CONICAS Y CU´ ADRICAS.´phbe/Docencia/MatematicasI/Apunte/tema4.pdf66 4. CONICAS Y CU´ ADRICAS.´ perpendicular al plano, veremos a continuacio´n las ecuaciones del plano a partir

TEMA 4

CONICAS Y CUADRICAS.

1. Espacios afines R2 y R3. Sistemas de referencia.

1.1. Espacios afines R2 y R3.

D 1.1. Un espacio afın ,E, asociado a un espacio vectorial ,V, es el conjunto

de puntos ,M, tal que si O es un punto origen de E entonces−−→OM = v ∈ V.

Propiedades

Para cualquier punto P ∈ E y para cada vector v ∈ V, existe un unicopunto Q ∈ E tal que v = −−→PQ. Se dice que P y Q son respectivamente, elorigen y extremo del vector

−−→PQ.

Para cualesquiera que sean los puntos P,Q, S ∈ E, se verifica la relacionde Chasles

−−→PQ +

−→QS =

−→PS

Consecuencias

−−→PQ = −−−→QP, −→

PP = 0

si

−→AB =

−−→CD entonces

−−→AC =

−−→BD

Plano afın IR2

El plano afınR2 es el conjunto de puntosM determinado por un punto O ,origen,

y por el plano vectorial asociado R2 tal que−−→OM = v ∈ R2 (espacio vectorial).

En el plano afın R2 podemos encontrar puntos o rectas.

63

64 4. CONICAS Y CUADRICAS.

Una recta r viene determinada bien por un punto A y un vector director v, o

por dos puntos A y B, en cuyo caso serıa suficiente considerar un vector director

v =−→AB.

Las diferentes formas de expresar una recta en el plano son:

Ecuacion vectorial: Observemos que si X(x, y) es un punto de la recta,

los vectores−−→AX y v son proporcionales, entonces

−−→AX = λv y operando

tenemos la llamada ecuacion vectorial

X = A + λv, λ ∈ R

, si escribimos la formula por coordenadas en el sistema de referencia

usual obtenemos

Ecuaciones parametricas

x = a1 + λv1

y = a2 + λv2, λ ∈ R

La ecuacion continua la obtenemos despejando, si es posible, λ de la

ecuacion anterior e igualando

x − a1v1

=

y − a2v2

La ecuacion cartesiana o implıcita se obtiene operando e igualando a

cero la ecuacion en forma continua

Bx + Cy +D = 0

Observar que en la forma cartesiana, un vector director de la recta es

v = (−C,D) y por tanto un vector normal viene dado por N(B,C). Otraforma de obtener esta ecuacion cartesiana es observar que, si X es un

punto de la recta y N es un vector normal a dicha recta, entonces los

vectores−−→AX y N son ortogonales, por tanto:

−−→AX ·N = 0

al ser−−→AX = (x−a1, y−a2) yN(n1, n2) entonces n1(x−a1)+n2(y−a2) = 0. Por

ejemplo, la recta que pasa por el punto A(−1, 4) y tiene por vector normalN(−2, 1) tendrıa por ecuacion cartesiana −2(x + 1) + 1(y − 4) = 0.

1. ESPACIOS AFINES R2 Y R3. SISTEMAS DE REFERENCIA. 65

Otra opcion para construir estamisma ecuacion es notar que los vecto-

res−−→AX y v son colineales, o proporcionales, y por tanto su determinante,

det(−−→AX, v) = 0.

Ejemplo

Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(5, 8) y B(3, 7).

Espacio afın

El espacio afın, R3, es el espacio de puntos asociado al espacio euclıdeo, R3, y

tenemos puntos, rectas y planos.

Las ecuaciones de la recta son analogas a las del plano afın, siendo ahoraX(x, y, z)

y serıan:

Ecuacion vectorial

X = A + λv, λ ∈ R


x = a1 + λv1

y = a2 + λv2

z = a3 + λv3

, λ ∈ R.

Ecuacion continua

x − a1v1

=

y − a2v2

=z − a3v3

Ecuaciones implıcitas

Bx + Cy +Dz + E = 0

B′x + C′y +D′z + E′ = 0

para hallar estas ecuaciones se elimina el parametro λ de las ecuaciones

parametricas y se iguala.

Ejemplo

Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(0, 1, 2) y B(3, 2, 4).

Un plano en el espacio afın puede estar determinado por un punto y dos vecto-

res linealmente independientes, tres puntos no alineados, un punto y un vector


perpendicular al plano, veremos a continuacion las ecuaciones del plano a partir

de un punto A(a1, a2, a3) y dos vectores linealmente independientes u(u1, u2, u3) y

v(v1, v2, v3) ,o lo que es lo mismo, no colineales.

Ecuacion vectorial

Un punto X pertenece al plano si el vector−−→AX es combinacion lineal

de los dos vectores u y v, entonces

X = A + λu + µv, λ, µ ∈ R


x = a1 + λu1 + µv1

y = a2 + λu2 + µv2

z = a3 + λu3 + µv3

, λ, µ ∈ R

Ecuacion general o implıcita

Bx + Cy +Dz + E = 0

, esta ecuacion se puede obtener observando que el vector−−→AX es combi-

nacion lineal de los vectores u y v y por tanto

rango

x − a1 u1 v1y − a2 u2 v2z − a3 u3 v3

= 2,⇒ det

x − a1 u1 v1y − a2 u2 v2z − a3 u3 v3

= 0

Otro procedimiento para obtener la misma ecuacion es a partir de un

vector normal al plano, N(n1, n2, n3), entonces−−→AX ·N = 0 y se tiene que

n1(x − a1) + n2(y − a2) + n3(z − a3) = 0

Observese que las ecuaciones implıcitas de una recta en el espacio pueden

interpresarse geometricamente como el corte de dos planos.

Ejemplo

Hallar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(0, 1, 0), B(1, 0, 3) y

C(2, 3, 4).


1.2. Sistemas de referencia. Sea E un espacio afın y V su espacio vectorial

asociado. Sea A un punto de E y B una base de V.

D 1.2. Un sistema de referencia R = {A,B} de E es un par formado esta definidopor un punto A de E y una base B de V. El punto A es el origen del sistema de referencia

y la base B su base.

Si M es un punto del espacio afın E, sus coordenadas respecto el sistema de

referencia R son las coordenadas del vector−−→AM en la base B.

Sistemade referencia de R2

Sea A un punto de R2 y B = {u, v} una base de R2. Entonces R = {A,B = {u, v}} esun sistema de referencia deR2. Si un puntoM tiene las coordenadasM(x′, y′)R en

R, esto significa que el vector−−→AM(x′, y′)B en la base B.

Ejemplo 1: El sistema de referencia canonico Rc = {O,Bc} :El origen de Rc es el punto O y su base asociada la base canonica Bc = {e1, e2}donde e1(1, 0) y e2(0, 1).

Cuando decimos que un puntoM(x, y) en Rc sigifica que el vector−−→OM(x, y) en la

base Bc.

Cuando no se precisa el sistema de referencia escribiendo las coordenadas de un

punto, se considera que utilizamos el sistema de referencia canonico.

Ejemplo 2: Sea A(2, 1) = A(2, 1)Rc y la base B = {u, v} con u(3, 0) y v(1, 2). R = {A,B}es un sistema de referencia de R2. Sea el punto C(2, 3)R. Cuales son las coordena-

das del punto C en Rc?

Tenemos−−→AC(2, 3)B. Si llamamos MB→Bc la matriz de cambio de base de B a Bc,

tenemos−−→ACBc = MB→Bc

−−→ACB

con

MB→Bc =

3 1

0 2

·

Por lo cual−−→ACBc =

3 1

0 2

2

4

=

9

6

Bc


de lo cual podemos deducir las coordenadas de C en Rc:xc = xA + 9 = 11

yc = yA + 6 = 7

C(11, 7)Rc . Mas generalmente siM(x, y)Rc en Rc yM(x′, y′)R en R, tenemos

−−→AMBc =MB→Bc

−−→AMB

es decir, x − xAy − yA

=

3 1

0 2

x′

y′

Ası obtenemos las formulas de cambio de R a Rc:

x = 2 + 3x′ + y′

y = 1 + 2y′

Si queremos las formulas de cambio de Rc a R, despejamos (x′y′):

x′

y′

= NBc→B

x − xAy − yA

donde NBc→B =M−1B→Bc . Aqui tenemos

NBc→B =1

6

2 −10 3

por lo cual tenemos las formulas de cambio de de Rc a Rx′ = 1

6(2x − y − 3)

y′ = 16(y − 1)

Sistemade referencia de R3

Sea A un punto de R3 y B = {u, v,w} una base de R3. Entonces R = {A,B} es unsistema de referencia de R3.

Si un puntoM tiene las coordenadasM(x′, y′, z′)R en R, esto significa que el vector−−→AM(x′, y′z′)B en la base B.

Ejemplo 1: El sistema de referencia canonico R3 es Rc = {O,Bc = {e1, e2, e3}} :El origen de Rc es el punto O y su base asociada la base canonica Bc = {e1, e2}donde e1(1, 0) y e2(0, 1).


Ejemplo 2: Sea A(1,−1, 2)Rc y la base B = {u, v,w} con u(2, 1, 0), v(0, 2, 1} yw(−7, 0, 2). R = {A,B} es un sistema de referencia de R3.

Vamos a calcular las formulas de cambio de sistema de referencia de R a Rc y de

Rc a R. Sea

MB→Bc =

2 0 −71 2 0

0 1 2

·

la matriz de cambio de B a Bc. Tenemos

−−→AMBc = MB→Bc

−−→AMB

es decir,

x − xAy − yAz − zA

=

2 0 −71 2 0

0 1 2

x′

y′

z′

Ası obtenemos las formulas de cambio de R a Rc:

x = 1 + 2x′ − 7z′

y = −1 + x′ + 2y′

z = 2 + y′ + 2z′

Si queremos las formulas de cambio de Rc a R, escribimos

−−→AMB = NBc→B

−−→AMBc

donde

NBc→B =M−1=

4 −7 14−2 4 −71 −2 4

x′

y′

z′

=

4 −7 14−2 4 −71 −2 4

x − xAy − yAz − zA

Las formulas de cambio de Rc a R son :


x′ = 4x − 7y + 14z − 39y′ = −2x + 4y − 7z + 20z′ = x − 2y + 4x − 11

Ejercicio

Si C(2, 3, 2)Rc , cuales son sus coordenadas en R?

Si D(0, 2, 4)R, cuales son sus coordenadas en Rc?

Ejercicio

Dados los sistemas de referencia en R3,

R1 = {A,B1} = {A(0, 0, 1); {(1, 1, 0), (0, 1, 1, ), (1, 0, 1)}}

y

R2 = (B,B2) = (B(1, 1, 1); {(1, 1, 0), (1, 1, 1, ), (1, 0, 0)})

se pide:

Hallar las ecuaciones de cambio de sistema de referencia de R1 a Rc y de

Rc a R2

Hallar las ecuaciones de cambio de sistema de referencia de R1 a R2.

Calcular las coordenadas en R2 del punto A(1, 1,−2)R1.

2. ELIPSE, HIPERBOLA Y PARABOLA DEFINIDAS MEDIANTE SUS PROPIEDADES GEOMETRICAS.71

2. Elipse, hiperbola y parabola definidas mediante sus propiedades

geometricas.

2.1. Elipse.

D 2.1. Una elipse es el lugar geometrico de puntos, X = (x, y) del plano

euclıdeo tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados, focos, (situados a

una distancia 2c), es constante (igual a 2a).

Para hallar una ecuacion de la elipse vamos a considerar el caso en el que sus

focos esten situados simetricamente sobre el ejeOX, por tanto las coordenadas de

los focos seran

F = (c, 0), y F′ = (−c, 0)

Para que un punto (x, y) pertenezca a la elipse tiene que cumplir que la suma de

las distancias a los focos sea constantemente igual a 2a.

d(X, F′) + d(X, F) = 2a⇒ d((x, y), (−c, 0))+ d((x, y), (c, 0)) = 2a

⇒√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a

si operamos,

x2

a2+

y2

a2 − c2 = 1

y definimos b =√a2 − c2, ya que a2 = b2 + c2, entonces obtenemos la llamada

ecuacion reducida de la elipse

x2

a2+

y2

b2= 1

D 2.2. Los ejes de la elipse son la recta que une los focos y su mediatriz

(tambien se denominan ejes de simetrıa de la elipse). El centro es el punto de interseccion

con los ejes, y los vertices son los puntos de corte de los ejes con la elipse.

N 2.3. Si el centro es el origen de coordenadas entonces los vertices serıan los puntos

(a, 0), (−a, 0), (0, b), (0,−b).

D 2.4. Se llama excentricidad de la elipse al cociente entre la semidistancia

focal ,c, y el semieje mayor, a

exc =c

a


Propiedades:

La excentricidad de la elipse esta acotada entre cero y uno, es decir,

0 ≤ exc ≤ 1.

La recta tangente a una elipse un un punto, forma elmismo angulo con las

rectas que unen dicho punto con los dos focos. Esta propiedad ha tenido

una gran cantidad de aplicaciones tales como cupulas en arquitectura.

Ejercicio

Representa las siguientes elipses e indica todos sus elementos geometricos

x2

16+y2

25= 1.

x2

25+y2

16= 1.

x2

2+y2

5= 1.

3x2 + 6y2 = 7.

2.2. Hiperbola.

D 2.5. Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos, (situados a una distancia 2c),

y un numero positivo , a, la hiperbola es el conjunto de todos los puntos del plano cuya

diferencia de distancias en valor absoluto a los focos es constante (igual a 2a).

Por tanto la ecuacion de una hiperbola es

|d(X, F′) − d(X, F)| = 2a

Si consideramos los focos sobre un eje de coordenadas y equidistando del origen,

es decir, F′ = (−c, 0), y F = (c, 0) con c > 0, entonces

| d((x, y), (−c, 0))− d((x, y), (c, 0)) |= 2a⇒√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = 2a

Si operamos obtenemos

x2

a2−y2

c2 − a2 = 1

y si definimos b =√c2 − a2, ya que c2 = a2 + b2, entonces obtenemos la llamada

ecuacion reducida de la hiperbola

x2

a2−y2

b2= 1

2. ELIPSE, HIPERBOLA Y PARABOLA DEFINIDAS MEDIANTE SUS PROPIEDADES GEOMETRICAS.73

D 2.6. Los ejes de simetrıa de esta hiperbola son los ejes del sistema de

coordenadas y el centro esta situado sobre el origen de coordenadas y es la interseccion de

los ejes de simetrıa. Los vertices, (a, 0) y (−a, 0), son los puntos de corte de la hiperbolacon los ejes, y las rectas que pasan por los puntos (a, b) y (−a, b) reciben el nombre deasıntotas de la hiperbola.

N 2.7. Si el centro es el origen de coordenadas entonces los vertices serıan los puntos

(a, 0) y (−a, 0).

N 2.8. Dada una hiperbola en forma reducida, las asıntotas de la hiperbola son

y = ±bax

D 2.9. Se llama excentricidad de la hiperbola al cociente entre la semidis-

tancia focal ,c, y el semieje mayor, a

exc =c

a

Ejercicio

Representa las siguientes hiperbolas e indica todos sus elementos geometricos

x2

16− y

2

25= 1.

x2

25− y

2

16= 1.

x2

2− y

2

5= 1.

3x2 − 6y2 = 7.

2.3. Parabola.

D 2.10. Una parabola es el lugar geometrico de los puntos del plano que

equidistan de un punto fijo F, llamado foco de la parabola, y una recta r dada, llamada

directriz. La condicion que ha de cumplir un punto X para pertenecer a la parabola es

d(X, F) = d(X, r)

La distancia entre el foco y la directriz la denotaremos por la letra p.

Para determinar la ecuacion reducida de la parabola consideramos que el foco

esta situado en el eje de abcisas y la directriz sea paralela al eje de ordenadas, es

decir,

F = (p

2, 0), r : x = −

p

2


entonces un punto X(x, y) pertenece a la parabola si verifica

d(X, F) = d(X, r)⇒√y2 + (x − p/2)2 =| x +

p

2|

y si operamos, obtenemos

y2 = 2px

que es la ecuacion reducida de la parabola.

D 2.11. Se llama eje de la parabola a la recta perpendicular a la directriz que

pasa por el foco (es el eje de simetrıa). El vertice es el punto de interseccion de la parabola

con el eje.

N 2.12. La parabola no tiene ni centro ni asıntotas.

N 2.13. Observar que si la parabola es de la forma x2 = 2py, entonces F(0,p

2) y la

directriz es la recta y = − p2.

Ejercicio

Representa las siguientes parabolas e indica todos sus elementos geometricos

x2 = 9y.y2

16= x.

3. Ecuacion general de una conica.

El nombre generico de conicas que se da a la elipse, la hiperbola y la parabola

tiene el origen en el hecho de que se pueden obtener como resultado de intersecar

un cono con un plano, es decir, como una seccion conica.

Por ejemplo, si consideramos el cono de ecuacion

x2 + y2 − z2 = 0

y hacemos la interseccion

Con el plano π : z = 1 se obtiene la ecuacion x2 + y2 = 1 que es una

circunferencia, es decir, un tipo elipse.

Con el plano π : y = 1 se obtiene la ecuacion x2 − z2 = 1 que es unahiperbola.

3. ECUACION GENERAL DE UNA CONICA. 75

Con el planoπ : x−z = 1 se obtiene la ecuacion y2 = −2x+1 que representauna parabola.

Elipse, hiperbola y parabola son lo que llamamos conicas no degeneradas. Pero al

intersecar un cono con un plano pueden aparecer figuras geometricas diferentes,

por ejemplo:

Con el plano π : z = 0 se obtiene la ecuacion x2 + y2 = 0 que es un punto.

Con el plano π : y = 0 se obtiene la ecuacion x2−z2 = 0⇒ (x−z)(x+z) = 0que son dos rectas que se cortan.

Con el plano π : x − z = 0 se obtiene la ecuacion y2 = 0 que es una rectadoble.

Estos tipos de secciones se denominan conicas degeneradas. Al igual que en el

caso de las conicas no degeneradas, cuando el sistema de referencia esta especial-

mente situado respecto de la conica aparecen ecuaciones simples de las conicas

degeneradas.

Nuestro objetivo es definir un concepto general que englobe todos los tipos de

conicas que han aparecido, para ello hemos de observar que la propiedad que

tienen todas en comun es que sus ecuaciones son de segundo grado en dos

variables.

D 3.1. Una conica es el lugar geometrico de los puntos del plano que verifican

una ecuacion polinomica de segundo grado en dos variables de la forma

a11x2+ a22y

2+ 2a12xy + a01x + a02y + a00 = 0

La ecuacion anterior puede escribirse en forma matricial

XtAX + BX + a00 = 0

donde

A =

a11 a12

a21 a22

, B =

(a01 a02

), X =

x

y

Ejemplo

La ecuacion

9x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 29y − 5 = 0


representa una conica puesto que es una ecuacion de segundo grado en dos

variables. Dicha ecuacion puede escribirse en forma matricial

(x y

) 9 −2−2 6

x

y

+

(−10 −29

) x

y

− 5 = 0

Vamos a escribir a continuacion las ecuaciones matriciales de las ecuaciones re-

ducidas de las conicas no degeneradas

Elipse

x2

a2+

y2

b2= 1⇒

(x y

) 1a20

0 1b2

x

y

− 1 = 0

Hiperbola

x2

a2−y2

b2= 1⇒

(x y

) 1a2

0

0 − 1b2

x

y

− 1 = 0

Parabola

x2 = 2py⇒(x y

) 1 0

0 0

x

y

+

(0 −2p

) x

y

= 0

N 3.2. Las matrices A son siempre diagonales. En el caso de la elipse y de la parabola

los elementos de la diagonal son no nulos y la matriz B es nula. En la parabola es nulo un

elemento de la diagonal.

4. Ecuacion reducida de una conica y sus elementos geometricos.

El problema que trataremos de resolver a continuacion es el de obtener, a partir

de una ecuacion general de una conica,

a11x2+ a22y

2+ 2a12xy + a01x + a02y + a00 = 0

o en forma matricial

XtAX + BX + a00 = 0

su clasificacion y una ecuacion reducida realizando un cambio de sistema de

referencia .

Para identificar la conica, es determinante la parte homogenea de grado dos, es

decir a11x2+ a22y

2+ 2a12xy = X

tAX.

4. ECUACION REDUCIDA DE UNA CONICA Y SUS ELEMENTOS GEOMETRICOS. 77

Ya que la matriz A es una matriz simetrica real, es siempre diagonalizable por

semejanza ortogonal. Diagonalizamos ortogonalmente A: sean λ1 y λ2 los valores

propios, v1 y v2 los vectores propios normalizados asociados.

Segun los valores propios λ1, λ2 tenemos la siguiente clasificacion: Clasificacion

de conicas

Si λ1, y λ2 son del mismo signo y no nulos (λ1λ2 > 0) tenemos una elipse.

Si λ1, y λ2 son de distinto signo y no nulos (λ1λ2 < 0) tenemos una

hiperbola.

Si λ1, o λ2 son nulos (λ1λ2 = 0) tenemos una parabola.

Una vez clasificada la conica, vamos a determinar el nuevo sistema de referencia

R′′ en dos etapas:

Primera etapa : Calculamos las direcciones de los nuevos ejes, que es un

cambio de base.

Segunda etapa: Hallamos el origen del nuevo sistema de referencia.

Por consiguiente, si partimos de Rc : (O, {e1, e2}), con X =x

y

En la primera etapa calculamos

R′ : (O, {v1, v2}), X′ =

x′

y′

Y en la segunda etapa hallamos

R′′ : (C, {v1, v2}), X′′ =

x′′

y′′

donde C sera el centro o vertice de la conica segun su tipo.

vamos a detallar a continuacion cada una de las etapas necesarias para el cambio

de sistema de referencia:

Primera etapa

Calculamos las direcciones de los nuevos ejes esta dada por los vectores propios de

la matriz A. Sea B = {v1, v2} una base ortonormal de diagonalizacion y P = PB→Bc ,


la matriz de cambio de base de B a Bc. Tenemos

P−1AP = PtAP = D =

λ1 0

0 λ2

Entonces si consideramos el cambio de sistema de referencia ortonormal

X = PX′

y remplazamos esta expresion en la ecuacion matricial de la conica, obtenemos la

ecuacion de la conica en R′

(PX′)tA(PX′) + B(PX′) + a00 = 0⇔ (X′)t(PtAP)X′ + (BP)X′ + a00 = 0

(X′)tDX′ + (BP)X′ + a00 = 0

es decir

λ1x′2+ λ2y

′2+ a′01x

′+ a′02 + a00 = 0

Ahora la ecuacion de la conica no tiene terminos cruzados en el sistema de refe-

rencia R′.

Segunda etapa

Calculamos el origen del nuevo sistema de referencia, entonces el cambio de

sistema de referencia sera de la formax′′ = x′ + c1

y′′ = y′ + c2

El procedimiento seguido para obtener el nuevo sistema de referencia R′′ es

completar cuadrados para eliminar los terminos lineales.

Resumen del cambio de referencia de R a R′′

Dada la ecuacion general

XtAX + BX + a00 = 0

hacemos la rotacion

X = PX′

que es un cambio de sistema de referencia donde origen queda fijo, siendo P la

matriz de paso para ortogonalizar por semejanza ortogonal la matriz A. Como


PtAP = D es diagonal, entonces la ecuacion de la conica en el nuevo sistema de

referencia R′ queda

(X′)tDX′ + (BP)X′ + a00 = 0

Ahora hacemos el segundo cambio de referencia que consiste en trasladar R′ de

forma que

X′′ = C + IX′

de manera que el movimiento rıgido que resulta al componer los dos cambios de

sistemas de referencia es

X′′ = C + PtX

o bien

X = P(X′′ − C)⇒ X = PX′′ − PC

Observar que estas dos ultimas ecuaciones nos permiten relacionar R y R′′

Ejemplo

Hallar la ecuacion reducida de la conica x2 + 6x + 5y + 14 = 0

Escribimos la forma matricial asociada

(x y

) 1 0

0 0

x

y

+

(6 5

) x

y

+ 14 = 0

Al ser en este caso la matriz A diagonal, no hay que realizar la primera etapa,

observese que en este caso hay un valor propio nulo, por tanto la conica es una

parabola. Completemos los cuadrados para eliminar el termino lineal en x.

x2 + 6x = x2 + 6x + 9 − 9 = (x + 3)2 − 9

por tanto,

x2+6x+5y+14 = 0⇒ (x+3)2−9+5y+14 = 0⇒ (x+3)2+5y+5 = 0⇒ (x+3)2+5(y+1) = 0

si hacemos el cambio x′′ = x + 3

y′′ = y + 1

La ecuacion reducida de la conica queda x′′2 + 5y′′2 = 0 que es una parabola.

N 4.1. El cambio de sistemas de referencia permite obtener los elementos geometricos

de la conica en el sistema de referencia inicial, R, a partir de los elementos en el sistema

final R′′.


4.1. Calculo de los elementos geometricos. Dada una elipse, hiperbola o

parabola en un sistema de referencia R, despues de un movimiento rıgido de

ecuaciones

X′′ = C + PtX

podemos obtener una ecuacion reducida de la conica. Esto significa que el nuevo

sistema de referencia R′′ tiene como origen el centro de la conica (elipse e hiperbo-

la) o el vertice (parabola) y como los ejes de la conica (elipse e hiperbola) o el eje y

la tangente en el vertice (parabola). Puesto que las coordenadas del origen de R′′

respecto de R′′ son (0, 0), entonces el centro o vertice es la solucion del sistema

O = C + PtX

Para calcular los ejes recordamos que la nueva base esta formada por los vectores

propios de la matriz A y por tanto estos vectores son los vectores directores de

los ejes de la conica. En el caso de la parabola, el vector propio asociado a λ = 0

nos da la direccion del eje y el otro vector propio proporciona la direccion de la

tangente en el vertice.

De forma analoga al calculo del centro se pueden obtener los focos de la conica,

la directriz de la parabola (que tiene la misma direccion que la tangente), las

asıntotas de la hiperbola que tienen direcciones (a, b)R′′ y (−a, b)R′′ .

4.2. Ejemplos detallados de conicas.

4.2.1. Estudio de una elıpse. Estudia la conica

3x2 − 2xy + 3y2 − 5√2x + 3

√2y − 2 = 0

Estudiamos la parte homogenea de grado 2 para identificar el tipo de

conica: La matriz A asociada a la conica es

A =

3 −1−1 3

Calculamos el polinomio caraterıstico:

det(A − λId) =

∣∣∣∣∣∣∣3 − λ −1−1 3 − λ

∣∣∣∣∣∣∣= (4 − λ)(2 − λ)

Los valores propios de A son λ = 2 y λ = 4. Son de mismo signo por lo

cual la conica es de tipo elıpse.


Diagonalizacion de la matriz A.

• para determinar V2 resolvemos el sistema:

(A − 2Id)x

y

=

0

0

Resolvemos el sistema homogeneo1 −1−1 1

∣∣∣∣∣∣∣0

0

Las soluciones sonx = λ

y = λλ ∈ IR.

por lo cual un vector director normalizado de V2 es

u2

∣∣∣∣∣∣∣1/√2

1/√2


(A − 4Id)x

y

=

0

0

Resolvemos el sistema homogeneo−1 −1−1 −1

∣∣∣∣∣∣∣0

0

Las soluciones sonx = −λy = λ

λ ∈ IR.


u4

∣∣∣∣∣∣∣−1/√2

1/√2

Una base ortonormal de diagonalizacion es la base B = {u2, u4} y lamatriz de cambio de base de la base B a la canonica Bc es:

PB→Bc =

1/√2 −1/

√2

1/√2 1/

√2


Cambio de base : Si ahora consideramos el sistema de referencia R′ =

{0,B}, si las coodenadas deunpunto son (x′, y′) respectoR′ y (x, y) respectoRc, tenemos las fomulas de cambio de sistema de referencia de R

′ a Rc:x

y

= PB→Bc

x′

y′

,

es decir: x = 1√

2(x′ − y′)

y = 1√2(x′ + y′)

Respecto al sistema de referencia R′, la ecuacion de la conica es:

2x′2 + 4y′2 − 5√2√2(x′ − y′) + 3

√2√2(x′ + y′) − 2 = 0

Simplificando esta expresion:

2x′2 − 2x′ + 4y′2 + 8y′ − 2 = 0

Busqueda del centro de la elipse:

Factorizamos

2x′2 − 2x′ = 2[x′2 − x′] = 2[(x′ − 12)2 − 14] = 2(x′2 − 1

2)2 − 12

4y′2 + 8y′ = 4[y′2 + 2y′] = 4[(y′ + 1)2 − 1] = 4(y′ + 1)2 − 4

Respecto al sistema de referencia R′, el centro de la elipse C tiene como

coordenadas C(1/2,−1)R′ .Cambio de orıgen:

Si consideremos el sistema de referencia R′′= {C,B}, entonces

x′′= x′ − 1

2

y′′= y′ + 1

La ecuacion de la elipse en R′′es

2x′′2+ 4y

′′2=

13

2

Multiplicando esta ultima ecuacion por 13/2 obtenemos una ecuacion

reducida de la elipse:

x′′2

(√134)2+

y′′2

(√138)2= 1


Determinacion de los elementos geometricos de la elıpse:

Tenemos

a =

√13

4, b =

√13

8c =√a2 − b2 =

√13

8

a es la longitud del gran eje y b la longitud del pequeno eje. Los focos

tienen como coordenadas en R′′:

F(

√13

8, 0)R′′ F′(

√−138, 0)R′′

Calculo del centro C respecto el sistema de referencia canonico Rc;

CRc = P

1/2

−1

=

1√2

1 −11 1

1/2

−1

=

3/2√2

−1/2√2

Formulas de cambio de R′′a Rc:

x = 3

2√2+1√2(x′′ − y′′)

y = − 1

2√2+1√2(x′′+ y

′′)

En el sistema de referencia R′′, los ejes de la elipse tienen como ecuacion

x′′= 0 y y

′′= 0 y en la base canonica x + y = 1/

√2 y x − y =

√2.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 0 1 2 3

y

x

3*y2-2*x*y+3*sqrt(2)*y+3*x2-5*sqrt(2)*x = 2x-y = sqrt(2)

y+x = 1/sqrt(2)


4.2.2. Estudio de una hiperbola. Ejercicio Estudia la conica

x2 − 4xy + y2 − 7√2x +

√2y − 6 = 0


conica: La matriz A es

A =

1 −2−2 1


det(A − λId) =

∣∣∣∣∣∣∣1 − λ −2−2 1 − λ

∣∣∣∣∣∣∣= (3 − λ)(−1 − λ)

Los valores propios de A son λ = 3 y λ = −1. Son de signo opuestopor lo cual la conica es de tipo hiperbola.



(A − 3Id)x

y

=

0

0

Resolvemos el sistema homogeneo−2 −2−2 2

∣∣∣∣∣∣∣0

0


λ ∈ IR.


u3

∣∣∣∣∣∣∣−1/√2

1/√2

• para determinar V−1 resolvemos el sistema:

(A + Id)

x

y

=

0

0


Resolvemos el sistema homogeneo2 −2−2 2

∣∣∣∣∣∣∣0

0


y = λλ ∈ IR.


u−1

∣∣∣∣∣∣∣1/√2

1/√2

Una base ortonormal de diagonalizacion es la base B = {u3, u−1} y lamatriz de cambio de base de la base B a la canonica Bc es:

PB→Bc =

−1/√2 1/

√2

1/√2 1/

√2


{0,B}, si las coodenadas de unpunto son (x′, y′) respectoR′ y (x, y) respectoRc, tenemos las fomulas de cambio de sistema de referencia de R

′ a Rc:x

y

= PB→Bc

x′

y′

,

es decir: x = 1√

2(−x′ + y′)

y = 1√2(x′ + y′)


3x′2 − y′2 − 7√2√2(−x′ + y′) +

√2√2(x′ + y′) − 6 = 0


3x′2 + 8x′ − y′2 − 6y′ − 6 = 0

Busqueda del centro de la hiperbola:

Factorizamos

3x′2 + 8x′ = 3[x′2 +8

3x′] = 3[(x′ − 4

3)2 − 16

9] = 3(x′ − 4

3)2 − 16

3

−y′2 − 6y′ = −[y′2 + 6y′] = −(y′ + 3)2 + 9


Respecto al sistema de referenciaR′, el centro de la hiperbolaC tiene como

coordenadas C(4/3,−3)R′ .Cambio de orıgen:

Si consideremos el sistema de referencia R′′= {C,B}, entonces

x′′= x′ − 4

3

y′′= y′ + 3

La ecuacion de la hiperbola en R′′es

3x′′2 − y′′2 = 7

3

Multiplicando esta ultima ecuacion por 3/7 obtenemos una ecuacion re-

ducida de la hiperbola:

x′′2

(√79)2−y′′2

(√73)2= 1

Determinacion de los elementos geometricos de la hiperbola:

Tenemos

a =

√7

9, b =

√7

3c =√a2 + b2 =

√28

9=

2√7

3

Los focos tienen como coordenadas en R′′:

F(2√7

3, 0)R′′ F′(−2

√7

3, 0)R′′

Las asıntotas tienen como ecuacion en R′′:

y′′= ±bax′′= ±√3x

′′

Calculo del centro C respecto el sistema de referencia canonico Rc;

CRc = P

4/3

−3

=

1√2

−1 11 1

4/3

−3

=

−13/3

√2

−5/3√2


x = − 13

3√2+1√2(−x′′ + y′′)

y = − 5

3√2+1√2(x′′+ y

′′)

En el sistema de referencia R′′, los ejes de la hiperbola tienen como ecua-

cion x′′= 0 y y

′′= 0 y en la base canonica x − y = 4

√2/3 y x + y = −3

√2.


-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-6 -4 -2 0 2 4

y

x

y2-4*x*y+sqrt(2)*y+x2-7*sqrt(2)*x = 6x-y = 2(5/2)/3

y+x = -3*sqrt(2)

4.2.3. Estudio de una parabola. Estudia la conica

x2 − 2xy + y2 − 5√2x + 3 = 0


conica: La matriz A asociada a la conica es

A =

1 −1−1 1


det(A − λId) =

∣∣∣∣∣∣∣1 − λ −1−1 1 − λ

∣∣∣∣∣∣∣= (2 − λ)(−λ)

Los valores propios de A son λ = 2 y λ = 0. Ya que uno de los valores

propios es nulos, la conica es de tipo parabola.




(A)

x

y

=

0

0

Resolvemos el sistema homogeneo

1 −1−1 1

∣∣∣∣∣∣∣0

0


y = λλ ∈ IR.


u0

∣∣∣∣∣∣∣1/√2

1/√2


(A − 2Id)x

y

=

0

0


−1 −1−1 −1

∣∣∣∣∣∣∣0

0


λ ∈ IR.


u2

∣∣∣∣∣∣∣−1/√2

1/√2

Una base ortonormal de diagonalizacion es la base B = {u0, u2} y lamatriz de cambio de base de la base B a la canonica Bc es:

PB→Bc =

1/√2 −1/

√2

1/√2 1/

√2



{0,B}, si las coodenadas de unpunto son (x′, y′) respectoR′ y (x, y) respectoRc, tenemos las fomulas de cambio de sistema de referencia de R

′ a Rc:x

y

= PB→Bc

x′

y′

,

es decir: x = 1√

2(x′ − y′)

y = 1√2(x′ + y′)


0x′2 + 2y′2 − 5√2√2(x′ − y′) + 3 = 0


2y′2 + 5y′ + 3 = 5x′

Busqueda del vertice de la parabola:

Factorizamos

2y′2 + 5y′ = 2[y′2 +5

2y′] = 2[(y′ +

5

4)2 − 2516] = 2(y′ +

5

4)2 − 25

8

Entonces la ecuacion de la parabola es:

2(y′ +5

4)2 = 5x′ +

1

8= 5(x′ +

1

40)

Respecto al sistema de referencia R′, el vertice de la parabola V tiene

como coordenadas V(−1/40,−5/4)R′.Cambio de orıgen:

Si consideremos el sistema de referencia R′′= {V,B}, entonces

x′′= x′ + 1

40

y′′= y′ + 5

4

Una ecuacion reducida de la parabola en R′′es

y′′2= 2.5

4x′′

Determinacion de los elementos geometricos de la parabola:

Tenemos

p =5

4


El focos tiene como coordenadas en R′′:

F(−p/2, 0)R′′ = F(5/8, 0)R′′

La directriz tiene como ecuacion en R′′:

x′′= −p

2= −58

Calculo del vertice V respecto el sistema de referencia canonico Rc;

VRc = P

−1/40−5/4

=

1√2

1 −11 1

−1/40−5/4

=

49/40

√2

−51/40√2


x = 49

40√2+1√2(x′′ − y′′)

y = − 51

40√2+1√2(x′′+ y

′′)

En el sistema de referenciaR′′, los ejes de la parabola tienen como ecuacion

x′′= 0 y y

′′= 0 y en la base canonica x + y = −1/20

√2 y x + y = 5/2

√2.

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

y

x

y2-2*x*y+x2-5*sqrt(2)*x+3 = 0x-y = 5/2(3/2)

y+x = -1/(5*2(5/2))

5. CUADRICAS. ECUACION REDUCIDA. APLICACIONES A LA EDIFICACION. 91

5. Cuadricas. Ecuacion reducida. Aplicaciones a la Edificacion.

D 5.1. Una cuadrica es el lugar geometrico de puntos del espacio que verifican

una ecuacion polinomica de segundo grado en tres variables de la forma

a11x2+ a22y

2+ a33z

2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + a01x + a02y + a03z + a00 = 0

La ecuacion anterior puede escribirse en forma matricial

XtAX + BX + a00 = 0

donde

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, B =

(a01 a02 a03

), X =

x

y

z

De la misma manera que con las conicas la matriz A es simetrica por lo cual

diagonalizable ortogonalmente. La clasificacion de la cuadrica depende del signo

de los valores propios de la matriz A λ1 λ2 y λ3 ası que de su forma reducida

haciendo un adecuado cambio de sistema de referencia ortonormal, como en el

caso de las conicas. Cualquier cuadrica adopta una de las siguientes expresiones

algebraicas:

• Elipsoide : valores propios de A no nulos λ1,λ2 y λ3 de mismo signox2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

• Hiperboloide de una hoja o hiperbolico: dos valores propios positivos y unonegativo o dos valores propios negativos y uno positivo

x2

a2+

y2

b2− z

2

c2= 1

• Hiperboloide de dos hojas o elıptico : dos valores propios positivos y unonegativo o dos valores propios negativos y uno positivo

x2

a2+

y2

b2− z

2

c2= −1

• Cono: dos valores propios positivos y uno negativo o dos valores propiosnegativos y uno positivo

x2

a2+

y2

b2− z

2

c2= 0


• Paraboloide elıptico: dos valores propios de mismo signo y el tercero nulo

x2

a2+

y2

b2− 2cz = 0

• Paraboloide hiperbolico: dos valores propios de signo opuesto y el tercero nulo

x2

a2−y2

b2− 2cz = 0

• Cilindro Elıptico: dos valores propios de mismo signo y el tercero nulo

x2

a2+

y2

b2= 1

• Cilindro Hiperbolico : dos valores propios de signo opuesto y el tercero nulo

x2

a2−y2

b2= 1

• Cilindro Parabolico : dos valores propios nulos y uno no nulo

x2

a2− 2py = 0

• Par de planos que se cortan: dos valores propios de signo opuesto y el terceronulo

x2

a2−y2

b2= 0

• Par de planos paralelos: dos valores propios nulos y uno no nulo

x2 − a2 = 0

• Par de planos coincidentes : dos valores propios nulos y uno no nulo

x2 = 0

5.1. Ejemplos detallados de cuadricas. Estudia la cuadrica

2x2 + 2y2 + z2 + 2xz + 2yz − 2√2x + 2

√2y +

√3z = 0



cuadrica: La matriz A asociada a la cuadrica es

A =

2 0 1

0 2 1

1 1 1


det(A − λId) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 − λ 0 1

0 2 − λ 11 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (2 − λ)(3 − λ)(−λ)

Los valores propios de A son λ = 2, λ = 3y λ = 0. Ya que uno de los

valores propios es nulos, y los dos otros son de mismo signo, la cuadrica

es de tipo paraboloide elıptico.



(A)

x

y

z

=

0

0

0


0 0 1

0 0 1

1 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0

0

0

Las soluciones son

x = −λy = λ

z = 0

λ ∈ IR.


u2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1/√2

1/√2

0



(A − 3Id)

x

y

z

=

0

0

0


−1 0 1

0 −1 11 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0

0

0

Las soluciones son

x = λ

y = λ

z = λ

λ ∈ IR.


u3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1/√3

1/√3

1/√3


(A)

x

y

z

=

0

0

0


2 0 1

0 2 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0

0

0

Las soluciones son

x = λ

y = λ

z = −2λλ ∈ IR.



u0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1/√6

1/√6

1/ − 2√6

Una base ortonormal de diagonalizacion es la base B = {u2, u3, u0} y lamatriz de cambio de base de la base B a la canonica Bc es:

PB→Bc =

−1/√2 1/

√3 1/

√6

1/√2 1/

√3 1/

√6

0 1/√3 −2/

√6


{0,B}, si las coodenadas de un punto son (x′, y′, z′) respecto R′ y (x, y, z)respecto Rc, tenemos las fomulas de cambio de sistema de referencia de

R′ a Rc:

x

y

z

= PB→Bc

x′

y′

z′

,

es decir:

x = − 1√2x′ + 1√

3y′ + 1√

6z′

y = 1√2x′ + 1√

3y′ + 1√

6z′

z = 1√3y′ − 2√

6z′

Respecto al sistema de referencia R′, la ecuacion de la cuadrica es:

2x′2 + 3y′2 + 0z′2 + 4x′ + y′ −√2z′ = 0

Busqueda del vertice del paraboloide elıptico:

Factorizamos

2x′2 + 4x′ = 2[x′2 + 2x′] = 2(x′ + 1)2 − 2

3y′2 + y′ = 3[y′2 + 13y′] = 3[(y′ + 1

6)2 − 1

36] = 3(y′ + 1

6)2 − 1

12

Entonces la ecuacion del paraboloide elıptico es:

2(x′ + 1)2 + 3(y′ +1

6)2 =

√2z′ +

25

12=

√2(z′ +

25

12√2)

Respecto al sistema de referencia R′, el vertice del paraboloide elıptico

V tiene como coordenadas V(−1,−1/5,−25/12√2)R′ .


Cambio de orıgen:

Si consideremos el sistema de referencia R′′= {V,B}, entonces

x′′= x′ + 1

y′′= y′ + 1

6

z′′= z′ + 25

12√2

Una ecuacion reducida del paraboloide elıptico en R′′es

z′′=

x′′2

(√1√2)2+

y′′2

(

√ √23)2

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CONICAS Y CU´ ADRICAS.´phbe/Docencia/MatematicasI/Apunte/tema4.pdf66 4. CONICAS Y CU´ ADRICAS.´ perpendicular al plano, veremos a continuacio´n las ecuaciones del plano a partir