Teoria de Jogos

Fátima Barros Organização Industrial 1

Teoria Teoria de de JogosJogos

Fátima Barros


« Introdução: o que é a Teoria de Jogos

« Concorrência como um Jogo

« O jogo da negociação

SumárioSumário


Os gestores tomam decisões estratégicasa todo o momento.

« Um gestor pensa de uma forma estratégica sempre que existem interacções entre as suas decisões e as decisões dos outros indivíduos; sempre que ao tomar uma decisão o gestor tem que pensar na forma como os outros vão actuar ou reagir:ü Quais são os objectivos deles?ü Quais são as opções que têm?

« Consoante as respostas a estas questões o gestor toma a decisão que é melhor para os seus objectivos.


Inventores da Teoria Inventores da Teoria de de JogosJogos

John von Neumann

Oskar Morgenstern

“Os problemas típicos de comportamento económico são estritamente idênticos às noções matemáticas de jogos de estratégia”


Na concorrência entre duas empresas pela quota de mercado, existem regras:

« Os jogadores escolhem as suas acções dentro de um conjunto definido de acções possíveis;

« Existe uma relação (algumas vezes previsível - xadrez -outras envolvendo o factor sorte - poker) entre as acções dos jogadores e o resultado final;

« Nenhum jogador tem controlo total sobre o resultado final mas, pelo contrário, o resultado depende das decisões tomadas separadamente por duas ou mais pessoas.


A A Teoria Teoria de de JogosJogos......

« Foi inicialmente aplicada a situações militares (início da década de 50) nomeadamente para a determinação das melhores estratégias.

« Nos negócios, tal como na guerra, o decisor deve antecipar as reacções dos outros.


O O que que é é então então a a Teoria Teoria de de JogosJogos??

É o estudo do comportamento racional em situações que envolvem interdependência.

« Interdependência: significa que qualquer jogador que participa no jogo é afectado pelas acções dos outros e, por sua vez, as acções deste jogador afectam os outros.


Comportamento RacionalComportamento Racional

Comportamento racional: dados os seus objectivos os jogadores fazem o melhor que podem.

Serão os indivíduos racionais? Nem sempre!!!


Método da Teoria Método da Teoria de de JogosJogos

“Put yourself in the other person’s shoes”

« É a essência do método utilizado na Teoria dos Jogos pois permite a um indivíduo prever as acções que os outros indivíduos escolherão e assim poder tomar a melhor decisão para si.


TeoriaTeoria de de JogosJogos

« A Teoria de Jogos, tal como qualquer outra teoria geral, mostra como situações aparentemente diferentes têm uma mesma estrutura essencial.

« O conhecimento adquirido através da experiência, pelo contrário, é específico às suas origens. Os indivíduos podem não se aperceber que as mesmas ideias se podem aplicar a outras situações.

« A experiência ajuda a ver as árvores; a Teoria de Jogos ajuda a ver a floresta.


Jogar um Jogo é como dividir um bolo...Jogar um Jogo é como dividir um bolo...

« Jogadores enfrentam motivações contraditórias:ü As suas acções afectam a dimensão do bolo e todos

os participantes concordam em querer que a dimensão do bolo seja a maior possível.

üMas todos querem que a sua fatia do bolo seja grande. As estratégias dos jogadores para aumentarem a sua fatia do bolo podem provocar uma redução da dimensão do próprio bolo.

ü Existe um conflito entre querer aumentar a dimensão do bolo e querer aumentar a fatia do bolo.

ü Esta é uma das principais ideias da Teoria de Jogos.


« Introdução: o que é a Teoria de Jogos

« Concorrência como um Jogo

« O jogo da negociação

SumárioSumário


Concorrência como Concorrência como um um JogoJogo


ElementosElementos de um de um JogoJogo

• Jogadores• Indivíduos (Xadrez, Poker)

• Empresas (Oligopólio)• Países (Conflitos Militares)

• Estratégias

• Pagamentos (Payoffs)


Classificação Classificação dos dos JogosJogos

« Ordem das Jogadasü Jogos Simultâneos

Ex: Concurso Públicoü Jogos Sequências

Ex: Leilão Inglês

« Objectivos dos Jogadoresü Jogos Cooperativosü Jogos Não Cooperativos


JogosJogos Não CooperativosNão Cooperativos

Jogos Simultâneos


Jogo da PublicidadeJogo da Publicidade

• Dois Jogadores: {TMN, Vodafone}

• Duas Estratégias: {Faz Pub., Não Faz Pub.}

• Questão:• Qual é o resultado deste jogo?


Jogo da PublicidadeJogo da Publicidade

10, 5 15, 0

6 , 8 10 , 2

TMNPub N/ Pub

Vod

afon

e

Pub

N/ Pub


Estratégia DominanteEstratégia Dominante

« Estratégia que é sempre escolhida por um jogador independentemente da estratégia escolhida pelo outro jogador

« (Pub, Pub) Equilíbrio em Estratégias Dominantes


Equilíbrio de Equilíbrio de NashNash (I)(I)

« O conceito de equilíbrio de Nash é baseado na seguinte ideia: o resultado de um jogo é definido por um conjunto de acções tais que, para cada jogador, cada acção é a melhor resposta às acções de todos os outros jogadores.

« Um conjunto de acções representa um EN se nenhum dos jogadores tiver incentivo para se desviar da sua acção, dadas as acções dos outros jogadores.


EquilíbrioEquilíbrio de Nashde Nash

Um par de estratégias (a*,b*) representa uma solução de equilíbrio num jogo com dois jogadores se a* é uma estratégia óptima para o jogador A se o jogador B escolher b*e b* é uma estratégia óptima para B se o jogador A escolher a*.


Jogo da Publicidade AlteradoJogo da Publicidade Alterado

10, 5 15, 0

6 , 8 20 , 2

TMNPub N/ Pub

Vod

afon

e

Pub

N/ Pub


JogoJogo 3: Guerra dos 3: Guerra dos SexosSexos

2 , 1 0 , 0

0 , 0 1 , 2

Jogador ABallet Futebol

Joga

dor B

Fute

bol B

alle

t


JogoJogo 3 : Guerra dos 3 : Guerra dos SexosSexos

« Não há estratégias dominantes!• A melhor escolha de B depende do que ele pensa

que A irá jogar.

« Dois resultados possíveis:• (ballet, ballet)• (futebol, futebol)


JogoJogo 44

0, 0 0, -1

1, 0 -1, 3

Jogador A

E DJo

gado

r B E

D


Em

pres

aA

Empresa B

7.5

10

15

7.5 10 15

112.5, 112.5

125, 93.75

112.5, 56.25

95.75, 125

100, 100

75, 50

56.25, 112.5

50, 75

0, 0

Concorrência em Nível de ProduçãoConcorrência em Nível de Produção


AindaAinda as as estratégias dominantesestratégias dominantes

« Indiana Jones and The Last Crusade

« Corrida dos 100 metros livres

« “Mr. Reagan has sensed that the Republicans have what game theorists call a “dominant strategy — one that makes a player better off than his opponent, no matter what strategy his opponent uses.”ü L. Silk, 1981, Congressional debate on the Economic Recovery Tax Act


“Crime e “Crime e CastigoCastigo””

O Dilema dos Prisioneiros


QuestãoQuestão

Será que o Equilíbrio de Nash de um determinado jogo leva a um resultado que é(Pareto) eficiente ?

Resposta


DilemaDilema dos dos PrisioneirosPrisioneiros

Equilíbrio não cooperativo: (C, C)

Óptimo de Pareto: (N,N)

-3, -3 0, -6

-6, 0 -1, -1

Confessar Negar

Neg

ar C

onfe

ssar

Jogador AJo

gado

r B


DilemaDilema dos dos PrisioneirosPrisioneiros

« É um equilíbrio em estratégias dominantes!

«« ProblemaProblema::


Qualquer que seja a estratégia do rival a melhor estratégia de um jogador é jogar de uma forma

Isto é, escolher confessar.

Se houvesse

entre os dois por forma a que os dois negassem a acusação então (N,N) podia ser um equilíbrio.

DilemaDilema dos dos prisioneirosprisioneiros


JogosJogos Não CooperativosNão Cooperativos

Jogos Sequenciais


Estaladiço

DoceEm

pres

aA

Estaladiço Doce

-5, -5

20, 10

10, 20

-5, -5

Empresa B

Estalad.

Doce

Estalad.

Estalad. -- Empresa B

Doce -- Empresa B

-5, -5

Empr. A20, 10

10, 20

-5, -5Doce

Escolha Escolha de de Produtos Produtos -- Jogo SequencialJogo Sequencial

Forma ExtensivaForma Extensiva


SubSub--Game Game Perfect Nash EquilibriumPerfect Nash Equilibrium

« SPNE é o conjunto de estratégias para cada jogador que constituem um equilíbrio de Nash em qualquer um dos sub-jogos, isto é qualquer subconjunto do jogo que começa num ponto qualquer mas em que a história passada do jogo é common knowledge para todos os jogadores.

« Num SPNE cada jogador escolhe a estratégia óptima em cada etapa do jogo e acredita que os outros jogadores se comportam da mesma maneira.


ConclusãoConclusão

« B poderia ameaçar A de jogar “Doce” se A escolhesse “Doce”.

A empresa B ganha 1010 quando poderia ganhar 2020se A escolhesse “Estaladiço”!


ProblemaProblema::« Esta ameaça não seria credível dado que A joga

primeiro.

« Quando B joga já não pode alterar a jogada de Apelo que seria irracional escolher Doce que corresponde a um pagamento inferior.

« Solução: possibilidade de o jogador B se comprometer a jogar Doce se A jogar Doce.


Como?Como?

« Exemplo:

üB envia um agente C para jogar o jogo em seu lugar. C tem ordens para escolher Doce se Aescolher Doce.

« Mas:C tem de agir de acordo com as ordens

recebidas (punição)A conhece as ordens recebidas por C


CasoCaso de de Entrada Entrada no Mercadono Mercado. Empresa instalada

entrante entrante

instalada instalada instalada instalada

PM =55 PL=30

PL=30 PL=30 Pc=40Pc=40

entra entrafora fora

ΠI =1 025 ΠI = 1 225 ΠI = 400 ΠI = 600

ΠE=-150 ΠE=50 ΠE =-150 ΠE =50

ΠI =2 350 ΠI =1 725


Jogos SequenciaisJogos Sequenciais

« Qualquer jogo com um número finito de estratégias pode ser, em princípio, resolvido do fim para o princípio (backwards) é possível encontrar a melhor estratégia.


XadrezXadrez: é um : é um jogo sequencial jogo sequencial

• que pode ser representado por uma árvore.

• Problema: Consideremos a abertura do jogo• As peças brancas podem abrir com 20

estratégias possíveis. As peças negras têm igualmente 20 estratégias possíveis. Depois de uma jogada dos dois jogadores temos já 400 possibilidades.

• Demasiada complexidade!


RegraRegra


AtençãoAtenção: Se o : Se o jogojogo é é sequencial sequencial

« A ideia de estratégia dominante altera-se.

« Se o rival joga primeiro podemos sempre escolher a nossa estratégia dominante porque esta é sempre a nossa melhor resposta.

« Se nós jogamos em primeiro lugar temos a possibilidade de influenciar o comportamentodo rival e a ED não é talvez a melhor estratégia (commitment) .


Jogador AE D

5, 8 7, 7

8, 6 4, 3

E

D

Joga

dor

B

A

B

B

(8, 5)

(6, 8)

(7, 7)

(3, 4)

E

E

E

D

D

D

Jogo simultâneo: Eq: B joga D e A joga E

Jogo sequencial:Eq: A joga D e B joga E


Estratégias DominadasEstratégias Dominadas

« Uma estratégia é dominada quando é uniformemente pior do que qualquer outra estratégia.

« Uma estratégia dominada deve ser sempre evitada(eliminada)


Em

pres

aA

( líd

er)

Empresa B (seguidora)

7.5

10

15

7.5 10 15

112.5, 112.5

125, 93.75

112.5, 56.25

95.75, 125

100, 100

75, 50

56.25, 112.5

50, 75

0, 0

Oligopólio Oligopólio com com Competição na QuantidadeCompetição na Quantidade(equilíbrio de (equilíbrio de StackelbergStackelberg))


A saberA saber::

« Para se poder resolver um jogo sequencialusando indução retrógada é necessário que:üas jogadas de cada jogador sejam

observadas pelos outros jogadores.üas jogadas sejam irreversíveis.


Ainda os Jogos Não CooperativosAinda os Jogos Não Cooperativos

“Tão amigos que nós (agora) somos…”


OPEPOPEP« Década de 70: países da OPEP acordaram num aumento

do preço do crude: de $3/barril em 1973 atingiu mais de $30/barril em 1980.

« Finais dos anos 70: previa-se que o preço do barril atingisse os $100 no final do século.

« Surpreendentemente o cartel pareceu sofrer um colapso:os preços desceram atingindo os $10 em 1986 e subiram para $18 em 1987.

« A invasão do Kuwait pelo Iraque provocou uma nova subida dos preços para $35 em 1990. E desde o ano2000…


Evolução do Preço do Petróleo (1970-1996)Evolução do Preço do Petróleo (1970-1996)


PorquêPorquê o o ColapsoColapso do Cartel?do Cartel?è A história da OPEP é apenas um jogo!

è Jogadores: Irão, Iraque

è Níveis de Produção: 2 ou 4 milhões de barris/dia

è Produção total no mercado mundial Preço

2+2=4 $25

2+4=6 $154+4=8 $10

è Custos de Extracção por barril

Irão: $2 Iraque: $4


O O JogoJogo

46, 42

52, 22

26, 44

32, 24

Pro

duçã

odo

Irã

o

Produção do Iraque

2 4

2

4


O O JogoJogo do Carteldo Cartel

« Se ambos os países mantiverem os acordos de quotas de produção, os preços são altos logo os lucros serão elevados.

« Mas…cada um tem uma estratégia dominante que consiste em aumentar unilateralmente a sua quota.

« Resultado:


O O comportamentocomportamento das das empresas determinaempresas determina a a dimensãodimensão do bolo!do bolo!

Cooperação Concorrência

Aumenta o excedente do consumidor


Jogos RepetidosJogos Repetidos

Outra vez o Dilema dos Prisioneiros


Problema Problema do do Dilema Dilema dos dos PrisioneirosPrisioneiros

è Não há comunicação

è Não há compromissos vinculativos

è O jogo só é jogado uma vez:

não existe a possibilidade de punir logo não existem mecanismos para incentivar cooperação.

è O que é que acontece se o jogo se repetir (com os mesmos jogadores?)


Resolver Resolver o o Problema Problema do do Dilema Dilema dos dos PrisioneirosPrisioneiros« Num jogo repetido cada jogador pode criar

uma reputação de cooperação

« Não existe um acordo Explícito ( como no Cartel) mas os jogadores têm um comportamento cooperativo!


« No início da segunda etapa do jogo os jogadores observam o resultado da 1ª etapa (ex. Os lucros)

« O pagamento do jogo é a soma dos pagamentos em cada uma das etapas.

.

1, 1 5, 0

0, 5 4, 4

NCA

C

B

NC C

Jogamos Jogamos 2 2 vezes vezes o o Dilema Dilema dos dos PrisioneirosPrisioneiros


Jogo RepetidoJogo Repetido

è Os dois jogadores têm interesse em jogar (C,C) .

è Mas, cada jogador pode ter interesse em dar um sinal de cooperação e joga “cooperativo” C na primeira etapa do jogo.

è Mas se um joga cooperativo C a melhor estratégia para o outro é jogar NC.

è Então o que jogou C na primeira etapa pode retaliar e jogar NC na próxima etapa.


« Suponhamos na 1ª etapa:

üA joga C e B joga NC . Resultado: (0, 5)

« Então na 2ª etapa:

üA joga NC e B joga NC. Resultado : (1,1)

« Resultado Final: (0, 5)+(1, 1) = (1, 6)

« Antecipando este resultado A teria interesse em jogar NC na 1ª etapa, B jogava também NC e o resultado final seria: (1, 1)+(1, 1) = (2, 2).

Jogador Jogador A é A é MíopeMíope


Equilíbrio Equilíbrio de Nashde Nash

« Se ambos jogassem cooperativo na 1ª etapa, na 2ª etapa ambos continuavam a jogar cooperativo e o resultado seria:(4,4)+(4,4)=(8,8)

« Problema: Na 2ª etapa, como o jogo acaba , o efeito reputação deixa de ter valor - cada jogador tem interesse em jogar a estratégia dominante logo o resultado do 2º jogo é (NC, NC).

« Antecipando o resultado da 2ª etapa, ambos os jogadores escolhem a s/ estratégia dominante(NC,NC) porque criar reputação de cooperação não altera o resultado da 2ª etapa.


Será possível uma solução cooperativaSerá possível uma solução cooperativanum num jogo não cooperativojogo não cooperativo??

«« Se o Se o jogojogo tem um tem um número finitonúmero finito de de etapas etapas o o equilíbrio equilíbrio de Nash do de Nash do Dilema Dilema dos dos Prisioneiros Prisioneiros é é (NC,NC)(NC,NC) em cada etapaem cada etapa..

Não é possível uma solução cooperativa!


ê Exemplo de uma Grim Trigger Strategy:Na 1ª etapa o jogador coopera: CEtapas seguintes:

Se o rival jogou C então joga CSe o rival jogou NC então joga NC para sempre

Se o Se o jogo jogo for for jogado jogado um um número infinito número infinito de de vezesvezes??

« Em cada etapa, os indivíduos sabem que o jogo ainda vai ser jogado mais uma vez logo há (potenciais) benefícios de jogar cooperativamente.


Jogo infinitoJogo infinito

« Se ambos os jogadores adoptarem umaGrim Trigger Strategy então o resultado deste jogo repetido indefinidamente vaiser (C,C)


TitTit--forfor--Tat Tat ou Olhoou Olho--porpor--OlhoOlho

« Tit-for-Tat Strategy: estratégia do Perdão

üEu coopero : Jogo C. Se na jogada seguinte observo que o meu rival jogou Cvolto a jogar C; Se observo que ele jogouNC jogo NC

üSe mais tarde observo que ele jogou C, volto a jogar C


NegociaçãoNegociação

« Negócios e Política Internacional: as partes muitas vezes negoceiam a divisão do ganho total: o bolo.

« É necessário conhecer as regras do jogo:ü quem faz a oferta a quem;ü O que é que acontece se as negociações falharem.


Exemplo de NegociaçãoExemplo de Negociação

« Empresa e sindicato negoceiam aumento salarial

« Estratégias são variações de salários

« Sucesso nas negociações gera um excedente de $600 milhões que deve ser dividido entre as partes

« Falha das negociações resulta numa perda para a empresa de $100 milhões e para o sindicato de $3 milhões

« Propostas simultâneas e one-shot game


Em

pres

aSindicato

W=$10

W=$5

W=$1

W=$10 W=$5 W=$1

100, 500

-100, -3

-100, -3

-100, -3

300, 300

-100, -3

-100, -3

-100, -3

500, 100

Nash BargainingNash Bargaining: : Divisão Justa: Divisão Justa: Natural focal Natural focal pointpoint


Nash BargainningNash Bargainning

« Negociação com propostas simultâneas resulta num problema de coordenação

« Experiências sugerem que os jogadores coordenam para a solução “fair”

« O que é que acontece se o jogo for sequencial fazendo a empresa uma oferta “take-it-or leave-it” ao sindicato?


Empresa

10

5

1

Sindicato

Sindicato

Sindicato

Aceita

Rejeita

100, 500

-100, -3

300, 300

-100, -3Rejeita

Rejeita

500, 100

-100, -3

Jogo naJogo na forma forma extensivaextensiva

Aceita

Aceita


Empresa

10

5

1

Sindicato

Sindicato

Sindicato

Aceita

Rejeita

100, 500

-100, -3

Aceita

Aceita

300, 300

-100, -3Rejeita

Rejeita

500, 100

-100, -3

ApenasApenas um um equilíbrioequilíbrio!!


NegociaçãoNegociação

è Lojas: “Take-it-or-leave it” rule

è Uma caracteristica das negociações é que tempo é dinheiro. Quando as negociações se prolongam o bolo vai-se reduzindo.


JogoJogo do do UltimatoUltimato

« Mello e Belmiro têm que dividir 1000 euros entre eles. Cada um sabe que o jogo tem a seguinte estrutura:ü Iª Etapa: Mello propõe ficar com uma determinada parte dos 1000

euros. Em seguida Belmiro ou aceita, caso em que o jogo termina eBelmiro recebe a parte restante dos 1000 euros; ou rejeita aproposta e nesse caso o jogo continua.

ü 2ª Etapa: A quantia a ser dividida ficou agora reduzida a 900 euros(os advogados cobraram 100 pelas negociações da primeira etapa).Belmiro propõe agora a parte dos 900 euros com que fica. Em seguida Mello ou aceita e fica com o restante ou rejeita e nesse caso ninguém recebe nada e o jogo acaba.

Quanto é que o Mello deve propor na primeira etapa?

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