termodinamika poglavlje 6-2

112 GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike......

6-9 Promjena entropije idealnih plinova

U opem sluaju proraun entropije idealnih plinova pravi se prema obrascima

[ ]366 i [ ]376 . Za idealne plinove mogu se razviti izrazi u kojima promjena entropije zavisi direktno od P-v-T parametara.

Ako se u jednainu [ ]366 uvrste poznate relacije iz prethodnih izlaganja dTcdu

v= , [ ]a386

i RTPv = , [ ]b386

slijedi

v

dvR

T

dTcdsv

+= , [ ]396

a nakon integriranja od stanja 1 do stanja 2, dobija se

v

dvR

T

dTcdsssv +== 2

1

2

1

2

1

12. [ ]406

Konano, s pretpostavkama cv=const. i R=const., promjena entropije plina u zavisnosti od specifinog volumena i temperature data je slijedeim izrazom

1

2

1

2

12

v

vlnR

T

Tlncss

v+= . [ ]416

Ako se Mayerova relacija cp-cv=R uvrsti u jednainu [ ]416 , dobija se

1

2

1

2

1

2

12

v

vlnc

v

vlnc

T

Tlncss

vpv+= ,

odnosno

2

1

1

2

1

2

12

v

v

T

Tlnc

v

vlncss

vp+= . [ ]426

Iz jednaine stanja [ ]b386 proizlaze slijedei odnosi

2

22

1

11

T

vP

T

vP= ,

GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike...... 113

odnosno

1

2

2

1

1

2

P

P

v

v

T

T= . [ ]436

Ukoliko se jednaina [ ]436 uvrsti u jednainu [ ]426 , tada je promjena entropije plina u zavisnosti od pritiska i specifinog volumena data slijedeim

izrazom

1

2

1

2

12

P

Plnc

v

vlncss

vp+= . [ ]446

Ponovo, polazei od Mayerove relacije cp - cv = R, odnosno cp R = cv, i kada se ista uvrsti u jednainu [ ]416 , dobija se

1

2

1

2

1

2

12

v

vlnR

T

TlnR

T

Tlncss

p+= ,

odnosno

2

1

1

2

1

2

12

v

v

T

TlnR

T

Tlncss p = . [ ]456

Ukoliko se jednaina [ ]436 uvrsti u jednainu [ ]456 , tada promjena je entropije plina u zavisnosti od pritiska i temperature data slijedeim izrazom

1

2

1

2

12

P

PlnR

T

Tlncss

p= . [ ]466

Moe se konstatirati da e kod bilo koje promjene od stanja 1(P1,T1,v1) do stanja 2(P2,T2,v2) svaka od jednaina [ ]416 , [ ]446 i [ ]466 dati isti rezultat. Naime, koja e od jednaina biti upotrijebljena za proraun promjene

entropije plina zavisi od poznatih parametara u konkretnom sluaju.

6-9-1 Promjena entropije za izotermni proces

Kod ovog je procesa T1=T2, slijedi ln(T2/T1) = ln1 = 0, tako da iz jednaine [ ]416 promjena entropije plina jeste

1

2

12

v

vlnRss = , [ ]476


a iz jednaine [ ]466 je

1

2

12

P

PlnRss = . [ ]486

Jednaina [ ]446 ostaje nepromijenjena.

6-9-2 Promjena entropije za izohorni proces

Kod ovog je procesa v1=v2, slijedi ln(v2/v1) = ln1 = 0, pa je iz jednaine [ ]416 promjena entropije plina

1

2

12

T

Tlncss

v= , [ ]496

a iz jednaine [ ]446 je

1

2

12

P

Plncss

v= . [ ]506

Jednaina [ ]466 ostaje nepromijenjana.

6-9-3 Promjena entropije za izobarni proces

Kod ovog je procesa P1=P2, slijedi ln(P2/P1) = ln1 = 0, tako da je iz jednaine [ ]446 promjena entropije plina

1

2

12

v

vlncss

p=

, [ ]516 a iz jednaine [ ]466 je

1

2

12

T

Tlncss

p= . [ ]526

Jednaina [ ]416 ostaje nepromijenjena.

6-9-4 Promjena entropije za politropski proces

Kod politropske promjene stanja plina razmijenjena toplota u diferencijalnom obliku data je slijedeim izrazom

Pdvn

dq1

= . [ ]536


Ukoliko se jednaina [ ]536 podijeli sa T, dobit e se promjena entropije plina u diferencijalnom obliku

T

Pdvn

T

dqds

1

== . [ ]546

Ako se jednaina stanja Pv=RT uvrsti u jednainu [ ]546 , dobije se

v

dvR

nds

1

= , [ ]556

a nakon integriranja, od stanja 1 do stanja 2, jeste

1

2

121 v

vlnR

nss

= . [ ]566

Kod politropske promjene stanja veza izmeu osnovnih parametara

data je slijedeom relacijom

nn

P

P

T

T

v

v

1

2

11

1

2

1

1

2

=

=

. [ ]576

Zamjenjujui odnos temperatura-volumen iz jednaine [ ]576 u jednainu [ ]566 dobija se

2

1

1

1

2

1

12

111 T

Tln

n

Rn

T

TlnR

nss

n

=

=

. [ ]586

Na slian nain, zamjenjujui odnos pritisak-volumen, iz jednaine [ ]576 u jednainu [ ]566 dobija se

2

1

1

2

1

12

11 P

Pln

n

Rn

P

PlnR

nss

n

=

= . [ ]596

Kod politropske promjene plina od stanja 1(P1,T1,v1) do stanja 2(P2,T2,v2) svaka od jednaina [ ]566 , [ ]586 i [ ]596 dat e isti rezultat, jer


je entropija veliina stanja. Jednostavno, izbor jednaine pitanje je

pogodnosti ili upotrebljivosti iste u datom sluaju.

6-9-5 Promjena entropije kod procesa mijeanja plinova

S obzirom da se kod procesa mijeanja temperatura ne mijenja, na prvi pogled moglo bi se zakljuiti da nema ni promjene entropije. Meutim, mijeanje je

jedan tipian nepovratan proces, koji se dogaa sam od sebe, ali ako se eli

ostvariti proces separacije komponenti, to zahtijeva utroak rada i toplote pa tu onda sigurno dolazi do porasta entropije.

Pravi je uzrok porastu entropije promjena parcijalnog pritiska Pi na pritisak P, dok temperatura ostaje ista. Proraun porasta entropije za idealne plinove rauna se prema ranije izvedenom izrazu

1

2

1

2

12

P

PlnRm

T

TlncmSSS p == . [ ]606

S obzirom da je kod procesa mijeanja T1=T2, onda je promjena entropije data slijedeom relacijom

0

1

= P

PlnRmS

i

ii

n

mj. [ ]616

Izvedena relacija vai za idealne plinove, ali treba konstatirati da realni

plinovi u praksi malo odstupaju od idealnih.

6-10 Promjena entropije za nestiljive supstancije

Za nestiljive supstancije promjena specifinog volumena jeste nula u toku bilo kojeg procesa, zato se jednaina [ ]426 moe reducirati na

T

duds = . [ ]626

S obzirom da je promjena unutarnje energije nestiljive supstancije data jednainama du = cdT, slijedi

T

dTcds = , [ ]636


odnosno nakon integriranja

== 21

12

T

dTcsss . [ ]646

Za srednju vrijednost specifine toplote, promjena entropije nestiljive

supstancije od stanja 1 do stanja 2 data je slijedeim izrazom

=

1

2

12

T

Tlncss

sr. [ ]656

Prema tome, moe se zakljuiti da promjena entropije za nestiljive supstancije zavisi samo od promjene temperature u toku promjene stanja.

6-11 Princip poveanja entropije

6-11-1 Promjena entropije toplotnih rezervoara

Kada toplotni rezervoar razmjenjuje toplotu s drugim sistemima, u njemu se odigravaju unutarnje povratni procesi. Naime, prema definiciji toplotnog rezervoara, njegova je temperatura konstantna, bez obzira na toplotne interakcije. Stoga, promjena njegove entropije data je slijedeom jednainom

T

Q

T

QS

.pov.unut

TR =

= . [ ]666

Kada se toplota dovodi u toplotni rezervoar tada njegova entropija raste, a kada se toplota odvodi, njegova se entropija smanjuje.

Radni rezervoar ima sposobnost da primi ili oda rad na povratan nain

bez toplotnih efekata. Poto ovakvi ureaji ostvaruju unutarnje povratne adijabatske procese, promjena entropije radnih rezervoara bit e nula, to jest

0=

=

.pov.unut

RRT

QS . [ ]676

6-11-2 Promjena entropije zatvorenog sistema i okolice


U procesima u kojima se razmjenjuje toplota izmeu zatvorenog sistema i

njegove okolice dolazi do promjene entropije i u okolici i u sistemu, a njihova se suma naziva - ukupna promjena entropije.

Ako se pretpostavi proces razmjene infinitezimalne koliine toplote Q izmeu zatvorenog sistema, u kojem se odvijaju povratni procesi, i

njegove okolice, to jest toplotnog rezervoara na temperaturi T, tada je promjena entropije sistema data slijedeim izrazom

T

QdS

sistema

= , [ ]686

a promjena entropije toplotnog rezervoara je

T

QdS

TR

= . [ ]696

Prema tome, ukupna promjena entropije za navedeni povratni proces je

0=+= TRsistemaukupno dSdSdS . [ ]706

Ako se u zatvorenom sistemu odvijaju nepovratni procesi, tada je promjena entropije sistema data slijedeim izrazom

T

QdS sistema

> , [ ]716

pri emu se infinitezimalni iznos toplote Q dovodi u sistem na povratan nain.

Ako se infinitezimalni iznos toplote Q odvodi od okolice na temperaturi T0 , tada je promjena entropije okolice data slijedeim izrazom

0T

QdS

okolice

= . [ ]726

Ukupna promjena entropije, za navedeni nepovratni proces u sistemu, jeste

011

00

>

=>+TT

QT

Q

T

QdSdS

okolicesistema. [ ]736

Ako je T0>T tada je (1/T 1/T0)>0. S obzirom da je dovedena toplota u sistem prema konvenciji pozitivna, slijedi da je ukupna promjena entropije vea od


nule, saglasno jednaini [ ]736 . S druge strane, ako se pak toplota odvodi od sistema, tada je T0


0T

QdmsdmsdS OS

ulaz

iij

izlaz

jokoline

= . [ ]786

Ako se jednaine [ ]776 i [ ]786 saberu, dobija se ukupna promjena entropije za otvoreni sistem i njegovu okolicu

0T

Q

T

QdSdS OSOSokoliceOS

+ , [ ]796

odnosno 0+

okoliceOSdSdS . [ ]806

Zakljuci koji proistjeu iz principa poveanja entropije, to jest

jednaina [ ]756 , [ ]766 i [ ]806 , jesu:

Princip poveanja entropije predstavlja postulat za svaki proces, kojim se

ograniava smjer u kome proces moe tei.

Samo kod povratnih procesa entropija se ne proizvodi. Entropija je nekonzervabilna veliina.

Prema drugom zakonu termodinamike svi procesi koji se spontano odvijaju tee ravnotenom stanju. Princip poveanja entropije dopunjuje

ovu injenicu konstatacijom da e entropija rasti dok se ne uspostavi stanje ravnotee. U stanju ravnotee entropija dostie maksimalno moguu

vrijednost. Princip poveanja entropije u direktnoj je vezi s nepovratnou procesa,

koja uvjetuje porast entropije u sistemu. Nepovratnost vea slijedi entropija vea, stoga je promjena entropije kvantitativna mjera

nepovratnosti procesa.

6-12 Degradacija energije

Kada se toplota Q dovodi radnom mediju, koji ostvaruje desnokratni ciklus, samo dio toplote moe se prevesti u koristan rad. Ako se desnokratni ciklus ostvaruje u povratnoj Carnot maini, koja radi izmeu toplotnih rezervoara

konstantnih temperatura T i T0, tada je termiki stepen djelovanja dat jednainom [ ]136 . Koristan rad koji se dobija u jednom takvom ciklusu je

==T

TQQL C,tkorisno

01 . [ ]816


Openito za desnokratni ciklus koristan rad je manji od dovedene toplote

T

TQL

korisno

01 . [ ]826

Znak jednakosti u jednaini [ ]826 vai za povratni ciklus i u sluaju da toplotni rezervoar temperature T0 predstavlja okolicu, tada je koristan rad maksimalni rad i naziva se eksergija

korisnomax,QLEx = , [ ]836

Znak nejednakosti u jednaini [ ]826 vai za sve nepovratne procese. Kada se toplota Q na temperaturi T predaje toplotnoj maini na

povratan nain, jedan dio energije ne moe se prevesti u koristan rad i ona se

naziva nekorisna energija ili anergija toplote

STT

QTAn

Q==

00. [ ]846

Grafika interpretacija eksergije i anergije za jedan povratan Carnot

ciklus u T-S dijagramu data je na slici 6-6. Ako se kondukcijom nepovratno razmijenjuje toplota Q pri

konanim gradijentima temperature, izmeu toplotnog rezervoara vie

temperature T1 i toplotnog rezervoara nie temperature T2, tada je maksimalna korisna energija prije razmijene toplote

=1

0

1

1T

TQdEx

Q, [ ]856

a maksimalna korisna energija poslije razmijene toplote je

=2

0

2

1T

TQdEx

Q. [ ]866


Slika 6-6 Shematski prikaz eksergije i anergije za jedan povratni Carnotov ciklus

Razlika izmeu maksimalnih energija predstavlja degradiranu energiju u oblik

koji je manje pogodan za dobijanje korisnog rada

==

12

021 T

Q

T

QTdExdExdEx

QQradiranadeg. [ ]876

Ukupna promjena entropije toplotnih rezervoara u diferencijalnom obliku je

2

2

1

1

21

T

Q

T

QdSdSdSukupno

+

=+= . [ ]886

Nakon integriranja, uzimajui u obzir injenicu 12QQQ == , ukupna

promjena entropije je

QTT

Sukupno

= 12

11. [ ]896

Ako se integrira jednaina [ ]876 , koristei jednainu [ ]896 , dobija se

4

T

S

3

1

2 Tmax = T

T0 =Tok = Tmin

Ex

An


ukupnoradiranadegSTEx =

0 . [ ]906

Jednaina [ ]906 predstavlja mjeru degradirane korisne u nekorisnu energiju, koja zavisi od ukupne promjene entropije i stanja okolice.

6-13 Radna sposobnost sistema

Jedna od osnovnih konsekvenci drugog zakona termodinamike jeste ta da se u kontinuiranom i desnokratnom ciklusu transformira toplota u rad i da je iznos dobijenog rada manji od dovedene toplote u ciklus. Stoga se i namee pitanje termike efikasnosti procesa, a drugi zakon termodinamike upravo pokazuje

da je efikasnost konverzije toplote u rad uvijek manja od jedan. Da bi se odredilo koliko se rada moe u nekom procesu dobiti,

potrebno je utvrditi kolika je radna sposobnost sistema u odnosu na neki referentni sistem. Ameriki matematiar i fiziar Josiah Willard Gibbs (1839-1903) uveo je koncept radne sposobnosti sistema u odnosu na okolicu, kao referentni sistem, prema kojem se odreuje sposobnost nekog sistema kada odaje ili prima rad. Dakle, prema Gibbsu, sistem ija se radna sposobnost

odreuje u interakciji je sa stabilnom okolicom stanja (P0,T0). Podrazumijeva se da je okolica stabilna homogena sredina ija se temperatura, pritisak i sastav

ne mijenjaju pod uticajem procesa koji se dogaa u sistemu.

6-13-1 Radna sposobnost zatvorenog sistema

Zatvoren sistem iji je sastav jednak sastavu okoline i poetnog stanja

1(P1,T1). u interakciji je s okolicom stanja 0(P0,T0). Neka sistem obavlja proces od stanja 1 do stanja 0, prvo izentropskom promjenom od stanja 1 do stanja a, a zatim izotermnom promjenom od stanja a do stanja 0, slika 6-7.

Tokom povratne adijabatske promjene stanja, proces od stanja 1 do stanja a, sistem je uspostavio termiku ravnoteu s okolicom u kojoj su temperature okolice i sistema jednake, to jest Tsistema =Ta=T0. Zatim povratnim izotermnim procesom od stanja a do stanja 0 sistem je uspostavio i mehaniku ravnoteu sa okolicom. Prema tome, dostizanjem stanja okolice, gdje je

Psistema= P0 i Tsistema= T0 , sistem je svu raspoloivu energiju u vidu rada predao okolici.


Slika 6-7 Shematski prikaz maksimalnog rada zatvorenog sistema

Rad sistema za povratni adijabatski proces od stanja 1 do stanja a, prema prvom zakonu termodinamike, jeste

aaoadijabatsk uull == 11 . [ ]916

v

0

P

Tok a

1

l

T1 P1

Pok

Pa

Pok Pa

0

T

s

Tok a

1 T1

P1


Za povratni izotermni proces od stanja a do stanja 0 rad sistema, takoe prema prvom zakonu termodinamike, vrijedi

( ) ( )aaaizotermnossTuull +==

0000. [ ]926

Ukupni maksimalni rad, koji je ustvari povratni maksimalni rad, dat je kao algebarski zbir radova u jednainama [ ]916 i [ ]926 , uz napomenu da je sa=s1, s obzirom da je proces od stanja 1 do stanja a izentropski, te slijedi

( ) ( )01001ssTuul

max= , [ ]936

ili za ukupnu masu sistema

( ) ( )01001SSTUUL

max= . [ ]946

Rad definiran posljednjim jednainama jeste maksimalni rad, ako ga sistem odaje; ako pak sistem prima rad, tada se on naziva minimalni rad.

Pri uravnoteivanju sistema i okolice jedan dio energije u obliku rada

mora se utroiti na promjene stanja same okolice

( )100vvPl

okolice= . [ ]956

Konano, maksimalno koristan rad zatvorenog sistema, odnosno radna

sposobnost sistema u odnosu na odabrano stanje okolice jeste

( ) ( ) ( )00000ssTvvPuul korisnomax, += , [ ]966


( ) ( ) ( )00000SSTVVPUUL

korisnomax,+= . [ ]976

Ako su pritisak i temperatura okolice konstantni, tada jednaine [ ]966 i [ ]976 predstavljaju funkcije stanja i nazivaju se funkcije radne sposobnosti.

Ako je sistem tokom procesa od stanja 1 do stanja 2, a oba stanja razliita od stanja okolice, bio u interakciji samo sa okolicom i ostvario irenje

ili sabijanje u odnosu na okolicu, tada je povratni korisni rad jednak smanjenju radne sposobnosti sistema za proces od stanja 1 do stanja 2

( ) ( ) ( )2102102112SSTVVPUUL

.pov,+= . [ ]986


Openito, ako se u analizu ukljui i nepovratni proces izmeu stanja 1 i

stanja 2, onda slijedi .pov,

LL1212

, [ ]996

gdje znak jednakosti vai za povratne, a znak nejednakosti za nepovratne

procese.

6-13-2 Radna sposobnost otvorenog sistema

Slino kao kod jednokratnog rada, i kod tehnikog je rada zanimljivo odrediti

njegovu maksimalnu vrijednost. Naime, to je rad koji se dobije u najpovoljnijim okolnostima iz neke materije koja se kontinuirano dobavlja stroju, a po obavljenom procesu stroj je istiskuje u okolicu. Davalac rada je plin s poetnim stanjem T1>T0 i P1>P0. Ako se ovakav plin kontinuirano dovodi ekspanzionom stroju, tada je za dobijanje maksimalnog tehnikog rada

potrebno da ekspanzioni stroj na potpuno povratan nain dovede plin do stanja

okolice, a zatim ga istisne u okolicu. Taj potpuno povratan nain jedino moe

biti povratna adijabatska ekspanzija do temperature okoline, a zatim povratna izotermna kompresija do pritiska okoline. Ovaj proces, s obzirom da se radi o otvorenom sistemu, potrebno je upotpuniti jo procesima usisavanja i istiskivanja, to je shematski i prikazano na slici 6-8.

Neka je otvoreni sistem u interakciji samo s okolicom konstantnog pritiska i temperature, stanja 0(P0,T0). Tada je jednainu [ ]553 mogue preurediti i primijeniti na jedan ulaz i jedan izlaz, pa se dobija izraz za rad otvorenog sistema

++

+++=izlazulaz

OSOSdmzg

whdmzg

whQL

22

22

++ zgmmw

Ud2

2

. [ ]1006

Promjena entropije otvorenog sistema, za povratan proces, uz pretpostavku da se pored razmjene toplote ostvaruje i razmjena mase s okolicom, data je slijedeim izrazom

[ ] [ ]izlazulaz

OS

OS dmsdmsT

QdS +

=

0

. [ ]1016


Ako se izraz [ ]1016 uvrsti u jednainu [ ]1006 , dobit e se izraz za povratni rad otvorenog sistema

++

++=izlazulaz

.pov dmzgw

sThdmzgw

sThL22

2

0

2

0

++ zgmmw

STUd2

2

0. [ ]1026

Ovaj rad je maksimalni rad koji se moe dobiti od otvorenog sistema i dat je u

funkciji osobina fluida na mjestima ulaza i izlaza kontrolne povrine, poetnog

i krajnjeg stanja sistema i temperature okolice. Za stacionarne uvjete strujanja je dmdmdm izlazulaz == , a trei lan na

desnoj strani jednaine [ ]1026 jednak je nuli, pa se iz jednaine [ ]1026 nakon integriranja dobija izraz za povratani rad otvorenog sistema

izlazulaz

.pov mzgw

sThmzgw

sThL

++

++=22

2

0

2

0 [ ]1036

Ako je sistem na mjestu izlaza uravnoteen sa okolicom, tada e

jednaina [ ]1016 dati radnu sposobnost otvorenog sistema ili maksimalni rad ili eksergiju po jedinici mase fluida

( ) ( ) ( )0

2

000

2zzg

wssThhe

x++= . [ ]1046

Ako se mogu zanemariti lanovi potencijalne i kinetike energije radna

sposobnost otvorenog sistema data je slijedeim izrazom

( ) ( )000ssThhex = , [ ]1056


( ) ( )000SSTHHemEx x == . [ ]1066


Slika 6-8 Shematski prikaz maksimalnog rada otvorenog sistema

0

P

v

Ta = Tok a

1

ex

T1 P1

P0k

Pa

a

b

Pok Pa

0

T

s

Tok

1 T1

P1

ex

Ta = Tok

qodv

Documents

termodinamika poglavlje 6-2