2 ln 5 .

f' (-1) = 4-1 ln 4 = ln 44

≅ 0,347

f' (-1) = e-1 = 1e ≅ 0,368 olur

y' = 1x lna

= 1x logae dir.

y' = loga (x + ∆x) - loga x∆x

lim∆x → 0

= loga x + ∆x

x∆x

lim∆x → 0

= 1x . loga 1 + ∆x

x∆xx

lim∆x → 0

= 1x . lim∆x → 0

loga 1 + ∆xx

x∆x

1 + ∆xx

x∆xlim

∆x → 0 = e

y' = 1x loga e = 1x . ln a

(ln x) ' = 1x çıkar. Böylece,


dir.

Örnek: 1) y = log5 x ve 2) y = ln x fonksiyonlarının x = 3 noktasındakitürevlerini bulalım.

Çözüm: olduğundan, x yerine 3 yazarsak

bulunur.

f(x) = log2x ise f'(4) = ?

g(x) = lnx ise g'(1) = ?

k(x) = logx ise k'(10) = ?

5) Trigonometrik fonksiyonların türevi. y = sin x fonksiyonunun türevinibulalım. f(x) = sin x , f(x + ∆x) = sin (x + ∆x) olduğundan f(x + ∆x) - f(x) = sin (x + ∆x) - sin x olur. 6. ünitedeki formüllerden dolayı

yazabiliriz. Buna göre

yazılabilir.

y = cosx fonksiyonunun sürekliliğinden ve geçen ünitede ispatladığımız limitinden yararlanırsak


?

loga x ' = 1x ln a

, (ln x)' = 1x

1) y' = log5 x ' = 1x ln 5

f' (3) = 13 ln 5

≅ 0,207

2) (ln x) ' = 1x ve x yerine 3 yazarsak f '(3) = 13

bulunur

Cevaplarınız 14

log2e , 1 ve 110 ln10

= 110

log10e olmalıydı.

sin (x + ∆x) - sinx = 2sin x + ∆x - x2

. cos x + ∆x + x2

y' = sin (x + ∆x) - sinx∆x

lim∆x → 0

= 2sin ∆x

2 . cos (x + ∆x

2)

∆x lim

∆x → 0

= sin ∆x

2 . cos (x + ∆x

2)

∆x2

= lim∆x → 0

sin ∆x

2

∆x2

. cos (x + ∆x2

)lim∆x → 0

lim∆x → 0

sinxx = 1lim

x → 0



y' = (sinx)' = cosx

bulunur.

Benzer yolla y = cosx fonksiyonu için

y' = (cosx)' = -sinx

bulabiliriz.

Şimdi y = tanx fonksiyonunun türevini bulalım.

dir. 6. ünitedeki formüllerden dolayı

sin(x + ∆ x) . cosx - cos(x + ∆ x) . sinx = sin (x + ∆ x - x) = sin(∆ x)


bulunur. Böylece

olur.


y' = (tanx) ' = tan (x + ∆x) - tanx∆x

lim∆x → 0

= sin (x + ∆x)cos (x + ∆x)

- sinxcosx

∆xlim∆x → 0

= sin (x + ∆x). cosx - cos (x + ∆x) sinx

cos (x + ∆x) . cosx

∆xlim∆x → 0

= sin (x + ∆x) . cosx - cos (x + ∆x) .sinx

∆x. cos (x + ∆x) . cosxlim∆x → 0

y' = sin (∆x)∆x . cos (x + ∆x) . cosx

lim∆x → 0

= sin∆x∆x

. 1cos (x + ∆x) . cosx

lim∆x → 0

lim∆x → 0

= 1 . 1

cos (x + 0) . cosx = 1

cos2x = 1 + tan2x

y' = (tanx)' = 1cos2x

= 1 + tan2x

sin ∆x

2

∆x2

lim∆x → 0

= 1 , cos (x + ∆x2

)lim∆x → 0

= cos (x + 0) = cos


Benzer yolla, y = cotx fonksiyonu için

bulunur.

3. Türev Alma KurallarıGeçen bölümde bazı fonksiyonların türevlerini türev tanımından yararlanarakhesapladık. Şimdi bu bilgilerden yola çıkarak daha geniş bir sınıf fonksiyonlarıntürevlerini hesaplamak için aşağıdaki kuralları (teoremleri) ispatsız vereceğiz (Buispatlar tanımdan yararlanarak kolayca yapılabilir).

1) f(x) ve g(x) fonksiyonları türevlenebilir ise f(x) ± g(x) fonksiyonu da tü-revlenebilirdir ve

[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)


(sinx)' = cosx , (cosx)' = - sinx , (tanx)' = 1cos2x

, (cotx)' = - 1sin2x

.

Türev Tablosu

1. y = c y' = 0

2. y = xa y' = axa-1

y = x y' = 1

y = 1x

y' = - 1x2

y = x y' = 1

2 x

3. y = ax y' = ax lna

y = ex y' = ex

4. y = loga x y' = 1

x lna

y = ln x y' = 1

x

5. y = sinx y' = cosx

6. y = cosx y' = - sinx

7. y = tanx y' = 1

cos2x

8. y = cotx y' = - 1

sin2x

y' = (cotx)' = - 1sin2x

= - (1 + cot2x)


dir. Bu formül ikiden fazla fonksiyonlar için de geçerlidir: Eğer f1(x) , f2(x),........, fn(x) türevlenebilir fonksiyonlar ise o zaman

[f1(x) ± f2(x) ± ....... ± fn(x)]' = f'(x) ± f'2 (x) ± ...... ± f'n (x)

dır.

Örnek: (sinx + x5 )' = (sinx)' + (x5 )' = cosx + 5x4,( x3 - x2 + 5)' = ( x3)' - (x2)' + (5)' = 3x2 - 2x,

2) f(x) ve g(x) fonksiyonları türevlenebilir ise f(x). g(x) çarpım fonksiyonuda türevlenebilirdir ve

[f(x) . g(x)]' = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x)

dir. Eğer g(x) = c (sabit) alırsak g'(x) = 0 olduğundan

[c f(x)]' = c f'(x)

bulunur. Yani sabiti türev işareti dışına çıkarmak mümkündür. İkiden fazlafonksiyonun çarpımı için de benzer formül geçerlidir: Eğer f1(x) , f2(x), f3(x),..., fn(x) fonksiyonları türevlenebilir ise o zaman

[f1(x) . f2(x) . f3(x) . ... . fn(x)]' = [f1'(x) . f2(x) . f3(x) . ... . fn(x)] +[f1(x) . f2 '(x) . f3(x) . ... . fn(x) ] + [f1(x) . f2(x) . f3'(x) .

... . fn(x)] + ...... + [f1(x) . f2(x) . f3(x) . ... . fn'(x)]

dir.

Örnek: (5 x2 cosx)' = 5 (x2 cosx)' = 5 [(x2 )' cosx + x2 (cosx)'] = 5 (2x cosx - x2sinx),

(x ex ln x)' = (x)' ex ln x + x . (ex)' . lnx + x ex . (ln x)' = 1. ex ln x + x. ex ln x + x ex. = ex ln x + x ex ln x + ex .

3) f(x) ve g(x) fonksiyonları türevlenebilir ve g(x) ≠ 0 ise o zaman

fonksiyonu da türevlenebilirdir ve

dır.


(ex + lnx - x)' = (ex)' + (lnx)' - ( x)' = ex + 1x - 12 x

.

1x

f xg x

f xg x

' = f' x . g x - f x . g' x

g2 x


Örnek:

4) Bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı)

Eğer y = f(u) fonksiyonu u değişkenine göre türevlenebilir ve u= g(x)fonksiyonu ise x değişkenine göre türevlenebilir ise o zaman y= f[g(x)] bileşkefonksiyonu x değişkenine göre türevlenebilir fonksiyondur ve

[f(g(x)]' = f'(g(x)) . g'(x)

dir.

Zincir kuralı türev alma işleminde önemli araçlardan biridir.

Örnek:


1) x + 1 ' = 12 x + 1

. x + 1 ' = 12 x + 1

, y = f (u) = u , u = x + 1 2) x2 - 4x + 2 3 ' = 3 x2 - 4x + 2 2 . x2 - 4x + 2 ' = 3 x2 - 4x + 2 2 . 2x - 4

= 6x - 12 x2 - 4x + 2 2 , y = f(u) = u3 , u = x2 - 4x + 2

3) sin 2x ' = cos 2x . 2x ' = 2 cos 2x , y = f(u) = sinu , u = 2x 4) tan 1 + x2 ' = 1

cos2 1 + x2 1 + x2 ' = 2x

cos2 1 + x2 , y = f(u) = tanu , u =1 + x2

5) x2 - x 23 ' = x2 - x23

' = 2

3 x2 - x

23

- 1

. x2 - x '

= 23

x2 - x- 1

3 2x - 1 = 2 2x - 1

3 x2 - x3

, y = f(u) = u23 , u = x2 - x

6) ln 1 + x2 ' = 11 + x2

. 1 + x2 ' = 2x1 + x2

, y = f(u) = lnu , u = 1+ x2

2x + 3x + 1

' = 2x + 3 ' x + 1 - 2x + 3 . x + 1 'x + 1 2

= 2 . x + 1 - 2x + 3 . 1x + 1 2

= 2x + 2 - 2x -3

x + 1 2 = - 1

x + 1 2 ,

sin x

x' = sin x ' . x - sin x . x '

x2 = x . cos x - 1 . sin x

x2 = x cos x - sin x

x2 .


Zincir kuralında türevin diğer sembolünü kullanırsak ,

yazabiliriz.

Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.

Cevaplarınız aşağıdaki şekilde olmalıydı.

Türevlenebilir y = f(x) fonksiyonu verilsin. f'(x) türevi ile dx in çarpımına f(x) indiferansiyeli denir ve dy ile gösterilir:

dy = f'(x) dx .

u= u(x) ve v= v(x) türevlenebilir fonksiyonları verilsin. O zaman

d(u ± v) = du ± dv, d(u.v) = udv + vdu,


?1) y = 1 + sinx

1 - sinx

2) y = cosππππx

3) y = ln (tanx)

4) y = esinx

5) y = lnx

6) y = 2x + 1

x - 3

7) y = e1/x

8) y = e- x2

9) y = sinx ecosx

10) y = lnx

x

1) y' = 2 cosx(1 - sinx)2

, 2) y' = - π sin πx2 cosπx

, 3) y' = 1 + tan2 xtanx

,

4) y' = cosx esinx , 5) y' = 1

2x lnx , 6) y' = -7

(x - 3)2 ,

7) y' = - 1

x2 e1/x , 8) y' = - 2x e- x2

, 9) y' = (cosx - sin2x) ecosx, 10) y' = 2 - lnx

2x x

dy dx

= dy du

. du dx


formülleri doğrudur.

Örnek:

1) y = cos 2x için dy = (cos 2x)' dx = -2 sin 2x dx

2) y = 5x3 + x - 8 için dy= (5x3 + x - 8)' dx = (15x2 + 1) dx

3) y = x . tanx için dy = (x . tanx)' dx =

Diferansiyel kavramı yaklaşık hesaplarda oldukça faydalı bir araçtır.

4. Teğet Denklemi

Yukarıda, türevlenebilir y = f(x) fonksiyonunun grafik eğrisi üzerindeki herhangibir (x0 , f(x0)) noktasındaki teğetinin eğiminin f'(x0) olduğunu bulmuştuk.Analitik geometriden bildiğimize göre, bir (x0 , y0) noktasından geçip, eğimim olan doğrunun denklemi

y - y0 = m (x - x0)

dir. Burada y0 yerine f(x0) , m yerine ise f'(x0) yazarsak y = f(x) fonksi-yonunun (x0 , f(x0)) noktasındaki teğet denklemini aşağıdaki gibi bulmuş olu-ruz:

y - f(x0) = f '(x0) (x - x0) .


tanx + xcos2 x

dx

d uv = v du - u dv

v2

Şekil 9.2


Örnek: y = 2x2 - 5x + 6 parabolünün (-1 , 13) noktasındaki teğet denkleminibulalım.

Çözüm: x0 = -1 , f'(x) = (2x2 - 5x + 6)' = 4x - 5 olduğundan

f '(-1) = 4 (-1) - 5 = -9

dur. Buna göre, teğet denklemi

y - 13 = -9 (x+1) veya y + 9x - 4 = 0

olarak bulunur.

Örnek: y = cosx fonksiyonun grafiğinin noktasındaki teğet denk-lemini bulalım.

Çözüm:

olarak bulunur.

1) f(x) = ex eğrisinin x = 0 apsisli noktasındaki teğetinin denklemini bulu-nuz.

2) g(x) = lnx eğrisinin x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin denklemini bu-lunuz.

Cevaplarınız1) y = x + 1 2) y = x - 1 olmalıydı.

5. Yüksek Mertebeden Türevlerf: A → IR , y = f(x) fonksiyonunun her bir x ∈ A için türevi varsa bu f '(x)türevi x in yeni bir fonksiyonudur. Eğer f '(x) türev fonksiyonunun her bir xiçin (f '(x))' türevi varsa, f(x) fonksiyonuna II. mertebeden türevlenebilirfonksiyon, (f'(x))' türevine ise f(x) in II. mertebeden türevi denir ve

gibi sembollerle gösterilir.


?

y" , f" (x) , d2y

dx2 , d

2 f(x)dx2

π4 , 2

2

x0 = π4 , f x0 = cos π

4 = 2

2 , f ' (x) = cos x ' = - sin x olduğundan

f ' π

4 = - sin π

4 = - 2

2 . Buradan, teğet denklemi y - 2

2 = - 2

2 x - π

4 veya 2y + 2 x - 2 - 2

4 π = 0 , 8y +4 2 x - 4 2 - 2 π = 0


Örnek:

1) y = 3x4 - 4x2 + 5 içiny' = 12x3 - 8x , y'' = (12x3 - 8x)' = 36x2 - 8

3) y = sin3x için y' = 3 cos3x , y'' = (3 cos3x)' = -3 sin3x . (3x)' = -9 sin3x.

f : A → IR fonksiyonu, her x ∈ A için ikinci mertebeden türevi olan bir fonksi-yon olsun. Bu durumda f'' : A → IR fonksiyonundan söz etmek mümkün-dür. Eğer f'' fonksiyonunun her bir x ∈ A noktasında türevi varsa, bu türeve fnin üçüncü mertebeden türevi denir ve

gibi sembollerle gösterilir. f''' fonksiyonuna f nin üçüncü mertebeden türev fonk-siyonu denir.

Bu şekilde devam ederek, f(n-1) : A → IR, (n ∈ IN) fonksiyonunun eğer varsa,

türev fonksiyonuna f nin n. mertebeden türev fonksiyonu denir ve

gibi sembollerle gösterilir.

Örnek: y = f(x) = x4 - 5x3 + 2x2 - 4 polinom fonksiyonu verilsin. Bu durumda

f '(x) = 4x3 - 15x2 + 4xf''(x) = 12x2 - 30x + 4f'''(x) = 24x - 30f(v))(x) = 24f(v)(x) = 0

f(n) (x) = 0 , n ≥ 5

dir.


2) y = ln x için y' = 1x , y" = 1x' = - 1

x2

y"' , f"' (x) , d3 y

dx3 , d

3 f(x)dx3

y(n) , f(n)(x) , dn y

dxn , d

n f(x)dxn


Örnek: f (x) = lnx ise

dir.

Değerlendirme Soruları1. f(x) = (2x + 1)5 ise f '(1) = ?

A. 15B. 243C. 405D. 810E. 1225

2.

3. f(x) = x lnx ise f '(e) = ?A. e2

B. e

C. e + 1

D. 2

E. 1


?1) f(x) = x ise f(v)(4) = ? 2) g(x) = sin3x g"' ππππ

2 = ?

3) h(x) = lnx

x h"(1) = ?

Cevaplarınız, 1) - 105

214 2) 0 3) -3 olmalıydı.

f (x) = 3x - 1x + 2

ise f' (0) = ? A. 7

2 B. 7

4 C. 3 D. 1 E. - 1

2

f' (x) = 1x , f" (x) = - 1x2

, f'''(x) = 2x3

f(ıv)(x) = - 6

x4 , ... , f(n)(x) = (-1) n-1 (n-1) !

xn


4.

5.

6. f(x) = tan 3x f '(π) = ?A. 0B. 1

C. 2D. 3

E. 6

7.

A. 0B. 1

C. 2D. 6

E. 12


f (x) = x e-2x ise f' (0) = ? A. -1

e2 B. -2

e2 C. 1 D. 2e E. 2

e2

f (x) = e x ise f' (4) = ? A. e2 B. 1

2 e2

C. 1

4 e2

D. 1

2 e

E. 1

4 e

f (x) = sin2 3x ise f' π2

= ?


8.

9. f(x) = 22x ise f '(0) = ?A. ln2B. 2ln2

C. 4ln2D. 4

E. 8

10. f(x) = x (1 - 3x)5 fonksiyonunun x = 1 noktasında değişme hızı aşağıdaki-lerden hangisidir?A. -272B. -112

C. -32D. -16E. -8

11.


f (x) = 4x2 - 7x3 ise f' (2) = ? A. 1

43

B. 3

43

C. 9

43

D. 9

2 43

E. 3

2 23

f (x) = lnxx x

fonksiyonunun x = e noktasında değişim hızı aşağıdakilerden

hangisidir? A. -1

2e2 e B. 2e2 - 3

2e2 e C. 2

3e D. 2

3 e E. 2 - 3e

e e


12. f(x) = x3 - 2x + 1 fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki teğetinindenklemi aşağıdakilerden hangisidir?A. y = xB. y = -xC. y = x - 1D. y = x + 1E. y = -x + 1

13. f(x) = sin2x - cosx fonksiyonu apsisli noktasındaki teğetinin eğimiaşağıdakilerden hangisidir?A. -2B. -1C. 0D. 1E. 2

14.

15. f(x) = e2lnx , (x > 0) ise f'(x) = ?A. 2B. 2xC. 2lnxD. e2lnx

E. x2


x = π2

f (x) = 1x3

ise f' (8) = ?

A. - 1

96 B. - 1

48 C. - 1

16 D. 1

16 E. 1

48


16.

17. f(x) = x lnx ise df(x) = ?A. lnx dxB. x dxC. (1 + lnx) dxD. (x + lnx) dxE. (1 + x lnx) dx

18.

19. f(x) = sinx ise f(v)(x) = ?A. cosxB. -cosxC. sinxD. -sinxE. sin2x


f (x) = xx + 1

ise f'' (x) = ? A. 1

x + 1 3

B. 2

x + 1 3

C. - 2

x + 1 3

D. - 1

x + 1 3

E. -3

x + 1 4

f (x) = x ise f''' (x) = ? A. 3

4 x B. 3

8x x C. 3

8x3 x D. x2 x E. 3

8x2 x


20. f(x) = esinx ise f"(x) = ?A. esinx

B. ecosx

C. cosx esinx

D. sin2xesinx

E. (cos2x - sinx) esinx

Değerlendirme Sorularının Yanıtları1. D 2. B 3. D 4. C 5. C 6. D 7. A 8. B 9. B 10. A11. A 12. C 13. B 14. B 15. B 16. C 17. C 18. E 19. A 20. E


Documents

Türev Kavramı ÜNİTE - Gaziantep Üniversitesimurat/math2/unite09.pdf · 2016-03-17 · ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Çalışma Önerileri • Türev kavramını ve türev alma kurallarını