Upload
ahmed-koca
View
107
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Poglavlje 6 - Prevod
Citation preview
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
1
POGLAVLJE 6
ČISTO SAVIJANJE I SAVIJANJE SA AKSIJALNIM SILAMA
6-1. Uvod
U prethodnom poglavlju pokazali smo da se sistem unutrašnjih sila koji čine normalna sila,
transverzalna sila i moment savijanja mogu javiti u ramovima u ravni i gredama. Naponi usled
normalne sile obrađeni su u Poglavlju 1. U ovom poglavlju će biti razmotreni naponi usled
savijanja. Poglavlje će biti podeljeno u dva dela. U Prvom delu biće razmatrane samo grede
simetričnog poprečnog preseka opterećene na savijanje u ravni simetrije. Biće reči o elastičnoj i
neelastičnoj raspodeli napona usled savijanja. Raspodela napona kod zakrivljenih greda je takođe
obrađena. Drugo poglavlje obuhvata nesimetrično savijanje greda sa simetričnim poprečnim
presekom kao i savijanje greda sa proizvoljnim poprečnim presekom. Uzet je u razmatranje i
problem savijanja uz prisustvo aksijalne sile. U trećem delu je obrađen moment inercije za
proizvoljni poprečni presek.
Radi jednostavnosti, grede će najčešće biti predstavljene kao grede u horizontalnom položaju.
Kada je greda opterećena samo momentom savijanja, taj slučaj nazivamo čisto savijanje ili
fleksija. Konzola opterećena koncentrisanim momentom na kraju, ili deo grede između
koncentrisanih sila, Slika 5-23, su primeri čistog savijanja. U poglavljima koja slede biće
pokazano da su kod vitkih greda najčešće dominantni naponi usled savijanja. Stoga, izrazi
izvedeni u ovom poglavlju za čisto savijanje direktno su primenjivi u brojnim slučajevima pri
projektovanju.
Bitno je napomenuti na neke grede zbog svoje vitkosti iil nedostatka bočnog oslanjanja mogu
postati nestabilne usled nanetog opterećenja i može doći do bočnog izvijanja i loma. Takve grede
neće biti obrađene u okviru ovog poglavlja. Bolje razumevanje fenomena nestabilnosti biće
postignuto posle proučavanja izvijanja stubova u Poglavlju 11.
6-2. Osnovne kinematičke pretpostavke
U pojednostavljenoj inženjerskoj teoriji savijanja, da bi se uspostavio odnos između momenta
savijanja, karakteristika poprečnog preseka grede i unutrašnjih napona i deformacija biće ponovo
primenjen pristup korišćen ranije pri razmatranju problema torzije. To podrazumeva, najpre, da
se na osnovu pretpostavke o mogućim deformacijama unautrašnje statički neodređen problem
svede na statički određen; zatim, da deformacije treba da budu takve da pri njima dilatacije
zadovoljavaju odgovarajuću vezu napon-dilatacija; i na kraju, da uslov ravnoteže unutrašnjih i
spoljašnjih sila bude ispunjen. Glavna kinematska pretpostavka za deformaciju grede korišćena u
pojednostavljenoj teoriji je obrađena u ovom poglavlju. Ovo uopštavanje predstavlja osnovu
teorije ploča i ljuski.
Razmotrimo horizontalnu prizmatičnu gredu koja ima poprečni presek sa vertikalnom osom
simetrije; Slika 6-1(a). Horizontalna linija koja prolazi kroz težište poprečnog preseka
predstavlja osu grede. Zatim, posmatrajmo karakterističan element grede između dve ravni
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
2
upravne na osu grede. U pogledu sa strane označićemo taj element sa abcd. Kada tu gredu
opteretimo jednakim momentima na krajevima Mz koji deluju oko z ose, Slika 6-1(b), greda će se
saviti u ravni simetrije, a ravni koje su bile upravne na osu grede će se blago nagnuti. I pored
toga, linije kao što su ad i bc koje postaju a’d’ i b’c’ ostaju prave (u skladu sa St. Venant-ovim
principom (poglavlje 2-10) ovo je samo lokalni fenomen koji brzo nestaje). Ovo predstavlja
osnov za fundamentalnu pretpostavku teorije savijanja koja glasi: poprečni preseci štapa, i
nakon deformacije štapa, ostaju ravni i upravni na osu štapa. Ovu hipotezu je prvi uveo
švajcarski matematičar Jacob Bernoully (1645-1705), a kasnije je takođe švajcarski matematičar
Leonard Euler (1708-1783) uticao na značajnu upotrebu ovog koncepta. Ova pretpostavka je
najčešće poznata kao Bernuli-Ojlerova hipoteza. U konačnom obliku ona se nalazi u radovima
francuskog inženjera M. Navier-a (1785-1836).
Slika 6 - 1 Pretpostavljeno ponašanje grede pri savijanju
Kao što je pokazano u tekstovima o teoriji elastičnosti, ova pretpostavka je potpuno tačna za
elastične, pravougaone grede kod čistog savijanja. Ukoliko postoji smicanje, dolazi do malog
odstupanja (videti diskusiju u poglavlju 7-5). U praksi, međutim, ova pretpostavka je primenjiva
sa velikim stepenom tačnosti bilo da se materijal ponaša elastično ili plastično, pod uslovom da
je visina grede mala u odnosu na raspon. U ovom poglavlju, analiza napona kod svih greda se
zasniva na ovoj pretpostavci.
Kod čistog savijanja prizmatičnih greda, osa grede se deformiše u deo kružnice radijusa ρ (ro)
Slika 6-1(b). Za element definisan infinitezimalnim uglom dθ, dužina vlakna ef ose grede je data
kao ds=ρ dθ
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
3
Otuda,
𝑑𝜃
𝑑𝑠=
1
𝜌= 𝜅 (6-1)
gde recipročna vrednost ρ definiše krivinu ose κ (kapa). Kod čistog savijanja prizmatične grede,
ρ i κ su konstante.
Na sličan način se može naći dužina vlakna gh koja se nalazi na poluprečniku ρ-y. Stoga, razlika
između dužina vlakana gh i ef označena sa dû može se izraziti na sledeći način
𝑑�̂� = (𝜌 − 𝑦)𝑑𝜃 − 𝜌𝑑𝜃 = −𝑦𝑑𝜃 (6-2)
Deljenjem sa ds i korišćejenjem jednačine 6-1, poslednji izraz postaje κ. Štaviše, kako su
pomeranja i rotacija ose grede veoma male, kosinusi uglova korišćeni za projekcije dû i ds na
horizontalnu osu su veoma bliski jediničnoj vrednosti. Odatle, u pojednostavljenoj teoriji grede,
moguće je zameniti dû sa du, aksijalne deformacije vlakna u osi, i ds sa dx (dalja diskusija
uvedenih aproksimacija može se naći u Poglavlju 10-3). Otuda, deljenjem jednačine 6-2 sa ds i
zamenom dû/ds sa du/dx, što je prema jednačini 2-6 normalna dilazacija εx, sledi
𝜀𝑥 = −𝜅𝑦 (6-3)
Ova jednačina predstavlja izraz za sa osnovnu kinematičku pretpostavku teorije savijanja.
Međutim, iako je jasno da se deformacija po visini savijene grede menja linearno u zavisnosti od
y, nemamo dovoljno podataka da odredimo položaj koordinatnog početka. Uz pomoć Hooke-
ovog zakona i jednačine ravnoteže, ovaj problem će biti rešen u sledećem poglavlju.
6-3. Jednačina elastičnog savijanja
Korišćenjem Hooke-ovog zakona, iz izraza za normalnu deformaciju, jednačina 6-3, može se
dobiti izraz za normalni napon σx:
𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 = −𝐸𝜅𝑦 (6-4)
U ovoj jednačini, promenljiva y može biti i pozitivna i negativna vrednost.
Dve netrivijalne jednačine ravnoteže omogućavaju rešenje problema savijanja grede. Jedna od
njih određuje položaj y; druga upotpunjuje rešenje problema savijanja. Korišćenjem prve od ovih
jednačina, zadovoljavajući uslov da kod čistog savijanja zbir svih sila u pravcu x ose mora da
bude jednak nuli,
𝛴𝐹𝑥 = 0 ∫ 𝜎𝑥𝑑𝐴
𝐴
= 0 (6-5)
gde indeks A ukazuje da sumiranje svih infinitezimalnih sila mora biti izvršeno po na celom
poprečnom preseku grede površine A. Pomoću jednačine 6-4 moguće je napisati izraz u obliku
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
4
Slika 6 - 3
∫ −𝐸 𝜅𝑦 𝑑𝐴
𝐴
= −𝐸 𝜅 ∫ 𝑦 𝑑𝐴𝐴
= 0 (6-6)
gde su konstante E i κ izvučene ispred drugog integrala. Po definiciji,
ovaj integral ∫ 𝑦 𝑑𝐴 = �̅�𝐴, gde �̅� predstavlja rastojanje do težišta
površine A. Kako je ovaj integral jednak nuli a površina A nije nula,
rastojanje �̅� mora biti jednako nuli. Odatle, z osa mora prolaziti kroz
težište preseka. Prema jednačinama 6-3 i 6-4 to znači da su duž tako
odabrane z ose i normalna deformacija εx i normalni napon σx jednaki
nuli. U teoriji savijanja ova osa se naziva neutralna osa štapa. Položaj
neutralne ose za bilo koji elastični štap od homogenog materijala može
se lako odrediti nalaženjem težišta poprečnog preseka.
Na osnovu ovoga, linearna promena deformacije je šematski prikazana
na slici 6-1(c). Odgovarajuća raspodela elastičnog napona prema
jednačini 6-4 prikazana je na slici 6-1(d). I maksimalna vrednost
normalne deformacije εx i maksimalna vrednost normalnog napona σmax
nalaze se na pri najvećoj udaljenosti y.
Alternativna predstavljanja raspodele napona usled savijanja prikazane
su na Slici 6-2. Treba imati u vidu da je ovaj problem trodimenzionalan,
mada se zbog jednostavnosti problem predstavlja u ravni. Položaj
neutralne ose duž štapa definiše neutralnu površinu, Slika 6-3.
Da bi upotpunili izvođenje izraza za elastično savijanje, druga bitna
jednačina ravnoteže mora biti uvedena: zbir svih spoljašnjih momenata i
unutrašnjih momenata mora biti jednaka nuli tj. mora biti u ravnoteži. Za
deo štapa na slici 6-4(a) ovo daje
𝛴𝑀0 = 0 ⤾ + 𝑀𝑧 − ∫ 𝐸𝑘𝑦 𝑑𝐴 𝑦 = 0𝐴
(6-7)
Negativni znak ispred integrala je neophodan jer napon pritiska σx
izaziva moment oko z ose suprotan od smera kazaljke na satu. Napon
zatezanja ispod neutralne ose, gde y ima negativnu vrednost, doprinosi
ovom momentu na isti način. Ovaj znak takođe direktno sledi iz
jednačine 6-4. S malo drugačije tačke gledišta, jednačina 6-7 navodi da
je spoljašnji moment Mz koji je u smeru kazaljke na satu u ravnoteži sa
unutrašnjim momentom koji je suprotnog smera od smera kazaljke na
satu, a posledica je unutrašnjih napona u preseku.. Sređivanjem izraza
6-4 u ovaj oblik, i izvlačenjem konstanti E i κ dobijamo:
𝑀𝑧 = 𝐸𝜅 ∫ 𝑦2𝑑𝐴𝐴
(6-8)
Slika 6 - 2 Alternativne
predstave momenta
savijanja
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
5
Slika 6 - 4 Deo grede pri čistom savijanju
U mehanici se ovaj integral, koji zavisi samo od geometrijskih karakteristika poprečnog preseka,
naziva pravougaoni moment inercije ili drugi moment površine A i u daljem tekstu će biti
označen sa I. On se određuje u odnosu na neutralnu osu (težište). Kako se I uvek određuje u
odnosu na određenu osu, često je bitno indeksom naznačiti odgovarajuću osu. U ovom slučaju
ovaj indeks je z,
𝐼𝑧 = ∫ 𝑦2𝑑𝐴𝐴
(6-9)
Uz ovakvo označavanje iz jednačine 6-8 sledi:
𝜅 =𝑀𝑧
𝐸𝐼𝑧 (6-10)
Ovo je osnovni izraz za krivinu elastičnog štapa na koga deluje određeni moment.
Zamenom jednačine 6-10 u jednačini 6-4 dobiće se jednačina savijanja grede:
𝜎𝑥 = −𝑀𝑧
𝐼𝑧𝑦 (6-11)
Ovaj izraz je izveden za koordinatne ose prikazane na Slici 6-5(a). Ako bi se izvodio izraz za
gredu čiji je poprečni presek dvoosnosimetričan kao na Slici 6-5(b), izraz za podužni napon σx bi
glasio
𝜎𝑥 = +𝑀𝑦
𝐼𝑦𝑧 (6-12)
Znak suprotan u odnosu na jednačinu 6-11 neophodan je jer pozitivan moment My izaziva napon
zatezanja za pozitivnu vrednost z.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
6
Primena ovih izraza kod dvoosnog savijanja kao i kao dodatak
teorije savijanja za greda sa nesimetričnim poprečnim
presekom je obrađena u delovima 6-11 i 6-14. U ovom delu
poglavlja ograničili smo se na grede koji imaju simetrične
poprečne preseke i koji se savijaju u ravni simetrije. U ovom
slučaju uobičajeno je da se u jednačini savijanja direktno izrazi
maksimalni normalni napon σmax i da se zameni vrednost |y|max
sa c. Takođe je uobičajeno da se izostavi predznak u jednačini
6-11 kao i indeksi za M i I. Kako kod normalnog napona mora
da se javi spreg statički ekvivalentan unutrašnjem momentu
savijanja, njegov smer može se uočiti sa slike.
Na osnovu toga, jednačina savijanja ima oblik
𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑐
𝐼 (6-13)
U skladu sa navedenom
praksom, kod razmatranja
savijanja simetričnih poprečnih
preseka štapa, uprošćeno
označavanje sa izostavljanjem
indeksa z u formulama 6-11 za
M i I, biće često korišćeno u
ovom tekstu.
Jednačina savijanja i njene varijacije imaju izuzetno važnu
primenu u projektovanju konstrukcija i mašina. Kod primene
ovih izraza, unutrašnji moment se može izraziti u Njutn metrima
[N·m] ili inč-funtama, c u metrima [m] ili inčima [in], i I u m4 ili
in4. Korišćenjem usklađenih jedinica σ će imati jedinicu mere:
[N·m] [m]/ [m4] = N/m2 = Pa, ili [in-lb][in]/[in4]=[lb/in2]=psi.
Treba napomenuti da je σx u jednačinama 6-11 i 6-12 jedini
napon koji se javlja pri čistom savijanju grede. Odatle matrična
predstava tenzora napona glasi
(𝜎𝑥 0 00 0 00 0 0
)
Kao što će biti istaknuto u Poglavlju 8, ovaj napone se može
transformisati ili razložiti na napone koji deluju u različitim
koordinatnim sistemima. Slika 6 - 6 Deo savijene grede
Slika 6 - 5 Definicije pozitivnih
momenata
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
7
U zaključku ovog razmatranja, interesantno je napomenuti da se usled Poisson-ovog odnosa,
pritisnuta zona štapa bočno širi; a zategnuta zona skuplja. Dilatacije u y i z pravcima su εy= εz=-
νεx, gde je εx=σx/E, a σx je data jednačinom 6-11. Ovo je potpuno u skladu sa strožim rešenjem.
Poisson-ov efekat, kao što će biti pokazano u metodi elastičnosti, deformiše neutralnu osu u
krivinu velikog poluprečnika; a neutralna površina postaje zakrivljena u dva suprotna pravca;
vidi Sliku 6-6. U prethodnim razmatranjima pretpostavili smo da će neutralna ravan biti
zakrivljena samo u jednom pravcu. Ovi interesantni detalji nisu od značaja za većinu praktičnih
problema.
Rezime postupka i dodaci
Ista tri osnovna koncepta mehanike krutih tela koja su korišćena u teoriji aksijalno opterećenih
štapova i kružnih osovina pri torziji korišćeni su i u prethodnom izvođenju jednačina savijanja.
Oni se mogu sažeti na sledeći način:
1. Uslovi ravnoteže (statika) su korišćeni za određivanje unutrašnjeg reaktivnog momenta
savijanja u preseku.
2. Geometrija deformacije (kinematika) je korišćena u pretpostavci da ravni preseci štapa
ostaju ravni posle deformacije. Ovo dovodi do zaključka da se normalne dilatacije duž preseka
štapa linearno menjaju u odnosu na neutralnu osu.
3. Pretpostavlja se da svojstva materijala (konstitutivne relacije) u vidu Hooke-ovog zakona
važe za podužne normalne dilatacije. Poisson-ov efekat bočne kontrakcije i širenja je zanemaren.
Ako primenimo ovaj pristup na savijanje greda sačinjenih od dva ili više materijala (Deo 6-8),
kao i na neelastično savijanje greda (Deo 6-10), prva dva navedena principa će važiti i dalje.
Jedino treći, koji se odnosi na mehanička svojstva materijala mora biti modifikovan. Kao primer
ovih neophodnih izmena razmotriće se greda poprečnog preseka kao na Slici 6-7(a). Ova greda
je napravljena dva materijala 1 i 2, međusobno spojena. Moduli elastičnosti za ova dva metrijala
su E1 i E2, gde indeksi označavaju materijal. Pretpostavimo da je E2 >E1.
Slika 6 - 7 Greda sačinjena od dva elastična materijala pri savijanju gde je E2>E1
Kada je ova kompozitna greda savijena, kao i kod greda od samo jednog materijala, promena
dilatacije je linearna, kao na Slici 6-7(c). Međutim, podužni naponi zavise od modula elastičnosti
i oni su kao na Slici 6-7(c). Na spoju između dva matrijala, gde su dilatacije za oba materijala
jednake, naponi su različiti, i zavise od veličina E1 i E2. Kod ovakvih problema ostaje da se
odredi položaj neutralne ose ili neutralna površina. Ovo se može jednostavno uraditi za štapove
koji su simetrični oko vertikalne ose.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
8
Za grede koje su sačinjene od nekoliko različitih materijala, modul elastičnosti mora biti utvrđen
za svaki materijal. Neka Ei bude modul elastičnosti za materijal i u kompozitnom poprečnom
preseku. Odatle jednačina 6-4 uopšteno može da glasi
𝜎𝑥 = 𝐸𝑖𝜀𝑥 = −𝐸𝑖𝜅𝑦 (6-14)
gde sa Slike 6-7, y=yb-ȳb. U ovom izrazu yb je proizvoljno izmereno od donje ivice preseka a ȳb
definiše položaj neutralne ose.
Kako kod čistog savijanja sila Fx u preseku u pravcu x ose mora biti jednaka nuli, u skladu sa
napred prikazanom procedurom, i zamenom jednačine 6-14 u jednačinu 6-5,
𝐹𝑥 = ∫ 𝜎𝑥𝑑𝐴 = −𝜅 ∫ 𝐸𝑖𝑦𝑑𝐴 = 0𝐴𝐴
(6-15)
Ovaj izraz se razlikuje od jednačine 6-6 samo po tome što E1 nije izvučeno ispred integrala. Ako
zamenimo y=yb- ȳb u jednačini 6-15, imajući u vidu da je ȳb konstanta
−𝜅 ∫ 𝐸𝑖𝑦𝑏𝑑𝐴 + 𝜅�̅�𝑏 ∫ 𝐸𝑖𝑑𝐴𝐴
= 0𝐴
i
�̅�𝑏 =∫ 𝐸𝑖𝑦𝑏𝑑𝐴
𝐴
∫ 𝐸𝑖𝑑𝐴𝐴
= 0 (6-16)
gde se integraljenje vrši sa odgovarajućim modulima elastičnosti Ei za svaki materijal. Ova
jednačina definiše težište i položaj neutralne ose idealizovanog preseka.
U suštini na isti način se vrši analiza kod neelastičnog savijanja štapa menjanjem odnosa napon-
dilatacija. Prva dva pomenuta koncepta ustaju primenjiva.
Izvedena teorija za neelastičnu gredu od jednog materijala je potpuno saglasna sa matematički
tačnim rešenjem1 zasnovanim na teoriji elastičnosti za čisto savijanje elastične pravougaone
grede. Međutim, čak i u ovom ograničenom slučaju, granični uslovi na krajevima zahtevaju da
površinski napon σx bude raspodenjen na krajevima kao što je dato u jednačini 6-11. U ovom
slučaju ravni preseci kroz štap ostaju potpuno ravni nakon savijanja. Međutim, u praktičnoj
primeni, po Saint-Venant-ovom principu, pretpostavlja se da napon na rastojanju otprilike
jednakom visini štapa od nanetog mementa, je u suštini uniforman i dat jednačinom 6-44.
Lokalni naponi u tačkama u kojima deluje sila ili dolazi do promene poprečnog preseka računaju
se pomoću koeficijenata koncentracije napona. Ova teorija se redovno primenjuje za bilo koji
poprečni presek, bilo da je materijal elastičan ili plastičan.
1 S. Timoshenko, i J. N. Goodier, Theory of Elasticity, treće izdanje. (New York:
McGraw-Hill , 1970), 284
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
9
Slika 6 - 8 Površina za izvođenje
teoreme o paralelnim osama
U zaključku treba napomenuti da, u svim slučajevima čistog savijanja, naponi na površini iznad
neutralne ose proizvodi silu koja deluje u jednom smeru, dok naponi ispod neutralne ose
proizvodi silu koja deluje u suprotnom smeru. Primer je prikazan na slici 6-7(d) gde je zatezanje
T jednako pritisku C, i spreg T-C je jednak momentu Mz. Ovaj metod svođenja napona na sile i
spreg sila može biti od koristi kod nekih problema.
6-4. Proračun momenta inercije
Za primenu jednačine savijanja, mora se odrediti moment inercije I površine poprečnog preseka
u odnosu na neutralnu osu. Njegova vrednost se dobija integraljenjem y2 dA po celoj površini
poprečnog preseka štapa, i treba naglasiti da za jednačinu savijanja moment inercije mora biti
sračunat u odnosu na neutralnu osu. Ova osa prolazi kroz težište poprečnog preseka. U delovima
6-15 i 6-16 smo pokazali da je za simetrične poprečne preseke neutralna osa upravna na osu
simetrije. Moment inercije oko takve ose ima ili maksimalnu ili minimalnu vrednost, i iz tog
razloga ova osa je jedna od glavnih osa inercije. Postupci određivanja težišta i momenata inercije
površi su generalno obrađeni u priručnicima iz statike, na primer J. L. Meriam i L. G. Kraige,
Engineering Mechanics, Vol 1 Statics, 2nd ed. New York: Wiley, 1986.
Prvi korak u određivanju momenta inercije I je određivanje
težišta. Integracija y2 dA se vrši u odnosu na horizontalnu osu
koja prolazi kroz težište preseka. Za korišćenje jednačine
savijanja, integraljenje preko površina je neophodno samo za
nekoliko osnovnih elemenatarnih oblika, kao što su
pravougaonik, trougao itd. Vrednosti momenata inercije za neke
jednostavnije oblike se može naći mnogim udžbenicima i
priručnicima iz statike. Većina poprečnih preseka koji se
primenjuju se mogu svesti na kombinaciju jednostavnih oblika.
Za određivanje momenta inercije površina koji se sastoje od
nekoliko jednostavnijih oblika, neophodna je primena teoreme
paralelnih osa, čije izvođenje sledi.
Posmatrajmo površinu A prikazanu na Slici 6-8 kao deo složene površine poprečnog preseka
štapa koji je izložen savijanju. Težišna osa zc za ovaj presek je na rastojanju dz od težišne ose
celog poprečnog preseka. Tada, po definiciji, moment inercije Izc površine A u odnosu na njenu
osu zc je
𝐼𝑧𝑐= ∫ 𝑦𝑐
2𝑑𝐴𝐴
(6-17)
S druge strane, moment inercije iste površine A oko z ose je
𝐼𝑧𝑐= ∫ (𝑦𝑐 + 𝑑𝑧)2𝑑𝐴
𝐴
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
10
Kvadriranjem članova u zagradi i izvlačenjem konstanti ispred integrala dobija se,
𝐼𝑧𝑐= ∫ 𝑦𝑐
2𝑑𝐴𝐴
+ 2𝑑𝑧 ∫ 𝑦𝑐𝑑𝐴 + 𝑑𝑧2 ∫ 𝑑𝐴
𝐴𝐴
Ovde je prvi integral prema jednačini 6-17 jednak Izc, drugi integral je jednak nuli pošto yc
prolazi kroz težište površine A, a poslednji integral se svodi na Adz2. Tako je,
𝐼𝑧 + 𝐼𝑧𝑐+ 𝐴𝑑𝑧
2 (6-18)
Ovo je teorema paralelnih osa. Možemo je definisati na sledeći način: moment inercije neke
površine u odnosu na bilo koju osu jednak je momentu inercije u odnosu na paralelnu osu koja
prolazi kroz težište te površine i proizvodu površine sa kvadratom rastojanja između te dve ose.
Jednačina 6-18 se koristi u proračunima za svaki deo na koji je poprečni presek podeljen a
rezultati se sabiraju kako bi se dobio Iz celog preseka
𝐼𝑧(ceo presek) = 𝛴(𝐼𝑧𝑐+ 𝐴𝑑𝑧
2) (6-18a)
Nakon što smo odredili Iz, indeks z može biti izostavljen kod proračuna simetričnih poprečnih
preseka.
Sledeći primer ilustruje način određivanja momenta inercije I direktno integraljenjem dve
jednostavne površine. Posle toga pokazana je primena teoreme paralelnih osa za datu
kompozitnu površinu. Vrednosti za I za čelične grede, ugaonike i cevi su date u Tabelama 3 do 8
Apendiksa.
PRIMER 6-1
Odrediti moment inercije u odnosu na horizontalnu osu koja
prolazi kroz težište pravougaonog preseka prikazanog na Slici 6-9.
Rešenje
Težište preseka je u preseku osa simetrije. Ovde je pogodno da se
dA zameni sa b dy. Odakle,
𝐼𝑧 = 𝐼0 = ∫ 𝑦2𝑑𝐴 = ∫ 𝑦2𝑏𝑑𝑦 = 𝑏 |𝑦3
3|
−ℎ/2
+ℎ/2
=𝑏ℎ3
12
+ℎ/2
−ℎ/2𝐴
Odatle, 𝐼𝑧 =𝑏ℎ3
12 i 𝐼𝑦 =
𝑏3ℎ
12 (6-19)
Kako su pravougaoni preseci česti, ovi izrazi se redovno koriste.
Slika 6 - 9
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
11
PRIMER 6-2
Odrediti moment inercije u odnosu na prečnik za kružnu
površinu poluprečnika c; vidi Sliku 6-10.
Rešenje
Da bi odredili moment inercije I kruga, prvo treba uočiti da je
ρ2=z2+y2, kao što se može videti na slici. Zatim koristeći
definiciju za J, uočavanjem simetrije u odnosu na obe ose, i
korišćenjem jednačine 4-2,
𝐽 = ∫ 𝜌2𝑑𝐴 = ∫ (𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝐴𝐴𝐴
= ∫ 𝑦2𝑑𝐴 + ∫ 𝑧2𝑑𝐴 =𝐴
𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 = 2𝐼𝑧𝐴
𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 =𝐽
2=
𝜋𝑐4
4 (6-20)
PRIMER 6-3
Odrediti moment inercije I u odnosu na horizontalnu osu površine
prikazane na Slici 6-11, za koršćenje u jednačini savijanja. Mere su
date u milimetrima.
Rešenje
Kako se moment inercije koristi za jednačinu savijanja, on se mora
odrediti u odnosu na osu koja prolazi kroz težište površine. Odatle,
najpre treba odrediti položaj težišta površine. Ovo najlakše možemo
uraditi ako od osnovnog preseka oduzmemo otvor. Radi preglednosti
proračun je prikazan u vidu tabele. Zatim koristimo teoremu
paralelnih osa kako bi dobili I.
Površina A[mm2]
y [mm]
(od dna) Ay
Osnovni presek
Otvor
40x60 = 2400
-20x30 = -600
30
35
72 000
-21 000
ΣA = 1800 mm2 ΣAy = 1800mm3
�̅� =𝛴𝐴𝑦
𝛴𝐴=
51 000
1800= 28.3𝑚𝑚 od dna
Slika 6 - 11
Slika 6 - 10
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
12
Za osnovni presek:
𝐼𝑧𝑐=
𝑏ℎ3
12=
40𝑥603
12= 72𝑥104𝑚𝑚4
𝐴𝑑2 = 2400(30 − 28.3)2 = 0.69𝑥104𝑚𝑚4
𝐼𝑧 = 72.69𝑥104𝑚𝑚4
Za otvor:
𝐼𝑧𝑐=
𝑏ℎ3
12=
20𝑥303
12= 4.50𝑥104𝑚𝑚4
𝐴𝑑2 = 600(35 − 28.3)2 = 2.69𝑥104𝑚𝑚4
𝐼𝑧 = 7.19𝑥104𝑚𝑚4
Za složeni presek
𝐼𝑧 = (72.69 − 7.19)𝑥104 = 65.50𝑥104𝑚𝑚4
Važno je da kod primene teoreme paralelnih osa svaki element složenog preseka ima dva člana
za određivanje ukupnog momenta inercije I. Prvi član predstavlja sopstveni moment inercije, a
drugi član je položajni moment inercije.
6-5. Primena jednačine savijanja
Izraz za najveći napon u preseku grede dat je jednačinom 6-13, σmax=Mc/I, i u većini praktičnih
problema treba odrediti ovaj maksimalni napon. Zato je poželjno da način određivanja σmax bude
što je moguće jednostavniji. Ovo se može postići ako uočimo da su i I i c konstantni za dati
presek grede. Odatle, je I/c konstanta. Dalje, kako je ovaj odnos jedino u funkciji od dimenzija
poprečnog preseka grede on može biti jedinstveno određen za bilo koji poprečni presek. Ovaj
odnos se naziva elastični moduo preseka ili otporni moment preseka i biće označen sa S. Sa
ovakvom oznakom jednačina 6-13 postaje
𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑐
𝐼=
𝑀
𝐼/𝑐=
𝑀
𝑆 (6-21)
Ili drugačije
𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑛𝑖 𝑛𝑎𝑝𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑖 𝑠𝑎𝑣𝑖𝑗𝑎𝑛𝑗𝑢 =𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑎𝑣𝑖𝑗𝑎𝑛𝑗𝑎
𝑜𝑡𝑝𝑜𝑟𝑛𝑖 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡
Ako moment inercije I izrazimo u m4 i c u m, otporni moment S se izražava u m3. Isto tako, ako
je M izražen u N∙m, jedinaca za napon, kao i ranije, postaje N/m2. Treba ponoviti da je rastojanje
c mereno od neutralne ose do najudaljenijeg vlakna štapa. Ovo čini odnos I/c=S minimalnim,
odakle sledi da M/S daje maksimalni napon. Efikasan presek za otpornost elastičnom savijanju
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
13
ima što je moguće veću vrednost S za površinu poprečnog preseka. Ovo se postiže tako što se
najveći deo poprečnog preseka postavlja što je moguće dalje od neutralne ose.
Primena otpornog momenta u jednačini 6-21 donekle odgovara primeni izraza za površinu A u
jednačini 1-13 (σ=P/A). Međutim, jednačinom 6-21 se dobija samo najveći napon usled
savijanja, dok napon sračunat jednačinom 1-13 važi na celom poprečnom preseku grede.
Jednačina 6-21 se široko primenjuje u praksi zbog svoje jednostavnosti. Da bi olakšali njenu
upotrebu, u mnogim priručnicima su date vrednosti otpornog momenta za razne preseke. Ova
jednačina je prilično pogodna kod projektovanja greda. Kada se odredi maksimalni moment
savijanja u gredi, za dozvoljenu vrednost dopuštenog napona jednačinom 6-21 se može sračunati
potrebni otporni moment. Ovaj podatak je dovoljan za usvajanje odgovarajućeg profila.
Međutim, detaljan postupak projektovanja greda ćemo odložiti do Poglavlja 9. Ovo je
neophodno pošto i transverzalna sila takođe izaziva napone u preseku. Uzajamno delovanje
različitih vrsta napona mora biti razmotreno kako bi imali potpun uvid u ovaj problem.
U sledeća dva primera pokazaćemo proračun napona savijanja u određenim presecima, gde
pored momenta savijanja deluju i transverzalne sile. Prisustvo male ili neznatne transverzalne
sile ne utiče značajno na normalni napon kod vitkih greda, što će biti pokazano u sledećem
poglavlju. Često se u jednom preseku javljaju i moment savijanja i transverzalna sila.
PRIMER 6-4
Drvena konzola dimenzija 300x400mm opterećena je jednako podeljenim opterećenjem od
0.75kN/m i koncentrisanom silom nagore od 20kN koja deluje na kraju, Slika 6-12(a). Odrediti
maksimalni normalni napon u preseku na 2m od slobodnog kraja.
Slika 6 - 12
Rešenje
Na Slici 6-12(c) prikazane su reakcije oslonaca, vertikalna sila od 20-(0.75x2)=18.5kN i moment
savijanja od (20x2)-(0.75x2x1)=38.5kNm u preseku. Obe ove veličine su prikazane sa njihovim
odgovarajućim smerovima na Slici 6-12(c). Rastojanje najudaljenijih vlakana od neutralne ose je
c=200mm. Ovo važi i za zategnuta i za pritisnuta vlakna.
Iz jednačine 6-19:
𝐼𝑧 =𝑏ℎ3
12=
300𝑥4003
12= 16𝑥108𝑚𝑚
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
14
Iz jednačine 6-13:
𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑐
𝐼=
38.5𝑥106𝑥200
16𝑥108= ±4.81𝑀𝑃𝑎
Zbog smera delovanja momenta savijanja prikazanog na Slici 6-12(c), gornja vlakna štapa su
pritisnuta a donja zategnuta. Napon zatezanja ima pozitivan predznak, a napon pritiska
negativan. Oba napona se linearno smanjuju kako se približavaju neutralnoj osi, gde je napon
savijanja jednak nuli. Normalni naponi koji deluju na infinitezimalne elemente A i B prikazani su
na Slici 6-12(d).
Alternativno rešenje
Ako je potrebno odrediti samo maksimalni napon, možemo primeniti jednačinu u kojoj se koristi
otporni moment. Izraz za otporni moment pravougaonog preseka glasi
𝑆 =𝐼
𝑐=
𝑏ℎ3
12
2
ℎ=
𝑏ℎ2
6 (6-22)
U ovom zadatku, S=300x4002/6=8x106mm3, i prema jednačini 6-21,
𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀
𝑆=
38.5𝑥106
8𝑥106= 4.81𝑀𝑃𝑎
Oba rešenja daju identične rezultate.
PRIMER 6-5
Odrediti maksimalni napon zatezanja i napon pritiska koji deluju normalno na presek A-A nosača
mašine na Slici 6-13(a) usled delovanja sile od 8 kips.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
15
Slika 6 - 13
Rešenje
Transverzalna sila i moment savijanja koji deluju u preseku prikazani su na Slici 6-13(c). Sada
treba da odredimo položaj neutralne ose grede. To ćemo da uradimo tako što ćemo da odredimo
težište preseka prikazanog na Slici 6-13(b). Zatim ćemo izračunati moment inercije u odnosu na
neutralnu osu. U oba slučaja pretpostavićemo da su nožice grede pravougaone, i zanemarićemo
zaobljenja.
Broj površine A [in2]
y [in]
(od ab) Ay
1
2
3
4.0
3.0
3.0
0.5
2.5
2.5
2.0
7.5
7.5
ΣA=10.0in2 ΣAy=17.0in3
�̅� =𝛴𝐴𝑦
𝛴𝐴=
17.0
10= 1.70𝑖𝑛 od linije 𝑎𝑏
𝐼 = 𝛴(𝐼0 + 𝐴𝑑2) =4𝑥13
12+ 4𝑥1.22 +
2𝑥1𝑥33
12+ 2𝑥3𝑥0.82 = 14.43𝑖𝑛4
𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑐
𝐼=
8𝑥16𝑥2.3
14.43= 20.4𝑘𝑠𝑖 (pritisak)
𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑐
𝐼=
8𝑥16𝑥1.7
14.43= 15.1𝑘𝑠𝑖 (zatezanje)
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
16
Ovi naponi se linearno menjaju prema neutralnoj osi, gde su jednaki nuli. Dobijeni rezultati bi
bili isti i da je greda bila T preseka, kao na Slici 6-13(e). Svojstva ovog preseka oko glavne ose
su ista kao za U presek. Oba ova preseka imaju osu simetrije.
Prethodni primer pokazuje da štapovi koji se savijaju mogu oblikovani tako da imaju različite
maksimalne napone zatezanja i pritiska. Ovo je značajno kod materijala koji imaju različitu
čvrstoću na zatezanje i pritisak.
6-6. Koncentracija napona
Teorija savijanja izložena u prethodnim delovima može se primeniti samo za grede konstantnog
poprečnog preseka, tj. prizmatične grede. Ukoliko se površina poprečnog preseka postepeno
menja, ne dolazi do značajnijeg odstupanja od raspodele napona koju smo ranije razmatrali.
Međutim, ukoliko na gredi ima zareza, žljebova, rupa za zavrtnjeve ili naglih promena u
poprečnom preseku, tada nastaju veliki lokalni naponi. Vrlo je teško izvesti analitičke izraze za
stvarne napone. U prošlosti je najviše podataka u vezi stvarne raspodele napona dobijeno iz
preciznih fotoelastičnih eksperimenata. Numeričke metode koje koriste konačne elemente se
sada intenzivno koriste u te svrhe.
Na sreću, samo geometrijske karakteristike
elementa utiču na lokalnu raspodelu napona.
Štaviše, kako je od najvećeg interesa
maksimalni napon, faktori koncentracije
napona se mogu iskoristiti kao prednost.
Koeficijent K, koji predstavlja odnos između
stvarnog maksimalnog napona i nominalnog
maksimalnog napona u oslabljenom preseku,
kako je dato jednačinom 6-13, definisan je kao
koeficijent koncentracije napona kod savijanja.
Ovaj koncept prikazan je na Slici 6-14.
Odakle, uopšteno,
(𝜎𝑚𝑎𝑥)𝑠𝑡𝑣𝑎𝑟𝑛𝑜 = 𝐾
𝑀𝑐
𝐼 (6-23)
U ovoj jednačini Mc/I je za oslabljeni presek grede.
Slika 6 - 14 Značenje koeficijenta koncentracije
napona
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
17
Na slikama 6-15 i 5-16 prikazani su dijagrami
koeficijenata koncentracije napona za dva
karakteristična slučaja2. Koeficijent K se u
zavisnosti od proporcija štapa može dobiti iz ovih
dijagrama. Analizom ovih dijagrama može se
uočiti da su poželjna veća zaobljenja i
izbegavanje oštrih zareza kako bi se smanjila
lokalna koncentracija napona. Za duktilne
materijala, gde su sile statične, koncentracija
napona je manje važna.
Koncentracija napona postaje posebno
značajna ukoliko poprečni presek ima
udubljenja. Na primer, veliki lokalni napon se
može javiti na mestu gde se spajaju vrat i
flanša kod I profila. Kako bi se to
minimizovalo, kod valjanih profila se na tim
mestima stavljaju veća zaobljenja.
Pored koncentracije napona izazvane
promenom poprečnog preseka štapa, značajan
je još jedan efekat. Sile se često nanose na
ograničenom delu štapa. Štaviše, reakcije
deluju lokalno na štap u tačkama oslanjanja.
U prethodnom delu, sve takve sile smo idealizovali kao koncentrisane sile. U praksi se prosečni
kontaktni napon između grede i elementa koji opterećuje gredu sračunava u tački kontakta takvih
sila sa gredom. Ovaj kontaktni pritisak, ili napon, deluje normalno na neutralnu površinu grede i
zaklapa prav ugao sa naponom usled savijanja o kojem smo govorili u ovom poglavlju. Detaljna
studija efekta ovakvih sila pokazala je da one izazivaju poremećaj svih lokalnih napona, a da je
vrednost sračunatog kontaktnog napona grubo aproksimirana. Naponi upravni na napone pri
savijanju izgledaju približno kao što je dato na Slici 2-30. Treba imati u vidu da koeficijenti
koncentracije napona važe samo dok se materijal ponaša elastično. Pri neelastičnom ponašanju
materijala ovi koeficijenti se smanjuju.
2 Ove vrednosti su preuzete iz rada M. M. Frocht, "Factors of Stress
Concentration Photoelastically Determined," Trans. ASME 57, (1935): A-67.
Slika 6 - 15 Koeficijenti koncentracije napona kod
čistog savijanja za ravne grede različitih zaobljenja
Slika 6 - 16 Koeficijent koncentracije napona za
ožljebljene ravne grede pri čistom savijanju
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
18
6-7. Deformacioni rad (Energija elastične dilatacije) kod čistog savijanja
U delu 2-11 smo formulisali deformacioni rad - energiju
elastične dilatacije za infinitezimalni element opterećen
normalnim naponom. Koristeći ovo kao osnovu, možemo
odrediti energiju elastične dilatacije za grede kod čistog
savijanja. U ovom slučaju normalni napon se menja linearno od
neutralne ose, kao na Slici 6-17, i prema izrazu 6-11 ovaj napon
σ=-My/I. Zapremina jednog infinitezimalnog elementa grede je
dx dA, gde je dx njegova dužina, a dA površina poprečnog
preseka. Zamenom ovog izraza u jednačinu 2-23 i
integraljenjem po zapremini V grede, dobićemo izraz za
deformacioni rad - energiju elastične dilatacije U u štapu, za
čisto savijanje.
𝑈 = ∫𝜎𝑥
2
2𝐸𝑉
𝑑𝑉 = ∫1
2𝐸𝑉
(−𝑀𝑦
𝐼)
2
𝑑𝑥 𝑑𝐴
Sređivanjem izraza i imajući u vidu da je M u preseku štapa konstantan
i da je redosled integraljenja proizvoljan,
𝑈 = ∫𝑀2
2𝐸𝐼2𝑑𝑢ž𝑖𝑛𝑎
𝑑𝑥 ∫ 𝑦2𝑑𝐴 =𝑝𝑜𝑣𝑟š𝑖𝑛𝑎
∫𝑀2𝑑𝑥
2𝐸𝐼
𝐿
0
2
(6-24)
gde je poslednje uprošćenje moguće jer je po definiciji, I=∫ y2dA.
Jednačina 6-24 svodi zapreminski integral za elastičnu energiju
prizmatičnog štapa kod čistog savijanja na jednostruki po dužini L
štapa.
Alternativno, jednačina 6-24 može da se izvede i na drugi način,
razmatrajući elementarni deo štapa dužine dx, kao što je prikazano na
Slici 6-18. Pre nanošenja momenta savijanja M, dve ravni upravne na
osu štapa su paralelne. Nakon nanošenja momenta produžeci tih dveju
ravni, koje ostaju ravne, seku se u tački O, a ugao koji zaklapaju te dve
ravni je dθ. Štaviše, kako se puna vrednost momenta M dostiže
postepeno, prosečna vrednost momenta koji deluje po uglu dθ je ½M.
Odatle, spoljni rad We koji se vrši na elementarnom delu štapa je
dWe=½M dθ. Dalje, kako je za mali ugib dx ≈ρ dθ, gde je ρ radijus
zakrivljenja elastične krive, prema jednačini 6-10 1/ρ=M/EI. Odakle,
na osnovu principa očuvanja energije, unutrašnja energija dilatacije
elementa štapa je
𝑑𝑈 = 𝑑𝑊𝑒 =1
2𝑀𝑑𝜃 =
1
2𝑀
𝑑𝑥
𝜌=
𝑀2𝑑𝑥
2𝐸𝐼
Što ima isto značenje kao jednačina 6-24.
Slika 6 - 17 Deo grede za
izvođenje teorije o energiji
dilatacije kod savijanja
Slika 6 - 18 Deo gred za
alternativno izvođenje
teorije energije dilatacije
pri savijanju
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
19
PRIMER 6-7
Odrediti energiju elastične deformacije kod konzole
pravougaonog preseka usled momenta savijanja M nanetog na
kraju, Slika 6-19.
Rešenje
Moment savijanja duž cele grede, kao i krutost EI je konstantna.
Direktnom primenom jednačine 6-24,
𝑈 = ∫𝑀2𝑑𝑥
2𝐸𝐼
𝐿
0
=𝑀2
2𝐸𝐼∫ 𝑑𝑥 =
𝐿
0
𝑀2𝐿
2𝐸𝐼
Uputno je rešenje pisati u drugom obliku. Prema tome, pošto je
σmax=Mc/I, M= σmaxI/c=2σmaxI/h, i I=bh3/12,
𝑈 =(2𝜎𝑚𝑎𝑥𝐼/ℎ)2𝐿
2𝐸𝐼=
𝜎𝑚𝑎𝑥2
2𝐸(
𝑏ℎ𝐿
3) =
𝜎𝑚𝑎𝑥2
2𝐸(
1
3𝑣𝑜𝑙)
Za dati maksimalni napon, samo trećina zapremine materijala aktivno apsorbuje energiju u
odnosu na apsorbovanu energiju u slučaju grede opterećene jednako podeljenim opterećenjem,
gde je 𝑈 = (𝜎2/2𝐸)(𝑣𝑜𝑙). Ovo je posledica promenljivog napona u gredi. Ukoliko se moment
savijanja takođe menja duž prizmatične grede, zapremina materijala koji apsorbuje je još manja.
6-8. Grede kompozitnog poprečnog preseka
U praksi se često koriste grede koje su sačinjene od različitih materijala. Drvene grede su često
ojačane metalnim trakama, plastika se ojačava vlaknima, a armirani beton je beton ojačan
čeličnim šipkama.
Posmatrajmo elastičnu gredu sačinjenu od nekoliko materijala spojenih zajedno, sa vertikalnom
osom simetrije kao na Slici 6-20(a). Dati su moduli elastičnosti Ei za različite materijale. Kao i
kod homogenih materijala, pretpostavlja se da se podužna dilatacija εx linearno menja, kao na
Slici 6-20(b). Neutralna osa ovog preseka prolazi kroz težište idealizovanog preseka, nalazi se na
rastojanju ȳb i može se sračunati prema jednačini 6-16. Napon prikazan na Slici 6-20(c) sledi iz
jednačine 6-14. Na spoju između dva materijala, u zavisnosti od relativne vrednosti njihovih
modula elastičnosti Ei nastaje oštar diskontinuitet u veličinama napona.
Slika 6 - 19
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
20
Slika 6 - 20 Elastična greda kompozitnog poprečnog preseka pri savijanju
Na isti način kao u jednačini 6-7, unutrašnji moment
𝑀𝑧 = 𝜅 ∫ 𝐸𝑖𝑦2𝑑𝐴 = 𝜅(𝐸𝐼) ∗
𝐴
(6-25)
gde je zakrivljenost κ, koja je konstantna za poprečni presek, izvučena ispred integrala, a (EI)*
definiše simbolično vrednost integrala u sredini izraza. Odatle
𝜅𝑀𝑧
(𝐸𝐼) ∗ (6-26)
i zamenom ovog odnosa u jednačine 6-3 i 6-16
𝜀𝑥 = −𝑀𝑧
(𝐸𝐼) ∗𝑦 i 𝜎𝑥 = −𝐸𝑖
𝑀𝑧
(𝐸𝐼) ∗𝑦 (6-27)
gde je poslednji izraz analogan jednačini 6-11, i može biti odmah određen za homogenu gredu.
U proračunima savijanja kod kompozitnih poprečnih preseka, ponekad je korisno da se uvede
koncept ekvivalentne ili transformisane površine poprečnog preseka za jedan materijal. To
zahteva proizvoljni izbor referentnog Ei, ovde ćemo ga označiti sa Eref. Koristeći ovakvo
označavanje integral u jednačini 6-15, za konstantnu zakrivljenost κ, može se predstaviti u
obliku:
∫ 𝐸𝑖𝑦𝑑𝐴 = 𝐸𝑟𝑒𝑓 ∫ 𝑦𝐸𝑖
𝐸𝑟𝑒𝑓𝑑𝐴 = 𝐸𝑟𝑒𝑓 ∫ 𝑦(𝑛𝑖𝑑𝐴) = 0
𝐴𝐴𝐴
(6-28)
gde je ni dA=(Ei/Eref) dA. Stoga se može smatrati da štap kompozitnog poprečnog preseka ima
ista mehanička svojstva kao referentni materijal, pod uslovom da je diferencijalna površina dA
pomnožena sa ni, tj. odnosom Ei i Eref. Nakon transformacije poprečnog preseka na ovaj način,
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
21
može se primeniti uobičajena elastična analiza. U transformisanom preseku napon se menja
linearno od neutralne ose u svim materijalima. Stvarni naponi se odnose na referentni materijal,
dok se naponi za ostale materijale moraju pomnožiti sa ni.
Postupak ćemo prikazati na dva primera koji slede.
PRIMER 6-8
Posmatrajmo kompozitnu gredu dimenzija prikazanih na Slici 6-21(a). Gornji deo dimenzija
150x250mm je od drveta Ew=10GPa; donji deo je čelična traka dimenzija 10x150mm ,
Es=200GPa. Ukoliko na gredu deluje moment savijanja od 30kNm oko horizontalne ose, koji je
najveći napon u čeliku i drvetu?
Slika 6 - 21
Rešenje
Uzmimo Ew kao Eref. Tada je ns=Es/Ew=20. Dobijamo transformisani presek kao na Slici 6-
21(b) sa ekvivalentnom širinom čelika koja je jednaka 150x20=3000mm. Težišta i momenti
inercije oko težišta ovog transformisanog preseka, respektivno,
�̅� =150𝑥250𝑥125 + 10𝑥3000𝑥255
150𝑥250 + 10𝑥3000= 183𝑚𝑚 (od vrha)
𝐼𝑧 =150𝑥2503
12+ 150𝑥250𝑥582 +
3000𝑥103
12+ 10𝑥3000𝑥722 = 478𝑥106𝑚𝑚4
Najveći napon u drvetu je
(𝜎𝑤)𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑐
𝐼=
0.03𝑥109𝑥183
478𝑥10611.5𝑀𝑃𝑎
Najveći napon u čeliku je
(𝜎𝑠)𝑚𝑎𝑥 = 𝑛𝜎𝑤 = 20𝑥0.03𝑥109𝑥77
478𝑥10696.7𝑀𝑃𝑎
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
22
Alternativno rešenje
Uzmimo Es kao Eref. Tada je nw=Ew/Es=1/20. Transformisani presek je kao na Slici 6-21(c).
�̅� =7.5𝑥250𝑥135 + 150𝑥10𝑥5
7.5𝑥250 + 150𝑥10= 77𝑚𝑚 (od dna)
𝐼𝑧 =7.5𝑥2503
12+ 7.5𝑥250𝑥582 +
150𝑥103
12+ 150𝑥10𝑥722 = 23.9𝑥106𝑚𝑚4
(𝜎𝑠)𝑚𝑎𝑥 =0.03𝑥109𝑥77
23.9𝑥10696.7𝑀𝑃𝑎
(𝜎𝑤)𝑚𝑎𝑥 =𝜎𝑠
𝑛=
1
20𝑥
0.03𝑥109𝑥183
23.9𝑥10611.5𝑀𝑃𝑎
Treba napomenuti da ukoliko je transformisani presek ekvivalentan preseku od drveta, naponi u
stvarnom preseku od drveta se dobijaju direktno. Obrnuto, ukoliko je presek ekvivalentan
čeličnom, napon u čeliku se dobija direktno. Napon u materijalu čvršćem od materijala
transformisanog preseka se povećava, dakle, da bi se dobila ista jedinična dilatacija neophodan je
veći napon.
PRIMER 6-9
Odrediti najveći napon u betonu i čeliku za armirano-betonsku gredu preseka prikazanog na Slici
6-21(a) ako je opterećena pozitivnim momentom savijanja od 50 000 ft-lib. Armaturu čine dve
čelične šipke Ø9. Odnos modula elastičnosti čelika i betona je 1:15 tj. n=15.
Rešenje
Pretpostavlja se da ravni preseci ostaju ravni u elastičnoj armirano-betonskoj gredi. Dilatacije se
menjaju linearno od neutralne ose, kao što je prikazano na Slici 6-22(b) linijom ab. Za rešenje
ovog problema transformisani presek je od betona. Međutim, kako beton ima malu čvrstoću na
zatezanje moguće je da će doći do manjih prslina u zategnutoj zoni grede. Iz ovog razloga,
računaćemo da beton ne prihvata napone zatezanja. Na osnovu ove pretpostavke, beton u
zategnutoj zoni samo drži armaturu na svom mestu. U proračunu on praktično ne postoji, a
transformisani presek izgleda kao na Slici 6-22(c). Betonski poprečni presek je iznad neutralne
ose i ima oblik grede, ispod nje beton nije prikazan. Pošto čelik prima napone zatezanja on je
prikazan kao transformisana površina betona. Za potrebe proračuna položaj čelika je prikazan
samo jednim rastojanjem od neutralne ose do težišta. Postoji zanemarljiva razlika između ovog
rastojanja i stvarnog rastojanja različitih šipki armature.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
23
Slika 6 - 22
Do sada smo koristili koncept neutralne ose, ali je njen položaj nepoznat. Međutim, poznato je
da se njen položaj podudara sa težišnom osom transformisanog preseka. Dalje je poznato da
statički moment preseka (prvi moment) sa jedne strane težišne ose je jednak statičkom momentu
preseka sa druge strane. Označimo sa kd rastojanje od vrha preseka do težišne ose, kao na Slici
6-22(c), gde je k nepoznati koeficijent, a d je rastojanje od vrha preseka do težišta armature (ovo
se poklapa sa uobičajenim obeležavanjem u knjigama o armiranom betonu, u ovom tekstu h se
generalno koristi za obeležavanje visine ili debljine štapa). Algebarskim sređivanjem navedenog
nalazimo neutralnu osu, oko koje sračunavamo I i određujemo napon kao u prethodnom primeru.
10(𝑘𝑑)površina betona
(𝑘𝑑 2⁄ )
krak=
30transformisani čelični presek
(20 − 𝑘𝑑)krak
5(𝑘𝑑)2 + 600 − 30(𝑘𝑑)
(𝑘𝑑)2 + 6(𝑘𝑑) − 120 = 0
Odatle,
𝑘𝑑 = 8.36𝑖𝑛 i 20 − 𝑘𝑑 = 11.64𝑖𝑛
𝐼 =10(8.36)3
12+ 10(8.36) (
8.36
2) + 0 + 30(11.64)2 = 4020𝑖𝑛4
(𝜎𝑐)𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑐
𝐼=
50 000𝑥15𝑥8.36
6020= 833𝑝𝑠𝑖
𝜎𝑠 = 𝑛𝑀𝑐
𝐼=
15𝑥50 000𝑥12𝑥11.64
6020= 17 400𝑝𝑠𝑖
Alternativno rešenje
Pošto se odredi kd, umesto sračunavanja I, može se koristiti postupak koji je evidentan na Slici
6-22(d). Odredimo položaj rezultante napona pritiska na pritisnutom delu preseka, koji deluje
kao “hidrostatički” pritisak i nalazi se na kd/3 od vrha preseka. Štaviše, ako sa b označimo širinu
grede, ova rezultujuća sila C=½(σc)maxb(kd) (prosečna vrednost napona pomnožena sa
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
24
površinom). Rezultanta napona zatezanja je sila T koja deluje u težištu armature i jednaka je Asσs,
gde je As površina armature u preseku. Dalje, ako sa jd označimo rastojanje između T i C, i kako
je T=C, naneti moment M možemo zameniti sa Tjd ili Cjd.
𝑗𝑑 = 𝑑 − 𝑘𝑑/3 = 20 − (8.36/3) = 17.21𝑖𝑛
𝑀 = 𝐶𝑗𝑑 =1
2𝑏(𝑘𝑑)(𝜎𝑐)𝑚𝑎𝑥(𝑗𝑑)
(𝜎𝑐)𝑚𝑎𝑥 =2𝑀
𝑏(𝑘𝑑)(𝑗𝑑)=
2𝑥50 000𝑥15
10𝑥8.36𝑥17.21= 833𝑝𝑠𝑖
𝑀 = 𝑇𝑗𝑑 = 𝐴𝑠𝜎𝑠𝑗𝑑
𝜎𝑠 =𝑀
𝐴𝑠𝑗𝑑=
50 000𝑥12
2𝑥17.2117 400𝑝𝑠𝑖
Obe metode naravno daju isto rešenje. Drugi metod je zgodniji za praktičnu primenu. Kako čelik
i beton imaju različite dopuštene napone, za gredu se kaže da je ujednačeno armirana kada je
projektovana tako da očekivani naponi istovremeno budu u dopuštenim vrednostima. Treba
naglasiti da bi data greda bila praktično neupotrebljiva ukoliko bi moment od opterećenja
delovao u suprotnom smeru.
6-9. Zakrivljene grede
U ovom delu ćemo se baviti teorijom savijanja zakrivljenih greda. Ograničićemo se na grede čija
osa simetrije poprečnog preseka leži u jednoj ravni na celoj dužini grede. Bavićemo se samo
teorijom elastičnosti3, uz uobičajeni uslov da je modul elastičnosti isti za pritisak i zatezanje.
Posmatrajmo zakrivljeni štap prikazan na Slici 6-23(a) i (b). Spoljašnja vlakna su na rastojanju ro
od centra krivine O. Unutrašnja vlakna su na rastojanju ri. Rastojanje od centra O do težišta
preseka ćemo označiti sa . Rešenje ovog problema (ovo približno rešenjeje razvio je E. Winkler
1858, tačno rešenje ovog problema primenom metoda matematičke teorije elastičnosti je izveo
M. Golovin, 1881.) se ponovo zasniva na poznatim pretpostavkama: Preseci upravni na osu štapa
ostaju ravni nakon nanošenja momenta M. Ovo je grafički predstavljeno linijom ef u odnosu na
element štapa abcd. Element je definisan centralnim uglom ф.
Iako je osnovna pretpostavka deformacije ista kao kod pravih greda, i iz Hooke-ovog zakona
sledi da je normalni napon σ =Eε, nailazimo na neke poteškoće. Početna dužina vlakna grede kao
što je gh zavisi od rastojanja r od centra krivine. Stoga, iako se ukupna deformacija vlakana
štapa (označena sa malim uglom dф) menja po linearnom zakonu, dilatacije se ne menjaju
linearno. Izduženje nekog vlakna gh je (R-r)dф, gde je R rastojanje od centra O do neutralne
površine (čiji položaj još ne znamo) a njegova početna dužina je rф. Dilatacija ε proizvoljnog
vlakna je (R-r) dф/ r ф, a normalni napon σ elementarne površine dA poprečnog preseka je
3 Za plastičnu analizu zakrivljenih greda videti, na primer, H. D. Conway, "Elastic-
Plastic Bending of Curved Bars of Constant and Variable Thickness," J. Appl.
Mech. 27/4 (December 1960): 733-734
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
25
Slika 6 - 23 Zakrivljena greda pri čistom savijanju
𝜎 = 𝐸𝜀 = 𝐸(𝑅 − 𝑟)𝑑ф
𝑟ф (6-29a)
Za dalju primenu, treba imati u vidu da je
𝜎𝑟
𝑅 − 𝑟=
𝐸𝑑ф
ф (6-29b)
Izraz 6-29a daje normalni napon koji deluje na elementarnu provršinu poprečnog preseka
zakrivljene grede. Položaj neutralne ose sledi iz uslova da je suma svih sila koje deluju upravno
na presek jednaka nuli.
𝛴𝐹𝑛 = 0 ∫ 𝜎𝑑𝐴𝐴
= ∫𝐸(𝑅 − 𝑟)𝑑ф
𝑟ф𝐴
𝑑𝐴 = 0
Međutim, kako su E, R, ф i dф konstante za bilo koji presek opterećene grede, ove članove
možemo izvući ispred znaka integrala i dobiti rešenje za R. Tako:
𝐸𝑑ф
ф= ∫
𝑅 − 𝑟
𝑟𝑑𝐴 =
𝐸𝑑ф
ф(𝑅 ∫
𝑑𝐴
𝑟− ∫ 𝑑𝐴
𝐴𝐴
)𝐴
= 0
𝑅 =𝐴
∫ 𝑑𝐴/𝑟𝐴
(6-30)
gde je A površina poprečnog preseka grede, a R definiše položaj neutralne ose. Napomenimo da
se neutralna osa dobijena ovim postupkom ne poklapa sa težišnom osom. Ovo se razlikuje od
slučaja koji važi kod pravih elastičnih greda.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
26
Sada kada je poznat položaj neutralne ose, izraz za raspodelu napona ćemo dobiti kada
izjednačimo spoljašnji moment sa unutrašnjim momentom usled napona, dat jednačinom 6-29a.
Sumiranje momenata se vrši oko z ose, koja je upravna na ravan figure u O na Slici 6-23(a).
𝛴𝑀𝑧 = 0 𝑀 = ∫ 𝜎𝐴
𝑑𝐴(𝑅 − 𝑟) = ∫𝐸(𝑅 − 𝑟)2𝑑ф
𝑟ф𝐴
𝑑𝐴
Ponovo, kako su E, R, ф i dф konstante u preseku, korišćenjem jednačine 6-29b, dobićemo
sledeće:
𝑀 =𝐸𝑑ф
ф∫
(𝑅 − 𝑟)2
𝑟𝑑𝐴
𝐴
=𝜎𝑟
𝑅 − 𝑟∫
(𝑅 − 𝑟)2
𝑟𝑑𝐴
𝐴
=𝜎𝑟
𝑅 − 𝑟∫
𝑅2 − 𝑅𝑟 − 𝑅𝑟 + 𝑟2
𝑟𝑑𝐴
𝐴
=𝜎𝑟
𝑅 − 𝑟(𝑅2 ∫
𝑑𝐴
𝑟− 𝑅
𝐴
∫ 𝑑𝐴 −𝐴
𝑅 ∫ 𝑑𝐴 + ∫ 𝑟𝑑𝐴𝐴𝐴
)
Kako je R konstanta, prva dva integrala se gube kao što se može videti u izrazu u zagradi koji se
javlja ispred jednačine 6-30. Treći integral je A, a poslednji integral, po definiciji, je �̅�𝐴 gde je �̅�
poluprečnik težišne ose. Odatle,
𝑀 =𝜎𝑟
𝑅 − 𝑟(�̅�𝐴 − 𝑅𝐴)
odakle je normalni napon koji se javlja u zakrivljenoj gredi na rastojanju r od centra krivine
𝜎 =𝑀(𝑅 − 𝑟)
𝑟𝐴(�̅� − 𝑅) (6-31)
Ako se pozitivno y meri od neutralne ose ka centru krivine, i �̅�-R=e, jednačina 6-31 se može
napisati u obliku koji je veoma podseća na jednačinu savijanja kod pravih greda:
𝜎 =𝑀𝑦
𝐴𝑟(𝑅 − 𝑦) (6-32)
Ove jednačine ukazuju da raspodela napona kod zakrivljenih greda ima hiperbolični oblik.
Poređenje ovih rezultata sa onima koje slede iz izraza za prave grede prikazano je na Slici 6-
23(c). Posebno obratiti pažnju da se kod zakrivljenih greda neutralna osa pomerena ka centru
krivine grede. Ovo je posledica toga što se veći naponi javljaju ispod neutralne ose. Ova teorija
se odnosi, naravno, samo na elastičnu raspodelu napona i samo za grede kod čistog savijanja. Za
razmatranje slučaja gde se u preseku javlja i aksijalna sila , vidi Odeljak 6-12.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
27
PRIMER 6-10
Uporedi napone kod pravougaone grede dimenzija 50x50mm opterećene momentom na
krajevima od 2083Nm u tri specijalna slučaja: (a) prava greda, (b) zakrivljena greda sa
poluprečnikom krivine težišne ose od 250mm =250mm, Slika 6-24(a), i (c) greda sa
zakrivljenjem od �̅�=75mm.
Rešenje
(a) Ovo sledi direktnom primenom jednačina 6-21 i 6-22.
𝑆 = 𝑏ℎ2/6 = 50𝑥502/6 = 20.83𝑥103𝑚𝑚3
𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀
𝑆=
2083𝑥103
20.83𝑥103= ±100𝑀𝑃𝑎
Rezultat je prikazan na Slici 6-24(c). �̅�=∞ kako je kod prave grede beskonačan poluprečnik
krivine.
Slika 6 - 24
Da bismo rešili stavke (b) i (c) prvo moramo naći položaj neutralne ose. Njega ćemo u opštem
slučaju naći integraljenjem jednačine 6-30. Za pravougaoni presek, elementarna površina je
uzeta kao b dr, Slika 6-24(b). Integraljenje se vrši između granica ri i ro, unutrašnji i spoljašnjeg
poluprečnika, respektivno.
𝑅 =𝐴
∫ 𝑑𝐴/𝑟𝐴
=𝑏ℎ
∫ 𝑏𝑑𝑟/𝑟𝑟𝑜
𝑟𝑖
=ℎ
∫ 𝑑𝑟/𝑟𝑟𝑜
𝑟𝑖
=ℎ
|ln 𝑟|𝑟𝑖
𝑟𝑜=
ℎ
𝑙𝑛(𝑟𝑜/𝑟𝑖)
=ℎ
2.3026 𝑙𝑜𝑔(𝑟𝑜/𝑟𝑖)
(6-33)
gde je h visina preseka, ln je prirodni logaritam, a log je logaritam sa osnovom 10.
(b) U ovom slučaju, h=50mm, �̅�=250mm, ri=225mm, i ro=275mm. Rešenje se dobija iz
jednačina 6-33 i 6-31. Indeks i se odnosi na normalni napon σ za unutrašnja vlakna; o za
spoljašnja vlakna.
𝑅 =50
ln(275/225)= 249.164𝑚𝑚
𝑒 = �̅� − 𝑅 = 250 − 249.164 = 0.836𝑚𝑚
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
28
𝜎𝑖 =𝑀(𝑅 − 𝑟𝑖)
𝑟𝑖𝐴(�̅� − 𝑅)=
2083𝑥103𝑥(249.164 − 225)
225𝑥502𝑥0.836= 107𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑜 =𝑀(𝑅 − 𝑟𝑜)
𝑟𝑜𝐴(�̅� − 𝑅)=
2083𝑥103𝑥(249.164 − 275)
275𝑥502𝑥0.836= −93.6𝑀𝑃𝑎
Negativni predznak σo ukazuje da je u pitanju napon pritiska. Ove veličine i odgovarajuća
raspodela napona prikazani su na Slici 6-24(c); �̅�=250mm.
(c) Ovaj slučaj je sračunat na isti način. Ovde je h=50mm, �̅�=75mm, ri=50mm, i ro=100mm.
Rezultati proračuna prikazani su na Slici 6-24(c).
𝑅 =50
ln(100/50)=
50
ln 2= 72.13𝑚𝑚
𝑒 = �̅� − 𝑅 = 75 − 73.13 = 2.87𝑚𝑚
𝜎𝑖 =2083𝑥103𝑥(72.13 − 50)
50𝑥502𝑥2.87= 128𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑜 =2083𝑥103𝑥(72.13 − 100)
100𝑥502𝑥2.87= −80.9𝑀𝑃𝑎
Nekoliko važnih zaključaka se može izvesti iz ovog primera. Prvo, uobičajena jednačina
savijanja je relativno dobra za grede sa značajnom zakrivljenošću. Greška kod maksimalnog
napona iznosi samo 7% kod slučaja (b) za �̅�/h=5, i ona se u praksi najčešće može tolerisati. Za
veće odnose �̅�/h ova greška se smanjuje. Kako se zakrivljenost grede povećava, napon na
konkavnoj strani se rapidno povećava u odnosu na onaj dobijen uobičajenom jednačinom
savijanja. Kada je �̅�/h=1,5, javlja se greška od 28%. Drugo, rešavanje integrala za R po površini
poprečnog preseka može biti vrlo složeno. proračuni R moraju biti vrlo tačni jer se razlike
između R i uporednih vrednosti koriste u izrazu za napon.
Poslednje dve poteškoće dovele su do razvoja drugih metoda za rešavanje ovog problema. Jedna
takva metoda se sastoji u razvijanju nekih delova rešenja u redove (S. Timoshenko, Strenght of
Materials, 3rd ed. Part I), druga u rešavanju transformisanih preseka. Još jedan pristup se zasniva
na radu “unazad”. Analiziraju se naponi za zakrivljene grede raznih krivina i poprečnih preseka;
zatim se ove vrednosti se dele sa naponom koji bi se dobio za ove grede kada bi bili pravi. Ovaj
odnos se zatim sračuna4. Dakle, obrnuto, ako se traži napon u zakrivljenoj gredi, on se dobija kao
𝜎 = 𝐾𝑀𝑐
𝐼 (6-34)
gde je K koeficijent dobijen iz tabele ili sa grafika a Mc/I se sračuna kao u običnoj jednačini
savijanja.
Dat je izraz za rastojanje od centra krivine do neutralne ose zakrivljene grede sa kružnim
poprečnim presekom, jer ćemo ga koristiti kasnije:
4 R. J. Roark, and W. C. Young, Formulas for Stress and Strain, peto izdanje. (New
York: McGraw-Hill, 1975)..
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
29
𝑅 =�̅� + √�̅�2 − 𝑐2
2 (6-35)
gde je �̅� rastojanje od centra krivine do težišta, a c je poluprečnik kružnog poprečnog preseka.
6-10. Neelastično savijanje greda
Zbog ekonomičnosti, postaje sve značajnije određivanje čvrstoće elemenata izvan granica
elastičnosti. U ovom razmatra se neelastično savijanje greda u post elastičnom opsegu ponašanja
materijala. Ograničićemo se na čisto savijanje grede oko ose upravne na osu simetrije poprečnog
preseka.
Teorija elastičnog savijanja grede se može lako prošiti na neelastično savijanje uvođenjem
jednoosnog nelinearnog odnosa napona i dilatacije materijala. Osnovni zahtevi statičke i
kinematičke deformacije ostaju isti kao u slučaju elastičnosti.
Slika 6 - 25 Neelastično savijanje grede
Da bi pokazali postupak analize posmatrajmo gredu koja ima poprečni presek prikazan na Slici
6-25(a). Ako kao i ranije pretpostavimo da preseci ostaju ravni nakon deformacije, podužna
normalna dilatacija se menja linearno kao na Slici 6-25(b). za nekoliko odabranih dilatacija ε1, ε2,
… ε5 u ovom dijagramu, odgovarajući naponi σ1, σ2, … σ5 su definisani na datom dijagramu
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
30
napon-deformacija na Slici 6-25(c). Ako nanesemo vrednosti ovih napona na presek dobićemo
moguću raspodelu napona duž krive AB kao na Slici 6-25(d) (Ako izuzmemo vertikalnu
razmeru, ova linija odgovara krivoj na dijagramu napon-dilatacija.) Ovi naponi, delujući na
odgovarajućoj površini poprečnog preseka, izazivaju silu pritiska C iznad neutralne ose i silu
zatezanja T ispod nje. Kada je T=C tačan položaj neutralne ose je određen. Ovaj uslov je
ekvivalentan stavu da je u preseku
∫ 𝜎𝑑𝐴 = 0𝐴
(6-36)
gde je σ normalni napon usled savijanja u tom preseku.
Određivanje položaja neutralne ose takav da je T=C može zahtevati rešavanje probanjem, iako je
za neke poprečne preseke5 razvijen direktni postupak. Nakon što odredimo položaj neutralne ose,
rezultujući moment u preseku je jednak C(a+b) ili T(a+b), vidi Sliku 6-25(d). U opštem obliku
jednačina glasi
𝑀𝑧 = − ∫ 𝜎𝑦𝑑𝐴 (6-37)
Problem je znatno pojednostavljen u slučaju da je poprečni presek simetričan u odnosu na
horizontalnu osu i da su svojstva materijala ista za savijanje i za pritisak. Za ovakave slučajeve
unapred nam je poznato da neutralna osa prolazi kroz težište preseka, i možemo direktno da
primenimo jednačinu 6-37. Ponašanje takve grede pri savijanju prikazano je na Slici 6-26. Niz
dilatacija koje se progresivno povećavaju povezane sa ravnim presecima prikazan je na Slici 6-
26(c). Ove maksimalne dilatacije definišu maksimalni napon u spoljašnjim vlaknima grede, Slika
6-26(c), što rezultuje progresivnim povećanjem napona savijanja.
5 A. Nadai, Theory of Flow and Fracture of Solids, Vol. I (New York: McGrawHill,
1950), 356.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
31
Slika 6 - 26 Prekoračenje granice proporcionalnosti materijala kod savijanja pravougaone grede
Kao što se može videti na Slici 6-26(a) i (c), najveći ostvareni napon je σ3. Trenutna raspodela
napona u gredi u vezi sa σ3, za ovaj krti materijal, prikazana je na Slici 6-26(c) krivom AB.
Međutim, u rutinskim eksperimentima nominalni napon u ekstremnim vlaknima je često
sračunat primenom jednačine elastičnog savijanja, jednačina 6-13, korišćenjem eksperimentalno
određenog krajnjeg momenta savijanja. Tako dobijeni napon se naziva napon loma materijala pri
savijanju. Ovaj napon je prikazan linijom CD na Slici 6-26(c) i veći je nego stvarno ostvareni
napon.
Slika 6 - 27 Elasto-plastična greda pri velikim nivoima naprezanjima
Elastična savršeno plastična idealizacija se [Slika 2-13(b)], zbog jednostavnosti, često koristi kod
greda od duktilnog materijala pri određivanju ponašanja prilikom savijanja, a kao važan primer
neelastičnog savijanja, posmatrajmo pravougaonu gredu od elasto-plastičnog materijala; vidi
Sliku 6-27. Kod tako idealizovanog ponašanja materijala moguće je oštro razdvajanje elementa
na elastičnu i plastičnu zonu. Na primer, ako je dilatacija u ekstremnim vlaknima dvostruko veća
u odnosu na početak tečenja, samo srednja polovina grede ostaje elastična; vidi Sliku 6-27(a). U
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
32
ovom slučaju, dolazi do tečenja spoljašnjih četvrtina grede. Veličina momenta M1 koji odgovara
ovom stanju se može lako sračunati (vidi Primer 6-13). Pri većim dilatacijama elastična zona, ili
jezgro, nestaju. Raspodela napona koja odgovara ovom slučaju prikazana je na Slici 6-27(b) i (c).
PRIMER 6-11
Odrediti granični plastični kapacitet kod savijanja meke čelične grede pravougaonog poprečnog
preseka. Smatrati materijal idealno elasto-plastičnim.
Rešenje
Idealizovani dijagram napon-dilatacija prikazan je na Slici 6-28(a). Pretpostavljeno je da
materijal ima ista svojstva pri zatezanju i pritisku. Dilatacije koje se javljaju u čeliku tokom
tečenja je mnogo veći od maksimalne elastične dilatacije (15 do 20 puta). Kako bi se pri većim
dilatacijama javile neprihvatljivo velike deformacije grede, plastični moment se može uzeti kao
granični moment.
Slika 6 - 28
Raspodela napona prikazana na Slici 6-28(b) se javlja nakon što dođe do velikih deformacija. Pri
sračunavanju momenata, naponi koji odgovaraju trougaonim površinama abc i bde se mogu
zanemariti bez većeg uticaja na tačnost. Oni pružaju mali otpor nanetom momentu savijanja
zbog malog kraka sile. Odatle, idealizovana raspodedela napona prikazana na Slici 6-28(c) je
dozvoljena i ima jednostavno fizičko značenje. Cela gornja polovina je izložena uniformnim
naponom pritiska –σyp, dok je donja polovina izložena uniformnim naponom zatezanja σyp. To
što je greda jednako podeljena na zategnuti i pritisnuti deo sledi iz simetrije preseka. Numerički,
C=T=σyp(bh/2) tj. napon x površina
Svaka od ovih sila deluje na rastojanju h/4 od neutralne ose. Odatle, plastični ili granični
moment grede je
𝑀𝑝 ≡ 𝑀𝑢𝑙𝑡 = 𝐶 (ℎ
4+
ℎ
4) = 𝜎𝑦𝑝
𝑏ℎ2
4
gde je b širina grede a h visina.
Isto rešenje možemo dobiti direktnom primenom jednačina 6-36 i 6-37. Vodeći računa o znaku
napona, možemo zaključiti da je jednačina 6-36 zadovoljena ako neutralnu osu postavimo u
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
33
sredinu grede. Zamenom dA=b dy i uzimajući u obzir simetriju u odnosu na neutralnu osu,
jednačina 6-37 dobija oblik
𝑀𝑝 ≡ 𝑀𝑢𝑙𝑡 = −2 ∫ (−𝜎𝑦𝑝)𝑦𝑏 𝑑𝑦ℎ/2
0
= 𝜎𝑦𝑝
𝑏ℎ2
4 (6-38)
Moment savijanja u gredi pravougaonog preseka u trenutku kada je u krajnjim vlaknima
dostignut napon σyp, kako je dato jednačinom elastičnog savijanja, je
𝑀𝑦𝑝 = 𝜎𝑦𝑝𝐼/𝑐 = 𝜎𝑦𝑝(𝑏ℎ2/6) odatle, 𝑀𝑝/𝑀𝑦𝑝 = 1.50
Odnos Mp/Myp jedino zavisi od karakteristika poprečnog preseka grede i naziva se faktor oblika.
Faktor oblika dat samo za pravougaonu gredu pokazuje da Myp može biti prekoračen za 50% pre
nego što se dostigne granična plastična nosivost.
Za statičko opterećenje kakvo se javlja u zgradama, granična nosivost se može približno odrediti
koristeći plastične momente. Postupci zasnovani na takvom konceptu nazivaju se plastična
analiza. Za zakve proračune plastični otporni moment Z definisan je na sledeći način:
𝑀𝑝 = 𝜎𝑦𝑝𝑍 (6-39)
Za pravougaonu gredu koja je analizirana, Z=bh2/4.
PRIMER 6-12
Odrediti zaostali napon u pravougaonoj gredi nakon uklanjanja graničnog plastičnog momenta
savijanja.
Rešenje
Raspodela napona usled graničnog plastičnog momenta prkazana je na Slici 6-29(a). Veličina
ovog momenta određena je u prethodnom primeru kao Mp=σypbh2/4. Do dostizanja plastičnog
momenta Mp, pri rasterećenju sva vlakna mogu da se elastično vrate. Elastični opseg materijala
tokom rasterećenja je dvostruko veći u odnosu na onaj koji bi bio u početku (vidi Sliku 2-13).
Dakle, kako je Myp= σypbh2/6 a moment koji je rasterećen je σyp(bh2/4) ili 1,5Myp, maksimalni
napon sračunat na osnovu elastičnog delovanja je 3/2σyp, kako je prikazano na Slici 6-29(b).
Superponiranjem početnog napona pri Mp sa elastičnim povratnim naponom usled rasterećenja
od Mp, dobija se zaostali napon; vidi Sliku 6-29(c). Zaostali podužni naponi i pritiska i zatezanja
ostaju u gredi. Zategnute zone su osenčene na slici. Da su takve grede izrađene tako da im se
postepeno smanjuje visina, oslobađanje od zaostalih napona bi izazvalo nepoželjne deformacije
u gredi.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
34
Slika 6 - 29 Raspodela zaostalog napona kod pravougaone grede
PRIMER 6-13
Odrediti moment nosivosti elasto-plastične pravougaone grede.
Slika 6 - 30 Elasto-plastična konzola
Rešenje
Da bi problem bio određeniji, posmatraće se kozola opterećena kao na Slici 6-30(a). Ako je
greda izrađena od idealno elasto-plastičnog materijala i naneta sila P je dovoljno velika da
izazove tečenje, formiraće se plastična zona (osenčeno na slici). U proizvoljnom preseku a-a,
odgovarajuća raspodela napona će biti kao na Slici 6-30(c). Elastična zona se prostire na visini
od 2y0. Kako se u elastičnoj zoni napon menja linearno a u plastičnoj zoni je napon svuda jednak
σp, moment nosivosti M je
𝑀 = −2 ∫ (−
𝑦
𝑦0𝜎𝑦𝑝) (𝑏 𝑑𝑦)𝑦 −
𝑦0
0
2 ∫ (−𝜎𝑦𝑝)(𝑏 𝑑𝑦)𝑦
ℎ2
𝑦0
= 𝜎𝑦𝑝
𝑏ℎ2
4− 𝜎𝑦𝑝
𝑏𝑦02
3= 𝑀𝑝 − 𝜎𝑦𝑝
𝑏𝑦02
3
(6-40)
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
35
gde je krajnji oblik dobijen prema jednačini 6-38. U ovoj opštoj
jednačini, ako je y0=0, nosivost postaje jednaka graničnom
plastičnom momentu. Međutim, ako je y0=h/2, moment se vraća
na granični elastični slučaj, gde M= σypbh2/6. Kada je naneti
moment savijanja duž raspona poznat, elasto-plastična granica se
može odrediti rešavanjem jednačine 6-40 po y0. Sve dok postoji
elastična zona ili jezgro, plastične deformacije ne mogu da
napreduju neograničeno. To je slučaj ograničenog plastičnog
tečenja.
Nakon što uklonimo silu P, zaostali napon ostaje duž grede gde
je došlo do plastičnih deformacija. Tipična raspodela napona za
ovo područje prikazana je na Slici 6-31. Ovo je realnija
raspodela napona od one prikazane na Slici 6-29(c), jer u
realnosti nije moguće oštro razdvajanje zategnute i pritisnute zone u neutralnoj osi. Oblik
raspodele napona koji odgovara graničnom slučaju raspodele napona prikazan je na Slici 6-26(a).
Raspored zaostalog napona za takve materijale bi bio nalik razlici napona između krive AB i
prave CD na Slici 6-26(c).
PRIMER 6-14
Odrediti plastični moment za armirano betonsku gredu iz Primera 6-9. Pretpostaviti da je granica
tečenja armature pri 40.000 psi a da je granična čvrstoća betona fc’=2500psi.
Rešenje
Kada armatura počne da teče, javljaju se velike deformacije. Ovo se uzima kao granična nosivost
čelika; odatle Tult=Asσyp.
Pri graničnom ili plastičnom momentu, eksperimentalni rezultati pokazuju da se napon pritiska u
betonu može aproksimirati pravougaonom raspodelom napona prikazanom na Slici 6-326.
Uobičajena je pretpostavka da je prosečan napon u ovom bloku napona pritiska 0.85f’c. Na
osnovu ovoga, imajući u vidu da je Tult=Cult, imamo
𝑇𝑢𝑙𝑡 = 𝜎𝑦𝑝𝐴𝑠 = 40 000𝑥2 = 80 000𝑙𝑏 = 𝐶𝑢𝑙𝑡
𝑘′𝑑 =𝐶𝑢𝑙𝑡
0.85𝑓𝑐′𝑏
=80 000
0.85𝑥2 500𝑥10= 3.77𝑖𝑛
𝑀𝑢𝑙𝑡 = 𝑇𝑢𝑙𝑡(𝑑 − 𝑘′𝑑/2) = 80 000(20 − 3.77/2)/12 = 121 000𝑓𝑡 − 𝑙𝑏
6 Za više informacija videti P. M. Ferguson, J. E. Breen, i J. O. Jirsa, Reinforced
Cncrete Fundamentals, peto izdanje. (New York: Wiley, 1988), ili R. Park i
T. Paulay, Reinforced Concrete Structures (New York: Wiley, 1975).
Slika 6 - 31 Dijagram zaostalog
napona u gredi
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
37
DEO B NESIMETRIČNO SAVIJANJE I SAVIJANJE SA AKSIJALNIM SILAMA
6-11. Savijanje oko obe glavne ose
Kao jednostavan primer kosog ili nesimetričnog čistog savijanja, posmatrajmo pravougaonu
gredu prikazanu na Slici 6-33. Naneti momenti M deluju u ravni abcd. Vektor momenta M
možemo razložiti na dve komponente My i Mz, kao na Slici 6-33(b). Kako je poprečni presek
grede simetričan u odnosu na obe ose, izrazi izvedeni u Delu 6-3 se mogu odmah primeniti.
Zbog simetrije, centrifugalni moment inercije za ovaj presek je jednak nuli, a prikazane
ortogonalne ose su glavne ose poprečnog preseka. Ovo takođe važi za težišnu osu preseka sa
jednom osom simetrije.
Ako pretpostavimo elastično ponašanje materijala, superponiranjem napona usled My i Mz se
rešava problem. Odatle, korišćenjem jednačina 6-11 i 6-12,
𝜎𝑥 = −𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧+
𝑀𝑦𝑧
𝐼𝑦 (6-41)
gde svi članovi imaju prethodno definisana značenja.
Slika 6 - 33 Nesimetrično savijanje grede sa dvo-osno simetričnim poprečnim presekom
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
38
Slika 6 - 34 Superpozicija elastičnog napona usled savijanja
Grafički prikaz superpozicije dat je na Slici 6-34. Možemo uočiti
da linija nultog napona tj. neutralna osa gradi ugao β sa osom z.
Analitički tu osu možemo odrediti ako izraz za napon dat
jednačinom 6-41 izjednačimo sa nulom,
−𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧+
𝑀𝑦𝑧
𝐼𝑦= 0 ili tan 𝛽 =
𝑦
𝑧=
𝑀𝑦𝐼𝑧
𝑀𝑧𝐼𝑦 (6-42)
Kako je My=M sin α i Mz=M cos α, ovu jednačinu možemo da
svedemo na
tan 𝛽 =𝐼𝑧
𝐼𝑦tan 𝛼 (6-43)
Ova jednačina pokazuje da osim ako Iz=Iy, ili je α=0° ili 90°,
uglovi α i β nisu jednaki. Stoga, generalno, neutralna osa i
normala na ravan u kojoj se nalazi naneti moment se ne
poklapaju.
Dobijeni izrazi se mogu primeniti za grede bilo kog poprečnog
preseka pod uslovom da su definisane glavne ose. Da bi dokazali
ovu tvrdnju, posmatrajmo gredu proizvoljnog poprečnog preseka
prikazanu na Slici 6-35. Neka se takva elastična greda savija oko
glavne z ose i pretpostavimo da je raspodela napona data izrazom
σx=Mzy/Iz, jednačina 6-11. Ako ova raspodela napona ne izaziva
moment savijanja My oko y ose, ovo je tačno rešenje problema.
Izraz za ovaj slučaj glasi
𝑀𝑦 = ∫ −𝑀𝑧
𝐼𝑧𝑦𝑧 𝑑𝐴 =
𝑀𝑧
𝐼∫ 𝑦𝑧 𝑑𝐴 = 0
𝐴𝐴
(6-44)
Slika 6 - 35 Čisto savijanje oko
glavnih osa
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
39
gde su konstante izvučene ispred dvostrukog integrala, koji je jednak nuli jer po definiciji
centrifugalni moment incercije za glavne ose je jednak nuli.
Na osnovu gore navedenog, ograničenja u jednačini elastičnog savijanja sa početka poglavlja
koja ga ograničavaju na primenu za simetrične poprečne preseke više ne važe. Međutim, da bi se
primenila jednačina 6-41, moraju se koristiti glavne ose poprečnog preseka. Postupak za
zaobilaženje ovog zahteva dat je u poglavlju 6-14.
PRIMER 6-15
Drvena greda dimenzija 100x150mm prikazana na Slici 6-36(a) opterećena je jednako
podeljenim opterećenjem od 4kN na rasponu od 3m. Opterećenje deluje u ravni koja zaklapa
ugao od 30° sa vertikalom, kao što je prikazano na Slici 6-36(b) i na slici 6-36(c). Sračunati
maksimalni napon usled savijanja na sredini raspona, i za isti presek odrediti položaj neutrale
ose, za isti presek. Zanemariti sopstvenu težinu grede.
Rešenje
Maksimalno savijanje u ravni u kojoj je naneto opterećenje javlja se u sredini raspona, i prema
Primeru 5-8, jednako je w0L2/8 ili WL/8, gde je W rezultanta kontinualnog opterećenja na
rasponu L. Odatle,
𝑀 =𝑊𝐿
8=
4𝑥3
8= 1.5𝑘𝑁𝑚
Dalje, moment razložen na komponente u odnosu na odgovarajuće ose, i sračunati su Iz i Iy.
𝑀𝑧 = 𝑀 cos 𝛼 = 1.5𝑥√3/2 = 1.3𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑦 = 𝑀 sin 𝛼 = 1.5𝑥0.5 = 0.75𝑘𝑁𝑚
𝐼𝑧 = 100𝑥1503/12 = 28.1𝑥106𝑚𝑚4
𝐼𝑦 = 150𝑥1003/12 = 12.5𝑥106𝑚𝑚4
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
40
Slika 6 - 36
Uzimajući u obzir smer komponentalnih momenata, možemo zaključiti da se najveći napon
zatezanja javlja u A. Na sličan način ćemo odrediti napon u ostalim ugaonim tačkama u
uglovima. Alternativno, vrednosti za ove tačke se mogu direktno uneti u jednačinu 6-41. U oba
slučaja,
𝜎𝐴 = −𝑀𝑧(−𝑐1)
𝐼𝑧+
𝑀𝑦𝑐2
𝐼𝑦=
1.3𝑥106𝑥75
28.1𝑥106+
0.75𝑥106𝑥50
12.5𝑥106= +3.47 + 3.00 = +6.47𝑀𝑃𝑎
𝜎𝐵 = +3.47 − 3.00 = +0.47𝑀𝑃𝑎
𝜎𝐶 = −3.47 − 3.00 = −6.47𝑀𝑃𝑎
𝜎𝐷 = −3.47 + 3.00 = −0.47𝑀𝑃𝑎
Primećujemo da su veličine napona na dijametralno suprotnim krajevima numerički jednake.
Neutralnu osu određujemo pomoću ugla β, korišćenjem jednačine 6-43:
tan 𝛽 =28.1𝑥106
12.5𝑥106 tan 30° = 1.30 ili 𝛽 = 52.4°
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
41
Alternativno, možemo je naći iz raspodele napona, koja se linearno menja između dve tačke. Na
primer, iz sličnosti trouglova, a/(150-a)=0,47/6,47, što daje a=10,2mm. Ovako nalazimo položaj
neutralne ose prikazane na Slici 6-36(e) pošto mora proći kroz težište preseka. Na ovaj način
dobija se ista vrednost za β.
PRIMER 6-16
Odrediti maksimalni napon pritiska i zazezanja usled momenta savijanja od 10kNm koji deluje u
odnosu na horizontalnu osu za ugao dat u mm na Slici 6-37.
Slika 6 - 37
Rešenje
Pogrešno je rešavati ovaj problem korišćenjem y i z koordinata datim u jednačinama savijanja
razmatranim u dosadašnjem tekstu. Međutim, rešenje se može dobiti korišćenjem glavnih osa
poprečnog preseka. One su određene u Primeru 6-15, gde smo dobili da se ose moraju zarotirati
u pravcu kazaljke na satu za ugao θ1=14,34°. Za ove glavne ose, Imax=Iz’=23,95x106mm4 i
Imin=Iy’=2,53x106mm4. Za ove ose,
𝑀𝑧′ = +𝑀 cos 𝜃1 = 10𝑥106 cos 14.34° = 9.689𝑥106𝑁𝑚𝑚
𝑀𝑦′ = +𝑀 sin 𝜃1 = 10𝑥106 cos 14.34° = 2.475𝑥106𝑁𝑚𝑚
Najopterećenija tačka poprečnog preseka je tačka najudaljenija od neutralne ose. Da bi odredili
ovu osu, ugao β je određen jednačinom 6-43. Odatle, korišćenjem y’ i z’ koordinata,
tan 𝛽′ =𝐼𝑧′
𝐼𝑦′tan 𝜃1 =
23.95𝑥106
2.53𝑥106tan 14.34° = 2.42
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
42
i β’=67,5°. Kako je ugao meren od z’ ose, sa z osom zaklapa ugao od 67,5°-14,34°=53,2°.
Očigledno je da je veliki nagib neutralne ose u odnosu na z osu, što je mnogo veće od θ1.
Pošto smo odredili položaj neutralne ose, sa slike možemo videti da je najopterećenija pritisnuta
tačka B, dok je najopterećenija zategnuta tačka F. Lociranjem ovih tačaka u y’ z’ koordinatnom
sistemu glavnih osa i primenom jednačine 6-41 naći ćemo tražene napone.
𝑦𝐵′ = 𝑧𝐵 sin 𝜃1 + 𝑦𝐵 cos 𝜃1 = +4.3 sin 𝜃1 + 125.7 cos 𝜃1 = 122.9𝑚𝑚
𝑧𝐵′ = 𝑧𝐵 cos 𝜃1 + 𝑦𝐵 sin 𝜃1 = +4.3 cos 𝜃1 + 125.7 sin 𝜃1 = 122.9𝑚𝑚
𝜎𝐵 = −𝑀𝑧′𝑦𝐵
′
𝐼𝑧′+
𝑀𝑦′𝑧𝐵′
𝐼𝑦′= −
9.689𝑥106𝑥122.9
23.95𝑥106+
2.475𝑥106𝑥(−26.95)
2.53𝑥106= −76.1𝑀𝑃𝑎
Slično,
𝑦𝐹′ = 𝑧𝐹 sin 𝜃1 + 𝑦𝐹 cos 𝜃1 = 24.3 sin 𝜃1 − 74.3 cos 𝜃1 = −65.97𝑚𝑚
𝑧𝐹′ = 𝑧𝐹 cos 𝜃1 − 𝑦𝐹 sin 𝜃1 = 24.3 cos 𝜃1 + 74.3 sin 𝜃1 = +41.93𝑚𝑚
𝜎𝐹 = −𝑀𝑧′𝑦𝐹
′
𝐼𝑧′+
𝑀𝑦′𝑧𝐹′
𝐼𝑦′= −
9.689𝑥106𝑥(−65.97)
23.95𝑥106+
2.475𝑥106𝑥41.93
2.53𝑥106= +67.7𝑀𝑃𝑎
Kada je nesimetrično savijanje grede izazvano transverzalnom silom,
primena drugog postupka u odnosu na pokazani je često mnogo
zgodnija. Naneto opterećenje se prvo razloži na komponente koje deluju
u pravcu glavnih osa poprečnog preseka. Zatim se sračunaju momenti
savijanja usled komponenti opterećenja u odnosu na odgovarajuće ose
da bi se primenila jednačina savijanja. U Primeru 6-15 te komponente su
prikazane na Slici 6-39(g). Da bi izbegli napon usled torzije,
transverzalne sile moraju da deluju kroz centar smicanja, koncept koji je
obrađen u narednom poglavlju. Za dvoosno simetrične preseke,
pravougaonik, krug, I nosač, itd, centar smicanja se poklapa sa težištem
poprečnog preseka. Za druge porečne preseke, kao što je U profil, centar
smicanja je negde drugde, označeno sa S na Slici 6-38, i to je tačka u
kojoj mora da deluje transverzalna sila kako bi se sprečila pojava
torzionog napona. Za analizu nesimetričnog savijanja, naneto
opterećenje se mora razložiti u centru smicanja, paralelno glavnim
osama poprečnog preseka.
6-12. Elastično savijanje sa aksijalnim opterećenjem
Rešenje za čisto savijanje u odnosu na obe glavne ose štapa se može proširiti da uključuje i uticaj
aksijalnog opterećenja uvođenjem superpozicije. Takav pristup se može primeniti samo u opsegu
elastičnog ponašanja štapova. Dalje, ako naneta aksijalna sila izaziva pritisak, štap mora biti
masivniji - većih dimenzija poprečnog preseka, da se ne bi pojavio problem izvijanja koje je
obrađeno u Poglavlju 11. Uz ova ograničenja, jednačina 6-41 u opštem slučaju glasi
Slika 6 - 38 Bočna sila
koja prolazi kroz centar
smicanja S ne izaziva
torziju
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
43
𝜎𝑥 =𝑃
𝐴−
𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧+
𝑀𝑦𝑧
𝐼𝑦 (6-45)
gde je P uzeto pozitivno za silu zatezanja, i savijanje se javlja oko dve glavne y i z ose.
Slika 6 - 39
Za poseban slučaj ekscentrično nanete aksijalne sile, razmotrićemo slučaj prikazan na Slici 6-
39(a). Nanošenjem dve jednake ali suprotne sile P u težištu C, kao na Slici 6-39(b), dobićemo
ekvivalentan problem. U ovoj formulaciji, naneta aksijalna sila P koja deluje u C daje član P/A u
jednalini 6-45; dok spreg Pd koji nastaje usled suprotne sile P na rastojanju d izaziva
nesimetrično savijanje. Moment Pd koji nastaje usled ovog sprega se može razložiti na dve
komponente duž glavnih osa, kao na Slici 6-39(c), Ove komponente su My=Pz0 i Mz=Pz0. Kako
se smer ovih momenata poklapa sa pozitivnim pravcem y i z osa, ovi momenti su pozitivni u
jednačini 6-45.
Pod uslovom da su korišćene glavne ose, jednačina 6-45 se može primeniti za element bilo
kakvog poprečnog preseka. U nekim slučajevima, međutim, može biti korisnije da koristi
proizvoljan sistem ortogonalnih osa i da se odredi napon usled savijanja primenom jednačine 6-
64 datom u Poglavlju 6-14. Da bi se kompletiralo rešenje, mora se superponirati i napon usled
aksijalne sile.
Uputno je obratiti pažnju da je u proračunu, jednačina ravni data kao
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0
gde su A, B, C, i D konstante. Ako kažemo da je A=1, x=σx, B=Mz/Iz, C=My/Iy, i D=-P/A, može
se uočiti da jednačina 6-45 definiše ravan. Slično tome, kako je ε=σ/E, jednačina 6-45 se može
iskoristiti za dilataciju tako da glasi
𝜀𝑥 = 𝑥 = −(𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑) (6-47)
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
44
gde je a=1, a b, c, i d su konstante. Kako ova jednačina takođe definiše ravan, osnovna
pretpostavka za dilataciju pojednostavljene teorije savijanja je potvrđena. Međutim, zbog
pristustva aksijalne dilatacije usled P, “ravni preseci” ne samo da rotiraju, nego se i translatorno
pomeraju za P/AE.
Na osnovu prethodnog izlaganja, možemo zaključiti da se vrednosti podužnih dilatacija u
gredama opterećenim na savijanje i aksijalnim silama može predstaviti rastojanjem od referentne
ravni do nagnute ravni. Isto važi za elastične napone. Ove nagnute ravni seku referentnu ravan
po liniji. Ova linija nultog napona ili dilatacije je analogna neutralnoj osi kod čistog savijanja.
Za razliku od prethodnog slučaja, međutim, kada je P≠0, ova linija ne prolazi kroz težište
preseka. Za velike aksijalne sile i male momente savijanja, linija nultog napona ili dilatacije
može da se nalazi izvan poprečnog preseka. Ova linija je značajna zbog toga što se normalni
napon ili dilatacija od nje linearno menjaju.
Treba napomenuti da u mnogim slučajevima, moment savijanja u gredi izazvan je
transverzalnom silom pre nego ekscentričnom aksijalnom silom kao što je prikazano na Slici 6-
39. U takvim slučajevima jednačina 6-45 ostaje primenjiva.
Sledi nekoliko ilustrativnih primera, počevši od slučaja gde se savijanje vrši samo oko jedne
glavne ose.
PRIMER 6-19
Elastična šipka dimenzija 50x75mm dužine 1,5m zanemarljive sopstvene težine opterećena je
kao na Slici 6-40(a). Odrediti maksimalni napon zatezanja i pritiska koji je upravan na presek
grede.
Rešenje
Da bi se naglasila metoda superpozicije, problem je rešen podelom na dva dela. Na Slici 6-40(b)
greda je opterećena samo aksijalnim silama, a na Slici 6-40(c) ista greda je opterećena samo
transverzalnim silama. Normalni napon usled aksijalnog opterećenja na celoj dužini greda su
𝜎 =𝑃
𝐴=
25𝑥103
50𝑥75= 6.67𝑀𝑃𝑎 (zatezanje)
Rezultat je prikazan na Slici 6-40(d). Normalni napon usled transverzalne sile zavisi od veličine
momenta savijanja, a najveći moment savijanja se javlja na mestu na kojem deluje sila. Kako je
leva reakcija oslonca 2,7kN, Mmax=2,7x103x375=1,013x106Nmm. Na osnovu jednačine
savijanja, maksimalni napon u najudaljenijem vlaknu usled ovog moment iznosi
𝜎 =𝑀𝑐
𝐼=
6𝑀
𝑏ℎ2=
6𝑥1.013𝑥106
50𝑥752± 21.6𝑀𝑃𝑎
Ovi naponi deluju upravno na presek grede i smanjuju se linearno prema neutralnoj osi kao na
Slici 6-40(e). Zatim, da bi dobili jedinstven napon za bilo koji presek, naponu usled savijanja
moramo dodati vrednost napona usled zatezanja. Stoga, kao što se može videti na Slici 6-40(f), u
tački A rezultanta normalnog napona je napon pritiska od 14,9MPa, a u B je napon zatezanja od
28,3MPa.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
45
Iako je u ovom zadatku aksijalna sila veća od transverzalne, savijanje izaziva veće napone.
Međutim, vitke pritisnute grede ne treba posmatrati na isti način.
Slika 6 - 40
Možemo uočiti da je u krajnjem rezultatu linija nultog napona, koja se nalazi u težištu preseka za
savijanje, pomerena na gore. Takođe možemo uočiti da lokalni naponi, usled delovanja
koncentrisane sile, koja deluje upravno na gornju površinu grede nisu uzeti u razmatranje.
Uopšteno, ovi naponi se tretiraju nezavisno kao lokalni naponi.
Raspodela napona prikazana na Slici 6-40(f) bi se promenila kada bi umesto aksijalne sile
zatezanja koja deluje na krajevima, na gredu delovala sila pritiska istog intenziteta. Maksimalni
napon zatezanja bi se smanjio sa 28,3MPa na 14,9MPa, što bi bilo poželjno kod materijala koji
imaju slabu nosivost na zatezanje i transverzalno opterećenje. Ovo je iskorišćeno kod
prednapregnutih konstrukcija. Snopovi žica napravljeni od čeličnih šipki visoke čvrstoće ili
kablovi koji prolaze kroz gredu, usidreni na krajevima, koriste se za prednaprezanje betonskih
greda. Takve veštački nanete sile sprečavaju pojavu napona zatezanja.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
46
PRIMER 6-18
Elastični štap dimenzija 50x50mm savijen u obliku slova U, kao na Slici 6-41(a), opterećen je
dvema suprotnim silama P=8,33kN. Odrediti maksimalni normalni napon koji se javlja u
preseku A-B.
Rešenje
Slika 6 - 41
Traženi presek se nalazi u zakrivljenom delu grede, ali to nije od značaja za postupak proračuna.
Najpre, deo grede je uzet kao slobodno telo, kako je prikazano na Slici 6-41(b). U preseku A-B
određujemo aksijalnu silu koja deluje u težištu preseka, i moment savijanja koji je neophodan da
bi telo bilo u ravnoteži. Zatim, svaka sila sistema se tretira odvojeno. Napon usled aksijalne sile
je
𝜎 =𝑃
𝐴=
8.33𝑥103
50𝑥50= 3.33𝑀𝑃𝑎 (pritisak)
i to je dato na Slici 6-41(c). Normalni napon od momenta
savijanja možemo dobiti korišćenjem jednačine 6-31. Međutim,
za ovu gredu, savijen na radijusu od 75mm, rešenje je već
poznato iz Primera 6-10. Raspodela napona koja odgovara ovom
slučaju prikazana je na drugom dijagramu na Slici 6-41(c).
Superponiranjem ova dva rezultata, dobijamo ukupnu raspodelu
napona. Ovo je prikazano na trećem dijagramu na Slici 6-41(c).
Maksimalni napon pritiska se javlja u tački A i iznosi 131MPa.
Izdvojeni element za tačku A prikazan je na Slici 6-41(d). U
preseku A-B nema smičućih napona jer transverzalana sila nije
neophodna kako bi segment na Slici 6-41(b) bio u ravnoteži. .
Očigledno je da je relativno mali značaj napona izazvanog
aksijalnim silama.
Slika 6 - 42 Položaj sile P tako
da ne izaziva napon u tački B
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
47
PRIMER 6-19
Posmatrajmo trapezni blok koji ima pravougaoni poprečni presek u osnovi, kao na Slici 6-42(a) i
(b). Odrediti maksimalni ekscentricitet e takav da napon u tački B usled opterećenja P bude
jednak nuli.
Rešenje
Kako bi sila P bila u ravnoteži, mora postojati aksijalna sila pritiska P i moment Pe u osnovi
elementa koji ima smer prikazan na slici. Napon usled aksijalne sile je jednak σ=-P/A=-P/bh,
dok je najveći napon zatezanja usled savijanja σmax=Mc/I=M/S=6Pe/bh3, gde je bh2/6 otporni
moment pravougaonog poprečnog preseka. Kako bi zadovoljili uslov da je napon u tački B
jednak nuli, sledi
𝜎𝐵 = −𝑃
𝑏ℎ+
6𝑃𝑒
𝑏ℎ2= 0 ili 𝑒 =
ℎ
𝑒
Što znači da ukoliko se sila P nalazi na rastojanju h/6 od težišne ose poprečnog preseka, napon u
tački B je jednak nuli. Raspodela napona u osnovi odgovara, respektivno, aksijalnoj sili i
momentu savijanja prikazanim na Slici 6-42(c) i (d), i njihov algebarski zbir je prikazan na Slici
6-42(e).
U ovom zadatku, da je sila P delovala bliže težištu poprečnog
preseka, javio bi se manji moment savijanja u preseku A-B, i
pojavio bi se napon pritiska u tački B. Isto bi važilo za silu koja bi
delovala desno od težišne ose. Otuda praktično pravilo, često
korišćeno kod projektovanja zidanih konstrukcija, može se
formulisati na sledeći način: ukoliko rezultanta svih vertikalnih sila
deluje u srednjoj trećini pravougaonog porečnog preseka, u
materijalu u tom preseku nema zatezanja. Podrazumeva se da
rezultanta deluje u vertikalnoj ravni u kojoj se nalazi i jedna od osa
simetrije pravougaonog poprečnog preseka.
Gore navedeno se može uopštiti kako bi bilo primenjivo za bilo koji sistem sila u ravni koje
deluje na element. Rezultanta ovih sila može da seče ravan poprečnog preseka kao na Slici 6-43.
U tački u kojoj rezultanta seče presek ona se može razložiti na horizontalnu i vertikalnu
komponentu. Ukoliko vertikalna komponenta zadovoljava uslov iz prethodnog zadatka, neće
doći do zatezanja u tački B, kako horizontalna komponenta izaziva samo smičuće napone. Stoga,
možemo definisati opštije pravilo “srednje trećine”: u delu grede pravougaonog poprečnog
preseka, neće se pojaviti napon zatezanja ukoliko rezultanta sila koje deluju iznad poprečnog
preseka seče jednu od osa simetrije u srednjoj trećini.
Slika 6 - 43 Rezultanta koja
ne izaziva zatezanje u B
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
48
PRIMER 6-20
Odrediti raspodelu napona u preseku ABCD za blok prikazan u mm na Slici 6-44(a) ako je
P=64kN. U istom preseku, naći liniju nultog napona. Težinu bloka zanemariti.
Rešenje
U ovom zadatku, nešto je jednostavnije izraziti jednačinu 6-45 uz pomoć jednačine 6-22,
definišući otporni moment S=I/c kao bh2/6. Normalni napon u bilo kom I-tom uglu bloka se
može naći drirektno iz tako transformisane jednačine. Ova jednačina glasi
𝜎𝐼 =𝑃
𝐴−
𝑀𝑧
𝑆𝑧+
𝑀𝑦
𝑆𝑦 (6-48)
gde je Sz=bh2/6, i Sy=hb2/6.
Sile koje deluju u preseku ABCD, Slika 6-44(c) su P=-64x103N, My=-64x103x150=-
9,6x106Nmm, i Mz=-64x103x(75+75)=-9,6x106Nmm. Ovaj poprečni presek ima sledeće
karakteristike: A=150x300=45x103mm2, Sz=300x1502/6=1,125x106mm3, i Sy=150x3002/6
=2,25x106mm3.
Vrednosti normalnih napona u uglovima ćemo naći koristeći jednačinu 6-48, uz odgovarajuće
predznake. Na primer, sa Slike 6-44(c), vidimo da usled My, u uglu A i D su naponi pritiska.
Ostale slučajeve ćemo tretirati na sličan način.
Slika 6 - 44
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
49
𝜎𝐴 = −64𝑥103
45𝑥103−
9.6𝑥106
1.125𝑥106−
9.6𝑥106
2.25𝑥106= −1.42 − 8.53 − 4.27 = −14.2𝑀𝑃𝑎
𝜎𝐵 = −1.42 − 8.53 + 4.27 = −5.7𝑀𝑃𝑎
𝜎𝐶 = −1.42 + 8.53 + 4.27 = +11.4𝑀𝑃𝑎
𝜎𝐷 = −1.42 + 8.53 − 4.27 = +2.8𝑀𝑃𝑎
Ovi naponi su prikazani na Slici 6-44(d). Krajevi vektora ova četiri napona u tačkama A’, B’, C’
i D’ leže u ravni A’B’C’D’. Vertikalno rastojanje između ravni ABCD i A’B’C’D’ definiše
ukupni napon u bilo kojoj tački poprečnog preseka. Presek ravni ABCD i A’B’C’D’ daje liniju
nultog napona FE.
Ako nacrtamo liniju B’C" parelelnu sa BC, uočićemo sličnost između trouglova C’B’C" i C’EC;
odakle je rastojanje C’E=[11,4/(11,4+5,7)]150=100mm. Slično, rastojanje AF je sračunato i
iznosi 125mm. Tačke E i F određuju položaj linije nultog napona. Ako je sopstvena težina bloka
zanemarena, raspodela napona za bilo koji presek paralelan sa ABCD je ista.
PRIMER 6-21
Odrediti zonu iznad koje se može naneti sila na dole P0 na pravougaoni blok prikazan na Slici 6-
45(a), zanemarujući njegovu težinu, tako da se u preseku A-B ne javi napon zatezanja.
Slika 6 - 45
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
50
Rešenje
Postavimo da sila P=- P0 deluje u proizvoljnoj tački u prvom kvadrantu datog yz koordinatnog
sistema. Uz isto rezonovanje kao u prethodnom primeru vidimo da za ovaj položaj sile najveći
napon zatezanja bi trebalo da se pojavi u tački A. Ako se P=- P0, Mz=+P0y, i My=+P0z, zameni u
kažemo da je napon u tački A jednak nuli dobićemo granične uslove problema. Koristeći
jednačinu 6-45 za napon u rački A i ona se izjednači sa nulom ispunjava se uslov zadatka.
Jednačina 6-45 omogućava da se napon u A izrazi kao
𝜎𝐴 = 0 =−𝑃0
𝐴−
(𝑃0𝑦)(− 𝑏 2⁄ )
𝐼𝑧𝑧+
(𝑃0𝑧)(− ℎ 2⁄ )
𝐼𝑦𝑦
ili
−−𝑃0
𝐴+
𝑃0𝑦
𝑏2ℎ 6⁄+
𝑃0𝑧
𝑏ℎ2 6⁄= 0
Sređeno,
𝑧
ℎ 6⁄+
𝑦
𝑏 6⁄= 1
što je jednačina prave. To znači da kada je z=0, y=b/6; i kada je
y=0, z=h/6. Odatle, ova linija može da predstavlja liniju CD na
Slici 6-45(b). Vertikalna sila može biti naneta na blok bilo gde
duž ove linije a napon u tački A će biti jednak nuli. Slične linije
možemo dobiti za ostala tri ugla preseka što je prikazano na
Slici 6-45(b). Ako sila P deluje na bilo kojoj od ovih linija ili
na bilo kojoj liniji paralelnoj takvoj liniji prema težištu preseka,
neće doći do pojave napona zatezanja u odgovarajućem uglu.
Odatle, sila P može delovati bilo gde unutar šrafirane površine
na Slici 6-45(b) a da ne izazove napon zatezanja u bilo kom od
četiri ugla preseka ili bilo gde drugde. Ova zona poprečnog
preseka naziva se jezgro preseka. Ograničavanjem mogućeg
položaja sile linijama simetrije pravougaonog poprečnog
preseka, rezultati dobijeni u ovom primeru potvrđuju pravilo
“srednje trećine” o kojem je bilo reči u Primeru 6-19.
PRIMER 6-22
Posmatrajmo krut blok zanemarljive težine koji je oslonjen na
linearno elastičan temelj koji nije u mogućnosti da prenosi
napon zatezanja, kako je prikazano na Slici 6-46(a). Odrediti
raspodelu napona u temelju kada je sila P naneta tako da dolazi
do izdizanja dela bloka.
Slika 6 - 46 Naponi između dve
kontaktne površine između kojih
se ne prenose sile zatezanja
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
51
Rešenje
Pretpostavimo da samo deo AB, dužine x i širine b, temelja efektivno pruža otpor nanetom
opterećenju P. Ovo je označeno obojenom površinom na Slici 6-46(c). Napon duž linije B-B je
po definiciji jednak nuli. Odatle, možemo napisati sledeću jednačinu za napon u B.
𝜎𝐵 = −𝑃
𝑥𝑏+ 𝑃 (
𝑥
2− 𝑘)
6
𝑏𝑥2= 0
gde je x/2-k ekscentricitet nanetog opterećenja u odnosu na težišnu osu obeležene kontaktne
površine, a bx2/6 je otporni moment. Rešavanjem po x dobijamo da je x=3k a raspodela pritiska
će biti “trougaona”, kako je prikazano na Slici 6-46(b). Kako se k smanjuje, povećava se
intenzitet pritiska na liniji A-A; kada je k nula, blok postaje nestabilan.
Ovakvi problemi se javljaju kod projektovanja dimnjaka, jer ne može da se javi napon zatezanja
na kontaktnoj površini temelja i tla. Sličan problem se javlja kod fundiranja teških mašina.
6-13. Neelastično savijanje sa aksijalnom silom
U Poglavlju 6-10, rečeno je da osnovna kinematička pretpostavka da ravni preseci štapa upravni
na osu ostaju ravni i nakon savijanja štapa važi čak i kada se materijal ponaša neelastično.
Slično, ravni preseci upravni na osu štapa pomeraju se duž nje paralelno sami sebi kada se
neelastični štap aksijalno optereti. Za male deformacije, normalne dilatacije koje odgovaraju
ovakvom ponašanju mogu se superponirati. Kao rezultat takve superpozicije, ravan definisana
jednačinom 6-47 može biti formulisana. Takva uopštena analiza neelastičnih štapova je prilično
glomazna i nije razmatrana u ovom tekstu7. Ovde je pažnja ograničena na slučaj u ravni.
Superpozicija dilatacija za gredu u ravni istovremeno opterećenu aksijalnom silom P i
momentom savijanja M šematiski je prikazana na Slici 6-47. Jasnoće radi, dilatacije su znatno
uveličane. Superpozicija dilatacija usled P i M pomera ravan preseka duž ose i rotira ga kao što
je i prikazano. Ako aksijalna sila P izaziva dilatacije veće od bilo koje dilatacije suprotnog znaka
usled M, ukupne dilatacije neće promeniti svoj znak unutar preseka.
Dopunom ovih osnovnih kinematičkih pretpostavki sa odnosom napon-dilatacija i uslovima
ravnoteže, mogu se rešiti kako elastični tako i neelastični problemi. Važno je naglasiti, međutim,
da je superpoziciju napona moguće primeniti samo u elastičnim problemima gde su deformacije
male.
7 M. S. Aghbabian i E. P. Popov, "Unsymmetrical Bending of Rectangular
Beams Beyond the Elastic Limit," Proceedings, First U.S. National Congress
of Applied Mechanics (Michigan: Edwards Bros., 1951), 579-584.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
52
Slika 6 - 47 Superpozicija dilatacija
Sledeći primer ilustruje elastično kao i neelastično rešenje za gredu istovremeno izloženu
savijanju i aksijalnoj sili.
PRIMER 6-23
Posmatrajmo pravougaonu elasto-plastičnu gredu savijenu oko horizontalne ose i istovremeno
opterećenu aksijalnom silom zatezanja. Odrediti veličine aksijalnih sila i momenata usled
rasporeda napona prikazanog na Slici 6-48(a), (b) i (c).
Rešenje
Raspodela napona prikazana na Slici 6-48(a) odgovara ograničenom elastičnom slučaju, gde je
maksimalni napon u tački u kojoj će se javiti tečenje. U ovom slučaju može se koristiti pristup
superpozicije napona. Odatle,
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑦𝑝 =𝑃1
𝐴+
𝑀1𝑐
𝐼 (6-49)
Sila P koja odgovara trenutku početka tečenja može biti definisana kao Pyp=Aσyp; iz jednačine 6-
21, moment u tom trenutku je moment tečenja i iznosi Myp=(I/c)σyp. Deljenjem jednačine 6-49 sa
σyp i zamenom izraza za Pyp i Myp, nakon sređivanja,
𝑃1
𝑃𝑦𝑝+
𝑀1
𝑀𝑦𝑝= 1 (6-50)
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
53
Slika 6 - 48 Kombinovani naponi usled savijanja i aksijalne sile: (a) elastična raspodela napona, (b) i (c)
elasto-plastična raspodela napona, (e) i (f) plastična raspodela napona
Ovim se uspostavlja veza između P1 i M1 tako da je maksimalni napon postaje u tom trenutku
jednak σyp. Grafik ove relacije odgovara slučaju neposredno pred tečenje i predstavljen je
pravom linijom na Slici 6-49. Grafici ovih odnosa nazivaju se interakcione krive ili dijagrami.
Raspodela napona prikazana na Slici 4-48(b) i (c) javlja se pošto je nastalo tečenje u donjoj
četvrtini grede. Uz ovako datu raspodelu napona, veličine P i M možemo direktno odrediti iz
uslova ravnoteže. Sa druge strane, ako su date P i M, kako ne važi superpozicija, neophodan je
glomazan postupak kako bi se odredila raspodela napona.
Za napone prikazane na Slici 6-48(b) i (c), jednostavno se primene jednačina 6-36 i 6-37 koje su
izvedene za neelastično savijanje grede, osim što u jednačini 6-36 suma normalnih napona mora
biti jednaka aksijalnoj sili P. Imajući u vidu da se u elastičnoj zoni napon može algebarski
izraziti kao σ= σyp/3- σypy/(3h/8) a u plastičnoj zoni σ= σyp, sledi
𝑃2 = ∫ 𝜎 𝑑𝐴 = ∫𝜎𝑦𝑝
3(1 −
8𝑦
ℎ) 𝑏 𝑑𝑦 + ∫ 𝜎𝑦𝑝𝑏 𝑑𝑦 = 𝜎𝑦𝑝
𝑏ℎ
4
−ℎ/4
−ℎ/2
+ℎ/2
−ℎ/4𝐴
𝑀2 = ∫ 𝜎𝑦 𝑑𝐴 = ∫𝜎𝑦𝑝
3(1 −
8𝑦
ℎ) 𝑦𝑏 𝑑𝑦 + ∫ 𝜎𝑦𝑝𝑦𝑏 𝑑𝑦 =
3
16𝜎𝑦𝑝𝑏ℎ2
−ℎ/4
−ℎ/2
+ℎ/2
−ℎ/4𝐴
Uočimo da je ovako dobijena aksijalna sila tačno jednaka sili koja deluje na plastifikovani deo
preseka. Moment M2 je veći od Myp=σypbh2/6 i manji od Mult=Mp= σypbh2/4; vidi jednačinu 6-38.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
54
Za potpuno plastifikovan presek prikazan na Slici 6-48(e) i (f) odgovarajuću aksijalnu silu i
moment je jednostavno odrediti. Kao što se može videti sa Slike 6-48(e), aksijalna sila usled σyp
deluje na površinu 2y1b. Zbog simetrije, ovi naponi nemaju uticaj na moment. Sile koje deluju na
gornjoj i donjoj površini ab=[(h/2)-y1]b, Slika 6-48(d), čine spreg sa krakom h-a=h/2+y1. Odatle,
𝑃3 = 2𝑦1𝑏𝜎𝑦𝑝 ili 𝑦1 = 𝑃3/2𝑏𝜎𝑦𝑝
i
𝑀3 = 𝑎𝑏𝜎𝑦𝑝(ℎ − 𝑎) = 𝜎𝑦𝑝𝑏(ℎ2 4⁄ − 𝑦12) = 𝑀𝑝 − 𝜎𝑦𝑝𝑏𝑦1
2
=3𝑀𝑦𝑝
2−
𝑃32
4𝑏𝜎𝑦𝑝
Daljim deljenjem sa Mp=3Myp/2= σypbh2/4 i sređivanjem izraza,
dobijamo
2𝑀3
3𝑀𝑦𝑝+ (
𝑃3
𝑃𝑦𝑝)
2
(6-51)
Ovo je opšta jednačina za interakcionu krivu za P i M
neophodna da bi se zadovoljio uslov potpune plastičnosti za
pravougaoni štap (vidi Sliku 6-49). Za razliku od jednačine za
elastični slučaj, ovaj odnos je nelinearan.
6-14. Savijanje greda sa nesimetričnim (proizvoljnim) poprečnim presekom
Opšta jednačina za čisto savijanje elastičnih greda proizvoljnog poprečnog preseka čije
referentne ose nisu glavne ose može se definisati na isti način kao kod, ranije razmatranih, greda
sa simetričnim poprečnim presekom. I ovde važi pretpostavka da ravni preseci štapa, upravni na
osu, ostaju ravni i posle savijanja štapa. Takođe, uvode se dva osnovna zahteva ravnoteže: (1)
ukupna aksijalna sila u bilo kom poprečnom preseku mora biti jednaka nuli, i (2) spoljašnji
moment savijanja u preseku mora se javiti usled unutrašnjih napona koji deluju u poprečnom
preseku. Hooke-ov zakon je definisan za jednoosne normalne dilatacije.
Kako bi dobili traženu jednačinu, posmatrajmo gredu proizvoljnog poprečnog preseka, kako je
prikazano na Slici 6-50. Orijentacije ortogonalnih osa y i z su uzete proizvoljno. Neka je greda
opterećena na čisto savijanje momentom M sa komponentama My i Mz, respektivno, u odnosu na
ose y i z; vidi Sliku 6-50(a).
U skladu sa osnovnim hipotezama, tokom savijanja, ravni presek kroz gredu bi rotirao i presecao
ravan yz pod uglom β u odnosu na z osu, kao što je prikazano na slici. Položaj infinitezimalne
površine dA u pozitivnom kvadrantu y i z osa definisana je upravnim rastojanjem r od ove linije.
Zatim, analogno jednačini 6-3, pretpostavimo da je normalna podužna dilatacija εx
𝜀𝑥 = −𝜅𝑟 (6-52)
Slika 6 - 49 Interakcione krive za
P i M za pravougaone štapove
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
55
gde je za odabrane koordinate
𝑟 = 𝑦 cos 𝛽 − 𝑧 sin 𝛽 (6-53)
Slika 6 - 50 Savijanje nesimetričnog poprečnog preseka
Dalje, po analogiji sa jednačinom 6-4, podužni elastični napon σx, koji deluje u poprečnom
preseku je
𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 = −𝐸𝜅𝑟 (6-54)
pa uvođenjem jednačine 6-53, ovaj izraz postaje
𝜎𝑥 = −𝐸𝜅𝑦 cos 𝛽 + 𝐸𝜅𝑧 sin 𝛽 (6-55)
gde je κ cos β projekcija krivine κy u xy ravni, kao što se može
videti iz graničnog slučaja kada je β jednako nuli. Slično κ sin β je
projekcija krivine κz u xz ravni. Usvajajući ove oznake, jednačinu 6-
55 možemo napisati u sledećem obliku
𝜎𝑥 = −𝐸𝜅𝑦𝑦 + 𝐸𝜅𝑧𝑧 (6-56)
Razlika u znacima kod članova desno od znaka jednakosti
proizilazi iz konvencije o znacima i može biti jasnija ako se
pogleda Slika 6-51. Ovde možemo primetiti da matematički
definisana pozitivna krivina, koja izazva povećanje nagiba savijene
grede sa povećanjem udaljenosti od koordinatnog početka, dovodi
do dva različita slučaja. U xy ravni pozitivna krivina i pozitivan
moment savijanja imaju isti smisao. Suprotno važi za xz ravan.
Odatle, normalni naponi σx usled ove dve krivine moraju biti
suprotnog znaka. Slika 6 - 51 Veze između
pozitivnih momenata i
zakrivljenosti u xy- i xz- ravnima
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
56
Kako imamo analitički izraz za σx, jednačina 6-56, uslov da je zbir svih sila u x pravcu jednaka
nuli tj., ΣFx=0, može se pisati
∫ 𝜎𝑥 𝑑𝐴 = −𝐸𝜅𝑦 ∫ 𝑦 𝑑𝐴 + 𝐸𝜅𝑧 ∫ 𝑧 𝑑𝐴 = 0 (6-57)
Ova jednačina je identički zadovoljava pod uslovom da je koordinatni početak u težištu
poprečnog preseka. Ovo je očekivan rezultat, i proizvoljne ortogonalne ose prikazane na Slici 6-
50 prolaze kroz težište C poprečnog preseka.
Postavljanjem uslova ravnoteže momenata u preseku, mogu se napisati dve jednačine za
komponentalne momente uz uslov da je spoljašnji naneti moment oko bilo koje ose u ravnoteži
sa unutrašnjim naponima. Jedna od ovih jednačina odnosi se na momente oko z ose; druga oko y
ose. Odatle, kao što je prethodno definisano, ako je Mz poznata komponenta momenta koja
deluje oko z ose i My poznata komponenta momenta koja deluje oko y ose, dobijamo sledeće dve
jednačine
𝑀𝑧 = ∫ −𝜎𝑥𝑦 𝑑𝐴 = 𝐸𝜅𝑦 ∫ 𝑦2 𝑑𝐴 − 𝐸𝜅𝑧 ∫ 𝑦𝑧 𝑑𝐴 (6-58)
i
𝑀𝑦 = ∫ −𝜎𝑥𝑧 𝑑𝐴 = −𝐸𝜅𝑦 ∫ 𝑦𝑧 𝑑𝐴 + 𝐸𝜅𝑧 ∫ 𝑧2 𝑑𝐴 (6-59)
gde su konstante izvučene ispred integrala na desnoj strani izraza. Značenje ovih integrala je
razmatrano u Poglavlju 6-15. Prema jednačini 6-66, ovi integrali definišu momente inercije i
centrifugalni moment inercije poprečnog preseka kao Iz, Iy, i Iyz, pa poslednje dve jednačine
možemo izraziti u obliku
𝐸𝐼𝑧𝜅𝑦 − 𝐸𝐼𝑦𝑧𝜅𝑧 = 𝑀𝑧 (6-60)
i
−𝐸𝐼𝑦𝑧𝜅𝑦 + 𝐸𝐼𝑦𝜅𝑧 = 𝑀𝑦 (6-61)
Istovremenim rešavanjem ove dve jednačine dobijamo
𝐸𝜅𝑦 = +𝑀𝑧𝐼𝑦 + 𝑀𝑦𝐼𝑦𝑧
𝐼𝑦𝐼𝑧 + 𝐼𝑦𝑧2
(6-62)
i
𝐸𝜅𝑧 = +𝑀𝑦𝐼𝑧 + 𝑀𝑧𝐼𝑦𝑧
𝐼𝑦𝐼𝑧 + 𝐼𝑦𝑧2
(6-63)
Zamenom ovih konstanti u jednačini 6-56, izraz za napon pri elastičnom savijanju σx za bilo koji
poprečni presek sa proizvoljno orijentisanim ortogonalnim koordinatnim osama glasi
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
57
𝜎𝑥 = −𝑀𝑧𝐼𝑦 + 𝑀𝑦𝐼𝑦𝑧
𝐼𝑦𝐼𝑧 + 𝐼𝑦𝑧2
𝑦 +𝑀𝑦𝐼𝑧 + 𝑀𝑧𝐼𝑦𝑧
𝐼𝑦𝐼𝑧 + 𝐼𝑦𝑧2
𝑧 (6-64)
Ovo je generalizovana jednačina savijanja. Ako koristimo glavne ose poprečnog preseka, gde je
Iyz jednako nula, ovaj izraz se svodi na jednačinu 6-41.
Ako se jednačina 6-64 izjednači sa nulom, dobija se izraz za određivanje ugla β koji definiše
položaj neutralne ose u proizvoljnom koordinatnom sistemu
tan 𝛽 =𝑦
𝑧=
𝑀𝑦𝐼𝑧 + 𝑀𝑧𝐼𝑦𝑧
𝑀𝑧𝐼𝑦 + 𝑀𝑦𝐼𝑦𝑧 (6-65)
Za glavne ose, ova jednačina se svodi na jednačinu 6-43.
PRIMER 6-24
Koristeći opštu jednačinu za napon pri elastičnom savijanju
odrediti napone u tačkama B i F za ugaonik prikazan u mm iz
Primera 6-16 sa Slike 6-52. Pokazati da su ovi naponi,
respektivno, minimalni i maksimalni. Moment koji deluje je
Mz=10kNm.
Rešenje
U Primeru 6-25 sračunato je Iz=22.64x106mm4,
Iy=3.84x106mm4, i Iyz=5.14x106mm4. Zamenom ovih vrednosti i
Mz=+10kNm u jednačinu 6-64 i definišući, respektivno,
koordinate tačaka B i F kao (125.7,4.3) i (-74.3, 24.3),
dobijamo
𝜎𝐵 = −10𝑥106𝑥3.84𝑥106
3.84𝑥22.64𝑥1012 − 5.14𝑥1012𝑥125.7
+10𝑥106𝑥5.14𝑥106
3.84𝑥22.64𝑥1012 − 5.14𝑥1012𝑥4.3 =
−0.6345𝑥125.7 + 0.8493𝑥4.3 = −76.1𝑀𝑃𝑎
i
𝜎𝐹 = −0.6345𝑥(−74.3) + 0.8943𝑥24.3 = +67.8𝑀𝑃𝑎
Kako bi pokazali da su ovi naponi minimum i maksimum, respektivno, naći ćemo položaj
neutralne ose koristeći jednačinu 6-65
tan 𝛽 =10𝑥106𝑥5.14𝑥106
10𝑥106𝑥3.84𝑥106= 1.34 ili 𝛽 = 53.3°
Slika 6 - 52
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
58
Skiciranjem ove linije na dati poprečni presek, evidentno je da su najudaljenija rastojanja mereno
upravno na neutralnu osu tačke B i F. Stoga, najveći naponi se javljaju u tim tačkama.
Moguća su manja odstupanja u rezultatima dobijenim u Primeru 6-16 i u ovom primeru zbog
greške u zaokruživanju.
Deo C MOMENTI INERCIJE
6-15. Aksijalni i centrifugalni momenti inercije
Sa momentom inercije oko z ose smo se već susretali kada smo govorili o simetričnim
poprečnim presecima. Ovde je taj koncept generazilovan za dve ortogonalne ose za bilo koji
oblik poprečnog preseka. Sa koordinatama yz odabranim kao na Slici 6-53, po definiciji,
aksijalni momenti i centrifugalni moment inercije preseka su dati kao
𝐼𝑧 = ∫ 𝑦2𝑑𝐴 𝐼𝑦 = ∫ 𝑧2𝑑𝐴 i 𝐼𝑦𝑧 = ∫ 𝑦𝑧 𝑑𝐴 (6-66)
Napomenimo da su ove ose odabrane tako da prolaze kroz
težište C. Važno je korišćenje ovakvih težišnih osa kod
rešavanja problema savijanja. Takođe je važno napomenuti da
je centrifugalni moment jednak nuli bilo za dvoosno ili
jednoosno simetrične preseke; vidi Sliku 6-54. Ovo se može
videti na Slici 6-54(b), gde usled simetrije, za svako y(+z)dA,
postoji y(-z)dA pa je njihova suma jednaka nuli.
U Poglavlju 6-4, pokazali smo da je kod sračunavanja
momenata inercije za simetrične složene poprečne preseke,
korisno podeliti takvu površinu na više delova za čije oblike su
momenti inercije poznati. Zatim korišćenjem teoreme o
paralelnim osama za svaki deo i sabiranjem, jednačina 6-18a,
dobićemo moment inercije za ceo presek. Posmatrajući opšti
slučaj prikazan na Slici 6-55, možemo zaključiti da prethodno
izvedeni izraz, jednačina 6-18, za transformaciju momenta
inercije sa zc na z osu i ovde primenjiv. Štaviše, osim promene
indeksa, slična formula važi i za transformaciju momenta
inercije sa yc na y osu. Odatle, za momente inercije imamo
sledeće dve formule za transformaciju osa
𝐼𝑧 = 𝐼𝑧𝑐+ 𝐴𝑑𝑧
2 (6-18)
i
𝐼𝑦 = 𝐼𝑦𝑐+ 𝐴𝑑𝑦
2 (6-67)
gde su Izc i Iyc, respektivno, momenti inercije u odnosu na ose zc i yc, A je posmatrana površina, a
dz i dy su, respektivno, rastojanja od C do osa z i y.
Slika 6 - 53 Rotacija
koordinatnih osa
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
59
Polazeći od definicije za centrifugalni moment, jednačine 6-66, i na isti način kao za Iz i Iy ranije,
izraz za transformaciju osa za centrifugalni moment inercije, nakon sređivanja ima oblik
𝐼𝑦𝑧 = ∫(𝑦𝑐 + 𝑑𝑧) (𝑧𝑐 + 𝑑𝑦)𝑑𝐴 = 𝐼𝑦𝑐𝑧𝑐+ 𝐴𝑑𝑦𝑑𝑧 (6-68)
gde je Iyczc centrifugalni moment inercije površine A u odnosu na težišne ose yc i zc.
Kao što je rečeno ranije, odgovarajući izrazi dati jednačinama 6-18, 6-67 i 6-68 za sve delove
poprečnog preseka treba sabrati kako bi se dobili Iy, Iz i Iyz za ceo poprečni presek.
6-16. Glavne ose inercije
U prethodnim razmatranjima, težišne ose yz za opšti slučaj uzete
su proizvoljno. Zato je važno razmotriti kako se moment i
centrifugalni moment inercije menjaju ako se ove ortogonalne
ose zarotiraju. Ovo je prikazano na Slici 6-53, gde su ose
zarotirane za ugao θ, tako da sada imamo nove koordinate y'z'.
Generalno, momenti inercije koji odgovaraju ovim osama su
različiti od vrednosti za Iy, Iz i Iyz. Kako bi transformisali ove
vrednosti iz jednog koordinatnog sistema u drugi, napomenimo
da
𝑦′ = 𝐶𝑃 + 𝑃𝑆 = 𝑦 cos 𝜃 + 𝑧 sin 𝜃
𝑧′ = 𝑁𝑅 + 𝑅𝑆 = 𝑧 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃
Zatim, na osnovu definicije za momente inercije date
jednačinom 6-66
𝐼𝑧′ = ∫(𝑦′)2𝑑𝐴 = ∫(𝑦 cos 𝜃 + 𝑧 sin 𝜃)2𝑑𝐴
= cos2 𝜃 ∫ 𝑦2𝑑𝐴 + sin2 𝜃 ∫ 𝑧2𝑑𝐴 + 2 sin 𝜃 cos 𝜃 ∫ 𝑦𝑧 𝑑𝜃
= 𝐼𝑧 cos2 𝜃 + 𝐼𝑦 sin2 𝜃 + 2𝐼𝑦𝑧 sin 𝜃 cos 𝜃
= 𝐼𝑧
1 + cos 2𝜃
2+ 𝐼𝑦
1 − cos 2𝜃
2+ 𝐼𝑦𝑧 sin 2𝜃
Slika 6 - 54 Poprečni preseci sa
(a) dve i (b) jednom osom
simetrije
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
60
Odatle, koristeći trigonometrijske identitete,
𝐼𝑧′ =𝐼𝑧 + 𝐼𝑦
2+
𝐼𝑧 − 𝐼𝑦
2cos 2𝜃 + 𝐼𝑦𝑧 sin 2𝜃 (6-69)
Slično
𝐼𝑦′ =𝐼𝑧 + 𝐼𝑦
2+
𝐼𝑧 − 𝐼𝑦
2cos 2𝜃 − 𝐼𝑦𝑧 sin 2𝜃 (6-70)
i
𝐼𝑦′𝑧′ = −
𝐼𝑧 − 𝐼𝑦
2sin 2𝜃 + 𝐼𝑦𝑧 cos 2𝜃 (6-71)
Ove jednačine predstavljaju vezu između aksijalnog i centrifugalnog momenta inercije u novim
y'z' koordinatama u odnosu na prvobitne yz koordinate preko ugla θ. Napomenimo da je Iy’+Iz'=
Iy+Iz, tj., suma momenata inercije u odnosu na dve upravne ose ostaje ista, tj., invarijantna, bez
obzira na ugao θ. Kao što je ranije rečeno, centrifugalni moment inercije Izy je jednak nuli kod
dvoosno simetričnih i jednoosno simetričnih preseka.
Maksimalnu ili minimalnu vrednost Iz' ili Iy’ možemo naći diferenciranjem bilo jednačine 6-69 ili
6-70 po θ i uvođenjem uslova da je izvod jednak nuli, tj.,
𝑑𝐼𝑧′
𝑑𝜃= −(𝐼𝑧 − 𝐼𝑦) sin 2𝜃 + 2𝐼𝑦𝑧 cos 2𝜃 = 0
Odatle,
tan 2𝜃1 =2𝐼𝑦𝑧
𝐼𝑧 − 𝐼𝑦 (6-72)
Ova jednačina daje dva korena u okviru 360° koji se razlikuju za 180°. Kako je ovo dato za
dvostruki ugao 2θ1, koreni za θ1 se razlikuju za 90°. Jedan od ova dva korena određuje položaj
ose u odnosu na koju moment inercije ima maksimalnu vrednost; a drugi određuje ose u odnosu
na koju moment inercije ima minimalnu vrednost. Ove dve težišne ose se nazivaju glavne ose
inercije. Kao što se može videti iz jednačine 6-71, isti uglovi definišu ose za koje je centrifugalni
moment inercije jednak nuli. To znači da je centrifugalni moment inercije za glavne ose jednak
nuli.
Definisanjem sinusa i kosinusa u izrazima za koren dvostrukog ugla u jednačini 6-72 (vidi Sliku
8-5), zamenom u jednačini 6-69 ili 6-70, i sređivanjem, dobijamo izraz za glavne momente
inercije:
Slika 6 - 55 Paralelna translacija
koordinatnih osa
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
61
𝐼𝑚𝑎𝑥𝑚𝑖𝑛
= 𝐼1𝑖𝑙𝑖 𝐼2 =𝐼𝑧 + 𝐼𝑦
2± √(
𝐼𝑧 + 𝐼𝑦
2)
2
+ 𝐼𝑦𝑧2 (6-73)
gde, po definiciji, I1=Imax, i I2=Imin. Ose za koje važe ovi maksimalni i minimalni moment inercije
definisane su jednačinom 6-72. Direktnom zamenom jednog od korena ove jednačine u
jednačinu 6-69, možemo odrediti da li taj koren daje maksimalnu ili minimalnu vrednost
momenta inercije.
PRIMER 6-15
Za ugaonik poprečnog preseka prikazanog na Slici 6-56,
naći glavne ose i glavne momente inercije.
Rešenje
Na osnovu ranijeg proračuna znamo da se težište preseka
nalazi na 74.3mm od donje ivice i na 24.3mm od leve
ivice. Momente inercije u odnosu na ose y i z možemo
sračunati tako što ćemo podeliti presek na dva
pravougaonika i primeniti izraze za transformaciju osa 6-
18, 6-67, i 6-68. Zbog simetrije pravougaonika na koje je
presek podeljen, nemamo centrifugalni moment inercije za
ove delove u odnosu na njihove težišne ose. Za
pravougaonike u odnosu na njihove težišne ose, I=bh3/12,
jednačina 6-19.
𝐼𝑧 = 20𝑥1803 12⁄ + 20𝑥180𝑥(125.7 − 90)2 + 100𝑥203 12⁄ + 100𝑥20𝑥(−74.3 + 10)2
= 22.64𝑥106𝑚𝑚4
𝐼𝑧 = 180𝑥203 12⁄ + 180𝑥20𝑥(24.3 − 10)2 + 20𝑥1003 12⁄ + 20𝑥100𝑥(−50 + 24.3)2
= 3.84𝑥106𝑚𝑚4
𝐼𝑦𝑧 = 0 + 20𝑥180𝑥(125.7 − 90)(24.3 − 10) + 0.100𝑥20(−74.3 + 10)(−50 + 24.3)
= 5.14𝑥106𝑚𝑚4
Zamenom ovih vrednosti u jednačinu 6-73,
𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐼1 = 23.95𝑥106𝑚𝑚4 i 𝐼𝑚𝑖𝑛 = 𝐼2 = 2.53𝑥106𝑚𝑚4
Iz jednačine 6-72,
tan 2𝜃1 =2𝑥5.14𝑥106
(22.64 − 3.84)𝑥106= 0.547 odatle, 𝜃1 = 14.34°
Slika 6 - 56
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
62
Sa Slike 6-56 možemo videti da ovaj ugao definiše osu za maksimalni moment inercije.
Zamenom ove vrednosti za θ1 u jednačinu 6-69 možemo potvrditi ovaj zaključak. U ovom
slučaju, Imax je u odnosu na osu z' koja je zarotirana za θ1=14,34°, tj., Imax=Iz’; obrnuto, Imin=Iy’.
ZADACI
Deo 6-3 do 6-5
6-1 do 6-4. Orediti kapacitet nosivosti na
savijanje u odnosu na horizontalne ose za
poprečne preseke prikazane na slikama.
Dopušteni elastični napon je ili 165MPa ili
24ksi.
Slika Z6 - 1 i Slika Z6 - 2
Slika Z6 - 3 i Slika Z6 - 4
6-5. Proveriti vrednosti otpornih momenata
datih u tablicama za sledeće profile: S
12x40,8, I10x112, i C12x20,7.
6-6. Ako je naneti moment 40k-ft, a dopušteni
elastični napon 24ksi, (a) koji I profil bi imao
dovoljnu nosivost na savijanje oko
horizontalne ose, i (b) oko vertikalne ose?
6-7. Čelični profil I16x100 je oslonjen u A i B
kako je prikazano na slici. Koja je veličina
jednako podeljenog opterećenja ako je na
meraču dilatacije smeštenom na vrhu gornje
flanše 0,0002in/in kada se nanese opterećenje?
E=29x103ksi.
Slika Z6 - 7
6-8. Mali čelični T profil je upotrebljen da
premosti raspon od 400mm. Ako, usled
opterećenja od tri sile prikazane na slici, merač
podužnih dilatacija u A očita dilataciju pritiska
50x10-3, kolike su nanete sile? E=200 GPa.
Slika Z6 - 8
6-9 i 6-10. Odrediti elastični pozitivni
kapacitet nosivosti na savijanje oko
horizontalnih osa greda poprečnih preseka
prikazanih na slikama. Maksimalni dopušteni
elastični napon na zatezanje u Zadatku 6-9 je
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
63
10ksi, a na pritisak 15ksi; odgovarajući
dopušteni naponi za Zadatak 6-10 su 100MPa i
150MPa.
Slika Z6 - 9 i Slika Z6 - 10
6-11. Greda pravougaonog poprečnog preseka
dimenzija prikazanih na slici je opterećena
pozitivnim momentom savijanja od 16 000Nm
koji deluje oko horizontalne ose. (a) Naći silu
pritiska koja deluje na osenčenu površinu
poprečnog preseka usled napona savijanja. (b)
Naći silu zatezanja koja deluje u šrafiranom
delu poprečnog preseka.
Slika Z6 - 11
6-12. Posmatrajmo linearno elastična greda
opterećen momentom savijanja M oko njegove
glavne ose z za koju je moment inercije
poprečnog preseka I. Pokazati da je za takvu
gredu, normalna sila F koja deluje u bilo kom
delu poprečnog preseka površine A1
𝐹 = 𝑀𝑄/𝐼
gde
𝑄 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴 = �̅�𝐴1𝐴1
i �̅� je rastojanje od neutralne ose poprečnog
preseka do težišta površine A1, kao što je
prikazano na slici.
Slika Z6 - 12
6-13. Odrediti veličinu i položaj sile zatezanja
T koja deluje na ovaj presek kada se nanese
pozitivan moment od 100kNm. Kako je
veličina sile zatezanja T jednaka sili pritiska C
koja deluje u preseku, pokazati da je spreg T-C
jednak nanetom momentu.
Slika Z6 - 13
6-14. Dve drvene daske dimenzija 2x6in su
zalepljene u T presek, kako je prikazano na
slici. Ako je takva greda opterećena
pozitivnim momentom od 2270ft-lb oko
horizontalne ose, (a) naći napone u krajnjim
vlaknima, (b) sračunati ukupnu silu pritiska
koja se javlja usled normalnih napona iznad
neutralne ose usled savijanja grede, i (c) naći
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
64
ukupnu silu koja se javlja usled zatežućih
napona savijanja u preseku i uporediti sa
rezultatom dobijenim za (b).
Slika Z6 - 14
6-15. Integracijom odrediti silu koja se javlja
usled napona savijanja i njen položaj na
osenčenom delu poprečnog preseka grede
prikazanog na slici ako je greda opterećena
negativnim momentom savijanja od 3500Nm
koji deluje oko horizontalne ose.
Slika Z6 - 15
6-16. Greda oblika jednakokrakog trougla, kao
što je prikazano na slici, opterećen je
negativnim momentom savijanja od 4000Nm
oko horizontalne ose. (a) Integracijom
pokazati da je I0=bh3/36. (b) Odrediti položaj i
veličinu rezultanti sila zatezanja i pritiska koje
deluju na presek ako je b=h=150mm.
Slika Z6 - 16
6-17. Za linearno elastičan materijal, za iste
maksimalne napone za kvadratni štap u dva
različita položaja prikazana na slici, odrediti
odnos momenata savijanja. Savijanje se vrši
oko horizontalnih osa.
Slika Z6 - 17
6-18. Pokazati da se elastični napon u
pravougaonoj gredi koji se savija oko svojih
dijagonala može smanjiti ako se uklone mali
trougaoni delovi, kao što je prikazano na slici.
Ovo se naziva Emerson-ov paradoks. (Pomoć:
Neka stranica uklonjenog trougla bude ka, gde
je k konstanta. Kod sračunavanja I za presek,
računati ga kao dva četvorougla, veći ima
stranice (1-k)a, a manji širinu ka√2.)
Slika Z6 - 18
6-19. Greda U oblika prikazanog na slici, služi
kao horizontalni nosač neke mašine. Kada se
nanesu vertikalne sile na ovu gredu, rastojanje
AB se poveća za 0.0010in a rastojanje CD se
smanji za 0.0090in. Koji je znak nanetog
momenta i koliki je normalni napon u
najudaljenijim vlaknima? E=15x106psi.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
65
Slika Z6 - 19
6-20. Čelična greda čije su dimenzije
poprečnog preseka delimično prikazane na
slici u laboratoriji je opterećena na čisto
savijanje. Savijanje se vrši oko horizontalne
neutralne ose. Izmerene dilatacije pokazuju da
se gornja vlakna podužno skupljaju za
0.0003m/m; dok se donja vlakna podužno
izdužuju za 0.0006m/m. Odrediti ukupnu
normalnu silu koja deluje na osenčeni deo
preseka u trenutku kada su vršena merenja
dilatacije. E=200GPa. Sve dimenzije su u mm.
Slika Z6 - 20
6-21. Kako se zavrtanj velike čelične stezaljke
C, prikazane na slici, zateže, mere se dilatacije
u horizontalnom pravcu samo usled savijanja
meračem u tački B. Ako je očitana dilatacija
od 900x10-6in/in, koja je sila u zavrtnju koja
odgovara vrednosti izmerene dilatacije?
E=30x106psi.
Slika Z6 - 21
6-22. T nosač prikazan na slici napravljen je
od materijala čije se ponašanje može
idealizovati pošto je granica proporcionalnosti
pri zatezanju 20 MPa a granica
proporcionalnosti pri pritisku 40 MPa. Uz
faktor sigurnosti 1.5 na početku tečenja, naći
najveću vrednost sile F kojom se može
opteretiti ova greda u pravcu na dole kao i u
pravcu na gore. Rešenje treba da se zasniva
samo na osnovu maksimalnog napona
savijanja usled F.
Slika Z6 - 22
6-23. Pravougaoni presek dimenzija
150x300mm je opterećen pozitivnim
momentom savijanja od 240 000Nm oko
“jače” ose. Greda je od anizotropnog
materijala čiji je modul elastičnosti na
zatezanje 1.5 puta veći u odnosu na pritisak;
vidi sliku. Ako naponi ne prekoračuju granicu
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
66
proporcionalnosti, naći maksimalni napon
zatezanja i pritiska u gredi.
Slika Z6 - 23
Deo 6-6
6-24. Mala greda, prikazana na slici, treba da
nosi ciklično naneto opterećenje od 80N/mm.
Greda je debljine 12mm, i raspona 160mm.
Odrediti maksimalni napon na sredini raspona
i na mestima promene visine grede.
Pretpostaviti da su dati koeficijenti na Slici 6-
15 dovoljne tačnosti. Zanemariti koncentraciju
napona u osloncima.
Slika Z6 - 24
6-25. Posmatrajući gredu raspona 160mm u
uslovima opterećenja datim u prethodnom
zadatku, odrediti rastojanje od oslonaca takvo
da naponi u sredini raspona i na mestima
promene visine grede budu isti.
Slika Z6 - 25
Deo 6-7
6-26. Pokazati da je energija elastične
dilatacije usled savijanja grede pravougaonog
poprečnog preseka usled jednako podeljenog
opterećenja (σ2max//2E)(8/45AL), gde je σmax
maksimalni napon savijanja, A površine
poprečnog preseka, a L dužina grede.
6-27. Pokazati da je Usavijanja=
(σ2max/2E)(Vol/9) za konzolu pravougaonog
poprečnog preseka opterećena koncentrisanom
silom P na njenom kraju.
Deo 6-8
6-28. Kompozitna greda od dva različita
materijala ima poprečni presek prikazan na
Slici 6-7(a). Za gornji štap dimenzija
50x80mm, modul elastičnosti je E1=15GPa, a
donji štap dimenzija 50x20mm, E2=40GPa.
Naći maksimalni napon savijanja u oba
metrijala usled pozitivnog momenta od
12kNm koji deluje oko z ose. Ne koristiti
metodu transformacije preseka. (Pomoć:
Koristiti jednačinu 6-16 za određivanje
položaja neutralne ose i direktan postupak
prikazan na Slikama 6-7 i 6-20.)
6-29. Posmatrajmo kompozitnu gredu čiji je
poprečni presek sačinjen od tri različita
materijala spojena zajedno, kao na Slici 6-
20(a). Štap 1 je dimenzija 40x20mm i ima
modul elastičnosti E1=15GPa; štap 2 ima
dimenzije 60x40mm sa E2=10GPa; i štap 3 je
dimenzija 20x20mm sa E3=30GPa. Odrediti
maksimalni napon usled savijanja u svakom od
ova tri materijala usled nanetog momenta od
10kNm koji deluje oko z ose. Ne koristiti
metodu transformacije preseka; vidi pomoć iz
prethodnog zadatka.
6-30 i 6-31. Koristeći transformaciju preseka,
odrediti maksimalni napon usled savijanja za
svaki od dva materijala kompozitne grede
prikazane na slikama kada je svaka opterećena
pozitivnim momentom savijanja od 80kNm.
ESt=210GPa i EAl=70GPa. (Pomoć za Zadatak
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
67
6-31: za elipsu sa poluosama a i b, I=πab3/4
oko glavne težišne ose.)
Slika Z6 – 30 i Slika Z6 – 31
6-32 i 6-33. Odrediti dopušteni moment
savijanja oko horizontalne neutralne ose za
kompozitna greda od drveta i čeličnih ploča
poprečnih preseka kao na slikama. Materijali
su spojeni tako da se ponašaju kao celina.
ESt=30x106psi i EW=1.2x106psi. Dopušteni
naponi usled savijanja su σSt=20ksi i
σW=1.2ksi.
Slika Z6 – 32 i Slika Z6 – 32
6-34. Betonska ploča debljine 150mm je
podužno armirana čeličnom armaturom, kao
na slici. Odrediti dopušteni moment savijanja
za širinu ploče od 1m. Pretpostaviti da je n=12
i da su dopušteni naponi za čelik i beton
150MN/m2 i 8MN/m2, respektivno.
Slika Z6 - 34
6-35. Greda poprečnog preseka kao na slici
opterećena je pozitivnom momentom savijanja
koji izaziva napone zatezanja u čeliku od
20ksi. Ako je n=12, koja je vrednost momenta
savijanja?
Slika Z6 - 35
Deo 6-9
6-36 Ponovo uraditi primer 6-10 sa visinom h
od 100mm.
6-37 Izvesti Jednačinu 6-35.
6-38 Koji je najveći moment savijanja koji se
može naneti na zakrivljenu gredu, kao na Slici
6-23(a), sa �̅�=3in, ako je greda kružnog
poprečnog preseka prečnika 2in a dozvoljeni
napon je 12ksi?
Deo 6-10
6-39 do 6-43. Naći odnose Mult/Myp za grede
poprečnih preseka kao na slikama. Savijanje se
vrši oko horizontalnih osa. Pretpostaviti elasto-
plastično ponašanje kao u Primeru 6-11.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
68
Slika Z6 – 39 i Slika Z6 – 40
Slika Z6 – 42 i Slika Z6 – 42
Slika Z6 – 43
6-44. Naći graničnu nosivost na savijanje za
gredu poprečnog preseka kao u Zadatku 6-1.
Pretpostaviti da dolazi do tečenja materijala pri
zatezanju i pritisku na 200MPa.
6-45. Čelični I profil opterećen na čisto
savijanje ima podužne dilatacije od -1.6x10-3in
na vrhu flanše na mestu prikazanom na slici.
(a) Koliki moment savijanja izaziva ovu
dilataciju? Pretpostaviti idealno elasto-
plastično ponašanje materijala sa E=200GPa i
σyp=240MPa. (b) Kolika zaostala dilatacija bi
ostala u meraču nakon rasterećenja? (c)
Nacrtati dijagram zaostalog napona.
Slika Z6 - 45
6-46. I nosač je napravljen od tri zavarene
ploče kao na slici. Flanše su od jačeg
materijala nego rebro. (a) Koliki moment
savijanja bi se javio u preseku u trenutku kada
dođe to tečenja u flanši usled opterećenja?
Veze napon-dilatacija za ova dva čelika mogu
se idealizovati kao na dijagramu. (b) Nacrtati
dijagram zaostalih napona.
Slika Z6 - 46
6-47. Mala sendvič greda raspona 400mm
napravljena je spajanjem dve aluminijumske
trake sa čeličnom šipkom, kao na slici.
Idealizovani dijagrami napon-dilatacija
prikazani su na slici. Koliki je nanet mement
savijanja ako on izaziva podužnu dilataciju u
meraču, zalepljenom na gornju aluminijumsku
traku, od -7.5x10-3.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
69
Slika Z6 - 47
6-48. Nakon nanošenja opterećenja oko
horizontalne ose na nosač T preseka dimenzija
kao na slici, izmerene podužne dilatacije na
meraču A su -2x10-3. Odrediti veličinu nanetog
momenta savijanja ako se odnos napon-
dilatacija materijala može idealizovati kao što
je prikazano na dijagramu.
Slika Z6 - 48
6-49. Pravougaona greda dimenzija
100x180mm je od materijala čiji je dijagram
napon-dilatacija prikazan na slici. (a) Odrediti
najveći moment za koji ceo presek ostaje
elastičan. (b) Odrediti graničnu nosivost na
savijanje (moment plastičnosti), i nacrtati
rezultujuću raspodelu napona. (c) Kakva je
raspodela zaostalog napona nakon rasterećenja
od graničnog momenta savijanja? (d) Pokazati
da su zaostali naponi međusobno u ravnoteži.
Slika Z6 - 49
Deo 6-11
6-50. Ponovo uraditi Primer 6-15 uz
pretpostavku da je raspon 6000mm, greda je
dimenzija 150x200mm, i α=20°.
6-51. Greda dimenzija 150x200mm raspona
6000mm je opterećen na sredini raspona
kosom silom od 5kN po dijagonali poprečnog
preseka, kao na slici. Odrediti najveći napon
usled savijanja i položaj neutralne ose.
Slika Z6 - 51
6-52. Konzola dužine 10ft je od standardnog
čeličnog profila I12x50 čiji je vrat u
vertikalnom položaju, kao na slici. Odrediti
maksimalni napon usled savijanja na 2ft od
oslonca usled opterećenja od kose sile P koja
deluje kroz težište poprečnog preseka na
slobodnom kraju. Neka sila P deluje pod
uglovima α=0°, 1°, i 5°.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
70
Slika Z6 - 52
6-53. Greda čije su dimenzije u mm prikazane
na slici je opterećen momentom savijanja od
500Nm oko horizontalne ose. Odrediti
maksimalni napon usled savijanja.
Slika Z6 - 53
6-54. Dat je dvoosno simetričan aluminijumski
profil oblika krsta dimenzija datim u mm, kao
na slici. Postavljen je u zakošen položaj kao
konzola koja nosi opterećenje od P=100N na
njenom kraju. (a) Odrediti maksimalni napon
zatezanja na 200mm od opterećenog kraja
konzole. Pretpostaviti linearno elastično
ponašanje materijala. (b) Odrediti položaj
tačke u kojoj je napon jednak nuli na liniji AB.
Slika Z6 - 54
6-55. Odrediti napone usled savijanja u
uglovima konzole opterećene kao na slici, u
preseku 500mm od slobodnog kraja. Takođe
naći neutralnu osu.
Slika Z6 - 55
6-56. Ponovo uraditi Primer 6-16 uz
pretpostavku da je profil opterećen momentom
savijanja oko vertikalne ose od 4kNm.
6-57. Odrediti maksimalne napone u Z profilu
osled momenta savijanja od 2Nm koji deluje
oko z ose. Kao što je dobijeno u Zadatku 6-83,
glavni momenti inercije su I1=Iz’=
753.9757x103mm4, I2=Iy’=96.0243x103mm4, i
θ1=32.8862°. (Pomoć: Položaj neutralne ose
ukazuje na to gde će se javiti najveći naponi.)
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
71
Slika Z6 - 57
Deo 6-12
6-58. Greda I profila 10x49 dužine 8ft je
opterećena silom zatezanja P od 100k, kao na
slici. Na krajevima, gde se nalaze zglobne
veze, greda je ojačana duplim pločama.
Odrediti maksimalni napon u flanši na sredini
grede usled opterećenja P. Kvalitativno,
ukratko objasniti prenošenje opterećenja na
krajevima. Gde će se najverovatnije da će se
javiti najopterećenija područja u gredi?
Slika Z6 - 58
6-59. Za mašinski element prikazan na slici,
odrediti rastojanje rastojanje e takvo da naponi
zatezanja i pritiska u preseku T budu jednaki.
Slika Z6 - 59
6-60. Okvir za industrijsku presu ima
dimenzije kao na slici. Sa kolikom silom P se
može opteretiti ovaj okvir tako da se ne
prekorače dozvoljeni naponi u preseku a-a,
ako su dozvoljeni naponi 4,000psi za zatezanje
i 12,000psi za pritisak?
Slika Z6 - 10
6-61. Sila od 169,8k deluje na gredu BC u C,
kao na slici. Odrediti maksimalni napon koji se
javlja upravno na presek a-a. Greda BC je od
čeličnog profila 6x6in. Zanemariti sopstvenu
težinu grede.
Slika Z6 - 61
6-62. Sračunati maksimalni napon pritiska koji
se javlja u preseku a-a usled nanetog
opterećenja na konstrukciju prikazanu na slici.
Poprečni presek u preseku a-a je puna kružna
šipka prečnika 2in.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
72
Slika Z6 - 62
6-63. Sračunati maksimalni napon pritiska koji
se javlja u preseku a-a za konstrukciju
prikazanu na slici. Stub AB je dimenzija
12x12in u poprečnom preseku. Zanemariti
sopstvenu težinu konstrukcije.
Slika Z6 - 63
6-64. Da bi se dobila veličina ekscentrične
vertikalne sile F na stubu poprečnog preseka
oblika T, merači dilatacije su postavljeni u A i
B, kao na slici. Odrediti silu F ako je podužna
dilatacija u A -100x10-6in/in a u B -800x10-6
in/in. E=30x106psi a G=12x106psi. Površina
poprečnog preseka stuba je 24in2.
Slika Z6 - 64
6-65. Greda dimenzija 100x100mm je
opterećen silom F, kao na slici. Podužni
naponi u krajnjim vlaknima u dva poprečna
preseka na rastojanju od 200mm dobijeni su
eksperimentalno σA=0; σB=-30MPa; σC=-
24MPa; i σD=-6MPa. Odrediti veličinu
vertikalne i horizontalne komponente sile F.
Slika Z6 - 65
6-66. Pravougaona vertikalna greda je
uklještena na dnu kao na slici. Odrediti položaj
merača na AB strani grede tako da se ne jave
podužne dilatacije usled delovanja sile P=6kN.
Da li rešenje zavisi od veličine sile P?
Pretpostaviti elastično ponašanje. Sve
dimenzije su date u mm.
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
73
Slika Z6 - 66
6-67. Kosa sila zatezanja F naneta je na
aluminijumsku gredu tako da njena napadna
linija prolazi kroz težište grede, kako je dato
na slici. Dimenzije su u mm. (Detalji veze nisu
prikazani.) Koja je veličina sile F ako ona
izaziva podužne dilatacije od +20x10-6 u
meraču tački A? Pretpostaviti da se greda
ponaša kao linearno elastičan materijal i neka
je E=70GPa.
Slika Z6 - 67
6-68. Magnezijumska greda je povezana sa
čeličnom gredom istih dimenzija čineći gredu
poprečnog preseka kao na slici, dimenzije su u
mm. (a) Ako po nanošenju ekscentrične
aksijalne sile P, gornji podužni merač
pokazuje skraćenje od 2x10-3, a donji
izduženje od 2x10-3, koja je veličina sile P?
Pretpostaviti elastično ponašanje materijala sa
EMg=45GPa i ESt=200GPa. (b) Gde bi trebala
da deluje aksijalna sila P tako da ne izaziva
savijanje? (Interesantno je napomenuti da se
ovako određuje položaj neutralne ose grede.)
Slika Z6 - 68
6-69. Čelična kuka dimenzija prikazanih na
slici, opterećena je silom na dole od 19k.
Poluprečnik krivine težišne ose je 6in. Odrediti
maksimalni napon u kuki.
Slika Z6 - 69
6-70. Čelična greda prečnika 50mm savijena je
u gotovo potpuno kružni prsten spoljašnjeg
prečnika od 300mm, kao na slici. (a) Sračunati
maksimalni napon u ovom prstenu usled
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
74
delovanja dve sile od 10kN na krajevima. (b)
Naći odnos maksimalnog napona iz tačke (a) i
najvećeg napona pritiska koji deluje normalno
u istom preseku.
Slika Z6 - 70
6-71. Kratak blok ima dimenzije poprečnog
preseka prikazane na slici u osnovi. Odrediti
na kom delu duž linije A-A može delovati
vertikalna sila na dole na vrhu bloka tako da
ne izazove zatezanje u osnovi. Zanemariti
sopstvenu težinu bloka.
Slika Z6 - 71
6-72. Poprečni presek kratkog bloka oblika
„strele“ prikazan je u osnovi na slici. Naći
položaj vertikalne sile na dole na liniji
simetrije preseka tako da napon u tački A bude
jednak nuli.
Slika Z6 - 72
6-73. Odrediti jezgro preseka za štap punog
kružnog poprečnog preseka.
6-74. Za malu betonsku trougaonu branu
približne težine 2550kg/m3, prikazanu na slici,
naći približnu raspodelu normalnog napona u
preseku A-B koristeći osnovne metode za
prizmatične elemente kada je voda iza brane
do naznačenog nivoa. Za proračun uzeti jedan
metar dužni brane u pravcu upravnom na
ravan papira i tretirati ka gao izolovanu gredu.
Dimenzije su date u metrima.
Slika Z6 - 74
6-75. Odrediti punu visinu brane h čiji
poprečni presek je dat na slici, tako da pritisak
na temelj u tački A bude jednak nuli?
Pretpostaviti da je težina vode 62.5lb/ft3 a
betona 150 lb/ft3.
Slika Z6 - 75
Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama
75
Deo 6-13
6-76. Data je greda T preseka idealno elasto-
plastičnog materijala dimenzija kao na slici.
(a) Ako je podužna dilazacija na dnu flanše –
εyp, i poznato je da je na spoju flaše i vrata
jednaka nuli, kolika aksijalna sila P i moment
savijanja M deluju na gredu? (b) Kolika bi bila
očitana dilatacija nakon prestanka delovanja
opterećenja P i M iz tačke (a)? Neka je
σyp=200MPa.
Slika Z6 - 76
6-77. Magnezijumski odlivak ima dimenzije
date na slici u mm. Tokom nanošenja sile P,
gornji merač je zabeležio izduženje od 3x10-3
a donji skraćenje od 6x10-3. (a) Odrediti
veličinu sile P i njen ekscentricitet e uz
pretpostavljeno idealno ponašanje materijala.
Neka je σyp=135MPa i εyp=3x10-3. (b) Koje
vrednosti će se očitati na meraču po prestanku
delovanja sile P?
Slika Z6 - 11
Deo 6-14
6-78. Ponovo uraditi Primer 6-24 za naneti
moment od My=4kNm.
6-79. Koristeći opštu jednačinu savijanja, naći
najveći napon u gredi Z preseka dimenzija
prikazanim na slici u Zadatku 6-57, usled
momenta savijanja Mz=2Nm. Takođe naći
položaj neutralne ose. Vidi rešenja iz Zadatka
6-83 za moment inercije poprečnog preseka.
6-80. Ponovo uraditi prethodni zadatak za
opterećenje od My=6kNm.
Deo 6-15
6-81. (a) Naći centrifugalni moment inercije za
trougaonu površinu prikazanu na slici u
odnosu na date ose. (b) Za istu površinu,
odrediti centrifugalni moment inercije u
odnosu na vertikalnu i horizontalnu težišnu
osu.
Slika Z6 - 81
6-82. (a) Naći glavne ose i glavne momente
inercije za L profil prikazan na slici. (b)
Koristeći podatke iz tablice sračunati glavne
momente inercije i uporediti ih sa rezultatima
dobijenim za (a). (Pomoć: Uočiti da je u Delu
11-6 i Primeru 11-2, Imin=Ar2min. Dato r u
Tabeli 7 za z osu je rmin. Dalje, iz uslova
Imin+Imax= Ix'+Iy’ =Ix+Iy, odavde lako možemo
rešiti po Imax.)