29
BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA II-1 BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA 2.1. Transformasi Fourier Transformasi fourier adalah hubungan matematik antara representasi sinyal dalam domain waktu dengan representasi sinyal dalam domain frekwensi, hubungan tersebut secara matematis bisa merubah hasil suatu domain ke dalam domain lain [Smith,1999]. Secara matematik transformasi fourier merupakan sejumlah eksponensial kompleks dari berbagai magnitudo,frekwensi, dan phase. [Image Processing Toolbox User's Guide, The MathWork,Inc.1984-2004]. 2.1.1. Amplitudo,Phase, dan Frekwensi Terdapat bermacam teknik mepresentasikan sebuah fenomena. Teknik- teknik tersebut dipakai untuk mempermudah dalam penyampaian informasi kepada pengguna di bidangnya. Dalam bidang ekonomi misalnya ada teknik grafik dan tabel yang menjelaskan suatu perubahan temporal mengenai keuangan. Dalam bidang fisika suatu pergerakkan yang berulang kali (gerak periodik) biasanya dipresentasikan dalam bentuk grafik gelombang. Gelombang sendiri menggambarkan suatu siklus pergerakkan. Di dalam siklus tersebut terdapat komponen-kompenen yang membentuk gelombang yaitu amplitudo, sudut phase, dan frekwensi. Amplitudo merupakan besar perpindahan maksimum dari titik kesetimbangan (yaitu nilai maksimum dari garis x pada gambar 2.1.) dan harganya selalu positif [Young & Freedman,2002]. Sudut phase yang memberitahu pada titik apa dalam siklus,gerak berada pada t = 0 [Young & Freedman,2002]. Sedangkan frekwensi adalah banyaknya siklus pada satu satuan waktu [Young & Freedman,2002]. Gambar 2.1. Phase dan amplitudo yang membentuk gelombang sinus. 90 o 180 o 270 o

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN … · suatu fungsi diskrit pada komputer impuls Dirac bisa ditampilkan sama dengan ... • Transformasi fourier sinyal real dan ganjil adalah

Embed Size (px)

Citation preview

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-1

BAB II

TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

2.1. Transformasi Fourier

Transformasi fourier adalah hubungan matematik antara representasi

sinyal dalam domain waktu dengan representasi sinyal dalam domain frekwensi,

hubungan tersebut secara matematis bisa merubah hasil suatu domain ke dalam

domain lain [Smith,1999]. Secara matematik transformasi fourier merupakan

sejumlah eksponensial kompleks dari berbagai magnitudo,frekwensi, dan phase.

[Image Processing Toolbox User's Guide, The MathWork,Inc.1984-2004].

2.1.1. Amplitudo,Phase, dan Frekwensi

Terdapat bermacam teknik mepresentasikan sebuah fenomena. Teknik-

teknik tersebut dipakai untuk mempermudah dalam penyampaian informasi

kepada pengguna di bidangnya. Dalam bidang ekonomi misalnya ada teknik

grafik dan tabel yang menjelaskan suatu perubahan temporal mengenai keuangan.

Dalam bidang fisika suatu pergerakkan yang berulang kali (gerak periodik)

biasanya dipresentasikan dalam bentuk grafik gelombang. Gelombang sendiri

menggambarkan suatu siklus pergerakkan. Di dalam siklus tersebut terdapat

komponen-kompenen yang membentuk gelombang yaitu amplitudo, sudut phase,

dan frekwensi.

Amplitudo merupakan besar perpindahan maksimum dari titik

kesetimbangan (yaitu nilai maksimum dari garis x pada gambar 2.1.) dan

harganya selalu positif [Young & Freedman,2002]. Sudut phase yang

memberitahu pada titik apa dalam siklus,gerak berada pada t = 0 [Young &

Freedman,2002]. Sedangkan frekwensi adalah banyaknya siklus pada satu satuan

waktu [Young & Freedman,2002].

Gambar 2.1. Phase dan amplitudo yang membentuk gelombang sinus.

90o

180o

270o

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-2

Gambar 2.1. di atas memberi gambaran tentang phase dan amplitudo dari

perputaran sebuah lingkaran (siklus) yang membentuk gelombang sinus dengan

persamaan y = A sin (x), dimana x adalah ωt + φ. Pada gambar di atas garis A

adalah amplitudo sedangkan simbol φ adalah sudut phase.

Gambar 2.2. Tiga sudut fase yang berbeda (0,π/4, π/2) tetapi memiliki frekwensi

dan amplitudo yang sama.

T adalah perioda yaitu komponen gelombang yang merepresentasikan

waktu dalam satuan detik pada suatu siklus. Perioda merupakan kebalikan dari

frekwensi yang seperti telah disebutkan diatas merupakan jumlah siklus pada

suatu waktu. Dari gambar 2.2. terlihat bahwa satu siklus perputaran lingkaran dari

0 sampai 2π dimulai dari waktu pada saat t=0 sampai t=T. Dengan demikian

siklus pada gambar 3 memiliki satu frekwensi.

2.1.2. Sinyal & Spektrum

Sinyal adalah deskripsi bagaimana satu parameter merubah parameter

lainnya [Smith,1999]. Parameter tersebut merupakan sekumpulan informasi yang

ditimbulkan oleh suatu fenomena dan bisa diperlakukan sebagai data. Untuk

menemukan informasi apa saja yang terkandung dalam sinyal tersebut biasanya

para ahli menggambarkan spectrum sinyal itu sendiri.

Spektrum adalah plot 2D untuk menggambarkan distribusi frekwensi dari

power yang terkandung di dalam sinyal berdasarkan serangkaian data tertentu

[Smith,1999]. Contoh sederhana distribusi frekwensi y=sin(x)

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-3

(a)

(b)

Gambar 2.3. (a) adalah sinyal y = sin(x), (b) Spektrum sin (x).

Jadi distribusi frekwensi menggambarkan penyebaran power pada saat tertentu.

Untuk melihat lebih jauh hubungan sinyal dengan spektrum diambil contoh dua

sinyal sinus dengan kosinus y1=sin(x) dan y2=cos(x) plotingnya di bawah ini:

Gambar 2.4. sin (x) dan cos (x)

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-4

untuk mencari spektrumnya digunakan penjumlahan kedua sinyal diatas dengan

plotingnya sebagai berikut:

Gambar 2.5. Spektrum penjumlahan sin(x) dan cos(x)

Terdapat beberapa fungsi spesial dengan spektrum spesial. Impuls Dirac

adalah sebuah sinyal yang nol di mana-mana, kecuali di pusat sumbunya yang tak

terbatas. Hal ini sangat ideal untuk fungsi kontinyu [Vandevenne,2007]. Untuk

suatu fungsi diskrit pada komputer impuls Dirac bisa ditampilkan sama dengan

puncak tunggal dengan tinggi terhingga pada garis sumbu.

Gambar 2.6. Impuls Dirac[Vandevenne,2007].

Sama halnya pada puncak suara dalam suatu sinyal audio yang memiliki semua

frekwensi. Karenanya spektrum terlihat seperti ini (garis horizontal hitam) :

Gambar 2.7. Spektrum Impuls Dirac [Vandevenne,2007].

Spektrum bernilai positif di mana-mana, jadi tiap frekwensi terkandung

dalam sinyal. Hal ini berarti juga bahwa untuk mendapatkan suatu sejumlah

puncak fungsi sinus, maka perlu ditambahkan secara tak terhingga fungsi sinus

dasar dengan semua amplitudo yang sama dan digeser dengan phase tertentu.

Maka puncak tersebut akan saling menghilangkan, kecuali pada pusat sumbu

karena merupakan puncaknya. Dualitas diatas merupakan salah satu sifat

transformasi fourier.

Spesial sinyal lainnya adalah fungsi sinc(x); sinc(x) = sin(x)/x :

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-5

Gambar 2.8. sinc(X)

Gambar 2.9. Magnitudo dan phase sinc(x)

Spektrum fungsi di atas adalah rectangular.

Gambar 2.10. Spektrum sinc(x) [Vandevenne,2007].

Karena dualitas antara sinyal dan spektrumnya maka sinyal waktu rectangular

akan memiliki fungsi sinc (x) sebagai spektrumnya.

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-6

2.1.3. Sifat-Sifat Transformasi Fourier Suatu sinyal sering ditulis dengan huruf kecil dan transformasi fourier atau

spektrumnya dengan huruf besar. Hubungan antara sinyal dan spektrumnya sering

dituliskan dengan f(x) <--> F(w), dengan sinyal di sisi kiri dan spektrumnya di

sisi kanan.

Transformasi fourier memiliki beberapa sifat yang bisa menjelaskan

kenapa spektrum dari sinyal tertentu punya bentuk tertentu [Vandevenne,2007],

yaitu:

1. Linearity

Jika fungsi f(x) dan g(x) memiliki transformasi fourier dan

dengan dan konsatantanya, maka fungsi transformasi fourier

adalah .

(2.1)

Sifat linearitas bisa diperluas pada kondisi dalam suatu penjumlahan,

sebagai contoh jika fk(x) memiliki transformasi fourier dan adalah

konstanta lalu

(2.2)

memiliki transformasi fourier

(2.3)

Artinya jika ada penambahan/pengurangan dua sinyal maka spektrumnya

ditambahkan/dikurangkan juga dan jika amplitudo sinyalnya dinaikkan/diturunkan

maka spektrumnya pun dinaikkan/diturunkan.

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-7

Gambar 2.11 . Jika sin(x) ditambah cos (x) amplitudo spectrum menjadi

bertambah.

Pada gambar terlihat ketika fungsi sin (x) ditambah cos (x) maka

amplitudo maksimal dari asalnya satu pada saat sebelum penjumlahan menjadi

sepuluh pada spectrum setelah penjumlahan.

2. Scaling

Jika f(x) memilki transformasi fourier maka fungsi f(ax) untuk

memilki transformasi fourier

(2.4)

subtitusi t = ax. Maka didapatkan

(2.5)

Artinya jika dibuat fungsi yang lebih lebar dalam arah x maka spektrumnya akan

menjadi lebih kecil dalam arah x dan ampiltudonya pun akan berubah.

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-8

Gambar 2.12. Spektrum menjadi kecil jika sinyal dibuat lebih lebar.

3. Frequency Shift

Jika f(x) memilki transformasi fourier lalu fungsi

memiliki transformasi fourier .

(2.6)

Sifat ini mengindikasikan bahwa perkalian dengan menggeser spektrum f(x)

sehingga membuatnya memusat di titik dalam domain frekwensi.

Gambar 2.13. Contoh hasil pergeseran spectrum.

Sebagai contoh f(x) memiliki spectrum . Ditentukan spectrum

frekwensi dari sinyal .Dengan formula Euler

maka . Menggunakan sifat linearitas dan

pergeseran akan didapatkan

ω=ω0

ω0 ω=ω0

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-9

(2.7)

4. Duality or Symmetry

jika f(x) <--> F(w) (2.8)

maka F(x) <--> f(-w) (2.9)

misalnya karena factor ini spektrum rectangular adalah fungsi sin dan pada saat

yang sama spektrum fungsi sin adalah spectrum rectangular juga.

Gambar 2.14. Contoh dualitas

5. Time-differentiation

Jika f(x) memilki transformasi fourier lalu turunannya

memiliki transformasi fourier .

(2.10)

diberikan differensiasi yang berhubungan dengan x

(2.11)

jika x n kali maka memilki transformasi fourier .

Artinya hasil differensiasi dalam domain waktu adalah perkalian aljebra dalam

domain frekwensi.

6. Symmetry Rules

• Transformasi fourier sinyal real dan genap adalah real dan genap juga

(misal terjadi simetrikal sinyal maka yang dicerminkan adalah sekitar

sumbu y)

• Transformasi fourier sinyal real dan ganjil adalah real dan ganjil juga

(ganjil mengartikan ketidaksimetrisan, dicerminkan disekitar titik pusat

sumbu)

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-10

• Transformasi fourier sinyal real memiliki bagian real genap dan bagian

imajiner ganjil serta amplitudo yang selalu simetris.

• Transformasi fourier sinyal imajiner murni adalah simetris, tapi

transformasi fourier sinyal kompleks tidak selalu simetris.

7. Convolution

Konvolusi dua fungsi kontinyu u(x) dan v(x) yang diartikan ,

didefinisikan sebagai

(2.12)

Jika dan diartikan transformasi fourier sebagai u(x) dan v(x) maka

dan

Transformasi fourier pada konvolusi akan menjadi

(2.13)

Dengan merubah variable adalah maka transformasi bisa

diungkapkan sebagai

(2.14)

Konsekuensinya adalah transformasi fourier pada konvolusi adalah

produk dari transformasi

Seperti dijelaskan sebelumnya untuk mencari spektrum salah satu

metodenya adalah dengan mengkonvolusikannya secara sederhana dan terbatas

hingga rentang tertentu. Konvolusi dalam transformasi fourier adalah

penjumlahan dari perkalian sinus dengan kosinus [Boas,1983]:

f(x)= ao + ∑=

n

i 1

ai sin(ix) + ∑=

n

i 1

bi cos (ix) (2.15) dimana f(x) adalah amplitudo

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-11

Gambar 2.15. Contoh hasil konvolusi.

2.1.4. Discrete Fourier Transform

Salah satu sifat transformasi fourier dan inversenya adalah sinyal diskrit

yang periodik. Ketika digunakan pada komputer baik sinyal maupun spektrum

harus dalam bentuk diskrit dan keduanya akan periodik. Tapi dengan hanya

memakai satu period kita bisa mendapatkan sinyal terhingga. Jadi ketika memakai

Discrete Fourier Transform (DFT) sinyal atau gambar pada komputer secara

matematis mengatakan bahwa sinyal diulang secara tak hingga atau gambar di tile

kan secara tak hingga pula dan juga spektrumnya. Properti yang baik adalah

sinyal dan spektrum akan memiliki jumlah titik-titik diskrit yang sama, jadi

gambar DFT 128x128 piksel akan juga memiliki 128x128 piksel.

Ketika sinyal terhingga dalam waktu, batasan tak hingga integral bisa

digantikan oleh yang terhingga dan symbol integral bisa diganti oleh simbol

jumlah (Σ). Jadi DFT didefinisikan [Vandevenne,2007]sebagai:

∑−

=

Π−=1

0

/2N

k

Ninkkn efF (2.18)

dan inversenya :

∑−

=

Π=1

0

/21 N

n

Niknnk eF

Nf (2.19)

Terdapat bermacam definisi DFT, sebagai contoh pembagian dengan N

didepan DFT kebalikan inversenya atau dibagi dengan akar (N) di keduanya.

Untuk memplot di komputer hasil terbaik didapatkan dengan membagi dengan N

di depan DFT.

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-12

Gambar 2.16. Terminologi DFT.

Pada domain waktu , x[] mengandung N angka dari 0 hingga N-1. Dalam

domain frekwensi, DFT memproduksi dua sinyal, bagian real (Re X[]) dan bagian

imajiner (Im X[]). Tiap sinyal domain frekwensi ini adalah angka sepanjang

N/2+1 dari 0 hingga N/2.

Forward DFT adalah transformasi dari domain waktu ke domain

frekwensi dengan rumus (2.18). Sementara Inverse DFT adalah transformasi dari

domain frekwensi ke domain waktu.

2.1.5. Fast Fourier Transform

Dalam notasi kompleks, masing-masing domain waktu dan frekwensi

berisi satu sinyal yang membuat N kompleks titik. Tiap kompleks titik ini dibuat

oleh dua angka, bagian real dan bagian imajiner.

FFT beroperasi dengan mendekomposisikan suatu N titik sinyal domain

waktu kedalam N sinyal domain waktu yang masing-masing dikomposisi oleh

suatu titik tunggal.

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-13

Gambar 2.17. Contoh dekomposisi domain waktu yang digunakan dalam FFT [Smith,1999].

Pada contoh diatas, 16 titik sinyal didekomposisi menjadi empat tahap

terpisah. Tahap pertama memecah 16 titik sinyal kedalam dua sinyal yang

masing-masing berisi 8 titik. Tahap kedua medekomposisi data menjadi empat

sinyal masing-masing 4 titik. Pola ini berlanjut hingga N sinyal terkomposisi oleh

sebuah titik tunggal. Jalinan dekomposisi digunakan saat setiap sinyal terpecah

menjadi dua, oleh karena itu sinyal terpisah kedalam masing-masing angka

sampel ganjil dan genap. Dalam dekomposisi dibutuhkan tahapan log2N sebagai

contoh 16 titik sinyal (24) membutuhkan 4 tahap, 512 titik sinyal (27)

membutuhkan 7 tahap, 4096 titik sinyal (212) membutuhkan 12 tahap, dan

seterusnya.

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-14

Gambar 2.18. Pemilahan pembalik bit FFT. [Smith,1999]

Dekomposisi tidak lebih dari reordering sampel dalam sinyal

[Smith,1999]. Gambar 2.18 menunjukkan pengaturan ulang pola yang dibutuhkan.

Sisi sebelah kiri angka sampel dari sinyal asli yang disusun menurut derajat

binernya. Ide yang paling penting adalah pembalikkan angka-angka biner satu

dengan lainnya. Contohnya sampel 3 (0011) dirubah dengan angka sampel 12

(1100). Dekomposisi domain waktu FFT biasanya diselesaikan dengan algoritma

pemilahan pembalik bit. Algoritma tersebut melibatkan pengaturan ulang perintah

N kali domain sampel dengan menghitung biner yang bit nya terbalik kiri atau

kanan.

Langkah berikutnya dalam algoritma FFT adalah mendefiniskan frekwensi

spectra pada satu titik sinyal waktu. Frekwensi spectrum satu titik sinyal adalah

sama dengan nilai frekwensi itu sendiri. Artinya tahap ini tidak dipakai. Meskipun

tidak dilibatkan, tiap 1 titik sinyal sekarang menjadi sebuah frekwensi spectrum

dan bukan suatu sinyal domain waktu lagi.

Langkah terakhir dalam FFT adalah mengkombinasikan N frekwensi

spectra dalam perintah akurat pembalik dimana domain waktu berada. Dalam

tahap ini algoritma menjadi berantakan. Sayangnya, shortcut pembalik bit tidak

aplikatif dan harus kembali ke tahap awal. Dalam tahap awal, 16 frekwensi

spectra (masing-masing 1 titik) disintesis ke dalam 8 frekwensi spectra (tiap 2

titik). Dalam tahap kedua, 8 frekwensi spectra (tiap 2 titik) disintesis ke dalam 4

frekwensi spectra (tiap 4 titik) dan begitu seterusnya. Tahap terakhir FFT

menghasilkan output 16 titik frekwensi spectrum.

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-15

Gambar 2.19. Sintesis FFT. [Smith,1999]

Gambar 2.19 menunjukkan bagaimana dua frekwensi spectra (masing-

masing dikomposisikan 4 titik) dikombinasikan ke dalam frekwensi spectrum

tunggal 8 titik. Dalam kata lain operasi domain frekwensi harus mengacu pada

prosedur domain waktu dalam mengkombinasikan dua sinyal yang berisi 4 titik.

Dua sinyal domain waktu abcd dan efgh. 8 titik sinyal domain waktu bisa

dibentuk dengan dua tahap: dilute tiap 4 titik sinyal dengan nol supaya menjadi 8

titik sinyal lalu tambahkan tiap sinyal bersama-sama. abcd menjadi a0b0c0d0 dan

efgh menjadi 0e0f0g0h. Tambahkan dua sinyal 8 titik, hasilnya adalah aebfcgdh.

Yang diperlihatkan gambar, diluting domain waktu dengan nol mengacu pada

duplikasi frekwensi spectrum. Oleh karena itu frekwensi spktra dikombinasikan

dalam FFT dengan menduplikasikannya lalu menambahkan spectra terduplikasi

tersebut bersama-sama.

Satu dari sinyal domain waktu (0e0f0g0h dalam gambar ) digeser ke kanan

oleh satu sampel. Pergesran domain waktu ini mengacu pada perkalian spectrum

oleh suatu sinusoid.

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-16

Gambar 2.20. Diagram alir sintesis FFT. [Smith,1999]

Gambar 2.20 menunjukkan diagram alir untuk mengkombinasikan dua

spectra 4 titik ke dalam spectrum tunggal 8 titik. Gambar 2.20 dibentuk dari pola

dasar dalam gambar 2.21 yang diulang terus menerus.

Gambar 2.21. FFT butterfly. [Smith,1999]

Butterfly adalah sebutan untuk diagram alir sederhana. Butterfly adalah

elemen dasar dari komputasi FFT yang mentransformasikan dua titik komplks ke

dalam titik kompleks lainnya. [Smith,1999]

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-17

Gambar 2.22. Diagram struktur seluruh operasi FFT. [Smith,1999]

2.2. Deskripsi Citra

Citra adalah representasi segala ‘pictorial’ tanpa memperhatikan alat atau

gelombang elektromagnetik inderaja yang dipakai untuk mendeteksi dan merekam

enerji elektromagnetik. Sedangkan foto mengacu secara khusus kepada citra yang

mendeteksi dan merekam pada film fotografi ataupun dalam bentuk dijital (foto

dijital). Berdasarkan definisi diatas maka dapat dikatakan bahwa foto adalah citra

tetapi bukan berarti semua citra adalah foto [Catatan kuliah Inderaja,Wikantika]

Ada beberapa macam foto salah satunya adalah foto udara. Foto udara

diambil dari pemotretan suatu objek area menggunakan wahana pesawat terbang

dengan kamera khusus.

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-18

Gambar 2.23.. Foto hitam-putih diatas diambil pada spektrum cahaya tampak

(kiri) dan berwarna (kanan) .

2.2.1. Representasi Citra Dijital

Citra secara dijital merupakan tampilan dari fungsi (x,y) yang telah

didiskritkan koordinat dan kecerahannya [Gonzalez & Woods, 1992]. BV,

intensitas, dan koordinat menjadi elemen-elemen yang sangat penting karena

dengan elemen-elemen tersebut citra dijital bisa direpresentasikan.

a. BV (Brightness Value)

Brightness membuat suatu citra menjadi lebih terang atau lebih gelap

keseluruhan. Brightness dalam citra dijital disimpan dengan angka-angka biner

dalam setiap piksel yang menyusun citra itu sendiri sehingga umum disebut

sebagai BV (brightness value)..

Piksel satu dengan piksel lainnya terkadang memilki BV yang berbeda-

beda namun terkadang pula memilliki BV yang sama. Kesamaan dan perbedaan

BV pada suatu blok piksel akan merepresentasikan seperti apa bentuk citra itu

sendiri.

Gambar 2.24. BV contoh citra di atas adalah 0, 70, dan 72. [Image

Processing Toolbox User's Guide, The MathWork, Inc. 1984-2004].

b.Intensitas Citra

Intensitas merupakan sejumlah cahaya hasil refleksi titik pada suatu objek

dalam arah viewer yang digandakan oleh beberapa factor konstanta yang

bergantung pada parameter sistem pembentukan gambar.[Horn,1975]

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-19

Gambar 2.25. Ilustrasi bagaimana intensitas terbentuk. [Horn,1975]

Cahaya hasil refleksi tersebut dalam sistem dijital direpresentasikan

dengan sejumlah rentang angka. Dimulai dengan 0 yang merepresentasikan

cahaya sangat gelap atau sering disebut hitam dan diakhiri dengan 1 atau 255 atau

65535 yang merepresentasikan cahaya sangat terang atau putih.[Image Processing

Toolbox User's Guide, The MathWork, Inc.1984-2004].

Gambar 2.26.Contoh intensitas citra. [Image Processing Toolbox User's

Guide, The MathWork,Inc.1984-2004].

c. Koordinat Citra

Suatu citra memilki elemen penting yaitu ukuran piksel. Ukuran piksel ini

menandakan seberapa luas suatu objek yang diamati. Misalkan suatu citra

berukuran 256x256 piksel. Artinya citra tersebut memilki 256 baris piksel dan 256

kolom piksel.

Baris dan kolom ini selain merepresentasikan ukuran juga bisa mewakili

posisi suatu nilai piksel. Posisi dalam citra menjadi sangat penting karena nilai

piksel dianggap sebagai data sehingga keberadaan tiap data harus terdefini dalam

suatu sistem tertentu dalam hal ini adalah baris dan kolom piksel. Misalkan suatu

objek pada citra berada pada baris 23 dan kolom 34. Karena baris dan kolom

piksel pada citra bisa mewakili posisi maka keduanya bisa dianggap sebagai

koordinat.

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-20

Gambar 2.27. Menunjukkan ukuran citra 256x256 piksel sedangkan posisi objek

yang diperbesar dari baris ke 178 sampai ke 187 dan kolom ke 117

sampai ke126. [Image Processing Toolbox User's Guide, The

MathWork,Inc.1984-2004].

2.2.2. Model Warna

Tujuan dari pemodelan suatu warna adalah untuk memfasilitasi spesifikasi

warna ke dalam beberapa standar. Spesifikasi model warna tersebut merupakan

sebuah sistem koordinat 3-D dengan subruang di dalamnya diamana tipa warna di

representasikan dengan suatu titik tunggal [Gonzalez & Wood,1992]. Beberapa

model warna yang akan berhubungan dengan tugas akhir ini adalah RGB

(red,green,blue) dan greyscale.

a. RGB (Red Green Blue)

Dalam model RGB, tiap warna muncul dalam kompenen spectral

utamanya yaitu merah, hijau, biru. Model ini berbasiskan sistem koordinat

kartesian.

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-21

Gambar 2.28. Kubus RGB. Garis sepanjang diagonal memiliki nilai abu-abu, dari

hitam pada pusat sumbu ke titik putih(255,255,255).

[Gonzalez & Wood,1992].

Pada gambar 2.28 nilai RGB berada pada tiga titik sudut. Cyan, magenta,

dan kuning pada tiga sudut lainnya. Hitam pada pusat sumbu. Putih pada sudut

jauh dari pusat sumbu. Dalam model ini, derajat keabuan (greyscale) berada dari

pusat sumbu (hitam) memanjang membentuk garis hingga titik putih, titik-titik

warna pada dan di dalam kubus didefinisikan oleh vector dari pusat sumbu

koordinat.

Secara dijital suatu citra RGB disimpan sebagai baris kolom tiga data

array yang terdefinisi sebagai komponen warna merah, hijau, dan biru bagi

masing-masing piksel. Warna tiap piksel ditentukan oleh kombinasi intensitas

merah,hijau, dan biru yang tersimpan dalam tiap bidang warna piksel pada lokasi

piksel terebut.

Yellow 255,255,0

Red 255,0,0

Black 0,0,0

Green 0,255,0

Blue 0,0,255

White 255,255,255

Cyan 0,255,255

greyscale

B

G

R

Magenta 255,0,255

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-22

Gambar 2.29. Ilustrasi nilai piksel citra yang disimpan menjadi matriks

RGB.

Karena tersimpan dalam tiga data array maka citra dapat ditampilkan

kedalam masing-masing kanal warna. Untuk membuat suatu citra yang terpilah

kedalam kanal warna merah, hijau, dan biru dilakukan pemisahan array data

dimana setiap baris pertama yang terpisah akan menjadi matriks kanal merah,

kemudian baris kedua menjadi matriks kanal hijau, dan baris ketiga menjadi

matriks kanal biru.

Gambar 2.30. Citra dalam bentuk kanal merah, kanal hijau , dan kanal

biru serta bentuk aslinya. [Image Processing Toolbox User's

Guide, The MathWork,Inc.1984-2004].

b.Derajat Keabuan (Greyscale)

Seperti yang sudah dijelaskan diatas bahwa derajat keabuan (greyscale)

dalam koordinat warna 3-D merupakan garis yang merentang dari titik hitam

hingga titik putih. Maksudnya bahwa derajat keabuan merupakan nilai warna

yang bertingkat dari hitam (gelap) hingga putih (terang).

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-23

Gambar 2.31. Derajat keabuan dari gelap hingga terang.

2.2.3 Simpangan Baku Dalam Citra

Simpangan baku (σ) dalam ilmu statistic biasanya digunakan untuk

melihat sejauh mana distorsi sebaran data dari nilai menengahnya.

Gambar 2.32. Simpangan baku (σ) sebagai distorsi dari nilai menengah (µ)

[http//salt.uaa.alaska.edu/kath/kti/rf2.html].

Begitu juga dalam citra , simpangan baku berguna untuk melihat distorsi

sebaran data nilai piksel dari nilai menengahnya. Jika sebaran nilai piksel semakin

menjauh dari nilai menengahnya maka semakin heterogen citra tersebut dan

memilki nilai simpangan baku yang besar atau jauh dari nol. Sebaliknya jika

sebaran nilai piksel mendekati nilai menengahnya maka antara piksel satu dengan

piksel yang lainnya memilki nilai yang hampir sama (mendekati nilai

sekelilingnya) sehingga nilai simpangan baku dekat dengan nol besar

kemungkinan citra tersebut adalah homogen. Satuan yang dipakai pada penelitian

ini adalah persen %.

Gambar 2.33. Simpangan baku (σ) dalam sebaran nilai piksel.

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-24

2.3. Metode & Teknik Pencocokan Citra

Para ahli fotogrametri memanfaatkan metode pencocokan citra dalam

fotogrametri dijital untuk mencari titik sekawan yang dapat dilakukan secara

otomatis. Pada gambar 2.34 memperlihatkan hubungan titik sekawan yang

membentuk geometri epipolar dengan titik di lapangan diwakili titik P. P1 adalah

citra objek P pada foto kiri dan P2 adalah citra objek P pada foto kanan. C1 dan C2

adalah titik pusat eksposur foto kiri dan foto kanan yang bertampalan. Garis 21PP

merupakan garis epipolar. Apabila titik P, P1 dan C1 serta P,P2, dan C2 berada

dalam satu garis maka syarat kesebidangan terpenuhi.[ Ilham, F. 2007]

Gambar 2.34. Pasangan titik sekawan yang terhubung dalam geometri epipolar.

Beberapa metode pencocokan citra adalah area-based matching, Feature-

based matching, dan symbolic matching. Hubungan antara setiap metode beserta

entitasnya diperlihatkan pada tabel 2.1.berikut: [Schenk,1999]

Metode Pencocokan Teknik Perhitungan

Pencocokan

Entitas

Area-based matching Korelasi, kuadrat terkecil Derajat keabuan

Feature-based matching Fungsi cost Tepi,daerah

Symbolic matching Fungsi cost Keterangan simbol

Pada penelitian ini kajian dilakukan dengan metode area-based matching dan

teknik perhitungan pencocokan citra korelasi dalam domain frekwensi

2.3.1. Pencocokan Citra Berbasis Area

Pada proses pencocokan citra berbasis area terdapat seperangkat bantuan

yang dipakai dalam pencarian titik sekawan antara dua citra foto yang

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-25

bertampalan. Perangkat tersebut adalah Citra Acuan (CA) yang merupakan area

objek yang dipilih pada foto kiri sebagai acuan, Citra Pencarian (CP) yang

merupakan area objek yang memiliki area objek paling mirip dengan CA dengan

cakupan area lebih luas dari CA dan Sub Citra Pencarian (SCP) yang merupakan

jendela berukuran sama dengan CA sebagai alat bantu array pencari lokasi area

objek yang paling berkorelasi. Lokasi tersebut dinyatakan pada pusat SCP dalam

koordinat lokal foto dalam bentuk baris-kolom.

Citra Kiri Citra Kanan

Gambar 2.35. Konsep pencocokan citra berbasis area [Schenk,1999].

2.3.2. Teknik Korelasi

Salah satu teknik dalam metode pencocokan citra berbasis area adalah

dengan mengkorelasikan antara citra acuan dengan citra pencarian. Dari

pengkorelasian tersebut dicari nilai koefisien korelasi yang paling maksimum.

Dalam teori probabilitas dan statistika, kekuatan hubungan korelasi atau

disebut juga koefisien korelasi adalah nilai yang menunjukkan kekuatan dan arah

hubungan linier antara dua peubah acak (random variable) [Sage,1999].

kolom kolom

Bar i s

Bar i s

CA CP

SCP

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-26

Gambar 2.36. Rentang koefisien korelasi

Salah satu jenis korelasi yang paling populer adalah koefisien korelasi

momen-produk Pearson, yang diperoleh dengan membagi kovarians kedua

variabel dengan perkalian simpangan bakunya. Meski memiliki nama Pearson,

metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Francis Galton.

Gambar 2.37. Contoh koefisien korelasi dalam matriks.

Korelasi linier antara 1000 pasang pengamatan. Data digambarkan pada

bagian kiri bawah dan koefisien korelasinya ditunjukkan pada bagian kanan atas.

Setiap titik pengamatan berkorelasi maksimum dengan dirinya sendiri,

sebagaimana ditunjukkan pada diagonal (seluruh korelasi = +1).

Korelasi ?�X, Y antara dua peubah acak X dan Y dengan nilai yang

diharapkan µ�X dan µ�Y dan simpangan baku s�X dan s�Y didefinisikan sebagai:

(2.20)

Korelasi dapat dihitung bila simpangan baku terbatas dan keduanya tidak

sama dengan nol. Dalam pembuktian ketidaksamaan Cauchy-Schwarz, koefisien

korelasi tak akan melebihi dari 1 dalam nilai absolut. Korelasi bernilai 1 jika

terdapat hubungan linier yang positif, bernilai -1 jika terdapat hubungan linier

yang negatif, dan antara -1 dan +1 yang menunjukkan tingkat dependensi linier

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-27

antara dua variabel. Semakin dekat dengan -1 atau +1, semakin kuat korelasi

antara kedua variabel tersebut. Suatu objek dapat dikatakan cocok dengan objek

lainnya jika nilai korelasinya > 0.7 [Wolf.2000].

Jika variabel-variabel tersebut saling bebas, nilai korelasi sama dengan 0.

Namun tidak demikian untuk kebalikannya, karena koefisien korelasi hanya

mendeteksi ketergantungan linier antara kedua variabel. Misalnya, peubah acak X

berdistribusi normal pada interval antara -1 dan +1, dan Y = X2. Dengan demikian

nilai Y ditentukan sepenuhnya oleh X, sehingga X dan Y memiliki dependensi,

namun korelasi keduanya sama dengan nol artinya keduanya tidak berkorelasi.

Namun dalam kasus tertentu jika X dan Y berditribusi normal bivariat, saling

bebas ekuivalen dengan tak berkorelasi.

2.4. Aplikasi Teknik Maximum Correlation Berbasis FFT Pada Pencocokan

Citra

Suatu citra foto udara bisa diperlakukan sebagai data karena mengandung

berbagai informasi dari pemotretan udara. Oleh karena itu citra foto udara bisa

dianggap sebagai sinyal.

Sinyal biasanya merupakan fungsi dari waktu atau domain spasial.

Namun pada kajian tugas akhir ini, sinyal citra foto udara dirubah domainnya dari

domain spasial menjadi domain frekwensi menggunakan FFT. Frekwensi disini

merepresentasikan power spektrum dari BV (Brightness Value) atau greylevel

citra foto udara.

Karena pada citra foto udara menggunakan tiga kanal warna yaitu kanal

merah, hijau, dan biru maka terlebih dahulu perlu dihitung nilai korelasi

maksimum dari nilai power hasil FFT data BV tiap-tiap kanal warna. Hasil yang

diperoleh adalah nilai korelasi maksimum kanal merah, hijau dan biru dan

posisinya pada koordinat lokal citra foto udara. Rumus hitungan korelasi

maksimum dan FFT pada kanal merah, hijau, dan biru

∑=

−−=N

j

kjNchjachkA

1

)1)(1()()( ω (2.21)

∑=

−−=N

j

kjNchjbchkB

1

)1)(1()()( ω (2.22)

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-28

rch =

()Τϕ/Φ5 20.4688 Τφ0.5775 0 0 1 231.36 719.6098 Τµ ()()Τϕ/Φ5 20.4688 Τφ0.5775 0 0 1 335.16 719.6098 Τµ ()

−−

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑

m n

chchmn

m n

chchmn

m n

chchmn

chchmn

BBAA

BBAA

22

))(( (2.23)

ch = kanal merah/ kanal hijau/ kanal biru

rch = koefisien korelasi kanal merah/ kanal hijau/ kanal biru

a(j)ch = nilai BV citra kiri kanal merah/ kanal hijau/ kanal biru

b(j)ch = nilai BV citra kanan kanal merah/ kanal hijau/ kanal biru

A(k)ch = nilai power citra kiri kanal merah/ kanal hijau/ kanal biru

B(k)ch = nilai power citra kanan kanal merah/ kanal hijau/ kanal biru chA = rata-rata nilai power citra kiri kanal merah/ kanal hijau/ kanal biru chB = rata-rata nilai power citra kanan kanal merah/ kanal hijau/ kanal biru

N adalah akar tunggal

k = baris BV, j = kolom BV

m = kolom nilai FFT, n = baris nilai FFT

Langkah di atas merupakan langkah pada satu posisi pergerakkan jendela

saja. Untuk memperoleh nilai korelasi maksimum pada setiap kanal, SCP harus

bergerak menelusuri ruang pada citra pencarian. Kemudian pada setiap

pergerakkan jendela SCP dilakukan hitungan FFT dan pengkorelasian untuk

mendapat korelasi maksimum. Area yang berkorelasi maksimum menyatakan

bahwa pada area tersebut merupakan yang paling cocok dengan area pada citra

acuan. Bila ukuran CA (11x11) piksel dan ukuran CP (21x21) piksel., maka

jumlah pergerakkan SCP adalah sebanyak (m baris CP - m baris CA) + 1 = (21-

11)+1 = 11 gerakkan jenndela ke arah kolom, dan (n kolom CP – n kolom CA) +

1 = (21-11)+1 = 11 gerakkan ke arah baris. Jadi jumlah pergerakkan total adalah

121 kali pergeseran.

Identitas nilai kecerahan setiap piksel pada CA, SCP, dan CP dapat dilihat pada

gambar.

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BAB II TRANSFORMASI FOURIER & PENCOCOKAN CITRA

II-29

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

Gambar 2.38. Identitas nilai kecerahan yang terlibat dalam gerakan jendela pada

proses pencarian lokasi yang paling berkorelasi.

Gambar 2.39. Identitas posisi pencarian.

[k,b]=[1,1]

Gambar 2.40. SCP pada posisi pencarian

b11 b21 b31 b41 b51

b12 b22 b32 b42 b52

b13 b23 b33 b43 b53

b14 b24 b34 b44 b54

b15 b25 b35 b45 b55

b33 b43 b53

b34 b44 B54

b35 b45 b55

b11 b21 b31 b41 b51

b12 b22 b32 b42 b52

b13 b23 b33 b43 b53

b14 b24 b34 b44 b54

b15 b25 b35 b45 b55

a11 a21 a31

m

a12 a22 a32

a13 n a23 a33

b33 b43 b53

b34 b44 b54

b35 b45 b55

[1,1] [2,1] [3,1] k

[1,2] [2,2] [3,2]

[1,3] [2,3] [3,3]

b

b33 b43 b53

b34 b44 b54

b35 b45 b55

CA SCP

CP

CA SCP CP

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.