Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Conicas - Equacoes reduzidas

Elipse x2

a2 + y2

b2 = 1, a ≥ b > 0

x

y (0, b)

(0, −b)

(a, 0)(−a, 0)

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Conicas - Equacoes reduzidas

Elipse x2

a2 + y2

b2 = 1, a ≥ b > 0

x

y (0, b)

(0, −b)

(a, 0)(−a, 0)

Caso particular: a = b → circunferencia

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Parabola y = ax2

a > 0 a < 0

x

y

x

y

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Hiperbole

x2

a2−

y2

b2= 1, a, b > 0

x

y

(a, 0)(−a, 0)

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Equacao geral

α x2 + β y2 + 2γ xy + δ x + η y + µ = 0,

α, β, γ nao todos nulos

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Equacao geral

α x2 + β y2 + 2γ xy + δ x + η y + µ = 0,

α, β, γ nao todos nulos

⇔ (x y)︸ ︷︷ ︸ α γ

γ β

︸ ︷︷ ︸

x

y

︸ ︷︷ ︸

+ (δ η)︸ ︷︷ ︸ x

y

︸ ︷︷ ︸

+ µ = 0

XT A X B X

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Equacao geral

α x2 + β y2 + 2γ xy + δ x + η y + µ = 0,

α, β, γ nao todos nulos

⇔ (x y)︸ ︷︷ ︸ α γ

γ β

︸ ︷︷ ︸

x

y

︸ ︷︷ ︸

+ (δ η)︸ ︷︷ ︸ x

y

︸ ︷︷ ︸

+ µ = 0

XT A X B X

⇔ XT AX + BX + µ = 0, (1)

X ∈ R2, µ ∈ R, B → 1 × 2, A → matriz simetrica, nao nula, 2 × 2

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Teorema: Toda a matriz simetrica e diagonalizavel atraves de uma

matriz P ortogonal, i.e.,

P −1 A P = D → diagonal

com P −1 = P T .

NOTA: P tem por colunas vectores proprios de A que constituem

uma base ortonormada de Rn.

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Teorema: Toda a matriz simetrica e diagonalizavel atraves de uma

matriz P ortogonal, i.e.,

P −1 A P = D → diagonal

com P −1 = P T .

NOTA: P tem por colunas vectores proprios de A que constituem

uma base ortonormada de Rn.

A diagonalizacao da matriz A vai permitir simplificar (1)!

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Exemplo 1

x2 + y2 + 4xy + 2x − 2y − 6 = 0 (E1)

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Exemplo 1

x2 + y2 + 4xy + 2x − 2y − 6 = 0 (E1)

X =

x

y

A =

1 2

2 1

B = (2 − 2)

XT AX + BX − 6 = 0 (E1)

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Diagonalizacao de A

Valores proprios de A:

det (λI2 − A) = 0 ⇔ · · · ⇔ λ = 3 ∨ λ = −1

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Diagonalizacao de A

Valores proprios de A:

det (λI2 − A) = 0 ⇔ · · · ⇔ λ = 3 ∨ λ = −1

Vectores proprios

λ = 3 →

√2

2√2

2

λ = −1 →

√2

2

−√

22

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

P =

√2

2

√2

2√2

2−

√2

2

e tal que

P −1 = P T =

√2

2

√2

2√2

2−

√2

2

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

P =

√2

2

√2

2√2

2−

√2

2

e tal que

P −1 = P T =

√2

2

√2

2√2

2−

√2

2

e

P T A P =

3 0

0 −1

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Fazendo X = P Y com Y =

x′

y′

, (E1) fica

Y T P T A P︸ ︷︷ ︸ Y + B P︸ ︷︷ ︸ Y − 6 = 0 ⇔ 3 0

0 −1

(0 2√

2)

⇔ 3 x′2 − y′2 + 2√

2 y′ − 6 = 0 (E2)

Mais simples que (E1) pois nao tem termos “cruzados”!

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Voltando a equacao geral das conicas...

Seja P tal que

P T A P =

λ1 0

0 λ2

,

onde os valores proprios λ1 e λ2 (de A) estao ordenados do seguinte

modo:

• λ1 ≥ λ2 se forem nao nulos

• se existir um valor proprio nulo, λ2 = 0 sera esse valor proprio

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Fazendo X = PY , Y =

x′

y′

, B P = (δ′ η′) em

XT AX + BX + µ = 0, (1)

obtemos

Y T P T A P Y + B P Y + µ = 0

⇔ (x′ y′)

λ1 0

0 λ2

x′

y′

+ (δ′ η′)

x′

y′

+ µ = 0

⇔ λ1 x′2 + λ2 y′2 + δ′x′ + η′y′ + µ = 0 (2)

Eliminacao do termo cruzado, i.e., em “xy” !〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Exemplo 1 (continuacao):

3x′2 − y′2 + 2√

2y′ − 6 = 0 ⇔

3x′2 − (y′2 − 2√

2y′) − 6 = 0 ⇔

3x′2 − (y′2 − 2√

2y′ + 2) + 2 − 6 = 0 ⇔

3 x′︸︷︷︸2 − (y′ −√

2︸ ︷︷ ︸)2 = 4 ⇔

x′′ y′′

x′′2

43

−y′′2

4= 1 Hiperbole

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Exemplo 2:

2x2 + y2 + 3x + 4y + 1 = 0 ⇔

2(x2 +3

2x +

9

16) −

9

8+ (y2 + 4y + 4) − 4 + 1 = 0 ⇔

2(x +3

4)2 + (y + 2)2 =

33

8⇔

2×833

(x +3

4︸ ︷︷ ︸)2 + 833

(y + 2︸ ︷︷ ︸)2 = 1 ⇔

x′ y′

x′2

3316

+y′2

338

= 1 Elipse

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Exemplo 3:

2x2 + y2 + 3x + 4y + 10 = 0 ⇔

2(x2 +3

2x +

9

16) −

9

8+ (y2 + 4y + 4) − 4 + 10 = 0 ⇔

2(x +3

4)2 + (y + 2)2 = −

39

8Conjunto vazio

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

Exemplo 4: 2x2 + 6x + 4y + 2 = 0 ⇔

2(x2 + 3x +9

4) −

9

2+ 4y + 2 = 0 ⇔

2(x +3

2)2 + 4y −

5

2= 0 ⇔

2 (x +3

2︸ ︷︷ ︸)2 + 4 (y −5

8︸ ︷︷ ︸) = 0 ⇔

x′ y′

2x′2 + 4y′ = 0 ⇔

y′ = −1

2x′2 Parabola

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas

NOTA: Para alem da situacao ilustrada no Exemplo 3, em que se

obteve como solucao o conjunto vazio, outras situacoes de-

generadas podem ocorrer.

Exemplos:

1. x2

a2 + y2

b2 = 0 → Ponto (0, 0)

2. x2

a2 = 0 → Recta x = 0

3. x2

a2 − y2

b2 = 0 → Duas rectas, ay − bx = 0 e ay + bx = 0

〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16