Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
421 480
Dokaz 421
Dokažite svaka stranica trokuta veća je od razlike ostalih dviju.
Teorija
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Nejednakost trokuta:
, , .a b c b a c c a b< + < + < +
Duljina svake stranice trokuta manja je od zbroja duljina njegovih ostalih stranica.
����
.
a b c a b c c a b
b c a b c a a b c
c a b c a b b c a
< + − < > −
< + ⇒ − < ⇒ > − < + − < > −
■
2
Dokaz 422
Dokažite zbroj dvaju vanjskih kutova trokuta uvijek je manji od 360º i veći od 180º.
Teorija
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.
1 0 .8α β γ+ + =�
Kutovi α, β i γ nalaze se unutar trokuta pa ih nazivamo unutarnji kutovi trokuta. Kut koji je susjedni kut nekog unutarnjeg kuta trokuta nazivamo vanjskim kutom tog trokuta.
γγγγ'
ββββ 'αααα'
γγγγ
ββββαααα
' 180 ' 180, .' 0, 18α α β β γ γ+ = + = + =� � �
Vanjski kut trokuta jednak je zbroju njemu nasuprotnih unutarnjih kutova, odnosno: ' ' , .',α β γ β α γ γ α β= + = + = +
Svojstvo jednakosti (zbrajanje): i .a b c d a c b d= = ⇒ + = +
����
( )zbrojimo
jednak
'' '
os'
i'
' t
α β γα β β γ α γ α β α β γ γ
β α γ
= + ⇒ ⇒ + = + + + ⇒ + = + + + ⇒ = +
' ' 180 .α β γ⇒ + = +�
Međutim,
180γ <�
pa je
180 180 360 180 ' ' 360 .γ α β< + < ⇒ < + <� � � � �
Slično dokazujemo
180 ' ' 360 , 180 ' ' 360 .α γ β γ< + < < + <� � � � ■
3
Dokaz 423
Dokažite da bi točke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3) pripadale istom pravcu njihove koordinate moraju
zadovoljavati uvjet ( ) ( ) ( ) 0.1 2 3 2 3 1 3 1 2y x x y x x y x x⋅ − + ⋅ − + ⋅ − =
(ili ( ) ( ) ( ) 0.1 2 3 2 3 1 3 1 2x y y x y y x y y⋅ − + ⋅ − + ⋅ − = )
Teorija
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Jednadžba pravca kroz dvije točke Pravac točkama A(x1, y1), B(x2, y2), x1 ≠ x2, ima jednadžbu
( )2 11 1
2 1.
y yy y x x
x x
−− = ⋅ −
−
Površina trokuta ABC, A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) dana je formulom
( ) ( ) ( )11 2 3 2 3 1 3 1 22
.P x y y x y y x y y= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
Skup točaka je kolinearan ako sve točke skupa pripadaju jednom pravcu. Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:
, .
, 0
0
x xx
x x
≥=
− <
Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0, vrijedi │x│= x. Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x, x < 0, je │x│= – x.
����
1.inačica Jednadžba pravca kroz točke A(x1, y1) i B(x2, y2) glasi:
( )2 1 .1 12 1
y yy y x x
x x
−− = ⋅ −
−
U tu jednadžbu uvrstit ćemo koordinate točke C(x3, y3). Nakon sređivanja dobijemo:
( ) ( ) ( ) ( )2 1, ,3 3 3 1 3 12 1
2 11 1
2 1
y yy y x
y yC x y C x y y y x x
x x xx
x
−= ⇒ ⇒ − = ⋅
−− = − −⋅ ⇒
−−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 13 1 3 1 3/ 2 1 1 2 1 2 1 3 1
2 1
y yy y x x y y x x y y xx
xx x
x⋅ −
−⇒ − = ⋅ − ⇒ − ⋅ − = − ⋅ − ⇒
−
( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 1 2 1 2 3 1 1 3 1y x x y x x y x x y x x⇒ ⋅ − − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ − ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) 03 2 1 1 2 1 2 3 1 1 3 1y x x y x x y x x y x x⇒ ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − = ⇒
( ) ( ) ( ) 01 2 1 3 1 2 3 1 3 1 2y x x x x y x x y x x⇒ − ⋅ − − + − ⋅ − − ⋅ − = ⇒
( ) ( ) ( ) 01 2 3 2 31 1 21 1 3y x x y x x yx x xx⇒ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −− =+ ⇒
( ) ( ) ( ) 01 2 3 2 3 1 3 1 2y x x y x x y x x⇒ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − = ⇒
4
( ) ( ) ( ) ( )01 2 3 2 3 1 11 /3 2y x x y x x y x x⇒ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − = ⋅ − ⇒
( ) ( ) ( ) 0.1 2 3 2 3 1 3 1 2y x x y x x y x x⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ − =+ + ■
2.inačica Trokut ABC ima površinu nula ako su točke A, B i C kolinearne (leže na istom pravcu).
( ) ( ) ( ) [ ]1
1 2 3 2 3 1203 1 2P x Py y x y y x y y= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ⇒ =− ⇒
( ) ( ) ( )11 2 3 2 3 1 3 1 22
0x y y x y y x y y⇒ ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − ⇒=
( ) ( ) ( ).1 2 3 2 3 1 3 1 2x y y x y y x y y⇒ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − ■
Pokažimo da je
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2x y y x y y x y y y x x y x x y x x⋅ − + ⋅ − + ⋅ − = − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2x y y x y y x y y⋅ − + ⋅ − + ⋅ − =
1 2 1 3 2 3 2 1 3 1 3 2x y x y x y x y x y x y= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =
2 1 3 1 3 2 1 2 1 3 2 3x y x y x y x y x y x y= − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ =
( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2y x x y x x y x x= − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − =
( ) ( ) ( ) .1 2 3 2 3 1 3 1 2y x x y x x y x x= − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
5
Dokaz 424
Dokažite formulu za sinus trostrukog argumenta: ( ) 3sin 3 3 sin 4 sin .x x x⋅ = ⋅ − ⋅
Teorija
Adicijska formula za sinus zbroja Za svaka dva realna broja x i y vrijedi
( )sin sin cos cos n .six y x y x y+ = ⋅ + ⋅
Trigonometrijske funkcije dvostrukog argumenta
( ) ( )sin 2 2 sin cos 2 sin cos sin, .2x x x x x x⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
( ) ( )2 2 2 2cos 2 cos sin cos sin, c s 2 .ox x x x x x⋅ = − − = ⋅
Temeljni trigonometrijski identitet 2 2 2 2cos sin 1 1 co i, .s s nx x x x+ = = +
Svojstvo potencije: 1 1
.,a a a a= =
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
( ) ( ) ( ) ( )sin 3 sin 2 sin 2 cos cos 2 sinx x x x x x x⋅ = ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
( )2 2 2 2 32 sin cos cos cos sin sin 2 sin cos sin cos sinx x x x x x x x x x x= ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ − =
( )2 3 2 3 3 33 sin cos sin 3 sin 1 sin sin 3 sin 3 sin sinx x x x x x x x x= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − − = ⋅ − ⋅ − =
33 sin 4 sin .x x= ⋅ − ⋅ ■
6
Dokaz 425
Dokažite formulu za kosinus trostrukog argumenta: ( ) 3cos 3 4 cos 3 cos .x x x⋅ = ⋅ − ⋅
Teorija
Adicijska formula za kosinus zbroja Za svaka dva realna broja x i y vrijedi
( )cos cos cos sin n .six y x y x y+ = ⋅ − ⋅
Trigonometrijske funkcije dvostrukog argumenta
( ) ( )sin 2 2 sin cos 2 sin cos sin, .2x x x x x x⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
( ) ( )2 2 2 2cos 2 cos sin cos sin, c s 2 .ox x x x x x⋅ = − − = ⋅
Temeljni trigonometrijski identitet 2 2 2 2cos sin 1 1 co i, .s s nx x x x+ = = +
Svojstvo potencije: 1 1
.,a a a a= =
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
( ) ( ) ( ) ( )cos 3 cos 2 cos 2 cos sin 2 sinx x x x x x x⋅ = ⋅ + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
( )2 2 3 2 2cos sin cos 2 sin cos sin cos sin cos 2 sin cosx x x x x x x x x x x= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅ =
( )3 2 3 2 3 3cos 3 sin cos cos 3 1 cos cos cos 3 cos 3 cosx x x x x x x x x= − ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅ =
34 cos 3 cos .x x= ⋅ − ⋅ ■
7
Dokaz 426
Dokažite ako je τ perioda od f, tada je i n · τ perioda od f, .n N∈
Teorija
Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo
{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Funkcija f je periodična s periodom P (P ≠ 0), ako za svaki x vrijedi: Ako je funkcija f definirana u jednoj od točaka x, x + P, onda je definirana u obje te točke i vrijedi
( ) ( ) .f x P f x+ =
Broj P zove se perioda funkcije f. Najmanja pozitivna perioda funkcije f (ako postoji) zove se temeljna perioda funkcije f.
����
Za n = 1 tvrdnja je trivijalna.
( ) ( ).f x f xτ+ = periodičnost od f
Uzmimo da je n ≥ 2.
( ) ( ) ( )( ) [ ]periodičnost od1f x n f x n f x n fτ τ τ τ τ τ+ ⋅ = + ⋅ − + = + − ⋅ + = =
( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 2f x n f x n f x n f x nτ τ τ τ τ τ τ τ= + − ⋅ = + ⋅ − = + ⋅ − ⋅ + = + − ⋅ + =
[ ] ( )( )periodičnost o .d 2f x nf τ= = + − ⋅
Nakon konačno mnogo ovakvih koraka dolazimo do
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 ... 2f x n f x n f x n f x f xτ τ τ τ τ τ+ ⋅ = + − ⋅ = + − ⋅ = = + ⋅ = + + =
( )( ) [ ] ( ) [ ] ( )periodičnost od periodično o .st df x ff x f xfτ τ τ= + + = = + = =
Dakle, n · τ je perioda od f. ■
8
Dokaz 427
Dokažite jednakost ( )
21 sin cos
2 .2cos
x xtg x
x
− −= ⋅
Teorija
Kvadrat razlike:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Temeljni trigonometrijski identitet 2 2 2 2cos sin 1 1 co i, .s s nx x x x+ = = +
Svojstvo potencije: 1 1
.,a a a a= =
Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:
( ) ( ), , , .: : : :n nn n
a a a an nn n n na b a b a b a bn n
b bb b= = = =
Definicija tangensa pomoću sinusa i kosinusa: sin sin
cos co, .
s
x xtg x tg x
x x= =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
1.inačica
( ) ( )2 22 1 sin 2 sin cos cos 2 21 sin cos 1 sin 2 sin cos cos2 2 2cos cos cos
x x x xx x x x x x
x x x
− − ⋅ ⋅ +− − − + ⋅ ⋅ −= = =
2 2cos 2 sin cos cos 2 sin cos 2 sin cos2 2 2cos cos c
2 2co s
s
o
o
s cx x x x x x x x
x
x
x x
x+ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
−=
2 sin 2 sin2 .
cosco
co
s
s2
x xtg x
xx
x⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ ■
2.inačica
( ) ( )2 2 2 22 cos sin sin 2 sin cos cos1 sin cos2 2cos cos
x x x x x xx x
x x
+ − − ⋅ ⋅ +− −= =
2 2 2 2cos sin sin 2 sin cos cos2cos
x x x x x x
x
+ − + ⋅ ⋅ −= =
2 sin cos 2 sin cos 2 sin2 2cos
2 2 2 2cos si
cos
n sin cos c
c s
os2o
x x x xx x x x x
x x x
x+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
+ − −=
10
Dokaz 428
Dokažite da je u svakom pravokutnom trokutu težišnica koja pripada hipotenuzi jednaka polovini
hipotenuze.
Teorija
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice jednakih duljina.
, , , ,1 1 1 1 1 1, .a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S – S – S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice. Drugi poučak sukladnosti (S – K – S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih. Treći poučak sukladnosti (K – S – K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici. Četvrti poučak sukladnosti (S – S – K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici. Težišnica trokuta je dužina koja spaja vrh s polovištem nasuprotne stranice trokuta. Srednjice trokuta Dužine koje spajaju polovišta stranica trokuta zovu se srednjice trokuta. Svaki trokut ima tri srednjice. Svaka srednjica trokuta usporedna je sa suprotnom stranicom trokuta, a duljina joj je jednaka polovici duljine te stranice.
P S
A B
C
, .AP PC BS SC= =
����
P
S
P
SA B BA
C C
Neka je ABC pravokutan trokut. Točka S je polovište njegove hipotenuze, tj.
.AS SB=
Konstruiramo okomicu iz S na BC. Promatrajmo pravokutne trokute ∆SBP i ∆SPC. Oni su sukladni.
Naime, dužina SP je zajednička stranica trokuta ∆SBP i ∆SPC, a srednjica trokuta ABC. Zato je P
polovište katete .BC
12
Dokaz 429
Dokažite da je zbroj kutova u svakom mnogokutu s n + 2 stranice jednak n ·180º.
Teorija
Mnogokut, poligon ili n – terokut je dio ravnine omeđen dužinama. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.
1 0 .8α β γ+ + =�
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Matematička indukcija Dokaz matematičkom indukcijom provodi se u tri koraka: ♥ Baza indukcije
Trebamo provjeriti da tvrdnja vrijedi za broj 1, tj. da je T(1) istinita tvrdnja.
♥ Pretpostavka indukcije
Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za broj n, tj. pretpostavimo da je T(n) istinita tvrdnja.
♥ Korak indukcije
Dokažimo da uz tu pretpostavku tvrdnja vrijedi i za broj n + 1, tj. iz T(n) slijedi tvrdnja
T(n + 1). Tad je tvrdnja T(n) istinita za svaki prirodni broj n.
����
Dokazujemo indukcijom. Baza indukcije. Za n = 1 riječ je o trokutu čiji je zbroj kutova 180º. Pretpostavka indukcije. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za prirodni broj n, tj. da zbroj kutova u mnogokutu s n + 2 stranice iznosi n ·180º.
A1
A2
A3
A4
An+1
An+2
An+3
Korak indukcije. Promotrimo mnogokut s jednom stranicom više, dakle s n + 3 stranice. Odsijecanjem bilo kojeg trokuta dobivamo jedan trokut čiji je zbroj kutova 180º i jedan mnogokut s n + 2 stranice čiji je zbroj kutova, po pretpostavci indukcije, jednak n ·180º. Zato je zbroj kutova u mnogokutu s n + 3 stranice jednak
( )180 180 1 180 .n n⋅ + = + ⋅� � � ■
13
Dokaz 430
Ako su ia b→ →
kolinearni vektori, ib c→ →
kolinearni, tada su ia c→ →
kolinearni vektori. Dokažite!
Teorija
Svojstvo množenja vektora i realnog broja
Za svaka dva realna broja k i l te za svaki vektor a→
vrijedi:
( ) .k l a k l a→ →
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Ako su pravci nositelji vektora ia b→ →
usporedni kažemo da su vektori ia b→ →
istog smjera ili da su
kolinearni vektori.
Vektori ia b→ →
kolinearni su ako postoji realan broj µ tako da je
.b aµ→ →
= ⋅
����
Ako su ia b→ →
kolinearni, onda postoji λ takav da je
.b aλ→ →
= ⋅
Ako su ib c→ →
kolinearni, onda postoji µ takav da je
.c bµ→ →
= ⋅
Tada je
( )c b c a c aµ µ λ µ λ→ → → → → →
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
pa su ia c→ →
kolinearni. ■
14
Dokaz 431
Dokažite da ima beskonačno puno prostih brojeva oblika 4 · n + 3.
Teorija
Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo
{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +
Za prirodan broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodan broj q tako da vrijedi
.a q b= ⋅
Prosti brojevi (prim – brojevi) su prirodni brojevi djeljivi bez ostatka samo s brojem 1 i sami sa sobom, a veći od broja 1. Prirodni brojevi koji su veći od broja 1, a nisu prosti brojevi nazivaju se složenim brojevima. Složen broj je prirodan broj veći od jedan koji je djeljiv brojem 1, samim sobom i barem još jednim brojem. Svaki se složeni broj može rastaviti na proste faktore.
Broj 1 nije ni prost, ni složen broj.
����
Vrijedi:
( )4 3 4 5 7 11 ... 3n p⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ,
p je prost broj. ■
15
Dokaz 432
Polinom f(x) je četvrtog stupnja takav da je f(1) = f(– 1) te f(2) = f(– 2). Dokažite da je f(x) = f(– x)
za svaki .x R∈
Teorija
Polinom stupnja n je funkcija f : R → R definirana s
( ) 1 2 2,...1 2 2 1
n n nf x a x a x a x a x a x an n n
− −= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +
− − �
gdje su a0, a1, a2, … , an realni brojevi, an ≠ 0. Brojeve a0, a1, a2, … , an nazivamo koeficijentima polinoma. Koeficijent an nazivamo vodećim koeficijentom, koeficijent a0 slobodnim koeficijentom. Gornji zapis nazivamo kanonskim (standardnim) oblikom polinoma jedne varijable.
����
Neka je f(x) polinom četvrtog stupnja.
( ) 4 3 2 .4 3 2 1f x a x a x a x a x a= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + �
Iz uvjeta slijedi: ♥ ( ) ( )1 1f f= − ⇒
( ) ( ) ( ) ( )4 3 24 3 21 1 1 1 1 1 1 14 3 2 1 4 3 2 1a a a a a a a a a a⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⇒� �
4 3 2 1 4 3 2 1a a a a a a a a a a⇒ + + + + = − + − + ⇒� �
03 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 14 2 4 2a a a a a aa a a a a a a a a a a a⇒ + + = − − ⇒ + = − −+ ⇒ + + ++ + + = ⇒� �
2 2 0 2 2 0 0.3 1 3 1 3 1/: 2a a a a a a⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ + =
♥ ( ) ( )2 2f f= − ⇒
( ) ( ) ( ) ( )4 3 24 3 22 2 2 2 2 2 2 24 3 2 1 4 3 2 1a a a a a a a a a a⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⇒� �
16 8 4 2 16 8 4 24 3 2 1 4 3 2 1a a a a a a a a a a⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⇒� �
16 4 16 44 2 4 28 2 8 23 1 3 1a a a aa a aa a a⇒ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− ⋅ − ⋅ + ⇒� �
8 2 8 2 8 2 8 2 03 1 3 1 3 1 3 1a a a a a a a a⇒ ⋅ + ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒
16 4 0 16 4 0 4 0.3 1 3 1 /: 4 3 1a a a a a a⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + =
Rješenje sustava jednadžba glasi: 03 1 0.3 14 03 1
a aa a
a a
+ = ⇒ = =
⋅ + =
Polinom četvrtog stupnja ima oblik
( ) 4 2 .4 2f x a x a x a= ⋅ + ⋅ + �
Tada za svaki x vrijedi:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )
4 2 4 24 2 4 2 .
4 2 4 24 24 2
f x a x a x a f x a x a x af x f x
f x a x a x af x a x a x a
= ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⇒ ⇒ = −
− = ⋅ + ⋅ +− = ⋅ − + ⋅ − +
� �
��
■
16
Dokaz 433
Dokažite jednakost ( ) ( )1 1
sin cos .sin cos
tg ctgα α α αα α
+ ⋅ + = +
Teorija
Definicija tangensa pomoću sinusa i kosinusa: sin sin
cos co, .
s
x xtg x tg x
x x= =
Definicija kotangensa pomoću kosinusa i sinusa: cos cos
si i.
n s n,
x xctg x ctg x
x x= =
Svojstvo potencije: 1 1
.,a a a a= =
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Svaki cijeli broj je racionalan broj:
1, .
1
n nn n= =
Zbrajanje razlomaka:
.a c a d b c
b d b d
⋅ + ⋅+ =
⋅
Temeljni trigonometrijski identitet 2 2 2 2cos sin 1 1 co i, .s s nx x x x+ = = +
Zbrajanje razlomaka jednakih nazivnika:
, .a b a b a b a b
n n n n n n
+ += + + =
Množenje razlomaka:
.a c a c
b d b d
⋅=
⋅⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
( ) ( ) ( )sin cos
sin cos sin coscos sin
tg ctgα α
α α α α α αα α
+ ⋅ + = + ⋅ + =
( ) ( )2 2sin cos 1 sin cos 1
sin cos sin coscos sin cos sin 1 cos sin
α α α αα α α α
α α α α α α
+ += + ⋅ = + ⋅ = ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅
sin cos sin cos 1 1
cos sin cos sin cos si
sin cos
sinn cos sin cosos sinc
α α α α
α α α α
α α
α αα α α α α α
+= = + = + = + =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 1.
sin cosα α= + ■
17
Dokaz 434
Dokažite jednakost 1 1 1 1
... .log log log log2 3 !x x x xn n
+ + + =
Teorija
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a. Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→= =
Svojstva:
( ) ( )log log log l, og log lo .gx y x y x y x yb b b b b b
+ = ⋅ ⋅ = +
1log
l.
oga
b ba=
Umnožak prvih n prirodnih brojeva označavamo posebnim simbolom
( ) ( )! 1 2 3 4 ... 2 1 .n n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
Broj n! čitamo ''en faktorijela''. Tako na primjer, vrijedi 1 ! = 1,
2 ! = 1 · 2, 3 ! = 1 · 2 · 3,
4 ! = 1 · 2 · 3 · 4, 5 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5,
6 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 itd.
����
( )1 1 1
... log 2 log 3 ... log log 2 3 ...log log log2 3
n nx x x xx x xn
+ + + = + + + = ⋅ ⋅ ⋅ =
( )1
log 1 2 3 ... log ! .log !
n nx xx
n
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ■
18
Dokaz 435
Dokažite da su nule kvadratne funkcije f(x) = x2 + p · x + q racionalni brojevi ako je
1, gdje su , .p m q m n Q
m= ⋅ + ∈
Teorija
Broj oblika , ,a
a Z b Nb
∈ ∈ zove se racionalan broj.
Skup racionalnih brojeva označavamo slovom Q. Kvadrat zbroja:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +
Kvadrat razlike:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −
Diskriminanta kvadratne jednadžbe 2
0a x b x c⋅ + ⋅ + = je broj
2 4 .D b a c= − ⋅ ⋅ Ako je D > 0, jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje. Ako je D < 0, jednadžba ima kompleksno – konjugirana rješenja. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
Dovoljno je pokazati da je uz dani uvjet diskriminanta D funkcije f potpuni kvadrat. Imamo
( ) ( )1 ,
2 42
2
,D b a c
f x x p x qf x x p x q
a b p c q
= + ⋅ + = + ⋅ + ⇒ ⇒ ⇒ = == − ⋅ ⋅
=
uvjet
1
212 24 1 4 4
p m qm
D p q D p q D m q qm
⇒ = − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ + − ⋅ ⇒
= ⋅ +
( ) ( )2 2
1 1 1 12 22 4 2 4D m q m q q D m q q q
m mm
m m
⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⇒
( ) ( )2 2 2
1 1 12 22 4 2 .D m q q q D m q q D m q
m m m
⇒ = ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ + ⇒ = ⋅ −
■
19
Dokaz 436
Dokažite 12 1 .
2 1x x
x x
− − =
+ −
Teorija
Svaki cijeli broj je racionalan broj:
1, .
1
n nn n= =
Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a a n
n nb b n
⋅= ≠ ≠
⋅
Množenje razlomaka:
.a c a c
b d b d
⋅⋅ =
⋅
Razlika kvadrata:
( ) ( ) ( ) ( ),2
.2 2 2
a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −
Drugi korijen pozitivnog broja a je pozitivni broj koji pomnožen sam sa sobom daje broj a. Vrijedi:
( ) ( )2 2
, .a a a a= =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
2 21 12 2 21 1 12 11 1 2 21 1
x x x xx x x x x x
x x
x x x x
− − ⋅ + − − − − − + − − − = = ⋅ = =
+ − + −
( )2
2 22 2 2 21 2 21 1 1 1
.2 2 2 2 21 1 1 1 1
x x x xx x
x
x x
x x x x x x x x x
−
− − − − − + + = = = = =
+ − + − + − + − + −
■
20
Dokaz 437
Dokažite 12 1 .
2 1x x
x x
+ − =
− −
Teorija
Svaki cijeli broj je racionalan broj:
1, .
1
n nn n= =
Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a a n
n nb b n
⋅= ≠ ≠
⋅
Množenje razlomaka:
.a c a c
b d b d
⋅⋅ =
⋅
Razlika kvadrata:
( ) ( ) ( ) ( ),2
.2 2 2
a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −
Drugi korijen pozitivnog broja a je pozitivni broj koji pomnožen sam sa sobom daje broj a. Vrijedi:
( ) ( )2 2
, .a a a a= =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
2 21 12 2 21 1 12 11 1 2 21 1
x x x xx x x x x x
x x
x x x x
+ − ⋅ − − + − + − − − + − = = ⋅ = =
− − − −
( )2
2 22 2 2 21 2 21 1 1 1
.2 2 2 2 21 1 1 1 1
x x x xx x
x
x x
x x x x x x x x x
−
− − − − − + + = = = = =
− − − − − − − − − −
■
21
Dokaz 438
Dokažite 1
.2
ii
+=
Teorija
Drugi korijen pozitivnog broja a je pozitivni broj koji pomnožen sam sa sobom daje broj a. Vrijedi:
( ) ( )2 2
, .a a a a= =
Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:
, .n nn n
a a a an n
b bb b= =
Kvadrat zbroja:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +
Kvadrat imaginarne jedinice: 2 21 , 1 .i i= − − =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
( ) ( )
( )
2 2 22 11 1 1 1 22 22
2/2 2 2
ii i i i ii i i i i
++ + + + ⋅ += ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
1 11 2 1 2 2.
2 2
2
22
i i i ii i i i i i
+ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒
−= ⇒ = ⇒ = ■
22
Dokaz 439
Dokažite 1
.2
ii
+= −
Teorija
Potencija sa negativnom bazom i parnim eksponentom:
( ) .2 2n n
a a⋅ ⋅
− =
Drugi korijen pozitivnog broja a je pozitivni broj koji pomnožen sam sa sobom daje broj a. Vrijedi:
( ) ( )2 2
, .a a a a= =
Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:
, .n nn n
a a a an n
b bb b= =
Kvadrat zbroja:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +
Kvadrat imaginarne jedinice: 2 21 , 1 .i i= − − =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
( ) ( ) ( )
( )
2 2 22/
2 2 11 1 1 122 2 2 2 2
ii i i ii i i i i
++ + + += − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒
121 2 1 2 1 2 2.
2 2 2 2
1 2
2
i i i i i ii i i i i i i
+ ⋅ + + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ =
−⇒ = ⇒ = ⇒ = ■
23
Dokaz 440
Dokažite kompleksan broj z za koji je 1z = ima svojstvo 1
.zz
=
Teorija
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi. Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome. Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y · i definira se formulom
2 2.z x y= +
Umnožak dvaju konjugirano kompleksnih brojeva realan je broj i nenegativan broj:
( ) ( ) .2 2
x y i x y i x y+ ⋅ ⋅ − ⋅ = +
Drugi korijen pozitivnog broja a je pozitivni broj koji pomnožen sam sa sobom daje broj a. Vrijedi:
( ) ( )2 2
, .a a a a= =
Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a a n
n nb b n
⋅= ≠ ≠
⋅
Množenje razlomaka:
.a c a c
b d b d
⋅⋅ =
⋅
Svaki cijeli broj je racionalan broj:
1, .
1
n nn n= =
����
Pretpostavimo .z x y i= + ⋅ Iz │z│= 1 slijedi:
22 2 2 2 2 22/ 2 2 21 1 1 1 1.z x y x y x y x y
= ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + =
Sada je
( ) ( )
uvje1 1 1 t
2 2 12 2x y i x y i x y i
z x y i x y i x y i x y i x y i x y x y
− ⋅ − ⋅ − ⋅= = ⋅ = = = =
+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + + =
.1
x y ix y i z
− ⋅= = − ⋅ = ■
24
Dokaz 441
Dokažite jednadžba
2 21
a a
x b x c+ =
− −, b ≠ c ima rješenja u skupu R za svako , , , 0.a b c R a∈ ≠
Teorija
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Množenje zagrada:
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Potencija sa negativnom bazom i parnim eksponentom:
( ) .2 2n n
a a⋅ ⋅
− =
Kvadrat razlike:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −
Svojstvo potencije: 1 1
, .a a a a= =
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Množenje potencija jednakih eksponenata:
( ) ( ), .n nn n n n
a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
Diskriminanta kvadratne jednadžbe 2
0a x b x c⋅ + ⋅ + = je broj
2 4 .D b a c= − ⋅ ⋅ Ako je D > 0, jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje. Ako je D < 0, jednadžba ima kompleksno – konjugirana rješenja. Kvadrat trinoma:
( ) .2 2 2 2 2 2 2a b c a b c a b a c b c+ + = + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
( )2
2 .2 2 2 2 2a b c a b a c b c a b c+ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + +
����
( ) ( )2 2
1 /2 2
1a a a a
x b x c x bx b x c
x c+ = ⇒ + = ⇒
−⋅ − ⋅
−−
− −
( ) ( ) ( ) ( )2 2a x c a x b x b x c⇒ ⋅ − + ⋅ − = − ⋅ − ⇒
2 2 2 2 2a x a c a x a b x x c x b b c⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒
2 2 2 2 2x x c x b b c a x a c a x a b⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒
2 2 2 2 2 0x x c x b b c a x a c a x a b⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒
2 2 2 22 0x x c x b b c a x a c a b⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒
25
( )2 2 2 22 0x c b a x b c a c a b⇒ − + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒
( )2 2 2 22 0x a b c x a b a c b c⇒ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒
( )( )
2 2 2 22 0
22 4
2 21 , 2 ,
x a b c x a b a c b c
a b a b c c a b a c
D b a
b c
c
− ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⇒ ⇒ = = − ⋅ + + = ⋅ + ⋅ +
= − ⋅ ⋅
⋅
( ) ( )2
2 2 22 4 1D a b c a b a c b c ⇒ = − ⋅ + + − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒
( ) ( )22 2 22 4D a b c a b a c b c⇒ = ⋅ + + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒
( )22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 4 4 4D a b c a b a c b c a b a c b c⇒ = ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒
4 2 2 2 2 2 24 4 4 2 4 4 4D a b c a b a c b c a b a c b c⇒ = ⋅ + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒
24 2 24 2 42 2 24 4 4 4a b a c aD a b ab c ccb c b⇒ = ⋅ + + ++ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒
4 2 2 4 2 24 2 4 4 2D a b c b c b c D a b c b c⇒ = ⋅ + + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + + − ⋅ ⋅ ⇒
( )22 2 4 42 4 .04D b b c c a D b c a⇒ = − ⋅ ⋅ + ⋅ = − + ⋅ >+ ⇒ ■
26
Dokaz 442
Dokažite da su korijeni kvadratnih jednadžba 2 20 i 0a x b x c c x b x a⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = međusobno
recipročni za sve , , 0, 0.a b i c R a c∈ ≠ ≠
Teorija
Rješenja x1 i x2 kvadratne jednadžbe 2
0a x b x c⋅ + ⋅ + = zadovoljavaju Vièteove formule:
, 2 .1 2 1b c
x x x xa a
+ = − ⋅ =
Dva su broja recipročna ako im je umnožak jednak jedan. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
Neka su x1 i x2 rješenja kvadratne jednadžbe 2
0.a x b x c⋅ + ⋅ + = Tada je
.1 2c
x xa
⋅ =
Neka su y1 i y2 rješenja kvadratne jednadžbe 2
0.c y b y a⋅ + ⋅ + = Tada je
.1 2a
y yc
⋅ =
Množenjem rješenja dobije se:
11 21 .1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1
x yc ax x y y x x y y x x y y
x ya c
c a
a c
⋅ =⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒
⋅ =
■
27
Dokaz 443
Dokažite da vrijedi ( )log log log .x y x ya a a⋅ = +
Teorija
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a. Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→= =
Svojstva: log
log 1 log l .og, ,xn a
b a n a a xb b b
= = ⋅ =
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Injektivnost eksponencijalne funkcije: ( ) ( ) ( ) ( ).
f x g xa a f x g x= ⇒ =
����
1.inačica Napišimo x i y u obliku potencija
, .u vx a y a= =
Tada je
log.
log
u u xx a a
v v yy a a
= = ⇒
==
Pomnožimo međusobno x i y.
logaritmiramo/ log
jednadžbuu v u v u v
x y a a x y x y a aa + +
⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )log log log log log 1u vx y a x y u v a x y u va a a a a
+⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒
( ) ( )log log log log .x y u v x y x ya a a a⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = + ■
2.inačica
Neka su , , , 1.a x y R a+
∈ ≠ Tada je po definiciji
( )log log log, , .
x y x ya a ax a y a x y a
⋅= = ⋅ =
Tada je
( ) ( )
( )log log log log
log log log
log log
x y x ya a a a x y x yx y a a x y a a a aa a
x y x ya ax y a x y a
+ + ⋅⋅ = ⋅ ⋅ =
⇒ ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
( ) ( )log log log log log log .x y x y x y x ya a a a a a⇒ + = ⋅ ⇒ ⋅ = + ■
28
Dokaz 444
Broj 1
1
zw
z
−=
+ realan je broj ako i samo ako je z realan broj i z ≠ – 1. Dokažite to!
Teorija
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome. Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a a n
n nb b n
⋅= ≠ ≠
⋅
Umnožak dvaju konjugirano kompleksnih brojeva realan je broj i nenegativan broj:
( ) ( ) .2 2
x y i x y i x y+ ⋅ ⋅ − ⋅ = +
Kvadrat imaginarne jedinice: 2 21 , 1 .i i= − − =
Svojstvo potencije: 1 1
, .a a a a= =
Množenje razlomaka:
.a c a c
b d b d
⋅⋅ =
⋅
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Zbrajanje razlomaka jednakih nazivnika:
, .a b a b a b a b
n n n n n n
+ += + + =
Razlomak je jednak nuli ako je brojnik nula.
0 , 0 0.a
a nn
= ≠ ⇒ =
����
Neka je z = x + y · i. Tada je 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
z x y i x y i x y i x y iw w w w
z x y i x y i x y i x y i
− + ⋅ − − + ⋅ − + ⋅ + − ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒
+ + ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ + − ⋅
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )2 2
1 1 1 1
1 1 1
x y i x y i x y i x y iw w
x y i x y i x y
− + ⋅ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ ⋅ + − ⋅⇒ = ⇒ = ⇒
+ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + +
( )
( )
22 12 21
x x x y i x y i x y i y i y iw
x y
+ − ⋅ ⋅ − − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅⇒ = ⇒
+ +
29
( )
2 2 212 21
x x x y i x y i x y i y i y iw
x y
+ − ⋅ ⋅ − − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅⇒ = ⇒
+ +
( )
2 212 21
x x x y i x y i x y i y i yw
x y
+ − ⋅ ⋅ − − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +⇒ = ⇒
+ +
( ) ( )
2 2 2 21 12 22 21 1
x y i y i y x y i y i yw w
x
x x y i x x y
y
i
y x
+ − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅− + ⋅ + ⋅ + − + ⋅ + ⋅ +⇒ = ⇒ = ⇒
+ + + +
( ) ( ) ( )
2 2 2 21 2 1 22 2 22 2 21 1 1
x y y i x y y iw w
x y x y x y
+ − + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = + ⇒
+ + + + + +
( ) ( )
2 2 1 2.
2 22 21 1
x y yw i
x y x y
+ − ⋅⇒ = + ⋅
+ + + +
Broj w je očito realan ako i samo ako je y = 0 odnosno z realan broj. ■
30
Dokaz 445
Dokažite za sve pozitivne i realne brojeve a i b vrijedi jednakost 1.a i b
a i b
+ ⋅=
− ⋅
Teorija
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome. Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y · i definira se formulom
2 2.z x y= +
Svojstvo modula:
, .,zz nn
z z n Nw w
= = ∈
Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a a n
n nb b n
⋅= ≠ ≠
⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Umnožak dvaju konjugirano kompleksnih brojeva realan je broj i nenegativan broj:
( ) ( ) .2 2
x y i x y i x y+ ⋅ ⋅ − ⋅ = +
Kvadrat imaginarne jedinice: 2 21 , 1 .i i= − − =
Svojstvo potencije: 1 1
, .a a a a= =
Množenje razlomaka:
.a c a c
b d b d
⋅⋅ =
⋅
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Zbrajanje razlomaka jednakih nazivnika:
, .a b a b a b a b
n n n n n n
+ += + + =
Potencija sa negativnom bazom i parnim eksponentom:
( ) .2 2n n
a a⋅ ⋅
− =
Kvadrat zbroja:
31
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +
Kvadrat razlike:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −
Množenje potencija jednakih eksponenata:
( ) ( ), .n nn n n n
a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:
( ) ( ), , , .: : : :n nn n
a a a an nn n n na b a b a b a bn n
b bb b= = = =
Drugi korijen pozitivnog broja a je pozitivni broj koji pomnožen sam sa sobom daje broj a. Vrijedi:
( ) ( )2 2
, .a a a a= =
Množenje drugih korijena:
, , 0, .a b a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ≥
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:
, .
, 0
0
x xx
x x
≥=
− <
Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0, vrijedi │x│= x. Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x, x < 0, je │x│= – x.
����
1.inačica
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1.2 2
a ba i ba i b a b
a i b a ba i ba b
a b
a b
++ ⋅+ ⋅ += = = = =
− ⋅ +− ⋅+
+
+−
■
2.inačica
( ) ( )( ) ( )
a i b a i ba i b a i b a i b
a i b a i b a i b a i b a i b
+ ⋅ ⋅ + ⋅+ ⋅ + ⋅ + ⋅= ⋅ = =
− ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅
( )
( ) ( )
( ) ( )2 2 2
2
2 2
a i b a a i b i b
a ba b
+ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅= = =
++
( )222 2 2a i a b i b a i a b b a b i a b
a b a b a b
+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − − + ⋅ ⋅ ⋅= = = =
+ + +
222 2 2i a b a b a ba b a b a bi
a b a b a b a b a b a b
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− − − = + = + ⋅ = + = + + + + + +
32
( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
2 2 22 2 2 22 2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b a b a a b b a ba b
a b a b a b a b
⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅−= + = = =
+ + + +
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
22 2 2 22 4 21 1.
2
2
22 2a ba a b b a b a a b b
a b a b
a b
ba b a
+− ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ += = = = = =
+ + +
+
+ ■
3.inačica
( ) ( )( ) ( )
a i b a i ba i b a i b a i b
a i b a i b a i b a i b a i b
+ ⋅ ⋅ + ⋅+ ⋅ + ⋅ + ⋅= ⋅ = =
− ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
22 222 22
2 2 2 2
a ba i ba i b a ba i b
a b a b a ba b a b
+ + ⋅ + ⋅ ++ ⋅ = = = = = =
+ + ++ +
1.a ba b
ab ba
+
+
+= = =
+ ■
33
Dokaz 446
Dokažite
2 22 2.
2 2 2
a b a b a b+ + − = +
Teorija
Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a a n
n nb b n
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Zbrajanje razlomaka jednakih nazivnika:
, .a b a b a b a b
n n n n n n
+ += + + =
Množenje razlomaka:
.a c a c
b d b d
⋅⋅ =
⋅
Kvadrat zbroja:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +
Kvadrat razlike:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −
Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:
( ) ( ), , , .: : : :n nn n
a a a an nn n n na b a b a b a bn n
b bb b= = = =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
1.inačica
( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2
2 2 2 4 4 4
a ba b a b a b a a b b a a b b
⋅ ++ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ +
= ⋅ = = = =
( ) ( )2 2 2 22 2 2 22 2
.2 24 4 2 22 2
a b a ba a b b a a b b a b a b+ −+ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + + − = + = + = +
■
2.inačica
( ) ( )2 22 2 2 2 2 22 2
2 22 2 4 42 2
a b a ba b a b a a b b a a b b+ −+ − + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + + = + = + =
22 2 2 2 2 2 2 22 2 2
4 4
a a b b a a b b a ba b a ba b+ ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + + + += =
+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅=
34
( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2
4
2 2.
4 4 4 2
a b a ba b a b a b a b
⋅ + ⋅ ++ + + ⋅ + ⋅ +
= = = = = ■
35
Dokaz 447
Ako je x = a + 2 ili x = a – 2, tada vrijedi ( ) 22 4.x x a a⋅ − ⋅ + = Dokažite!
Teorija
Razlika kvadrata:
( ) ( ) ( ) ( ),2
.2 2 2
a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −
Svojstvo zamjene (komutativnosti): , za sve , .a b b a a b R+ = + ∈
Zbroj se ne mijenja ako pribrojnici zamijene svoja mjesta. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 2 2 2 2 2x x a a a a a a ax a a a⋅ − ⋅ + = = + ⋅ + − ⋅ + = + ⋅ − += + =
( ) ( ) 2 22 2 2 22 2 2 4 4.a a a a a aa= + ⋅ − + + − += − = =
Ili,
( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 2 2 2 2 2x x a a a a a a a a ax a⋅ − ⋅ + = = − ⋅ − − ⋅ + = − ⋅ − − += − =
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2a a a a a a a a a= − ⋅ − + + = − ⋅ + + = − ⋅ + + =
2 2 22 4 2 4.2a aa a= − +− + = = ■
36
Dokaz 448
Dokaži ako je zbroj nekoliko brojeva jednak 1, zbroj kvadrata tih brojeva može biti manji od 0.01.
Teorija
Svojstvo potencije: 1 1
.,a a a a= =
Dijeljenje potencija jednakih baza:
.:n m n m
a a a−
=
Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:
( ) ( ), , , .: : : :n nn n
a a a an nn n n na b a b a b a bn n
b bb b= = = =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
Imamo li n brojeva koji su svi jednaki i kojima je zbroj jednak 1, svaki od njih jednak je 1
.n
1... 1 1 1 .
1/
n brojevan
x x x x n x n x xn
+ + + + = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒⋅ =�������
Zbroj njihovih kvadrata iznosi: 2
1 1 1 112
n broje
2 2 2 2 2... .
va2
x x x x n x n nn nn n
x nn
+ + + + = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
= �����������
Broj se može očigledno učiniti po volji malenim. Već za n > 100 on je manji od 0.01. 1 1
0.01.100n
= = ■
37
Dokaz 449
Dokažite identitet
( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .a b c d a b c d a b a c a d b c b d c d+ + + = + + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
Teorija
Svojstvo potencije: 1 1
.,a a a a= =
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Množenje zagrada
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Svojstvo udruživanja (asocijativnosti):
( ) ( ) , za s , .ve ,a b c a b c a b c R+ + = + + ∈
Zbroj se ne mijenja ako pribrojnike udružimo na bilo koji način. Kvadrat zbroja:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +
����
1.inačica
( ) ( ) ( )2
a b c d a b c d a b c d+ + + = + + + ⋅ + + + =
2 2 2 2a a b a c a d a b b b c b d a c b c c c d a d b d c d d= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .a b c d a b a c a d b c b d c d= + + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 2.inačica
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2
2a b c d a b c d a b a b c d c d+ + + = + + + = + + ⋅ + ⋅ + + + =
( )2 2 2 22 2 2a a b b a c a d b c b d c c d d= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + =
2 2 2 22 2 2 2 2 2a a b b a c a d b c b d c c d d= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .a b c d a b a c a d b c b d c d= + + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ■
38
Dokaz 450
Dokažite da je broj 2 3+ iracionalan.
Teorija
Broj oblika , ,a
a Z b Nb
∈ ∈ zove se racionalan broj.
Iracionalni brojevi su oni brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomaka.
2 je iracionalan broj.
Skup racionalnih brojeva označavamo slovom Q.
Iracionalni brojevi su: 2, 3, 5, 6, ...
Kvadrat zbroja:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +
Množenje drugih korijena:
, , 0, .a b a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ≥
Drugi korijen pozitivnog broja a je pozitivni broj koji pomnožen sam sa sobom daje broj a. Vrijedi:
( ) ( )2 2
, .a a a a= =
����
1.inačica
Pretpostavimo da je 2 3 r+ = racionalan broj. Nakon kvadriranja dobit ćemo
( )kvadriramo 2/jednakost
2 22 3 2 3 2 3r r r
+ = ⇒ ⇒ + = ⇒ + = ⇒
( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 3 3 2 2 2 3 3 5 2 6r r r⇒ + ⋅ ⋅ + = ⇒ + ⋅ ⋅ + = ⇒ + ⋅ = ⇒
2 52 22 6 5 2 6 51
/2
6 .2
rr r
−⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ =⋅
Na lijevoj strani jednakosti nalazi se iracionalni broj 6 , a na desnoj racionalni broj 2 5
.2
r −
Jednakost nije moguća! Dakle, pretpostavka je bila pogrešna, 2 3+ je iracionalan. ■
2.inačica
Pretpostavimo da je 2 3 r+ = racionalan broj. Sada slijedi:
( ) ( )kvadriramo 2/jednak
2 22
os3 2 3 2 3 2 3
tr r r r
+ = ⇒ = − ⇒ ⇒ = − ⇒ = − ⇒
( )22 2 22 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 2r r r r r r⇒ = − ⋅ ⋅ + ⇒ = − ⋅ ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ = + − ⇒
2 12 22 3 1 2 3 11
/2
3 .2
rr r r r
r r⋅
⋅
+⇒ ⋅ ⋅ = + ⇒ ⋅ ⋅ = + ⇒ =
⋅
Na lijevoj strani jednakosti nalazi se iracionalni broj 3 , a na desnoj racionalni broj 2 1
.2
r
r
+
⋅
Jednakost nije moguća! Dakle, pretpostavka je bila pogrešna, 2 3+ je iracionalan. ■
3.inačica
39
Pretpostavimo da je 2 3 r+ = racionalan broj. Dalje slijedi:
( ) ( )kvadriramo 2/jednak
2 22
os3 3 2 3 2 3 2
tr r r r
+ = ⇒ = − ⇒ ⇒ = − ⇒ = − ⇒
( )22 2 23 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3r r r r r r⇒ = − ⋅ ⋅ + ⇒ = − ⋅ ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ = + − ⇒
2 12 22 2 1 2 2 11
/2
2 .2
rr r r r
r r⋅
⋅
−⇒ ⋅ ⋅ = − ⇒ ⋅ ⋅ = − ⇒ =
⋅
Na lijevoj strani jednakosti nalazi se iracionalni broj 2 , a na desnoj racionalni broj 2 1
.2
r
r
−
⋅
Jednakost nije moguća! Dakle, pretpostavka je bila pogrešna, 2 3+ je iracionalan. ■
40
Dokaz 451
Dokažite: 1 cos
.2 sin
x xtg
x
−=
Teorija
Formule za sinus i kosinus dvostrukog kuta
( ) ( )sin 2 2 sin cos 2 sin cos sin, .2α α α α α α⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
sin 2 sin cos 2 sin cos sin2
.2
,2 2
α α α αα α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
( ) ( )2 2 2 2cos 2 cos sin cos sin, c s 2 .oα α α α α α⋅ = − − = ⋅
2 2 2 2cos cos sin cos sin, cos2 2 2 2
.α α α α
α α= − − =
Osnovna trigonometrijska relacija 2 2 2 2cos sin 1 1 co i, .s s nα α α α+ = = +
2 2 2 2cos sin 1 1 cos, s n .i2 2 2 2
α α α α+ = = +
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a a n
n nb b n
⋅= ≠ ≠
⋅
Množenje razlomaka:
.a c a c
b d b d
⋅⋅ =
⋅
Funkcija tangens
: \2
,:tg R k k Z Rπ
π+ ⋅ ∈ →
sin
c.
os
ttg t
t=
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Svojstvo potencije: 1 1
.,a a a a= =
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
����
1.inačica
41
2 2 2 22 2 2 21 cos sin 1 cos sin1 cos sin sin sin1 cos 2 2 2 22 2 2 2sin 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x xx x x x
x
x x x x x x x xx
− − − +− + + − = = = = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
22 sin sin sin2 2
22
2 sin2
2 .22 sin cos cos cos
2 2 2 2
x x x
xtg
x x xxx
⋅ ⋅= = = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
■
2.inačica
2 22 2 2 1 cos sinsin sin 2 sin 2 sin sin sin2 22 2 2 2 2 2
2 sin sincos cos 2 sin 2 sin cos2 2 2 2 2
x xx x x x x x
xtg
x x x x x x x
− +⋅ ⋅ +
= = ⋅ = = = =
⋅ ⋅ ⋅
2 22 2 1 cos sin1 cos sin 1 cos2 22 2 .sin sin sin
x xx x
x
x x x
− −− + − = = = ■
42
Dokaz 452
Dokažite da vrijedi jednakost: 2
sin 45 cos300 cos60 sin 225 .2
⋅ − ⋅ =� � � �
Teorija
Formule redukcije
( ) ( )cos 360 cos sin 180 s, i .nα α α α− = + = −�
Trigonometrijske funkcije nekih specijalnih šiljastih kutova
2 1sin 45 cos60
2,
2.= =
� �
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Množenje razlomaka:
.a c a c
b d b d
⋅⋅ =
⋅
����
( ) ( )sin 45 cos300 cos60 sin 225 sin 45 cos 360 60 cos60 sin 180 45⋅ − ⋅ = ⋅ − − ⋅ + =� � � � � � � � � �
( )sin 45 cos60 cos60 sin 45 sin 45 cos60 cos60 sin 45= ⋅ − ⋅ − = ⋅ + ⋅ =� � � � � � � �
2 2 21 1sin 45 cos60 sin 45 cos60 2 sin 45 cos60 2 .
2 2 2 22
2= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
� � � � � � ■
43
Dokaz 453
Dokažite da ne postoji ( )
( )
3 !lim .
3!
n
nn
⋅
→∞
Teorija
Svojstvo potencije: 1 1
.,a a a a= =
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a a n
n nb b n
⋅= ≠ ≠
⋅
Množenje razlomaka:
.a c a c
b d b d
⋅⋅ =
⋅
Umnožak prvih n prirodnih brojeva označavamo posebnim simbolom
( ) ( )! 1 2 3 4 ... 2 1 .n n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
Broj n! čitamo ''en faktorijela''. Tako na primjer, vrijedi 1 ! = 1,
2 ! = 1 · 2, 3 ! = 1 · 2 · 3,
4 ! = 1 · 2 · 3 · 4, 5 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5,
6 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 itd. Vidimo da faktorijele zadovoljavaju formulu
n ! = (n – 1) ! · n. Binomni koeficijent Neka je n prirodan broj, a k prirodan broj ili 0 i k ≤ n. Binomni koeficijent označavamo simbolom
n
k
i definiramo
( )!
.! !
n n
k k n k=
⋅ −
Neka svojstva binomnog koeficijenta:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, .
... 1
1 !
n n n n n n n kn
k k
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − += =
Množenje nejednakosti: 0 , 0 .a b c d a c b c≥ > ≥ > ⇒ ⋅ ≥ ⋅
Definicija 1
Niz (an) realnih brojeva je konvergentan ako postoji realni broj a takav da niz (an) teži broju a kada n neograničeno raste.
kad .a a nn → → ∞
Kažemo da je a limes (granična vrijednost) niza i pišemo
44
l .im a ann=
→∞
Definicija 2
Realan broj a je limes niza realnih brojeva (an) ako za svaki ε > 0 postoji prirodni broj n0 takav da za svaki n > n0 vrijedi
.a an ε− <
����
Preoblikujemo zadani izraz u jednostavniji oblik.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )
proširimo
raz
3 ! 3 !
loma
3 ! 2 ! 3 ! 2 !1 13 2 2 2! ! 2 ! ! 2 !! ! ! !k
n n n n n n
n n n n nn n n n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅
3 2.
n n
n n
⋅ ⋅ = ⋅
Primijetimo da vrijede nejednakosti:
♥ ( ) ( ) ( )3 33 3 1 3 2 ... 2 1
31!
n nn n n nn
n n
⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + = ≥ = ⋅
♥ ( ) ( ) ( )2 22 2 1 2 2 ... 1
2 .1!
n nn n n nn
n n
⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + = ≥ = ⋅
Kada n → ∞ slijedi:
♥ 3
3n
nn
⋅ ≥ ⋅ → ∞
♥ 2
2 .n
nn
⋅ ≥ ⋅ → ∞
Umnožak navedenih nejednakosti bit će
pomnožimo
nejednakost
33
3 2 26 .2
2i
nn
n n nn
n nnn
n
⋅ ≥ ⋅
⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ ≥ ⋅
⋅ ≥ ⋅
I to teži 0 kada n → ∞, tj.
3 2 26 kada .n n
n nn n
⋅ ⋅ ⋅ ≥ ⋅ → ∞ → ∞
Dakle, zadani limes ne postoji.
( )
( )
3 2 3 !lim lim .
3!
n n n
n nn n n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∞ ⇒ = ∞ →∞ →∞
■
Zahvaljujem kolegici Lauri Župčić, studentici PMF – a u Zagrebu, na dostavljenom dokazu!
Nastavit će se …