-
1
PROLAZ TOPLINE KROZ JEDNOSLOJNU
HOMOGENU PLOU UZ POSTOJANJE TOPLINSKOG IZVORA
ZADATAK U ravnoj stijenci debljine 30 mm (s = 2 W/(m K))
jednoliko je rasporeen toplinski izvor intenziteta V = 130 kW/m3. S
lijeve strane ploe je zrak temperature 50 C (L = 130 W/(m2K)), a s
desne strane je zrak temperature 10 C (D = 100 W/(m2K)). Treba
izraunati temperaturu lijeve i desne povrine ploe, te mjesto
(mjereno s lijeve strane) na kojem je temperatura najvea. Koji
uvjeti moraju biti ispunjeni da bi maksimum bio unutar ploe?
Rjeenje
Proces je opisan jednadbom
0dd
s
V2
2
=+
x, (1)
ijim se integriranjem dobije
R1
1maks
L = 50 Cs/L
x0 = ?
R2 D = 10 C
s/D = 30 mm
2
s
x
xkoordinata "x"od lijevog ruba ploe
Skica uz zadatak
-
2
1s
V
dd Cx
x+=
(2)
( ) 212
s
V
2CxCxx ++=
. (3)
Rubni uvjeti:
Za lijevi rub ploe:
01 == xx
( )10
s LL
1dd =
=
=xxq
Pripaziti na predznake! Lijevi lan jednadbe je negativan jer su
s i temperaturni gradijent
01dd
=
xx
na lijevom rubu ploe pozitivni u zadanom koordinatnom sustavu
(temperatura
raste u pozitivnom smjeru koordinatne osi), pa onda i desna
strana jednadbe mora biti negativna.
( )L1s
L
01dd
=
=xx (4)
Za desni rub ploe:
== 2xx
( )D2Ds2
dd
=
=
=xxq
Lijevi lan jednadbe je sad pozitivan jer je temperaturni
gradijent
=
2
dd
xx na desnom rubu
ploe negativan, pa onda i desna strana jednadbe mora biti
pozitivna.
( )2Ds
D
2dd
=
=xx
(5)
11 0 === xx (6)
22 === xx (7)
-
3
Vrijednosti konstanti C1 i C2 mogu se dobiti kolskim matematikim
postupkom.
Za lijevi rub ploe x = x1 = 0
Uvrtavanjem jednadbe (4) u jednadbu (2)
( )L1s
L1
=C (8)
a jednadbe (6) u (3)
12 =C (9)
Pomou jednadbi (8) i (9) slijedi veza izmeu konstanti C1 i
C2.
( )L2s
L1
= CC (10)
Za desni rub ploe x = x2 =
Jednadbe (2) i (5) daju
( )2Ds
D1
s
V
2dd
=+=
=
Cx x
(11)
a iz jednadbi (3) i (7) slijedi:
21
2
s
V2 2
CC ++= (12)
Ako se iz jednadbe (11) izusti:
1D
s
D
V2D C
+= (13)
tada se pomou jednadbi (12) i (13) dobije veza izmeu konstanti
C1 i C2
1D
s
D
V21
2
s
VD 2
CCC
+=+ (14)
Iz jednadbe (19) se izusti: L1L
s2
+= CC i uvrsti u (14)
1D
s
D
VL1
L
s1
2
s
VD 2
CCC
+=+ (15)
-
4
te slijedi izraz za C1
( )
++
++
=
DsLs
DsVLD
1 11
121
C (16)
a kombinacijom izraza (10) i (16) izraz za C2
( )1
DsLL
DsVLD
L2 11
121
=
++
++
+=C (17)
Uvrtavanjem zadanih vrijednosti dobije se
( )C/m 06,432
1001
203,0
13012
1001
203,0
2103,01300005010
1 =
++
++=C
C 647,565006,432130
2L1
L
s2 =+=+=
CC
Temperatura lijeve povrine ploe
C 647,5621 == C
Temperatura desne povrine ploe
C 359,40647,5603,006,432203,0
2130000
2
2
21
2
s
V2 =++=++= CC
C359,402 =
Gustoa toplinskog toka koja odlazi na lijevu stranu
21s
0sL W/m12,86406,4322d
d
1
===
=
==
Cx
qxx
( ) ( ) 21LLL W/m12,864647,5650130 === q
Gustoa toplinskog toka koja odlazi na desnu stranu =
+=
+=
=
==
06,43203,02
1300002dd
1s
VssD
2
Cx
qxx
2W/m3035,88=
-
5
( ) ( ) 2D2DD W/m88,303510359,40100 === q
KONTROLA
Prema I glavnom stavku 2DLV W/m0039=+= qq
Raspodjela temperature po debljini ploe
( ) 212
s
V
2CxCxx ++=
i njena derivacija
1s
V
dd Cx
x+=
Da bi maksimalna temperatura bila u ploi mora ekstrem ove
funkcije biti u ploi, tj. mora rjeenje d/dx pasti unutar intervala
0 < x0 < .
0dd
10s
V
0
=+=
Cxx x
odakle slijedi
V
s10
Cx =
Koristei prethodno izraunate vrijednosti
mm6,65m00665,0130000
206,4320 ==
=x
Maksimalna temperatura u ploi (na mjestu x0)
( ) C083,582 201
20
s
V0maks =++= CxC
xx
Da bi maksimum temperature bio negdje u ploi mora vrijediti 0
< x0 <
( )=
++
++
==
DsLV
DsVLD
V
s10 11
121
C
x
-
6
DsL
DsV
LD
11
121
++
++
=
-zadano je: toplinski izvor V > 0
1. UVJET
00 >x
Brojnik i nazivnik u izrazu za x0 moraju biti jednaki po
predznaku. U gornjem izrazu je nazivnik pozitivan, pa isto tako
mora biti i brojnik.
0121
DsV
LD >
++
- ako je D > L uvjet je sigurno ispunjen - ako je D < L
maksimum moe pasti i lijevo od ploe x0 < 0
2. UVJET
