Embed Size (px)
Citation preview
Edisi Semester 1 17/18 EYH 1
Transformasi Fourier Diskrit6
6.1 Pencuplikan Domain Frekuensi :Transformasi Fourier Diskrit
6.1.1 Pencuplikan Domain Frekuensi dan Rekonstruksi Sinyal Waktu Diskrit
Transformasi Fourier Waktu Diskrit (Discrete Time Fourier Transform (DTFT))
dari sinyal aperiodik waktu diskrit
( )j j n
n
X e x n e
Edisi Semester 1 17/18 EYH 2
Uniform sampling of DTFT spectrum and the evaluate at 2 /k N
2
2 2 21 1 2 1
0
21
2, 0,1,..., 1
... ...
=
Change the index to -
kj n
N
n
k k kN Nj n j n j nN N N
n N n n N
klN N j nN
l n lN
kX x n e k N
N
x n e x n e x n e
x n e
n n lN
21
0
21
0
2 , 0,1,..., 1
2 , 0,1,..., 1
kN j nN
n l
p
l
kN j nN
p
n
kX x n lN e k N
N
x n x n lN
kX x n e k N
N
Edisi Semester 1 17/18 EYH 3
21
0
21
0
21
0
dinyatakan dalam deret Fourier
0 1 1
1 0 1 1
1 2 0 1 1
1 2 0 1 1
dapa
p
kN j nN
p k
k
kN j nN
k p
n
k
kN j nN
p
k
x n
x n c e ,n , ,...,N
c x n e ,k , ,...,NN
kc X , k , ,...,N
N N
kx n X e ,n , ,...,N
N N
x n
t diperoleh kembali dari bila tidak ada aliasing
dalam domain waktu. Artinya terbatas panjangnya, dan lebih kecil
atau sama dengan perioda dari
p
p
x n
x n
N x n .
Edisi Semester 1 17/18 EYH 4
DTFTx(n)
cuplikX(ej)
IDFTX(k)
0 ≤ n < N-A ≤ n < B
xp(n)
Edisi Semester 1 17/18 EYH 5
k
Spektrum sinyal waktu diskrit aperiodik dengan panjang dapat diperoleh
kembali dari sampel-sampel pada frekuensi 2 bila .
2 dapat diperoleh dari dengan interpolasi.
1 2
j
p
L
k / N , N L
kX e X
N
x n XN
21
0
21 1
0 0
1 12
0 0
1
0
0 1 1
1 2 =
2 1 =
21 1 1 Bila
1
kN j nN
k
kN- N j nj j nN
n k
N Nj k / N n
k n
j NNj j n
jn
ke ,n , ,...,N
N
kX e X e e
N N
kX e
N N
sin N /eP e e
N N e N sin
1 2
12
0
maka2
2 =
j N /
Nj k / Nj
k
e/
kX e X P e , N L
N
Edisi Semester 1 17/18 EYH 6
DFT and DTFT
DTFT
DFT
• frekuensi kontinu
• x(n), -<n<
• frekuensi diskrit k=N/2• x(n), 0≤n<N
j j n
n
X( e ) x n e
21
0
knN jN
n
X k x n e
Edisi Semester 1 17/18 EYH 7
DFT and DTFT
• Sample DFT adalah DTFT pada frekuensi diskrit :
X(ej)X(k)
k=1...
2j
k
N
X k X( e )
Edisi Semester 1 17/18 EYH 8
Finite impulse
1 0
0 1 1
nx n
n ..N
2
1
01
knjN
N
nX k x k e k
Edisi Semester 1 17/18 EYH 9
Sinusoid periodik :
2 2
2 2 21
0
2
1
2
1
2
2
0
rn rnj
N N
rn rn knj jN
N N N
n
rnx n cos , r I
N
e e
X k e e e
N / k r,k N r
lainnya
Edisi Semester 1 17/18 EYH 10
6.1.2 Transformasi Fourier Diskrit (TFD)
21
0
21
0
TFD 0 1 2 1
1Invers TFD 0 1 2 1
kN j nN
n
kN j nN
k
X k x n e , k , , ,...,N -
x n X k e , n , , ,...,N -N
Edisi Semester 1 17/18 EYH 11
6.1.3 TFD sebagai Transformasi Linier
1
0
2
1
0
, 0,1,..., -1
1, 0,1,..., -1
Nkn
N
n
jN
N
Nnk
N
k
X k x n W k N
W e
x n X k W n NN
Edisi Semester 1 17/18 EYH 12
2
1 2 1
2 4 2 1
1 2 1 1
1 1 1 10 0
11 1
12 2
1 11
0 0
1 1
= 2 2
1 1
( N )
N N N
( N )
N N N
( N ) ( N ) ( N )
N N N
N N
X x
W W WX x
W W WX x
X N x NW W W
X x
X x
X x
X N x N
X x
2
1 2 1
2 4 2 1
1 2 1 1
1 1 1 1
1
1 matriks transformasi linier
1
=
( N )
N N N
( N )
N N NN
( N ) ( N ) ( N )
N N N
N N N
N
W W W
W W WW
W W W
W
X x
x-1 N NW X
Edisi Semester 1 17/18 EYH 13
6.2 Sifat-sifat TFD
6.2.1 Sifat Periodik, Linier dan SimetrisPeriodik
Linier
Sifat Simetri sirkular deretan
Bila dan adalah pasangan TFD N sampel, maka
x n X k
x n N x n n
X k N X k k
TFD TFD
N N
TFD
N
Bila dan
maka
x n X ( K ) x n X ( K )
a .x n a .x n a X ( k ) a X ( k )
1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
sampel TFD dari panjang ekivalen dengan sampel TFD
dari deretan periodik dengan perioda ,
Bila deretan periodik digeser k sampel ke k
p
p
l
p
N x n L N N
x n , N
x n x n lN
x n
anan maka
0 1
0 lainnya
Pergeseran sirkular deretan dapat direpresentasikan dengan indeks modulo N.
px ' n , n N -x' n
,
Edisi Semester 1 17/18 EYH 14
Pergeseran sirkular deretan dapat direpresentasikan dengan indeks modulo .
modulo
Misal, 2 dan 4,
N
N
x' n x n k , N
x n k
k N
4
4
4
4
2
0 2 2
1 1 3
2 0 0
x' n x n
x' x x
x' x x
x' x x
4
3 1 1x' x x
Deretan sampel disebut deretan genap sirkular jika simetris terhadap titik nol.
Implikasi
1 1
Deretan sampel disebut deretan ganjil sirkular
N
x N - n x n n N -
N
jika antisimetris terhadap titik nol.
Implikasi
1 1
Pembalikan terhadap waktu untuk deretan sampel adalah
=N
x N - n x n n N -
N
x -n
0 1x N - n n N -
Edisi Semester 1 17/18 EYH 15
Sifat Simetris TFD
Deretan bernilai riil
Bila riil
Konsekuensi dan
Deretan riil genap
Bila riil dan genap, yaitu maka 0
TFD -nya menjadi
I
n
x n
X N - k X k X -k
X N - k X k X N - k X k
x n x n x N - n X k
X k x n
1
0
1
0
2 0 1
fungsi genap bernilai ril.
1 2Invers TFD -nya menjadi 0 1
Deretan riil ganjil
Bila riil dan ganjil yaitu maka 0
N-
N-
k
R
kncos k N
N
X k
knx n X k cos n N
N N
x n x n - x N - n X k
1
0
1
0
2TFD -nya menjadi 0 1
fungsi ganjil bernilai imajiner.
1 2Invers TFD -nya menjadi 0 1
N-
n
N-
k
knX k j x n sin k N
N
X k
knx n j X k sin n N
N N
Edisi Semester 1 17/18 EYH 16
6.2.2 Sifat Konvolusi Sirkular
Bila ( ) dan ( )
maka ( ) ( )
, ,..., -
1 1 2 2
1 2 1 2
1
1 2 1 2
0
0 1 1
TFD TFD
N N
TFD
N
N
k N
x n X k x n X k
x n x n X k X k
x n x n x k x n k n N
Contoh
Tentukan konvolusi sirkular 4 sampel dari dua deretan berikut
, , , , , , , ,
=
x n x n
x n x n
1 2
3 1
2 1 2 1 1 2 3 4
=
=
=
=
, , ,
k
k
k
k
x n
n x x k x k
n x x k x k
n x x k x k
n x x k x k
x n
2
3
3 1 2
0
3
3 1 2
0
3
3 1 2
0
3
3 1 2
0
3
0 0 14
1 1 1 16
2 2 2 14
3 3 3 16
14 16 14 16
Edisi Semester 1 17/18 EYH 17
Konvolusi sirkular :
• Contoh: g[n]={1 2 0 1}
n1 2 3
h[n]={2 2 1 0}
n1 2 3
1
2
0
1
nh[<n - 0>4]
1 2 3
nh[<n - 1>4]
1 2 3
nh[<n - 2>4]
1 2 3
nh[<n - 3>4]
1 2 3
n
g[n] h[n]={4 7 5 4}
1 2 3
4
check: g[n] h[n]
={2 6 5 4 2 1 0}*
g m h n mN
m0
N1
g m h n mN
m0
N1
G[k]H[k]
]n[h]n[g N
Edisi Semester 1 17/18 EYH 18
6.2.3 Sifat TFD Lainnya
/
Pembalikan waktu
Bila ( )
maka )
Bukti
TFD - -
Indeks diganti menjadi -
12
0
TFD
N
TFD
NN N
Nj kn N
n
x n X k
x n x N n X k X N k
x N n x N n e
n m N
/
/
/
TFD -
=
=
, -
12
0
12
0
12
0
0
Nj k N m N
m
Nj km N
m
Nj m N k N
m
N
n
x N n x m e
x m e
x m e X N k
X N k X k k N
1
Edisi Semester 1 17/18 EYH 19
/
/
Pergeseran waktu sirkular deretan
Bila ( )
maka
Bukti
TFD
2
12
0
TFD
N
TFD j kl N
NN
Nj kn N
N Nn
x n X k
x n l X k e
x n l x n l e
/ /
/ /
=
-
= -
1 12 2
0
1 12 2
0 0
l Nj kn N j kn N
Nn n l
N
l lj kn N j kn N
Nn n
x n l e x n l e
x n l x N l n
x n l e x N l n e
/
//
/
/
=
TFD
12
1 122
0
12
0
2
Nj k m l N
m N l
N N lj k m l Nj kn N
n l m
Nj k m l N
Nm
j kl N
x m e
x n l e x m e
x n l x m e
X k e
Edisi Semester 1 17/18 EYH 20
ln/
Pergeseran frekuensi sirkular
Bila ( )
maka
Sifat konjugat kompleks
Bila ( )
maka
2
TFD
N
TFDj N
N N
TFD
N
x n X k
x n e X k l
x n X k
x
Perkalian dua deretan
Bila ( ) dan ( )
maka ( ) ( )
Teorema Parseval
Bila
1 1 2 2
1 2 1 2
1
TFD
N N
TFD TFD
N N
TFD
N
TFD
N
n X k X N k
x n X k x n X k
x n x n X k X kN
x n
- -
- -
( ) dan ( )
maka ( ) ( )
Bila
( )
1 1
0 0
1 12 2
0 0
1
1
TFD
N
N N
n k
N N
n k
X k y n Y k
x n y n X k Y kN
y n x n
x n X kN
Edisi Semester 1 17/18 EYH 21
6.3 Metoda Pemfilteran Linier dengan TFD
6.3.1 Pemfilteran Linier dengan TFD
Misal filter FIR dengan respon impuls panjang , diberi input dengan panjang ,
, dan
, dan
K
0 0
0 0
h n M x n L
x n n n L
h n n n M
eluaran filter FIR tersebut adalah,
Panjang adalah - .
Dalam domain frekuensi
( ) ( ). ( )
Bila direprese
1
k
j j j
y n x k h n k x n h n
y n M L
Y e X e H e
y n
ntasikan secara unik dalam domain frekuensi oleh sampel-sampel
spektrum ( ) yang terdiri dari satu set frekuensi diskrit maka jumlah sampel
frekuensi diskrit minimum - .
Oleh karena itu ukura
1
jY e
M L
n DFT - agar dapat merepresentasikan
dalam domain frekuensi.
( ) , ,..., -
= ( ). ( ) , ,..., -
2
2
1
0 1 1
0 1 1
j
k
n
jj
k
n
N M L
y n
Y k Y e k N
X e H e k N
Y k X k H
, ,..., -
Sinyal dan disisipkan sampel bernilai nol (zero padding) hingga panjangnya ampel.
0 1 1k k N
x n h n N s
Edisi Semester 1 17/18 EYH 22
Contoh
Tentukan respons untuk filter FIR dengan respon impuls yang diberi input .
, , , , , , ,
1 2 3 1 2 2 1
y n h n x n
h n x n
Solusi
Panjang adalah 4, panjang adalah 3. Panjang sinyal hasil konvolusi linier adalah 6.
Jumlah sampel DFT minimum 6. Untuk menyederhanakan proses perhitungan digunakan 8.
x n h n
N
= 1 + 2 +2
2 37
8 4 2 4
0
2 2 4 3 2 2 2 4 3 20 6 1 2 1 3
2 2 2 2
2 2 4 3 24 0 5 6 1
2 2
k k k kj n j j j
n
X k x n e e e e
X X j X j X j
X X j X j
= 1 + 2 +3
27
8 4 2
0
2 2 4 3 27
2 2
0 6 1 1 2 3 2 2 2 2 3 1 2 3 2
4 2 5 1 2 3 2 6 2 2
k k kj n j j
n
X j
H k x n e e e
H H j H j H j
H H j H j
, , , ,
, , , ,
7 1 2 3 2
0 36 1 14 07 17 48 2 4 3 0 07 0 515
4 0 5 0 07 0 515 6 4 7 14 07 17 48
H j
Y k X k H k
Y Y Y j Y j
Y Y j Y j Y
, , ,...,
, , , , , , ,
Hasil konvolusi sirkular 6 sampel untuk dan adalah , , , , ,
Hasil konvolusi linier untuk dan
27
8
0
10 1 7
8
1 4 9 11 8 3 0 0
1 4 9 11 8 3
kj n
k
y n Y k e n
y n
x n h n
x n h
adalah , , , , , 1 4 9 11 8 3n
Edisi Semester 1 17/18 EYH 23
6.3.2 Pemfilteran Deretan yang Panjang
6.3.2.1 Metoda Overlap-save
Asumsi filter FIR, dengan h(n) panjang M.
Data input dipecah menjadi blok data yang panjangnya L sampel, L >> M
Data input diubah menjadi blok data input yang panjangnya N = L +M – 1.
M – 1 sampel pada blok data input sekarang berasal dari blok data input sebelumnya.
DFT N sampel dilakukan pada setiap blok data input.
Dilakukan zero padding sejumlah L-1 pada h(n) sehingga panjangnya N
dan selanjutnya dilakukan DFT N sampel.
Blok data input
1
2
1
1 points
2
new data points1 points from
3
1 points from
0 0 0 0 1 1
1 1 2 1
2 1 2 1
M
LM x n
M x n
x n , ,.., ,x ,x ,...,x L
x n x L M ,...,x L ,x L ,...,x L
x n x L M ,...,x L ,
new data points
2 3 1
L
x L ,...,x L
Edisi Semester 1 17/18 EYH 24
Perkalian N sampel DFT untuk {H(k)} dan {Xm(k)} blok data ke –k adalah
, ,..., -
sampel IDFT ,
... ...
sampel terakhir dari sama dengan hasil konvolusi linier
, ,..., -
0 1 1
0 1 2 1 1
1 1
m m
m
m m m m m m m
m
m m
Y k H k X k k N
N y n
y n y y y y M y M y N
L y n
y n y n n M M N
Edisi Semester 1 17/18 EYH 25
6.3.2.2 Metoda Overlap-add
Asumsi filter FIR, dengan h(n) panjang M.
Data input dipecah menjadi blok data yang panjangnya L sampel, L >> M
Data input diubah menjadi blok data input yang panjangnya N = L +M – 1.
Pada setiap blok data input ditambahkan zero M – 1 sampel .
DFT N sampel dilakukan pada setiap blok data input.
Dilakukan zero padding sejumlah L-1 pada h(n) sehingga panjangnya N
dan selanjutnya dilakukan DFT N sampel.
Blok data input
1
1 zeros
2
1 zeros
3
1 zeros
0 1 1 0 0 0
1 2 1 0 0 0
2 2 1 3 1 0 0 0
M
M
M
x n x ,x ,...,x L , , ,..,
x n x L ,x L ...,x L , , ,..,
x n x L ,x L ...,x L , , ,..,
Edisi Semester 1 17/18 EYH 26
, ,..., -
sampel IDFT ,
, ,..., , , ,..., , ,...
m m
m
Y k H k X k k N
N y n
y n y y y L y L y y L y y N y M y M
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2
0 1 1
0 1 1 0 1 1 1 1
Perkalian N sampel DFT untuk {H(k)} dan {Xm(k)} blok data ke –m adalah
nhnx
nnnx
n ymenghitung
untuk 6N nmenggunaka add- overlap dan method
save-overlap nmenggunaka npemfiltera sikanImplementa
h dan 9 n0 ,
berikut; sebagai deretan 2 Diketahui
: Soal
1,0,11
Edisi Semester 1 17/18 EYH 27
Konvolusi Overlap-Add
n
x(n)
n
x0(n)
n
x1(n)
n
x2(n)
N 2N 3N
n
h(n) x0(n)
n
n
h(n)
n
h(n) x1(n)
h(n) x2(n)
nN 2N 3N
h(n) x(n)
valid OLA
Edisi Semester 1 17/18 EYH 28
. untuk tentukan Jika c.
untuk diatas deretan kedua sirkular konvolusi Tentukan b.
diatas deretan kedua linier konvolusi a.Tentukan
dan
berikut; sebagai deretan 2 Diketahui
Soal
7654,
7654
1,1,1,11,2,2,1
34
4
3
21
dan ,, Nnenxnxne
. dan ,, N
nx
nx
nxnx
Edisi Semester 1 17/18 EYH 29
9
0
2
adalah dari sample 10Diskrit Fourier siTransforma
90,52.0cos48.0cos
n
N
nkj
enxkX
nx
nnnnx
6.4 Analisa Frekuensi Sinyal dengan TFD
Edisi Semester 1 17/18 EYH 30
49
0
2
adalah dari sample 50Diskrit Fourier siTransforma
490,52.0cos48.0cos
n
N
nkj
enxkX
nx
nnnnx
Edisi Semester 1 17/18 EYH 31
51
0
2
adalah dari sample 52Diskrit Fourier siTransforma
510,52.0cos48.0cos
n
N
nkj
enxkX
nx
nnnnx
Edisi Semester 1 17/18 EYH 32
99
0
2
adalah dari sample 100Diskrit Fourier siTransforma
9910 0,
90,52.0cos48.0cos
n
N
nkj
enxkX
nx
n
nnnnx
Edisi Semester 1 17/18 EYH 33
9
0
2
adalah dari sample 10Diskrit Fourier siTransforma
90,52.0cos48.0cos
n
N
nkj
enxkX
nx
nnnnx
Edisi Semester 1 17/18 EYH 34
DFT
• DFT:
Bentuk matriks:
X[k] x[n]WNkn
n0
N1
WN e j
2
N( )
X[0]
X[1]
X[2]
X[N1]
1 1 1 1
1 WN1 WN
2 WN(N1)
1 WN2 WN
4 WN2(N1)
1 WN(N1) WN
2(N1) WN(N1)2
x[0]
x[1]
x[2]
x[N1]
WNr dgn N
harga berbeda
WN@2/N
algoritma efisien ?
Edisi Semester 1 17/18 EYH 35
Kompleksitas perhitungan
• (N perkalian kompleks + N-1 penjumlahan kompleks) N sample (k =
0..N-1)
– perkalian kompleks : (a+jb)(c+jd) = ac - bd + j(ad+bc)= 4 perkalian
real + 2 penjumlahan real
– penjumlahan kompleks = 2 penjumlahan real
• Total: 4N2 perkalian real, 4N2-2N penjumlahan real
X[k] x[n]WNkn
n0
N1
Edisi Semester 1 17/18 EYH 36
6.5 Fast Fourier Transform FFT
• Mengurangi kompleksitas DFT dari O(N2)
menjadi O(N·logN)
• Dekomposisi DFT menjadi beberapa tahap DFT yang lebih kecil DFT
Edisi Semester 1 17/18 EYH 37
Desimasi Waktu FFT
(Decimation in Time )
• Rumus DFT disusun sbb:
X k x n WNnk
n0
N1
x 2m WN2mk x 2m 1 WN
2m1 k m0
N21
x 2m WN2
mk
m0
N21
WNk x 2m 1 WN
2
mk
m0
N21
N/2 sample DFT dari x utk n genap N/2 sample DFT dari x utk n genap
X0[<k>N/2] X1[<k>N/2]
Edisi Semester 1 17/18 EYH 38
Desimasi Waktu FFT
(Decimation in Time )
• Deretan terbatas x[n], 0 ≤ n < N, N = 2M
– Panjangnya : pangkat 2
• Membagi TZ menjadi bgn genap dan ganjil
dari n :
X z x n znn0
N1
X0 z2 z1X1 z
2
X0 z x 2n znn0
N21
X1 z x 2n1 znn0
N21
TZ N/2 sample berasal dari
sample genap x[n]TZ N/2 sample berasal dari
sample ganjil x[n]
Edisi Semester 1 17/18 EYH 39
Decimation in Time (DIT) FFT
X0 k N2
WNkX1 k N2
X0 e j2k /N 2
e j2k /NX1 e j2k /N 2
DFTN x n ˆ X k X z ze j 2k /N WN1
X k DFTN2
x 2n WNkDFTN
2
x 2n1
e j2k /N 2 e
j2k / N /2 WN2
1
k = 0..N-1
N/2 sample DFT
k = 0..N/2-1
Edisi Semester 1 17/18 EYH 40
Decimation in Time (DIT) FFT
• Evaluasi N sample DFT diperlukan evaluasi N/2
sample DFT (plus beberapa mult/add)
• Bila DFTN{•} ~ O(N2)
maka DFTN/2{•} ~ O((N/2)2) = 1/4 O(N2)
Total komputasi~ 2 1/4 O(N2)
= 1/2 komputasi (+e) DFT secara langsung
DFTN x n DFTN2
x0 n WNkDFTN
2
x1 n
Edisi Semester 1 17/18 EYH 41
Flowgraph DIT 1 tahap
Struktur FFT klasik
Sample Genap
x[n]
Sample
Ganjil
x[n]
X k X0 k N2
WNkX1 k N2
Edisi Semester 1 17/18 EYH 42
• Bila dekomposisi satu DFTN menjadi dua
DFTN/2 yang lebih kecil dapat mereduksi
algoritma maka……..
Bagaimana jika selanjutnya dibagi menjadi
DFTN/4 ?
•
DIT beberapa tahap
X k X0 k N2
WNkX1 k N2
0 ≤ k < N
X0 k X00 k N4
WN2
kX01 k N4
0 ≤ k < N/2
N/4-sample DFT sample
genap dari subset genap x[n]
N/4-sample DFT sample
ganjil dari subset genap x[n]
X1 k X10 k N4
WN2
kX11 k N4
Edisi Semester 1 17/18 EYH 43
Flowgraph DIT 2 tahap
Edisi Semester 1 17/18 EYH 44
Multi-stage DIT FFT
• Desimasi dilakukan hingga 2 point DFT:
N = 2M-sample DFT berkurang menjadi M
tahap twiddle faktor & penjumlahan
perkalian real < M·4N , penjumlahan real <
2M·2N
complexity ~ O(N·M) = O(N·log2N)
DFT2
X[0] = x[0] + x[1]
X[1] = x[0] - x[1]-1 = W2
1
1 = W20
elemen“butterfly”
Edisi Semester 1 17/18 EYH 45
WNrN
2 e j
2 rN2
N
e j
2r
N e j
2N /2
N
WNr
Implementasi FFT
• Pada satu tahap :
• disederhanakan:
WNr
WNr+N/2
XX[r]
XX[r+N/2]
XX0[r]
XX1[r]
•••
•••
2 perkalian
kompleks
XX[r]
XX[r+N/2]
XX0[r]
XX1[r]WN
r -1
hanya 1
perkalian kompleks
SUB
