1Bab 3aTransformasi Fourier Waktu-DiskritKuliah PSD 01
(MFS4617)[email protected]@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier
Waktu Diskrit2Latar Belakang Sistem LTI dinyatakan dalam tanggapan
terhadap masukan cuplikan satuan (tanggap cuplikan satuan unit
impulse response h(n)): Bentuknya Konvolusi: sembarang sinyal bisa
dinyatakan dengan kombinasi linear cuplikan satuan yang terskala
dan yang tertunda ; Sembarang sinyal diskrit kombiasi sinyal dasar
tiap sinyal dasar penyajian sinyal baru punya kelebihan dan
kelemahan; Ada satu cara penyajian yang sangat bermanfaat berbasis
sinyal eksponensial kompleks ejnDTFT;[email protected] III.A.
Transformasi Fourier Waktu Diskrit3DTFT DTFT = Discrete-time
Fourier TransformTransformasi Fourier dalam Waktu-diskrit; Rumus
DTFT: Rumus IDTFT:[email protected] III.A. Transformasi Fourier Waktu
Diskrit4Contoh 3.1 & Solusinya Tentukan DTFT dari x(n) = 0.5n
u(n)[email protected] III.A. Transformasi Fourier Waktu
Diskrit5Contoh 3.2 & Solusinya Karena X(ejn) merupakan sebuah
fungsi nilai-kompleks perlu digambarkan bagian besaran dan
sudut-nya (bagian nyata dan imajiner-nya) terhadap w secara
terpisah untuk mendeskripsikan X(ejn) secara visual; Menggunakan
nilaiantara 0 hingga ;[email protected] III.A. Transformasi Fourier
Waktu Diskrit62 (dua) Sifat Penting Periodisitas: DTFT X(ejn)
bersifatperiodikdalamranah-; dengan periode2;hanya dibutuhkan satu
periode saja (;e[0,2>] atau[->,>]) untuk analisa:
Simetris: untuk nilai-nyata x(n), X(ejn) bersifatsimetrikkonjugat:
Ataudituliskan:[email protected] III.A. Transformasi Fourier Waktu
Diskrit72 (dua) Sifat Penting Implikasi Simetrik untuk menggambar
X(ejn) hanya perlu diperhatikan setengah periode-nya saja secara
umum periode ini adalahe [0,] Contoh 3.3: untuk persamaan x(n) =
0.5n u(n)[email protected] III.A. Transformasi Fourier Waktu
Diskrit8Solusi Contoh 3.3w = [0:1:500]*pi/500;% [0, pi] axis
divided into 501 points.X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) -
0.5*ones(1,501));magX = abs(X); angX = angle(X);realX = real(X);
imagX = imag(X);% --subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX);
gridxlabel('frequency in pi units'); title('Magnitude Part');
ylabel('Magnitude')% --subplot(2,2,3); plot(w/pi,angX);
gridxlabel('frequency in pi units'); title('Angle Part');
ylabel('Radians')% --subplot(2,2,2); plot(w/pi,realX);
gridxlabel('frequency in pi units'); title('Real Part');
ylabel('Real')% --subplot(2,2,4); plot(w/pi,imagX);
gridxlabel('frequency in pi units'); title('Imaginary Part');
ylabel('Imaginary')[email protected] III.A. Transformasi Fourier Waktu
Diskrit9Solusi Contoh 3.30 0.2 0.4 0.6 0.8 10.511.52frequency in pi
unitsMagnitude PartMagnitude0 0.2 0.4 0.6 0.8
1-0.8-0.6-0.4-0.20frequency in pi unitsAngle PartRadians0 0.2 0.4
0.6 0.8 10.511.52frequency in pi unitsReal PartReal0 0.2 0.4 0.6
0.8 1-0.8-0.6-0.4-0.20frequency in pi unitsImaginary
[email protected] III.A. Transformasi Fourier Waktu
Diskrit10Komputasi Numerik DTFT Misalkan x(n) memiliki N cuplikan
(data) antara n1 E n En2 (tidak perlu dalam jangkauan [0,N-1]) dan
akan dievaluasi X(ejn) pada: yang panjangnya (M+1) antara [0,t]
sehingga persamaan (3.1) dituliskan: Jika {x(nl)} dan {X(ejn)}
disusun dalam vektor kolom masing-masing x dan X,
maka:[email protected] III.A. Transformasi Fourier Waktu
Diskrit11Komputasi Numerik DTFT Dengan W adalah matriks (M+1) x N:
Jika kita susun {k} dan {nl} masing-masing sebagai vektor baris
kdan n, maka: Di MATLAB, disajikan sebagaivetkor baris, sehingga
persamaan (3.3)menjadi: Bentuk nTk merupakan matriks N x (M+1).
Sekarang persamaan (3.4) dapat dituliskan dalam
MATLAB:[email protected] III.A. Transformasi Fourier Waktu
Diskrit12Contoh 3.4 & Solusinya Hitunglah DTFT dari deret di
contoh 3.2 secara numerik dengan MATLAB! Solusinya:n = -1:3; x =
1:5;% sequence x(n)k = 0:500; w = (pi/500)*k;% [0, pi] axis divided
into 501 points.X = x * (exp(-j*pi/500)) .^ (n'*k); % DTFT using
matrix-vector productmagX = abs(X); angX = angle(X);realX =
real(X); imagX = imag(X);subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX);
gridxlabel('frequency in pi units'); title('Magnitude Part');
ylabel('Magnitude')subplot(2,2,3); plot(w/pi,angX);
gridxlabel('frequency in pi units'); title('Angle Part');
ylabel('Radians')subplot(2,2,2); plot(w/pi,realX);
gridxlabel('frequency in pi units'); title('Real Part');
ylabel('Real')subplot(2,2,4); plot(w/pi,imagX);
gridxlabel('frequency in pi units'); title('Imaginary
Part');ylabel('Imaginary')[email protected] III.A. Transformasi
Fourier Waktu Diskrit13Contoh 3.4 & Solusinya0 0.2 0.4 0.6 0.8
1051015frequency in pi unitsMagnitude PartMagnitude0 0.2 0.4 0.6
0.8 1-4-2024frequency in pi unitsAngle PartRadians0 0.2 0.4 0.6 0.8
1-5051015frequency in pi unitsReal PartReal0 0.2 0.4 0.6 0.8
1-10-505frequency in pi unitsImaginary [email protected]
III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit14Contoh 3.5 &
Solusinya Diketahui persamaan x(n)=(0.9 e(j/3))n.untuk 0n10.
Tentukan X(ejn) dan periksalah periodisitas-nya! Solusi: Karena
merupakan deret bilangan kompleks hanya memenuhi sifat
periodisitas; Hanya untuk satu periode saja (hingga 2>); Akan
digambarkan sebanyak 401 titik antara dua periode [- 2>, 2>]
untuk melihat periodisitas-nya;[email protected] III.A. Transformasi
Fourier Waktu Diskrit15Contoh 3.5 & Solusinyasubplot(1,1,1)n =
0:10; x = (0.9*exp(j*pi/3)).^n;k = -200:200; w = (pi/100)*k;X = x *
(exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);magX = abs(X); angX
=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);gridaxis([-2,2,0,8])xlabel('frequency
in units of pi'); ylabel('|X|')title('Magnitude
Part')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);gridaxis([-2,2,-1,1]);xlabel('frequency
in units of pi');ylabel('radians/pi');title('Angle
Part');[email protected] III.A. Transformasi Fourier Waktu
Diskrit16Contoh 3.5 & Solusinya-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
202468frequency in units of pi|X|Magnitude Part-2 -1.5 -1 -0.5 0
0.5 1 1.5 2-1-0.500.51frequency in units of piradians/piAngle
[email protected] III.A. Transformasi Fourier Waktu
Diskrit17Contoh 3.6 & Solusinya Diketahui persamaan
x(n)=(-0.9)nuntuk-5EnE5. Periksalah sifat simetrik konjugat pada
DTFT-nya! Solusi: Terlihat bahwa persamaan merupakan bilangan nyata
(real) sehingga ada sifat simetrik [email protected]
III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit18Contoh 3.6 &
Solusinyasubplot(1,1,1)n = -5:5; x = (-0.9).^n;k = -200:200; w =
(pi/100)*k;X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);magX = abs(X); angX
=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);gridaxis([-2,2,0,15])xlabel('frequency
in units of pi'); ylabel('|X|')title('Magnitude
Part')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX)/pi;gridaxis([-2,2,-1,1])xlabel('frequency
in units of pi');ylabel('radians/pi')title('Angle
Part')[email protected] III.A. Transformasi Fourier Waktu
Diskrit19Contoh 3.6 & Solusinya-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
2051015frequency in units of pi|X|Magnitude Part-2 -1.5 -1 -0.5 0
0.5 1 1.5 2-3-2-10123frequency in units of piradians/piAngle
[email protected] III.A. Transformasi Fourier Waktu
Diskrit20Bersambung Berikutnya... 3B: Sifat-sifat Transformasi
Fourier Waktu Diskrit (TFWD)!1Kuliah PSD 01
(MFS4617)[email protected] Sifat-sifat Transformasi Fourier Waktu
Diskrit (TFWD)[email protected] III.B. Sifat2 TFWD 2Linearitas1.
Linearity (Linearitas): TransformasiFourier
waktu-diskritmerupakansuatubentuk
transformasiyanglinear,halinidicirikan melalui persamaan
berikut:[email protected] III.B. Sifat2 TFWD 3Penggeseran waktu dan
frekuensi2. Time Shifting (Pergeseran Waktu): suatu perpindahan
dalam ranah waktu ditujukan untuk perpindahan fase, hal ini
dinyatakan dengan persamaan berikut:3. Frequency shifting
(Pergeseran Frekuensi):Perkalian dengan sebuah eksponensial
kompleks merupakan suatu penggeseran dalam ranah
frekuensi:[email protected] III.B. Sifat2 TFWD 44. Conjugation
(konjugasi): Konjugasi dalam ranah waktu merupakan lipatan dan
konjugasi dalam ranah frekuensi:5. Folding (pelipatan): Lipatan
dalam ranah waktu merupakan lipatan dalam ranah frekuensiKonjugasi
dan [email protected] III.B. Sifat2 TFWD 56. Simetri dalam
deret nyata:Implikasi:Jikaurutanx(n)adalahrealdangenap,
hanyasatuplot[0,t] yangdapatdigunakanuntuk penyajian
lengkap.Simetri dalam deret [email protected] III.B. Sifat2 TFWD
67. Convolution(Konvolusi): ini merupakan salah satu dari
sifat-sifat yang sangat berguna dalam analisis sistem yang sesuai
dalamranahfrekuensi8. Multiplication(Perkalian):
inimerupakansuatusifatkonvolusi rangkapduaConvolution (konvolusi)
seperti operasi diatas disebut dengankonvolusiperiodik
(periodicconvolution).Konvolusi vs. [email protected] III.B.
Sifat2 TFWD 7Energi sinyal9. Energy (energi): Energi dari sinyal
x(n) dituliskan dengan persamaan berikut:[email protected] III.B.
Sifat2 TFWD 8HalinijugadikenalsebagaiTeoremaParseval.Dari
(3.13)spektrumdensitasenergidarix(n)didefinisikan sebagai
berikutSelanjutnyaenergidarix(n)dalampitaataujangkauan[e1,e2]
dinyatakan denganCatatan Sifat-sifat [email protected] III.B.
Sifat2 TFWD 9Contoh soal 3.7 Dalam contoh ini akan dibuktikan sifat
linearitas menggunakan sinyal/deret real durasi-terbatas x1(n) dan
x2(n), yang merupakan dua deret acak yang didistribusikan antara
[0,1] untuk jangkauan 0 s n s 10. Selanjutnya kita dapat
menggunakan prosedur TFWD sebagai berikut(Matlab):[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD 10x1 = rand(1,11); x2 = rand(1,11); n =
0:10;alpha = 2; beta = 3;k = 0:500; w = (pi/500)*k;X1 = x1 *
(exp(-j*pi/500)).^(n'*k);% DTFT of x1X2 = x2 *
(exp(-j*pi/500)).^(n'*k);% DTFT of x2x = alpha*x1 + beta*x2;%
Linear combination of x1 & x2X = x * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k);%
DTFT of x% verificationX_check = alpha*X1 + beta*X2;% Linear
Combination of X1 & X2error = max(abs(X-X_check))%
Differenceerror =7.9441e-015Contoh soal 3.7 Solusi
[email protected] III.B. Sifat2 TFWD 11Contoh soal 3.8 x(n)
merupakan deret acak yang didistribusikan antara [0,1] untuk
jangkauan 0 s n s 10 dan y(n) = x(n 2). Selanjutnya kita dapat
membuktikan contoh sifat penggeseran sebagai [email protected]
III.B. Sifat2 TFWD 12Contoh soal 3.8 Solusi Matlabx = rand(1,11); n
= 0:10;k = 0:500; w = (pi/500)*k;X = x * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k);%
DTFT of x% signal shifted by two samplesy = x; m = n+2;Y = y *
(exp(-j*pi/500)).^(m'*k);% DTFT of y% verificationY_check =
(exp(-j*2).^w).*X; % multiplication by exp(-j2w)error =
max(abs(Y-Y_check))% Differenceerror [email protected]
III.B. Sifat2 TFWD 13Contoh soal 3.9 Untuk membuktikan sifat
penggeseran frekuensi kita akan menggunakan pendekatan grafik
(visualisasi)[email protected] III.B. Sifat2 TFWD 14Contoh soal 3.9
Solusi Matlabn = 0:100; x = cos(pi*n/2);k = -100:100; w =
(pi/100)*k;% frequency between -pi and +piX = x *
(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);% DTFT of x%y = exp(j*pi*n/4).*x;% signal
multiplied by exp(j*pi*n/4)Y = y * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k);% DTFT
of y% Graphical verificationsubplot(1,1,1)subplot(2,2,1);
plot(w/pi,abs(X)); grid; axis([-1,1,0,60])xlabel('frequency in pi
units'); ylabel('|X|')title('Magnitude of X')subplot(2,2,2);
plot(w/pi,angle(X)/pi); grid; axis([-1,1,-1,1])xlabel('frequency in
pi units'); ylabel('radiands/pi')title('Angle of X')subplot(2,2,3);
plot(w/pi,abs(Y)); grid; axis([-1,1,0,60])xlabel('frequency in pi
units'); ylabel('|Y|')title('Magnitude of Y')subplot(2,2,4);
plot(w/pi,angle(Y)/pi); grid; axis([-1,1,-1,1])xlabel('frequency in
pi units'); ylabel('radians/pi')title('Angle of Y')[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD 15-1 -0.5 0 0.5 10102030405060frequency in pi
units|X|Magnitude of X-1 -0.5 0 0.5 1-1-0.500.51frequency in pi
unitsradiands/piAngle of X-1 -0.5 0 0.5 10102030405060frequency in
pi units|Y|Magnitude of Y-1 -0.5 0 0.5 1-1-0.500.51frequency in pi
unitsradians/piAngle of [email protected] III.B. Sifat2 TFWD
16Contoh soal 3.10 Membuktikan sifat konjugasi diketahui sinyal
x(n) merupakan sinyal acak bilangan kompleks untuk 5 s n s 10 yang
secara umum didistribusikan antara [0,1]. [email protected] III.B.
Sifat2 TFWD 17Contoh soal 3.10 Solusi Matlabn = -5:10; x =
rand(1,length(n)) + j*rand(1,length(n));k = -100:100; w =
(pi/100)*k;% frequency between -pi and +piX = x *
(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);% DTFT of x% conjugation propertyy =
conj(x); % signal conjugationY = y * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k);%
DTFT of y% verificationY_check = conj(fliplr(X)); %
conj(X(-w))error = max(abs(Y-Y_check))% Differenceerror
[email protected] III.B. Sifat2 TFWD 18Contoh soal 3.11
Untuk membuktikan sifat pelipatan, diketahui sinyal x(n) merupakan
sinyal acak untuk 5 s n s 10 yang secara umum didistribusikan
antara [0,1][email protected] III.B. Sifat2 TFWD 19Contoh soal 3.11
Solusi Matlabn = -5:10; x = rand(1,length(n));k = -100:100; w =
(pi/100)*k;% frequency between -pi and +piX = x *
(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);% DTFT of x% folding propertyy =
fliplr(x); m = -fliplr(n); % signal foldingY = y *
(exp(-j*pi/100)).^(m'*k);% DTFT of y% verificationY_check =
fliplr(X); % X(-w)error = max(abs(Y-Y_check))% Differenceerror
[email protected] III.B. Sifat2 TFWD 20 Dalam masalah ini
akan dibuktikan sifat simetri dari sinyal real kemudian menggunakan
fungsi evenodd.m (pada Bab 2), dapat dihitung bagian genap dan
ganjil-nya, kemudian dievaluasi TFWD-nyaContoh soal
[email protected] III.B. Sifat2 TFWD 21Contoh soal 3.12 Solusi
Matlabn = -5:10; x = sin(pi*n/2);k = -100:100; w = (pi/100)*k;%
frequency between -pi and +piX = x * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k);%
DTFT of x% signal decomposition[xe,xo,m] = evenodd(x,n);% even and
odd partsXE = xe * (exp(-j*pi/100)).^(m'*k);% DTFT of xeXO = xo *
(exp(-j*pi/100)).^(m'*k);% DTFT of xo% verificationXR = real(X);%
real part of Xerror1 = max(abs(XE-XR)) % DifferenceXI = imag(X);%
imag part of Xerror2 = max(abs(XO-j*XI)) %
[email protected] III.B. Sifat2 TFWD 22Contoh soal 3.12
Solusi Matlab% graphical verificationsubplot(1,1,1)subplot(2,2,1);
plot(w/pi,XR); grid; axis([-1,1,-2,2])xlabel('frequency in pi
units'); ylabel('Re(X)');title('Real part of X')subplot(2,2,2);
plot(w/pi,XI); grid; axis([-1,1,-10,10])xlabel('frequency in pi
units'); ylabel('Im(X)');title('Imaginary part of
X')subplot(2,2,3); plot(w/pi,real(XE)); grid;
axis([-1,1,-2,2])xlabel('frequency in pi units');
ylabel('XE');title('Transform of even part')subplot(2,2,4);
plot(w/pi,imag(XO)); grid; axis([-1,1,-10,10])xlabel('frequency in
pi units'); ylabel('XO');title('Transform of odd
part')[email protected] III.B. Sifat2 TFWD 23-1 -0.5 0 0.5
1-2-1012frequency in pi unitsRe(X)Real part of X-1 -0.5 0 0.5
1-10-50510frequency in pi unitsIm(X)Imaginary part of X-1 -0.5 0
0.5 1-2-1012frequency in pi unitsXETransform of even part-1 -0.5 0
0.5 1-10-50510frequency in pi unitsXOTransform of odd
[email protected] III.B. Sifat2 TFWD 24Bersambung Berikutnya...
3C: Penyajian sistem LTI dalam Ranah-Frekuensi!13C Penyajian Sistem
LTI dalam Ranah FrekuensiKuliah PSD 01
(MFS4617)[email protected]@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI
dalam Ranah Frekuensi2Tanggap Eksponensial Kompleks
x(n)=ejonmerupakan suatu masukan terhadap sistem LTI yang
dinyatakan dengan tanggap impuls h(n)[email protected] III.C.
Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi3Definisi-1: Tanggap
Frekuensi TFWD dari suatu tanggap impuls disebut tanggap frekuensi
(Fungsi Alih) dari suatu sistem LTI dan dinyatakan dengan persamaan
Dengan demikian persamaan (3.15) dapat dituliskan sebagai n j n je
n h e He e) ( ) ([email protected] III.C. Penyajian Sistem LTI dalam
Ranah Frekuensi4Definisi-1: Tanggap Frekuensi Hasil selanjutnya
dapat diperluas dengan kombinasi linear antar eksponensial kompleks
menggunakan linearitas sistem LTI PadaumumnyatanggapfrekuensiH(ej)
adalahsuatu fungsikompleksdarie.
Magnitude|H(ej)|dariH(ej)disebutsebagaifungsitanggapmagnitude(ataugain)dan
sudut ZH(ej) disebut fungsi tanggap [email protected] III.C.
Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi5Tanggap thd Deret
Sinusoidal x(n)=A.cos(0n+0) sebagai masukan ke sistem LTI h(n).
Maka dari persamaan (3.17) dapat ditunjukkan bahwa tanggap y(n)
merupakan sinusoid lain dari frekuensi ;0yang sama, dengan
amplitudo yang dikuatkan |H(ej)|sebesar dan fase yang digeser
sebesar ZH(ej),[email protected] III.C. Penyajian Sistem LTI
dalam Ranah Frekuensi6Tanggap thd Deret Sinusoidal Tanggap ini
(persamaan 3.18) disebut dengan Tanggap Kondisi-Tetap (Steady
State) dan dinyatakan dengan yss(n).Persamaan tersebut dapat
diperluas menjadi sebuah kombinasi linear deret
sinusoidal:[email protected] III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah
Frekuensi7Tanggap thd Sembarang Deret Persamaan 3.17 dapat
digeneralisasi ke bentuk deret yang dapat secara
absolut-dijumlahkan (absolute summable).Jika X(ejn)=F[x(n)] dan
Y(ejn)=F[y(n)], maka dengan menggunakan Sifat konvolusi diperoleh
Dengan demikian, sebuah sistem LTI dapat dinyatakan dalam ranah
frekuensi [email protected] III.C. Penyajian Sistem LTI dalam
Ranah Frekuensi8Contoh Soal 3.13 Tentukan tanggap frekuensi H(ej)
dari suatu sistem yang dicirikan dengan h(n)=(0.9)nu(n). Gambarkan
besaran dan tanggap [email protected] III.C. Penyajian Sistem
LTI dalam Ranah Frekuensi9Contoh Soal 3.13 - [email protected]
III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi10Contoh Soal 3.13
- Solusi Untuk menggambarkan tanggap ini, dapat diimplementasikan
fungsi |H(ej)| dan ZH(ej) atau tanggap frekuensi H(ej),kemudian
melakukan proses perhitungan besaran dan fase-nya, berikut
[email protected] III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah
Frekuensi11Contoh Soal 3.13 - Solusiw = [0:1:500]*pi/500;% [0, pi]
axis divided into 501pts.X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) -
0.9*ones(1,501));magX = abs(X); angX = angle(X);subplot(2,1,1);
plot(w/pi,magX); grid; axis([0,1,0,10])xlabel('frequency in pi
units'); ylabel('|H|');title('Magnitude Response');subplot(2,1,2);
plot(w/pi,angX/pi); gridxlabel('frequency in pi units');
ylabel('Phase in pi Radians');title('Phase
Response');[email protected] III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah
Frekuensi12Contoh Soal 3.13 Visualisasi Matlab0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 10246810frequency in pi units|H|Magnitude Response0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4-0.3-0.2-0.10frequency in
pi unitsPhaseinpiRadiansPhase [email protected] III.C.
Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi13Contoh Soal 3.14
Misalkan masukan ke sistem pada contoh 3.13 adalah 0.1u(n),
tentukan tanggap kondisi-tetap (steady-state) yss(n)[email protected]
III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi14Contoh Soal 3.14
- Solusi Masukan bukan deret yang secara absolut-dapat-dijumlahkan
TFWD tidak terlalu bermanfaat! Tapi bisa dipakai untuk menghitung
tanggap kondisi-tetap (steady-state response)! Dalam kondisi tetap,
untuk n U, masukan merupakan konstanta (atau sebuah sinusoidal
dengan ;0= V0= 0), dengan demikian keluarannya adalahyss(n) = 0.1 x
H(ej0) = 0.1 x 10 = 1 Dengan penguatan sistem pada ;=0 (penguatan
DC) adalah H(ej)=10 (dari gambar contoh sebelumnya)[email protected]
III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi15Fungsi Tanggap
Frekuensi dari Persamaan Beda Jika sebuah Sistem LTI dinyatakan
dengan persamaan beda maka untuk mengevaluasi tanggap frekuensi
dari pers 3.16, dibutuhkan tanggap impuls h(n). Namun dengan pers
3.17 dapat dengan mudah diperoleh H(ej) Jika x(n)=ejn, maka y(n)
harus , substitusikan ke pers 3.20 [email protected] III.C.
Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi16Fungsi Tanggap
Frekuensi dari Persamaan [email protected] III.C. Penyajian Sistem
LTI dalam Ranah Frekuensi17Contoh Soal 3.15 Sebuah sistem LTI
dinyatakan dengan persamaan beda berikuty(n) = 0.8y(n-1) + x(n)1.
Tentukan H(ej)2. Hitung dan gambarkan tanggap kondisi-tetap yss(n)
untuk x(n)=cos(0.05tn)u(n)[email protected] III.C. Penyajian Sistem
LTI dalam Ranah Frekuensi18Contoh Soal 3.15 - Solusi Tuliskan
kembali persamaan beda menjadiy(n) 0.8y(n-1) = x(n)1. Menggunakan
pers 3.21 diperoleh2. Untuk kondisi-tetap, masukannya adalah
x(n)=cos(0.05tn) dengan frekuensi e0=0.05tdan u0=0. Tanggap
sistemnya adalah [email protected] III.C. Penyajian Sistem LTI dalam
Ranah Frekuensi19Contoh Soal 3.15 Solusi Matlabsubplot(1,1,1)b = 1;
a = [1,-0.8];n=[0:100];x = cos(0.05*pi*n);y =
filter(b,a,x);subplot(2,1,1); stem(n,x);xlabel('n');
ylabel('x(n)'); title('Input sequence')subplot(2,1,2);
stem(n,y);xlabel('n'); ylabel('y(n)'); title('Output
sequence')[email protected] III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah
Frekuensi20Contoh Soal 3.15 Visualisasi Matlab0 10 20 30 40 50 60
70 80 90 100-1-0.500.51nx(n)Input sequence0 10 20 30 40 50 60 70 80
90 100-505ny(n)[email protected] III.C.
Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi21Asumsi vs. Kenyataan
Contoh 3.15 persamaan beda orde pertama (1storder) dengan mudah
dapat diimplementasikan dengan 3.22 menggunakan Matlab;
Kenyataannya orde persamaan lebih tinggi perlu prosedur yang
efektif atau singkat untuk implementasi 3.21; Gunakan perkalian
vektor matriks sederhana Jika kita evaluasi H(ej) pada frekuensi
k=0,1,,K yang sama jaraknya dari [0,t], [email protected] III.C.
Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi22Asumsi vs. Kenyataan
Jika {bm}, {al} (dengan a0=1), {m=0,..,M}, {l=0,..,N} dan
{ek}merupakan larik (atau vektor baris), maka pembilang dan
penyebut pada 3.23 [email protected] III.C. Penyajian Sistem
LTI dalam Ranah Frekuensi23Asumsi vs. Kenyataan Dengan demikian,
larik H(ej) pada 3.23 dapat dihitung menggunakan operasi ./ di
dalam [email protected] III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah
Frekuensi24Contoh Soal 3.15 Penapis lolos-rendah orde-3 dituliskan
sebagai berikut Gambarkan tanggap besaran dan fase dari penapis ini
dan verifikasi-lah bahwa persamaan beda tersebut merupakan penapis
[email protected] III.C. Penyajian Sistem LTI dalam
Ranah Frekuensi25Contoh Soal 3.15 - Solusib = [0.0181,0.0543,
0.0543,0.0181];a = [1.0000, -1.7600, 1.1829, -0.2781];m =
0:length(b)-1; l = 0:length(a)-1;K = 500; k = 1:1:K;w = pi*k/K;%
[0, pi] axis divided into 501 points.num = b * exp(-j*m'*w); %
Numerator calculationsden = a * exp(-j*l'*w); % Denominator
calculationsH = num ./ den;magH = abs(H); angH =
angle(H);[email protected] III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah
Frekuensi26Contoh Soal 3.15 - Solusisubplot(1,1,1);subplot(2,1,1);
plot(w/pi,magH);grid; axis([0,1,0,1])xlabel('frequency in pi
units'); ylabel('|H|');title('Magnitude Response');subplot(2,1,2);
plot(w/pi,angH/pi); gridxlabel('frequency in pi units');
ylabel('Phase in pi Radians');title('Phase
Response');[email protected] III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah
Frekuensi27Contoh Soal 3.15 Visualisasi Matlab0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 100.20.40.60.81frequency in pi units|H|Magnitude
Response0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1-0.500.51frequency
in pi unitsPhaseinpiRadiansPhase ResponseCiri-ciri
[email protected] III.C. Penyajian Sistem LTI
dalam Ranah Frekuensi28Bersambung Berikutnya 3C: Pencuplikan dan
Rekonstruksi Sinyal [email protected]@ugm.ac.id 13D
Pencuplikan & Rekonstruksi Sinyal AnalogKuliah PSD 01
(MFS4617)[email protected]@ugm.ac.id III.D. Pencuplikan dan
Rekonstruksi Sinyal Analog2Pendahuluan Dalam berbagai aplikasi
misalnya dunia komunikasidigital sinyal analog dikonversi ke sinyal
diskritmenggunakan pencuplikan dan operasi kuantisasi(Konversi
Analog ke Digital atau ADC). Sinyal diskrit ini diolah oleh
Prosesor Sinyal Digital dansinyal yang diproses dikonversi kembali
ke sinyal analog menggunakan operasi rekonstruksi (Konversi Digital
keAnalog atau DAC). Menggunakan Analisa Fourier, kita dapat
menjelaskan operasi pencuplikan dari sudut pandang ranah-frekuensi,
analisa efek dan melakukan operasi rekonstruksi yang
[email protected] III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal
Analog3Pencuplikan xa(t) merupakan sinyal analog. Transformasi
Fourier Waktu-Kontinyu diberikan oleh persamaan sebagai berikut:
Dimana O adalah frekuensi analog dalam radian/detik. Kebalikan dari
Tranformasi Fourier Waktu Kontinyu diberikan denganpersamaan
berikut:[email protected]@ugm.ac.id [email protected] III.D.
Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog4 Sekarang kita cuplik
xa(t) pada pencuplikan tersendiri Interval Tsdetik untuk memperoleh
sinyal waktu diskrit x(n): Transformasi Fourier Waktu Diskrit
X(ejn)dari x(n)merupakan jumlah yang dapat dihitung dari
skala-amplitudo, skala-frekuensi dan versi terjemahan dari
Transformasi Fourier Xa(jO)[email protected] III.D.
Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog5Pencuplikan Persamaan
3.26 tersebut dikenal dengan Persamaan Aliasing. Frekuensi analog
dan digital dihubungkanlewat Ts. Frekuensi Pencuplikan diberikan
oleh persamaan berikut:[email protected] III.D. Pencuplikan dan
Rekonstruksi Sinyal [email protected]@ugm.ac.id
[email protected] III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal
[email protected] III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal
Analog8Definisi 2: Sinyal Pita-Terbatas Suatu sinyal memiliki
Pita-Terbatas jika terdapat frekuensi Radian terbatas
O0sedemikianhingga Xa(jO) adalah 0 untuk |O| > O0. Frekuensi
F0=O0/2t disebut lebarpita sinyal dalam Hz. Merujuk gambar 3.10
maka jika t > O0Tsatau Fs/2 > F0maka bentuk persamaannya
adalah sebagaiberikut:[email protected] III.D. Pencuplikan dan
Rekonstruksi Sinyal Analog9Teorema-3: Prinsip Pencuplikan Suatu
sinyal pita-terbatas xa(t) dengan lebar pita F0dapatdirekonstruksi
dari nilai cuplikannya x(n) = xa(nTs), jikapencuplikan frekuensi
Fs= 1/Tslebih besar daripada duakali lebar pita F0dari xa(t).Fs
> 2Fo Sebaliknya aliasing akan menghasilkan x(n). Laju
pencuplikan 2F0untuk suatu sinyal analog pita-terbatasdisebut Laju
[email protected]@ugm.ac.id [email protected] III.D.
Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog10Implementasi MATLAB:
Pencuplikan Tidak mungkin menganalisa sinyal analog dengan MATLAB
kecuali menggunakan Toolbox Symbolic proses lama; Jika kita
mencuplik xa(t) dengan grid yang baik yang memiliki kenaikan waktu
yang cukup kecil sedemikian hingga menghasilkan plot yang halus dan
waktu maksimum yg cukup besar untuk bisa menampilkan semua data,
maka dapat dilakukan analisa pendekatan. Misalkan At sebagai
interval grid sedemikian hinggaAt
