UNIVERSITAT POLITCNICA DE CATALUNYA ESCOLA TCNICA SUPERIOR DENGINYERIA DE TELECOMUNICACI DE BARCELONA Control Lineal y No Lineal de un Levitador Magntico. Estudio Comparativo. Proyecto Fin de Carrera Autor: Juan Carlos Milena Moreno Directora: Rosa Mara Fernndez Cant Barcelona, 2010Acrnimos EE Espacio de estados IAE Integral del valor absoluto del error ISEU Integral del cuadrado del error y del cuadrado del esfuerzo de control ISM Modo deslizante integral ITAE Integral del tiempo por el valor absoluto del error LE Linealizacin exacta entrada-estado LQ Mnimos cuadrados MAGLEV Levitador magntico bajo estudio MIMO Entrada mltiple y salida mltiple MISO Entrada mltiple y salida nica SISO Entrada nica y salida nica SM Modo deslizante SMC Control en modo deslizante SSM Modo deslizante esttico Tabla de contenidos I.INTRODUCCIN..................................................................................................................................... 1 1.1 PROBLEMTICA DE LOS LEVITADORES MAGNTICOS ............................................................................. 1 1.2 MOTIVACIN Y OBJETIVOS .................................................................................................................. 1 1.3ORGANIZACIN DE LA MEMORIA........................................................................................................... 2 II.MODELO MATEMTICO Y DESCRIPCIN DE LA PLANTA................................................................ 4 2.1DINMICA DE LA LEVITACIN MAGNTICA .............................................................................................. 4 2.1.1Fuerza electromagntica ............................................................................................................. 4 2.1.2Mecnica...................................................................................................................................... 5 2.1.3Modelo elctrico........................................................................................................................... 6 2.1.3Levitacin magntica ................................................................................................................... 6 2.1.4Ecuaciones en el espacio de estados.......................................................................................... 7 2.1.4.1Ecuaciones de estado de un levitador magntico.............................................................................. 8 2.2DESCRIPCIN DE LA PLANTA................................................................................................................ 9 2.2.1Sensor.......................................................................................................................................... 9 2.2.2Actuador..................................................................................................................................... 10 2.2.3Controlador ................................................................................................................................ 10 2.2.4Ecuaciones de estado del Maglev ............................................................................................. 12 2.2.5Sistema linealizado.................................................................................................................... 12 2.2.6Valores fsicos del Maglev de Feedback Instruments S.L. ........................................................ 14 III.CONTROL....................................................................................................................................... 15 3.1CONTROL LINEAL CLSICO................................................................................................................. 15 3.1.1Controlador PD .......................................................................................................................... 15 3.1.2Controlador PID ......................................................................................................................... 17 3.1.3Controlador ITAE ptimo............................................................................................................ 19 3.2CONTROL LINEAL EN EL ESPACIO DE ESTADOS .................................................................................... 21 3.2.1Fijacin de polos ........................................................................................................................ 22 3.2.2Control LQ ptimo...................................................................................................................... 24 3.2.3Observador de estados.............................................................................................................. 25 3.3 CONTROL NO LINEAL ................................................................................................................................ 25 3.3.1 Linealizacin exacta entrada-estado ............................................................................................. 26 3.3.2 Control en modo deslizante ........................................................................................................... 30 3.3.2.1 Control en modo deslizante esttico....................................................................................................... 32 3.3.2.2 Control en modo deslizante integral........................................................................................................ 34 IV.RESULTADOS EXPERIMENTALES.................................................................................................. 36 4.1MODIFICACIONES.............................................................................................................................. 36 4.2RGIMEN PERMANENTE..................................................................................................................... 38 4.3SEGUIMIENTO DE SEAL.................................................................................................................... 41 4.4ROBUSTEZ ....................................................................................................................................... 44 V.CONCLUSIONES Y LNEAS FUTURAS ............................................................................................... 49 5.1CONCLUSIONES................................................................................................................................ 49 5.2LNEAS FUTURAS .............................................................................................................................. 50 ANEXO I - LGEBRA DE LIE ........................................................................................................................ 51 ANEXO II MODELOS SIMULINK................................................................................................................ 52 ANEXO III ARTCULO JORNADAS AUTOMTICA JAN ........................................................................ 54 ANEXO IV PRCTICA FINAL DE LA ASIGNATURA SEC......................................................................... 65 REFERENCIAS............................................................................................................................................... 70 CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 1 I.INTRODUCCIN Esteproyectosurgedelailusinporprofundizarenlaingenieradecontrolydela oportunidad de estudiar una planta de levitacin magntica adquirida recientemente por el grupodeSistemasElectrnicosdeControldelDepartamentodeTeoradelaSealy Comunicaciones. 1.1Problemtica de los levitadores magnticos Lalevitacinmagnticaconsisteenmantenerobjetossuspendidossinexistircontacto mecnicograciasalafuerzamagntica.Esteprocesoespornaturalezainestableyno lineal,esto haceque elcontroldeestossistemassea altamente desafiante. Adems,se hace obligatoria la utilizacin del control en lazo cerrado para mantener la levitacin. Elprincipalintersparalautilizacindelalevitacinmagnticaeningenieraaplicada radicaenquesonsistemassincontacto,porloque norequierenlubricantes,ysucoste de mantenimiento es muy bajo.Estafaltadecontactoylanonecesidaddelubricanteshacedeestatecnologalaideal paratrabajarenentornosindustrialesenquesonnecesariasatmsferaslibresde polucin, algunos ejemplos de su utilizacin seran la levitacin de objetos en tneles de viento o la levitacin en mesas antivibracin en fabricantes de semiconductores [4]. Ademslafaltadecontactotambinpermiteevitarelrozamientoytodoslosproblemas derivadosdeeste(desgaste,calentamiento).Estacualidadhacequelalevitacin magnticaseaidealparasuutilizacinencojinetesmagnticosyformandopartedeturbinas en molinos de viento [6]. Probablemente,laaplicacin msconocida detodasseasu utilizacin enlasuspensin delostrenesdelevitacinmagntica,comoenelcasoJapon,permitiendoalcanzar velocidadesdehasta580km/h[4].Peroexistenotrasaplicacionesigualdeimportantes aunquemenosconocidas,comoeselcasodelosdispositivosdeasistenciaventricular, debidoaquealserunsistemasincontactopermitesuutilizacinparahacerfluirla sangresinaumentarlatemperaturayportantosinmodificarsuspropiedades[13].Otra aplicacin es su utilizacin en el guiado de naves espaciales. 1.2Motivacin y objetivos Enelmbitodelainvestigacinexistengranvariedaddetrabajosrelacionadosconel control de levitadores magnticos, algunos de estos trabajos comprueban sus resultados nicamentemediantesimulacinyotrosutilizanresultadosexperimentalesoambos.Se aplicanenellosdiferentestcnicasdecontrol,desdecontrolclsico[4,8],hastacontrol lineal robusto [14], pasando por control adaptativo [11], control por ganancia programada, controldifuso[8],controlmediantelinealizacinporrealimentacin[6,7],controlpor redes neuronales [18] o control en modo deslizante [1, 4, 9, 16 ]. La mayor parte de estos trabajosexplicanlaspropiedadesyventajasdelcontroladorbajoestudiorealizandouna comparacinexclusivamenteconunnicocontrolador,habitualmenteunPID,perono CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 2 existeunacomparativaentreunabanicomayordecontroladores.Esteeselprincipal objetivo de este proyecto, la realizacin de un estudio comparativo con un nmero mayor de controladores mediante comprobacin experimental en la misma planta. En el mbito docente en ingeniera de control, los sistemas de levitacin magntica tienen unespecialintersparalarealizacindelaboratoriosydemostracionesenclase.En primerlugar,porquepermiteprofundizarenlasbasestericasdeunaformams motivanteparalosalumnos.Yensegundolugar,porquepermitealosestudiantes enfrentarse a problemas reales de control, acortando de esta manera la distancia entre los conocimientos tericos y las aplicaciones reales. La propuesta de diferentes experimentos aplicablestantoenestudiosdegradocomodepostgradoeningenieradecontrolesel segundo objetivo de este proyecto. Ellevitadormagnticoutilizadoenesteproyectoeselmodelo33-210delfabricante Feedback Instruments Ltd., y a partir de ahora y durante toda la memoria utilizaremos el trmino Maglev para referirnos a l. En el momento de comenzar este proyecto el Maglev acababadellegarallaboratoriodeSEC,porestemotivoanestabapendientedeser instaladoynoexistaningntrabajopreviodentrodelgruporelacionadoconlevitacin magntica.Estomotivquehubiesendosobjetivospreviosalarealizacindelos experimentos,elprimerofuelapuestaenmarchadelequipoyelsegundolabsqueda bibliogrfica del estado del arte en control de levitadores magnticos. Laeleccindeloscontroladoresbajoestudioserealizteniendoencuentaquela levitacinmagnticaesunprocesonolineal.Estoimplicaqueparautilizarmtodosde control lineal sea necesario linealizar el sistema en torno a un punto de trabajo, mientras quelosmtodosdecontrolnolinealpuedentrabajardirectamenteconsistemasno lineales.Lateoraindicaqueparadesviacionesgrandesrespectoalpuntodetrabajoel controladorlinealdebeperdersuefectividad,mientrasqueelcontroladornolinealdebe trabajar con la misma efectividad independientemente del punto de trabajo. Otro aspecto que se tuvo en cuenta a la hora de escoger los controladores bajo estudio fue la robustez anteincertidumbresenelmodelodelaplanta,estofuemotivadoporquenicamentese disponadelmodelofacilitadoporelfabricante.Peronoexistalaposibilidadderealizar mediciones sobre el equipo para certificar la exactitud de los parmetros, ni del modelo. 1.3Organizacin de la memoria La memoria se divide en cinco partes principales. Enlaprimerarealizamosunabreveintroduccinalalevitacinmagntica,apuntamos diferentes aplicaciones y marcamos los objetivos de este proyecto. En la segunda parte desarrollamos el modelo matemtico utilizado mayoritariamente con levitadores magnticos a partir de las diferentes ecuaciones mecnicas y elctricas. Una vezobtenidaladinmicadelalevitacinmagnticaseexplicanlascaractersticas tcnicas del Maglev y se desarrollan los modelos utilizados para el diseo y simulacin de la planta. Finalmente se muestra el valor de todos los parmetros facilitados por Feedback Instruments Ltd. para el Maglev. En la tercera parte explicamos los diferentes mtodos de control lineal y no lineal que se aplicarn al Maglev, adems se comprueba la efectividad de cada uno de ellos mediante simulacin. Los mtodos de control desarrollados se basan en las teoras de control lineal clsico, de control linealen el espacio de estado y de control no lineal. Mediante la teora de control lineal clsico se disea un controlador PD, un PID y un ITAE ptimo, mediante CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 3 la teora de control lineal en el espacio de estados disearemos un controlador utilizando elmtodoLQptimo,yutilizandolateoradecontrolnolinealsediseauncontrolador porelmtododelinealizacinexactaentrada-estadoporrealimentacin,ydos controladores mediante el mtodo del modo deslizante. En la cuarta parte se aplican todos los controladores diseados en la planta real. Algunos deloscontroladoresdiseadossetuvieronquemodificarparapoderserutilizadosen el Maglev,porloqueseempiezaconunaexplicacinsobrelasmodificacionesrealizadas. Conloscontroladoresmodificadosserealizandoceexperimentos,cincoexperimentos compruebanelcomportamientoenrgimenpermanente,otroscincocompruebanel comportamientoenseguimientodereferencia,ylosdosexperimentosrestantes comprueban la robustez ante incertidumbres. Finalmente, la ltima parte contiene todas las conclusiones extradas despus del anlisis de los resultados obtenidos en los experimentos. Tambin se confirma el cumplimiento de los diferentes objetivos marcados para este proyecto y se marcan posibles lneas futuras de trabajo. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 4 II.MODELO MATEMTICO Y DESCRIPCIN DE LA PLANTA En el estudio de los sistemas de control el primer paso siempre debe ser la obtencin de unmodelomatemticoquedescribaladinmicadelsistema.Sedefineelmodelo matemtico de un sistema dinmico como un conjunto de ecuaciones que representan la dinmicadelsistemaincluyendolasprincipalescaractersticas.Alobtenerunmodelo matemticoexisteuncompromisoentrelasimplicidaddelmismoylaprecisindelos resultados, esto se debe principalmente a que utilizando un modelo simplificado estamos ignorandociertaspropiedadesfsicasinherentesalsistema.Peroenunaprimera aproximacinespreferibleutilizarunmodelosimplificadoparaobtenerdeunamanera ms sencilla una idea general sobre la solucin, y seguidamente aumentar la complejidad del sistema si fuese necesario.Tngase presente que un modelo matemtico no es nico para un sistema determinado, motivoporelcualpodemostenermuchosmodelosmatemticosdependiendodecada perspectiva.Pararealizarmtodosdecontrolclsicoespreferibletenerdescritoel modelomatemticorepresentadocomofuncindetransferencia,mientrasqueparael resto de mtodos de control clsico y para mtodos de control no lineal es preferible tener el modelo matemtico representado en el espacio de estados. Podemosdescribirladinmicademuchossistemasfsicosentrminosdeecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a partir de las leyes fsicas que gobiernanundeterminadosistema,algunosejemplosdeleyesfsicasaplicablesseran lasleyesdeNewtonparasistemasmecnicosylasleyesdeKirchhoffparasistemas elctricos. En este captulo describiremos en primer lugar la dinmica de la levitacin magntica de formagenrica,yseguidamenteexplicaremoslascaractersticasdellevitadormagntico disponible en el laboratorio de SEC, modelo 33-210 del fabricante Feedback Instruments Ltd. 2.1Dinmica de la levitacin magntica Lalevitacinconsisteenmantenerunobjetosuspendidoenelairesinningntipode contactomecnico.Enelcasodelalevitacinmagntica,lafuerzaquepermiteesta suspensin es la fuerza electromagntica. Esta fuerza electromagntica es generada por unelectroimnquemedianteatraccinpermitemantenerensuspensinunobjeto ferromagntico. Obtendremoslasecuacionesmatemticasquerigenelprocesodelevitacinmagntica aplicando leyes fundamentales y principios bsicos de mecnica y electromagnetismo. 2.1.1Fuerza electromagntica Lafuerzamagnticaeslafuerzageneradaporelcampomagnticosobreundipolo CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 5 magntico.Enlafuerzaelectromagnticaestecampomagnticoestageneradoporel paso de un corriente elctrica sobre un conductor. Conocemos que la co-energa almacenada en un campo magntico es =vmdv H B Wr r21 ( 1 ) dondeHr indica el valor del campo magntico yBrel valor de la induccin magntica. Mediantelaaplicacindelasleyesde AmpereyFaradaycalculamoslosvaloresdeBry deHr. Esto nos permite reescribir la expresin anterior en funcin de la inductanciaLy de la corriente que circula por el conductor.221i L Wm =r r( 2 ) Elvalordelafuerzaelectromagnticaloencontramosmedianteelgradientedelaco-energa magntica.) , , (zWyWxWW fmzmymxm mag el= =r r ( 3 ) En nuestro caso, estudiaremos un levitador con un nico grado de libertad, por tanto solo nos interesa la fuerza electromagntica generada mag elf en una direccin.xx L ifmag el=) (22 ( 4 ) La inductancia la modelamos segn [2]xx LL x LI0 0) ( + = ( 5 ) donde iL eslainductanciadelelectroimnenausenciadelobjetolevitadoy 0L esla inductancia adicional generada por el objeto levitado en la posicin 0x . Finalmente uniendo las ecuaciones (4) y (5) obtenemos 22220 02 xikxi x Lfmag el= = ( 6 ) 2.1.2Mecnica La mecnica es la parte de la fsica encargada de estudiar el movimiento de un sistema y las fuerzas que lo provocan.Elestudiodelamecnicadellevitadormagnticosebasaenaplicarlasegundaleyde Newton, que nos indica que la suma de fuerzas sobre un objeto es igual al producto de la masa del objeto por la aceleracin del mismo = a m Frr ( 7 ) CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 6 Teniendoencuentaquenicamentetenemosungradodelibertadyquesolamente estudiaremoslasvariacionesenlaalturadelobjetolevitado(sintenerencuentalos desplazamientos horizontales) obtenemos la siguiente expresin mag elf g mthm =22 ( 8 ) dondehnos indica la altura del objeto, y donde tomamos el peso) ( g mcomo positivo, porquelareferenciadealturalatomaremosenelelectoimnyelejepositivocon direccin descendente. 2.1.3 Modelo elctrico ElcircuitoelctricoquemodelaelcomportamientodellevitadoresuncircuitoRL. Aplicando la ley de Kirchoff obtenemos la siguiente relacin tensin-corriente. tix L i R v+ = ) ( ( 9 ) Asumiendo que estamos cerca de la posicin de equilibrio 0xyque iLes mucho mayor que 0Lpodemos aproximar el valor de la inductanciaI ILxx LL x L + =0 0) ( ( 10 ) con lo que podemos reescribir la ecuacin (9)tiL i R vI+ = ( 11 )

2.1.3Levitacin magntica Podemos representar un levitador magntico genrico de un grado de libertad mediante la figura siguiente. Figura 1. Levitador magntico gnerico CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 7 Teniendoencuentaquelasanterioresexpresionesestnrelacionadasentresporla corrientequeatraviesaelelectroimn.Podemosdescribirladinmicadeunlevitador magntico genrico mediante el siguiente par de ecuaciones diferenciales. 2 20 02221||

\| =||

\| =himkghi h Lmgth ( 12 )tiL i R vI+ = ( 13 ) 2.1.4Ecuaciones en el espacio de estados Un sistema complejo posee muchas entradas y muchas salidas que se relacionan entre s deunaformacomplicada.Paraanalizarunsistemadeestetipoesesencialreducirla complejidad delas expresiones matemticas,ydesdeestepuntodevistaelenfoque en ecuaciones de estados es el ms conveniente para el anlisis de estos sistemas. Definimos en primer lugar el concepto de estado, el estado de un sistema dinmico es el conjuntodevariablesmspequeo(llamadasvariablesdeestado),deformaqueel conocimientodeestasvariablesen 0t t ,juntoconelconocimientodelaentradapara 0t t , determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier 0t t . Sedebetenerencuentaquelasvariablesdeestadononecesitanserfsicamente medibles o cantidades observables, tal libertad en la eleccin de las variables de estado esunaventajadelosmtodos enelespaciodeestados.Sin embargoenlaprctica es conveniente seleccionar para las variables de estado cantidades fsicamente medibles, si estoesposible,porquelasleyesdecontrolenelespaciodeestadosrequerirn realimentar todas las variables de estado con una ponderacin adecuada.Lasecuacionesdeestado,sonelconjuntodeecuacionesquedescribenladinmicade unsistemamediantelarelacinentrelasvariablesdeentrada,lasvariablesdesaliday lasvariablesdeestado.Elmodeladodesistemasdinmicosenelespaciodeestados permitedescribirelcomportamientodetodotipodesistemas;SISO,MIMO,lineales,no lineales, invariantes, variantes,. La descripcin genrica para las ecuaciones de estado es ) ; , , , ; , , , ( ) () ; , , , ; , , , ( ) () ; , , , ; , , , ( ) (2 1 2 12 1 2 1 2 22 1 2 1 1 1t u u u x x x f t xt u u u x x x f t xt u u u x x x f t xr n n nr nr nK K &MK K &K K &=== ( 14 ) ) ; , , , ; , , , ( ) () ; , , , ; , , , ( ) () ; , , , ; , , , ( ) (2 1 2 12 1 2 1 2 22 1 2 1 1 1t u u u x x x h t yt u u u x x x h t yt u u u x x x h t yr n m mr nr nK K &MK K &K K &=== si se define CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 8 (((((

=(((((

=) ; , , , ; , , , () ; , , , ; , , , () ; , , , ; , , , () , , ( ,) () () () (2 1 2 12 1 2 1 22 1 2 1 121t u u u x x x ft u u u x x x ft u u u x x x ftt xt xt xtr n nr nr nnK KMK KK KMu x f x ( 15 ) (((((

=(((((

=(((((

=) () () () ( ,) ; , , , ; , , , () ; , , , ; , , , () ; , , , ; , , , () , , ( ,) () () () (212 1 2 12 1 2 1 22 1 2 1 121t ut ut utt u u u x x x ht u u u x x x ht u u u x x x htt yt yt ytr r n mr nr nmMK KMK KK KMu u x h y ( 16) las ecuaciones anteriores se pueden expresar en formato matricial. ) , , ( ) () , , ( ) (t tt tu x h yu x f x==&&( 17 ) Silinealizamoslasecuacionesanteriores,oensistemasdirectamentelinealeslas ecuaciones de estado se pueden expresar como ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) (t t t t tt t t t tu D x C yu B x A x+ =+ =&&( 18 ) donde) (t Ase denomina matriz de estado,) (t Bmatriz de entrada,) (t Cmatriz de salida y ) (t Dmatriz de transmisin directa. Si el sistema adems de ser lineal, o haberse linealizado, es invariante temporalmente se puede expresar como ) ( ) ( ) () ( ) ( ) (t t tt t tDu Cx yBu Ax x+ =+ =&&( 19 ) 2.1.4.1Ecuaciones de estado de un levitador magntico Unavezobtenidasenelapartado2.1.3lasecuacionesquemodelanladinmicadeun levitador magnticopodemos expresarestasecuacionesen elespaciode estados.Para representar el sistema en el EE debemos conocer cuales son las variables de salida, las variables de entrada y las variables de estado. Un levitador magntico de un grado de libertad es un sistema SISO, as que nicamente tendremosunavariabledeentradayunavariabledesalida.Lavariabledeentrada siempre ser la tensin de entrada al circuito y la variable de salida siempre ser la altura. Ahora faltara definir las variables de estado para tener la representacin del sistema en el EE, y para un levitador magntico genrico habitualmente se escogen las siguientes i xdtdhx h x = = =3 2 1, , con esta eleccin las ecuaciones de estado resultantes seran CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 9 3 321322 1xLRLuxxxmkg xx x =|||

\| ==&&& ( 20 ) 2.2Descripcin de la planta EldispositivobajoestudioenesteproyectoeselMaglev(MagneticLevitator)del fabricanteFeedbackInstrumentsS.L.Estedispositivoconsisteprincipalmenteentres componentes; sensor, actuador y controlador.Podemos ver una representacin esquematica del Maglev en la siguiente figura. Figura 2. Representacin esquemtica del Maglev. 2.2.1Sensor Elsensorconsisteenunparfoto-emisoryfoto-receptordeinfrarrojos.Unvoltaje constanteesenviadoalfoto-emisordeinfrarrojos,quelotransformaenunhazdeluz infrarroja que es detectada por el foto-receptor. La salida del foto-receptor es directamente proporcionalalacantidaddeluzinfrarrojarecibida.Cuandolacantidaddeluzrecibida aumenta,locualocurrecuandoelobjetometlicosealejadelelectroimn,lasalidadel foto-receptor aumenta y viceversa. La ecuacin que describe la salida del sensor esS S Sv h k v + = ( 21 )

donde Sk nos indica la ganancia del sensor ( 0 >Sk ), y Sves una constante. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 10 2.2.2Actuador El actuador del levitador magntico es el electroimn. El electroimn es el encargado de generarlafuerzaelectromagnticaquepermitelalevitacindelobjeto.Paraelloes necesariovariarelvalordela fuerzaelectromagntica mediante elajustedelacorriente que atraviesa al electroimn.En el caso del Maglev de Feedback Instruments Ltd., ste incluye un controlador interno quegeneralacorrientequepasaatravsdelelectroimnmedianteunarelacinlineal con la tensin aplicada al mismo.i v k iv+ = .

( 22 ) Siendoila corriente necesaria para que la salida del sensor sea Sv .De este modo desacoplamos la relacin entre las ecuaciones del modelo mecnico y del modelo elctrico. Obtenemos de este modo una nica ecuacin diferencial que modela la dinmica del Maglev bajo estudio. 222.||

\| =hv kmkgthv ( 23 ) 2.2.3Controlador El controlador utiliza la seal del sensor para ajustar la tensin aplicada al actuador y de este modo mantener la levitacin. En este proyecto utilizaremos un control en tiempo real mediante PC. Este control en tiempo real se realiza mediante el componente Simulink de Matlabquepermiteelmodeladodelosdiferentescontroladoresypermitetambinla comunicacinentiemporealconlaplanta,graciasalaslibrerasRealTimeWorkshop (RTW)yRealTimeWindowsTarget(RTWT).EstasherramientasdeMatlabpermitenel diseo, desarrollo, simulacin y ejecucin del control del Maglev.Enlasiguientefiguraobservamosloscomponentesfsicosnecesariospararealizarel control en tiempo real del Maglev de Feedback Instruments.CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 11 Figura 3. Componentes fsicos del Maglev En la figura 3 observamos numerados los siguientes componentes. 1) Planta del Maglev.2) Mdulo de interfaz analgica.3) Tarjeta de adquisicin PCI (Advantech PCI-1711). 4) AdaptadordecableSCSI,ycableadonecesarioparalainterconexindeestos dispositivos.CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 12 Figura 4. Diagrama del proceso de control en tiempo real Lospasosnecesariospararealizarelcontrolentiemporealmediantelaaplicacin Matlab, vase la figura 4, son: -Realizacin del modelo del servosistema en Simulink. -Creacin del cdigo C y obtencin del cdigo ejecutable mediante la librera RTW de Matlab. -Carga del fichero ejecutable en la tarjeta de adquisicin mediante la librera RTWT 2.2.4 Ecuaciones de estado del Maglev Teniendoencuentatantolascaractersticasdelsensor,comodelactuadordelMaglev, podemos expresar las ecuaciones de estado para la planta bajo estudio como. 2122 1|||

\| ==x u kmkg xx xv&&( 24 ) Las ecuaciones de estado son la base para realizar tanto las tcnicas de control lineal en el EE, como las tcnicas de control no lineal. 2.2.5Sistema linealizado Mediantelalinealizacinrealizamosunaaproximacindeladinmicadelsistema alrededor de un punto. Para sistemas SISO podemos escribirnos este sistema linealizado tantoenformatofuncindetransferencia,comoenformatoecuacionesdeestado linealizadas.Encambio,parasistemasMISOoMIMOnicamentepodremosutilizarlas ecuaciones de estado linealizadas.Comoyasehacomentadoenlaintroduccindeestecapitulo,lastcnicasdecontrol clsicoestnbasadasenlafuncindetransferenciadelsistema.Mientrasquelas CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 13 tcnicas de control lineal en el EE y de control no lineal estn basadas en ecuaciones de estado. Por este motivo linealizamos la planta utilizando ambos formatos.Teniendo en cuenta la siguiente notacin para las ecuaciones de estado ) , () , (22121 2 1u x fx u kmkg xu x f x xv=|||

\| == =&& ( 25 ) encontramoslasecuacionesdeestadolinealizadasparaelMaglevrealizandoel Jacobiano sobre las ecuaciones de estado (en el punto de equilibrio). |||

\| +|||

\|(((

=|||||

\|+|||

\|(((((

=|||

\|02102121221221112120~~~021 0~~~~~ik g uxxhgufufuxxxfxfxfxfxxv&& ( 26 ) Donde 10 1 1~x x x = , 20 2 2~x x x = , 0~u u u = ,sonlasvariablesrestandolasposicionesde equilibrio. Utilizandoelformatogenricoparasistemaslinealeseinvariantestemporalmenteenel espacio de estado podemos escribir la anterior ecuacin como (((

=(((

= + =0 020,021 0,~ ~~ik ghgvB A u B x A x& ( 27 ) ParalaobtencindelafuncindetransferenciaparaunsistemaSISOseutilizael gradienteparaobtenerunaecuacinlinealizada,yseguidamenteserealizala transformada de Laplace sobre la ecuacin obtenida ) , (.222v h fhv kmkgthv=||

\| = |||

\| =UHu h f u h f ) , ( ) , (~0 0 con 0h h H =y 0u u U = . Siendo 0hy 0ula altura y las tensin de equilibrio. Uik gHhgUHu h f u h ftHv0 00 0 222 2) , ( ) , (~ =|||

\| = = Se realiza la transformada de Laplace. ) (2) (2) (0 02s Uik gs Hhgs H sv = CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 14 huK sKs Us H=2) () (

( 28 ) donde02ik gKvu= y 02hgKh = . Teniendoencuentaquelasalidadelaplantaeslatensindelsensor( H k VS S = ), reescribimos la ecuacin anterior, y obtenemos la funcin de transferencia de la planta. Shu SkK sKs Us Vs G = =2) () () ( ( 29 ) 2.2.6Valores fsicos del Maglev de Feedback Instruments S.L. AcontinuacinexpresamoslosvaloresfsicosparaelMaglevdeFeedbackInstruments S.L. Tabla 1. Valores fsicos del Maglev ParmetroDescripcinValor m g k h0 i0 kv ks Masa de la esfera metlica Constante gravitacional Constante de acoplamiento magntico Altura de equilibrio Corriente de equilibrio Ganancia del driver de corriente Ganancia del fotosensor 0.02 Kg 9.81m/s2 0.000025 Nm2/A2 0.01425 m 1.26 A 1.05 143.48 CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 15 III.CONTROL ElMaglevesunaplantanolinealeinestablepornaturaleza,estinestabilidadhace obligatorio utilizar un controlador para estabilizar la planta. A la hora de realizar el control delaplantaexistendiferentestiposdeconfiguracin,ennuestrocasoutilizaremosun control en lazo cerrado con retroalimentacin unitaria, podemos ver el esquema la figura 5. Figura 5. Esquema de control en lazo cerrado con retroalimentacin unitaria Ademsdeltipodeconfiguracintambin existendosmodosdetrabajoquedividenlos sistemas de control en dos, sistemas reguladores y servosistemas. Los sistemas reguladores son aquellos en los cuales su entrada de referencia es un valor constante.Mientrasquelosservosistemasoservossoncapacesderealizarel seguimiento de una referencia variable temporalmente. En este capitulo se explican todos los mtodos de control utilizados en este proyecto. En primerlugarseexplicandiferentestcnicasdecontrollinealclsico,seguidamentese explicandiferentesmtodosdecontrollinealenelespaciodeestado,ysefinalizacon dos mtodos de control no lineal. 3.1Control lineal clsico Comoyasehacomentadoenlaintroduccindeesteproyecto,larealizacindeuna prcticafinaldelaboratorioparalosalumnosdelaasignaturaSistemasElectrnicosde Control(extrapolableacualquierasignaturadegradodecontrolclsico)esunodelos objetivosdeesteproyecto.Porestemotivoempezamosestecapituloconunbreve recordatoriosobrecontroladoresPDyPID,ensudiseoseutilizarntantomtodos indirectos (LGR de Evans) como directos (ecuacin diofntica). Ambas mtodos de diseo debenserutilizadasporlosalumnosenlapracticafinalpropuesta(anexoIV),adems estos diseos mediante control clsico se utilizarn para realizar las comparativas con el resto de controladores. 3.1.1Controlador PD EnprimerlugarserepresentaelLugarGemetricodelasRaices(LGR)deEvans utilizando los valores fsicos del Maglev, figura 6. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 16 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200-20-15-10-505101520Root LocusReal AxisImaginary Axis Figura 6. LGR de la funcin de transferencia del Maglev DespusdeobservarlaposicindelospolosdelaplantaenelLGRdeEvans observamos que podemos estabilizar esta planta mediante la colocacin de un cero entre el polo estable de la planta y el origen de coordenadas. Teniendo en cuenta que la transformada de Laplace de un controlador PD es la siguiente)11 ( ) 1 ( szk skkk s k k CPDP D P PD + = + = + = ( 30 ) sepuedeaadirunceroaladinmicadelaplantaaadiendouncontroladorPDenel camino directo.Es necesario sintonizar dos parmetros (Pky Dk ) para tener el controlador PD totalmente ajustado.Laposicindelcerovienemarcadaporelvalordez ,escogemosunvalor dentro del rango descrito anteriormente y nicamente faltar sintonizar la gananciak . Los valoresposiblesdek losencontraremosmediantelarepresentacindelLGRdeEvans del Maglev con un control PD, figura 7.Root LocusReal AxisImaginary Axis-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-5-4-3-2-1012345System: LGain: 0.0299Pole: -0.237Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 0.237 Figura 7. LGR del Maglev con control PD. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 17 ObservandoelLGRvemosquelospolosdelMaglevconcontrolPDestnenel semiplano izquierdo (es estable) para0299 . 0 > k . Simulamos el comportamiento de este controlador con20 = zy1 = k 0 5 10 15 20 250.010.0150.020.0250.030.0350.04tiempo[segundos]posicin [mm] 0 5 10 15 20 250246810tiempo[segundos]Esfuerzo de control [V]referenciaposicion Figura 8. Simulacin del Maglev con control PD. 3.1.2Controlador PID LoscontroladoresPIDsonlosmsutilizadosenaplicacionesreales,principalmentepor su facilidad para sintonizar sus parmetros.Enesteproyectoseproponendosmtodosdiferentespararealizareldiseodel controlador PID. El primero es inmediato y consiste en aadir un controlador PI en serie con un PD, y por tantoobteneruncontroladorPI-PD.Lasegundaconsisteenbuscarlafuncinde transferencia del servo) (s Mteniendo en cuenta que el controlador utilizado es un PID. sks k k CID P PID+ + = ( 31 ) La funcin de transferencia del servo se encuentra mediante la siguiente expresin. ) ( ) ( 1) ( ) () ( 1) () () () (s P s Cs P s Cs Ls Ls Ds Ns MPIDPIDMM +=+= =( 32 ) Utilizando la funcin de transferencia del Maglev ( ) (s P ) encontrada en la ecuacin (29) se obtiene la siguiente funcin de transferencia para este servosistema. ) ( ) () () (2 2 32I P D s u h P s u s uI P D s uk s k s k k K s K k k K s k K sk s k s k k Ks M+ + + + ++ + = ( 33 ) Estafuncindetransferenciatienetrespolos,peroencontrolclsico(sobretodoen CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 18 cursos de grado) es preferible trabajar con funciones de transferencia de segundo orden. Parasolventaresteinconvenienteforzaremosqueunodelostrespolosestalejadode losotrosdos,ydeestemodolosdospolosrestantessernlospolosdominantesenla respuesta de la planta. Esta aproximacin no tiene en cuenta la posicin de los ceros del servo,peroessuficientepararealizarunprimerdiseoyadecuarlacomplejidaddel diseo a un curso de grado. Adems para facilitar el diseo, escogemos que los dos polos dominantesseancomplejosconjugadosydeestemodorealizaremoseldiseodelPID cumpliendoespecificacionesdediseodeunafuncindetransferenciadesegundo orden. Finalmente, la funcin de transferencia del servo tendr el siguiente formato. ) 2 )( () () (2 2n ns p ss Ns M + + +=( 34 ) Igualando con la anterior ecuacin de M(s) encontramos la relacin entre estos tres polos y los parmetros del PID. De este modo podemos sintonizar el PID de forma que cumpla conespecificacionesescogidasparaunafuncindetransferenciadesegundoorden (ancho de banda, rebase mximo, tiempo de subida, error permanente,). s unIk Kpk=2( 35 ) s unDk Kpk+= 2 ( 36 ) s uh n nPk KK pk+ + =22 ( 37 ) Simulamos el comportamiento del Maglev con un PID asignando el valor500 = ppara el pololejano,8 . 0 = para elcoeficiente deamortiguamientoy10 =n parala frecuencia natural.Paraestosparmetroslasgananciasproporcional,integralyderivativadel controlador PID son06 . 4 =Pk ,15 . 2 =Iky22 . 0 =Dk . 0 5 10 15 20 250.0110.0120.0130.0140.0150.0160.0170.018tiempo [segundos]posicin [mm] 0 5 10 15 20 250246810tiempo [segundos]Esfuerzo de control [V]referenciaposicion Figura 9. Simulacin del Maglev con control PID. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 19 3.1.3Controlador ITAE ptimo Las especificaciones de diseo para un controlado suelen darse en funcin de parmetros comoelanchodebanda,eltiempodeestablecimientooelerrorpermanente.Pero existenotroscriteriosquetambinpermitencomprobarlabondadenelcomportamiento delcontrolador.Loscriteriosmsutilizadossonlaintegraldelerrorabsoluto(IAE),la integral del cuadrado del cuadrado del error (ISE), la integral de la multiplicacin del error absoluto por el tiempo (ITAE) o la integral del error cuadrado y del cuadrado de la seal de esfuerzo (ISEU). EnesteapartadorealizaremoseldiseodeuncontroladorITAEptimo,porloque describimos a continuacin la expresin del indice ITAE. =0) ( dt t e t J ( 38) En la realizacin del controlador ITAE ptimo utilizaremos el diseo por sntesis directa. El primerpasopararealizardiseoporsntesisdirectaeslaeleccindeunafuncinde transferencia global del sistema) (s Mque cumpla con las especificaciones de diseo. En nuestrocasoescogemos) (s M deformaquenosoptimiceelITAEparaunerrorde aceleracin nulo [3]. 302020330202094 . 4 97 . 294 . 4 97 . 2) () () ( + + ++ += =s s ss ss Ds Ns MMM( 39 ) El objetivo ahora es encontrar un controlador) (s Cdel tipo0 1110 111) () () (B s B s B s BA s A s A s As Bs As Cmmmmmmmm+ + + ++ + + += =LL( 40 ) que utilizado en el Maglevhs uK sk Ks Ds Ns P Maglev= = 2) () () (( 41 ) nos d una respuesta) (s M como la mostrada anteriormente. El controlador que buscamos tiene que ser propio y el sistema debe ser bien propuesto e internamenteestable.Estastrescaractersticaslasconseguimossidiseamoseste controladorparaquelafuncindetransferenciaresultantetengalospolossituadosen igual que la funcin de transferencia objetivo) (s M , para conseguirlo se debe resolver la la siguiente ecuacin) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s D s B s N s A s DM= + ( 42 ) esta ecuacin se denomina ecuacin diofntica. Para que la ecuacin diofntica tenga solucin y sea una solucin nica se deben cumplir los siguientes requisitos. -) (s Ptiene que ser irreductible y de ordenn . -) (s C tiene que ser propia y de ordenm. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 20 -El denominador de) (s Mtiene que ser de orden1 + n m . La ecuacin diofntica se puede escribir tambin en formato matricial y de este modo su resolucin es directa, es un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.1 1 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 1) ( ) , ( ) , ( + + + + + += m n M m m m nD B A D N f C S ( 43 ) ((((((((((

=((((((((((

((((((((((

+ + + m nMMMMmmm m nn nn nn nDDDDBABABAN DN D N DN D N DN DN D N DN DMMMMLM M L M M M MLL M ML M MM M LL2101100) 1 ( 2 11 10 01 10 0 1 10 00 0 0 00 00 00 0 0 0 ( 44 ) Escogemos un controlador de primer orden, por lo que teniendo en cuenta que la planta del Maglev es de orden dos necesitamos una respuesta global del sistema de orden tres.((((((

=(((((

(((((

197 . 294 . 40 1 0 00 0 0 10 00 0020301100BABAk K Kk K Ks u hs u h( 45 ) Solucionamos la ecuacin diofntica y obtenemos un controlador de primer orden, que en realidad es un compensador de avance de fase.) () 97 . 2 ( ) 94 . 4 (97 . 2) (0302000 10 1s uh hk KK s KsB s BA s As C + + ++=++= ( 46 ) SimulamoselcomportamientodelaplantaconelcontroladorITAEptimoparauna frecuenciaseg rad / 1000 = . 0 5 10 15 20 2500.0050.010.0150.020.0250.03tiempo [segundos]posicin [mm] 0 5 10 15 20 250246810tiempo [segundos]Esfuerzo de control [V]referenciaposicion Figura 10. Simulacin del Maglev con control ITAE ptimo. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 21 3.2Control lineal en el espacio de estados La tendencia en los sistemas de ingeniera es hacia una mayor complejidad debido sobre todoaqueserequierentareasmscomplejasyaltaprecisin.Lossistemascomplejos pueden tener mltiples entradas y mltiples salidas y pueden ser variantes en el tiempo. Debidoalanecesidaddecumplirconespecificacionescadavezmsexigentesenel comportamiento de los sistemas de control, al aumento en la complejidad del sistema y al fcilaccesoaloscomputadoresagranescala,lateoradecontrolenelespaciode estados se ha desarrollado desde 1960. Esta nueva aproximacin se basa en el concepto de estado, descrito en el captulo anterior.Mientraslateoradecontrolclsicosebasaenlarelacinentrada-salida,ofuncinde transferencia, la teora de control en el EE se basa en la descripcin de las ecuaciones de un sistema en trminos denecuaciones diferenciales de primer orden, que se combinan enunaecuacindiferencialvectorialdeprimerorden.Elusodelanotacinmatricial simplifica enormemente la representacin matemtica de los sistemas de ecuaciones, y el incremento en el nmero de variables de estado, de entradas o de salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones. De hecho el anlisis de sistemas complejos con mltiples entradas y salidas se realiza mediante procedimientos slo ligeramente ms complicados que los requeridos para el anlisis de sistemas de ecuaciones diferenciales escalares de primer orden. Para un sistema expresado en ecuaciones de estados utilizaremos como seal de control una seal que utilice una ponderacin de todas las variables de estado Kx uCx yBu Ax x ==+ = &( 47 ) dondeK ser la matriz de ganancias de la realimentacin de estados. Medianteestaponderacinconseguiremosquenuestrosistemamantengasiemprela posicin de equilibrio deseada, sistema regulador. Pero en el caso del Maglev tambin se deseaqueelsistemaseacapazderealizarunseguimientoasealesdereferencia variables temporalmente, servosistema. Dentro de los servosistemas existe una clasificacin en funcin de si la planta incluye o no unintegrador.Podemoscomprobarapartirdelaecuacin(29)delMaglevquenuestra plantanoincluyeningnintegrador.Alahoraderealizarunsistemadecontroldeuna plantasinintegradoresnecesariointroducirunintegradorenelcaminodirectoentreel comparadordeerrorylaplantapararealizarelseguimientodesealesdereferencia variables, vase la figura 11. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 22 Figura 11. Esquema de control en el EE para plantas sin integrador. A partir de la figura anterior obtenemos las siguientes ecuaciones CxKx uCx yBu Ax x = =+ ==+ =r y rkI&&( 48 ) las nuevas ecuaciones de estado seran r0uB xC0 A x((

+((

+((

((

=((

1 0 0 &&( 49 ) Podemosbuscarladinmicadelerrorparaunaentradaescaln,ysiguiendoel procedimiento descrito en [12] encontraramos e K uu B e A e =+ =ee&( 50 ) con[ ]((

= =((

=((

=xe K KBBC0 AA ,,0,0Ik MElobjetivoahoraesencontrarlosvaloresdeKquenospermitanqueelerrortiendaa ceroconlasespecificacionesdeseadas.Paraelloutilizaremosdosmtodosdediseo, fijacin de polos y optimizacin LQ. 3.2.1Fijacin de polos El mtodo de fijacin de polos consiste en colocar los polos de un sistema en lazo cerrado enlaposicindeseadamedianteunarealimentacindeestados.Lautilizacindeeste mtodorequiereteneraccesoatodaslasvariablesdeestado,yqueelsistemaseade estado totalmente controlable. IkB A K C ry&x+ +++ + _ Planta CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 23 La condicin necesaria para que un estado sea totalmente controlable es que el rango de la matriz de controlabilidad sea igual al orden del sistema. [ ] B A AB B M1 =nM L M M ( 51 ) ParaelMaglevconocemoslasecuacionesdeestado(apartado2.2.5),estoimplicaque conocemoselvalordelasmatricesAyB,ademssabemosqueladimensinenel espacio de estados es2 = n , por tanto tenemos todos los datos para comprobar el rango de la matriz de controlabilidad. [ ](((((

= =022000MMMik gik gvvMaglevAB B M ( 52 ) n rangoMaglev= = 2 ) (M Debidoaqueenlaconfiguracindecontroldelafigura11seaadeunnuevoestado, ecuacin(49),tenemosqueverificarqueelnuevosistematambinesdeestado totalmente controlable. [ ] B A B A B M 2M M =ma Servosiste PerosisehacomprobadoqueelMaglevestotalmentecontrolable,comprobarqueel servosistemaestotalmentecontrolableesequivalenteaconfirmarqueelrangode ((

0 CB Aes igual a1 + n[12]. 1 30 0 12020 1 000 0+ = =(((((

=((

nik ghgrango rangovCB A Quedacomprobadadeestamaneraqueelservosistemaesunaplantadeestado totalmente controlable y que por tanto podemos utilizar la tcnica de fijacin de polos para controlar la planta. Laeleccindelaubicacindelospolosserealizadeformaquecumplamosconlas especificacionesdelsistema,yaseaencuantoavelocidadderespuesta,anchode banda, rebase mximo, respuesta permanente,. El mtodo ms utilizado es escoger los valoresdelospolos basndoseenlapropiaexperiencia,obiencolocarun pardepolos dominantesenlazocerradoyescogerelrestodeformaqueestnsuficientemente alejados a la izquierda de los polos dominantes en lazo cerrado. Una vez escogida la ubicacin de los polos, se utiliza la frmula de Ackermann [12] para determinar la matriz de ganancias de la realimentacin de estados ( K ).CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 24 3.2.2Control LQ ptimo Un mtodo alternativo a la fijacin de polos es el control ptimo cuadrtico. Este mtodo determinarlaposicindelospolosenlazocerradodeformatalqueseestableceun compromiso entre una respuesta aceptable y la cantidad de energa de control requerida.Para ello minimizaremos la funcin de costeJ + =0) ( dt JT Tu R u x Q x ( 53 ) DondeQ yR son funciones simtricas reales, que determinan la importancia relativa del error y del esfuerzo de control. Buscamos la matriz de gananciasKptima que minimiza la funcin de costeJteniendo en cuenta que la seal de control ptimo ser tambin del tipoKx u = . + =0) ( dt JT T TKx R K x x Q x ( 54 ) Encontrarlasolucinalaanteriorecuacin,yportantolamatrizK ptima,requiere solucionar la ecuacin matricial de Riccati. 0 Q P B PBR PA P A = + + T T 1 ( 55 )

SolucionamosestaecuacinparalamatrizP,ysilamatrizPresultanteesdefinida positiva entonces el sistema resultante es estable. Simulamos el comportamiento del Maglev con un controlador LQ ptimo con((((

=500 0 00 1 00 0 10Q 10 = RUtilizando los anteriores valores deQyR obtenemos la siguiente matriz de ganancias [ ] 07 . 7 , 32 . 0 01 . 3 = =Ik K CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 25 0 5 10 15 20 250.0080.010.0120.0140.0160.0180.02tiempo [segundos]posicin [mm] 0 5 10 15 20 250246810tiempo [segundos]Esfuerzo de control [V]referenciaposicion Figura 12. Simulacin del Maglev con control LQ ptimo. 3.2.3Observador de estados Como hemos visto en los anteriores apartados, la utilizacin de los mtodos de diseo de controladoresenespaciodeestadosrequiereteneraccesiblestodoslosestadosdel sistemaparasurealimentacin.Estoenlaprcticanosiempreesposible,entonceses necesarioestimarlosvaloresdetodaslasvariablesdeestado.Estaestimacinde variablesde estadonomediblesse denominanormalmenteobservacin,yeldispositivo (oprograma)queestimauobservaestasvariablesdeestadosellamaobservadorde estados. 3.3 Control no lineal A la hora de pensar en control no lineal, lo primero que se debe tener en cuenta es que habitualmente los procesos fsicos suelen ser por naturaleza no lineales. Esto implica que enlamayoradecasosenquetrabajamosconmodeloslinealesdeplantas,realmente estamostrabajandoconaproximacionesdelprocesofsicoreal.Estasaproximaciones sernsuficientessirecogentodalainformacinsobreladinmicadelaplantaenlos rangos de trabajo. Perocuandosonnecesariosunosmrgenesdetrabajograndesy/orespuestasagran velocidadlosefectosnolinealesdelaplantatendrnunaimportanciamayorenla dinmicaynopodrnserdescartados.Enestepuntoesdondesehacenecesariala utilizacin de sistemas de control no lineal para obtener el comportamiento deseado en la planta. En el caso de los sistemas de control no lineal no existe una metodologa general a seguir para disear el controlador. Cada problema, en particular, tiene su mejor tcnica aplicable. Entrelasposiblestcnicaaplicablesencontrolnolinealexisten;i)linealizacinpor CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 26 retroalimentacin, ii) control en modo deslizante, iii) control adaptativo y iv) programacin de la ganancia. Enesteapartadovamosadesarrollarlatcnicadelinealizacinporretroalimentacin. sta tcnica se puede entender como una transformacin del modelo del sistema original en un modelo equivalente de mayor simplicidad. Esta transformacin consiste en realizar unatransformacinalgebraicadeladinmicadelsistemanolinealenunadinmica totalmente (o parcialmente) lineal, de modo que se puedan aplicar las tcnicas comunes decontrollinealsobreelsistema.Enunprimermomento,puedeparecerqueestamos realizandounalinealizacinconvencionalmedianteelJacobiano(apartado2.2.5),pero sontcnicastotalmentediferentes.Enlatcnicadelinealizacinporretroalimentacin estamosrealizandounatransformacinexactadelasvariablesdeestadoydela retroalimentacin,mientrasqueenlalinealizacinconvencionalnicamenteserealiza una aproximacin lineal de la dinmica. Existendosmetodologasparallevaracabolalinealizacinporretroalimentacin,la primeralaconocemoscomolinealizacinexactaentrada-estado,ylasegundaesla linealizacinexactaentrada-salida.Ambasmetodologassonequivalentescuandoel grado,yelgradorelativodelaplantacoinciden.Estoesloqueocurreenelcasodel Maglev, por este motivo nicamente explicaremos la linealizacin exacta entrada-estado. 3.3.1 Linealizacin exacta entrada-estado Acabamos de explicar la idea principal en la que se basa la linealizacin exacta entrada-estado, pero tambin es necesaria una definicin formal de sta tcnica. Esta definicin la centramos en sistemas SISO, puesto que el Maglev es una planta de este tipo. Partimos de un sistema representado segn las siguientes ecuaciones de estado. u + = ) ( ) ( x g x f x& ( 56 ) Donde) (x f y) (x g son funciones vectoriales continuas y derivables. En el caso del Maglev habamos definido sus ecuaciones de estado en el apartado 2.2.4 y podemosadaptarlosalarepresentacinanteriordemaneradirecta.Tomando) (x f y ) (x g los siguientes valores Tg x ) ( ) (2= x f ( 57 ) T vxkmk) 0 ( ) (21 |||

\| = x g Finalmente tendramos descritas las ecuaciones de estado como 2) ( ) ( u + = x g x f x& ( 58 ) Decimos que un sistema SISO tiene grado relativorsi 1 0 0 ) ( = r i h L Lif gx0 ) ( x h L Lif g CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 27 La seal de control aparece elevada al cuadrado, cosa que no nos interesa para realizar lalinealizacinexactaentrada-estado,porestemotivoapartirdeestemomento realizaremoselcambiodevariable 2u uLE = yalfinalizarelprocesodelinealizacin desharemos este cambio. LEu + = ) ( ) ( x g x f x& ( 59 ) Teniendoencuentaquelosfuncionesvectoriales) (x f y) (x g existenen n ,yson funcionesvectorialescontinuasyderivables,sedicequeelsistemaesexactamente linealizableparaentrada-estadosiexisteunareginen n conundifeomorfismo n : y una ley de control no lineal del tipo

v uLE + = ) ( ) ( x x ( 60 )

tal que las nuevas variables de estado) (x z = y lanueva seal de controlvcumplan la siguiente relacin lineal e invariante temporalmente. v B Az z + = & ( 61 ) donde(((((((

=(((((((

=1000,0 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 1 0MLLM M M M MLLB A El nuevo estadoz se denomina estado linealizado, y la ley de control (LEu ) se denomina ley de control linealizada. Despusdeconocerladefinicinformaldelalinealizacinexactaentrada-estadoes necesariotambinconocerlascondicionesquedebecumplirelsistemaparapoder aplicar esta tcnica y la metodologa a seguir, para ello es necesario aplicar herramientas matemticas derivadas de la algebra de Lie, que se pueden ver en detalle en el anexo I. Unsistemacomoeldescritoenesteapartadoeslinealizabeexactamenteparaentrada-estado si, y slo si, existe una regin donde se cumplen las siguientes condiciones. -Elconjuntodefuncionesvectoriales{ } g g gf f1, , , nad ad K sonlinealmente independientes en. -Elconjunto{ } g g gf f2, , , nad ad K esinvolutivoen.Lapropiedaddeinvolucin, nosindicaquecualquierpardelconjunto{ } g g gf f2, , , nad ad K sepuedeexpresar comocombinacinlinealendeloselementosdelconjuntodefunciones vectoriales originales ({ } g f , ). ComprobamosambascondicionesparaelMaglev( 2 = n ).Lasegundacondicines Decimos que una funcin n n : es un difeomorfismo si es continua y derivable, y su inversa 1 tambin es continua y derivable. La expresingfadse refiere al corchete de Lie de[ ] g f , , vase Anexo I.CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 28 inmediataporquealserunsistemadeorden2,elconjunto{ } g g gf f2, , , nad ad Knicamente se compone por el elemento{ } g , el cual se puede obtener como combinacin linealdelosvectoresoriginales{ } g f , ,puestoqueeselsegundoelementodeeste conjunto.Paracomprobarlaprimeracondicindebemosescribirelconjunto{ } g gfad , y comprobar que el rango de esta matriz es igual a n. { }((((((

|||

\||||

\|=122212120,mxx kkxkmkxkmkadv vvg gf EstosecumpleenelcasodelMaglevyportantoloselementosdeesteconjuntoson linealmente independientes. Unavezcomprobadasestasdoscondicioneselsiguientepasoaseguirpararealizarla linealizacinexactaentrada-estadoesbuscarunprimerestado 1z quecumplalas siguientes ecuaciones. 02 , , 0 0111 = = ggffniad zn i ad z K( 62) EnelcasodelMaglev,escogemos equilibriox x z1 1 1 = ycomprobamosquecumplalas ecuaciones 62 y 63. ( ) 000 121101=||||

\||||

\|= = xkmk z ad zvg gf 02) 0 1 (211222111|||

\|=||||||

\||||

\|= xkmkmxx kkxkmkad zvvvgf Con el estado 1zya definido, podemos escribir la transformacin de estados como[ ]Tnz L z L z111 1) (= =f fx z L ( 63 ) Y la ley de control linealizado (60) utilizando111) (z L Lz Lnn =f gfx ( 64 ) 111) (z L Ln=f gx ( 65 ) Realizamos los dos pasos anteriores para el Maglev y tendremos realizada la linealizacin exacta entrada-estada para nuestra planta. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 29 [ ] [ ]2 1 1 1 1) ( x x x z L zeqT = = =fx z 221211112) (vvkk x mgxkmkgz L Lz L =|||

\| = =f gfx 22121111 1) (vvkkx mxkmkz L L =|||

\|= =f gx ( ) v gkkx mvkkx mkk x mgv uv v vLE= = + =221221221) ( ) ( x x ( 66 ) Finalmentenicamentefaltaraporescogerelvalordelasealdecontrolv ,pero teniendo en cuenta que estamos ante un sistema lineal e invariante temporalmente enz , ecuacin 61, podemos escoger una seal de controlvdel tipo Kz = vyencontramoselvalordeK utilizandocualquieradelosmtodosvistosenelcontrol lineal en el espacio de estado (fijacin de polos, optimizacin LQ). Eneldiseodelasealdecontrolv tambintenemosqueaadirunintegradorpara poderrealizarelseguimientodereferenciasvariablestemporalmente.Porloqueel sistemaaresolverparaencontrarK seraigualqueeldelaecuacin(49),pero cambiandoxporz . SimulamoselcomportamientodelMaglevutilizandolatcnicadefijacindepolospara escogerelvalordev .Fijamoslospolosen[ ] 20 15 10 ,estospolosgeneranel vectordeganancias[ ] 45 650 = K ,3000 =Ik .Conestevectordegananciasylas ecuaciones (67) y (68) podemos simular el comportamiento del Maglev con un control por linealizacin exacta entrada-estado. 0 5 10 15 20 2500.0050.010.0150.02tiempo[segundos]posicin [mm] 0 5 10 15 20 250246810tiempo[segundos]Esfuerzo de control [V]referenciaposicion Figura 13. Simulacin Maglev con control por LE CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 30 3.3.2 Control en modo deslizante La teora de control en modo deslizante fue creada a finales de 1950 en la antigua URSS, porungrupolideradoporelprofesorV.I.UtkinyelprofesorS.V.Emelyanovconel objetivodeenfrentarsealosproblemasespecficosasociadosconlossistemasde estructuravariable.Laproblemticaasociadaconestetipodesistemasradicaenque incluyensealesdecontroldiscontinuas,yportantolasecuacionesdiferencialesque describen la dinmica de estos sistemas son discontinuas.Actualmentelatcnicadecontrolpormodosdeslizantesesutilizadaenmultitudde aplicacionesporsuversatilidad,puestoquesepuedeaplicarenmuchostiposde sistemas (lineales, no lineales, SISO, MIMO, discretos, estocsticos,), y tambin por su capacidad de aadir robustez en el comportamiento del sistema. LanomenclaturagenricaparadesarrollarunsistemadecontrolMIMOenmodos deslizantes es ) , ( ) , ( ) , ( t t t x d u x g x f x + + = & ( 67 ) donde el vector de estadosxes de dimensinn , el vector de seales de controlu es de dimensinmy) , ( t x d esdedimensinn .Estaltimafuncinrepresentatodoslos factoresqueinfluyenenelcomportamientodelsistemadecontrol,comopuedenser perturbaciones e incertidumbre en los parmetros del sistema.Un sistema de control en modos deslizantes se compone de dos fases principales. -Fase de alcance, en esta fase el sistema de estados es conducido desde cualquier estado inicial hasta alcanzar la superficie deslizante en un tiempo finito. -Fasedemododeslizante,enestafaseelsistemayahaalcanzadolasuperficie deslizante y sigue la dinmica de sta. Esto es posible gracias a que la superficie deslizante crea una atraccin del sistema hacia ella misma. Estas dos fases se corresponde con los siguiente dos pasos de diseo -Seleccindelasuperficiedeslizante,debemosescogerunasuperficiecuya dinmica cumpla con especificaciones deseadas para el sistema. -Diseodelasealdecontroldiscontinua,laestrategiadecontroldiscontinuo permite alcanzar la superficie deslizante en un tiempo finito.Enelcontextodelsistemadescritoporlaecuacin(delprincipio), ysiguiendolospasos principalesdediseolasuperficiedeslizantepuedeexpresarsecomo0 ) ( = x s ,donde ) (x ses un vector de dimensinm (igual dimensin que el vector de seales de control) escogido teniendo en cuenta las propiedades deseadas para la dinmica del sistema. La seal de control m uest descrita por la siguiente estructura de control >>=+0 ) ( ) (0 ) ( ) (x xx xi ii iis us uuconm i , , 1 K =Elobjetivodelcontrolenmodosdeslizantesesconseguirqueelsistemaalcancela superficiedeslizante,yunavezsobreella,conseguiremosqueelsistemasecomporte siguiendoladinmicadeseada.Paraasegurarqueenuntiempofinitoalcanzaremosla CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 31 superficie deslizante podemos utilizar la teora de estabilidad de Lyapunov. Lateoradeestabilidad(local)deLyapunovdicequesiexisteunafuncinescalar) (x Vcuyas primeras derivadas parciales son continuas, de forma que-) (x Vest definida positivamente (en el entorno del punto 0x ) -) (x V& est definida negativamente (en el entorno del punto 0x ) Entonces el punto 0xes asimptoticamente estable. Elobjetivoesentoncesencontrarunasealdecontroldiscontinuoquecumplaconla teoradeestabilidaddeLyapunoventodalasuperficiedeslizante.Algunasestrategias utilizadas para escoger la seal de control discontinuo seran las siguientes -SMC basado en control equivalente. Escogiendo un control del tipo cu u u + =0( 68 ) dondecues la seal de control conmutado, y habitualmente se escoge con uno de estos dos formatos. a)) (i cs signo u = con0 > ( 69) b)) (i i cs s u =con0 > ( 70) -SMCtipoBang-bang.Escogiendounasealdecontroldirectamentedetipo conmutado

) (i cs signo M u u = = ( 71 ) donde0 > M seescogesuficientementegrandecomoparaeliminarlas perturbaciones. -Eleccindelaleydeaproximacin,fijamosmedianteunaleydeaproximacinla velocidadconlaqueelsistemaseaproximaralasuperficiedeslizante.Deeste modo, podemos encontrar el valor de una seal de control que cumpla el criterio de estabilidad de Lyapunov. Existen principalmente tres tipos de eleccin. a) Ley de alcance de tipo proporcional ) (0s s signo K = & ( 72 ) b) Ley de alcance de tipo constante ms proporcional s s s4 0) ( K signo K + = & ( 73 ) c) Ley de alcance de tipo potencial ) (0s s s signo K =&( 74 ) Una vez asegurado que alcanzaremos el modo deslizante, interesa conocer que dinmica seguirelsistema.Paraello,podemosdefinirunasealvirtual,lacualsedenomina controlequivalente(equ ),quepermiteconocerladinmicadelsistemacuandostese CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 32 sita sobre la superficie deslizante. Encontramos el valor de equ , teniendo en cuenta que para esta seal de control se cumple0 ) ( = x s& . [ ] 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) ( = + + == t u t ts sseqx d x g x fxxxx & &[ ] ) , ( ) , ( ) , (1t tstsueqx d x fxx gx+||

\| =( 75 ) Paraque existalasealvirtualdecontrolequivalente esnecesarioque ||

\|) , ( tsx gxsea invertible. Adems, si la funcin) , ( t d xexiste dentro del rango de) , ( t x gpodremos definir una seal de control dutal que dt t d u x g x = ) , ( ) , ( ( 76 )

esta condicin se conoce como condicin de encaje. Si se cumple la condicin de encaje podemos describir la dinmica del sistema como d eqt t t u x g u x g x f x ) , ( ) , ( ) , ( + + = & y sustituyendo equpor la ecuacin (75) obtenemos ) , ( )) , ( ( ) , ( ) , (1tstxst t x fxx g x g x f x =& ( 77 ) comprobamoscomoladinmicasobrelasuperficiedeslizanteesinmuneala perturbacin) , ( t x d , lo cual nos muestra que si se cumple la condicin de encaje el control en SM es invariante ante perturbaciones paramtricas, y por tanto robusto.La teora sobre SM se basa en que la conmutacin de la seal de control sea ideal, pero enlasaplicacionesrealesestoesimposibleporquesiempreaparecenretrasos.Estano idealidad en la conmutacin induce una oscilacin en torno a la superficie deslizante. Este es el principal inconveniente en la utilizacin de esta tcnica. Unavezexplicadabrevementelateorasobreelcontrolenmodosdeslizantesparauna plantagenrica.PasamosadiseardoscontroladoresdiferentesparaelMaglevbajo estudio (sistema SISO). 3.3.2.1 Control en modo deslizante esttico Utilizaremoselcontrolenmododeslizantesobreelmodelodeplantalinealizado,esto implica que ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( t t t t x d Bu Ax x d u x g x f x + + = + + = & ( 78 ) SiendoA yB las mismas matrices que en la ecuacin (27) CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 33 Cuando nos referimos a un control en modo deslizante esttico estamos indicando que la superficie deslizante escogida ser invariante temporalmente. La eleccin de la superficie deslizante debe ser, por tanto, un hiperplano lineal.( )2 2 1 1212 1) ( x S x SxxS S S sT+ =|||

\| = = x x ( 79 ) Una vez definida la superficie deslizante, ahora debemos escoger la seal de control. En nuestro caso escogemos una estrategia de control basada en control equivalente. cu u u + =0 Donde cu serunasealdecontrolconmutada,variableenfuncindelaposicin respecto a la superficie deslizante. )) ( ( x s signo M uc = Lasealdecontrolequivalente 0u ,laescogemosconelmismovalorquela equ dela ecuacin (75), pero sin tener en cuenta las perturbaciones ( ) ) (10A B =T TS S u Con lo que la seal de control en modo deslizante esttico sera( ) )) ( ( ) (1x A B s signo M S S uT TSSM = ( 80 ) Una vez escogida la seal de control necesaria mientras estamos en el modo deslizante, faltaasegurarqueelsistemapodralcanzarlasuperficiedeslizanteenuntiempofinito. ParaelloutilizaremoselcriteriodeestabilidaddeLyapunov,escogiendolasiguiente funcin de Lyapunov VTV s s =21( 81 ) es inmediato observar que0 > Vsiempre que0 s , y ahora faltara comprobar que0 < V& 0 < =TV s s && [ ] [ ] ) , ( ) , ( ) (0t u S t u u S VcTcTx d B s x d B A s xxss + = + + + = = && si suponemos que la perturbacin cumple la condicin de encaje, ecuacin (76), entonces [ ] ) ( ) ( s s B s B s + = + =dTdTu M S u signo M S V& CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 34 HabitualmenteB TS espositivoyentoncesescogiendo max du M> aseguraramosla estabilidadsegnLyapunov.EnelcasodelMaglevelproductoB TS esnegativoyes necesario escoger0 < My maxdu M> . Con esta eleccin aseguraramos que el sistema es estable a pesar de las perturbaciones, y por tanto robusto. SimulamoselcomportamientodelMaglevconuncontrolporSSM,conlossiguientes valores10 = My[ ] 5 50 = S0 5 10 15 20 250.0080.010.0120.0140.0160.0180.02tiempo [segundos]posicin [mm] 0 5 10 15 20 250246810tiempo [segundos]Esfuerzo de control [V]referenciaposicion Figura 14. Simulacin del Maglev con control en SSM 3.3.2.2 Control en modo deslizante integral En el caso del control en modo integral deslizante partimos tambin de un sistema como el de la ecuacin (78), pero escogiendo una superficie deslizante de tipo integral dt u A S StT T+ =00) ( ) ( B x x x s ( 82 )

LasuperficiedeslizanteutilizadaenISM,talcomosunombreindica,incluyeunaparte integral que vara temporalmente. Por este motivo, el control en modo integral-deslizante esuncontroldinmico,ademselordendelsistemaydelaplantaeselmismo,no reducimoselordencomoenelcasoesttico.Esos,utilizarunasuperficieintegral permiteforzarqueelsistemaempieceenelinstantet=0sobrelasuperficiedeslizante, gracias a la eleccin de las siguientes condiciones iniciales para la integral ) 0 ( . . x =TS i cdeestaformaeliminamoslafasedealcanceynicamentetrabajaremosenmodo deslizante.Seescoge 0u deformaqueelsistema 0u B Ax x + = & cumplaconlasespecificaciones deseadas. Para ello, podemos usar cualquiera de las tcnicas de control lineal explicadas anteriormente.CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 35 Igualqueenelanteriorapartadoestudiaremoslaestabilidadmedianteelcriteriode Lyapunov, utilizando la funcin de Lyapunov de la ecuacin () y suponiendo tambin que ) (x d cumplelacondicindeencaje.Enestecasofijaremosquelasealdecontrol cumpla la ley de alcance de tipo proporcional, ecuacin (72). 021> =TV s ss s s s s0 0)) ( ( K signo K V = = = && Se cumple el criterio de Lyapunov siempre que00 > Ky0 s . Derivando la ecuacin (80) e igualando con la ley de alcance, ecuacin (72), encontramos el valor de la seal de control. [ ] ) (0 0s B x x s signo K u A S ST T = + = & &[ ] [ ] ) (0 0s B Ax B Ax signo K u S u ST T = + +) (00sBsignoSKu uT = ( 83 ) Podemoscomprobarquemedianteesteprocedimientotambinencontramosunaseal de control del tipo control equivalente. SimulamoselcomportamientodelMaglevconuncontrolenSM,conlossiguientes valores25 . 120 = Ky[ ] 75 . 0 1 = S y tomando como 0ula seal de control obtenida por el controlador EE. 0 5 10 15 20 250.0080.010.0120.0140.0160.0180.02tiempo [segundos]posicin [mm] 0 5 10 15 20 250246810tiempo [segundos]Esfuerzo de control [V]referenciaposicion Figura 15. Simulacin del Maglev con control en ISM CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 36 IV.RESULTADOS EXPERIMENTALES Unavezdiseadostodosloscontroladoresycomprobadosucorrectofuncionamiento mediante simulacin pasamos a comprobar su funcionamiento en el Maglev. Se realizarn unaseriedeexperimentosquepermitirnllevaracabounestudiocomparativodelos controladoresdiseados,severificarnlaspropiedadesdecadamtododecontrolyse propondr cual es ms apropiado para el control del Maglev. En este estudio comparativo se incluyen todos los controladores simulados en el captulo III con excepcin del PD.Estecaptulosedivideencuatroapartados,enelprimerodeellosexplicaremoslas modificacionesrealizadassobrelosdiseostericosparahaceroperativostodoslos controladores. En el segundo apartado se realiza un estudio de las caractersticas de los controladoresenrgimenpermanente,sistemaregulador.Eneltercerapartadose compruebalacapacidaddecadacontroladorpararealizarelseguimientodeuna referencia,servosistema.Yfinalmenteenelltimoapartadoseestudialarobustezde cada controlador. 4.1Modificaciones EnelcaptuloIIIsehacomprobadomediantesimulacinelcorrectofuncionamientode todos los controladores diseados. A partir de la simulacin se tiene una primera visin del comportamiento de cada controlador, pero esto no asegura que una vez implantados sean operativos.En primer lugar pueden existir errores en el modelo utilizado, estos errores pueden ser de tipoparamtricoodetiponoparamtrico.Loserroresdetipoparamtricosonlos relacionados con las desviaciones en el valor de los parmetros del modelo utilizado con respectoalosvaloresdelaplantareal,mientrasqueloserroresnoparamtricosestn relacionados con una eleccin inadecuada en el orden del modelo. En segundo lugar, los modelosutilizadosparasimulacinnoincluyennielruidodemedidaintroducidoporel sensor, ni los retrasos introducidos por el control discreto en tiempo real.En una planta inestable, como es el caso del Maglev, estos dos puntos hacen complicado queelresultadoexperimentalyelresultadoobtenidomediantesimulacincoincida.Es ms, alguno de los controladores diseadosse ha tenido que modificar, a pesar de que su comportamiento en las simulaciones era correcto.LoscontroladoresporLE,porSSM,porISMeITAEptimosehanmodificadopara conseguirquefuesencapacesdeestabilizaryregularlaplanta,yderealizarel seguimiento de una referencia. Comentamos a continuacin los cambios en el diseo que se han tenido que introducir. En el caso del controlador por LE reescribimos la ecuacin (66) ( )2 1 221221221u u vkkx mgkkx mv gkkx muv v vLE+ == = ( 84 ) despusderealizarnumerososexperimentosconestecontroladorsepudoobservar comoenposicionescercanasalelectroimn( 01 = x )laplantasedesestabilizaba. Observandolaecuacin(84)sepuedecomprobarqueenposicionescercanasal electroimn la seal de control se anula. Si entendemos la ecuacin (84) como una seal CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 37 decontrolcompuesta pordossealesdecontroldiferentes,laprimerase encargarade ofrecerlatensinnecesariaparamantenerlaposicinsinoexistieseninguna perturbacinylasegundaseencargaraderealizarelcontrolanteperturbaciones.Por estemotivorealizamosunapequeamodificacinyfijamosenlasegundapartedela sealdecontrolunvalorfijoparapermitiralcontroladorpoderreaccionar,inclusoen posicionesmuycercanasalelectroimn.Deestemodoutilizamoslasiguientesealde control ( ) vkkx mgkkx mv gkkx muvfijav vLE 22_ 12212212) ( = = ( 85 ) En el caso del SSM despus de realizar los experimentos observamos que era incapaz de estabilizarelsistema,peseaseruncontroladorrobustoquedeberafuncionarbajo condiciones diferentes a las ideales. Por este motivo se realizo un cambio en la seal de control y en la superficie deslizante. De modo que se escogi nuevamente una seal de controldetipoequivalente,peroenestecasoseutilizouna 0u delmismovalorquela seal de control en EE. Adems tambin se modific la superficie deslizante escogiendo una del tipo. ( ) ) ( ) ( ) (2 2 2 1 1 12 21 12 1 ref refrefrefTx x S x x Sx xx xS S S s + =|||

\| = = x x ( 86 )

En el caso del ISM el comportamiento del controlador tampoco era el idneo. Despus de analizar los valores quetomaba la superficie deslizante observamos que las oscilaciones en la seal de control 0uhacan que el valor de la superficie deslizante fuese diferente al esperadoypor tantolasealdecontrolconmutadaempeoraseel comportamientodela planta, tanto en modo seguimiento de referencia, como en rgimen permanente, como al incluir perturbaciones. Por este motivo decidimos no utilizar la seal 0uen el clculo de la superficie deslizante, sino que utilizamos una estimacin 0 uobtenida directamente a partir del modelo de la planta y de la seal de referencia.En el caso del controlador ITAE ptimo, aunque si que era capaz de estabilizar el sistema, presentabaunoffsetqueimpedarealizarlosexperimentos.Porestemotivodecidimos anteponer un controlador PI en serie con el ITAE ptimo para eliminar este offset.Finalmentehacemosunresumencontodaslassealesdecontrolutilizadasencada controlador y con los valores especficos de cada parmetro. Tabla 2. Valor parmetros utilizados en los experimentos ControladorValor parmetros PID4 =Pk ,2 . 0 =Dk ,2 =IkPI-ITAE 1 =Pk ,1 =Ik ,1000 = EE01 . 31 = k ,32 . 02 = k ,07 . 7 =IkLE 6501 = k ,452 = k,3000 =Ik ,009 . 0_ 1=fijaxSSM[ ] 1 1 = S ,1 = MISM [ ] 75 . 0 1 = S ,25 . 120 = K CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 38 4.2Rgimen permanente Losexperimentosparacomprobarelcomportamientodelosdiferentescontroladoresen rgimenpermanenteconsistenenfijarunaalturadeseadaparalalevitacindelabola magntica, este modo de funcionamiento se conoce como modo regulador. Podemos ver en la siguiente tabla las alturas de referencia utilizadas en cada experimento. Tabla 3. Alturas de referencia Experimento 1 Altura de referenciamm x ref25 . 141=Experimento 2 Altura de referenciamm x ref5 . 191=Experimento 3 Altura de referenciamm x ref161=Experimento 4 Altura de referenciamm x ref5 . 121=Experimento 5 Altura de referenciamm x ref91= Elprimerexperimentotomacomoalturadereferenciaelvalordelaalturadeequilibrio, staalturaestambinlautilizadaparaobtenerlasaproximacioneslinealesdelaplanta (funcindetransferencia,yespaciodeestadoslineal).Elrestodealturasseescogen equidistantes por encima y por debajo de la altura de equilibrio.Enlafigura16observamoselcomportamientodetodosloscontroladoresfuncionando comoreguladoresenelexperimento1.Talycomopodemosverenlaleyendadela figura,laposicindelabola(salidadelaplanta)estrepresentadaencolorazulyla posicin deseada est representada en color rojo discontinuo, ste cdigo de colores ser el utilizado tambin en el resto de figuras de este captulo. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 39 0 5 10 15 20 2513.51414.515tiempo[seg]posicin[mm]PID posicionreferencia0 5 10 15 20 2513.51414.515PI-ITAEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 2513.51414.515EEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 2513.51414.515LEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 2513.51414.515SSMtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 2513.51414.515ISMtiempo[seg]posicin[mm] Figura 16. Seal de salida y de referencia para el experimento 1 ElcriterioutilizadoparacompararlosdiferentescontroladoresserelIAE(Integralde valor Absoluto del Error), definido por la siguiente ecuacin =0dt e IAEEnlatabla4tenemoselvalordelIAEparatodosloscontroladoresenlasdiferentes posiciones utilizadas en el experimento. Tabla 4. IAE en rgimen permanente. PIDPI-ITAEEELESSMISM Experimento 10.002330.001130.002830.003080.002200.00262 Experimento 20.003790.001040.003280.002610.002540.00284 Experimento 30.002410.000840.002830.002600.002460.00237 Experimento 40.002030.000960.002870.002320.002530.00272 Experimento 50.003370.001050.003830.002550.003080.00237 Se observa como el controlador que estabiliza la planta con una mayor precisin es el PI-ITAE, despus le siguen los dos controladores en modo deslizante (SSM e ISM). Y el peor comportamiento lo tienen el PID y el EE. Podemos comprobar de una forma ms visual en la tabla 5 la gran precisin de todos los controladores visualizando el error medio de todos ellos. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 40 Tabla 5. Error medio (mm) en la medida. PIDPI-ITAEEELESSMISM Experimento 10.093250.045240.113180.123060.087800.10497 Experimento 20.151430.041660.131100.104450.101560.11371 Experimento 30.096420.033650.113150.103980.098390.09469 Experimento 40.081070.038380.114710.092660.101080.10875 Experimento 50.134690.041930.153200.102020.123210.09469 Observamoscomotodosellostienenunerrormediomenora0.16mm,einclusoelPI-ITAE tiene un error inferior a 50m. Enlafigura17podemosobservarlasealdecontrolcorrespondienteconlassalidas observadas en la figura anterior. 0 5 10 15 20 25-10-50510PIDtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510PI-ITAEtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510EEtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510LEtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510SSMtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510ISMtiempo[seg]Esfuerzo de control[V] Figura 17.Esfuerzo de control para el experimento 1 En un controlador no solo es importante el error que comete en modo regulador, sino que tambinpuedeserimportanteelesfuerzodecontrolnecesarioparamantenerlaaltura deseada. Por este motivo tambin utilizaremos criterio ISEU (Integral del error cuadrado y del esfuerzo de control) para comprobar el funcionamiento de todos los controladores, con este criterio no solo tenemos en cuenta el error cometido sino que el esfuerzo de control necesariotambinpenaliza.LaecuacinquedefineelISEUlapodemosvera continuacin + =02 2) ( dt u x ISEU enesteproyectosiempreutilizaremos10 = porquefuelautilizadaeneldiseodel controlador LQ ptimo. ComoenelcasodelcriterioIAEtambinutilizaremosunatablacomparativapara diferentes alturas. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 41 Tabla 6. ISEU en rgimen permanente PIDPI-ITAEEELESSMISM Experimento 1537.72316.231280.70268.85371.61523.43 Experimento 21911.80461.551825.10466.96569.99715.81 Experimento 3609.66353.411206.40300.65364.88544.15 Experimento 4279.84353.371079.50226.16367.58552.11 Experimento 5362.1664.02804.70196.51201.63263.77 Teniendoencuentaelesfuerzodecontrolnecesarioparamantenerlalevitacin,el controlador que ofrece un mejor comportamiento es el LE seguido del PI-ITAE, y los que peor comportamiento ofrecen vuelven a ser nuevamente el PID y el EE. Unavezrealizadoslosexperimentosenrgimenpermanentepodemosconcluirqueel controladorqueofreceentrminosgeneralesunmejorcomportamientocomoregulador eselPI-ITAE.TambinpodemosconcluirqueelcontrolnolinealporLEmantienela levitacinconunesfuerzodecontrolmenor,yportantoofreceunmenorconsumode potencia. 4.3Seguimiento de seal Enelmodoseguimientodesealtambinsevanarealizarcincoexperimentos,enlos cuales el servosistema deber realizar el seguimiento de una seal cuadrada centrada en diferentes alturas, ver tabla 7. Finalmente se buscar el rango mximo para el cual cada controlador es capaz de realizar el seguimiento de una referencia cuadrada. Tabla 7. Seal de referencia cuadrada para los diferentes experimentos Experimento 6Amplitud de pico a pico,mm App 7 = ,y centrada en mm x 25 . 141 =Experimento 7Amplitud de pico a pico,mm App 7 = ,y centrada enmm x 5 . 191 =Experimento 8Amplitud de pico a pico,mm App 7 = ,y centrada enmm x 161 =Experimento 9Amplitud de pico a pico,mm App 7 = ,y centrada enmm x 5 . 121 =Experimento 10Amplitud de pico a pico,mm App 7 = ,y centrada enmm x 91 = EnestosexperimentosnopodemosutilizarelcriterioIAEparacompararlosresultados entre los diferentes controladores porque los controladores se han diseado para realizar elseguimientoenunrangodetrabajolomayorposible.Eneldiseonosehatenido cuenta el tiempo de respuesta, esto implica que los controladores con un mayor tiempo de respuestaobtendrnunvalorpeordeIAE,peroestevalornoindicarnecesariamente que su comportamiento sea peor. En cualquier caso si que utilizaremos este criterio para comparar la variacin en el comportamiento de cada controlador en funcin de la distancia respecto a la altura de equilibrio. En la figura 18, podemos observar el comportamiento de todos los controladores para el experimento 6. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 42 0 5 10 15 20 25101520tiempo[seg]posicin[mm]PID posicionreferencia0 5 10 15 20 25101520PI-ITAEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25101520EEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25101520LEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25101520SSMtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25101520ISMtiempo[seg]posicin[mm] Figura 18. Seal de salida y de referencia para el experimento 6 DespusdelarealizacindetodoslosexperimentosobtenemoselIAEdecadaunode ellos.EstevalorobtenidodelIAElonormalizamosconrespectoalvalordeIAEdel experimento6,deestemodosecompruebaelcomportamientodecadacontroladorpor separado. Tabla 8. IAE normalizado en seguimiento de una seal cuadrada PIDPI-ITAEEELESSMISM Experimento 61.000001.000001.000001.000001.000001.00000 Experimento 71.051280.000001.024190.987080.952041.01072 Experimento 81.581651.158031.150700.992631.009931.00484 Experimento 91.081201.115081.020690.996431.010641.01636 Experimento 10 1.581651.158031.150701.266951.009931.08899 Analizandolosresultadosobtenidos,seobservaunprimerpuntodiferenciadorentreel funcionamiento en seguimiento de referencia y el funcionamiento en rgimen permanente. Enrgimenpermanenteelcontroladorqueofreceun mejorcomportamientoglobalesel PI-ITAE,sinembargoestecontroladoreselnicodetodosincapazderealizarel seguimientodeunasealdereferenciacuadradacuandonosalejamosdelpuntode equilibrio,yportantoeselcontroladorconpeorcomportamientoenesteaspecto.Los controladores con menor variacin en su comportamiento independientemente de la altura escogidaparalalevitacinsonlosdoscontroladoresenmododeslizante,estonoes extrao puesto que son los nicos robustos. Cabe destacar que nuevamente el control por LE ofrece un comportamiento muy cercano al del mejor controlador. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 43 0 5 10 15 20 25-10-50510PIDtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510PI-ITAEtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510EEtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510LEtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510SSMtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510ISMtiempo[seg]Esfuerzo de control[V] Figura 19. Esfuerzo de control para el experimento 6 En la figura 19 observamos el esfuerzo de control de todos los controladores al realizar el experimento6.Utilizandoelesfuerzodecontrolparatodoslosexperimentosenmodo seguimientodesealpodemosextraerlatabla9conelvalordelISEU.Losdiferentes valoresdeISEUnosmuestrancomoloscontroladoresnolinealesofrecenunmenor consumoqueloscontroladoreslineales.Cabedestacarelbajoconsumodelcontrolador por LE, igual que ocurre en modo regulador, y tambin el elevado consumo del PID. Tabla 9. ISEU en seguimiento de una seal cuadrada PIDPI-ITAEEELESSMISM Experimento 68795.09607.76778.83281.77445.77521.45 Experimento 79351.89--1078.99460.18562.37673.59 Experimento 89147.75718.08750.38325.00658.43378.29 Experimento 98827.93684.01829.06215.24592.06465.98 Experimento 10 9186.38433.64728.34283.34325.56498.36 Despusderealizarlosexperimentosenmodoseguimientodereferenciapodemos concluirqueloscontroladoresnolinealesofrecenunmejorcomportamiento,yun consumomenor. Tambinseobservacomoloscontroladoreslinealessufrenunamayor variacin en su comportamiento cuando el rango de trabajo se aleja del punto de equilibrio utilizado en su diseo. Otropuntointeresanteesbuscarlosrangosmximosdetrabajodecadacontrolador,y comprobardeestemodositalycomolateoraindicaloscontroladoresnolineales ofrecen unos rango de trabajo mayores. La figura 20 muestra el rango mximo para cada controlador. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 44 0 5 10 15 20 25010203040tiempo[seg]posicin[mm]PID posicionreferencia0 5 10 15 20 25010203040PI-ITAEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25010203040EEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25010203040LEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25010203040SSMtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25010203040ISMtiempo[seg]posicin[mm] Figura 20. Seal de salida y de referencia en el rango mximo ObservamoscomoloscontroladoreslinealesPIDyPI-ITAEtienenunrangodetrabajo menorqueelrestodecontroladores.Todoslosdemssoncapacesdemantenerla levitacin para una amplitud de pico a pico igual al rango mximo del sensor.

Enlatabla10podemosobservarelvalordelIAEdecadacontroladortrabajandoensu rango mximo normalizado con respecto al IAE del experimento 6. Tabla 10. IAE normalizado del rango mximo PIDPI-ITAEEELESSMISM IAE----3.927783.873313.189313.42559 Apartirdelosvaloresdelatablapodemosconcluirqueaunquetodosloscontroladores conexcepcindelPIDyelPI-ITAEsoncapacesdelevitarlabolaentodoelrangodel sensor,loscontroladoresnolinealessonlosquemenorvariacintienenensu comportamiento.4.4Robustez Comprobaremoslarobustezdetodosloscontroladoresmediantedosexperimentos. Ambosexperimentosutilizanlosmismosparmetrosdeentradaqueelexperimento6 perointroduciendounaperturbacin.Enelexperimento11laperturbacinconsistiren doblar el peso de la bola metlica, para ello aadiremos una segunda bola a la levitacin talycomomuestralafigura21.Yenelexperimento12laperturbacinconsistiren Aunque el rango del sensor llega a 0mm se toma la posicin 5mm como rango mximo del sensor porque la posicin 0mm se corresponde con la posicin del electroimn. Y una vez la bola metlica contacta con el electroimn, la bola se pega y nicamente se puede separar de forma manual. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 45 aadirruidoblancoalaentradadelaplanta,lasealderuidotendrunmediade0 Voltios y una varianza de 1 Voltio. Figura 21. Experimento 11, levitacin de dos esferas Paracomprobarelcomportamientodetodosloscontroladoresutilizaremostambinlos criterios IAE e ISEU normalizados con respecto al experimento 6.0 5 10 15 20 25510152025tiempo[seg]posicin[mm]PID posicionreferencia0 5 10 15 20 25510152025PI-ITAEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25510152025EEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25510152025LEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25510152025SSMtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25510152025ISMtiempo[seg]posicin[mm] Figura 22. Seal de salida y de referencia para el experimento 11 Enla figura22sepuedeverlarespuesta detodosloscontroladoresdespusdeaadir unasegundabolaalalevitacin,marcadoconunaflechaenlafigura.Losnicos controladorescapacesderealizarelseguimientodelareferenciacuadradadespusde aadir una segunda bola a la levitacin son los dos controladores en modo deslizante y el controllinealenelEE.UtilizaremoselcriterioIAEparapoderdecidircualdeestostres controladoresescapazderealizarelseguimientodelasealcuadradaconunamenor variacin respecto al mismo experimento con una nica bola levitando (experimento 6). La tabla 11 muestra el valor del IAE normalizado para el experimento 11. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 46 Tabla 11. IAE normalizado del experimento 11 PIDPI-ITAEEELESSMISM Experimento 11----1.30215--0.857740.97712 Losresultadosdelatabla11nosmuestrancomoelcontrolenISMtieneun comportamiento casi idntico al que tuvo en el experimento 6 (sin perturbacin), esto nos indica la robustez de este controlador. En el caso del control en SSM el comportamiento incluso mejora, esto es debido a que al aumentar el peso los picos que este controlador realizacuandocambiaelvalordelasealdereferenciasonmenores.Enelcasodel controlEEescapazderealizarelseguimientodelareferenciaperosucomportamiento empeora. Observamostambinelesfuerzodecontrolparaelexperimento11enlafigura23,y comprobamoslavariacindelvalordelISEUnormalizadorespectoalexperimentocon una nica bola levitando en la tabla 12. 0 5 10 15 20 25-10-50510PIDtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510PI-ITAEtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510EEtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510LEtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510SSMtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510ISMtiempo[seg]Esfuerzo de control[V] Figura 23.Esfuerzo de control para el experimento 11 Tabla 12. ISEU normalizado del experimento 11 PIDPI-ITAEEELESSMISM Experimento 11----2.17--3.825.31 Unavezrealizadoelexperimentodeaadirlasegundabolaalalevitacinpodemos concluir que los controladores en SM son los que ofrecen mejor comportamiento, aunque el control en EE tambin ofrece cierta robustez. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 47 Elexperimento12consisteenaadirunaperturbacinenlasealdecontrol. Observamosenlafigura24larespuestadetodosloscontroladoresanteesta perturbacin. 0 5 10 15 20 25510152025PIDtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25510152025PI-ITAEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25510152025EEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25510152025LEtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25510152025SSMtiempo[seg]posicin[mm]0 5 10 15 20 25510152025ISMtiempo[seg]posicin[mm] Figura 24. Seal de salida y de referencia para el experimento 12 Todos los controladores con excepcin del PI-ITAE son capaces de mantener la levitacin apesardelaperturbacin.EncontramoslosvaloresdelIAEnormalizadorespectoal experimento 6 en la tabla 13. Tabla 13. IAE normalizado del experimento 12 PIDPI-ITAEEELESSMISM Experimento 121.46850--1.249381.624501.138691.16977 Nuevamente los controladores en SM son los que sufren una menor variacin, por lo que siguen mostrndose los ms robustos de todos.En la figura 25 observamos el esfuerzo de control necesario para mantener la levitacin, sepuedevercomohayunaoscilacinmayordebidoaquelaperturbacinquehemos aadido es un ruido blanco de varianza 1V. CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR MAGNTICO. ESTUDIO COMPARATIVO 48 0 5 10 15 20 25-10-50510PIDtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510PI-ITAEtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510EEtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510LEtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510SSMtiempo[seg]Esfuerzo de control[V]0 5 10 15 20 25-10-50510ISMtiempo[seg]Esfuerzo de control[V] Figura 25. Esfuerzo de control para el experimento 12 Tabla 14. ISEU normalizado del experimento 12 PIDPI-ITAEEELESSMISM Experimento 121.06--1.902.091.241.42 Finalmente podemos definir al controlador en SSM como el controlador globalmente ms robusto,aunqueelcontroladorenISMofreceuncomportamientomuysimilar.Ambos demuestran su propiedad de invariancia ante perturbaciones.

CONTROL LINEAL Y NO LINEAL DE UN LEVITADOR M