Tema 1 (Resultados).- Cónicas y Cuádricas. · Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica. Matemáticas I. 2010-2011. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior

Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica.Matematicas I. 2010-2011.

Departamento de Matematica Aplicada II.Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas.

Ejercicio 1.

(1) Calcula la ecuacion de la parabola de eje horizontal que tiene por foco F = (−2, 3) ypasa por el punto (−1, 3).

(2) Calcula la ecuacion de la elipse que pasa por el punto P = (4, 154) y tiene por focos los

puntos F1 = (4, 2) y F2 = (−2, 2). Determina sus elementos notables y dibujala.

(3) Calcula la ecuacion de la hiperbola que tiene por vertices los puntos (1, 2) y (1, 6) ypasa por el punto (3, 8).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1) Puesto que se trata de una parabola de eje horizontal, su ecuacion tipo es de la forma(y−β)2 = 2p(x−α) donde (α, β) es el vertice de la parabola. Puesto que el foco esta enel eje de simetrıa y = β tiene que ser β = 3 y el vertice de la parabola tiene que serel punto dado, (−1, 3), con lo cual α = −1. Por otra parte, la directriz de la parabolatiene que ser la recta vertical L ≡ x = 0. Por tanto, la parabola esta formada por lospuntos P = (x, y) que verifican que

dist (P, F ) = dist (P, L) ≡q

(x + 2)2 + (y − 3)2 = |x| .

Haciendo operaciones tenemos

(x + 2)2 + (y − 3)2 = x2

⇓4x + 4 + (y − 3)2 = 0

⇓(y − 3)2 = −4 (x + 1) .

−12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4−4

−2

0

2

4

6

8

10

x

y

4 x+y2−6 y+13 = 0

P = VFEje

O

X

Y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

R-2 Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas.

(2) La ecuacion-tipo de la elipse es(x − α)2

a2+

(y − β)2

b2= 1 donde (α, β) es el centro de la

elipse. Puesto que el centro de una elipse es el punto medio de los focos tenemos,

(α, β) =�

4 − 2

2,2 + 2

2

�= (1, 2) .

Para que el punto P = (4, 154) este en la elipse de ecuacion

(x − 1)2

a2+

(y − 2)2

b2= 1

tiene que verificarse que9

a2+

4916

b2= 1.

Por otra parte, puesto que el eje focal de la elipse es horizontal, y = 2, siendo c = 3 lasemi-distancia entre los focos, tiene que verificarse que

a2 − b2 = c2 = 9 =⇒ a2 = b2 + 9.

Resolviendo el sistema de ecuaciones

a2 = b2 + 9

9

a2+

9

16 b2= 1

9>>=>>;llegamos a la ecuacion 16b4 − 49b2 − 49 · 9 = 0. Resolviendo esta ecuacion tenemos

b2 =49 ±

√49 · 625

32=

49 ± 7 · 25

32=

49 ± 175

32=⇒ b2 =

49 + 175

32=

224

32= 7.

Por tanto, la elipse tiene por ecuacion

(x − 1)2

16+

(y − 2)2

7= 1 .

Ademas de los focos y el centro ya citados,otros elementos caracterısticos son:

los ejes de simetrıa, x = 1 e y = 2,

los semiejes a = 4 y b =√

7 y

los vertices, (1 ± 4, 2), (1, 2 ±√

7),

(−3, 2), (5, 2), (1, 2−√

7), (1, 2+√

7)).

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

x

y

CF1 F2

O

P

X

Y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(3) Puesto que los vertices (y los focos) estan en una recta vertical, la ecuacion-tipo sera dela forma

(x − α)2

a2− (y − β)2

b2= −1

donde (α, β) es el centro de la hiperbola, es decir, el punto medio de los vertices (y losfocos)

C = (α, β) =�

1 + 1

2,2 + 6

2

�= (1, 4) .

Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas. R-3

Los vertices V2 = (1, 2) y V1 = (1, 6) y el punto dado P = (3, 8) tienen que verificar la

ecuacion de la hiperbola,(x − 1)2

a2− (y − 4)2

b2= −1. Es decir, tiene que verificarse que

0a2 − 4

b2= −1

4a2 − 16

b2= −1

9>=>; .

Resolviendo se obtiene b2 = 4 y a2 = 4/3. Por tanto, la ecuacion de la hiperbola es

(x − 1)2

43

− (y − 4)2

4= −1.

Ademas del centro y los vertices ya citados, los elementos notables de la hiperbola son:

Los ejes de simetrıa: x = 1 (eje focal) e y = 4.

Las asıntotas tienen por ecuacion,

(x − 1)2

a2− (y − 4)2

b2= 0 ⇔ (x − 1)2

43

=(y − 4)2

4⇔ y − 4 = ±

√3 (x − 1)

=⇒(

y =√

3x + 4 −√

3,

y = −√

3x + 4 +√

3.

Los focos. Si la ecuacion de la hiperbola (con centro (α, β)) es

(x − α)2

a2− (y − β)2

b2= ±1

se verifica que la distancia del centro a cada uno de los focos es c =√

a2 + b2.En nuestro caso tenemos que c =

È43

+ 4 =È

163

= 4√3. Por tanto, los focos son

F1 =�1, 4 + 4√

3

�y F2 =

�1, 4 − 4√

3

�.

Los semiejes son a = 2/√

3 y b = 2.

−6 −4 −2 0 2 4 6 8−4

−2

0

2

4

6

8

10

x

y

3 x2−y2−6 x+8 y−9 = 0

C

P

O

X

Y

V1

V2

F1

F2

Matematicas I. 2010-2011


Ejercicio 2. Indica la respuesta correcta:

(1) La ecuacion y2 − 6x − 4y − 20 = 0 corresponde a:

X Una parabola cuyo vertice es V = (−4, 2).

Una parabola cuyo eje es la recta de ecuacion y = −4.

Dos rectas que se cortan en un punto.

(2) La ecuacion 5x2 + y2 = 1 corresponde a:

Una elipse con focos en el eje de abscisas.

X Una elipse con focos en el eje de ordenadas.

Una hiperbola.

(3) La cuadrica x2 − y2 + z2 + 4y + 6z + 13 = 0 verifica:

X Tiene por centro C = (0, 2,−3).

Contiene a la recta x − 1 = y − 2, z = 4.

No tiene centro.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1) Puesto que la ecuacion se puede escribir como (y − 2)2 = 6(x + 4).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2) Puesto que la ecuacion dada es equivalente a

x2

1/5+

y2

1= 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(3) Se trata de un Hiperboloide de dos hojas,

x2 − (y − 2)2 + (z + 3)2 + 8 = 0 ⇐⇒ x2

8− (y − 2)2

8+

(z + 3)2

8= −1.

Ejercicio 3. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de conicaque es, sus elementos notables y su representacion grafica:

(1) 3x2 + 3y2 + x + 5y + 1 = 0.

(2) 3x2 − 3y2 + x + 5y + 1 = 0.

(3) 3y2 + x + 5y + 1 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



(1) Circunferencia de centro C = (−1/6,−5/6) y radio r =È

718

,

3�x +

1

6

�2

+ 3�y +

5

6

�2

− 7

6= 0 ≡

�x +

1

6

�2

+�y +

5

6

�2

=7

18.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2) Puesto que la ecuacion dada es equivalente a�x +

1

6

�2

−�y − 5

6

�2

= −1,

se trata de una Hiperbola equilatera. Obtengamos sus elementos notables:

Centro�x = −1

6, y =

5

6

�.

Los ejes de simetrıa son paralelos a los ejes coordenados,

x = −1

6e y =

5

6.

Ademas, el eje en el que estan los focos es el eje vertical x = −1/6.

Los vertices son los puntos de corte de la hiperbola con el eje x = −1/6,

−�y − 5

6

�2= −1 =⇒ y − 5

6= ±1 =⇒ V1 =

�−1

6, 5

6+ 1

�=�−1

6, 11

6

�,

V2 =�−1

6, 5

6− 1

�=�−1

6,−1

6

�.

Siendo c la semi-distancia entre los focos tenemos que

c2 = a2 + b2 = 1 + 1 = 2

y, por tanto los focos son�−1

6, 5

6± 2

�=⇒ F1 =

�−1

6,5

6− 2

�=�−1

6,−7

6

�, F2 =

�−1

6,5

6+ 2

�=�−1

6,17

6

�.

Las asıntotas estan dadas por la ecuacion�x +

1

6

�2

−�y − 5

6

�2

= 0

y, por tanto, son las rectas�x + 1

6

�=�y − 5

6

�≡ x − y + 1 = 0,�

x + 16

�= −

�y − 5

6

�≡ x + y − 2

3= 0.



−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

x

y

3x2−3y2+x+5y+1=0

C

V1

V2

X

Y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(3) Puesto que al completar cuadrados en la ecuacion dada se obtiene�y +

5

6

�2

= −1

3

�x − 13

12

�,

se trata de una parabola con eje horizontal y vertice V = (1312

,−56).

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

x

y

3y2+x+5y+1=0

F

O X

Y

L

Sus elementos notables son:

Eje principal (de simetrıa): y = −5/6.

Eje secundario: x = 13/12.

Foco (F ) y directriz (L). Para la parabola (y − β)2 = 2p(x − α) se verifica que

dist(V, L) = dist(V, F ) =|p|2

=1

12.



Por tanto, la directriz y el foco son

L ≡ x =13

12+

1

12=⇒ L ≡ x =

7

6y F =

�13

12− 1

12,−5

6

�=�1,−5

6

�.

Ejercicio 4. Determina, segun los valores de α ∈ R, el tipo de conica que corresponde acada una de las ecuaciones siguientes:

(1) 2x2 + (α2 − 1)y2 − 2x + (α − 1)y − 3 = 0.

(2) x2 + αy2 + x + 2y + α − 1 = 0.

(3) αx2 + (α2 − α)y2 − 2x − 4y + 2 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1) 2x2 + (α2 − 1)y2 − 2x + (α − 1)y − 3 = 0.

Para α = 1, 2x2 − 2x − 3 = 0 ≡ x = 1±√

72

(dos rectas paralelas).

Para α = −1, 2x2 − 2x − 2y − 3 = 0 ≡�x − 1

2

�2= y + 7

4(parabola).

Para α 6= ±1, podemos completar el cuadrado en y y se obtiene la euacion

2�x − 1

2

�2

+ (α2 − 1)

�y +

1

2(α + 1)

�2

=15α + 13

4(α + 1).

Siendo −1 < α0 = −1315

< 0 se obtienen los siguientes casos:

α < −1 −1 < α < α0 α = α0 α0 < α < 1 1 < αelipse hiperbola 2 rectas secantes hiperbola elipse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2) x2 + αy2 + x + 2y + α − 1 = 0.

Si α = 0,�x + 1

2

�2= −2

�y − 5

8

�(Parabola).

Para α 6= 0 puede completarse el cuadrado en y y se obtiene�x +

1

2

�2

+ α�y +

1

α

�2

=4 − 4α2 + 5α

4α.

Siendo α1 = 5−√

898

< 0 < α2 = 5+√

898

se obtienen los siguientes casos:

α < α1 α = α1 α1 < α < 0 0 < α < α2 α = α2 α2 < αhiperbola 2 rectas secantes hiperbola elipse 1 punto nada

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(3) αx2 + (α2 − α)y2 − 2x − 4y + 2 = 0.

Para α = 0, la ecuacion dada no es una conica sino una recta, −2x− 4y + 2 = 0.



Para α = 1, completando el cuadrado en x, se obtiene una parabola,

(x − 1)2 = 4�y − 1

4

�.

Para α 6= 0, 1, podemos completar el cuadrado en x y el cuadrado en y. Queda laecuacion

α�x − 1

α

�2

+�α2 − α

� �y − 2

α2 − α

�2

=−2α2 + 3α + 3

α(α − 1).

Dividendo todo por α( 6= 0),�x − 1

α

�2

+ (α − 1)�y − 2

α2 − α

�2

=−2α2 + 3α + 3

α2(α − 1).

Siendo α1 = 3−√

334

< 0 < 1 < α=3+

√33

4, tenemos los siguientes casos:

• Si α > α2, nada (elipse imaginaria), x′2 + (α − 1) y′2 = ρ < 0.

• Si α = α2, se obtiene un punto.

• Si 1 < α < α2, se obtiene una elipse.

• S1 α1 < α < 1, α 6= 0, tenemos una hiperbola,

x′2 + (α − 1) y′2 = ρ 6= 0.

• Para α = α1 se obtienen dos rectas secantes x′2 + (α − 1) y′2 = 0.

• Si α < α1 se obtiene una hiperbola.

Ejercicio 5. Determina, si existen, los valores de α ∈ R para los que la siguiente ecuacioncorresponde a una circunferencia o a una hiperbola equilatera

2x2 + αy2 − 6x + 3y + α = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• Circunferencia α = 2. • Hiperbola equilatera α = −2.

Ejercicio 6. Sea L una recta del plano y F un punto que no esta en la recta. Tomandocomo eje Y la recta L y como eje X la recta perpendicular a L que pasa por F , determinala ecuacion del lugar geometrico de los puntos P para los que el cociente entre su distanciaa L y su distancia a F es constante e > 0,

d (P, F )

d (P, L)= e.

Comprueba que:

(a) Si e = 1 dicho lugar geometrico es una parabola.

(b) Si 0 < e < 1 dicho lugar geometrico es una elipse.



(c) Si e > 1 dicho lugar geometrico es una hiperbola.

En cualquiera de los casos se trata de una conica y se dice que e es su excentricidad y queL y F son su directriz y foco respectivamente. En el caso de la parabola la directriz y elfoco son unicos y para la elipse y la hiperbola hay dos parejas foco-directriz.Observacion. Notemos que con la definicion anterior nunca se obtiene una circunferencia, aunque

esta pueda obtenerse como un caso lımite. Siendo p = d(F,L) la distancia del foco a la directriz,

tomando q = pe constante, cuando e → 0+ (y p = qe → +∞) las elipses correpondientes tienden a

la circunferencia con centro el foco y radio q.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .En el sistema de ejes considerado tenemos que L ≡ x = 0 y F = (p, 0). Dado un punto

P = (x, y) tenemos

d(P, F ) =È

(x − p)2 + y2, d(P, L) = |x|y por tanto la ecuacion dada es equivalente a (x − p)2 + y2 = e2x2.

Si e = 1 obtenemos la parabola de ecuacion y2 = 2px − p2 (⇔ y2 = 2p�x − p

2

�).

Si 0 < e 6= 1 obtenemos�1 − e2

� �x − p

1 − e2

�2+ y2 =

p2e2

1 − e2⇐⇒

�x − p

1−e2

�2p2e2

(e2−1)2

+y2

p2e2

1−e2

= 1.

Por tanto,

• Si 0 < e < 1 (1 − e2 > 0) se trata de una elipse con

◦ centro�x = p

1−e2 , y = 0�,

◦ ejes paralelos a los ejes coordenados,

◦ semiejes a = |p|e(1−e2)

, b = |p|e√1−e2

.

• Si e > 1 (1 − e2 < 0) se trata de una hiperbola con

◦ centro�x = p

1−e2 , y = 0�,

◦ ejes paralelos a los ejes coordenados,

◦ el eje sobre el que estan los focos (y los vertices) es y = 0,

◦ semiejes a = |p|e(e2−1)

, b = |p|e√e2−1

.

Ejercicio 7. Determinar en coordenadas cartesianas (x, y) la ecuacion de la conica que encoordenadas polares (r, θ) viene dada por

r =p

1 + e cos(θ).

Determina el tipo de conica que se obtiene en funcion de e y los elementos notables respec-tivos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


R-10 Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas.¨x = r cos(θ)y = r sen(θ)

«=⇒ cos(θ) =

x

r=⇒ (sustituyendo en la ecuacion dada)

r =p

1 + exr

⇒ · · · ⇒ r2 = (p − ex)2 ⇒ · · ·

· · · ⇒ (1 − e2)x2 + 2pex + y2 − p2 = 0.

Completa cuadrados en la ecuacion obtenida para determinar el tipo de conica, segun losvalores de e, y sus elementos notables.

Ejercicio 8. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de cuadri-ca que es, sus elementos notables y su representacion grafica:

(1) x2 + 3y2 + z2 + 2x + 5y − 2z + 1 = 0.

(2) 3x2 + y2 − z2 + x + 2y + 2z + 1 = 0.

(3) x2 + y2 + x + 4y + 3z − 1 = 0.

(4) x2 + y2 + x + 4y − z2 − 1 = 0.

(5) x2 + y2 + x + 4y − 1 = 0.

(6) x2 − y2 + x + 4y − 1 = 0.

(7) x2 + x + 4y + 3z − 1 = 0.

(8) x2 − y2 + x + 4y + z − 1 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1) Elipsoide, (x + 1)2 + 3�y +

5

6

�2

+ (z − 1)2 =37

12.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2) Hiperboloide de 2 hojas, −3�x +

1

6

�2

− (y + 1)2 + (z − 1)2 =11

12.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(3) Paraboloide elıptico,�x +

1

2

�2

+ (y + 2)2 = −3�z − 21

12

�.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(4) Hiperboloide de 1 hoja,�x +

1

2

�2

+ (y + 2)2 − z2 =21

4.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(5) Cilindro elıptico,�x +

1

2

�2

+ (y + 2)2 =21

4.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(6) Cilindro hiperbolico,�x +

1

2

�2

− (y − 2)2 = −11

4.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(7) Cilindro parabolico,�x +

1

2

�2

= −4y − 3z +5

4.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(8) Paraboloide hiperbolico, −�x +

1

2

�2

+ (y − 2)2 = z +11

4.

Ejercicio 9. Determinar la ecuacion de las cuadricas siguientes:

(1)y

x

z

(1, 1, 0) (2, 3, 0)

(1, 3, 0)

(1, 3, 2)

(2) y

x

z

(1, 1, 0) (2, 3, 0)

(1, 3, 0)

(1, 3, 2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1) La cuadrica de la izquierda es un cono con vertice el punto V = (1, 1, 0) y eje paraleloal eje OY . La ecuacion-tipo de este cono sera de la forma

(y − 1)2 =(x − 1)2

a2+

(z − 0)2

b2.

Segun la figura, los puntos A = (2, 3, 0) y B = (1, 3, 2) estan en el cono y, por tanto,tienen que verificar su ecuacion,

A = (2, 3, 0) ∈ Cono ⇐⇒ 4 = 1a2 ⇐⇒ a2 = 1

4

B = (1, 3, 2) ∈ Cono ⇐⇒ 4 = 4b2

⇐⇒ b2 = 1.

Por tanto la ecuacion pedida es (y − 1)2 = 4(x − 1)2 + z2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2) La cuadrica de la derecha es un paraboloide elıptico con vertice V = (1, 1, 0) y ejeparalelo al eje OY . La ecuacion-tipo de este paraboloide elıptico sera de la forma

y − 1 =(x − 1)2

α2+

(z − 0)2

β2.



Imponiendo que los puntos A = (2, 3, 0) y B = (1, 3, 2) verifiquen la ecuacion anteriorse obtienen α2 = 1

2, β2 = 2. La ecuacion pedida es

y − 1 = 2(x − 1)2 +z2

2.

Ejercicio 10. Determina, segun los valores de α ∈ R, el tipo de cuadrica que correspondea cada una de las ecuaciones siguientes:

(1) 2x2 + (α2 − 1)y2 + z2 + 2x + 5y − 2z + 1 = 0.

(2) x2 + αy2 + x + 2y + (α − 1)z + 1 = 0.

(3) αx2 + (α2 − α)y2 + α3z2 + x + 4y − 1 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1) Para α = ±1, paraboloide elıptico,

2�x +

1

2

�2

+ (z − 1)2 = −5�y − 1

10

�.

Para α2 6= 1, podemos completar los tres cuadrados y se obtiene la ecuacion

2�x +

1

2

�2

+ (α2 − 1)

�y +

5

2(α2 − 1)

�2

+ (z − 1)2 =23 + 2α2

4(α2 − 1).

Por tanto,

• Si α2 > 1(α > 1 o α < −1), tenemos un elipsoide.

• Si α2 < 1(−1 < α < 1), tenemos un hiperboloide de dos hojas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2) x2 + αy2 + x + 2y + (α − 1)z + 1 = 0.

Si α = 0, tenemos un cilindro parabolico,�x +

1

2

�2

= −2y + z − 3

4.

Si α 6= 0, completando cuadrados tenemos�x +

1

2

�2

+ α�y +

1

α

�2

= (1 − α)

�z +

4 − 3α

4α(1 − α)

�.

• Si α > 0(α 6= 1), tenemos un paraboloide elıptico.

• Si α < 0, tenemos un paraboloide hiperbolico (silla de montar).

• Para α = 1 tenemos una recta,

¨x = −1/2y = −1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



(3) αx2 + (α2 − α)y2 + α3z2 + x + 4y − 1 = 0.

Para α = 0 la ecuacion dada no es una cuadrica sino un plano, x + 4y − 1 = 0.

Para α = 1, completando el cuadrado en x, se obtiene un paraboloide elıptico,

(x +1

2)2 + z2 = −4

�y − 5

16

�.

Para α 6= 0, 1, podemos completar el cuadrado en x y el cuadrado en y. Queda laecuacion

α�x +

1

2α

�2

+�α2 − α

� �y +

2

α2 − α

�2

+ α3z2 =4α2 − 3α + 15

4α(α − 1).

Diviendo todo por α,�x +

1

2α

�2

+ (α − 1)�y +

2

α2 − α

�2

+ α2z2 =4α2 − 3α + 15

4α2(α − 1).

Puesto que 4α2 − 3α + 15 > 0, ∀α ∈ R (compruebalo), tenemos los siguientescasos:

• Si α > 1, tenemos un elipsoide x′2 + (α − 1) y′2 + α2z′2 = ρ > 0.

• Si α < 1(α 6= 0), tenemos un hiperboloide de dos hojas,

x′2 + (α − 1) y′2 + α2z′2 = ρ < 0.

Ejercicio 11. Considera la elipse de ecuacion x2 + 4y2 = 4 en el plano OXY . Determinalas ecuaciones de la parabola del plano OXZ que tiene como vertice el punto (0, 0, 8) y pasapor los vertices del semieje mayor de la elipse dada.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Los vertices del eje mayor de la elipse dada son (x = ±2, y = 0, z = 0). En el plano OXZla parabola citada tiene como ecuaion-tipo x2 = 2p(z − 8).

Imponiendo que pase por los puntos

(x = ±2, z = 0)

del plano OXZ se obtiene p = −1/4 y portanto la ecuacion de la parabola pedidaes x2 = −1

2(z − 8) en el plano OXZ. Sus

ecuaciones en R3 son

C ≡¨

z = 8 − 2x2,y = 0.

x2+4y2= 4

V

8



Ejercicio 12. (EC) Esboza y parametriza la curva determinada por la interseccion de lassiguientes superficies :

(1) El plano y − z + 2 = 0 con el cilindro x2 + y2 = 1.

(2) El hemisferio esferico x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0, con el cilindro x2 + (y − 1)2 = 1.

(3) El cono x2 + y2 = z2 con el plano 3z = y + 4.

(4) Los paraboloides z = 2x2 + 2y2 y z = 5 − 3x2 − 3y2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1)

Para parametrizar la curva de corte del planoy − z + 2 = 0 con el cilindro x2 + y2 = 1 bastacon parametrizar la circunferencia x2 + y2 = 1y obtener la coordenada z correspondiente dela ecuacion del plano.8><>: x = cos(θ)

y = sen(θ)z = y + 2 = 2 + sen(θ)

9>=>; 0 ≤ θ ≤ 2π.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2) La proyeccion de la curva interseccion, del hemisferio esferico x2 +y2 +z2 = 4, z ≥ 0 conel cilindro x2+(y−1)2 = 1, sobre el plano OXY es la circunferencia x2+(y−1)2 = 1 dedicho plano. Parametrizando esta circunferencia y obteniendo el correspondiente valorde z de la ecuacion de la esfera tenemos una parametrizacion de la curva interseccion8><>: x = cos(θ)

y − 1 = sen(θ)z = +

√4 − x2 − y2

9>=>; ≡

8><>: x = cos(θ)y = 1 + sen(θ)

z = +È

2 − 2 sen(θ)

9>=>; , 0 ≤ θ ≤ 2π.



El trozo de hemisferio delimitado por el cilin-dro puede parametrizarse mediante8>><>>: x = r cos(θ)

y − 1 = r sen(θ)z = +

√4 − x2 − y2

=È

3 − r2 − 2r sen(θ)

9>>=>>;¨ 0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π

«.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(3) Para determinar la curva de corte del cono x2 + y2 = z2 con el plano 3z = y + 4vamos a obtener la ecuacion de su proyeccion sobre el plano OXY . Es decir, de las dosecuaciones en (x, y, z) vamos a obtener una ecuacion en (x, y).

x2 + y2 = z2

y = 3z − 4

«⇒ x2 + y2 =

�y+43

�2 ⇒· · · ⇒ x2

2+

(y− 1

2)2

9/4= 1.

Es decir, en el plano OXY tenemos una elipse que sabemos parametrizar y bastaobtener la coordenada z correspondiente (de la ecuacion del plano o de la del cono, esmas comodo utilizar la del plano),8>>>><>>>>: x =

√2 cos(θ)

y = 12

+ 32sen(θ)

z = y+43

= 12(3 + sen(θ))

9>>>>=>>>>; 0 ≤ θ ≤ 2π.

Eje OX

Eje OY

Eje OZ

z2 = x2+ y2

y+4 = 3z

C

El recinto encerrado por la elipse

x2

2+

(y − 12)2

9/4= 1

puede describirse como el formado por todaslas elipses de la forma

x2

2+

(y − 12)2

9/4= r2, con 0 ≤ r ≤ 1.

(Los trozos de) las superficies S1 ≡ z2 = x2 + y2 y S2 ≡ y + 4 = 3z pueden



parametrizarse de la siguiente forma,

S1 ≡

8><>: x =√

2r cos(θ)y = 1

2+ 3

2r sen(θ)

z = +√

x2 + y2 = · · ·

9>=>;¨ 0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π

«,

S2 ≡

8><>: x =√

2r cos(θ)y = 1

2+ 3

2r sen(θ)

z = 13(y + 4) = · · ·

9>=>; ¨0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π

«.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(4) Obtenemos los puntos comunes a los paraboloides z = 2x2 + 2y2 y z = 5 − 3x2 − 3y2,

z = 2x2 + 2y2 = 5 − 3x2 − 3y2 ⇒¨

x2 + y2 = 1,z = 2.

Es decir, la curva de corte es una circunferencia de radio 1.

C

S1ºz = 2x2+2y2

S2ºz =5- 3x2-3y2

D

Eje OX

Eje OY

Eje OZParametrizando la circunferencia tenemos

C ≡

8><>: x = cos(θ)y = sen(θ)z = 2

9>=>; 0 ≤ θ ≤ 2π.

Puesto que el recinto encerrado por la circun-ferencia x2 + y2 = 1 puedo describirse co-mo el formado por todas las circunferenciasx2 + y2 = r2 con 0 ≤ r ≤ 1, las superficiesS1 y S2 pueden paramatrizarse de la siguienteforma,

S1 ≡

8>><>>: x = r cos(θ)y = r sen(θ)z = 2x2 + 2y2

= 2r2

9>>=>>;¨ 0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π

«,

S2 ≡

8>><>>: x = r cos(θ)y = r sen(θ)z = 5 − 3x2 − 3y2

= 5 − 3r2

9>>=>>; ¨0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π

«.


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Tema 1 (Resultados).- Cónicas y Cuádricas. · Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica. Matemáticas I. 2010-2011. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior