Deret Fourier Referensi: Mary L. Boas, Mathematical methods in the physical sciences, 3rd ed., John Wiley & Sons, New York, 2006, Bab 7 hal 340 389K. F. Riley, M. P. Hobson and S. J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering 3rd edition ,Cambridge University Press, 2006, bab 12 hal 415 - 432 DIC 225 Kuliah 3

Perluasan Interval Deret Fourier Di dalam suku-suku deret Fourier yang telah diuraikan di atas, sin nx, cos nx dan einx memiliki perioda 2. Daerah atau interval integral adalah dari - sampai . Integral ini dapat juga dihitung untuk interval (, 3), (3, 5) dst., asalkan periodanya 2.Jadi koefisien deret Fourier dapat dituliskan :

Selanjutnya bagaimana jika intervalnya dirubah dalam bentuk umum : 2. Untuk ini maka sin nx memiliki bentuk dan cos nx menjadi karena : Sehingga deret Fourier trigonometri

dengan koefisien Fourier:Selanjutnya deret Fourier kompleks berbentuk:dengan koefisien Fourier:

Contoh:Carilah uraian deret Fourier dari f(x) jika diberikan : Jawab:Kurva dari f(x) dapat digambarkan deret Fourier dalam bentuk kompleks :

dengan koefisien Fourier:

Akan diperoleh deret Fourier dari f(x) :Bentuk tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk trigonometri yaitu:

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil dalam Deret Fourier Perhitungan koefisien Fourier sering kali dipermudah jika fungsi f(x) yang diuraikan memiliki sifat istimewa tertentu, yakni genap atau ganjil terhadap sumbu x=0. Sebuah fungsi f(x) adalah : (a). Genap, jika berlaku : f(-x) = f(x),(b). Ganjil, jika berlaku : f(-x) = -f(x).Untuk semua x dalam daerah definisi f(x).

Contoh fungsi genap:y = cos x (cos (-x) = cos x )y = x2 [(-x)2 = x2)

Contoh fungsi ganjil :y = sin x (sin (-x) = -sin x ) y = x3 (-x)3 = -x3

Bentuk-bentuk fungsi ganjil dan fungsi genap tersebut dapat digunakan di dalam deret Fourier;Jika f(x) adalah fungsi genap, maka

Jika f(x) adalah fungsi ganjil, maka :

Contoh:Uraian deret Fourier sinus darif(x): Jawab:Karena yang ditanya adalah uraian deret Fourier sinus, maka f(x) dimodifikasimenjadi fungsi ganjil, karena itu grafiknya adalah :

Contoh:Uraian deret Fourier cosinus darif(x): Jawab:Karena yang ditanya adalah uraian deret Fourier cosinus, maka f(x) dimodifikasimenjadi fungsi genap, karena itu grafiknya adalah :

Bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil adalah jika :f(x) f(x)f(x) f(x)

Contoh fungsi yang bukan fungsi ganjil dan bukan fungsi genap adalah :y = ex + 5y = x3 x2 4

Jika f(x) bukan fungsi ganjil dan bukan fungsi genap maka koefisien-koefisien an, bn dan cn dicari dengan formula yang telah dibahas sebelumnya Contoh:Uraian deret Fourier darif(x):

Jawab:Deret Fourier biasa;dalam hal ini fungsi f(x) tidak dimodifikasi, f(x) dibuat seperti fungsi asal. Jadi kurvanya adalah Dengan deret kompleks :

Dalambentuk trigonometri dapat dituliskan :

SPEKTRUM FOURIER Uraian Fourier suatu fungsi periodik f(x), pada dasarnya adalah uraian fungsi f(x) ke dalam komponen-komponen harmoniknya, yakni berbagai frekuensinya. Sebagai contoh, dari topik gelombang kita ketahui bahwa sebuah dawai sepanjang L yang kedua ujungnya dijepit, bila dipetik, bergetar dengan semua frekuensi diam atau harmonik. Jika adalah frekuensi (sudut) harmonik dasarnya, maka frekuensi sudut harmonik ke-n, n diberikan oleh hubungan : n = n , n = 1,2,3,... , dengan , T adalah periode atau waktu getar harmonik dasar.Himpunan semua komponen frekuensi pn = np yang membentuk fungsi periodik f(x) ini disebut spektrum frekuensi atau spektrum fungsi f(x). Spektrum merupakan suatu pernyataan pilihan lain bagi fungsi f(x), karena darinya dapat dicirikan balik fungsi f(x).

Amplitudo HarmonikSpektrum frekuensi sering kali diperagakan secara grafik, dengan menggambarkan amplitudo masing-masing harmoniknya. Untuk deret Fourier real, amplitudo harmonik ke-n didefinisikan sebagai berikut. Tinjauan suku ke-n

Gunakan rumus jumlah cosinus :

dengan mendefinisikan = npx, dan cos = an dan sin = -bn atau tan = (-bn)/an, maka suku ke-n dapat ditulis dalam fungsi tunggal cosinus sebagai:

denganJadi, deret Fourier dapat diringkaskan menjadi An = amplitudo, n = fasa awal

Contoh:Gambarkan spektrum garis deret Fourier real fungsi periodik f(x) Jawab:Dari uraian sebelumnya telah ditunjukkan bahwa

Jadi, amplitudo masing-masing harmonik adalah sedangkan fase awalnya : adalah tetap. Sketsa spektrum garis fungsi periodik ini adalah