MA1002 C alculo II Tema 03: Secciones c onicas...MA1002 C alculo II Tema 03: Secciones c onicas Parte 01: Secciones c onicas Profesor Jesus S anchez Guevara U.C.R. I Semestre 2020

MA1002 Cálculo IITema 03: Secciones cónicas

Parte 01: Secciones cónicas

Profesor Jesús Sánchez Guevara

U.C.R.

I Semestre 2020

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 1 / 16

En esta clase

1 Graficar en el plano.

2 Parábolas, elipses y hipérbolas.

3 Cálculo de áreas de regiones.

Introducción

¿Qué son secciones cónicas?

1 Son familias de curvas del plano.

2 Muchos movimientos f́ısicos se describena partir de ellas.


o ¿Cómo graficar en el plano?

1 Se usa el sistema cartesiano.

2 Punto P “ px, yq en el plano.3 Rectas ax` by ` c “ 0. Hacer ejemplos.

Intersección de rectas

Calcule el punto donde se intersecan lasrectas:

1 L1 : 3x` 2y ` 1 “ 0.2 L2 : x` y ´ 1 “ 0

Hacer en pizarra: P “ p´3, 4q

oGeogebra:

3x+2y+1=0, x+ y-1=0, P=(-3,4)

Familias de rectas

1 Crecientes ax` by ` c “ 0, con ab ă 0.Pendiente m “ ´a{b ą 0.

2 Decrecientes ax` by ` c “ 0, con ab ą 0.Pendiente m “ ´a{b ă 0.

3 Horizontales y “ y0. Pendiente m “ 0.4 Verticales x “ x0. Pendiente m “ `8

oNota:Si en ax` by ` c “ 0, c “ 0, la rectapasa por el origen p0, 0q.

Distancia entre dos puntos

Si A “ pa1, a2q y B “ pb1, b2q son dos puntosdel plano (en coordenadas cartesianas),entonces la distancia entre ellos es:

d “ dpA,Bq “b

pb1 ´ a1q2 ` pb2 ´ a2q2

o Es consecuencia del teorema de Pitágoras.Hacer en pizarra.


Curvas en el plano

Una curva C en el plano R2 es el conjunto depuntos P “ px, yq P R2 (coordenadascartesianas) que satisfacen una ecuación de laforma:

F px, yq “ 0

En tal caso:

1 Esta ecuación se llama ecuacióncartesiana de C.

2 Se le llama gráfica de C al conjunto (y asu representación gráfica)

G “

px, yq P R2 : F px, yq “ 0(

3 Al conjunto G también se le llama lugargeométrico.

Ejemplo

1 Para la función cuadráticafpxq “ x2 ` 2x` 1:

1 F px, yq “ ´y ` x2 ` 2x` 12 G “

px, yq P R2 : ´y ` x2 ` 2x` 1 “ 0(

2 Para la recta 2x` 3y ` 1 “ 0:1 F px, yq “ 2x` 3y ` 1 “ 02 G “

px, yq P R2 : 2x` 3y ` 1 “ 0 “ 0(

oNota: No toca curva en el plano puede serdescrita con una ecuación de este tipo.

Completar cuadrados pa ą 0q

ax2 ` bx` c “ ax2 ` bx`ˆ

b

2?a

˙2

´ˆ

b

2?a

˙2

` c

“ˆ?

ax`b

2?a

˙2

´ˆ

b

2?a

˙2

` c


Ćırculo

Un ćırculo A es el conjunto de puntosP “ px, yq cuya distancia a un punto fijoC “ pa, bq es constante. Al punto C se lellama centro de A. La distancia constante rse le llama radio de A.

o Ecuación cartesiana:

DpP,Cq “ r

ôb

px´ aq2 ` py ´ bq2 “ r

ôpx´ aq2 ` py ´ bq2 “ r2 (Ec. Canónica)

Ejemplo

Identifique la curva

x2 ` y2 ` 2y ` x´ 1 “ 0

Geogebra: x^2+y^2+2y+x-1=0

Hacer en pizarra:px` 1

2q2 ` py ` 1q2 “ p3{2q2

Elipses

Sean A “ pa1, a2q y B “ pb1, b2q dos puntosfijos del plano. Una elipse E de focos A y B,es el conjunto de puntos P “ px, yq tales quela suma de las distancias a A y B es unaconstante r ě 0.

Ecuación cartesiana: dpP,Aq ` dpP,Bq “ r

b

px´ a1q2 ` py ´ a2q2

`b

px´ b1q2 ` py ´ b2q2 “ r

o Solamente estudiaremos los casos donde losfocos de la elipse se encuentran en rectasparalelas a los ejes coordenados:

1 Posición horizontal a2 “ b2.2 Posición vertical a1 “ b1.3 Si A “ B, es un ćırculo de radio r{2.


o Ecuación canónica: elipse de centroph, lq, longitud eje horizontal 2a y longitudeje vertical 2b.

px´ hq2

a2`py ´ lq2

b2“ 1

1 Centro C “ ph, lq.2 Semi-eje vertical x “ h, Semi-eje

horizontal y “ l.3 Distancia entre focos 2c “ 2

a

|a2 ´ b2|.4 Vertices verticales ph, l ` bq y ph, l ´ bq.5 Vertices horizontales ph`a, lq y ph´a, lq.

Ejemplo

Identifique las cónicas 4x2 ´ 8x` y2 “ 0 yx2 ´ 2x` 4y2 “ 0

opx´1q2

12` y

2

22“ 1 y px´1q

2

22` y

2

12“ 1.

Propiedad

1 Si a ą b:1 : La elipse está en posición horizantal.2 : c2 “ a2 ´ b2.3 : Focos en ph` c, lq y ph´ c, lq.

2 Si a ă b:1 : La elipse está en posición vertical.2 : c2 “ b2 ´ a2.3 : Focos en ph, l ` cq y ph, l ´ cq.

3 Si a “ b:1 : Es un ćırculo de centro ph, lq.2 : c “ 0.3 : Radio a “ b “ r{2.

Ejemplo

Determine las coordenadas de los focos de laselipses del ejemplo anterior.

o:Hacer en pizarra, p1,˘?

3q y p1˘?

3, 0q,respectivamente.


Ejemplo

Calcule el área entre el eje x y la mitad

superior de la elipse x2

4` y2 “ 1

Solución:

1 Esta es una elipse horizontal. Dibujar.

2 La parte superior de la elipse está dadapor la gráfica de la función:

y “

d

1´x2

4

3 El área buscada está dada por la integral:

A “ż 2

´2

d

1´x2

4dx “ 2

ż 2

0

d

1´x2

4dx

“ px “ 2 sinpθqq “ 2ż π{2

0cospθq ¨ 2 cospθqdθ

“ 2ż π{2

0p1` cosp2θqqdθ “ π

Ejemplo

Calcule el área entre las elipses:

x2

42`y2

62“ 1 y

px´ 2q2

22`y2

12“ 1

Geogebra: x*x/16+y*y/36=1

(x-2)*(x-2)/4+y*y=1

o Explicar en pizarra. Cálculo se deja comoejercicio.

Ejemplo, caso degenerado de elipse r “ 0¿Cuál es la ecuación cartesiana de la curvadada por un solo punto pn,mq?


Hipérbolas

Sean A “ pa1, a2q y B “ pb1, b2q dos puntosfijos del plano. Una hipérbola H de focos A yB, es el conjunto de puntos P “ px, yq talesque la resta de las distancias a A y B es unaconstante r ě 0.

Ecuación cartesiana:|dpP,Aq ´ dpP,Bq| “ r

|b

px´ a1q2 ` py ´ a2q2

´b

px´ b1q2 ` py ´ b2q2| “ r

o Solamente estudiaremos los casos donde losfocos de las hipérbolas se encuentran enrectas paralelas a los ejes coordenados:

1 Posición horizontal a2 “ b2.2 Posición vertical a1 “ b1.

o Ecuación canónica: hipérbolahorizontal de centro ph, lq:

px´ hq2

a2´py ´ lq2

b2“ 1

1 Centro C “ ph, lq.2 Eje vertical de simetŕıa x “ h, Eje

horizontal de simetŕıa y “ l.3 Distancia entre focos 2c “ 2

?a2 ` b2

(c2 “ a2 ` b2).4 Vertices ph` a, lq y ph´ a, lq.5 Focos ph` c, lq y ph´ c, lq.6 Semiejes: a semi-eje principal y b

semi-eje imaginario.

7 Rectas aśıntotas: y “ l ˘ bapx´ hq


o Ecuación canónica: hipérbola verticalde centro ph, lq:

´px´ hq2

a2`py ´ lq2

b2“ 1

1 Centro C “ ph, lq.2 Eje vertical de simetŕıa x “ h, Eje

horizontal de simetŕıa y “ l.3 Distancia entre focos 2c “ 2

?a2 ` b2

(c2 “ a2 ` b2).4 Vertices ph, l ` bq y ph, l ´ bq.5 Focos ph, l ` cq y ph, l ´ cq.6 Semiejes: a semi-eje imaginario y b

semi-eje principal.

7 Rectas aśıntotas: y “ l ˘ bapx´ hq

Ejemplo

Grafique las hipérbolas x2 ´ y2{4 “ 1 yx2{4´ y2 “ 1. En cada caso indique elcentro, los vértices, los focos, los ejesprincipales e imaginarios, las rectas aśıntotas.Hacer en pizarra y Geogebra

Ejemplo

Calcule el área en el primer cuadrante, entrela hipérbola x2 ´ y2 “ 1 y la recta verticaly “ 6.

Solución:

1 x2 ´ y2 “ 1 es una hipérbola horizontal.Hacer dibujo.

2 La parte superior de brazo derecho tieneecuación y “

?x2 ´ 1, para x ě 1.

3 El área es:

A “ż 6

1

a

x2 ´ 1dx „ 16 y pico.

Wolfram Alpha: \int_1^6\sqrt{x^2-1}dx

Caso degenerado r “ 0

px´ hq2{a2 ´ py ´ lq2{b2 “ 0

Son las dos rectas aśıntotas depx´ hq2{a2 ´ py ´ lq2{b2 “ 1.


Parábolas

Sean A “ pa1, a2q un punto fijo del plano y Luna recta fija. Una parábola P de foco A ydirectriz L, es el conjunto de puntosP “ px, yq que son equidistantes al punto A yla recta L.

Ecuación cartesiana:

|dpP,Lq| “ |dpP,Aq|

o Solamente estudiaremos los casos donde ladirectriz es paralela a alguno de los ejescoordenados:

1 Posición vertical: directriz x “ h.2 Posición horizontal: directriz y “ l.

Ejercicio

Determine la ecuación cartesiana de laparábola de foco A “ p1, 0q y directrizL : x “ ´1.

1 Hacer dibujo.

2

|dpP,Lq| “ |dpP,Aq||dppx, yq, p´1, yqq| “ |dppx, yq, p1, 0qq|

b

px` 1q2 ` 02 “b

px´ 1q2 ` y2

px` 1q2 “ px´ 1q2 ` y2

px` 1q2 ´ px´ 1q2 “ y2

4x “ y2

Aśı, la ecuación cartesiana es:

y2 ´ 4x “ 0


Definición

El vértice de una parábola es donde ladistancia al vértice y la directriz en mı́nima.

o En el ejemplo anterior el vértice es p0, 0q. Yla distancia mı́nima es c “ 1.

Ecuación canónica

Parábola vertical de vértice V “ pa, bq.

px´ aq2 “ 4ppy ´ bq

1 Recta directriz y “ b´ p2 Eje de simetŕıa x “ a.3 Distancia del vértice al foco c “ |p|.4 Foco pa, b` pq.5 Si p ą 0, la parábola es cóncava hacia

arriba.

6 Si p ă 0, la parábola es cóncava haciaabajo.

Ecuación canónica

Parábola horizontal de vértice V “ pa, bq.

py ´ bq2 “ 4ppx´ aq

1 Recta directriz x “ a´ p2 Eje de simetŕıa y “ b.3 Distancia del vértice al foco c “ |p|.4 Foco pa` p, bq.5 Si p ą 0, la parábola es cóncava hacia la

derecha.

6 Si p ă 0, la parábola es cóncava hacia laizquierda.

Ejemplo

Describa la parábola y2 ´ 2y ` x “ 0

o py ´ 1q2 “ 4p´1{4qpx´ 1q


Definición unificada

Cónicas

Sean A “ pa1, a2q un punto fijo del plano, Luna recta fija y � P R una constante. Unacónica C de foco A y directriz L, es la curvadada por el conjunto de puntos P “ px, yqtales que:

|dpP,Aq||dpP,Lq|

“ �

A � se le llama excentricidad de la cónica C.

Teorema

1 Si 0 ă � ă 1, C es una elipse.2 Si � “ 1, C es una parábola.3 Si � ą 1, C es una hipérbola.

Nota: Si � “ 0, C es un punto. Sin embargo,se le asocia excentricidad nula a los ćırculos.

Teorema

1 Para una elipse de semiejes a y b,� “ c{a. Recuerde que c “

a

|b2 ´ a2|.2 Para una hiperbola de semiejes a y b,� “ c{a. Recuerde que c “

?b2 ` a2.

Hacer dibujo en la pizarra para todoslos valores de �. Ver libro Walker página 40pdf Secciones Cónicas v0.4.


Parametrizaciones de cónicas

Idea

Se quiere describir F px, yq “ 0, como unsistema:

"

x “ xptqy “ yptq

donde t P rt0, t1s Ď R. A t se le llamaparámetro

Ejemplo

Parametrice la recta ax` by ` c “ 0. Dondea, b ‰ 0.

1 Si se toma x “ t:"

x “ ty “ ´1

bpat` cq

donde t P R.2 Si se toma y “ t:

"

x “ ´1apbt` cq

y “ t

donde t P R.

Parametrización de parábolas

1 Para la parábola py ´ bq2 “ 4ppx´ aq:"

x “ a` 14ppt´ bq2

y “ t

Donde t P ra,`8s si p ą 0, y t P r´8, assi p ă 0.

2 Para la parábola px´ aq2 “ 4ppy ´ bq:"

x “ ty “ b` 1

4ppt´ aq2

Donde t P rb,`8s si p ą 0, y t P r´8, bssi p ă 0.

Nota: tanto en el caso de la rectas, como enel de las parábolas, se toma una de lasvariables como parámetro y la otra se despejaen términos de esta, usando la ecuacióncanónica.


Parametrización de ćırculos y elipses

1 Si x2

a2` y

2

b2“ 1, entonces, una

parametrización está dada por:

"

x “ a cosptqy “ b sinptq

Donde t P r0, 2πs.

2 Si px´hq2

a2` py´lq

2

b2“ 1, entonces, una

parametrización está dada por:

"

x “ h` a cosptqy “ l ` b sinptq

Donde t P r0, 2πs.

Parametrización de hipérbolas

1 Si x2

a2´ y

2

b2“ 1, entonces,

1 Una parametrización de la curva de subrazo derecho es:

"

x “ a coshptqy “ b sinhptq

Donde t P R.2 Una parametrización de la curva de su

brazo izquierdo es:"

x “ ´a coshptqy “ b sinhptq

Donde t P R.

2 Describa como ejercicio laparametrización del caso

px´ hq2

a2´py ´ lq2

b2“ 1


Parametrización de hipérbolas

1 Si ´x2

a2` y

2

b2“ 1, entonces,

1 Una parametrización de la curva de subrazo superior es:

"

x “ a sinhptqy “ b coshptq

Donde t P R.2 Una parametrización de la curva de su

brazo izquierdo es:"

x “ a sinhptqy “ ´b coshptq

Donde t P R.

2 Describa como ejercicio laparametrización del caso

´px´ hq2

a2`py ´ lq2

b2“ 1

Ejemplo

Ver ejemplo 2.13 libro Walker página 29Secciones Cónicas V0.4.


F I N


Documents

MA1002 C alculo II Tema 03: Secciones c onicas...MA1002 C alculo II Tema 03: Secciones c onicas Parte 01: Secciones c onicas Profesor Jesus S anchez Guevara U.C.R. I Semestre 2020