(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje) · PDF filedeterminar valores extremos de diversas funciones, tales como superficies mínimas, utilidades máximas, tiempos mínimos,

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje)

CÁLCULO VECTORIAL

EXTREMOS DE FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL

En numerosas aplicaciones de la ingeniería se presentan problemas de optimización, en los cuales se pretende determinar valores extremos de diversas funciones, tales como superficies mínimas, utilidades máximas, tiempos mínimos, volúmenes máximos y costos mínimos. Definición. Sea ( ),z f x y= una función continua en una región cerrada " "R del plano " "xy . Entonces: i) Se dice que f tiene un máximo relativo o local en ( )0 0,x y R∈ si se cumple que ( ) ( )0 0, ,f x y f x y≤ para todo

( ),x y en una vecindad o entorno de ( )0 0,x y .

ii) Se dice que f tiene un mínimo relativo o local en ( )0 0,x y R∈ si se cumple que ( ) ( )0 0, ,f x y f x y≥ para todo

( ),x y en una vecindad o entorno de ( )0 0,x y .


2 Si alguna de estas desigualdades se conserva en toda la región en estudio, entonces se habla de extremos absolutos o globales.

Ejemplo. Considérese la función 2 29z x y= − − en la región dada por 2 2 9x y+ ≤ .


3

Ejemplo. Sea la función ( )2 2

2 2

1cos 22

1 2

x yz

x y

+=

+ +, en la región

dada por 2 . Se puede escribir que:

( ) ( )

( )( )

2 2 2 2

2 2

2 2

1 1cos 2 1 cos 22 2

1cos 2 12 0,021 2

x y x y

x yf

x y

+ ≤ ⇒ + ≤

+⇒ < =

+ +

por lo que la función tiene un máximo absoluto en el punto

( )0,0 cuyo valor es 12

.


4

Ejemplo. Considérese la función 2 22 4z x y= − − − en la

región dada por 2 2 4x y+ ≤ . Ejemplo. Sea la función ( ) ( ) ( )2 2, 1 1z f x y x y= = − + − en

todo el espacio 2 . Para cualquier valor de " " " "x y y se cumple que:

( ) ( ) ( )2 21 1 0 1,1x y f− + − ≥ = Se trata de un paraboloide circular cuyo vértice está en el punto ( )1,1,0 y abre hacia arriba, por lo que este punto es el mínimo absoluto de la función.


5

Ejemplo. Considérese la siguiente función: 2 2z x y= − en la región 2 .

Ejemplo. Analizar el comportamiento de la función

( ), x yz f x y e= = alrededor del origen. Traza con el plano yz : Traza con el plano xz : Intersección con el plano y x= : Intersección con el plano y x= − :


6 Teorema. Sea la función ( ),z f x y= continua en una región

cerrada " "R . Entonces f tiene un máximo absoluto ( ),f a b y

un mínimo absoluto ( ),f c d , donde los puntos

( ) ( ), ,a b y c d pertenecen a la región " "R . Esto significa que:

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,m f c d f x y f a b M x y R= ≤ ≤ = ∀ ∈ Teorema. Sea una función ( ),z f x y= continua en una

vecindad de ( )0 0,x y . Si esta función presenta un extremo

relativo para 0 0x x y y y= = , entonces es condición necesaria que las derivadas parciales de primer orden

x yz y z se anulen o no existan en ( )0 0,x y . Prueba. Si se fija un valor 0y y= , entonces la función ( )0,f x y depende de una sola variable, " "x . Dado que la función tiene un extremo (máximo o mínimo) en 0x x= , entonces se puede escribir que:

( ) ( )( )0 0 0

0

,

, ,0

x x x y

df x y f x ydx x

=

∂= =

∂ o no existe

de acuerdo con lo estudiado en el cálculo con una variable. De modo semejante se puede demostrar que

( )( )0 0,

,0

x y

f x yy

∂=

∂ o no existe


7

Definición. Sea ( ),z f x y= una función continua en una

región " "R . A los puntos ( ),x y R∈ , donde las primeras

derivadas parciales x yz y z se anulan o no existen, se les denomina puntos críticos o puntos estacionarios de f . Ejemplo. Obtener los puntos críticos de la función

3 33z x xy y= − +

x

y

z


8 Ejemplo. Obtener los puntos críticos de la función

3 2 2 23 3 3 1z y yx y x= − − − +


9Ejemplo. Obtener los puntos críticos de la función

( ) 2 22 2 14 x yz x y e − −= +

x

y

z


10 Ejemplo. Obtener los puntos críticos de la función

( ) ( ) ( )2

23, 1 4z f x y x y= = − −

Ejemplo. Obtener los puntos críticos de la función

( ) ( )2 2, lnz f x y x y= = +


11 Ejemplo. Obtener la derivada direccional de la función

2 24z x y= − − en el punto ( )1,1 y en la dirección del vector

u i j∧ ∧

= + . Hacer esto de dos maneras diferentes.

( )2 2

2

111 122 ; ; 4 1 1

1 2 212

14 2 12

x tu z t t t

y t

z t

= +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= +

⎛ ⎞⇒ = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( )1 1 4 1' 4 1 ' 12 2 2 2

z t t z t t⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + ⇒ = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )' 0 2.828z∴ = − Otra forma:

( )1,12 2 2 2z x i y j z i j

∧ ∧ ∧ ∧

∇ = − − ⇒ ∇ = − −

1 122

uw i ju

∧ ∧

= = +

( ) 1 12, 2 ,2 2w wD f w D f

∧ ⎛ ⎞= ∇ ⋅ ⇒ = − − ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2.828wD f∴ = −


12

Criterio de la segunda derivada para determinar máximos y mínimos

Teorema. Sean: - 2:f → una función con segundas derivadas parciales continuas en una región cerrada " "R del plano " "xy . -( )0 0,x y un punto crítico de la función, contenido en " "R .

- ( )1 2,u u u∧

= un vector unitario en el plano " "xy .

- ( )20 0,uD f x y la segunda derivada direccional de ( ),f x y

valuada en ( )0 0,x y . Entonces:

( )0 0) ,i f x y es un máximo relativo si ( )20 0, 0uD f x y <

( )0 0) ,ii f x y es un mínimo relativo si ( )20 0, 0uD f x y >

)iii ( )0 0,f x y es un punto silla si ( )20 0,uD f x y cambia de

signo para diferentes direcciones de u∧

)iv El criterio no decide si ( )2

0 0, 0uD f x y = Prueba. La demostración parte de tomar en consideración el criterio de la segunda derivada para el caso de una variable independiente. Una forma de expresar a la derivada direccional es la siguiente:

( ) ( )0 0 0 1 0 20

, ,ut

dD f x y f x u t y u tdt =

= + +

expresión que, como se observa, es una derivada ordinaria en términos de " "t . La segunda derivada direccional está dada por:


13

( ) ( )2

20 0 0 1 0 22

0

, ,ut

dD f x y f x u t y u tdt

=

= + +

Como ( )20 0,uD f x y es una segunda derivada ordinaria, debe

cumplirse que si ( )0 0,f x y es una máximo relativo, entonces

( )20 0, 0uD f x y < . Si ( )0 0,f x y es un mínimo relativo, entonces

( )20 0, 0uD f x y > . Y el criterio no decide si ( )2

0 0, 0uD f x y = .

Nótese que esto se cumple para cierta dirección ( )1 2,u u u∧

= . Si

el vector u∧

es variable y las desigualdades anteriores se conservan, entonces se cumple lo que establece el teorema. Y

si las desigualdades cambian al cambiar u∧

, entonces se trata de un punto silla. Y queda demostrado el teorema. Teorema. Sean: - 2:f → una función con segundas derivadas parciales continuas en una región cerrada " "R del plano " "xy . -( )0 0,x y un punto crítico de la función, contenido en " "R .

- ( ) ( ) ( ) ( )20 0 0 0 0 0 0 0, , , ,xx yy xyg x y f x y f x y f x y= −

Entonces: ( )0 0) ,i f x y es un máximo relativo si ( )0 0, 0g x y > y

( ) ( )( )0 0 0 0, 0 , 0xx yyf x y f x y< <

( )0 0) ,ii f x y es un mínimo relativo si ( )0 0, 0g x y > y

( ) ( )( )0 0 0 0, 0 , 0xx yyf x y f x y> >

( )0 0) ,iii f x y es un punto silla si ( )0 0, 0g x y <

)iii El criterio no decide si ( )0 0, 0g x y =


14 Prueba. La primera derivada direccional se puede escribir como:

( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,u x y x yD f x y f u f f u u u f u f∧

= ∇ ⋅ = ⋅ = + y la segunda derivada direccional equivale a:

( )2 2 21 1 2 2, 2u xx xy yyD f x y u f u u f u f= + +

Se toma xxf como factor común y se obtiene:

( )2 2 21 1 2 2, 2 xy yy

u xxxx xx

f fD f x y f u u u u

f f⎡ ⎤

= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

Se completa el trinomio cuadrado perfecto y:

( )2 2

2 2 2 2 21 1 2 2 2 22 2, 2 xy xy xy yy

u xxxx xxxx xx

f f f fD f x y f u u u u u u

f ff f⎡ ⎤

= + + − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )2 2

2 221 2 2, xy

u xx xx yy xyxx xx

f uD f x y f u u f f ff f

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Esta expresión se cumple siempre y cuando 0xxf ≠ Si se hubiera factorizado yyf se tendría que, para 0yyf ≠

( ) ( )2

22 21

2 1 2, xyu yy xx yy xy

yy yy

f uD f x y f u u f f ff f

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Se observa que el signo de la segunda derivada direccional depende de la expresión 2

xx yy xyf f f− por una parte y del signo

de xxf (o de yyf ) por la otra.

Si se hace ( ) 2, xx yy xyg x y f f f= − y se aplica el teorema anterior, se tiene que:


15

( )0 0) , 0i g x y > ⇒ el signo de 2uD f depende del signo

de xxf o yyf como sigue:

0xxf < (o 0yyf < ) 2 0uD f⇒ < ∴ máximo relativo

0xxf > (o 0yyf > ) 2 0uD f⇒ > ∴ mínimo relativo

( )0 0) , 0ii g x y < ⇒ existen direcciones para las cuales 2 0uD < y direcciones para las que 2 0uD > . Por lo tanto se

tiene un punto silla. ( )0 0) , 0iii g x y = ⇒ el signo de 2

uD f depende

únicamente del signo de o dexx yyf f pero cuando menos habrá una dirección en donde se anule el primer sumando, lo que hace cero a 2

uD f y entonces el criterio no decide. Ejemplo. Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la siguiente función:

3 2 2 23 3 3 1z y yx y x= − − − + En un ejemplo anterior se obtuvieron los puntos críticos que son:

( ) ( ) ( ) ( )0,0,1 , 0,2, 3 , 3, 1, 3 , 3, 1, 3− − − − − −


16

Ejemplo. Determinar los extremos relativos de la siguiente función:

( ) 3 2, 4 2z f x y x xy y= = − +


17

Ejemplo. Obtener los tres números cuyo producto sea máximo si su suma es nueve.


18 Ejemplo. Una caja rectangular descansa sobre el plano " "xy con un vértice en el origen. Obtener el volumen máximo de la caja cuyo vértice opuesto al del origen está situado en el plano 6 4 3 24x y z+ + = .


19 Ejemplo. Determinar los extremos absolutos y relativos, así como los puntos silla, de la función:

( ) 3 3,z f x y xy x y xy= = − − sobre la región limitada por 0 1 0 1x y y≤ ≤ ≤ ≤


20

x y

z

( )1,1, 1−


21 Ejemplo. Obtener los extremos relativos de la función:

( ) ( ),

0 2 ; 0 2z f x y senx seny sen x y

x yπ π

= = + + +

≤ ≤ ≤ ≤


22

Criterio de la segunda derivada con la Matriz Jacobiana La segunda derivada direccional se expresa como:

2 2 21 1 2 22u xx xy y yD f u f u u f u f= + +

El segundo miembro es una forma cuádrica que se puede expresar matricialmente como:

2 11 2

2

Txx xyu

y x y y

f f uD f u u u Hu

uf f⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

en donde Tu es la matriz transpuesta de u y la matriz

x x x y

y x y y

f fH

f f⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

es una matriz simétrica denominada matriz hessiana, y su determinante, al que se le denomina hessiano, es el siguiente:

2xx xyxx yy xy

yx yy

f fH f f f

f fΔ = = −


23

Como H es una matriz simétrica, puede transformarse en una matriz diagonal

( )1 2' ,H diag λ λ= de acuerdo con el Teorema Espectral del álgebra lineal que afirma que toda matriz simétrica " "M se puede transformar en una matriz diagonal " "D formada por los valores característicos de " "M . Y esto se logra mediante unas matriz ortonormal " "P , formada por los vectores característicos ortonormalizados de " "M y que “diagonaliza” a la matriz " "M ; esto es,

( )1;T TD P M P P P−= =

Si se aplica este teorema a la matriz hessiana, se tiene que: ' 'T TH P H P H PH P= ⇒ =

y al sustituir este resultado en la expresión matricial de 2uD f se

llega a:

( ) ( )2 ' 'TT T TT

uD f u P H P u u P H u P= =

Si se hace 1 2

Tv u P v v= = ⎡ ⎤⎣ ⎦ , entonces se tiene que

2 'T

uD f v H v= o sea

2 1 11 2

2 2

00u

vD f v v

vλ

λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

de donde 2 2 2

1 1 2 2uD f v vλ λ= + En esta expresión se ve que el signo de la segunda derivada direccional depende únicamente de los signos de los valores característicos 1 2yλ λ ; este es otro método para obtener los extremos relativos de una función escalar de variable


24

vectorial ( ),z f x y= , el cual se puede generalizar a funciones con más de dos argumentos. Para obtener los valores característicos 1 2yλ λ se calcula

( )det H Iλ− y se iguala a cero para cada punto crítico. Los

signos de 1 2yλ λ determinarán entonces la naturaleza del punto crítico. Ejemplo. Determinar los extremos relativos de la función

( ) 3 3, 3z f x y x xy y= = − +


25

x

y

z

Ejemplo. Una caja rectangular sin tapa debe ser construida para tener un volumen de 312 m . El costo del material del fondo es de 2$ 400 / m , de 2$ 300 / m para dos lados opuestos y de 2$ 200 / m para los otros dos lados opuestos. Determinar las dimensiones de la caja para que el costo de los materiales empleados en su construcción sea mínimo.


26 Ejemplo. Verificar que el campo escalar

4 4 4 4u x y z xyz= + + − tiene un punto crítico en ( )1,1,1, 1− y determinar la naturaleza de dicho punto crítico, analizando los valores característicos de la matriz jacobiana.


27 Ejemplo. Analizar la naturaleza de los puntos críticos de la función 2 2 2 24v w x y z= − − − −


28 Ejemplo. Para conducir agua para riego a través de una barranca, es necesario construir un canal de sección trapezoidal, con hoja de un determinado tipo de lámina cuyo ancho es de 80 cm. Calcular la longitud de la sección del canal en su base, así como el ángulo de inclinación de sus taludes, de tal forma que el canal tenga máxima capacidad.


29

Optimización de funciones con restricciones Multiplicadores de Lagrange

Supóngase que se pretende obtener el máximo volumen de una caja rectangular con caras paralelas a los planos coordenados y que está inscrito en el elipsoide

2 2 216 4 9 144x y z+ + = . En la siguiente figura se muestra en forma aproximada la parte de la caja inscrita en el elipsoide, en el primer octante.

2 2 2

19 36 16x y z

+ + =

( ), ,P x y z

y

z

x


30El volumen de la caja está dado por 8V xyz= y a esta función, con tres argumentos, se le llama función objetivo ya que es la que se pretende optimizar. El volumen de la caja está sujeto a la restricción 2 2 216 4 9 144x y z+ + = . Si se despeja en esta expresión a la variable " "z para tener una función del volumen en términos de dos variables independientes, se tiene que

( )2 2 2

2 2

1 144 16 49

1 144 16 43

z x y

z x y

= − −

⇒ = − −

por lo que el volumen queda como 2 28 144 16 4

3xyV x y= − −

Como se observa, la obtención de las primeras y segundas derivadas parciales se dificulta mucho. También podría darse el caso de que no sea factible despejar variables en las restricciones. Para estos casos se han desarrollado métodos especiales y uno de los más convenientes es el conocido como Multiplicadores de Lagrange. Se partirá de las siguientes definiciones, considerando siempre que el número de restricciones en menor que l número de variables del problema a resolver. Definición. Sea ( ) ( )1 2, , , nz f r f x x x= = … una función

escalar de variable vectorial, continua y diferenciable, sujeta a las restricciones: ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , , 0; , , , 0 , , , 0n n m ng x x x g x x x g x x x≤ ≤ ≤… … … …

m n<

y sea el problema:


31

Optimizar ( ) ( )1z f r= sujeta a

( ) ( )0 2 1,2, ,ig r i m n≤ ∀ = <…

Entonces: )i A este problema se le denomina problema de

programación. )ii A la expresión matemática ( )1 de lo que se quiere

optimizar se le llama función objetivo. )iii A la región formada por todos los puntos que cumplen

con las restricciones ( )2 se le llama región permisible.

Ejemplo. Sea ( ), , 0g x y z = la ecuación de una superficie " "S que no pasa por el origen de coordenadas. Determinar los puntos de esta superficie que estén más próximos al origen. Solución. Un punto ( ) 3, ,x y z ∈ está a una distancia " "r del origen sí y únicamente si pertenece a la esfera

2 2 2 2x y z r+ + = , que es una superficie de nivel de la

función ( ) ( )1

2 2 2 2, ,f x y z x y z= + + la que será

minimizada (función objetivo). Si se comienza con 0r = y se va incrementando su valor, el primer punto de contacto entre la esfera y " "S , será el punto más próximo de " "S al origen. La ecuación ( ), , 0g x y z = , que representa a la superficie " "S , es la parte activa de la restricción. Si " "S tiene un plano tangente en un punto de contacto, este plano debe también ser tangente a la superficie de nivel de " "f . Por lo tanto, el vector gradiente de la superficie


32

( ), , 0g x y z = , debe ser paralelo al vector gradiente de la

superficie de nivel ( ), ,f x y z r= . Entonces existe una constante

" "λ tal que f gλ∇ = − ∇ , es decir, que

0 0 0x y z x y zf i f j f k g i g j g k i j kλ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

de donde se obtienen las ecuaciones:

( ) ( )

000

, , 0 ; restricción

x x

y y

z z

f gf gf gg x y z

λλ

λ

+ =

+ =

+ =

=

Si se resuelve este sistema de ecuaciones, se obtienen los puntos en los que la distancia al origen es mínima. De manera semejante, con una función objetivo y dos restricciones, se podría llegar a:

1 1 2 2f g gλ λ∇ = ∇ + ∇ y al correspondiente sistema de ecuaciones:

( )( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1

2

, , 0; restricciones

, , 0

x x x

y y y

z z z

f g gf g gf g g

g x y zg x y z

λ λλ λ

λ λ

= +

= +

= +

⎫= ⎪⎬

= ⎪⎭

que al ser resuelto deviene en los puntos críticos cuya naturaleza optimizará el problema planteado.


33

Teorema. Sea " "D la región permisible de una función continua y diferenciable ( )z f r= , un entorno o vecindad de

0r D∈ y sujeta a las restricciones

( ) 0 1,2, ,kg r k m n= ∀ = <… .

Entonces 0L∇ = , es decir,

( )0 1,2, , ; 0 1,2, ,ki

L i n g r k m nx∂

= ∀ = = ∀ = <∂

… …

Estas dos expresiones forman un sistema de n m+ ecuaciones, a partir del cual pueden ser determinadas las incógnitas

1 1, , , , ,n mx x λ λ… … . Aquí 1, , nx x… son las coordenadas del punto en el que puede haber un extremo condicionado. Conclusión. El problema de la búsqueda de un extremo condicionado se reduce al análisis del extremo corriente de la función de Lagrange, definida como:

( ) ( ) ( )1 1 1 11

, , , , , , , , ,m

n m n k k nk

L x x f x x g x xλ λ λ=

= + ∑… … … …

A los escalares ; 1, ,k k mλ = … se les denomina Multiplicadores de Lagrange. En este método, las condiciones necesarias para la existencia de un extremo condicionado se expresan por medio del sistema de n m+ ecuaciones

( )0 1,2, , ; 0 1,2, ,ki

L i n g r k m nx∂

= ∀ = = ∀ = <∂

… …

Ahora se presentarán algunos problemas para aplicar este método o el criterio de la segunda derivada.


34

Ejemplo. Calcular tres números positivos cuya suma sea 12 y cuyo producto sea máximo. Ejemplo. Determinar las dimensiones del paralelepípedo rectangular de máximo volumen que se puede inscribir en el elipsoide 2 2 29 4 36x y z+ + = .


35 Ejemplo. Se tiene un plano en el espacio 3 cuya ecuación es

6 4 3z x y= − − . Determinar los extremos condicionados de este plano en su intersección con el cilindro 2 2 1x y+ = .


36 Ejemplo. Obtener la distancia mínima que existe entre el origen y la recta de intersección de los planos 2 4x z+ = y

8x y+ = .


37Ejemplo. Determinar los extremos absolutos de la función

( ), 2 3f x y x y= −

en la región 2

2 14x y+ ≤ . Resolver con Lagrange y con el

criterio de la segunda derivada.


38Ejemplo. Para conducir agua para riego a través de una barranca, se desea construir un canal de sección trapezoidal con hojas de un cierto tipo de lámina. Si el ancho de las hojas es de 24 pulgadas, calcular la longitud de la sección en su base, así como el ángulo de inclinación de sus lados, de tal forma que el canal tenga capacidad máxima.


39Ejemplo. Determinar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función ( ) 2 2, 2f x y x x y= − + .

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