Tipos de funciones MÆximos y Mínimos

Tipos de funcionesMáximos y Mínimos

Margarita Toro

March 11, 2015

Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 1 / 23

Función Continua

Sea f : D ⊂ R2 → R

f es continua en (x0, y0) si

lim(x ,y )→(x0,y0)

f (x , y) existe y lim(x ,y )→(x0,y0)

f (x , y) = f (x0, y0)

f es continua si es continua en todo su dominio.

Ejemplos:

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

x2 + y2= 0


Función Continua

Sea f : D ⊂ R2 → R


lim(x ,y )→(x0,y0)


f (x , y) = f (x0, y0)


Ejemplos:

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

x2 + y2= 0


Función Continua

Sea f : D ⊂ R2 → R


lim(x ,y )→(x0,y0)


f (x , y) = f (x0, y0)


Ejemplos:

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

x2 + y2= 0


Función Continua

Sea f : D ⊂ R2 → R


lim(x ,y )→(x0,y0)


f (x , y) = f (x0, y0)


Ejemplos:

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

x2 + y2= 0


Función Continua

lim(x ,y )→(0,0)

xx2 + y2

no existe

lim(x ,y )→(0,0)

xyx2 + y2

no existe

lim(x ,y )→(0,0)

xy√x2 + y2

= 0


Función Continua

lim(x ,y )→(0,0)

xx2 + y2

no existe

lim(x ,y )→(0,0)

xyx2 + y2

no existe

lim(x ,y )→(0,0)

xy√x2 + y2

= 0


Función Continua

lim(x ,y )→(0,0)

xx2 + y2

no existe

lim(x ,y )→(0,0)

xyx2 + y2

no existe

lim(x ,y )→(0,0)

xy√x2 + y2

= 0


Función Continua

Veamos ahora las gráficas de las funciones, para observar los distintoscomportamiento.

f (x , y) =xy2

x2 + y2


Función Continua

f (x , y) =xy

x2 + y2


Función Continua

f (x , y) =x

x2 + y2


Función Continua

f (x , y) =xy√x2 + y2


Derivadas parciales

(i) f tiene derivada parcial respecto a x en el punto (x0, y0) , que se

denota como fx (x0, y0) o∂f (x0, y0)

∂xsi

limh→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)h

existe

(ii) f tiene derivada parcial respecto a y en el punto (x0, y0) , que se


∂xsi

limh→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)h

existe

(iii) Dado un vector unitario u = (a, b) = a−→i + b

−→j , f tiene

derivada direccional en el punto (x0, y0) en la dirección u, si

limh→0

f (x0 + ah, y0 + bh)− f (x0, y0)h

existe

Se denota Du f (x0, y0)


Derivadas parciales



∂xsi

limh→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)h

existe



∂xsi

limh→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)h

existe


−→j , f tiene


limh→0

f (x0 + ah, y0 + bh)− f (x0, y0)h

existe

Se denota Du f (x0, y0)


Derivadas parciales



∂xsi

limh→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)h

existe



∂xsi

limh→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)h

existe


−→j , f tiene


limh→0

f (x0 + ah, y0 + bh)− f (x0, y0)h

existe

Se denota Du f (x0, y0)Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 8 / 23

Derivadas parciales

Ejemplo: Estudiar las derivadas parciales de

f (x , y) =

xy2

x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)

0 si (x , y) = (0, 0)en el punto (0, 0) .

Para estudiar fx calculamos el limite

limh→0

f (0+ h, 0)− f (0, 0)h

= limh→0

h(0)2

h2 + 02− 0

h= 0

o sea quefx (0, 0) = 0


Derivadas parciales


f (x , y) =

xy2

x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)

0 si (x , y) = (0, 0)en el punto (0, 0) .


limh→0

f (0+ h, 0)− f (0, 0)h

= limh→0

h(0)2

h2 + 02− 0

h= 0



Derivadas parciales


f (x , y) =

xy2

x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)

0 si (x , y) = (0, 0)en el punto (0, 0) .


limh→0

f (0+ h, 0)− f (0, 0)h

= limh→0

h(0)2

h2 + 02− 0

h= 0



Derivadas parciales

Para estudiar fy calculamos el limite

limh→0

f (0, 0+ h)− f (0, 0)h

= limh→0

0(h)2

02 + h2− 0

h= 0

o sea quefy (0, 0) = 0

O sea que existen las derivadas parciales en (0, 0) .

En todos los otros puntos tiene derivadas parciales, pues es cocientede polinomios.


Derivadas parciales


limh→0

f (0, 0+ h)− f (0, 0)h

= limh→0

0(h)2

02 + h2− 0

h= 0





Derivadas parciales


limh→0

f (0, 0+ h)− f (0, 0)h

= limh→0

0(h)2

02 + h2− 0

h= 0





Derivadas parciales


limh→0

f (0, 0+ h)− f (0, 0)h

= limh→0

0(h)2

02 + h2− 0

h= 0





Función diferenciable

f es diferenciable en (x0, y0) si

i) Existen las derivadas direccionales fx (x0, y0) y fy (x0, y0) , y

ii) Existe el limitelim

(x ,y )→(x0,y0)f (x ,y )−f (x0,y0)−fx (x0,y0)(x−x0)−fy (x0,y0)(y−y0)

||(x ,y )−(x0,y0)|| = 0

Como

z = f (x0, y0) + fx (x0, y0) (x − x0) + fy (x0, y0) (y − y0)

es la ecuación del plano tangente a f en el punto (x0, y0) , lo que estadefinición significa es que se puede aproximar la función por su planotangente cerca del punto.Ejemplo: Estudiar si la función

f (x , y) =

xy2

x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)

0 si (x , y) = (0, 0)es diferenciable en el

punto (0, 0) .




i) Existen las derivadas direccionales fx (x0, y0) y fy (x0, y0) , yii) Existe el limite

lim(x ,y )→(x0,y0)

f (x ,y )−f (x0,y0)−fx (x0,y0)(x−x0)−fy (x0,y0)(y−y0)||(x ,y )−(x0,y0)|| = 0

Como



f (x , y) =

xy2

x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)


punto (0, 0) .





lim(x ,y )→(x0,y0)


Como


es la ecuación del plano tangente a f en el punto (x0, y0) , lo que estadefinición significa es que se puede aproximar la función por su planotangente cerca del punto.

Ejemplo: Estudiar si la función

f (x , y) =

xy2

x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)


punto (0, 0) .





lim(x ,y )→(x0,y0)


Como



f (x , y) =

xy2

x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)


punto (0, 0) .


Ejemplo

Ya sabemos que existen las parciales, así que se cumple la primeracondición

Ahora debemos calcular el límite

lim(x ,y )→(0,0)

f (x , y)− f (0, 0)− fx (0, 0) (x − 0)− fy (0, 0) (y − 0)|| (x , y)− (0, 0) || =

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

x2 + y2− 0− 0 (x − 0)− 0 (y − 0)√

x2 + y2=

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

(x2 + y2)3/2 ???


Ejemplo



lim(x ,y )→(0,0)

f (x , y)− f (0, 0)− fx (0, 0) (x − 0)− fy (0, 0) (y − 0)|| (x , y)− (0, 0) || =

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

x2 + y2− 0− 0 (x − 0)− 0 (y − 0)√

x2 + y2=

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

(x2 + y2)3/2 ???


Ejemplo



lim(x ,y )→(0,0)

f (x , y)− f (0, 0)− fx (0, 0) (x − 0)− fy (0, 0) (y − 0)|| (x , y)− (0, 0) || =

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

x2 + y2− 0− 0 (x − 0)− 0 (y − 0)√

x2 + y2=

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

(x2 + y2)3/2 ???


Ejemplo

Para analizar

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

(x2 + y2)3/2

usamos distintos caminos

Para x = 0 se tiene

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

(x2 + y2)3/2 = lim,y→0

(0) y2

(02 + y2)3/2 = 0

Para x = y

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

(x2 + y2)3/2 = limx→0

xx2

(x2 + y2)3/2 = limx→0

x3

(2x2)3/2

= limx→0

1

(2)3/2 =1

(2)3/2

Como son distintos por distintos caminos, el limite no existe.


Ejemplo

Para analizar

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

(x2 + y2)3/2


Para x = 0 se tiene

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

(x2 + y2)3/2 = lim,y→0

(0) y2

(02 + y2)3/2 = 0

Para x = y

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

(x2 + y2)3/2 = limx→0

xx2

(x2 + y2)3/2 = limx→0

x3

(2x2)3/2

= limx→0

1

(2)3/2 =1

(2)3/2



Ejemplo

Para analizar

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

(x2 + y2)3/2


Para x = 0 se tiene

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

(x2 + y2)3/2 = lim,y→0

(0) y2

(02 + y2)3/2 = 0

Para x = y

lim(x ,y )→(0,0)

xy2

(x2 + y2)3/2 = limx→0

xx2

(x2 + y2)3/2 = limx→0

x3

(2x2)3/2

= limx→0

1

(2)3/2 =1

(2)3/2



Ejemplo

Entonces

f (x , y) =

xy2

x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)

0 si (x , y) = (0, 0)

es un ejemplo de una función que no es diferenciable en (0, 0) pero si tienederivadas parciales.

Teorema: Si f es diferenciable en (x0, y0) entonces es continua en(x0, y0) .

Teorema: Si las derivadas parciales existen y son continuas cerca de(x0, y0) entonces f es diferenciable en (x0, y0) .


Ejemplo

Entonces

f (x , y) =

xy2

x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)

0 si (x , y) = (0, 0)

es un ejemplo de una función que no es diferenciable en (0, 0) pero si tienederivadas parciales.

Teorema: Si f es diferenciable en (x0, y0) entonces es continua en(x0, y0) .

Teorema: Si las derivadas parciales existen y son continuas cerca de(x0, y0) entonces f es diferenciable en (x0, y0) .


Derivadas de orden superior

Las funciones fx y fy pueden ser o no ser continuas.

Pueden o no a su vez tener derivadas parciales en el punto (x0, y0).

Serían:

fxx =∂fx∂x

=∂

∂x

(∂f∂x

)=

∂2f∂x2

fxy =∂fx∂y

=∂

∂y

(∂f∂x

)=

∂2f∂y∂x

fyx =∂fy∂x

=∂

∂x

(∂f∂y

)=

∂2f∂x∂y

fyy =∂fy∂y

=∂

∂y

(∂f∂y

)=

∂2f∂y2





Serían:

fxx =∂fx∂x

=∂

∂x

(∂f∂x

)=

∂2f∂x2

fxy =∂fx∂y

=∂

∂y

(∂f∂x

)=

∂2f∂y∂x

fyx =∂fy∂x

=∂

∂x

(∂f∂y

)=

∂2f∂x∂y

fyy =∂fy∂y

=∂

∂y

(∂f∂y

)=

∂2f∂y2





Serían:

fxx =∂fx∂x

=∂

∂x

(∂f∂x

)=

∂2f∂x2

fxy =∂fx∂y

=∂

∂y

(∂f∂x

)=

∂2f∂y∂x

fyx =∂fy∂x

=∂

∂x

(∂f∂y

)=

∂2f∂x∂y

fyy =∂fy∂y

=∂

∂y

(∂f∂y

)=

∂2f∂y2


Tipos de funciones

De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C0 si f escontinua.

De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C1 si susderivadas parciales son continuas.

De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C2 si f tienederivadas parciales de primero y segundo orden y ellas son funcionescontinuas.

Teorema: Si f es de clase C2 en D entonces fxy = fyx


Tipos de funciones






Tipos de funciones






Tipos de funciones






Máximos y mínimos

Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:

Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si

fx (a, b) = fy (a, b) = 0


Máximos y mínimos

Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .

En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si

fx (a, b) = fy (a, b) = 0


Máximos y mínimos

Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.

Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si

fx (a, b) = fy (a, b) = 0


Máximos y mínimos

Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.

En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si

fx (a, b) = fy (a, b) = 0


Máximos y mínimos

Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.

Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si

fx (a, b) = fy (a, b) = 0


Máximos y mínimos

Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .

En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si

fx (a, b) = fy (a, b) = 0


Máximos y mínimos

Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.

Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si

fx (a, b) = fy (a, b) = 0


Máximos y mínimos

Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.

En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si

fx (a, b) = fy (a, b) = 0


Máximos y mínimos

Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.

Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si

fx (a, b) = fy (a, b) = 0


Máximos y mínimos

Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si

fx (a, b) = fy (a, b) = 0Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 17 / 23

Máximos y mínimos

Teorema: Si f tiene un máximo o un mínimo local en (a, b) y lasderivadas parciales de primer orden de f existen en (a, b) entonces

fx (a, b) = fy (a, b) = 0

Los puntos críticos pueden ser máximo local, mínimo local o puntosde silla.El comportamiento lo determina (en muchos casos) las segundasderivadas.Suponga que f tiene segundas derivadas continuas, definimos D comoel determinate de la matriz [

fxx fxyfyx fyy

]es decir

D =

∣∣∣∣fxx fxyfyx fyy

∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2


Máximos y mínimos


fx (a, b) = fy (a, b) = 0

Los puntos críticos pueden ser máximo local, mínimo local o puntosde silla.

El comportamiento lo determina (en muchos casos) las segundasderivadas.Suponga que f tiene segundas derivadas continuas, definimos D comoel determinate de la matriz [

fxx fxyfyx fyy

]es decir

D =


∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2


Máximos y mínimos


fx (a, b) = fy (a, b) = 0

Los puntos críticos pueden ser máximo local, mínimo local o puntosde silla.El comportamiento lo determina (en muchos casos) las segundasderivadas.

Suponga que f tiene segundas derivadas continuas, definimos D comoel determinate de la matriz [

fxx fxyfyx fyy

]es decir

D =


∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2


Máximos y mínimos


fx (a, b) = fy (a, b) = 0

Los puntos críticos pueden ser máximo local, mínimo local o puntosde silla.El comportamiento lo determina (en muchos casos) las segundasderivadas.Suponga que f tiene segundas derivadas continuas, definimos D comoel determinate de la matriz [

fxx fxyfyx fyy

]es decir

D =


∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 18 / 23

Ejemplo

Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1

Encuentre los puntos críticos de f y para cada uno de ellos calcule Dpara cada uno de ellos.Solución:

fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4xEntonces

fx = fy = 0

nos produce el sistema de ecuaciones

4x3 − 4y = 0 y 4y3 − 4x = 0Que equivale a

x3 − y = 0 y y3 − x = 0Reemplazo y = x3 en la segunda ecuación y me queda(

x3)3 − x = x9 − x = 0


Ejemplo

Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1Encuentre los puntos críticos de f y para cada uno de ellos calcule Dpara cada uno de ellos.

Solución:


fx = fy = 0




x3)3 − x = x9 − x = 0


Ejemplo

Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1Encuentre los puntos críticos de f y para cada uno de ellos calcule Dpara cada uno de ellos.Solución:


fx = fy = 0




x3)3 − x = x9 − x = 0


Ejemplo


fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4x

Entoncesfx = fy = 0




x3)3 − x = x9 − x = 0


Ejemplo



fx = fy = 0


4x3 − 4y = 0 y 4y3 − 4x = 0

Que equivale ax3 − y = 0 y y3 − x = 0

Reemplazo y = x3 en la segunda ecuación y me queda(x3)3 − x = x9 − x = 0


Ejemplo



fx = fy = 0



x3 − y = 0 y y3 − x = 0

Reemplazo y = x3 en la segunda ecuación y me queda(x3)3 − x = x9 − x = 0


Ejemplo



fx = fy = 0



x3 − y = 0 y y3 − x = 0Reemplazo y = x3 en la segunda ecuación y me queda

(x3)3 − x = x9 − x = 0


Ejemplo



fx = fy = 0




x3)3 − x = x9 − x = 0


Ejemplo

Factorizando tenemos

0 = x(x8 − 1

)= x

(x4 − 1

) (x4 + 1

)

0 = x(x2 − 1

) (x2 + 1

) (x4 + 1

)= x (x − 1) (x + 1)

(x2 + 1

) (x4 + 1

)Las únicas soluciones de esta ecuación son entonces

x = 0, x = 1 y x = −1Hay entonces tres puntos críticos, que se encuentran reemplazando eny = x3

Los puntos críticos son

(0, 0) , (1, 1) y (−1,−1) .Ahora necesitamos calcular

D =


∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2


Ejemplo


0 = x(x8 − 1

)= x

(x4 − 1

) (x4 + 1

)0 = x

(x2 − 1

) (x2 + 1

) (x4 + 1

)= x (x − 1) (x + 1)

(x2 + 1

) (x4 + 1

)

Las únicas soluciones de esta ecuación son entonces




D =


∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2


Ejemplo


0 = x(x8 − 1

)= x

(x4 − 1

) (x4 + 1

)0 = x

(x2 − 1

) (x2 + 1

) (x4 + 1

)= x (x − 1) (x + 1)

(x2 + 1

) (x4 + 1


x = 0, x = 1 y x = −1

Hay entonces tres puntos críticos, que se encuentran reemplazando eny = x3



D =


∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2


Ejemplo


0 = x(x8 − 1

)= x

(x4 − 1

) (x4 + 1

)0 = x

(x2 − 1

) (x2 + 1

) (x4 + 1

)= x (x − 1) (x + 1)

(x2 + 1

) (x4 + 1





D =


∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2


Ejemplo


0 = x(x8 − 1

)= x

(x4 − 1

) (x4 + 1

)0 = x

(x2 − 1

) (x2 + 1

) (x4 + 1

)= x (x − 1) (x + 1)

(x2 + 1

) (x4 + 1




(0, 0) , (1, 1) y (−1,−1) .

Ahora necesitamos calcular

D =


∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2


Ejemplo


0 = x(x8 − 1

)= x

(x4 − 1

) (x4 + 1

)0 = x

(x2 − 1

) (x2 + 1

) (x4 + 1

)= x (x − 1) (x + 1)

(x2 + 1

) (x4 + 1





D =


∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 20 / 23

Ejemplo

fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4x

fxx = 12x2, fxy = −4fyy = 12y2, fyx = −4

D = fxx fyy − (fxy )2 = 144x2y2 − 16

Para (0, 0) , D = −16 < 0.Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12.Para (−1,−1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (−1,−1) = 12.


Ejemplo

fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4x

fxx = 12x2, fxy = −4fyy = 12y2, fyx = −4

D = fxx fyy − (fxy )2 = 144x2y2 − 16



Ejemplo

fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4x

fxx = 12x2, fxy = −4fyy = 12y2, fyx = −4

D = fxx fyy − (fxy )2 = 144x2y2 − 16



Ejemplo

fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4x

fxx = 12x2, fxy = −4fyy = 12y2, fyx = −4

D = fxx fyy − (fxy )2 = 144x2y2 − 16

Para (0, 0) , D = −16 < 0.

Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12.Para (−1,−1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (−1,−1) = 12.


Ejemplo

fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4x

fxx = 12x2, fxy = −4fyy = 12y2, fyx = −4

D = fxx fyy − (fxy )2 = 144x2y2 − 16

Para (0, 0) , D = −16 < 0.Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12.

Para (−1,−1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (−1,−1) = 12.


Ejemplo

fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4x

fxx = 12x2, fxy = −4fyy = 12y2, fyx = −4

D = fxx fyy − (fxy )2 = 144x2y2 − 16



Prueba de segundas derivadas

Suponga que f tiene segundas derivadas continuas en un disco concentro en (a, b) y tal que

fx (a, b) = 0 = fy (a, b)

D = D (a, b) = fxx (a, b) fyy (a, b)− (fxy (a, b))2

(a) Si D > 0 y fxx (a, b) > 0 entonces f (a, b) es un mínimo local.

(b) Si D > 0 y fxx (a, b) < 0 entonces f (a, b) es un máximo local.

(c) Si D < 0 entonces f (a, b) es un punto de silla, es decir, no tieneni mínimo local ni máximo local.

Si D = 0 la prueba no dice nada.




fx (a, b) = 0 = fy (a, b)









fx (a, b) = 0 = fy (a, b)









fx (a, b) = 0 = fy (a, b)









fx (a, b) = 0 = fy (a, b)







Ejemplo

Para el ejemplo Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1 tenemos entoncesPara (0, 0) , D = −16 < 0, el origen (0, 0) es punto de silla.

Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12, el punto (1, 1) esmínimo local.

Para (−1,−1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (−1,−1) = 12, el punto(−1,−1) es mínimo local.


Ejemplo

Para el ejemplo Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1 tenemos entoncesPara (0, 0) , D = −16 < 0, el origen (0, 0) es punto de silla.Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12, el punto (1, 1) esmínimo local.



Ejemplo

Para el ejemplo Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1 tenemos entoncesPara (0, 0) , D = −16 < 0, el origen (0, 0) es punto de silla.Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12, el punto (1, 1) esmínimo local.



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Tipos de funciones MÆximos y Mínimos