Ajuste de Curvas

Ajuste de CurvasMnimos cuadradosObjetivosReconocer grficamente algunas relaciones matemticas entre variables.Comprender el proceso de ajuste de una curva.Determinar e interpretar factores y constantes que se derivan del proceso de ajuste de curva.

AntecedentesEl Mtodo Grfico se utiliza para un nmero limitado de puntos de moderada precisin. El Mtodo de Promedios da mejores resultados que el Mtodo Grfico cuando se dispone de 6 o ms puntos de moderada precisin. El Mtodo de Mnimos Cuadrados es el ms largo de los tres, pero da el mejor valor para la pendiente y el intercepto en el eje de las ordenadas. Su utilizacin no se justifica si no se dispone de ms de siete puntos de buena precisin.xy15.4310.5515.3823.21028.11540.42052.8Al representar grficamente estos valores se obtienen los puntos que se muestran en la figura siguiente:

El Mtodo de Mnimos Cuadrados se basa principalmente en el siguiente supuesto: "La mejor curva es la que hace mnima la suma de los cuadrados de las desviaciones de la curva".Entonces, si n representa el nmero de medidas, x la variable independiente, y la variable dependiente, m la pendiente y b el intercepto en las ordenadas, la recta que mejor se ajusta a los datos es aquella para la cual se verifica que:

Reemplazando estos valores en las ecuaciones para m y b, se tiene:En consecuencia, la ecuacin de la recta de mejor ajuste es:y = mx + b = 2.49x + 3.00El anlisis anterior corresponde, como hemos visto al caso de la recta de ajuste que no pasa por el origen. Sin embargo, en algunas ocasiones ser necesario determinar el valor de la pendiente, cuando la lnea de ajuste pasa por el origen. Para estos casos la ecuacin se reduce a:

Obsrvese finalmente que el mtodo de cuadrados mnimos puede aplicarse a relaciones no lineales, como por ejemplo:

Basta para ello transformar cada una de estas relaciones en una relacin lineal. En el caso de estos ejemplos, ello se consigue aplicando logaritmo, es decir:

y tratar ahora los valores log x y log y, o los valores x y ln y, como datos en una relacin lineal, a los que se puede aplicar directamente la frmula que nos permiten determinar la pendiente m y el intercepto b que en las ecuaciones anteriores est representado por log a y ln a respectivamente.TareaLos datos corresponden a la determinacin de la velocidad v (m/s) de una partcula, en cada libre, en funcin del tiempo t (s).

Los datos corresponden a las medidas del estiramiento x (cm) de un resorte al que se cuelga distintos pesos w (dinas).