DISKRETNE MATEMATIKE STRUKTURE
GRUPEProf. dr Esad Jakupovi6.1. ALGEBARSKE STRUKTURE SA JEDNOM
BINARNOM OPERACIJOMKao to je istaknuto u uvodnom poglavlju,
algebarske strukture sa jednom binarnom operacijom nazivamo
grupoidima. Grupoid je skup snabdjeven binarnom operacijom. Ako
skup oznaimo sa X a. binarnu operaciju u tom skupu sa ,odgovarajui
grupoid G se oznaava kao ureen par G=(X, ). Umjesto a b ponekad emo
pisati ab.Grupoidi sa izvjesnim osobinama imaju odgovarajua
imena.
Definicija 1. Grupoid G=(X, ), gde je asocijativna operacija,
naziva se semigrupa (polugrupa). Semigrupa sa jedininim elementom
naziva se monoid.
Definicija 2. Grupoid G=(X, ), u kome za svako a, b X postoji
jedinstveno rjeenje jednaina a x=b i y a=b (po x i y respektivno),
naziva se kvazigrupa.
Definicija 3. Kvazigrupa sa jedininim elementom naziva se
lupa.
Definicija 4. Grupoid G= (X, ) naziva se grupa ako su ispunjeni
sledei uslovi:
Uslov 1 oznaava asocijativnost grupoida. Element e, ija se
egzistencija utvruje u 2, naziva se jedinini ili neutralni element
grupoida, odnosno grupe. Element a-1 iz uslova 3 naziva se inverzni
element elementa a. Ako u nekom grupoidu element a ima inverzni
element onda se za a kae da je invertibilan. Na osnovu ovog moe se
dati i sledea definicija grupe koja je ekvivalentna sa
prethodnom.
Definicija 5. Semigrupa sa jedininim elementom u kojoj je svaki
element invertibilan naziva se grupa.
Definicija 6. Grupa G=(X, ) u kojoj je operacija komutativna
naziva se komutativna grupa ili Abelova grupa.
Primjer 1. Skup racionalnih brojeva razliitih od 0 snabdjeven
operacijom mnoenja (brojeva) predstavlja grupu. Takoe su i grupoidi
grupe.Mnogi grupoidi sa operacijom sabiranja brojeva predstavljaju
grupe (vidjeti primer 2), pa se esto i u optem sluaju grupe za
oznaku operacije koristi simbol +. Ako je operacija grupe oznaena
sa grupa se naziva multiplikativna a ako je upotrebljen znak +
grupa se naziva aditivna. Razlika izmeu multiplikativne i aditivne
grupe nije sutinska ve se ogleda samo u razliitoj notaciji.
Definicija 4 je u multiplikativnoj notaciji. U aditivnoj notaciji
neutralni element se obiljeava sa 0 a inverzni element elementa a
sa a.
Definicija 7. Grupoid G= (X, +) naziva se grupa ako su ispunjeni
sledei uslovi:
Primjer 2. Poznati primjeri aditivnih grupa su grupoidi (Z, +),
(Q, +), (R, +) i (C, +).
Primer 3. Dokazati da skup S={1, 2, ... ,p1}, gde je p prost
broj, obrazuje grupu u odnosu na mnoenje po modulu p. (Dva cijela
broja a i b se mnoe po modulu m na taj nain to se najprije pomnoe
na uobiajeni nain pa se dobijeni rezultat ab podijeli sa m; ostatak
pri djeljenju se zove proizvod po modulu m brojeva a i
b).Obiljeiemo sa mnoenje po modulu p. Skup S je oigledno zatvoren u
odnosu na .
Da bi dokazali asocijativnost operacije , tj: (a b) c=a (b c),
dokazaemo da je
Zaista, a b= ab (mod p) i a b=ab + kp za neki cijeli broj k.
Dalje je (a b) c= (a b)c (mod p), (a b) c=abc+kcp=abc (mod p), to
daje prvu od relacija (1). Na slian nain se dokazuje i druga
relacija.Jedinini element, naravno, postoji; to je broj 1.Da bi
dokazali invertibilnost elemenata iz S posmatrajmo za fiksirano a
sve proizvode elementa a sa elemetirna iz S.Meu tim proizvodima
nema jednakih, jer ako bi bilo i a=j za i>i, imali bi ia=ja (mod
p), tj. , a ovo je nemogue jer p je prost broj i 1
