Deret Dan Transformasi Fourier

5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier

1/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comDeret dan Transformasi Fourier

Deret Fourier

Koefisien Fourier. Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi komponenkomponensinus. Penguraian ini tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret

Fourier. Jika f(t) adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t)dapat dinyatakan sebagai deret Fourier :

[a w+ nw]

f

(t)= a

0

+

.

cos(

)

sin(

)

b

(1)t

t

n

0

0

n

n

n=1


2/60

yang dapat kita tuliskan sebagai

..

.a

.

..

)

ditentukan dengan hubungan berikut:

(cos(

22

.

w -.

f

(t)= a

)

b

+

+

(2)t

n

0

0

n

n

n

n=1

Koefisien Fourier a0, an, dan bn

.


3/60

1

T0 /2

f (t)dt

-

a =

0

T

T0/2

0

2

T0 /2

f (t) cos( nw t)dt ; n > 0 (3)

0

-

.0

T /2

(t) sin( w t)dt ;00

-

a =

n

T

T0/2

0

2

.

.--


4/60

.

.

Hubungan (3) dapat diperoleh dari (1). Misalkan kita mencari an; kita kalikan (1) dengancos(kwot) kemudian kita integrasikan antara -To/2 sampai To/2 dan kita akan memperoleh

To /2 To /2

kk

b

f

>

=

n

n

n

T

T0/2

0

.

.

(t) cos(t)dt

cos(

t)dt

f

=

a

0


5/60

o

o

To /2

To /2

To /2

a cos( nw t) cos( kw t)dt

- n 0o

.

.

.

.

.

..

.

.

.

Dengan menggunakan kesamaan tigonometri

11

cos acos b= cos( a-b) + cos( a+b)

2211

cos asin b= sin( a-b) + sin( a+b)

22

maka persamaan di atas menjadi

oo

o

- o -

.


6/60

.

.

..

To /2

.

+

To/2

sin( w ) cos( kw t)dt

0

- o

=1

b

+

t

n

n

n

To/2

/2

/2

T

T

kw

kw

.

n

(t)cos(

t)dt

cos(


7/60

t)dt

f

=

a

0

o

/2

/2

T

To

.

To /2

.

.

.

.

..

a

(cos(( )dt

0

-w+ +w

)

)

cos((

)

)

k

k

t

t

n


8/60

n

.

.

.

..

o

2

To /2

.

+

.

-

b

n

.

To /2

(sin(( - )w ) + sin(( + )w ))dtdt

0o

-

n

=1

+

k

k

t

t

n

n

2


9/60

To /2


10/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comKarena integral untuk satu perioda dari fungsi sinus adalah nol, maka semua integral diruas kanan persamaan ini bernilai nol kecuali satu yaitu

aT /2 a

n o n

(cos(( n - k)w t))dt = yang terjadi jika n = k

0

2 .-To/2 2

2 To /2

f (t) cos( nw0t)dt oleh karena itu an =

T .-T /2

oo

Pada fungsi-fungsi yang sering kita temui, banyak diantara koefisien-koefisien Fouriernyabernilai nol. Keadaan ini ditentukan oleh kesimetrisan fungsi f(t) . Kita akan melihatnyadalam urain berikut ini.

Kesimetrisan Fungsi

Simetri Genap. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri genap jika f(t)= f(-t).Salahsatu contoh fungsi yang memiliki simetri genap adalah fungsi cosinus, cos(wt) =cos(-wt).

Untuk fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan

[anw+ w]

0 n 0

.

(t)cos(

)

sin(

)

dan

f


11/60

b

= a

0

+

t

t

n

n

n=1

[an ]

0 n 0

+

.

(

-

t

w- w

)

= a

0

cos(

)

sin(

)

f

b

t

t

n


12/60

n

n=1

Kalau kedua fungsi ini harus sama, maka haruslah bn = 0, dan f(t) menjadi

[a w]

.

f

(t)= a

o

+

cos(

)

(4)t

n

0

n

n=1

v(t)

CONTOH-1: Tentukan deret Fourier dari bentuk

A

gelombang deretan pulsa berikut ini.

-T/2To0 T/2

TPenyelesaian :

Bentuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo A, perioda To , lebar pulsa

T.


13/60

T /2

1

At

AT

T /2

Adt

.

-T /2 T

T

o

-T/ 2

; b

n

=

0

;

=

=

=

a

o

T

o

o

2

.


14/60

T /2 2A

T /2

A cos( nw t)dt = sin nw t

oo -T

-

=

a

n

/2

.

T

T

T /2

n

o

o

o

.

.

.

.

.

.

.

.


15/60

npT

npT

2

A

A

.

..

.

..

sin

o

Untuk n = 2, 4, 6, . (genap), an = 0; an hanya mempunyai nilai untuk n =1, 3, 5, .(ganjil).

sin

2 sin

.

..

.

..

.

..

=

=

..

.

..

.

..

.


16/60

..

.

pn

pn

T

T

o

.

.

.

.

pT

2

AT

A

n

.

.

(t)cos(

)

f


17/60

+

.

..

t

=

n

..

.

..

.

o

p

T

T

n

o =1,ganjilo

n

AT

2

A (n-1) / 2

(-1) cos( nw t)

o

.

+


18/60

=

p

T

n

o n=1,ganjil2/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier


19/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comPemahaman :

Pada fungsi yang memiliki simetri genap, bn = 0. Oleh karena itu sudut fasaharmonisa tanqn = bn/an = 0 yang berarti qn = 0o.

Simetri Ganjil. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri ganjil jika f(t)= -f(-t).Contoh fungsi yang memiliki simetri ganjil adalah fungsi sinus, sin(wt)= -sin(-w

t). Untukfungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan

[- ]

a

0

+

.

- -=-

w+ .

(

)

cos(

)

sin(

)

f

b

t

t

t


20/60

a

n

n

0

0

n

n

n=1

Kalau fungsi ini harus sama dengan

[a w+ w]

f

(t)= a

0

+

.

cos(

)

sin(

)

b

t

t

n

n

0

0


21/60

n

n

n=1

maka haruslah

[b sin( w )]

0

.

f

(t)=

.

0 dan 0

(5)t

a

0

=

=

a

n

n

n

n=1

CONTOH-2: Carilah deret Fourier dari bentuk gelombang

v(t)

T

persegi di samping ini. A

t


22/60

Penyelesaian:

-A

Bentuk gelombang ini memiliki simetri ganjil, amplitudoA, perioda To= T.

a = 0; a = 0;

o n

2

T /2

T

..

.

..

.

.

-.

.

.0 T.

A2AT /2 T

= (- cos( nw t) + cos( nw t) )

o

0o T /2

Tn w

o

A

2

=(1+ cos (np) - 2 cos( np))

npUntuk n ganjil cos(np)= -1 sedangkan untuk n genap cos(np) = 1. Dengan demikianmaka


23/60

A 4A

b =(1+1+ 2)= untuk n ganjil

n

pp 4A

sin(

t)dt

sin(

t)dt

b

A

+

=

n

n

n

o

o

T

/2

n

n

.

.

.

v(t)

sin(


24/60

)

t

=

n

o

p

A

n

(1+1- 2)= 0 untuk n genap n=1,ganjil

b

=

n

np

Pemahaman:

Pada bentuk gelombang dengan semetri ganjil, an = 0. Oleh karena itu sudut fasaharmonisa tanqn = bn/an = atau qn = 90o.

Simetri Setengah Gelombang. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri setengah

gelombang jika f(t)= -f(t-To/2). Fungsi dengan sifat ini tidak berubah bentuk dan nilainyajika diinversi kemudian digeser setengah perioda. Fungsi sinus(wt) misalnya, jika kita kitainversikan kemudian kita geser sebesar p akan kembali menjadi sinus(wt). Demikain pulahalnya dengan fungsi-fungsi cosinus, gelombang persegi, dan gelombang segitiga.


25/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com

- f (t - To /2) =-a0 + S[- an cos( nw0(t -p)) - bn sin( nw0(t -p)) ]n=1

nn

=-a0 + S[- (-1) an cos( nw0t) - (-1) bn sin( nw0t)]n=1

Kalau fungsi ini harus sama dengan

f (t) = a0 + S[an cos( nw0t) + bn sin( nw0t)]n=1

maka haruslah ao= 0dan n harus ganjil. Hal ini berarti bahwa fungsi ini hanya mempunyai

harmonisa ganjil saja.

Deret Fourier Bentuk Eksponensial

Deret Fourier dalam bentuk seperti (1) sering disebut sebagai bentuk sinus-cosinus.Bentuk ini dapat kita ubah kedalam cosinus seperti (2). Sekarang bentuk (2) akankita ubahke dalam bentuk eksponensial dengan memanfaatkan hubungan

ja+ - jacos a= ee.

2

Dengan menggunakan relasi ini maka (2) akan menjadi

..22 .

f (t) = a0 + .an + bn (cos( nw0t -qn ))

.

.

.

n=1

j(nw t-q ) - j(nw t-q )


26/60

0 n 0 n

.22 e + e .(6)

= a0 + S.an + bn.

2

n=1 .... .22 . .22 .

a + ba + b

nnj(nw t -q ) nn - j(nw t-q )

= a0 + S.e 0 n .+ S.e 0 n .

.2 ..2 .

n=1

n=1

...

.

Suku ketiga (6) adalah penjumlahan dari n = 1 sampai n =. Jika penjumlahan ini kitaubah mulai dari n = -1 sampai n = -, dengan penyesuaian an menjadi a-n , bn menjadi b-n ,dan qn menjadi q-n, maka menurut (3) perubahan ini berakibat

2

T0/2 2 T0/2

a=

.f (t) cos( -nw0t)dt =

.f (t) cos( nw0t)dt = an


27/60

-n

T0 -T0/2 T0 -T0/22 T0/2 2 T0/2

b=

.f (t) sin( -nw0t)dt =-

.f (t) sin( nw0t)dt =-b (7)

-n

T0-T0/2 T0 -T0/2b - b

-nn

tan q= = .

q =-q

-n-nn

aa

-nn

Dengan (7) ini maka (6) menjadi

.22 .

- .22 .

a+ ba + b

n nj(nw0t-qn ) n nj(nw0t -qn )

f (t) = S.e .+ S.e .(8)

.2 ..2 .

n=0n=-1

.


28/60

..

.

Suku pertama dari (8) merupakan penjumlahan yang kita mulai dari n = 0 untukmemasukkan a0 sebagai salah satu suku penjumlahan ini. Dengan cara ini maka (8)dapatditulis menjadi

4/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier


29/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com22nn bac+=+ .22 .+

a + b.nn - jqn.j(nw0t) j(nw0t)

f (t) = S.e .e = Scn e (9).2 .

n=-8n=-

.

.

Inilah bentuk eksponensial deret Fourier, dengan cn adalah koefisien Fourier yang mungkinberupa besaran kompleks.

- jq an - jb n

ne =(10)

22

22

a + b

nn

n 2dan cn =qn dengan(11)

c

=

.- b ..b .

-1 n


30/60

-1 n

qn = tan....jika an < 0; qn = tan ....jika an > 0.an ..an .

Jika an dan bn pada (3) kita masukkan ke (10) akan kita dapatkan

an - jb n 1 T0 /2 - jn wnt

cn ==

f (t) e dt(12)

2 T .-T /2

00

dan dengan (12) ini maka (9) menjadi

+ +

.1 T0/2 .

j(nw0t)- jn wotj(nw0t)

f (t) = Scn e = S..

.f (t) e dt ..e(13)

T -T0/2

n=- n=- .0.

Persamaan (11) menunjukkan bahwa 2|cn| adalah amplitudo dari harmonisa ke-n dan

sudutfasa harmonisa ke-n ini adalah cn. Persamaan (10) ataupun (12) dapat kita pandangsebagai pengubahan sinyal periodik f(t) menjadi suatu spektrum yang terdiri darispektrumamplitudo dan spektrum sudut fasa. Persamaan (9) ataupun (13) memberikan f(t) apabilakomposisi harmonisanya cn diketahui. Persamaan (12) menjadi cikal bakal transformasiFourier, sedangkan persamaan (13) adalah transformasi baliknya.


31/60

CONTOH-3: Carilah koefisien Fourier cn dari fungsi pada contoh-10.1.Penyelesaian :

T /2

- jn wot

1 T /2 A .e .

- jn wot

..T .-T /2 T .- jn w .

cn =

Aedt =

o

o .o .

-T /2

jn woT /2 - jn woT /2

A .e - e .2A

= .

.

.

.= sin (nw T /2)

o

nw Tj nw T

oo ..oo

Transformasi Fourier

Spektrum Kontinyu. Deret Fourier, yang koefisiennya diberikan oleh (12) hanyaberlaku untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodik seperti sinyal eksponensial dan sinyalanak tangga tidak dapat direpresentasikan dengan deret Fourier. Untuk menanganisinyalsinyaldemikian ini kita memerlukan transformasi Fourier dan konsep spektrum kontinyu.Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal periodik dengan perioda tak-hingga.


32/60

Jika diingat bahwa w0= 2p/T0 , maka (13) menjadi


33/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com

.

.

1

T0/2

- jn w

-

.

jn

w

0

t

.

t

f

(t)(t)f

dt

0

=

e

e

..

..

T


34/60

0

T0/2

n=-

(14)

1

T0/2

- jn w

-

.

..

..

jn

w

0

t

t

0

=

2

p

.

n=-

T0/2

f (t)

e

dt


35/60

.

e

0

Kita lihat sekarang apa yang terjadi jika perioda T0 diperbesar. Karena w0=2p/T0makajika T0 makin besar, w0 akan makin kecil. Beda frekuensi antara dua harmonisa yang

berturutan, yaitu

2p

Dw = (n +1)w- nw =w =

0 00

T

0

.

juga akan makin kecil yang berarti untuk suatu selang frekuensi tertentu jumlahharmonisasemakin banyak. Oleh karena itu jika perioda sinyal T0 diperbesar menuju maka spektrumsinyal menjadi spektrum kontinyu, Dw menjadi dw (pertambahan frekuensi infinitisimal),dan nw0 menjadi peubah kontinyu w. Penjumlahan pada (14) menjadi integral. Jadidenganmembuat T0 maka (14) menjadi

-- -

..

1

1

..

.

..

.


36/60

- jw

w

w

j

j

t

t

t

w=

(w)

.

(t)(t)f

f

dt

d

F

d

(15)=

e

e

e

p

p

2

2


37/60

dengan F(w) merupakan sebuah fungsi frekuensi yang baru, sedemikian rupa sehingga

- jwt

F (w)

.-

dan F(w) inilah transformasi Fourier dari f(t), yang ditulis dengan notasiF[ f (t)]= F (w)

Proses transformasi balik dapat kita lakukan melalui persamaan (15).

f (t) = F-1(w)

f (t)

dt (16)

=

e

CONTOH-4: Carilah transformasi Fourier dari bentuk

v(t)

gelombang pulsa di samping ini.

A

Penyelesaian :

-T/2 0

T/2

Bentuk gelombang ini adalah aperiodik yang hanya mempunyainilai antara -T/2 dan +T/2, sedangkan untuk t yang lain nilainya nol. Oleh karena ituintegrasi yang diminta oleh (16) cukup dilakukan antara -T/2dan +T/2 saja.

T /2

jwT /2 - jwT /2

- e

.

.


38/60

A

A

T /2

e

Ae

- jw

t

dt

=-

- jw

t

F

(w)

=

..

.

..

.

=

j

e

w

.

/2

j


39/60

2

.

-T /2

-T /2

sin( wT / 2)

= AT

wT /2

Kita bandingkan transformasi Fourier (16)

- jwt

F (w)

=

f (t)

e

dt

.-

dengan koefisien Fourier



40/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.coman - jb n 1 T0/2 - jn wnt

cn ==

f (t) e dt (17)

2 T .-T0 /2

0

Koefisien Fourier cn merupakan spektrum sinyal periodik dengan perioda T0 yangterdiri dari spektrum amplitudo |cn| dan spektrum sudut fasa cn, dan keduanyamerupakan spektrum garis (tidak kontinyu, memiliki nilai pada frekuensi-frekuensi tertentuyang diskrit). Sementara itu transformasi Fourier F(w) diperoleh dengan mengembangkanperioda sinyal menjadi tak-hingga guna mencakup sinyal aperiodik yang kita anggap sebagaisinyal periodik yang periodenya tak-hingga. Faktor 1/T0 pada cn dikeluarkan untukmemperoleh F(w) yang merupakan spektrum kontinyu, baik spektrum amplitudo |F(jw)

|maupun spektrum sudut fasa F(w).

CONTOH-5: Gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada contoh-4.

Penyelesaian :

Spektrum amplitudo sinyal aperiodik ini merupakan spektrum kontinyu |F(jw)|.

2/)2/sin()(T

TATww =wF|F(w)|0 wPemahaman:

Sinyal ini mempunyai simetri genap. Sudut fasa harmonisa adalah nol sehinggaspektrum sudut fasa tidak digambarkan. Perhatikan pula bahwa |F(w)| mempunyaispektrum di dua sisi, w positif maupun negatif; nilai nol terjadi jika sin(wT/2)=0yaitu pada w = 2kp/T (k = 1,2,3,); nilai maksimum terjadi pada w = 0, yaitu padawaktu nilai sin(wT/2)/(wT/2) =1.

-at

CONTOH-6: Carilah transformasi Fourier dari f(t)=[Ae ] u(t) dan gambarkanspektrum amplitudo dan fasanya.

Penyelesaian :

. .


41/60

-at - jwt -(a+ jw)t

F (w) = Ae u(t)e dt = Ae dt

- 0

-(a+ jw)t

A

=- Ae

= untuk a> 0

a+ jw

a+ jw

0

| A |

.F (w) =a2 +w2-1 w.q(w) =F( jw) =- tan

a


42/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com-90oa 0|F(w)wA/25q(w)

+90o

Pemahaman:

Untuk a < 0, tidak ada transformasi Fourier-nya karena integrasi menjadi tidakkonvergen.

Transformasi Balik

Pada transformasi Fourier transformasi balik sering dilakukan dengan mengaplikasikan

relasi formalnya yaitu persamaan (15). Hal ini dapat dimengerti karena aplikasiformula

tersebut relatif mudah dilakukan

CONTOH-7: Carilah f(t) dari

F (w) = 2pd (w)

Penyelesaian :

1 jwt 10+jwt

f (t) = 2pd (w) edw= - 2pd (w) edw

2p .- 2p .0

= .aa-+d(w)(1) dw= 1

Pemahaman :

Fungsi 2pd(w) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilai diw=0 sebesar 2p. Oleh karena itu ejwt juga hanya mempunyai nilai di w=0 sebesar e

j0t =1. Karena fungsi hanya mempunyai nilai di w=0 maka integral dari - sampai+ cukup dilakukan dari 0- sampai 0+, yaitu sedikit di bawah dan di atas w=0.Contoh ini menunjukkan bahwa transformasi Fourier dari sinyal searahberamplitudo 1 adalah 2pd(w).


F ( jw) = 2pd (w-a)

Penyelesaian :


43/60

a+

1 jwt 1 jwt

f (t) = 2pd (w-a) edw= - 2pd (w-a) edw

2p .- 2p .a

a+

jatjat

= e -d(w-a) dw= e

.a

Pemahaman :

Fungsi 2pd(w-a) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilaidi w=a sebesar 2p. Oleh karena itu ejwt juga hanya mempunyai nilai di w=a sebesar



44/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comejat. Karena fungsi hanya mempunyai nilai di w=a maka integral dari - sampai +cukup dilakukan dari a- sampai a+, yaitu sedikit di bawah dan di atas w=a.


F (w) =pA [u(w+a) - u(w-a)]

a

Penyelesaian :

.

1 pAjwt

f (t) =[u(w+a) - u(w-a)]edw

2p -aa

jwt

1 pAjwt Ae

[] edw

= 1 =

.

2p -a 2a jt

-a

jat - jatjat - jat

Ae - e Ae - e sin( at)

==

= A

2a jt atj2 at

Pemahaman:

Dalam soal ini F(w) mempunyai nilai pada selang -a


45/60

F(w)w+b-b 0ADari Transformasi Laplace ke Transformasi Fourier

Untuk beberapa sinyal, terdapat hubungan sederhana antara transformasi Fourier dantransformasi Laplace. Sebagaimana kita ketahui, transformasi Laplace didefinisikan melalui

(8.1) sebagaiF (s) = .0f (t)e-st dt (18)

dengan s = s + jw adalah peubah frekuensi kompleks. Batas bawah integrasi adalahnol,artinya fungsi f(t) haruslah kausal. Jika f(t) memenuhi persyaratan Dirichlet maka integrasitersebut di atas akan tetap konvergen jika s = 0, dan formulasi transformasi Laplace inimenjadi

- jwt

F (s) = f (t)e dt (19)

.

.0


46/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comSementara itu untuk sinyal kausal integrasi transformasi Fourier cukup dilakukandari nol,sehingga transformasi Fourier untuk sinyal kausal menjadi

- jwt

F (w) = f (t) e dt (20)

..0

Bentuk (20) sama benar dengan (19), sehingga kita dapat simpulkan bahwa

untuk sinyal f (t) kausal dan dapat di -integrasi berlaku

(21)F (w) = F (s) s=0

Persyaratan dapat di-integrasipada hubungan (21) dapat dipenuhi jika f(t)

mempunyai durasi yang terbatas atau cepat menurun menuju nol sehingga integrasi|f(t)|dari t=0 ke t= konvergen. Ini berarti bahwa pole-pole dari F(s) harus berada di sebelah kirisumbu imajiner. Jika persyaratan-persyaratan tersebut di atas dipenuhi, pencariantransformasi balik dari F(w) dapat pula dilakukan dengan metoda transformasi balik Laplace.

CONTOH-10: Dengan menggunakan metoda transformasi Laplace carilah transformasiFourier dari fungsi-fungsi berikut (anggap a, b > 0).

a). f (t) = Ae-atu(t)

1b). f 2(t) =d(t)

-at

c) f (t) = A[e sin bt]u(t)

3

Penyelesaian:

a). f (t) = Ae -atu(t) fungsi kausal dan dapat di -integrasi

1

F(s) = A pole p1 = -a (di kiri sumbu imag)s +a

1

F (w) =jw+a


47/60

b). f2(t) =d(t) fungsi kausal dan dapat di -integrasi

F (s) =1 F (w) =1-at

c). f (t) = A[e sin bt]u(t) fungsi kausal, dapat di -integrasi

3

A

F (s) = pole p = -a jb (di kiri sumbu im)(s +a)2 +b2Aa

F (w) ==22 222

( jw+a) +b a+b-w+ j2aw

10

CONTOH-11: Carilah f(t) dari F (w) =

( jw+ 3)( jw+ 4)

Penyelesaian :

Jika kita ganti jw dengan s kita dapatkan

10

F (s) =

(s + 3)( s + 4)

Pole dari fungsi ini adalah p1= -3 dan p2= -4, keduanya di sebelah kiri sumbuimajiner.



48/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com10 kk

F (s) == 1 + 2

(s + 3)( s + 4) s + 3 s + 410

10

k1 == 10 ; k =

=-10

2

s + 4 s + 3

s=-3 s=-4

10 10

.F (s) =-s + 3 s + 4Transformasi balik dari F(w) adalah :

-3t -4t

f (t) =[10 e -10 e ]u(t)

Sifat-Sifat Transformasi Fourier

Kelinieran. Seperti halnya transformasi Laplace, sifat utama transformasi Fourieradalah kelinieran.

Jika : F[f (t)]= F (w) dan F[f (t)]= F (w)

12

12

(22)maka : F[Af 1(t) + Bf 2(t)]= AF (w) + BF (w)

12

CONTOH-12: Carilah transformasi Fourier dari v(t) = cosbt.Penyelesaian:

Fungsi ini adalah non-kausal; oleh karena itu metoda transformasi Laplace tidakdapat di terapkan. Fungsi cosinus ini kita tuliskan dalam bentuk eksponensial.


49/60

jbt - jbt

..

F[cosbt]= F.e + e.= 1F[ejbt ]+ 1

F[e- jbt ]

22 2

..

..

.jwt .

Dari contoh-8 kita ketahui bahwa Fe 2pd (w-b)

..=

..

Jadi F[cosbt]= pd (w-b) + pd (w+b)

Diferensiasi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut

.df (t) .

F.= jwF (w) (23)

.

.dt .

Persamaan (15) menyatakan

1 jwt

f (t) = F(w) edw

.

2p -df (t) d .1 jwt .1 .djwt .


50/60

= ..F(w) edw.= ..(F(w) edw).dt dt .2p - .2p - .dt .

1 jwt

= jwF(w) edw

.

2p -8.df (t) .

FjwF (w)..

=

.dt .


51/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comIntegrasi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut:

.t .F (w)

Ff (x)dx +pF (0)d(w) (24)

..- .=jw

..

Suku kedua ruas kanan (24) merupakan komponen searah jika sekiranya ada. FaktorF(0)terkait dengan f(t); jika w diganti dengan nol akan kita dapatkan

F (0) = f (t)dt

.

.-

CONTOH-13: Carilah transformasi Fourier dari f(t)= Au(t).Penyelesaian:

Metoda transformasi Laplace tidak dapat diterapkan untuk fungsi anak tangga.Dari contoh (10.b) kita dapatkan bahwa F[d(t)]= 1 . Karena fungsi anak tanggaadalah integral dari fungsi impuls, kita dapat menerapkan hbungan (24) tersebut

diatas.

t 1

F[u(t)]= Fd(x)dx = +pd (w)

.

.- jw

Pembalikan. Pembalikan suatu fungsi f(t) adalah mengganti t dengan -t. Jika kita

membalikkan suatu fungsi, maka urutan kejadian dalam fungsi yang baru berlawanandengan urutan kejadian pada fungsi semula. Transformsi Fourier dari fungsi yangdibalikkansama dengan kebalikan dari transformasi Fourier fungsi semula. Secara formal halini dapatdituliskan sebagai

Jika F[ f (t)]= F (w) maka F[ f (-t)]= F (-w) (25)


52/60

Menurut (16)

- jwt

F[ f (-t)]= f (-t) e dt ; Misalkan - t =t

.

.

-

.-

jwt

F[ f (-t)]= F[ f (t)]= - f (t) edt

- jwt

= f (t) edt= F (-w)

.

.-

Sifat pembalikan ini dapat kita manfaatkan untuk mencari transformasi Fourier dari fungsisignum dan fungsi eksponensial dua sisi.

CONTOH-14: Carilah transformasi Fourier dari fungsi signum dan eksponensial duasisiberikut ini.

v(t)u(t)

v(t)

1e -atu(t)eu(-t)-a(-t)1

0

t

-u(-t)

-10 teksponensial dua sisi :signum : sgn(t)= u(t) - u(-t) e -a|t |= e -atu(t)+ e -a(-t) u(-t)


53/60



54/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comPenyelesaian :

1

Contoh-13 memberikan F[u(t)]=jw+pd(w) maka

2

F[sgn(t)]= F[u(t) - u(-t)]=jw

1

-at

Contoh-10.a memberikan F[eu(t)]= maka

a+ jw

-a|t| -at -a(-t)

F[e ]= F[eu(t) + eu(-t)]11 2a

=+ =

a+ jw a+ j(-w) a2 +w2

Komponen Nyata dan Imajiner dari F(.wwww). Pada umumnya transformasi Fourier darif(t), yaitu F(w), berupa fungsi kompleks yang dapat kita tuliskan sebagai

8

- jwt

F (w) = f (t) e dt = f (t) coswt dt - jf (t) sinwt dt

.

.- .- .-jqw

= A(w) + jB(w) = F (w) e

dengan

8

A(w) = f (t)cos wt dt ; B(w) =- f (t)sin wt dt(26)

.


55/60

.- .-22 -1.B(w) .

F (w) = A (w) + B (w); q(w) = tan ..(27)

..

A(w)

..

Jika f(t) fungsi nyata, maka dari (26) dan (27) dapat kita simpulkan bahwa

1.Komponen riil dari F(w) merupakan fungsi genap, karena A(-w)= A(w).2.Komponen imajiner F(w) merupakan fungsi ganjil, karena B(-w)=- B(w).3.|F(w)| merupakan fungsi genap, karena |F(-w)| = |F(w)|.4.

Sudut fasa q(w) merupakan fungsi ganjil, karena q(-w)=-q(w).5.Kesimpulan (1) dan (2) mengakibatkan : kebalikan F(w) adalah konjugat-nya, F(-w)=A(w) - jB(w)= F *(w).6.Kesimpulan (5) mengakibatkan : F(w) F(-w)= F(w) F *(w)=|F(w)|2.7.Jika f(t) fungsi genap, maka B(w) = 0, yang berarti F(w) riil.8.Jika f(t) fungsi ganjil, maka A(w) = 0, yang berarti F(w) imajiner.Kesimetrisan. Sifat ini dinyatakan secara umum sebagai berikut.

Jika F[ f (t)]= F (w) maka F[F (t)]= 2p f (-w)(28)

Sifat ini dapat diturunkan dari formulasi transformasi balik.

8

jwt- jwt

2p f (t) = F (w) edw 2p f (-t) = F (w) edw

.

.-8.-

- jwt

Jika t dan w dipertukarkan maka : 2p f (-w) = F (t) edw


56/60

.

.-


57/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comPergeseran Waktu. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.

- jwT

Jika F[ f (t)]= F (w) maka F[ f (t - T )]= e F (w) (29)

Sifat ini mudah diturunkan dari definisinya.

Pergeseran Frekuensi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.

- 1 -1 jbt

Jika F[F (w)]= f (t) maka F[F (w-b)]= ef (t) (30)

Sifat ini juga mudah diturunkan dari definisinya.

.

.

Penskalaan. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.

.w

1

Jika [ f (t)]= F (w) maka [ f (at )]= F

.

.

.

F

F

(31)| a |

a

Ringkasan

Tabel-1 berikut ini memuat pasangan transformasi Fourier sedangkan sifat-sifattransformasi Fourier termuat dalam Tabel-2.

Tabel-1. Pasangan transformasi Fourier.

Sinyal f(t) F(w)Impuls d(t) 1Sinyal searah (konstan) 1 2p d(w)


58/60

Fungsi anak tangga u(t) ( )1 + pd wjwSignum sgn(t) jw2Exponensial (kausal) ( )u(t)e-atwa + j1Eksponensial (dua sisi) |t|e-a222

+ waaEksponensial kompleks tje b )(2p d w - bCosinus cosbt [ )]()(p d w - b + d w + bSinus sinbt [ )]()(p d w - b - d w + b- j



59/60

DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comTabel-2. Sifat-sifat transformasi Fourier.

Sifat Kawasan Waktu Kawasan FrekuensiSinyal f(t) F(w)Kelinieran A f1(t) + B f2(t) AF1(w) + BF2(w)Diferensiasidt

tdf ( )jwF(w)Integrasi .-tx dx f ( ) (0) ( )( ) d w+ pwwFFjKebalikan f (-t) F(-w)Simetri F (t) 2p f (-w)Pergeseran waktu f (t - T) (w)- wT Fje

Pergeseran frekuensi e j b t f (t) F(w - b)Penskalaan |a| f (at)......waF


60/60

Documents

Deret Dan Transformasi Fourier