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MA1002 C´ alculo II Tema 03: Secciones c´ onicas Parte 01: Secciones c´onicas Profesor Jes´ us S´anchez Guevara U.C.R. I Semestre 2020 Jes´ us S´ anchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones c´onicas I Semestre 2020 1 / 16

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  • MA1002 Cálculo IITema 03: Secciones cónicas

    Parte 01: Secciones cónicas

    Profesor Jesús Sánchez Guevara

    U.C.R.

    I Semestre 2020

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 1 / 16

  • En esta clase

    1 Graficar en el plano.

    2 Parábolas, elipses y hipérbolas.

    3 Cálculo de áreas de regiones.

    Introducción

    ¿Qué son secciones cónicas?

    1 Son familias de curvas del plano.

    2 Muchos movimientos f́ısicos se describena partir de ellas.

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 2 / 16

  • o ¿Cómo graficar en el plano?

    1 Se usa el sistema cartesiano.

    2 Punto P “ px, yq en el plano.3 Rectas ax` by ` c “ 0. Hacer ejemplos.

    Intersección de rectas

    Calcule el punto donde se intersecan lasrectas:

    1 L1 : 3x` 2y ` 1 “ 0.2 L2 : x` y ´ 1 “ 0

    Hacer en pizarra: P “ p´3, 4q

    oGeogebra:

    3x+2y+1=0, x+ y-1=0, P=(-3,4)

    Familias de rectas

    1 Crecientes ax` by ` c “ 0, con ab ă 0.Pendiente m “ ´a{b ą 0.

    2 Decrecientes ax` by ` c “ 0, con ab ą 0.Pendiente m “ ´a{b ă 0.

    3 Horizontales y “ y0. Pendiente m “ 0.4 Verticales x “ x0. Pendiente m “ `8

    oNota:Si en ax` by ` c “ 0, c “ 0, la rectapasa por el origen p0, 0q.

    Distancia entre dos puntos

    Si A “ pa1, a2q y B “ pb1, b2q son dos puntosdel plano (en coordenadas cartesianas),entonces la distancia entre ellos es:

    d “ dpA,Bq “b

    pb1 ´ a1q2 ` pb2 ´ a2q2

    o Es consecuencia del teorema de Pitágoras.Hacer en pizarra.

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 3 / 16

  • Curvas en el plano

    Una curva C en el plano R2 es el conjunto depuntos P “ px, yq P R2 (coordenadascartesianas) que satisfacen una ecuación de laforma:

    F px, yq “ 0

    En tal caso:

    1 Esta ecuación se llama ecuacióncartesiana de C.

    2 Se le llama gráfica de C al conjunto (y asu representación gráfica)

    G “

    px, yq P R2 : F px, yq “ 0(

    3 Al conjunto G también se le llama lugargeométrico.

    Ejemplo

    1 Para la función cuadráticafpxq “ x2 ` 2x` 1:

    1 F px, yq “ ´y ` x2 ` 2x` 12 G “

    px, yq P R2 : ´y ` x2 ` 2x` 1 “ 0(

    2 Para la recta 2x` 3y ` 1 “ 0:1 F px, yq “ 2x` 3y ` 1 “ 02 G “

    px, yq P R2 : 2x` 3y ` 1 “ 0 “ 0(

    oNota: No toca curva en el plano puede serdescrita con una ecuación de este tipo.

    Completar cuadrados pa ą 0q

    ax2 ` bx` c “ ax2 ` bx`ˆ

    b

    2?a

    ˙2

    ´ˆ

    b

    2?a

    ˙2

    ` c

    “ˆ?

    ax`b

    2?a

    ˙2

    ´ˆ

    b

    2?a

    ˙2

    ` c

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 4 / 16

  • Ćırculo

    Un ćırculo A es el conjunto de puntosP “ px, yq cuya distancia a un punto fijoC “ pa, bq es constante. Al punto C se lellama centro de A. La distancia constante rse le llama radio de A.

    o Ecuación cartesiana:

    DpP,Cq “ r

    ôb

    px´ aq2 ` py ´ bq2 “ r

    ôpx´ aq2 ` py ´ bq2 “ r2 (Ec. Canónica)

    Ejemplo

    Identifique la curva

    x2 ` y2 ` 2y ` x´ 1 “ 0

    Geogebra: x^2+y^2+2y+x-1=0

    Hacer en pizarra:px` 1

    2q2 ` py ` 1q2 “ p3{2q2

    Elipses

    Sean A “ pa1, a2q y B “ pb1, b2q dos puntosfijos del plano. Una elipse E de focos A y B,es el conjunto de puntos P “ px, yq tales quela suma de las distancias a A y B es unaconstante r ě 0.

    Ecuación cartesiana: dpP,Aq ` dpP,Bq “ r

    b

    px´ a1q2 ` py ´ a2q2

    `b

    px´ b1q2 ` py ´ b2q2 “ r

    o Solamente estudiaremos los casos donde losfocos de la elipse se encuentran en rectasparalelas a los ejes coordenados:

    1 Posición horizontal a2 “ b2.2 Posición vertical a1 “ b1.3 Si A “ B, es un ćırculo de radio r{2.

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 5 / 16

  • o Ecuación canónica: elipse de centroph, lq, longitud eje horizontal 2a y longitudeje vertical 2b.

    px´ hq2

    a2`py ´ lq2

    b2“ 1

    1 Centro C “ ph, lq.2 Semi-eje vertical x “ h, Semi-eje

    horizontal y “ l.3 Distancia entre focos 2c “ 2

    a

    |a2 ´ b2|.4 Vertices verticales ph, l ` bq y ph, l ´ bq.5 Vertices horizontales ph`a, lq y ph´a, lq.

    Ejemplo

    Identifique las cónicas 4x2 ´ 8x` y2 “ 0 yx2 ´ 2x` 4y2 “ 0

    opx´1q2

    12` y

    2

    22“ 1 y px´1q

    2

    22` y

    2

    12“ 1.

    Propiedad

    1 Si a ą b:1 : La elipse está en posición horizantal.2 : c2 “ a2 ´ b2.3 : Focos en ph` c, lq y ph´ c, lq.

    2 Si a ă b:1 : La elipse está en posición vertical.2 : c2 “ b2 ´ a2.3 : Focos en ph, l ` cq y ph, l ´ cq.

    3 Si a “ b:1 : Es un ćırculo de centro ph, lq.2 : c “ 0.3 : Radio a “ b “ r{2.

    Ejemplo

    Determine las coordenadas de los focos de laselipses del ejemplo anterior.

    o:Hacer en pizarra, p1,˘?

    3q y p1˘?

    3, 0q,respectivamente.

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 6 / 16

  • Ejemplo

    Calcule el área entre el eje x y la mitad

    superior de la elipse x2

    4` y2 “ 1

    Solución:

    1 Esta es una elipse horizontal. Dibujar.

    2 La parte superior de la elipse está dadapor la gráfica de la función:

    y “

    d

    1´x2

    4

    3 El área buscada está dada por la integral:

    A “ż 2

    ´2

    d

    1´x2

    4dx “ 2

    ż 2

    0

    d

    1´x2

    4dx

    “ px “ 2 sinpθqq “ 2ż π{2

    0cospθq ¨ 2 cospθqdθ

    “ 2ż π{2

    0p1` cosp2θqqdθ “ π

    Ejemplo

    Calcule el área entre las elipses:

    x2

    42`y2

    62“ 1 y

    px´ 2q2

    22`y2

    12“ 1

    Geogebra: x*x/16+y*y/36=1

    (x-2)*(x-2)/4+y*y=1

    o Explicar en pizarra. Cálculo se deja comoejercicio.

    Ejemplo, caso degenerado de elipse r “ 0¿Cuál es la ecuación cartesiana de la curvadada por un solo punto pn,mq?

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 7 / 16

  • Hipérbolas

    Sean A “ pa1, a2q y B “ pb1, b2q dos puntosfijos del plano. Una hipérbola H de focos A yB, es el conjunto de puntos P “ px, yq talesque la resta de las distancias a A y B es unaconstante r ě 0.

    Ecuación cartesiana:|dpP,Aq ´ dpP,Bq| “ r

    |b

    px´ a1q2 ` py ´ a2q2

    ´b

    px´ b1q2 ` py ´ b2q2| “ r

    o Solamente estudiaremos los casos donde losfocos de las hipérbolas se encuentran enrectas paralelas a los ejes coordenados:

    1 Posición horizontal a2 “ b2.2 Posición vertical a1 “ b1.

    o Ecuación canónica: hipérbolahorizontal de centro ph, lq:

    px´ hq2

    a2´py ´ lq2

    b2“ 1

    1 Centro C “ ph, lq.2 Eje vertical de simetŕıa x “ h, Eje

    horizontal de simetŕıa y “ l.3 Distancia entre focos 2c “ 2

    ?a2 ` b2

    (c2 “ a2 ` b2).4 Vertices ph` a, lq y ph´ a, lq.5 Focos ph` c, lq y ph´ c, lq.6 Semiejes: a semi-eje principal y b

    semi-eje imaginario.

    7 Rectas aśıntotas: y “ l ˘ bapx´ hq

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 8 / 16

  • o Ecuación canónica: hipérbola verticalde centro ph, lq:

    ´px´ hq2

    a2`py ´ lq2

    b2“ 1

    1 Centro C “ ph, lq.2 Eje vertical de simetŕıa x “ h, Eje

    horizontal de simetŕıa y “ l.3 Distancia entre focos 2c “ 2

    ?a2 ` b2

    (c2 “ a2 ` b2).4 Vertices ph, l ` bq y ph, l ´ bq.5 Focos ph, l ` cq y ph, l ´ cq.6 Semiejes: a semi-eje imaginario y b

    semi-eje principal.

    7 Rectas aśıntotas: y “ l ˘ bapx´ hq

    Ejemplo

    Grafique las hipérbolas x2 ´ y2{4 “ 1 yx2{4´ y2 “ 1. En cada caso indique elcentro, los vértices, los focos, los ejesprincipales e imaginarios, las rectas aśıntotas.Hacer en pizarra y Geogebra

    Ejemplo

    Calcule el área en el primer cuadrante, entrela hipérbola x2 ´ y2 “ 1 y la recta verticaly “ 6.

    Solución:

    1 x2 ´ y2 “ 1 es una hipérbola horizontal.Hacer dibujo.

    2 La parte superior de brazo derecho tieneecuación y “

    ?x2 ´ 1, para x ě 1.

    3 El área es:

    A “ż 6

    1

    a

    x2 ´ 1dx „ 16 y pico.

    Wolfram Alpha: \int_1^6\sqrt{x^2-1}dx

    Caso degenerado r “ 0

    px´ hq2{a2 ´ py ´ lq2{b2 “ 0

    Son las dos rectas aśıntotas depx´ hq2{a2 ´ py ´ lq2{b2 “ 1.

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 9 / 16

  • Parábolas

    Sean A “ pa1, a2q un punto fijo del plano y Luna recta fija. Una parábola P de foco A ydirectriz L, es el conjunto de puntosP “ px, yq que son equidistantes al punto A yla recta L.

    Ecuación cartesiana:

    |dpP,Lq| “ |dpP,Aq|

    o Solamente estudiaremos los casos donde ladirectriz es paralela a alguno de los ejescoordenados:

    1 Posición vertical: directriz x “ h.2 Posición horizontal: directriz y “ l.

    Ejercicio

    Determine la ecuación cartesiana de laparábola de foco A “ p1, 0q y directrizL : x “ ´1.

    1 Hacer dibujo.

    2

    |dpP,Lq| “ |dpP,Aq||dppx, yq, p´1, yqq| “ |dppx, yq, p1, 0qq|

    b

    px` 1q2 ` 02 “b

    px´ 1q2 ` y2

    px` 1q2 “ px´ 1q2 ` y2

    px` 1q2 ´ px´ 1q2 “ y2

    4x “ y2

    Aśı, la ecuación cartesiana es:

    y2 ´ 4x “ 0

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 10 / 16

  • Definición

    El vértice de una parábola es donde ladistancia al vértice y la directriz en mı́nima.

    o En el ejemplo anterior el vértice es p0, 0q. Yla distancia mı́nima es c “ 1.

    Ecuación canónica

    Parábola vertical de vértice V “ pa, bq.

    px´ aq2 “ 4ppy ´ bq

    1 Recta directriz y “ b´ p2 Eje de simetŕıa x “ a.3 Distancia del vértice al foco c “ |p|.4 Foco pa, b` pq.5 Si p ą 0, la parábola es cóncava hacia

    arriba.

    6 Si p ă 0, la parábola es cóncava haciaabajo.

    Ecuación canónica

    Parábola horizontal de vértice V “ pa, bq.

    py ´ bq2 “ 4ppx´ aq

    1 Recta directriz x “ a´ p2 Eje de simetŕıa y “ b.3 Distancia del vértice al foco c “ |p|.4 Foco pa` p, bq.5 Si p ą 0, la parábola es cóncava hacia la

    derecha.

    6 Si p ă 0, la parábola es cóncava hacia laizquierda.

    Ejemplo

    Describa la parábola y2 ´ 2y ` x “ 0

    o py ´ 1q2 “ 4p´1{4qpx´ 1q

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 11 / 16

  • Definición unificada

    Cónicas

    Sean A “ pa1, a2q un punto fijo del plano, Luna recta fija y � P R una constante. Unacónica C de foco A y directriz L, es la curvadada por el conjunto de puntos P “ px, yqtales que:

    |dpP,Aq||dpP,Lq|

    “ �

    A � se le llama excentricidad de la cónica C.

    Teorema

    1 Si 0 ă � ă 1, C es una elipse.2 Si � “ 1, C es una parábola.3 Si � ą 1, C es una hipérbola.

    Nota: Si � “ 0, C es un punto. Sin embargo,se le asocia excentricidad nula a los ćırculos.

    Teorema

    1 Para una elipse de semiejes a y b,� “ c{a. Recuerde que c “

    a

    |b2 ´ a2|.2 Para una hiperbola de semiejes a y b,� “ c{a. Recuerde que c “

    ?b2 ` a2.

    Hacer dibujo en la pizarra para todoslos valores de �. Ver libro Walker página 40pdf Secciones Cónicas v0.4.

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 12 / 16

  • Parametrizaciones de cónicas

    Idea

    Se quiere describir F px, yq “ 0, como unsistema:

    "

    x “ xptqy “ yptq

    donde t P rt0, t1s Ď R. A t se le llamaparámetro

    Ejemplo

    Parametrice la recta ax` by ` c “ 0. Dondea, b ‰ 0.

    1 Si se toma x “ t:"

    x “ ty “ ´1

    bpat` cq

    donde t P R.2 Si se toma y “ t:

    "

    x “ ´1apbt` cq

    y “ t

    donde t P R.

    Parametrización de parábolas

    1 Para la parábola py ´ bq2 “ 4ppx´ aq:"

    x “ a` 14ppt´ bq2

    y “ t

    Donde t P ra,`8s si p ą 0, y t P r´8, assi p ă 0.

    2 Para la parábola px´ aq2 “ 4ppy ´ bq:"

    x “ ty “ b` 1

    4ppt´ aq2

    Donde t P rb,`8s si p ą 0, y t P r´8, bssi p ă 0.

    Nota: tanto en el caso de la rectas, como enel de las parábolas, se toma una de lasvariables como parámetro y la otra se despejaen términos de esta, usando la ecuacióncanónica.

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 13 / 16

  • Parametrización de ćırculos y elipses

    1 Si x2

    a2` y

    2

    b2“ 1, entonces, una

    parametrización está dada por:

    "

    x “ a cosptqy “ b sinptq

    Donde t P r0, 2πs.

    2 Si px´hq2

    a2` py´lq

    2

    b2“ 1, entonces, una

    parametrización está dada por:

    "

    x “ h` a cosptqy “ l ` b sinptq

    Donde t P r0, 2πs.

    Parametrización de hipérbolas

    1 Si x2

    a2´ y

    2

    b2“ 1, entonces,

    1 Una parametrización de la curva de subrazo derecho es:

    "

    x “ a coshptqy “ b sinhptq

    Donde t P R.2 Una parametrización de la curva de su

    brazo izquierdo es:"

    x “ ´a coshptqy “ b sinhptq

    Donde t P R.

    2 Describa como ejercicio laparametrización del caso

    px´ hq2

    a2´py ´ lq2

    b2“ 1

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 14 / 16

  • Parametrización de hipérbolas

    1 Si ´x2

    a2` y

    2

    b2“ 1, entonces,

    1 Una parametrización de la curva de subrazo superior es:

    "

    x “ a sinhptqy “ b coshptq

    Donde t P R.2 Una parametrización de la curva de su

    brazo izquierdo es:"

    x “ a sinhptqy “ ´b coshptq

    Donde t P R.

    2 Describa como ejercicio laparametrización del caso

    ´px´ hq2

    a2`py ´ lq2

    b2“ 1

    Ejemplo

    Ver ejemplo 2.13 libro Walker página 29Secciones Cónicas V0.4.

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 15 / 16

  • F I N

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 16 / 16