5.1 Máximos e Mínimos

5.1A Se f (x) = x +4

x, encontre o número c que satisfaz a conclusão do TVM (Teorema do

Valor Médio) no intervalo [1; 8] :

5.1B Seja f (x) = jx� 1j : Mostre que não existe um número c satisfazendo 3f 0 (c) = f (3)�

f (0). Isso contradiz o TVM?

5.1C Considere f (x) = 1 � 3px2. Veri�que que f (�1) = f (1), mas não existe um número

c 2]� 1; 1[, satisfazendo f 0 (c) = 0. Isso contradiz o Teorema de Rolle? Por que?

5.1D Prove que a equação x3+x�1 = 0 tem exatamente uma raiz real. (sug.: você está diante

de um problema de existência e unicidade. A existência é comprovada pelo TVI e a unicidade

é obtida como conseqüência do Teorema de Rolle, utilizando-se, para tanto, um argumento de

contradição).

5.1E Prove que existe um único número real x talque ex + x = 0:

5.1F Seja f : [a; b] ! R uma função contínua. Se f é derivável em (a; b) e f 0 (x) = 0; 8x 2

(a; b), mostre que f é uma função constante. (sug.: considere x1 e x2 em [a; b] e aplique o TVM à

função f em [x1; x2]).

5.1G Mostre que arctg x + arccotg x = �=2: (sug.: mostre que a função f (x) = arctg x +

arccotg x é constante e, então, calcule f (1)).

5.1H Seja f : [a; b] ! R uma função contínua. Se f é diferenciável em (a; b) e f 0 (x) =

f (x) ; 8x 2 (a; b), mostre que existe uma constante C tal que f (x) = Cex; 8x 2 [a; b] : (sug.:

veri�que que a função ' (x) = f (x) e�x é constante).

5.1I Sejam f; g : [a; b]! R funções contínuas. Se ambas são diferenciáveis em (a; b) e f 0 (x) =

g0 (x), para todo x 2 (a; b), mostre que essas funções diferem por uma constante, isto é, f (x) =

g (x) + C:

30 DERIVADAS: aplicações COMPLEMENTOS 5

5.1J Considere g (x) = x4�4x+1. Encontre a função f que satisfaz f 0 (x) = g0 (x) e f (1) = 2:

5.1K Mostre que ex > x, para x > 0: Mostre, em seguida, que ex > 1 + x + x2=2, com a

mesma restrição x > 0. Use o processo indutivo para provar, em geral, que:

ex > 1 + x+x2

2!+x3

3!+ � � �+ x

n

n!; para x > 0: (5.1)

E se x � 0 a desigualdade (5.1) continua válida?

5.1L Mostre quex

1 + x< ln (1 + x) < x, seja qual for o x > 0:

5.1M Mostre que senx < x, seja qual for o x > 0:

5.1N Mostre que a equação x2 � x senx � cosx = 0 tem duas e somente duas raízes, uma

negativa e a outra positiva.

5.1O Mostre que � < tg �, para 0 < � < �=2 :

5.1P Considere a função f (x) = x3 � 3x2 + 3:

(a) Decida sobre a existência de máximos ou mínimos locais e absolutos de f ;

(b) Calcule os valores máximo e mínimo de f no intervalo [�2; 3] e determine os pontos nos

quais esses valores são assumidos.

5.1Q Considere a função ' (x) = 2x3 � 9x2 + 12x+ 3:

(a) Decida sobre a existência de máximos ou mínimos locais e absolutos de f ;

(b) Calcule os valores máximo e mínimo de f no intervalo [0; 3] e determine os pontos nos

quais esses valores são assumidos;

(c) Repita o ítem (b), considerando o intervalo [1=2; 3] ;

(d) Repita o ítem (b), considerando o intervalo [1=2; 5=2] ;

(e) Repita o ítem (b), considerando o intervalo [3=4; 9=4] :

5.1R Analise cada uma das funções de�nidas abaixo com relação à existência de máximos e

mínimos locais e absolutos.(a) f (x) = senx+ cosx; x 2 [0; 2�] (b) f (x) = xe�x; x 2 R

(c) f (x) = 3 cos (2x) ; x 2 [0; �] (d) f (x) =p1� x2; x 2 [�1; 1]

(e) f (x) = x2 +1

x; x 6= 0 (f) f (x) = x2

p1� x2; x 2 [�1; 1]

CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 31

5.1S A função f (x) = 2 � j1� xj, de�nida para 0 � x � 2; admite algum ponto de máximo

ou de mínimo?

5.1T Determine, se existirem, os pontos de mínimo e de máximo da função y = 2xe2x: Analise,

ainda, o grá�co dessa função quanto à concavidade.

5.1U Esboce o grá�co de cada uma das funções de�nidas abaixo.

(a) f (x) = x3 � 3x (b) f (x) = x4 � 2x2 (c) f (x) = x4 � x3 (d) f (x) =x

1 + x2

(e) f (x) =x+ 1

x� 1 (f) f (x) =x2

1 + x2(g) f (x) =

1 + x2

x(h) f (x) =

x2 + 2

x� 3

(i) f (x) =4x

x2 � 9 (j) f (x) =x4 + 1

x2(k) f (x) =

x3

1 + x2(l) f (x) =

2x

x2 � 1

(m) f (x) = senx+ cosx (n) f (x) = x� senx (o) f (x) = xe�x (p) f (x) = e�x2

5.1V A �gura ao lado mostra o grá�co de uma função y =

f(x).

(a) Para quais valores de x, f é crescente? E decrescente?

(b) Essa função possui pontos de máximo e de mínimo?

(c) Essa função possui ponto de in�exão?

(d) O que representa, no grá�co, a reta y = 4?

5.1W Suponha que a �gura ao lado corresponda ao grá�co

da derivada f 0 de uma função y = f(x).

(a) Qual a inclinação da tangente ao grá�co de f em x = 1?

(b) Com relação ao crescimento e à concavidade, descreva

o grá�co de f no intervalo [1; 2].

(c) O grá�co de f possui alguma tangente horizontal?

(d) A função f possui algum ponto de máximo ou de mínimo

local?

5.1X Existe algum valor para m, de modo que a função f (x) = mx �m2 ln�1 + x2

�tenha

x = 2 como ponto de mínimo local?

32 DERIVADAS: aplicações COMPLEMENTOS 5

5.1Y Se a2 < 3b, deduza que a função f (x) = x3 + ax2 + bx + c não possui máximo nem

mínimo.

5.2 Problemas de Máximo e Mínimo

5.2A Determine dois números positivos x e y com produto p e cuja soma seja a menor possível.

5.2B Determine as dimensões de uma caixa retangular de base quadrada, sem tampa, de

forma que sua área total tenha um valor pre�xado A e seu volume V seja o maior possível.

5.2C Demonstre que o retângulo de área máxima inscrito em um círculo de raio r é um

quadrado.

5.2D De todos os triângulos isóceles de igual perímetro, o que tem maior área é o triângulo

eqüilátero.

5.2E Dois corretores, de larguras a e b, encontram-se num ângulo reto, como indica a �gura ao

lado. Seja l o comprimento máximo de uma viga que pode passar horizontalmente de um corredor

ao outro. Determine l em termos de a e b:

5.2F Encontre sobre a curva y2 � x2 = 1, o ponto mais próximo do ponto (�1; 0) :

5.2G Qual o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado resulta no maior

valor possível?

5.2H Qual ponto da parábola y = 1� x2 está mais próximo da origem? (sug.: esse problema

consiste em minimizar a função f (x) = x2 + y2 = x2 +�1� x2

�2, que representa o quadrado dadistância de um ponto da parábola à origem).

5.2I Qual ponto da parábola y = x2 está mais próximo da reta y = x� 2? (sug.: minimize o

quadrado da distância de um ponto a uma reta!).

5.2J Dentre todos os retângulos com o mesmo perímetro p, mostre que o quadrado é o de

maior área. (sug.: o problema consiste em maximizar a função área A (x) = xy, sendo 2x+2y = p):

CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 33

5.2K Ache a equação da reta que passa no ponto (3; 2) e,

no primeiro quadrante, forma com os eixos coordenados um

triângulo de área mínima (�gura 5.3). Proceda assim:

(a) Admita a reta na forma y = ax+b e note que 3a+b = 2;

(b) A função a ser minimizada é a função área: A =x0y02

(c) Determine x0 e y0 e, em seguida, a equação da reta.

5.2L Encontre os comprimentos dos lados do retângulo de

maior área que pode ser inscrito em um semicírculo de raio r,

estando a base do retângulo sobre o diâmetro do semicírculo.

(sug.: a função a ser maximizada é a área e esta vem dada por:

A = xy = xpr2 � x2:

5.2M Uma indústria de embalagens de metal onde você tra-

balha é escolhida para fornecer latinhas de cerveja de 500ml

para um fabricante multinacional. O gerente da fábrica desco-

bre que você é um funcionário que já estudou cálculo e, por essa

razão, lhe procura e pergunta: as dimensões da lata (altura e

raio) podem in�uir no custo da produção? (sug.: lembre-se das

fórmulas básicas da área total e volume do cilindro de raio x e

altura y: AT = 2�x2 + 2�xy e V = �x2y = 500).

5.2N Uma indústria produz determinado artigo e vende-o com um lucro mensal dadao pela

expressão L (q) = �q3 + 12q2 + 60q � 4, onde q representa a quantidade produzida mensalmente.

Qual a produção que maximiza o lucro? Qual é esse lucro máximo?

5.2O Duas torres têm, respectivamente, 50 e 30 metros de altura, estando separadas por uma

distância de 150 metros e um cabo guia deve ser estendido do ponto A até o topo de cada torre.

(veja �gura 5.6).

34 DERIVADAS: aplicações COMPLEMENTOS 5

(a) Localize exatamente o ponto A de modo que o comprimento total do cabo seja mínimo.

(b) Mostre que o comprimento do cabo usado é mínimo sempre que os ângulos em A são

iguais, independente da altura das torres.

5.2P Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e nos outros três lados

por uma cerca elétrica feita de um �o. Com 800m de �o à disposição, qual é a maior área que se

pode cercar e quais são suas dimensões?

5.2Q Uma folha com perímetro de 36m será enrolada para

formar um cilindro, como é mostrado na �gura ao lado. Que

valores de x e y fornecem o maior volume?

A mesma folha sofrerá uma revolução em torno de seu lado

y gerando um outro cilindro. Que valores de x e y fornecem,

agora, o maior volume?

5.2R Determine o raio r e a altura h do maior cilindro circular

reto que pode ser colocado dentro de uma esfera de raiop3,

como sugere a �gura 5.8 ao lado. (recorde-se que o volume da

esfera e do cilindro sã o dados, respectimaente por:

VE =4

3�R3 e VC = �r

2h):

CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 35

5.2S Se o perímetro do setor circular apresentado na �gura

5.9 ao lado for �xado em 100m, que valores de r e s darão ao

setor a maior área?

Assíntotas

Se a distância entre o grá�co de uma função e uma reta �xa se aproxima de zero à medida que a

curva se afasta da origem, dizemos que a curva se aproxima assintóticamente da reta ou que a reta

é uma assíntota do grá�co.

Assíntotas horizontais, verticais e oblíquas

� A reta y = b é uma assíntota horizontal do grá�co da função y = f (x) se:

limx!1

f (x) = b ou limx!�1

f (x) = b:

� A reta x = a é uma assíntota vertical do grá�co da função y = f (x) se:

limx!a+

f (x) = �1 ou limx!a�

f (x) = �1:

� A reta y = ax+ b é uma assíntota oblíqua do grá�co da função y = f (x) se:

limjxj!1

jf (x)� (ax+ b)j = 0:

Por exemplo, a função y = x + 1=x tem o eixo y como assíntota vertical e a reta y = x

como uma assíntota oblíqua. De fato: limjxj!1

jf (x)� xj = limjxj!1

j1=xj = 0 e limx!0+

f (x) = +1 e

limx!0�

f (x) = �1:

5.2T Veri�que que o grá�co de cada uma das funções y = f (x) de�nidas abaixo possui ao

menos um tipo de assíntota.

(a) y = x+ lnx (b) y =1

x2(c) y =

x2

x2 � 4 (d) y =x3

x2 + 1(e) y =

x2 � x+ 1x� 1

(f) y =x3px+ 1

(g) y =px2 + 1 (h) y =

x2 � 1x2 + 1

(i) y =x2px2 � 1

(j) y =4� x2x+ 1

36 DERIVADAS: aplicações COMPLEMENTOS 5

5.3 A Regra de l�Hôpital

John Bernoulli descobriu uma regra para o cálculo de limites de frações cujos numeradores e

denominadores tendem para zero. A regra é conhecida atualmente como Regra de l�Hôpital, em

homenagem ao marquês de St. Mesme, Guillaume François Antoine de l�Hôpital (1661-1704), um

nobre francês que escreveu o primeiro texto introdutório de cálculo diferencial, em que a regra foi

impressa pela primeira vez.

Forma Indeterminada 0=0

Se as funções contínuas f (x) e g (x) são zero em x = a, então

limx!a

f (x)

g (x)

não pode ser calculado com a substituição x = a: A substituição gera a expressão 0=0, sem signi�-

cado algum. Recorde-se dos argumentos que utilizamos em sala de aula para calcular limx!0 (senx) =x,

em que a substituição x = 0 produziu a forma indeterminada 0=0. Por outro lado, fomos bem suce-

didos com o limite

limx!a

f (x)� f (a)x� a

com o qual calculamos a derivada f 0 (a) e que sempre resulta na forma 0=0 com a substituição

x = a: A Regra de l�Hôpital nos permite usar derivadas para calcular llimites que, abordados de

outra forma, conduzem à formas indeterminadas.

Teorema (Regra de l�Hôpital) Suponha que f (a) = g (a) = 0, que f e g sejam deriváveis em

um intervalo aberto contendo a e que g0 (x) 6= 0 nesse intervalo exceto, possivelmente, em x = a:

Então:

limx!a

f (x)

g (x)= limx!a

f 0 (x)

g0 (x); (5.3)

desde que exista o limite do lado direito de (5.3).

Atenção

Ao aplicar a Regra de l�Hôpital não

caia na armadilha de usar a derivada

de f=g. O quociente a ser usado é

f 0=g0 e não (f=g)0.

Exemplo Aplicando a Regra de l�Hôpital

A expressão1� cosxx+ x2

com x = 0 produz a indetermi-

nação 0=0 e aplicando a regra (5.3), encontramos:

limx!0

1� cosxx+ x2

= limx!0

senx

1 + 2x=0

1= 0

CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 37

Formas indeterminadas 1=1; 1 � 0; 1�1

Uma versão da Regra de l�Hôpital também se aplica a quocientes que produzem as formas indeter-

minadas 1=1; 1 � 0; 1�1. Por exemplo, se f (x) e g (x) tendem ao in�nito quando x ! a,

então a fórmula (5.3) continua válida, desde que o limite do lado direito exista. Aqui, como também

na forma indeterminada 0=0, o ponto a onde investigamos o limite pode ser �nito ou �1.

Exemplo Calcule

(a) limx!�=2

secx

1 + tg x(b) lim

x!1lnx

2px

Solução

(a) Note que o numerador e o denominador são descontínuos em x = �=2, então investigaremos

os limites laterais nesse ponto. Temos:

limx!(�=2)�

secx

1 + tg x= 1

1 = (l�Hôpital) = limx!(�=2)�

secx tg x

sec2 x= limx!(�=2)�

senx = 1:

O limite lateral à direita também é 1, e a forma indeterminada nesse caso é�1�1 . Logo, o limite é

1.

(b)

limx!1

lnx

2px= 1

1 = (l�Hôpital) = limx!1

1=x

1=px= limx!1

1px= 0:

Exemplo Trabalhando com as Formas Indeterminadas 1 � 0 e 1�1

Calcule

(a) limx!1

�x sen

1

x

�(b) lim

x!0

�1

senx� 1

x

�Solução

(a)

limx!1

�x sen

1

x

�= 1 � 0 = (fazer t = 1=x) = lim

t!0+

�1

tsen t

�= 1:

(b) Se x ! 0+, então senx ! 0+ e, portanto,1

senx� 1

x! 1 �1. De maneira similar,

se x ! 0�; então1

senx� 1

x! �1 +1: Nenhuma das duas formas revela o que acontece com o

limite. A saída é combinarmos as frações:

1

senx� 1

x=x� senxx senx

38 DERIVADAS: aplicações COMPLEMENTOS 5

e, então, aplicamos a Regra de l�Hôpital ao resultado:

limx!0

�1

senx� 1

x

�= lim

x!0

x� senxx senx

= 00 = (l�Hôpital) = lim

x!0

1� cosxsenx+ x cosx

= 00 = (l�Hôpital) =

= limx!0

senx

2 cosx� x senx =0

2= 0:

Formas Indeterminadas 11; 00 e 10

Os limites que produzem essas formas indeterminadas podem, às vezes, ser tratados utilizando-se

logarítmos. De fato, da relação f (x) = exp [ln f (x)] deduzimos que:

limx!a

ln [f (x)] = L =) limx!a

exp [ln f (x)] = exphlimx!a

ln f (x)i= eL: (5.4)

Em (5.4) o ponto a pode ser �nito ou �1:

Exemplo Calcule

(a) limx!1

�1 +

1

x

�x(b) lim

x!0+xx (c) lim

x!1x1=x

Solução

(a) Trata-se de uma indeterminação do tipo 11, a qual será convertida em 0=0 por aplicação

do logarítimo. Considerando f (x) = (1 + 1=x)x ; temos:

ln f (x) = ln

�1 +

1

x

�x= x ln

�1 +

1

x

�=ln (1 + 1=x)

1=x=) f (x) = exp

�ln (1 + 1=x)

1=x

�e, portanto:

limx!1

f (x) = limx!1

exp [ln f (x)] = exp

�limx!1

ln (1 + 1=x)

1=x

�= exp( 0

0 ) = (l�Hôpital) =

= exp

�limx!1

1

1 + 1=x

�= e1 = e:

(b) Trata-se de uma indeterminação do tipo 00 e procederemos como no ítem (a). Temos:

limx!0+

xx = 00 = limx!0+

exp [lnxx] = exp

�limx!0+

x lnx

�= exp

�limx!0+

lnx

1=x

�= exp( �1

1 ) =

= (l�Hôpital) = exp�limx!0+

1=x

�1=x2

�= exp

�limx!0+

(�x)�= e0 = 1:

CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 39

(c) Temos agora uma indeterminação do tipo 10 e procederemos como no ítem (a). Temos:

limx!1

x1=x = 10 = limx!1

exphlnx1=x

i= exp

�limx!1

lnx

x

�= exp( 1

1 ) =

= (l�Hôpital) = exp�limx!1

1=x

1

�= exp

�limx!1

1

x

�= e0 = 1:

Escrevendo para aprender Demonstrando a Regra de l�Hôpital

Vamos demonstrar a Regra de l�Hôpital (5.3), no caso em que o limite é �nito, isto é, quando

a for um número real. A demonstração é na verdade uma aplicação do Teorema do Valor Médio

de Cauchy, que é uma versão um pouquinho mais geral do Teorema do Valor Médio apresentado

em sala de aula.

Teorema do Valor Médio de Cauchy

Suponha que as funções f e g sejam contínuas no intervalo fechado [a; b] e deriváveis no

intervalo aberto (a; b) e suponha, ainda, que g0 (x) 6= 0 em qualquer x do intervalo (a; b) : Então

existe um número c em (a; b) tal que:

f (b)� f (a)g (b)� g (a) =

f 0 (c)

g0 (c): (5.5)

Prova do TVM de Cauchy

Daremos o roteiro e deixaremos os detalhes da demonstração para você preencher. Não deixe

de fazê-lo.

(i) Aplique o Teorema de Rolle para a função g em [a; b] e deduza que g (b) 6= g (a) ; essa

condição é necessária em (5.5).

(ii) Aplique o Teorema de Rolle à função

F (x) = f (x)� f (a)� f (b)� f (a)g (b)� g (a) [g (x)� g (a)]

para deduzir que existe c em (a; b) tal que F 0 (c) = 0 e a partir dessa igualdade obtenha (5.5) �

Prova da Regra de l�Hôpital

Comece revendo as condições exigidas na regra. Suponha que x esteja à direita de a e aplique

o TVM de Cauchy ao intervalo [a; x] : Existe c entre a e x tal que:

f 0 (c)

g0 (c)=f (x)� f (a)g (x)� g (a) =

f (x)

g (x)(lembre-se que f (a) = g (a) = 0).

40 DERIVADAS: aplicações COMPLEMENTOS 5

Logo,f 0 (c)

g0 (c)=f (x)

g (x):

Conforme x tende para a, o número c também se aproxima de a, porque está entre x e a. Conse-

qüentemente, tomando o limite na última igualdade, com x! a+; obtemos:

limx!a+

f (x)

g (x)= limx!a+

f 0 (c)

g0 (c)= limx!a+

f 0 (x)

g0 (x); (5.6)

que estabelece a Regra de l�Hôpital. O caso em que x está à esquerda de a o TVM de Cauchy é

aplicado ao intervalo [x; a] e o limite obtido é o limite lateral à esquerda. �

5.3A Calcule os limites indicados.

(a) limx!1

lnx

x� 1 (b) limx!0+

px lnx (c) lim

x!+1x1=x (d) lim

x!0(1 + x)1=x

(e) limx!+1

�x

1 + x

�x(f) lim

x!0+xsenx (g) lim

x!1�ln (1� x)x2 � 1 (h) lim

x!0(1� cosx) cotg x

(i) limy!�=2

��2� y

�tg y (j) lim

t!1

ln (1 + t)

log2 t(k) lim

x!0(x+ ex)1=x (l) lim

x!1x (�=2� arctg x)

5.3B A Regra de l�Hôpital não ajuda a encontrar os limites apresentados abaixo. Tente; você

voltará sempre ao mesmo ponto. Calclule os limites de outra maneira.

(a) limx!1

p9x+ 1px+ 1

(b) limx!(�=2)�

secx

tg x(c) lim

x!0+

pxp

senx(d) lim

x!0+cotg x

cosecx

5.3C. Qual está correto e qual está errado? Justi�que suas respostas.

(a) limx!3

x� 3x2 � 3 = lim

x!3

1

2x=1

6(b) lim

x!3

x� 3x2 � 3 =

0

6= 0

5.3D Dê exemplo de duas funções deriváveis f e g com limx!1

f (x) = limx!1

g (x) = 1 que

satisfaçam as condições a seguir.

(a) limx!1

f (x)

g (x)= 3 (b) lim

x!1f (x)

g (x)=1 (c) lim

x!1f (x)

g (x)= 0

5.3E Considere as funções

f (x) =

8<: x+ 2; se x 6= 0

0, se x = 0e g (x) =

8<: x+ 1; se x 6= 0

0, se x = 0:

(a) Mostre que limx!0

f 0 (x)

g0 (x)= 1 mas lim

x!0

f (x)

g (x)= 2:

CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 41

(b) Explique porque isso não contradiz a Regra de l�Hôpital.

Curiosidade Por que 01 e 0�1 não são formas indeterminadas.

Presuma que uma função f (x) não é negativa em um intervalo aberto contendo c e que limx!c

f (x) = 0:

(a) Se limx!c

g (x) =1, então limx!c

f (x)g(x) = 0 e (b) Se limx!c

g (x) = �1, então limx!c

f (x)g(x) =1:

De fato: primeiro, recorde-se que exp (+1) = +1 e exp (�1) = 0 e, depois, que limx!c

f (x)g(x) =

exphlimx!c

g (x) ln f (x)i= exp [(�1) � (�1)] = exp (�1).

42 DERIVADAS: aplicações COMPLEMENTOS 5

Respostas e Sugestões

5.1A c = 2p2 5.1B Não há contradição porque f não é derivável em ]0; 3[ 5.1C Não

há contradição porque f não é derivável em ] � 1; 1[ 5.1J f (x) = x4 � 4x + 5 5.1K

(a) x1 = 1 e x2 = 2 são, respectivamente, pontos de máximo e de mínimo locais. A função não

tem extremos absolutos porque limx!�1

f (x) = �1 (b) x1 = 0 e x2 = 3 são pontos de máximos

absolutos, nos quais f atinge o valor 3; x3 = 2 é ponto de mínimo local com f (2) = �1; x4 = �2

é ponto de mínimo absoluto com f (�2) = �17:

Dica: Uma maneira e�ciente de comprovar que uma dada função f (x) não tem máximo e/ou

mínimo absoluto é mostrar que lim f (x) = +1 e/ou. lim f (x) = �1.

5.1L xM e xm representam, respectivamente, os pontos de máximos absolutos e mínimos absolutos:

Max Loc Max Abs Min Loc Min Abs ' (xM ) e ' (xm)

(a) x1 = 1 não há x2 = 2 não há limx!�1

' (x) = �1

(b) x1 = 1 xM = 3 x2 = 2 xm = 0 ' (xM ) = 12; ' (xm) = 3

(c) x1 = 1 xM = 3 não há xm = 1=2 e xm = 2 ' (xM ) = 12; ' (xm) = 7

(d) não há xM = 1 e xM = 5=2 não há xm = 1=2 e xm = 2 ' (xM ) = 8; ' (xm) = 7

(e) x1 = 9=4 xM = 1 x2 = 3=4 xm = 2 ' (xM ) = 8; ' (xm) = 7

5.1M Max Loc Max Abs Min Loc Min Abs f (xM ) e f (xm)

(a) 2� �=4 0 5�=4 f (xM ) =p2; f (xm) = �

p2

(b) 1 1 não há não há f (xM ) = 1=e; limx!�1

f = �1

(c) não há 0 e � não há �=2 f (xM ) = 3; f (xm) = �3

(d) não há 0 não há �1 f (xM ) = 18; f (xm) = 0

(e) não há não há 1= 3p2 não há

(f) não há �p2=3 não há �1; 0 e 1

5.1S Mín. Abs. xm = 1 e xm = 2; Máx. Abs. xM = 1 5.1T x = �1=2 é ponto de

mínimo local; a concavidade f é voltada para baixo no intervalo (�1;�1) e voltada para cima em

(�1;+1) 5.1U Antes de esboçar o grá�co não esqueça de determinar os pontos extremos ,

as regiões de crescimento ou decrescimento e as in�exões da função.

CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 43

44 DERIVADAS: aplicações COMPLEMENTOS 5

5.1V (a) f decresce em 1 � x � 2:6 e cresce em x > 2:6; (b) Min. Abs. em xm = 2:6 e Max.

Abs. em xM = 1; (c) x = 3:2 é um ponto de in�exão; (d) y = 4 é uma assíntota horizontal.

5.1W (a) 2; (b) Em [1; 2] ; f 0 positiva e decrescente. Logo, f é crescente e seu grá�co tem

concavidade para baixo; (c) Sim, em x = 3; (d) x = 3 é máximo local, pois f 0 < 0, para x > 3;

e f 0 > 0, para x < 3:

5.1X m = 0 ou m = 5=4 5.2App;pp 5.2B b =

pA=3 e h = b=2

5.2E l = [�a2b�1=3

+ b]

q1 + (a=b)2=3 5.3F (�1=2;�

p5=2) 5.2G 1=2

5.2H (�p2=2; 1=2) 5.34I (1=2; 1=4) 5.2K 2x+3y = 12 5.2L r

p2 e r

p22 5.2M

x = 3

q250� e y = 2r

5.2N q = 10 e Lmax = L (10) 5.2O x = 93:75 e y = 56:25 5.2P x = 200 e y = 400

5.2Q x = 12 e y = 6 52R h = 25 e r =p2 5.2S r = 25 e s = 50

5.2T

(a) �x = 0 (b) x = 0; y = 0 (c) x = �2; y = 1 (d) y = x (e) y = x e x = 1

(f) x = �1 (g) y = �x (h) y = 1 (i) x = �1; y = �x (j) y = 1� x e x = �1

5.3A (a)1 (b) 0 (c) 1 (d) e (e) 1=e (f) 1 g) +1 (h) 0 (i) 1 (j) ln 2 (k) e2 (l) �1

5.3B (a)3 (b) 1 (c) 1 (d) 1

5.3C O ítem (a) está incorreto, porque a Regra de l�Hôpital não se aplica. O ítem (b) está correto;

o limite é calculado com a substituição x = 3:

CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 45

5.3D (a) f (x) = 3x2 e g (x) = x2 (b) f (x) = 3x2 e g (x) = x (c) f (x) = 3x e g (x) = x2

5.3E (a) Para x 6= 0; temos que

f 0 (x)

g0 (x)= 1 e

f (x)

g (x)=x+ 2

x+ 1;

e portanto:

limx!0

f 0 (x)

g0 (x)= 1 e lim

x!0

f (x)

g (x)= limx!0

x+ 2

x+ 1= 2:

(b) Esse exemplo não contradiz a Regra de l�Hõpital porque as funções envolvidas não são

deriváveis em x = 0 e, portanto, a regra não se aplica.