Embed Size (px)
Citation preview
KARKARŞŞILAILAŞŞTIRMALI TIRMALI
DURADURAĞĞANLIK VE ANLIK VE
TTÜÜREVREV
Karşılaştırmalı durağanlık, dışsal değişkenlerin ya da
parametrelerin farklı değerler alması durumunda oluşabilecek
farklı denge değerlerini karşılaştırılarak incelenmesini sağlar.
Örneğin ulusal gelir denge düzeyi belirliyken para arzında ya da
vergi oranlarındaki bir değişmenin ulusal gelir denge düzeyini
nasıl yeni bir denge değerine taşıyacağına bakabiliriz. Bu
şekildeki analizleri yapabilmemiz için türev, türevsel
(diferansiyel) gibi konuları anlamak gerekir.
22
İlk olarak değişim oranı ve türev kavramına bakalım.
Bir y=f(x) fonksiyonu düşünelim. x değiştiğinde, y ’nin değişimini
inceleyelim.
33
1 0 1 0
1 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )
x x x x x x
y f x f x f x x f x
∆ = − → = + ∆
∆ = − = + ∆ −
x ’deki bir birimlik değişime karşılık y ’de meydana gelen
değişiklik:
( ) ( )0 0f x x f xyx x
+ ∆ −∆=
∆ ∆
44ÖÖrnek 1:rnek 1:
( )
2
2 20 0 0 0
2 20 0 0 0
0
( ) 3 4
( ) 3 4 , ( ) 3( ) 4
( ) ( ) 3( ) 4 3( ) 4
6 3
y f x x
f x x f x x x x
f x x f x x x xyx x x
y x xx
= = −
= − + ∆ = + ∆ −
+ ∆ − + ∆ − − +∆= =
∆ ∆ ∆
∆= + ∆
∆
0 3 , 4 ,
30 .
x x olursa
y olurx
= ∆ =
∆=
∆
55TTüürevrev
∆x→0 olurken, ∆y/∆x’in limiti varsa, bu limit y=f(x)
fonksiyonunun türevidir.
0lim ( )x
y dy f xx dx∆ →
∆ ′≡ ≡∆
Buna göre Örnek 1’i uygulayalım.
( )00 0lim lim 6 3 6x x
y x x xx∆ → ∆ →
∆= + ∆ =
∆
66TTüürev ve Bir Erev ve Bir Eğğrinin Erinin Eğğimiimi
Türev ile eğrinin eğimi bağlantısını aşağıdaki şekil yardımıyla
açıklayalım. Şekil 3.1, toplam maliyet maliyeti üretim
miktarının bir fonksiyonu olarak göstermektedir. Marjinal
maliyet, üretimdeki ∆Q kadarlık artışın, toplam maliyette yol
açtığı artıştır (∆C ):
CMCQ
∆=∆
77ŞŞekil 3.1. Deekil 3.1. Değğiişşim ve Tim ve Tüürevrev
0C
1C
2C
C
C∆
( )C f Q=
•
••
• •
•
••
0Q 1Q 2Q
Q∆
B
D
A
KH
G
EF
Q0
88
∆Q→0 olurken, ∆C son derece küçük değerler alacaktır. Bu
durumda oransal değişim, türev olarak ifade edilebilecektir.
0lim ( )Q
C dCMC f QQ dQ∆ →
∆ ′= ≡ ≡∆
Başlangıçta Q0 üretim miktarında toplam maliyetin C0 olduğunu
varsayalım. Üretim miktarı Q2 ’ye çıkarsa, toplam maliyet C2
olur. Buna göre marjinal maliyet (ortalama marjinal maliyet)
şöyle belirlenir:
2 0
2 0
C CCMCQ Q Q
−∆= =∆ −
99
Bu oransal değişimi geometrik olarak BE’nin AE’ye oranı olarak
gösterebiliriz. Bu, AB doğrusunun eğimidir. Q ’nun değişim
miktarını giderek sıfıra yaklaştırırsak, C ’nin değişimi de
giderek küçülür. Limitte bu oransal değişim, türev biçimini alır.
Şekil üzerinde, A noktasında toplam maliyet fonksiyonuna teğet
olan KG doğrusunun eğimi MC ’yi tanımlar. Yani GH’nin KH’ye
oranı.
1010SaSağğdan ve Soldan Limit:dan ve Soldan Limit:
0 0
,
lim limx v
y q x vx
dy y qdx x∆ → →
∆≡ ∆ ≡
∆
∆= =
∆
Ya da daha genel olarak v→N olurken, q hangi değere yaklaşır?
Bu sorunun yanıtı, v ’nin N ’ye soldan ve sağdan yaklaşmasına
bağlı olarak değişebilir.
1111
v N ’ye soldan yaklaşırken (v→N−), q L gibi sonlu bir sayıya
yaklaşıyorsa, L ’ye q ’nun soldan limiti denir.
v N ’ye sağdan yaklaşırken (v→N+), q L gibi sonlu bir sayıya
yaklaşıyorsa, L ’ye q ’nun sağdan limiti denir.
Sağdan limit ile soldan limit değerleri eşit olmayabilir.
Ancak ve ancak bu iki limit sonlu bir sayıya eşitse, q ’nun limiti
olduğunu söyleyebiliriz.
1212
lim , limv N v N
q q→ →
= ∞ = −∞
gibi durumlarda “q ’nun limiti yoktur” ya da “q sonsuz limite
sahiptir” deriz.
Ancak bazı durumlarda v→±∞ yaklaşımı yalnızca soldan ve
sağdan olanaklı olabilir. Böyle durumlarda limitin varlığı yine
sonlu sayıya yaklaşılıp yaklaşılmadığına bağlıdır.
1313
Aşağıda yer alan dört farklı şekli, v→N durumunda q ’nun limiti
açısından inceleyelim.
(a) şeklinde v→N+ ya da v→N− olurken her iki durumda da q tek
bir değere, yani L ’ye yaklaşmaktadır. Bu durumda q bir limite
sahiptir:
lim limv N v N
q q L− +→ →
= =
1414
(b) şeklinde de durum (a)’daki gibidir. Ancak (c) şeklinde v N
’ye soldan yaklaşırken q ’nun limiti L1 , sağdan yaklaşırken L2
’dir. Bu nedenle q bir limite sahip değildir.
1 2lim limv N v N
q L q L− +→ →
= ≠ =
(d) şekli için de şunları yazabiliriz:
lim , lim
lim lim
v N v N
v v
q q
q q M
− +→ →
→−∞ →+∞
= −∞ = ∞
= =
1515ŞŞekil 3.2. Limitekil 3.2. Limit
•
•
•
•
q
q
L
2L1L
N
N Nv
v
( )a
( )c
q
q
L
M
N
v
v
( )b
( )d
1616
Şimdi limit kavramı için sistematik bir tanım verelim:
v, N gibi bir sayıya yaklaşırken L ’nin her komşuluğu için
fonksiyonun önalanında buna karşılık gelen bir N komşuluğu
(v=N noktası dışında) bulunabiliyorsa ve fonksiyonun
görüntüsü ( q ), bu N komşuluğundaki her v değeri için seçilen L
komşuluğu içine düşüyorsa, q=f(v) fonksiyonunun limiti L ’dir.
1717ŞŞekil 3.3. Limitekil 3.3. Limit
•( ),N L
2L a+
1L a−L
2N b+N1N b−
1b 2b
1a
2a
( )q g v=
0
1818
Yukarıdaki şekil, yukarıda verdiğimiz sistematik limit tanımını
görselleştirmektedir. N ’nin yakın komşuluklarında q ’nun limit
değeri L, L yakın komşuluğu içine düşmektedir. Şekilde (N,L)
tüm yakın komşuluklarda renkli dikdörtgen alanın içinde
kalmaktadır. Bazı limit uygulamaları aşağıda verilmiştir.
1919
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
7
7 7
56 0lim7 0
8 78 lim lim 8 15
7
v
v v
v vq q
v
v vq v q v
v
→
→ →
+ −= → =
−
+ −= = + → = + =
−
q
v0
•15
7
( )( )
2 56
7
v vq
v
+ −=
−
2020
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
0
2 23 3
2 2
0 0
2 8 0lim0
2 2 2 2 2 22 2
6 12 lim lim 6 12 12
v
v v
vq q
v
v v vvq
v v
q v v q v v
→
→ →
+ −= → =
⎡ ⎤⎡ ⎤+ − + + + ++ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =
= + + → = + + =
q
v0
12•
( )32 8vq
v+ −
=
2121
1 15 lim lim 5 lim 5 0 5
1lim lim 5 lim 5 0 5
v v v
v v v
q qv v
qv
→∞ →∞ →∞
→−∞ →−∞ →−∞
= − → = − = − =
→ = − = − =
q
0
5
v
2222Limit Teoremleri:Limit Teoremleri:
Teorem 1:Teorem 1:
2
lim
5 7 lim 17
v N
v
q av b q aN b
q v q
→
→
= + ⇒ = +
= + ⇒ =
Teorem 2:Teorem 2:
2
( ) lim
3 lim 3
v N
v
q g v b q b
q q
→
→
= = ⇒ =
= ⇒ =
2323Teorem 3:Teorem 3:
3 3
2
lim
lim
lim 2 8
v N
k k
v N
v
q v q N
q v q N
q v q
→
→
→
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ = =
2424Teorem 4:Teorem 4:
( )
1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
( ) , ( )
lim , lim
lim
v N v N
v N
q g v q h v
q L q L
q q L L
→ →
→
= =
= =
± = ±
Teorem 5:Teorem 5:
( )1 2 1 2limv N
q q L L→
=
2525Teorem 6:Teorem 6:
( )( )
( )( )
1 12
2 2
0
00
lim , 0
lim 11 1lim2 lim 2 2
v N
v
vv
q LL
q L
vvv v
→
→
→→
⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟
⎝ ⎠
++= =
+ +
Genel Bir Polinomun (Genel Bir Polinomun (ÇÇokterimli) Limiti:okterimli) Limiti:
20 1 2
20 1 2
( ) .....
lim .....
nn
nnv N
q g v a a v a v a v
q a a N a N a N→
= = + + + +
= + + + +
2626
Bir Fonksiyonun SBir Fonksiyonun Süüreklilirekliliğği ve i ve TTüürevlenebilirlirevlenebilirliğğii::
q=g(v) gibi bir fonksiyon v önalanındaki N gibi bir noktaya
yaklaşırken bir limite sahipse ve bu limit aynı zamanda g(N) ’ye
eşitse, bu fonksiyon N noktasında süreklidir.
Örneğin aşağıdaki şekillerden (a) ve (b) N noktasında sürekli,
(c) şeklinde kırmızıyla gösterilen dirsekli eğri sürekli, mavi
renkli ve iki parçadan oluşan eğri de süreksizdir.
2727ŞŞekil 3.4. Sekil 3.4. Süüreklilik ve reklilik ve TTüürevlenebilirlikrevlenebilirlik
•••
q
qv
v
q
vN
•N
•
N
( )b( )a
( )c
2828
Örneğin aşağıdaki aşağıdaki fonksiyonu süreklilik açısından
inceleyelim.
( )( )
2
2
2 2
22
4( )1
lim 4 4lim1lim 1
v N
v Nv N
vq g vv
v NqNv
→
→→
= =+
= =++
Görüldüğü gibi limit tüm sonlu sayılar için tanımlıdır. Bu
nedenle fonksiyon N noktasında süreklidir.
2929ŞŞekil 3.5. Sekil 3.5. Süüreklilikreklilik
-10 -5 5 10
1
2
3
4
2
2
4( )1
vq g vv
= =+
q
v
x=x0 gibi bir noktada vÆ0 olurken q ’nun limiti varsa, fonksiyon
bu noktada türevlenebilir. Bir fonksiyonun, belirli bir noktada
türevlenebilmesinin önkoşulu sürekliliktir. Ancak süreklilik,
türevlenebilirlik için yeterli koşul değildir.
Türevlenebilirlik sürekliliği içermekte, ancak tersi doğru
değildir. Bunu aşağıdaki örnekle görelim.
3030
3131
( ) 2 1y f x x= = − +
Bu fonksiyon x=2 noktasında süreklidir, ancak türevlenebilir
değildir. Süreklilik için fonksiyonun xÆ2 için limitine bakarsak,
sağdan ve soldan limitlerin eşit olduğunu, x=2 değerinin
fonksiyonun önalanı içinde yer aldığını ve y=f(2)=1 olduğunu
görebiliriz:
( ) ( )2 2
lim 2 1 lim 2 1 1x x
x x− +→ →
− + = − + =
3232
Bu fonksiyonun x=2 noktasında türevlenemez olduğunu şöyle
gösterebiliriz:
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
2 1 1( ) (2)lim lim2 2
22lim lim
2 2
lim ( 1) 1
( ) (2) 2lim lim 12 2
x x
x x
x
x x
xf x fx x
xxx x
f x f xx x
− −
− −
−
+ +
→ →
→ →
→
→ →
⎛ ⎞− + −−⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ − −−
= = ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − = −
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3333ŞŞekil 3.5. Sekil 3.5. Süüreklilik ve reklilik ve TTüürevlenebilirlikrevlenebilirlik
1
2
3
4
0 1 2 3
•
2 1y x= − +
y
x1−
( )2,1
3434ŞŞekil 3.6. Sekil 3.6. Süüreklilik ve reklilik ve TTüürevlenebilirlikrevlenebilirlik
-10 10 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
2( )2
xy f xx+
= =+
y
x
3535TTüürev Alma Kurallarrev Alma Kurallarıı
1. Sabit Fonksiyon Kural1. Sabit Fonksiyon Kuralıı
( )( ) ( ) 0dy d ky f x k f xdx dx
′= = → = = =
2. Kuvvet Fonksiyonu Kural2. Kuvvet Fonksiyonu Kuralıı
1
33 2
( )( ) ( )
( )( ) ( ) 3
nn ndy d xy f x x f x nx
dx dx
dy d xy f x x f x xdx dx
−′= = → = = =
′= = → = = =
36363. Genelle3. Genelleşştirilmitirilmişş Kuvvet Fonksiyonu KuralKuvvet Fonksiyonu Kuralıı
1
33 2
33 4
1 2 1 2
( )( ) ( )
(5 )( ) 5 ( ) 15
(2 )( ) 2 ( ) 6
2( ) 4 4 ( ) 2
nn ndy d cxy f x cx f x cnx
dx dx
dy d xy f x x f x xdx dx
dy d xy f x x f x xdx dx
dyy f x x x f x xdx x
−
−− −
−
′= = → = = =
′= = → = = =
′= = → = = = −
′= = = → = = =
37374. Toplam4. Toplam--Fark KuralFark Kuralıı
[ ]
4 3
4 3
4 3 3 2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) 7 2 3 37
7 2 3 37
7 2 3 37 28 6 3
d f x g x d df x g x f x g xdx dx dx
y f x x x x
d x x xdydx dx
dy d d d dx x x x xdx dx dx dx dx
′ ′= =
= = + − +
⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦=
= + − + = + −
∓∓ ∓
38385. 5. ÇÇarparpıım Kuralm Kuralıı
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 2
3 2
3 32 2
32 2
2 2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1 2
1 2
1 2 1 2
3(1 ) 2 1 2
(1 ) 5 2 6
d f x g x d dg x f x f x g x g x f x f x g xdx dx dx
y f x x x
d x xdydx dx
d dx x x xdx dx
x x x x
x x x
′ ′= + = +
= = − +
⎡ ⎤− +⎣ ⎦=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − − + + −
= − − + −
39396. B6. Bööllüüm Kuralm Kuralıı
[ ] [ ]
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 2
3
2
33 2 2
22 2
2 2
22
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1( )
2
3(1 ) 2 1 212 2
(1 ) 2 6
2
d dg x f x f x g xd f x g x f x f x g xdx dxdx g x g x g x
xy f x
x
x x x xxdy ddx dx x x
x x x
x
− ′ ′⎡ ⎤ −= =⎢ ⎥
⎣ ⎦
−= =
+
⎡ ⎤ − − + − −−⎢ ⎥= =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
− − − −=
+
40407. Zincir Kural7. Zincir Kuralıı
( ) ( ) ( )
2
( ) , ( )
( ) ( )
3 , 2 5
6 , 2
6 2 12 12 2 5 24 60
z f y y g x
dz dz dy f y g xdx dy dx
z y y x
dz dyydy dx
dz y y x xdx
= =
′ ′= =
= = +
= =
= = = + = +
4141
( ) ( ) ( ) ( )
17 2
16
1616 2
, 3 2
17 , 2 3
17 2 3 17 3 2 2 3
z y y x x
dz dyy xdy dx
dz y x x x xdx
= = + −
= = +
= + = + − +
42428. Ters Fonksiyon Kural8. Ters Fonksiyon Kuralıı
y=f(x) fonksiyonu birebirse, bu fonksiyon bir ters fonksiyona
sahiptir:
1( )x f y−=
Birebir özelliği yalnızca monotonik (tekdüze) fonksiyonlarda
vardır. Monotonik fonksiyonlarda şu durum gözlenir:
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
x x f x f x
x x f x f x
< ⇒ <
< ⇒ >
Monotonik artan
Monotonik azalan
4343ŞŞekil 3.7. ekil 3.7. MonotonikMonotonik FonksiyonlarFonksiyonlar
Monotonik artan
y
x
Monotonik azalan
y
xy
x
Monotonik Değil
4444Marjinal HasMarjinal Hasıılat ile Fiyatlat ile Fiyat--Talep EsnekliTalep Esnekliğği i İİlilişşkisikisi
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1( ) 1 ( ) ( ) 1( )
P f Q
TR PQ f Q Q
dTR dQ dQMR f Q Q f Q f Q Q f QdQ dQ dQ
QMR f Q f Q f Qf Q
=
= =
′ ′= = + = +
⎡ ⎤⎡ ⎤′= + = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ε⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Marjinal Maliyet ve Ortalama Maliyet FonksiyonlarMarjinal Maliyet ve Ortalama Maliyet Fonksiyonlarıı ArasArasıındaki ndaki
İİlilişşkiki
( )
( )
( )
2
( )( ) ,
( )
( ) ( )
1 ( )( )
TC QTC TC Q ACQ
d AC d TC QdQ dQ Q
d AC TC Q Q TC QdQ Q
d AC TC QTC QdQ Q Q
= =
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
′ −=
⎛ ⎞′= −⎜ ⎟⎝ ⎠
4545
46
( ) ( )
( )
( )
( )
1 ( ) ( )
0
0
0
d ACMC Q AC Q
dQ Q
d ACMC AC
dQ
d ACMC AC
dQ
d ACMC AC
dQ
= −
= → =
< → <
> → >
46
4747ŞŞekil 3.8. ekil 3.8. ACAC ve ve MCMC FonksiyonlarFonksiyonlarıı
ArasArasıındaki ndaki İİlilişşkiki
MCAC
MCAC
Q
•AminAC
4848Toplam HasToplam Hasıılat ve lat ve ÜÜretim Girdisi retim Girdisi İİlilişşkisi:kisi:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) , ( )
( ) ( ) L L
TR f Q Q g L
d TR d TR dQdL dQ dL
d TRf Q g L MR MP MRP
dL
= =
=
′ ′= = =
4949KKıısmi Tsmi Tüürevrev
1
1 2
1 1 2 1 2
1 1
101 1
( , , ....., )
( , , ....., ) ( , , ....., )
lim
n
n n
x
y f x x x
f x x x x f x x xyx x
y y fx x∆ →
=
+ ∆ −∆=
∆ ∆
∆ ∂≡ ≡
∆ ∂
5050ÖÖrnek 2:rnek 2:
2 21 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 21 2
( , ) 3 4
6 , 8
y f x x x x x x
y yf x x f x xx x
= = + +
∂ ∂≡ ≡ + ≡ ≡ +
∂ ∂
ÖÖrnek 3:rnek 3:
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 2 1 1 2
1 1 2 1 1 21
2 12
( , ) 4 3 2
3 2 3 4 6 2 12
2 4
y f x x x x x
y f x x x x xx
y f xx
= = + +
∂≡ ≡ + + + = + +
∂
∂≡ ≡ +
∂
5151ŞŞekil 3.9. ekil 3.9. ÇÇok Seok Seççim Deim Değğiişşkenli kenli
FonksiyonlarFonksiyonlarıın Analizi (n Analizi (ÖÖrnek 2)rnek 2)
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-200
-150
-100
-50
0
0
2 21 2 1 1 2 2( , ) 3 4y f x x x x x x= = + +
5252
Piyasa ModeliPiyasa Modeli
( )
( )
, 0
, 0
,
1 0
D
S
Q a bP a b
Q c dP c d
a c ad bcP Qb d b d
Pa b d
∗ ∗
∗
= − >
= − + >
+ −= =
+ +
∂= >
∂ +
( ) ( )( )
( )( )
( )
( ) ( )( )
( )( )
2 2
2 2
00
1 0
00
a cPb d
b d a c a cPb b d b d
Pc b d
b d a c a cPd b d b d
∗
∗
∗
∗
+=
+
+ − + − +∂= = <
∂ + +
∂== >
∂ +
+ − + − +∂= = <
∂ + +
5353
5454ŞŞekil 3.10. Talep Eekil 3.10. Talep Eğğrisindeki Hareketlerrisindeki Hareketler
P
Q Q
P
1D
0D
0S
Q∗1Q
0D
1D
0S
P∗1P
••
E∗
1E
P∗1P
0Pb
∗∂<
∂0P
a
∗∂>
∂
Q∗1Q
5555ŞŞekil 3.11. Arz Eekil 3.11. Arz Eğğrisindeki Hareketlerrisindeki Hareketler
P P
Q Q0D
0S
1S
0D
0S
Q∗1Q
P∗
1P• •E∗
1E
P∗
1P
1S
Q∗1Q
E∗
••1E
0Pd
∗∂<
∂0P
c
∗∂>
∂
5656LeontiefLeontief GirdiGirdi--ÇÇııktktıı Modeline Dinamik BakModeline Dinamik Bakışış
11 12 1 11
21 22 2 22
1 2
11 1 12 2 11
21 1 22 2 22
...
...
... ... ... ... ......
...
.....
.....
..........
n
n
n n nn nn
n n
n n
n
b b b dx
b b b dx
b b b dx
b d b d b dx
b d b d b dx
x
∗
∗
∗
∗
∗
∗
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
+ + +⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ + + +⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 1 2 2
................................
.....n n nn nb d b d b d
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦
5757
1 1 111 12 13
1 2 2
2 2 221 22 23
1 2 3
3 3 331 32 33
1 2 3
, , 1, 2, 3jjk
k
xb j k
d
x x xb b b
d d d
x x xb b b
d d d
x x xb b b
d d d
∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∂= =
∂
∂ ∂ ∂= = =
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= = =
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= = =
∂ ∂ ∂
5858
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
b b b
b b bx Bd
b b b
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥= =
∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
5959Jacobian DeterminantJacobian Determinant
Bir denklem sisteminin içsel değişkenlere göre birinci sıra kısmi
türevlerinin oluşturduğu sistemin determinantı, Jacobian
determinanttır. Jacobian determinantı elde edebilmek için,
aşağıdaki gibi çok seçim değişkenli bir modeli dikkate alalım.
( )
( )
( )
11 1 2
22 1 2
1 2
, , .....,
, , .....,
...................................
, , .....,
n
n
nn n
y f x x x
y f x x x
y f x x x
=
=
=
6060
( )( )
1 1 1
1 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
...
..., , .....,, , .....,
... ... ... ...
...
n
nn
n
n n n
n
y y yx x x
y y yy y y x x xJx x x
y y yx x x
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂≡ ≡∂
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
6161ÖÖrnek 4:rnek 4:
( )
( )
11 1 2 1 2
2 2 22 1 2 1 1 2 2
1 1
1 2
2 21 2 1 2
1 2
, 2 3
, 4 12 9
2 3
8 12 12 18
y f x x x x
y f x x x x x x
y yx x
y yx x x x
x x
= = +
= = + +
∂ ∂= =
∂ ∂
∂ ∂= + = +
∂ ∂
6262
( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
2 3
8 12 12 18
24 36 24 36 0
Jx x x x
J x x x x
= =+ +
= + − + =
6363
DiferansiyelDiferansiyel
( )0 0
( )
lim lim
( )
x x
y f x
y yy x y xx x
dydy dx dy f x dxdx
∆ → ∆ →
=
⎡ ⎤∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = ∆ → ∆ = ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ′= → =⎜ ⎟⎝ ⎠
6464ÖÖrnek 5:rnek 5:
( )
2( ) 3 7 5
( ) 6 7
6 7
y f x x x
dy f x xdx
dydy dx dy x dxdx
= = + −
′= = +
⎛ ⎞= → = +⎜ ⎟⎝ ⎠
6565ÖÖrnek 6: Nokta Esneklirnek 6: Nokta Esnekliğğii
0 0
( )
1lim limP P
QQ Q PQ f P
QP PP
dQ dQQQ dP dPP
Q Q Q QPP P P P
∆ → ∆ →
∆∆ ∆= → ε = =∆
∆⎛ ⎞⎜ ⎟ ∆⎛ ⎞∆ = = → ε =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
6666ŞŞekil 3.12. Talep ve Arz Nokta Esneklikleriekil 3.12. Talep ve Arz Nokta Esneklikleri
P
Q
P
Q
•
S
•
mθ0θ
D
0θ mθ
0 0
6767Toplam DiferansiyelToplam Diferansiyel
1 2
1 21 2
( , , ....., )
.....
n
nn
y f x x x
y y ydy dx dx dxx x x
=
∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂
ÖÖrnek 7: Tasarruf Fonksiyonurnek 7: Tasarruf Fonksiyonu
( ),
Y i
S S Y i
S SdS dY di S dY S diY i
=
∂ ∂= + = +∂ ∂
ÖÖrnek 8: Fayda Fonksiyonurnek 8: Fayda Fonksiyonu6868
( )
( ) ( )
1 2
1 21 2
1 1 2 21
21 2 1 1 2 2
2 1 2 1 2
( , , ....., )
.....
.....
, 2 9
2 9 2 9
n
nn
n
n n i ii
U U x x x
U U UdU dx dx dxx x x
dU U dx U dx U dx U dx
U U x x x x x x
dU x dx x x dx
=
=
∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂
= + + + =
= = + +
= + + +
∑
ÖÖrnek 9:rnek 9:
6969
( )
( ) ( )
11 2
1 2
2 11 22 2
1 2 1 2
,x
y y x xx x
x xdy dx dx
x x x x
= =+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7070ÖÖrnek 10:rnek 10:
( ) 21 2 1 1 2 2, 2 9U U x x x x x x= = + +
Yukarıdaki fayda fonksiyonunda x1 3 ’ten 3.001’e ve x2 5 ’ten
5.003’e değiştiğinde, ∆U ’nun bir yaklaştırımı olarak dU ’yu
bulalım.
1 2
1 2
3 , 5 166
3.001 , 5.003 166.158
166 166.158 0.158
x x U
x x U
dU U
= = → =
= = → =
∆ = − =
7171ÖÖrnek 11:rnek 11:
Bir malın arz fonksiyonu şöyledir:
2 1 2 , ( 0 , 0)Q a bP R a b= + + < >
P, ürünün fiyatı; R, yağış miktarıdır. Arzın fiyata ve yağışa göre
esnekliklerini belirleyelim ve bu esnekliklerin monotonik olup
olmadığını inceleyelim.
( )
( )121
2
2
2 1 2
121
2 2 1 2
22 0
0
QP
QR
Q P P bPbPP Q Q a bP R
RQ R RRR Q Q a bP R
−
∂ε = = = >
∂ + +
∂ε = = = >
∂ + +
7272
( )( )
( )( )
12
12
2
2 1 2 22 1 2
212
2 1 2 22 1 2
42
2
4
QPQP
QRQR
bP a RbPPa bP R a bP R
a bPRRa bP R R a bP R
+∂εε = → =
∂+ + + +
+∂εε = → =
∂+ + + +
7373ŞŞekil 3.13. Fiyatekil 3.13. Fiyat--Arz EsnekliArz Esnekliğğii
02
46
810 0
2
4
6
8
10
-5
0
5
02
46
8
2
2 1 2
2
10 , 0.5
QPbP
a bP R
a b
ε =+ +
= − =
7474ŞŞekil 3.14. Yaekil 3.14. Yağışğış--Arz EsnekliArz Esnekliğğii
02
46
810 0
2
4
6
8
10
-0.5-0.25
00.25
02
46
8
121
22 1 2
10 , 0.5
QR
Ra bP R
a b
ε =+ +
= − =
7575Diferansiyel KurallarDiferansiyel Kurallarıı
1.1. 0dk =
2.2. ( ) 1n nd cu cnu du−=
3.3. ( )d u v du dv± = ±
4.4. ( )d uv vdu udv= +
5.5. 2
u vdu udvdv v
−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
7676ÖÖrnek 12:rnek 12:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 21 1 2
21 2 1 2 1 1 2 2
1 2
2 2 2 21 1 2 1 1 2
2 21 1 2 1 1 2
21 2 1 1 2 2
3
6 2
3 3
6
6 2
y x x x
y ydy dx dx x x dx x x dxx x
dy d x x x d x d x x
x dx x d x x d x
x x dx x x dx
= +
∂ ∂= + = + +∂ ∂
= + = +
= + +
= + +
7777ÖÖrnek 13:rnek 13:
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )
1 221
1 21 2 1 23 2
1 2 1 1
2 21 1 2 1 2 11 2
2 221 1
21 1 2 1 2 1 1 1 2
1 22 3 221 11
2
2 12 2
2 2
2 2
2 4 2 12 22
x xy
x
x xy ydy dx dx dx dxx x x x
x d x x x x d xx xdy d
x x
x dx dx x x x dx x xdx dx
x xx
+=
⎛ ⎞− + ⎛ ⎞∂ ∂= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠
+ + +⎛ ⎞+= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ + + ⎛ ⎞− + ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
7878Toplam TToplam Tüürevrev
( ) ( ), ,
x w
y f x w x g w
dy y dx y dy dxf fdw x dw w dw dw
= =
∂ ∂= + → = +∂ ∂
y x wf g
f
7979ÖÖrnek 14:rnek 14:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2, 3 , 2 4
3 , 2 , 4 1
3 4 1 2 10 3
y f x w x w x g w w w
dy y dx ydw x dw w
y y dxw wx w dw
dy w w wdw
= = − = = + +
∂ ∂= +∂ ∂
∂ ∂= = − = +
∂ ∂
= + + − = +
8080Toplam TToplam Tüürev (Daha rev (Daha ÇÇok Deok Değğiişşken)ken)
( ) ( )1 2 1 2
1 2 1 21 2
1 2
, , , , ( )
w
y f x x w x g w x h w
dx dx dx dxdy y y y dy f f fdw x dw x dw w dw dw dw
= = =
∂ ∂ ∂= + + → = + +∂ ∂ ∂
y1x wf g
f
2xhf
8181ÖÖrnek 15:rnek 15:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2, 25 2
0.3 , 0.2
25 2 , 25 4 , 0.3 , 0.2
25 2 0.3 25 4 0.2 2.66
Q Q K L KL K L
K g t t L h t t
dQ Q dK Q dLdt K dt L dt
Q Q dK dLL K L LK L dt dt
dQ dQL K L L tdt dt
= = − −
= = = =
∂ ∂= +∂ ∂
∂ ∂= − = − = =
∂ ∂
= − + − → =
8282
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2, ,
, ,
2
W W x y u ax bxy cu
x x u v u v y y u u
W x W y Wu x u y u u
ax by bx cu
= = + +
= = α + β = = γ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂= + α + γ +
∂
W
W
8383
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2, ,
, ,
2 0 0 2
W W x y u ax bxy cu
x x u v u v y y u u
W x W y Wv x v y v v
ax by bx ax byv
= = + +
= = α + β = = γ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂= + β + + = β +
∂
W
W
8484ÖÖrtrtüük Fonksiyonlark Fonksiyonlar
4
4
( ) 3
3 0
y f x x
y x
= =
− =
Açık Fonksiyon
Örtük Fonksiyon
( ) 2 2
2
, 9 0
( ) 9
F y x x y
y f x x
= + − =
= = −∓
Örtük Fonksiyon
Açık Fonksiyon
( ) 2 2, 9 0F y x x y= + − =Çember Denklemi:
y
0
3
3
33−
2( ) 9y f x x= = −
2( ) 9y f x x= = − −
x
−
8686
1 2( , , , ....., ) 0
( ) , 1, 2, .....,
n
ii
F y x x x
dy y f x i ndx
=
→ = =tanımlı ise
8787
1 21 2
1 2 3
1 11 1
1
1
..... 0
0 , ..... 0
0
0
nn
n
F F F Fdy dx dx dxy x x x
dx dx dx dx
F F F Fdy dx dy dxy x y x
F xdy Fdx F y y
∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =
∂ ∂ ∂ ∂
≠ = = = =
∂ ∂ ∂ ∂+ = → = −
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= − → ≠
∂ ∂ ∂
Yukarıda tanımladığımız gibi, bir örtük fonksiyonda yer alan
değişkenler arasında açık fonksiyonel ilişkilerin tanımlı
olabilmesi için, şu iki kuralın sağlanması gerekir. Bu kurallar,
örtük fonksiyon kuralı olarak ifade edilmektedir:
1. F fonksiyonunun tüm kısmi türevleri sürekli olmalıdır.
2. Fy , ( y0 , x10 , x20 ,…, xn0 ) noktasında sıfır olmamalıdır.
8888
Yukarıda verdiğimiz örtük fonksiyon kuralını, daha önce
gösterdiğimiz çember denklemine uygulayarak, bu örtük
fonksiyondan tanımlanabilecek açık fonksiyon olup olmadığını
inceleyelim. İlk olarak tüm kısmi türevlerin sürekli olduklarını
görelim.
( ) 2 2, 9 0
2 , 2
lim 2 , lim 2
y x
y xy N x N
F y x x y
F FF y F xy x
F N F N± ±→ →
= + − =
∂ ∂≡ = ≡ =∂ ∂
= =
8989
9090İkinci olarak, Fy ’nin sıfır olup olmadığına bakacağız.
2
0 2 0
0 9 0 3
yy F y
y x x
= ⇒ = =
= ⇒ − = → = ±
Fy y=0 noktasında sıfır değerini aldığından, dy/dx tanımsızdır.
Yani (3,0) ve (-3,0) noktalarında y=f(x) fonksiyonu tanımlı
değildir. Bu iki noktanın dışında örtük fonksiyon kuralı tümüyle
sağlandığından, çember denkleminden iki farklı fonksiyon
tanımlanmaktadır.
9191
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
12
1 12 2
12
1 12 2
2 2
2 212
2 2
2 212
9 9
9 9 2 , 0
9 9
9 9 2 , 0
y x x
dy d xx x x ydx dx y
y x x
dy d xx x x ydx dx y
−
−
= − = −
−⎡ ⎤≡ − = − − = ≠⎢ ⎥⎣ ⎦
= − − = − −
⎡ ⎤≡ − − = − = ≠⎢ ⎥⎣ ⎦
9292ÖÖrnek 16:rnek 16:
( )
( ) ( )
( )
3 2 3
3
2 2
3 2 3
3
2 2
, , 3 0
23
1,1,1 , , 3 0
1,1,1 3 4 0
x
y
y
F y x w y x w yxw
Fy y x ywx F y x xw
F y x w y x w yxw
F y x xw
= + + − =
∂ += − =
∂ +
→ = + + − =
→ = + = ≠
Buna göre, (1,1,1) noktasında y=f(x,w) fonksiyonu tanımlanabilir.
9393
ÖÖrtrtüük Fonksiyonlar: Ek Fonksiyonlar: Eşşanlanlıı Denklemlere GenelleDenklemlere Genelleşştirmetirme
11 2 1 2
21 2 1 2
1 2 1 2
( , , ....., ; , , ....., ) 0
( , , ....., ; , , ....., ) 0
........................................................
( , , ....., ; , , ....., ) 0
n n
n n
nn n
F y y y x x x
F y y y x x x
F y y y x x x
=
=
=
9494
( )
( )
( )
11 1 2
22 1 2
3 1 2
, , .....,
, , .....,
....................................
, , .....,
n
n
nn
y f x x x
y f x x x
y f x x x
=
=
=
( )( )
1 2
1 2
, , .....,, , .....,
n
n
F F FJ
y y y∂
≡∂
9595
( )( )
1 1 1
1 2
2 2 21 2
1 2
1 2
1 2
...
..., , .....,0
, , .....,... ... ... ...
...
n
n
n
n
n n n
n
F F Fy y y
F F FF F F y y yJy y y
F F Fy y y
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂≡ ≡ ≠∂
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
9696
11 2 1 2
21 2 1 2
1 2 1 2
( , , ....., ; , , ....., ) 0
( , , ....., ; , , ....., ) 0
........................................................
( , , ....., ; , , ....., ) 0
n n
n n
nn n
F y y y x x x
F y y y x x x
F y y y x x x
=
=
=
Bu denklem sisteminin toplam diferansiyelini bulalım.
9797
1 1 1 1
1 11 1
2 2 2 2
1 11 1
1
..... ..... 0
..... ..... 0
........................................................................................
n nn n
n nn n
n
F F F Fdy dy dx dxy y x x
F F F Fdy dy dx dxy y x x
Fy
∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂
∂∂ 1 1
1
..... ..... 0n n n
n nn n
F F Fdy dy dx dxy x x
∂ ∂ ∂+ + + + + =
∂ ∂ ∂
9898
1 1 1 1
1 11 1
2 2 2 2
1 11 1
..... .....
..... .....
....................................................................................
n nn n
n nn n
F F F Fdy dy dx dxy y x x
F F F Fdy dy dx dxy y x x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
1 11 1
.....
..... .....n n n n
n nn n
F F F Fdy dy dx dxy y x x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
9999
olduğunu varsayalım. Yani x1 dışındaki x değişkenlerini sabit
kabul edelim.
1 2 30 , ..... 0ndx dx dx dx≠ = = = =
1 1 1
1 11 1
2 2 2
1 11 1
1 11 1
.....
.....
...........................................................
.....
nn
nn
n n n
nn
F F Fdy dy dxy y x
F F Fdy dy dxy y x
F F Fdy dy dxy y x
∂ ∂ ∂+ + = −
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + = −
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + = −
∂ ∂ ∂
100100
1 1 1 11 2
1 1 2 1 1 1
2 2 2 21 2
1 1 2 1 1 1
1 2
1 1 2
.....
.....
........................................................................
n
n
n
n
n n
dydy dyF F F Fy dx y dx y dx x
dydy dyF F F Fy dx y dx y dx x
dy dyF Fy dx y dx
∂ ∂ ∂ ∂+ + + = −
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ + + = −
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂+
∂ ∂ 1 1 1
.....n n
n
n
dyF Fy dx x
∂ ∂+ + = −
∂ ∂
101101
1 1 1 11
1 2 11
2 2 2 22
11 2 1
1 11 2
...
...
... ...... ... ... ...
...
n
n
nn n nn
n
F F F Fdyy y y xdx
dyF F F Fdxy y y x
dy FF F Fdx xy y y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
J
102102
11
1
22
1
1
1
, 1, 2, ....., 0
................
jj
nn
Jdydx J
JdyJdydx J j n J
dx J
Jdydx J
⎫⎫= ⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
= ⎪⎪ ⎪= = ≠⎬ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎪⎭ ⎭
Ulusal Gelir ModeliUlusal Gelir Modeli103103
( ) ( )
0 0
0 0
0 0
0
0 , , ; , , , , , 0
0
0 , 0
j
Y C I G
C Y T F Y C T I G
T Y
dG dI d d d d
∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗
⎫− − − =⎪⎪⎪− α −β − = α β γ δ =⎬⎪⎪
− γ − δ = ⎪⎭
≠ = α = β = δ = γ =
104104
1 1 1 1
00
2 2 2 2
00
3 3 3 3
00
0
0
0
F F F FdY dC dT dGY C T G
F F F FdY dC dT dGY C T G
F F F FdY dC dT dGY C T G
∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗
∂ ∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
105105
1 1 1 1
00
2 2 2 2
00
3 3 3 3
00
F F F FdY dC dT dGY C T G
F F F FdY dC dT dGY C T G
F F F FdY dC dT dGY C T G
∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗
∂ ∂ ∂ ∂+ + = −
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ + = −
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ + = −
∂ ∂ ∂ ∂
106106
1 1 1 1
0 0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
3 3 3 3
0 0 0 0
F dY F dC F dT FY dG C dG T dG G
F dY F dC F dT FY dG C dG T dG G
F dY F dC F dT FY dG C dG T dG G
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∂ ∂ ∂ ∂+ + = −
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ + = −
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ + = −
∂ ∂ ∂ ∂
107107
11 1 1
0 0
2 2 2 2
0 0
3 3 3 3
0 0
dY FF F FdG GY C T
F F F dC FY C T dG G
F F F dT FY C T dG G
∗
∗ ∗ ∗
∗
∗ ∗ ∗
∗
∗ ∗ ∗
⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂⎡ ⎤∂ ∂ ∂ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ∂ ∂ ∂ ⎥ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
108108
1 1 1 1
0
2 2 2 2
0
3 3 3 3
0
1 , 1 , 0 , 1
, 1 , , 0
, 0 , 1 , 0
F F F FY C T G
F F F FY C T G
F F F FY C T G
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∂ ∂ ∂ ∂= = − = = −
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂= −β = = β =
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂= −δ = = =
∂ ∂ ∂ ∂
109109
0
0
0
1 1 0 1
1 0
0 1 0
dYdG
dCdG
dTdG
∗
∗
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−β β =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦J
110110
( )1
0
1 1 0
0 1
0 0 1 1 01 1 0 1 1
1
0 1
JdYdG J
∗
−
β
= = = >− −β − δ
−β β
−δ
111111
( )( )
2
0
1 1 0
0
10 10
1 1 0 1 1
1
0 1
JdCdG J
∗
−β β
β − δ−δ= = = >
− −β − δ
−β β
−δ
112112Piyasa ModeliPiyasa Modeli
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
*
*0 *
0
**
1 * * * *0 0
2 * * * *0
, , 0 , 0
, 0
, ; , 0
, ; 0
d s
d
s
Q Q Q
D DQ D P YP Y
SQ S PP
F P Q Y D P Y Q
F P Q Y S P Q
= =
∂ ∂= < >
∂ ∂
∂= >
∂
= − =
= − =
113113
D Fonksiyonu
S Fonksiyonu
*P
*Q
0Y
114114ŞŞekil 3.15. Gelirdeki Deekil 3.15. Gelirdeki Değğiişşimin Piyasa imin Piyasa
Dengesine EtkisiDengesine Etkisi
0D1D
••*P
**P
*Q **Q
SP
Q0
1E
2E
1151151 1 1
* *0* *
0
2 2 2* *
0* *0
1 * 1 * 1
* *0 0 0
2 * 2 * 2
* *0 0 0
0
0
F F FdQ dP dYQ P Y
F F FdQ dP dYQ P Y
F dQ F dP FQ dY P dY Y
F dQ F dP FQ dY P dY Y
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂+ = −
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂+ = −
∂ ∂ ∂
116116
* 11 1
* *0 0
2 2 * 2
* *0 0
*
0*0
**
0
1
10
dQ FF FdY YQ P
F F dP FQ P dY Y
dQDD dYYP
SdP
PdY
⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂⎡ ⎤∂ ∂ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤∂⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥⎡ ⎤ −− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂∂ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦
117117
*0
** *1 0
0* **
*
00
1
1
D DY P
D SSJ Y PdQ P
S DDdY JP PP
SP
++
+ −
∂ ∂−∂ ∂
∂ ∂∂∂ ∂∂= = = >∂ ∂∂ −−∂ ∂∂
∂−
∂
118118
0*
1 0
0* **
*
1
1 00
1
1
DY D
J YdPS DDdY JP PP
SP
∂− −
∂ ∂− ∂
= = = >∂ ∂∂ −−∂ ∂∂
∂−
∂
119119Ulusal Gelir ModeliUlusal Gelir Modeli
( )
( )
( )
( )
0
0
, 0
, , 0 1 , 0
, 0 1 ,
, , 0 , 0
Y i
d Y i
S S
dII I i Idi
S SS S Y i S SY i
dMM M Y M X XdY
L LM L Y i L LY i
M M
′= ≡ <
∂ ∂= < ≡ < ≡ >
∂ ∂
′= < ≡ < =
∂ ∂= ≡ > ≡ <
∂ ∂
=
120120
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
* * * *0
* *0
1 * * * * * *0 0 0
2 * * * *0 0 0
,
,
, ; , , 0
, ; , , 0
S
S
S S
I i X S Y i M Y
L Y i M
F Y i X M I i X S Y i M Y
F Y i X M L Y i M
+ = +
=
= + − − =
= − =
121121
* 11 1
* * 0 0
2 2 * 2
* *
0 0
*
0
*
0
1
0
Y i
Y i
dY FF FdX XY i
F F di FY i dX X
dYdXS M I S
L L didX
⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂⎡ ⎤∂ ∂ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
122122
( ) ( )
*
0
*
0
1
0
0
i
i
Y i
Y i
i
i Y Y i
I S
LdYS M I SdX
L L
LdYdX L S M L I S
′− −
=′ ′− − −
−= >
′ ′− − − −
123123Basit Basit KeynesyenKeynesyen Modelde Denk BModelde Denk Büüttççe e ÇÇarpanarpanıı
( )* *0
0 0
* *0 0 0*
0
,
0 1 , ,
d d
d
d d
d d
Y C Y I G Y Y T
dCC I I G GdY
dC dY dC dYdY dY dT dI dGdY dY dY dT
= + + = −
′< ≡ < = =
= + + +
124124
( ) ( )
0 0 0
* *0 0
*0
*0
, 0
1 1
dT dG dI
dY C dY C dG dG
C dY C dG
dY dG
= =
′ ′= − +
′ ′− = −
=
125125ISIS--LM Modelinde Denk BLM Modelinde Denk Büüttççe e ÇÇarpanarpanıı
( ) ( )
( )
* * *0
0
* *
0
,
0 1 , 0 ,
,
0 , 0 ,
d d
d
Y r
Y C Y I r G Y Y T
dC dIC I G GdY dr
M L Y r
L LL L M MY r
= + + = −
′ ′< ≡ < ≡ < =
=
∂ ∂≡ > ≡ < =∂ ∂
126126
( ) ( )
( )
* * *0 0
* *0
* * *0 0* *
0
* *0 * *
,
d d
d d
Y C Y T I r G
M L Y r
dC dY dC dY dIdY dY dT dr dGdY dY dY dT dr
L LdM dY drY r
= − + +
=
= + + +
∂ ∂= +∂ ∂
127127
* * *0 0
* *0
0 0 0
* * *0 0
* *
, 0
0
Y r
Y r
dY C dY C dT I dr dG
dM L dY L dr
dG dT dM
dY C dY C dG I dr dG
L dY L dr
′ ′ ′= − + +
= +
= ≠
′ ′ ′= − + +
= +
128128
( ) ( )
* * *0 0
* *
* *0
* *
0
1 1
0
Y r
Y r
dY C dY C dG I dr dG
L dY L dr
C dY I dr C dG
L dY L dr
′ ′ ′= − + +
= +
′ ′ ′− − = −
+ =
129129
( ) ( )
( ) ( )
* *
0 0
* *
0 0
*
0
*
0
1 1
0
1 10
Y r
Y r
dY drC I CdG dG
dY drL LdG dG
dYdGC I C
L L drdG
′ ′ ′− − = −
+ =
⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
130130
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )
*
0
*
0
10 1
011
1 10 1
011
r r
r Y
Y r
Y Y
r Y
Y r
C IL C LdY
dG C L L IC IL L
C CL C Ldr
dG C L L IC IL L
′ ′− −′−
= = >′ ′′ ′ − +− −
′ ′− −′− −
= = >′ ′′ ′ − +− −
131131ŞŞekil 3.16. ISekil 3.16. IS--LM Modelinde Denk BLM Modelinde Denk Büüttççe e ÇÇarpanarpanıı
r
Y
••
LM
1IS2IS
*r
**r
*Y **Y
*E
**E* *
0 0
0 , 0dY drdG dG
> >
132132
KapalKapalıı Bir Ekonomide Kamu Harcama Bir Ekonomide Kamu Harcama ÇÇarpanarpanıı ya da ADya da AD--AS AS
Modeli:Modeli:
( )
( )
* * * **, ,
0 1 , 0
0 , 0
Y W
Y r
WY C Y I Y r GP
C CC CY W P
I II IY r
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
∂ ∂< ≡ < ≡ >
∂ ∂
∂ ∂≡ > ≡ <∂ ∂
133133
( )
( )
* **
** *
*
,
0 , 0
, 0
Y r
E F
M L Y rP
L LL LY r
dPP P g Y Y gdY
=
∂ ∂≡ > ≡ <∂ ∂
′= + − ≡ ≥
134134ŞŞekil 3.17. Toplam Arz Eekil 3.17. Toplam Arz Eğğrisirisi
P
Y
3AS
FY
EP
( )2AS Klasik Durum
( )1AS
Keynesyen DurumSabit Fiyat
135135
( )
( )
* * * * *
*
* * *
*
* * *
*
1Y W Y r
Y r
W PY Y P Y rC C I IG G P G G G
M P P Y rL LP G G G
P P YG Y G
∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂=
∂ ∂ ∂
136136
( ) ( )* 2 * 2
* * * * *
2
* * *
2
* *
,
1Y W Y r
Y r
W P M PW MP P P P
Y Y W P Y rC C I IG G P G G G
M P Y rL LP G G G
P YgG G
∂ ∂− −= =
∂ ∂
∂ ∂ − ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
− ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂′=∂ ∂
137137
* * * * *
2
* * *
2
* * *
1
0
0 0
Y Y r W
Y r
Y Y Y r W PC I I CG G G G P G
Y r M PL LG G P G
Y r PgG G G
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− − − + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂ ∂′− + + =∂ ∂ ∂
138138
( )* * *
2
* * *
2
* * *
1 1
0
0 0
Y Y r W
Y r
Y r W PC I I CG G P G
Y r M PL LG G P G
Y r PgG G G
∂ ∂ ∂⎛ ⎞− − − + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂ ∂′− + + =∂ ∂ ∂
139139
*
2
*
2
*
11
0
00 1
Y Y r W
Y r
W YC I I CP G
M rL LP G
Pg G
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂− − − ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ∂ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥
′−⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎣ ⎦⎣ ⎦
J
140140
( )
( )
2
2
*1
2
2
1
0
0 0 1
1
0 1
r W
r
Y Y r W
Y r
I C W P
L M P
JYG J C I I C W P
L L M P
g
−
∂= =
∂ − − −
′−
141141
( )2
21
1
1
0
0 0 1
0
r W
r
r
I C W P
J L M P
J L
−
=
= <
142142
( )
( )( )
2
2
2 2
1
0 1
1 0
Y Y r W
Y r
r r W r Y Y Y r
C I I C W P
J L L M P
g
M WJ g I L C L C I L IP P
− − −
=
′−
⎛ ⎞⎛ ⎞′= + + − − + <⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
143143
( )( )
( )( )
*
2 2
2*
2 2
01
01
r
r r W r Y Y Y r
Y
r r W r Y Y Y r
LYG M Wg I L C L C I L I
P P
WL gPr
G M Wg I L C L C I L IP P
∂= >
∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞′ + + − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞′− + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠= >∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞′ + + − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
144144ŞŞekil 3.18. ADekil 3.18. AD--AS Modelinde Kamu AS Modelinde Kamu
HarcamalarHarcamalarıınnıın Etkisin Etkisi
P
Y
AS
1AD2AD
•
•*P
**P
*Y **Y
**E
*E
145145Tekelci Piyasada SatTekelci Piyasada Satışış Vergisinin EtkileriVergisinin Etkileri
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
, 0
, 0 , 0
dPP Q P QdQ
dC d CC Q C Q C QdQ dQ
Q P Q Q C Q tQ
′ ≡ <
>′ ′′≡ > ≡ =<
π = − −
146146Birinci ve ikinci sıra koşulları oluşturalım:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
Q QP Q P Q C Q t
Q P Q QP Q P Q C Q
′ ′ ′π = + − − =
′′ ′ ′′ ′ ′′π = + + − <
Tekelci firmanın Q* denge üretimi gerçekleştirdiğini
varsayarak, birinci sıra koşulu yeniden yazalım ve birinci sıra
koşulu, satış vergisindeki bir değişmeyi dikkate alacak şekilde
yeniden inceleyelim.
147147
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
* * * *
* * * *
*
** *
0
1 0
1 0
0
Q t P Q t P Q t C Q t t
dQ dQ dQ dQP Q QP Q P Q C Qdt dt dt dt
dQdt P Q QP Q P Q C Q
dP Q tdP dQP Qdt dt dt
′ ′+ − − =
′ ′′ ′ ′′+ + − − =
= <′ ′′ ′ ′′+ + −
>′= = <
148148ŞŞekil 3.19. Tekelci Piyasada Satekil 3.19. Tekelci Piyasada Satışış Vergisinin Vergisinin
EtkileriEtkileri
P
Q
MC
MR D
*P
**P
MC t+
••
*Q**Q
*E
**E
Yukarıdaki şekil, vergi öncesi ve sonrasında tekelci firma
dengesini göstermektedir. Aşağıdaki şekilde, marjinal maliyet
eğrisinin eğimindeki bir artışın karşısında, tekelci piyasadaki
miktar ve fiyat etkilerinin ne olacağını göstermektedir. Buna
göre, marjinal maliyet eğrisinin eğimi artarsa, vergi artışı
üretimin daha az düşmesine, fiyatın daha az artmasına neden
olur:
( ) ( ) ( ) ( )( )
3
2 * 2
2 0
CQ Q
t P Q QP Q P Q C Q
∂−
∂ ∂ ∂θ= − >∂ ∂θ ′ ′′ ′ ′′+ + −
149149
150150ŞŞekil 3.19. Tekelci Piyasada ekil 3.19. Tekelci Piyasada MC MC ’’ninnin EEğğimine imine
GGööre Satre Satışış Vergisinin EtkileriVergisinin Etkileri
P
Q
1MC
MR D
*P
**P
1MC t+
•
•
*Q**Q
***E
2MC
2MC t+
•
