Embed Size (px)
Citation preview
Algebra Lineal IIConicas
Teresa Arias Marco
En este tema estudiaremos las ecuaciones de las conicas y algunas propiedades de losespejos de forma conica. Finalmente, estudiaremos como reducir una conica a sus ejesmediante una traslacion y/o una rotacion.
Parece ser que los primeros en estudiar las conicas (o secciones conicas) fueron losgriegos. Estas curvas son todas las curvas que se pueden obtener al intersectar un plano yun cono circular doble, como se puede observar en el siguiente dibujo
Observemos que hay tres intersecciones que dan lugar a curvas degeneradas; esto es, aun punto, una recta o bien un par de rectas. Nosotros vamos a estudiar las otras curvas:circunferencia, elipse, parabola e hiperbola.
La expresion algebraica general de una conica es una ecuacion del tipo
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, (1)
con A,B,C,D,E, F ∈ R. En este tema estudiaremos primero algunos casos particularesy despues daremos unas propiedades que nos permitiran identificar la conica y reducirlaa sus ejes (hacer una rotacion a los ejes coordenados para que sean paralelos a los ejes dela conica y despues se hace una traslacion al orıgen).
1. Circunferencias
Definicion geometrica. Una circunferencia en R2 es el conjunto de puntos del plano(x, y) que estan a una distancia fija (radio) de un punto fijo (centro).
Ecuacion de una circunferencia. Sean C = (x0, y0) ∈ R2 las coordenadas del centro yun escalar positivo r > 0 el radio, entonces los puntos (x, y) que estan en la circunferenciade centro C y radio r verifican la relacion
d((x, y), (x0, y0)) =√
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r.
1
Por tanto, la ecuacion de una circunferencia en R2 con centro (x0, y0) y radio r es
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2. (2)
Si ahora desarrollamos la anterior expresion llegamos a
x2 + y2 − 2x0x− 2y0y + (x20 + y20 − r2) = 0, (3)
y si ahora escribimos f = −2x0, g = −2y0 y h = x20 + y20 − r2, se tiene que
x2 + y2 + fx+ gy + h = 0. (4)
Por tanto, una ecuacion general del tipo
x2 + y2 + fx+ gy + h = 0, (5)
con la condicion que f2 + g2 − 4h > 0 es la ecuacion de una circunferencia. Para obtenerel centro y el radio basta “completar cuadrados”; esto es,(
x+f
2
)2
+(y +
g
2
)2= x2 + fx+
f2
4+ y2 + gy +
g2
4,
y ahora basta resolver la ecuacion en r
h =f2
4+g2
4− r2.
Con este proceso hemos obtenido el centro de la circunferencia (−f2 ,−g2 ) y el radio r =√
f2
4 + g2
4 − h.
Teorema. La ecuacion x2 + y2 + fx+ gy + h = 0 con f2 + g2 − 4h > 0 es la ecuacion de
una circunferencia de centro (−f2 ,−
g2) y radio r =
√f2
4 + g2
4 − h.
Ejemplo. Encuentra el centro y el radio de las siguientes circunferencias:
a) x2 + y2 + 4x− 6y − 12 = 0, b) 2x2 + 2y2 + x+ y = 0.
Completando los cuadrados en las anteriores ecuaciones se sigue que
x2 + y2 + 4x− 6y− 12 = ((x+ 2)2− 4) + ((y− 3)2− 9)− 12 = (x+ 2)2 + (y− 3)2− 25 = 0,
es decir, para la primera
(x+ 2)2 + (y − 3)2 = 25, C = (−2, 3), r = 5.
con la segunda, en primer lugar podemos dividir los dos miembros por 2 y ası los coefi-cientes de x2 e y2 ya son iguales a 1,
0 = x2 + y2 +x
2+y
2= (x+
1
4)2 − (
1
4)2 + (y +
1
4)2 − (
1
4)2,
por tanto,
(x+1
4)2 + (y +
1
4)2 =
1
8, C = (−1
4,−1
4), r =
1
2√
2.
2
-0.3 -0.2 -0.1 0.1
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
Abajo: Circunferencia (x+ 14 )2 + (y + 1
4 )2 = 18 de centro (− 1
4 ,−14 ).
Arriba: Circunferencia centrada en el orıgen x2 + y2 = 18 .
Nota. Observemos que pueden darse casos en los que no se puedan completar cuadrados.Por ejemplo, la siguiente ecuacion no corresponde a ninguna circunferencia
x2 + y2 + 2x+ 2y + 3 = 0.
Si intentamos completar cuadrados llegamos a
0 = x2 + y2 + 2x+ 2y + 3 = ((x+ 1)2 − 1) + ((y + 1)2 − 1) + 3,
y por tanto,(x+ 1)2 + (y + 1)2 = −1,
es decir, r2 = −1 y ello es imposible.
2. Elipse
Definicion geometrica. Se denomina elipse al conjunto de puntos de R2 tales que lasuma de las distancias a dos puntos fijos (focos) del plano es constante.
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
F1
2F
C
Elipse de ecuacion x2
9 + y2
4 = 1.
Terminologıa. Los puntos F1 y F2 se denominan focos de la elipse. El segmento de larecta que pasa por los focos se denomina eje mayor de la elipse. El segmento de la rectaperpendicular al eje mayor que pasa por el punto medio entre los focos recibe el nombrede eje menor. Los puntos de interseccion entre la elipse y sus ejes son vertices de la elipse.El punto de interseccion de los dos ejes, es decir, el punto medio entre los focos, C, es el
3
centro. El cociente entre la distancia entre los focos y la distancia entre los vertices, quemas adelante se escribira c
a , se denomina excentricidad de la elipse y se representara pore = c
a .
2.1. Deduccion de la ecuacion de la elipse
Suponemos que el eje mayor de la elipse es el eje de abscisas, y que el centro es el origende coordenadas. Es decir, los focos tienen como coordenadas F1 = (−c, 0) y F2 = (c, 0).Para simplificar, escribiremos k = 2a. Queremos determinar los puntos P , de coordenadasP = (x, y), que verifiquen la condicion d(P, F1) + d(P, F2) = 2a.
Por una parte,
d(P, F1) = d((x, y), (−c, 0)) =√
(x+ c)2 + (y − 0)2 =√
(x+ c)2 + y2.
y por otra,
d(P, F2) = d((x, y), (c, 0)) =√
(x− c)2 + (y − 0)2 =√
(x− c)2 + y2.
Por tanto, la condicion de definicion de la elipse se transforma en√(x+ c)2 + y2 +
√(x− c)2 + y2 = 2a.
Pasemos el segundo termino del primer miembro al segundo miembro y elevemos al cua-drado con el objeto de eliminar una raız cuadrada
(x+ c)2 + y2 = 4a2 + (x− c)2 + y2 − 4a√
(x− c)2 + y2.
Desarrollando cuadrados y eliminando terminos obtenemos
a2 − cx = a√
(x− c)2 + y2.
Volvemos a calcular cuadrados con el objeto de eliminar la segunda raız cuadrada
a4 − 2a2cx+ c2x2 = a2(x2 − 2cx+ c2 + y2).
Ecuacion que se reduce a
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2),
y que tambien se puede escribir como
x2
a2+ y2
b2= 1, (6)
donde b2 = a2 − c2.
Resumen. Si los focos de la elipse son F1 = (−c, 0) y F2 = (c, 0) entonces los elementosde la elipse se pueden calcular con las relaciones
b2 = a2 − c2 , e =c
a,
4
donde e es la excentricidad. Ademas, los vertices son (−a, 0), (a, 0), (0,−b) y (0, b).
Nota. Si el centro de la elipse es el punto (x0, y0) y los ejes son paralelos a los ejescoordenados, entonces la ecuacion general es
(x−x0)2a2
+ (y−y0)2b2
= 1.
Nota. El caso particular de elipse con a2 = b2 corresponde a una circunferencia. Obser-vemos que en este caso, c = 0, los dos focos son el mismo punto: el centro de la elipse, queahora es el centro de la circunferencia, y que la excentricidad es nula.
Una ecuacion del tipo
Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, (7)
con A 6= C, pero del mismo signo es, en general, la ecuacion de una elipse. Con el objetode obtener el centro y los ejes basta “completar cuadrados”. Vamos a ver como hacerlocon un ejemplo.Ejemplo. Encuentra el centro y los elementos de la siguiente conica:
9x2 + 4y2 + 36x− 8y + 4 = 0.
Al completar cuadrados se tiene que
9(x2 + 4x+ 4− 4) + 4(y2 − 2y + 1− 1) + 4 = 9(x+ 2)2 + 4(y − 1)2 − 36 = 0,
y por tanto, 9(x+ 2)2 + 4(y − 1)2 = 36, que podemos escribir como
(x+ 2)2
4+
(y − 1)2
9= 1.
Por tanto, el centro es (−2, 1), a = 2, b = 3 y c se obtiene de la relacion b2 − a2 = c2; esdecir, c =
√5.
2.2. Espejos elıpticos
Una propiedad de las elipses es que si en uno de los focos colocamos una fuentede luz o de sonido, entonces, los rayos reflejados sobre la elipse pasan todospor el otro foco. En este principio, que ahora demostraremos, se basa la construccionde algunas salas que permiten escuchar una conversacion que esta teniendo lugar en unode los focos, por un espıa situado en el otro foco.
Lo primero que hemos de hacer es calcular la recta tangente a la elipse en un punto.
Consideremos una elipse de ecuacion x2
a2+ y2
b2= 1 y vamos a calcular la recta tangente en
un punto (x0, y0) de la elipse.
5
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
Espejo elıptico con x2
9 + y2
4 = 1.
Derivando la misma ecuacion de la conica, considerando y funcion de x, tenemos que2xa2
+ 2yy′
b2= 0; es decir, y′ = − b2x
a2y. Por tanto, la recta tangente tiene como ecuacion
y − y0 = −b2x0a2y0
(x− x0).
Un vector director de la recta tangente es vtg = (1,− b2x0a2y0
). La recta incidente es la
recta que pasa por el primer foco F1 = (−c, 0) y por el punto P = (x0, y0). Por tanto, unvector director de la recta incidente es vF1P = (x0 + c, y0).
Queremos comprobar que el rayo reflejado pasa por el otro foco de la elipse, o dichode otra manera, que la recta que une el punto de incidencia, P = (x0, y0) con el otro focoF2 = (c, 0) forma con la recta tangente el mismo angulo que la recta incidente.
Un vector director de la recta que une P y F2 es vF2P = (x0−c, y0). Lo que resta hacerahora es calcular los angulos que forman los paralelos de vectores vF1P , vtg y vF2P , vtg ycomprobar que son el mismo angulo.
El coseno del angulo definido por vF1P y vtg es
vF1P .vtg|vF1P ||vtg|
=x0 + c− b2x0
a2y0y0√
1 + ( b2x0a2y0
)2√
(x0 + c)2 + y20
.
El coseno del angulo definido por vF2P y vtg es
vF2P .vtg|vF2P ||vtg|
=x0 − c− b2x0
a2y0y0√
1 + ( b2x0a2y0
)2√
(x0 − c)2 + y20
.
Simplificando los numeradores de ambas expresiones y teniendo en cuenta que a2−b2 =c2, llegamos a que los numeradores se pueden escribir como
c
a2(x0c+ a2),
c
a2(x0c− a2).
Por tanto, los cosenos coincidiran si
x0c+ a2√(x0 + c)2 + y20
=x0c− a2√
(x0 − c)2 + y20.
6
Con el objeto de probar que esta expresion es cierta, elevamos al cuadrado, reducimosal mismo denominador, y obtenemos
(x0c− a2)((x0 − c)2 + y20) = (x0c− a2)((x0 + c)2 + y20).
Haciendo operaciones, llegamos a
(a2 − c2)x20 + a2y20 = a2(a2 − c2),
que se puede escribir comox20a2
+y20b2
= 1 y esta relacion es cierta puesto que el punto (x0, y0)es un punto de la elipse. Es decir, coinciden los cosenos de los angulos y por tanto tambienlos angulos, tal como querıamos demostrar.
3. Hiperbola
Definicion geometrica. Sean F1 y F2 dos puntos distintos del plano y sea k un numeroreal positivo menor que la distancia que los separa. El conjunto de los puntos del plano Ptales que
|d(P, F1)− d(P, F2)| = k
se denomina hiperbola.
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
F F1 2
V1
2V
Hiperbola de ecuacion x2
16 −y2
9 = 1.
Terminologıa. Los puntos F1 y F2 se denominan focos de la hiperbola. La recta quepasa por los focos determina dos puntos en la hiperbola que se denominan vertices de lahiperbola. El segmento de recta que une los dos vertices recibe el nombre de eje transversal.El punto medio entre los focos, es el centro.
3.1. Deduccion de la ecuacion de la hiperbola
Suponemos que el eje transversal de la hiperbola es el eje de abscisas, y que el centroes el origen de coordenadas; es decir, los focos tienen como coordenadas (−c, 0) y (c, 0).Para simplificar, supondremos que la diferencia entre las distancias a los focos es k =2a. Queremos determinar los puntos P = (x, y), que cumplan la condicion |d(P, F1) −d(P, F2)| = 2a.
7
Como se ve facilmente, la condicion de definicion de la hiperbola se transforma en√(x+ c)2 + y2 −
√(x− c)2 + y2 = ±2a.
Pasamos el segundo termino del primer miembro al segundo miembro y elevamos al cua-drado con el objeto de eliminar una raız cuadrada.
(x+ c)2 + y2 = 4a2 + (x− c)2 + y2 ± 4a√
(x− c)2 + y2.
Desarrollando cuadrados y eliminando terminos, obtenemos
−a2 + cx = ±a√
(x− c)2 + y2.
Volvamos a calcular cuadrados con el objeto de eliminar la segunda raız cuadrada.
a4 − 2a2cx+ c2x2 = a2(x2 − 2cx+ c2 + y2).
Ecuacion que se reduce a
(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2),
que tambien se puede escribir como
x2
a2− y2
b2= 1, (8)
donde b2 = c2 − a2.
La misma figura de la hiperbola nos sugiere que su grafica esta comprendida entre lasrectas
y =b
ax y y = − b
ax.
Estas rectas reciben el nombre de asıntotas de la hiperbola.
Nota. Si el centro de la hiperbola es el punto (x0, y0) entonces la ecuacion que define lahiperbola es
(x−x0)2a2
− (y−y0)2b2
= 1.
En general, una ecuacion del tipo
Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0,
donde se verifica que A y C NO son del mismo signo es la que define una hiperbola. Conel objeto de llegar a saber los elementos de la hiperbola es preciso completar cuadrados.
Ejemplo. Encuentra los elementos de la siguiente hiperbola
x2 − 4y2 + 2x+ 8y − 7 = 0,
que se puede escribir como
0 = (x2 + 2x+ 1− 1)− 4(y2 − 2y + 1− 1)− 7 = (x+ 1)2 − 4(y − 1)2 − 4,
esto es, (x+ 1)2 − 4(y − 1)2 = 4, y tambien
(x+ 1)2
4− (y − 1)2
1= 1.
Por tanto, el centro es (−1, 1) y a = 2, b = 1.
8
3.2. Espejos hiperbolicos
Como no podıa ser de otra manera, las hiperbolas tambien tienen una propiedad ca-racterıstica como espejos. Esta propiedad es que si en uno de los focos ponemos unafuente de luz o sonido, entonces, los rayos reflejados sobre la otra rama de lahiperbola parecen provenir de una fuente de luz o sonido situada en el otrofoco.
-6 -4 -2 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
Espejo hiperbolico de ecuacion x2
16 −y2
9 = 1.
La demostracion de esta propiedad se deja como ejercicio al lector interesado.
4. Parabola
Defincion geometrica. Sea ` una recta en el plano afın R2 y sea F un punto que no estaen la recta. Una parabola es el lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan dela recta ` y del punto F . Es decir, un punto P es un punto de la parabola si
d(P, `) = d(P, F ).
-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
-1
1
2
F
directriu
V
Parabola y2 = 2x con foco F = ( 12 , 0).
Terminologıa. El punto F se denomina foco de la parabola y la recta ` recibe el nombrede recta directriz. La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la recta directriz sedenomina eje de la parabola. El punto interseccion entre la parabola y su eje es el verticede la parabola.
9
4.1. Deduccion de la ecuacion de la parabola
Quizas sea necesario recordar como se calcula la distancia de un punto a una recta. Sila recta ` esta dada por la ecuacion Ax+By+C = 0 y el punto P tiene como coordenadas(x0, y0), entonces,
d(P, `) =|Ax0 +By0 + C|√
A2 +B2.
Suponemos que el eje de la parabola es el eje de abscisas y que el vertice es el origende coordenadas. Es decir, el foco tiene como coordenadas ( c2 , 0) y la recta directriz tienecomo ecuacion x = − c
2 . Queremos determinar los puntos P = (x, y), que verifiquen lacondicion d(P, `) = d(P, F ).
Por una parte,
d(P, F ) = d((x, y), (c
2, 0)) =
√(x− c
2)2 + (y − 0)2 =
√(x− c
2)2 + y2.
Por otra parte, d(P, `) = d((x, y), x+ c2 = 0) =
|1·x+0·y+ c2|√
12+02= |x+ c
2 |. Por tanto, la condicion
de definicion de la parabola se transforma en√(x− c
2)2 + y2 = |x+
c
2|.
Elevamos al cuadrado con el objeto de eliminar tanto la raız cuadrada como el valorabsoluto.
(x− c
2)2 + y2 = |x+
c
2|2 = (x+
c
2)2 = x2 + xc+
c2
4.
Desarrollamos ahora el primer miembro y eliminamos terminos. El resultado es la ecuacionde la parabola con vertice el origen y foco en el punto ( c2 , 0),
y2 = 2cx. (9)
Nota. Si el vertice de la parabola es el punto (x0, y0) entonces la ecuacion es
(y − y0)2 = 2c(x− x0).
Nota. Si el foco estuviera en el eje y (punto (0, c2)), entonces la ecuacion serıa
x2 = 2cy.
Nota. Si tenemos una ecuacion de una conica en la cual no aparece o bien el termino enx2 o bien el termino en y2, entonces es probable que la conica sea una parabola y que seapreciso completar cuadrados con el objeto de obtener sus elementos. Por ejemplo,
y = x2 + 4x,
10
se puede escribir como
y = (x2 + 4x+ 4)− 4 = (x+ 2)2 − 4,
y ahora como (x+ 2)2 = y + 4, o bien
(x+ 2)2 = 2 · 1
2(y + 4),
es decir, el centro es (−2,−4) y c = 12 .
4.2. Espejos parabolicos
Una propiedad de las parabolas es que si un haz de rayos paralelos al eje de laparabola, incide sobre la conica, entonces, los rayos reflejados pasan todos porel foco. En este principio, que ahora demostraremos, esta basado el funcionamiento de lasantenas parabolicas tan abundantes desde hace unos anos. Las emisiones desde el satelitegeoestacionario se concentran en el receptor que esta situado en el foco.
El principio geometrico de la reflexion de la luz dice, como es bien conocido, que elangulo de reflexion es igual al angulo de incidencia. El angulo entre una recta y una curvaes el angulo que forman la recta y la recta tangente a la curva en el punto interseccion.Por tanto, lo primero que hemos de hacer es calcular la recta tangente a la parabola enun punto.
Consideremos una parabola de ecuacion y2 = 2cx, con c > 0. Queremos calcular larecta tangente en un punto (x0, y0) de la parabola. Derivando implıcitamente (pensandola y como funcion de x) obtenemos que 2y · y′ = 2c, y por tanto, y′ = 2c
2y = | c√2cx|. La
recta tangente tiene como ecuacion
y − y0 =c√
2cx0(x− x0), si x0 > 0.
Espejo parabolico de ecuacion y2 = 2x.
11
Observemos que un vector director de la recta tangente es vtg = (1, c√2cx0
), y que la
recta incidente es paralela al eje de la parabola, que en este caso coincide con el eje x. Portanto, un vector director de la recta incidente es vluz = (1, 0).
Queremos comprobar que el rayo reflejado pasa por el foco de la parabola; es decir,que la recta que une el punto de incidencia, P = (x0, y0) con el foco F = ( c2 , 0) forma conla recta tangente el mismo angulo que la recta incidente.
Un vector director de la recta que une P y F es vFP = (x0 − c2 , y0). Ahora, lo que
falta es calcular los angulos que forman los paralelos de los vectores vluz, vtg y vFP , vtg ycomprobar que son el mismo angulo.
Por una parte, el coseno del angulo definido por vluz y vtg es
cosβ =vluz.vtg|vluz||vtg|
=1√
1 + ( c√2cx0
)2=
1
|vtg|.
Por otra parte, el coseno del angulo definido por vFP y vtg es
cosα =vFP .vtg|vFP ||vtg|
=(x0 − c
2) + c√2cx0
(y0)
|vtg|√
(x0 − c2)2 + y20
.
Puesto que el punto (x0, y0) es un punto de la parabola, ello quiero decir que y20 = 2cx0,y lo sustituımos en la expresion
(x0 −c
2)2 + y20 = (x0 −
c
2)2 + 2cx0 = (x0 +
c
2)2.
Por otra parte,
(x0 −c
2) +
c√2cx0
(y0) = (x0 −c
2) +
c√2cx0
(√
2cx0) = x0 +c
2.
Por tanto, el coseno del angulo definido por vFP y vtg es
cosα =(x0 + c
2)
|vtg|√
(x0 + c2)2
=1
|vtg|,
es decir, coincide con el coseno del angulo definido por vluz y vtg, tal como se querıademostrar.
Observemos que con ello, hemos demostrado que todos los rayos reflejados por laparabola pasan por el foco de la misma.
5. Excentricidad
Las tres conicas no degeneradas (parabola, elipse, hiperbola) se pueden definir como:El conjunto de puntos de R2 que satisfacen que la distancia de un punto P a un puntofijo (foco) es un multiplo (excentricidad) de la distancia de P a una recta fija (directriz).
Las diferentes conicas se obtienen con diferentes valores de la excentricidad:
Circunferencia, si e = 0.
12
Elipse, si 0 < e < 1. Se puede probar que si la elipse esta centrada en el origenentonces el foco tiene como coordenadas F = (ae, 0) y la recta directriz es x = a
e .La ecuacion resultante es la dada en (6).
Parabola, si e = 1. Recordemos que eran los puntos del plano que estaban a la mismadistancia del foco y de una recta. La ecuacion resultante es la dada en (9)
Hiperbola, si e > 1. Se puede probar que si la hiperbola esta centrada en el origen,entonces el foco tiene como coordenadas F = (ae, 0) y la recta directriz es x = a
e .La ecuacion resultante es la dada en (8).
Recordemos que la excentricidad se ha definido como e = ca , por tanto, las expresiones
de los focos F = (ae, 0) = (c, 0) son las que hemos utilizado anteriormente al estudiar cadatipo de conica por separado.
6. Tipo de conica
El objetivo de este apartado es mostrar como determinar de una manera sencilla quetipo de conica tenemos si lo que conocemos es una ecuacion de segundo grado en x e y; esdecir, el dato es una ecuacion de la forma
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, (10)
donde A,B,C,D,E, F ∈ R.Para conseguir este objetivo en primer lugar debemos asociar a (10) la matriz
Υ =
A B/2 D/2B/2 C E/2D/2 E/2 F
.
Teorema. Si denotamos por
τ = A+ C,
δ =
∣∣∣∣ A B/2B/2 C
∣∣∣∣ = AC −B2/4,
y
∆ = det(Υ),
obtenemos que
τ∆, δ y el hecho de que ∆ sea cero o no,
son invariantes de una curva de segundo orden (10) al realizar traslaciones y rotaciones enel plano.
13
Propiedad. La conica de ecuacion Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, es una
δ > 0 ∆ 6= 0 τ∆ < 0. Elipse x2
a2+ y2
b2= 1
τ∆ > 0. Elipse imaginaria x2
a2+ y2
b2= −1
Curva de tipoelıptico
∆ = 0 Punto (o dos rectas imaginariasque se cortan en ese punto) a2x2 + y2 = 0
δ < 0 ∆ 6= 0 Hiperbola x2
a2− y2
b2= 1
Curva de tipohiperbolico ∆ = 0 Dos rectas que se cortan −a2x2 + y2 = 0
δ = 0 ∆ 6= 0 Parabola y2 = 2cx
Curva de tipo ∆ = 0 Dos rectas paralelas (distintas, y2/b2 = 1parabolico confundidas y2 = 0
o imaginarias) −y2/b2 = 1
Corolario. Sea Λ = 4AC−B2. La conica de ecuacion Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0,es, salvo en casos degenerados, una
parabola si Λ = 0.
elipse si Λ > 0.
hiperbola si Λ < 0.
Demostracion. Notar que Λ = 4δ.
Ejemplo Comprobar que las siguientes conicas son
1. 3x2 − 6xy + 3y2 + 2x− 7 = 0, parabola.
2. x2 + xy + y2 − 1 = 0, elipse.
3. xy − y2 − 5y + 1 = 0, hiperbola.
14
7. Traslaciones y rotaciones en el plano
7.1. Traslaciones.
Sea v = (a, b) un vector de R2. La traslacion de vector v es la aplicacion Tv : R2 → R2
definida porTv(x, y) = (x, y) + (a, b) = (x+ a, y + b).
Ejemplo. Consideremos una parabola de ecuacion y = 2x2. Es decir, el conjunto depuntos del plano (x, y) que verifican la ecuacion y = 2x2. ¿Cual es la ecuacion de laparabola despues de hacer una traslacion de vector v = (2, 3)?
Entonces, un punto (x, y) sera un punto de la parabola trasladada si existe un puntode la parabola inicial (x0, y0) tal que
(x, y) = Tv(x0, y0) = (x0 + 2, y0 + 3).
Por tanto, x0 = x−2 e y0 = y−3. Es decir, (x, y) sera un punto de la parabola trasladadasi el punto (x− 2, y − 3) es un punto de la parabola inicial; es decir, si
y − 3 = 2(x− 2)2.
Despues de hacer operaciones, la ecuacion de la parabola trasladada es y = 2x2−8x+11.
Traslacion de y = 2x2 (izq.) a y = 2x2 − 8x+ 11(der.)
Nota. El proceso inverso consiste en completar los cuadrados con el objeto de determinarel vector de traslacion. Un ejemplo de como hacer esto es el siguiente.
Ejemplo. La ecuacion x2
2 + 2x + y2 − 2y + 2 = 0 corresponde a una elipse trasladada.Determina el vector de la traslacion.
15
Vamos a completar los cuadrados,
x2
2+ 2x+ y2 − 2y + 2 =
1
2(x2 + 4x+ 4)− 2 + (y2 − 2y + 1)− 1 + 2
=1
2(x+ 2)2 + (y − 1)2 − 1
es decir, la ecuacion se puede escribir como
(x+ 2)2
2+ (y − 1)2 = 1.
Entonces es bien facil deducir que el vector translacion es el vector v = (−2, 1) y quela ecuacion de la elipse original es
x2
2+ y2 = 1.
7.2. Rotaciones.
Una rotacion centrada en el origen de angulo θ (en sentido contrario a las agujas delreloj) es una aplicacion lineal Rθ : R2 → R2 definida por
Rθ(x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ).
En forma matricial, la rotacion de angulo θ se escribe como
Rθ(x, y) =
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(xy
).
Propiedades 7.1. Algunas propiedades de las rotaciones centradas en el origen son:
1. La composicion de dos rotaciones de angulos θ1 y θ2 es otra rotacion de angulo lasuma θ1 + θ2.
2. La rotacion de angulo 0 es la aplicacion identidad.
3. La rotacion de angulo −θ es la aplicacion inversa de la rotacion de angulo θ; enefecto Rθ ◦R−θ = R0 = Id.
Ejemplo. Consideremos otra vez la parabola de ecuacion y = 2x2; es decir, el conjuntode puntos (x, y) que verifican la ecuacion y = 2x2. ¿ Cual es la ecuacion de la paraboladespues de hacer una rotacion de angulo π
3 ?Un punto (x, y) sera un punto de la parabola girada si existe un punto de la parabola
inicial (x0, y0) tal que(x, y) = Rπ
3(x0, y0).
16
Por tanto,
(x0, y0) = R−π3(x, y) =
(cos(−π
3 ) − sin(−π3 )
sin(−π3 ) cos(−π
3 )
)(xy
)=
(cos π3 sin π
3− sin π
3 cos π3
)(xy
)=
(12
√32
−√32
12
)(xy
)= (
1
2x+
√3
2y,−√
3
2x+
1
2y).
Es decir, (x, y) sera un punto de la parabola girada si el punto (12x+√32 y,−
√32 x+ 1
2y)es un punto de la parabola inicial; es decir, si
−√
3
2x+
1
2y = 2(
1
2x+
√3
2y)2.
Despues de hacer operaciones, la ecuacion de la parabola girada es
x2 + 2√
3xy + 3y2 +√
3x− y = 0.
Rotacion de 60◦ = π3 desde y = 2x2 (der.) a x2 + 2
√3xy + 3y2 +
√3x− y = 0.(izq.)
El proceso inverso; es decir, dada la ecuacion de la conica despues de la rotacion,determinar el angulo de rotacion y la ecuacion de la conica original, no es un problematan sencillo como en el caso de la traslacion.
En principio, la ecuacion de una conica tiene la forma
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0,
donde A,B,C,D,E, F son numeros reales. Nos interesarıa en primer lugar, encontrar unarotacion de manera que en la ecuacion de la conica girada no hubiera termino en xy, ya
17
que ello equivaldrıa a decir que los ejes de la conica son paralelos a los ejes coordenados;es decir, buscamos un angulo θ tal que si hacemos la sustitucion
(x, y) =
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(XY
)= (X cos θ − Y sin θ,X sin θ + Y cos θ)
en la ecuacion de la conica, el resultado sea una expresion que ya no tiene termino en XY .Con el objeto de determinar el angulo, sustituimos en la ecuacion y calculamos solo el
termino en XY . Este termino es
−2A cos θ sin θ +B(cos2 θ − sin2 θ) + 2C cos θ sin θ.
Aplicando las formulas trigonometricas de los angulos dobles, la expresion se puedereducir a
(C −A) sin(2θ) +B cos(2θ).
Recordemos que nos interesa determinar θ para que este coeficiente de XY sea cero.Tenemos dos posibilidades:
La primera, que C = A, en este caso, el coeficiente es B cos(2θ). Dicho coeficientesera cero si cos(2θ) = 0 (recordemos que B 6= 0), por tanto una posible eleccion paraθ es π
4 .
La segunda posibilidad, que C 6= A. En este caso, el coeficiente del termino XY seraigual a cero si y solo si B
A−C = tan(2θ). Es decir, si θ = 12 arctan ( B
A−C ).( O tambien
se puede hacer con la cotangente, A−CB = cot(2θ).)
En resumen,
• si C = A, entonces θ =π
4,
• si C 6= A, entonces θ =1
2arctan (
B
A− C).
Ejemplo. Eliminar el termino xy en la ecuacion xy − 2 = 0.Puesto que A = 0 = C, la eleccion que hemos de hacer es θ = π
4 . Por tanto, lasustitucion es
(x, y) =
(cos π4 − sin π
4sin π
4 cos π4
)(XY
)=
(√2
2X −
√2
2Y,
√2
2X +
√2
2Y
).
O de otra manera,
x =
√2
2(X − Y ), y =
√2
2(X + Y ).
Hacemos la sustitucion en xy − 2 = 0 y nos queda(√2
2(X − Y )
)(√2
2(X + Y )
)− 2 = 0.
18
Despues de algunas operaciones,
1
2(X2 − Y 2)− 2 = 0,
que tambien se puede escribir como
X2
4− Y 2
4= 1.
Es decir, la ecuacion original corresponde a una hiperbola girada un angulo de π4 .
Ejemplo Eliminar el termino xy en la ecuacion 11x2 + 4√
3xy + 7y2 − 1 = 0.
Puesto que A = 11 6= 7 = C, la eleccion que hemos de hacer es θ = 12arctan ( 4
√3
11−7) =12arctan (
√3) = 1
2π3 = π
6 . Por tanto, la sustitucion es
(x, y) =
(cos π6 − sin π
6sin π
6 cos π6
)(XY
)= (
√3
2X − 1
2Y,
1
2X +
√3
2Y ).
O de otra manera,
x =1
2(√
3X − Y ), y =1
2(X +
√3Y ).
Hacemos la sustitucion en 11x2 + 4√
3xy + 7y2 − 1 = 0 y, despues de hacer simplifica-ciones obtenemos la expresion
13X2 + 5Y 2 − 1 = 0,
que tambien se puede escribir como
X2
( 1√13
)2+
Y 2
( 1√5)2
= 1.
Es decir, la ecuacion original corresponde a una elipse girada un angulo de π6 .
8. Reduccion de una conica a sus ejes
Una vez se ha eliminado el termino en xy, puede suceder que no se haya llegadoa una conica con centro en el origen de coordenadas. Cabrıa, por tanto, hacer todavıauna traslacion con el objeto de llegar a una conica en posicion estandar. El proceso deencontrar primero la rotacion y despues la traslacion que permitan llegar a una ecuacionde una conica en posicion estandar se denomina reduccion de la conica a sus ejes.
19
9. Pasos a seguir para identificar una Conica. (Resumen)
Dada una expresion algebraica general de una conica
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, (11)
con A,B,C,D,E, F ∈ R, para identificar de que conica se trata y ası poder identificar suselementos y dibujarla debemos realizar los pasos siguientes:
Paso 1. Identificacion de la conica.Recordar que Λ = 4δ = 4AC −B2 y que
Si Λ > 0 entonces (11) es una elipse salvo casos degenerados,
Si Λ < 0 entonces (11) es una hiperbola salvo casos degenerados,
Si Λ = 0 entonces (11) es una parabola salvo casos degenerados.
Mas explıcitamente, siendo ∆ = det
A B/2 D/2B/2 C E/2D/2 E/2 F
y τ = A+ C.
δ > 0 ∆ 6= 0 τ∆ < 0. Elipse x2
a2+ y2
b2= 1
τ∆ > 0. Elipse imaginaria x2
a2+ y2
b2= −1
Curva de tipoelıptico
∆ = 0 Punto (o dos rectas imaginariasque se cortan en ese punto) a2x2 + y2 = 0
δ < 0 ∆ 6= 0 Hiperbola x2
a2− y2
b2= 1
Curva de tipohiperbolico ∆ = 0 Dos rectas que se cortan −a2x2 + y2 = 0
δ = 0 ∆ 6= 0 Parabola y2 = 2cx
Curva de tipo ∆ = 0 Dos rectas paralelas (distintas, y2/b2 = 1parabolico confundidas y2 = 0
o imaginarias) −y2/b2 = 1
20
Paso 2. Obtener B = 0 en (11).Para ello, primero elegimos un angulo θ ∈]− π
4 ,π4 ] de la forma siguiente:
θ = 12 arctan( B
A−C ) si A− C 6= 0.
θ = π4 si A− C = 0.
Despues, realizamos la siguiente sustitucion
(x, y) =
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(XY
)= (X cos θ − Y sin θ,X sin θ + Y cos θ).
Por tanto, sabemos que la ecuacion original (11) es una conica girada un angulo θ.Por supuesto, si B = 0 pasarıamos directamente al paso 3 puesto que eso nos indica
que (11) es una conica que no esta girada.
Paso 3. Reducir la ecuacion (11) con B = 0 a la ecuacion de una conica conocida.Para ello, se completan cuadrados y es importante recordar lo hechos siguientes de
cada una de las posibles conicas:
Elipse
Si el centro de la elipse es el punto (x0, y0) y los ejes son paralelos a los ejes coorde-nados, entonces la ecuacion general es
(x−x0)2a2
+ (y−y0)2b2
= 1.
Mas aun,
• si a2 > b2. Es decir, si a es la longitud del semiejemayor y b la longitud delsemiejemenor entonces se cumple que c2 = a2 − b2 y que la excentricidad 0 <e = c
a < 1. Aquı, c > 0. Ası, los focos de la elipse son F1 = (x0, y0) − (c, 0),F2 = (x0, y0)+(c, 0) y los vertices son V1 = (x0, y0)−(a, 0), V2 = (x0, y0)+(a, 0),V3 = (x0, y0)− (0, b) y V4 = (x0, y0) + (0, b).
21
• si a2 < b2. Es decir, si a es la longitud del semiejemenor y b la longitud delsemiejemayor entonces se cumple que c2 = b2 − a2 y que la excentricidad 0 <e = c
b < 1. Aquı, c > 0. Ası, los focos de la elipse son F1 = (x0, y0) − (0, c),F2 = (x0, y0)+(0, c) y los vertices son V1 = (x0, y0)−(0, b), V2 = (x0, y0)+(0, b),V3 = (x0, y0)− (a, 0) y V4 = (x0, y0) + (a, 0).
• si a2 = b2 entonces la conica se corresponde con una circunferencia de radior = a. En este caso, c = 0. Ası, la excentricidad e = 0 y los dos focos son elmismo punto: el centro de la elipse, que ahora es el centro de la circunferencia.
Hiperbola
Si el centro de la hiperbola es el punto (x0, y0) y
• el eje transversal es paralelo al eje Ox entonces la ecuacion que define la hiperbo-la es
(x−x0)2a2
− (y−y0)2b2
= 1.
Mas aun, se cumple que c2 = a2+b2 y que la excentricidad e = ca > 1. Aquı, c >
0. Ası, los focos de la hiperbola son F1 = (x0, y0)− (c, 0), F2 = (x0, y0) + (c, 0),
22
los vertices son V1 = (x0, y0)− (a, 0), V2 = (x0, y0) + (a, 0) y las asıntotas de lahiperbola son las rectas de ecuacion (y−y0) = b
a(x−x0) y (y−y0) = − ba(x−x0).
• el eje transversal es paralelo al eje Oy entonces la ecuacion que define la hiperbo-la es
(y−y0)2a2
− (x−x0)2b2
= 1.
Mas aun, se cumple que c2 = a2+b2 y que la excentricidad e = ca > 1. Aquı, c >
0. Ası, los focos de la hiperbola son F1 = (x0, y0)− (0, c), F2 = (x0, y0) + (0, c),los vertices son V1 = (x0, y0)− (0, a), V2 = (x0, y0) + (0, a) y las asıntotas de lahiperbola son las rectas de ecuacion (y−y0) = a
b (x−x0) y (y−y0) = −ab (x−x0).
Notar que en cualquier caso, las asıntotas de la hiperbola coinciden con las diagonalesdel rectangulo de centro (x0, y0) y dimensiones 2a y 2b.
23
Parabola
Si el centro o vertice de la parabola es el punto V = (x0, y0) y
• el eje de la parabola es paralelo al eje Ox entonces la ecuacion es
(y − y0)2 = 2c(x− x0).
Mas aun, el foco de la parabola es F = (x0, y0)+( c2 , 0) y la ecuacion de la rectadirectriz (que siempre es perpendicular al eje de la parabola) es x = x0− c
2 . Ası,dependiendo de si c < 0 o c > 0 obtenemos una de las situaciones siguientes:
• el eje de la parabola es paralelo al eje Oy entonces la ecuacion es
(x− x0)2 = 2c(y − y0).
Mas aun, el foco de la parabola es F = (x0, y0)+(0, c2) y la ecuacion de la rectadirectriz (que siempre es perpendicular al eje de la parabola) es y = y0− c
2 . Ası,dependiendo de si c < 0 o c > 0 obtenemos una de las situaciones siguientes:
En cualquier caso, la excentricidad e = 1.
24
