Tema 4: Números complejos IES LA ASUNCIÓN … · Se multiplican los números complejos con afijos los vértices de un triángulo equilátero de centro el origen por el número o

Tema 4: Números complejos EJERCICIOS Ejercicios resueltos en video http://www.aprendermatematicas.org

–4–

IES LA ASUNCIÓN http://www.ieslaasuncion.org MATEMÁTICAS 1º BAT

6. De los siguientes números complejos z, calcula: −z, z , z , iz, − iz, zi , zi . a) z = 3 − 2i b) z = −3 + 4i c) z = −1 − i

7. A) Calcula:

a) (2 − 3i) + (−2 + 6i) b) (2i − 3) − (7 + 5

1i) c) ( 3 + 2i) − (1 − 5i)

B) Representa gráficamente iz 231 , iz 522 , 21 zz . Comprueba que 21 zz es una diagonal

del paralelogramo de lados 1z y 2z .

8. Encuentra x e y para que se verifique la siguiente igualdad: (x + 3i) + (2 − 5yi) = 6 − 4i

9. Encuentra m y n para que sea cierta la igualdad: (3m + 2i) − (5 − 2ni) = 2 − 6i

10. Realiza los siguientes productos y cocientes:

a) (2 − 3i)(−2 + 6i) b) (2i − 3)(7 + 5

1i) c) ( 3 + 2i)(1 − 5i)

d) i

i

62

32

e) i

i

21

46

f) 32

3

i

i

g) i43

1

h)

i32

1

i)

i

i

23

51

11. Encuentra x para que el cociente i

xi

1

2 sea:

a) Un número real. b) Un número imaginario puro.

12. Calcula el valor de a y b para que se verifique i

biia

35

13

13. A) Calcula las siguientes potencias de i: a) i37 b) i214 c) i3259 d) i−23

B ) Calcula:

a) (−i)361 b) i−346 c) 33i

1 d)

11)(

1

i

14. Calcula:

a) 99

51

ii b) 7

7

2 i

i

i c) (i5 + i−12)3 d)

2175

1

32

i

ii

15. Calcula las potencias de exponente 2, 3 y 4 de los siguientes números complejos: a) 1 + i b) −2 + i c) −1 − i

Ejercicios de ampliación operando con números complejos expresados en forma polar

16. Expresa en forma polar los siguientes números complejos: a) 1 − i b) −1 + i c) 1 + i d) −1 − i

e) 2 −2 3 i f) i2222 g) i3 h) i

i) −2i j) 3 k) − 5 l) 2

3


–5–


17. A) Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del número complejo rz

B) El producto de dos números complejos conjugados es º048 y el argumento de su cociente es 60º.

Hállalos.

18. Representa en el plano complejo los números que cumplen la condición: a) z = 3 b) Argumento de z = 45o c) Parte imaginaria de z = 3.

19. Realiza las siguientes operaciones dejando el resultado en forma polar :

a) oo 120302·6 b)

o

o

120

30

2

6 c) 3

60)4( o d)

o

oo

40

10060

3

45·2

e) 4

π

2

π 5·4 f)

4

2

π

4

8

g) 4

6

)2( h) o40

2

1 i)

2

3

6

332

20. Calcula las siguientes potencias, pasando previamente el número a forma polar y expresando el resultado en forma binómica:

a) (1 + i)5 b) (1 − i)20 c) 3)i322( d)

6)i31(

21. Dados los complejos º455z , º152w , it 4 , obtén en forma polar:

a) tz b) 2w

z c)

2

3

tw

z

d)

t

wz 3

22. Calcula la potencia décima del número complejo z = i2

3

2

1 .

23. Calcula las siguientes raíces:

a) 3 1 b) 6 729i c) 3 8 d) 36

e) 4 1 i f) 3 27i g) 4 )180180(cos16 oo isen

24. Encuentra las raíces cúbicas de los siguientes números complejos:

a) i2

27

2

327 b) i344 c) i22

25. Sea z = i838 . Calcula 4 z y z4.

26. Calcula y representa las soluciones de 4 3322 i

27. Comprueba que si z y w son dos raíces sextas de 1, entonces también lo son los resultados de las siguientes operaciones:

wz , w

z, 2z , 3z .

28. El número i34 es la raíz cuarta de un cierto número complejo z . Halla las otras tres raíces cuartas de z .

29. Una de las raíces sextas de un número complejo z es i 3 . Calcular z y el área del hexágono cuyos vértices son los afijos de las raíces sextas de z . Hallar esos afijos.


–6–


30. Calcula 5z y 4 z , siendo iz2

3

2

1

Ejercicios de ampliación sobre ecuaciones

31. Resuelve las siguientes ecuaciones en ℂ: a) z2 + 16 = 0 b) z2 + 6z + 25 = 0 c) z2 − 4z + 53 = 0 d) 16z2 + 16z + 13 = 0 e) z3 − 8 = 0 f) z3 − 8z2 + 21z − 20 = 0 g) z3 + i = 0 h) z4 + 81 = 0 i) 2z3 + 14z2 + 32z + 20 = 0 j) 03613 24 zz k) 01447 24 zz l) 022 24 zz

32. Encuentra la ecuación de segundo grado que tiene por raíces: a) i, −i b) 3 + 2i, 3 − 2i c) 1 + i, 1 − i

33. Resuelve las ecuaciones: a) iiiz 123 b) 19223723 32)( iizii c) iz2 − (2 + 2i)z + 2 − i = 0

34. Halla el valor que debe tener m para que i21 sea una solución de la ecuación 052 mzz

35. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

iwz

iwz

8832

13 b)

iwz

iwz

62

383 c)

iwz

iwz

1123

1145 d)

iwz

iwz

10334

2552

36. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

iwiiz

iwz

31)1(

21 b)

iiwzi

iwz

33)2(

35

Otros problemas

37. □Encuentra el valor de x para que el cociente ix

i

3

sea un número complejo con su afijo en la

bisectriz del primero o tercer cuadrantes.

38. Calcula a y b de modo que se verifique ibia 432

39. Calcula x para que el resultado de )()2( ixixx sea un número real.

40. □La suma de dos números complejos es i3 . La parte real del primero es 2 y el cociente entre este y el segundo es un número real. Hállalos.

41. □ Si )3()( 103210 kiiiiiiz , halla el valor de k para que el módulo de z sea 5.

42. □ El producto de dos números complejos es º902 y el cubo del primero dividido por el otro es º02

1

.

Hállalos.

43. El producto de dos números complejos es –27 y uno de ellos es igual al cuadrado del otro. Calcúlalos.

44. Halla dos números complejos conjugados sabiendo que su suma es 8 y que la suma de sus módulos es 10.

45. Representa gráficamente los resultados que obtengas al hallar 3 22 i y calcula el lado del triángulo que se forma al unir esos tres puntos.


–7–


46. □ Halla los números complejos que corresponden a los vértices de estos triángulos equiláteros.

a) b)

47. ¿Pueden ser las raíces de un complejo z los números º282 , º1002 , º1722 , º2442 y º3162 ? En caso afirmativo,

halla z.

48. Una de las raíces cúbicas de un número complejo z es 1 + i. Halla z y las otras raíces cúbicas.

49. □ Busca dos números complejos cuya suma sea –3 + 3i y que una de las raíces cuadradas de su cociente sea 2i.

50. Calcula el valor que debe tener b para que el módulo de i

bi

21

3

sea igual a 2 .

51. □ Halla los números complejos cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.

52. Calcula m de manera que i

im

1 sea:

a) Igual a 1 + 2i. b) Un número real. c) Un número imaginario puro.

53. Determina el valor de a para que i

ia

2 tenga:

a) Por módulo 2 . b) Por argumento 135o.

54. Encuentra el valor que deben tener m y n para que se verifique la igualdad: oni

im315

)2(3

2

55. El producto de dos números complejos es 4i, y el cubo de uno de ellos dividido por el otro, 4

1.

Encuentra los módulos y los argumentos de los complejos dados.

56. Dados los números complejos 2 − mi y 3 − ni, encuentra los valores que deben tener m y n para que el producto de ellos sea igual a 8 + 4i.

57. El producto de dos números complejos es −8. Hállalos sabiendo que uno de ellos es el cuadrado del otro.

58. Un cuadrado tiene su centro en el origen de coordenadas y un vértice es el punto (4, 0). Encuentra los complejos que tienen por afijos los otros tres vértices.

59. Se multiplican los números complejos con afijos los vértices de un triángulo equilátero de centro el origen por el número o15

1 . Uno de los vértices del triángulo está en el afijo del número 3. ¿Cuáles son

los números complejos que resultan después de multiplicar?


–8–


60. Con la información de la figura, calcula las coordenadas de todos los vértices del hexágono regular con centro el origen.

61. □Halla los números complejos cuyo cubo coincide con el cuadrado de su conjugado.

62. Si el producto de dos números complejos es –8 y dividiendo el cubo de uno de ellos entre el otro obtenemos de resultado 2, ¿cuánto valen el módulo y el argumento de cada uno?

63. a) Calcula el inverso de iz 1 y representa ambos números. b) ¿Qué relación existe entre el módulo y el argumento de un número complejo y de su inverso?

64. La suma de los números complejos iaz 3 y ibw 5 dividida por su diferencia es un número imaginario puro. Prueba que z y w han de tener el mismo módulo.

65. Sea z un número complejo cuyo afijo está en la bisectriz del primer cuadrante. Comprueba que iz

iz

1

1

es un número real.

66. ¿Verdadero o falso?

1) El número 7 es un número real. Por tanto, no es un número complejo.

2) Si a + bi es un número complejo, entonces no puede ser número real.

3) Para que el número complejo a + bi sea imaginario hace falta que a sea cero.

4) Para que el número complejo a + bi sea imaginario es necesario que b sea distinto de cero.

5) Para que el número complejo a + bi sea imaginario puro hace falta que a sea cero.

6) El número 0 + 0i ni es complejo ni es real.

7) El número 5 no tiene conjugado.

8) Si un número complejo coincide con su conjugado, entonces es un número real.

9) Si un número complejo coincide con su opuesto, entonces es el cero.

10) Si el opuesto de un número complejo coincide con su conjugado, entonces es imaginario puro.

11) La suma de un número complejo y su opuesto es 0.

12) La suma de un número complejo y su conjugado es un número imaginario puro.

13) La suma de un número complejo y su conjugado es un número real.

14) El cuadrado de un número complejo cualquiera es un número real.

15) El cuadrado de un número imaginario puro es un número real.

16) El cociente de dos números imaginarios puros es un número real pues '' a

a

ia

ai .

O X

Y

A

B

C D

E

F


–9–


17) Los módulos de dos números complejos opuestos son iguales pero con signos distintos.

18) Los módulos de dos complejos opuestos son iguales.

19) Los módulos de dos complejos conjugados son iguales.

20) Los argumentos de dos números complejos opuestos difieren en 180°.

21) Los argumentos de dos números complejos conjugados son opuestos ( y ).

22) El argumento de cualquier número real es 0.

23) El argumento de los números reales negativos es 180°.

24) El argumento de un imaginario puro es 90° o 270°.

25) Al multiplicar un número complejo z por la unidad imaginaria i, se gira 90° alrededor del origen.

26) Al dividir z por i, se gira 90° alrededor del origen en el sentido de las agujas del reloj.

27) El módulo del producto 'rr puede ser menor que r.

28) 4º45r es un número real negativo.

29) º330º30 ryr son conjugados.

30) º210º30 ryr son opuestos.

31) Los números reales negativos no tienen raíces cuadradas en el campo complejo.

32) El real –9 tiene dos raíces cuadradas imaginarias puras: 3i y –3i.

33) El número 16 tiene dos raíces cuartas reales, 2 y –2, y otras dos imaginarias puras, 2i y –2i.

34) Ninguna de las cuatro raíces cuartas de –16 es un número real.

35) El número –8 tiene una raíz cúbica real, el –2. Las otras dos raíces cúbicas son números imaginarios

conjugados.

36) º842 es una raíz quinta de º6032 .

Documents

Tema 4: Números complejos IES LA ASUNCIÓN … · Se multiplican los números complejos con afijos los vértices de un triángulo equilátero de centro el origen por el número o